Electromagnetismo II.

Ecuacion de Poisson.

Jose Antonio Camargo Caballero

Septiembre 28 de 2009

1 Introduccion

1.1 Campo electrico

Partiendo de la ley de Coulomb, considerese una carga electrica puntual q en el origen de nuestrosistema coordenado. Esta produce un campo electrico E dado por1

E =qr

4πε0r2.

Ademas, por el principio de superposicion, cuando varias cargas estan presentes, el campo electricoresultante es la suma vectorial de los campos electricos producidos por cada carga.

E = E1 + E2 + · · · =∑i

Ei =1

4πε0

∑i

qir2i

ri.

1.2 Potencial electrico

El potencial electrico Φ en un punto se define como la energıa potencial por unidad de carga colocadaen dicho punto.

Φ =Epq,

donde Ep es la energıa potencial de una carga q. Las componentes cartesianas del campo electrico Eestan dada por

Ex = −∂Φ

∂x, Ey = −∂Φ

∂y, Ez = −∂Φ

∂z.

La componente segun la direccion correspondiente a un desplazamiento ds es, en general

Es = −∂Φ

∂s.

O de otra formaE = −∇Φ.

1El campo electrico E se define como la fuerza por unidad de carga en una pequena carga de prueba estacionaria qp.E = F/qp. De la ley de Coulomb, la fuerza sobre qp debida a q es F = (qqp/4πε0)(r/r2). Cuando dividimos por qp, seobtiene la ecuacion aquı enunciada

1

1.3 Flujo electrico

El flujo dϕ de una cantidad vectorial B a traves de una superficie infinitesimal dA se define como

dϕ = B · dA,

para una superficie de area finita A,

ϕ =

∫A

B · dA.

Si la superficie es cerrada, el vector dA apunta hacia afuera, por convencion.

1.4 Ley de Gauss

Si se calcula el flujo del campo electrico E de una carga puntual q a traves de una superficie esfericacon centro en la carga de radio r, tenemos que

ϕE =

∮SEdS = E

∮SdS = ES

dado que el area de una esfera es S = 4πr2 y utilizando la expresion para E, tenemos

ES =q

4πε0r24πr2 =

q

ε0.

Esto significa que el flujo electrico a traves de la esfera es proporcional a la carga e independiente delradio de la superficie. Ademas, este resultado no es exclusivo de superficies esfericas, sino que aplicapara cualquier superficie arbitraria cerrada.

La ley de Gauss, establece que si hay una o varias cargas q1, q2, . . . en el interior de una superficiearbitraria cerrada S, el flujo electrico total ϕ =

∫S EdS sera la suma de los flujos producidos por cada

carga q/ε0, donde q = q1 + q2 + . . . es la carga total en el interior de la superficie. Si no hay cargas enel interior de la superficie cerrada, o si la carga neta es cero, el flujo electrico total a traves de ella escero. Las cargas que estan fuera de la superficie no contribuyen al flujo total.

Figura 1: Elemento de volumen para establecer la ley de Gauss en forma diferencial.

Aplicando la ley de Gauss a una superficie que rodea a un volumen infinitesimal de aristas paralelasa los ejes XYZ, con lados dx, dy, dz (Figura 1). El area de una de las caras sera s.p.g. dydz y el flujoelectrico a traves de ella es

Exdydz,

2

el flujo de la cara opuesta, sera −E′xdydz. El flujo total a traves de estas dos superficies es por lo tanto

(Ex −E′x)dydz.

Pero como la distancia dx entre las dos superficies es muy pequena, la cantidad Ex − E′x es tambienpequena y podemos escribir

Ex −E′x = dEx =∂Ex∂x

dx,

lo cual permite expresar el flujo total en la direccion X como

∂Ex∂x

dxdydz =∂Ex∂x

dv.

La cantidad dv = dxdydz es el volumen de la caja. Se obtendran resultados analogos para el flujo atraves de las cuatro caras restantes del volumen infinitesimal; el flujo total a traves del mismo es

ϕE =∂Ex∂x

dv +∂Ey∂y

dv +∂Ez∂z

dv

=

(∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

)dv.

Si dq es la carga electrica dentro del elemento de volumen, siguiendo la ley de Gauss, tendremos(∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

)dv =

dq

ε0

Escribiendo dq = %dv, donde % es la densidad de carga electrica (carga por unidad de volumen), ycancelando el factor comun dv, obtenemos

∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

=%

ε0.

que es la ley de Gauss en forma diferencial; tambien expresada como

∇ ·E =%

ε0

1.5 Ecuaciones de Poisson y de Laplace

Si reemplazamos E por −∇Φ, la ecuacion anterior se transforma en

∇ · ∇Φ = ∇2Φ = − %ε0,

que es la ecuacion de Poisson. Para la condicion % = 0 esta se reduce a la forma

∇ · ∇Φ = ∇2Φ = 0,

que es la ecuacion de Laplace.

1.6 Coordenadas curvilıneas ortogonales

Frecuentemente es poco conveniente utilizar coordenadas Cartesianas debido a las simetrıas que existenen ciertos campos. De todos los otros posibles sistemas de coordenadas, restringiremos nuestra discusiona los sistemas mas utilizados de coordenadas cilındricas y polares esfericas.

Considere la ecuacionf(x, y, z) = k,

3

con k constante. Esta ecuacion define una familia de superficies en el espacio, cada miembro, caracter-izada por un valor particular del parametro k.

Considere ahora las tres ecuaciones

f1(x, y, z) = k1

f2(x, y, z) = k2

f3(x, y, z) = k3

que definen tres familias de superficies mutuamente ortogonales. La interseccion de tres superficies (unade cada familia), define un punto en el espacio, y k1, k2, k3 son las coordenadas ortogonales curvilıneasen ese punto.

Sea dl1 un elemento de longitud normal a una superficie k1. Esta es la distancia entre las superficiesk1 y k1 + dk1 en la region infinitesimal considerada. Entonces

dl1 = h1dk1,

donde h1 es, en general, una funcion de las coordenadas k1, k2, k3. Similarmente,

dl2 = h2dk2 y dl3 = h3dk3.

donde las coordenadas cartesianas h1, h2, h3 son unitarias.Los vectores unitarios k1, k2, k3, son normales, respectivamente, a las superficies k1, k2, k3 y estan

orientados en direccion de los valores crecientes de estas coordenadas. Las orientaciones de los tresvectores unitarios varıan, en general, con k1, k2, k3. Solo en coordenadas cartesianas estan los vectoresunitarios en direcciones fijas.

El elemento de volumen es

dv = dl1dl2dl3 = h1h2h3(dk1dk2dk3).

El operador∇2 implica la derivacion con respecto a mas de una variable. En consecuencia, la ecuacion dePoisson es una ecuacion en derivadas parciales que puede resolverse una vez que se conoce la dependenciafuncional de r(x, y, z) y las condiciones adecuadas en la frontera.

El operador ∇2, ası como ∇,∇· y ∇×, no hacen referencia a ningun sistema coordenado particular.Para resolver un problema determinado, debemos expresar ∇2 en funcion de x, y, z o de r, θ, φ, o dealgun otro sistema coordenado. La forma que toma ∇2Φ en diferentes sistemas de coordenadas se hallafacilmente tomando primero el gradiente de Φ y aplicando luego ∇·.

Ası, para coordenadas rectangulares tenemos

∇2Φ ≡ ∂Φ

∂x2+∂Φ

∂y2+∂Φ

∂z2.

Para coordenadas esfericas

∇2Φ ≡ 1

r2∂

∂r

(r2∂Φ

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Φ

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2Φ

∂φ2

donde r es la magnitud del radio vector desde el origen y θ es el angulo polar.Para coordenadas cilındricas

∇2Φ ≡ 1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂Φ

∂ρ

)+

1

ρ2∂2Φ

∂φ2+∂2Φ

∂z2

donde ρ es la distancia perpendicular al eje del cilindro y φ es el angulo acimutal con respecto a esteeje.

4

2 Solucion General de la ecuacion de Laplace en coordenadas cilındricaspolares

Figura 2: Coordenadas Cilındricas

En coordenadas cilındricas (ρ, φ, z), la ecuacion de Laplace toma la forma

∂2Φ

∂ρ2+

1

ρ

∂Φ

∂ρ+

1

ρ2∂2Φ

∂φ2+∂2Φ

∂z2= 0 (1)

Utilizando el metodo de separacion de variables, proponemos que el potencial Φ(ρ, φ, z), se puedeexpresar como el producto de tres funciones R(ρ), Q(φ), Z(z) de manera que al sustituir en la ecuacion(1), se obtiene

d2RQZ

dρ2+

1

ρ

dRQZ

dρ+

1

ρ2d2RQZ

dφ2+d2RQZ

dz2= 0,

lo que nos lleva a

QZd2R

dρ2+QZ

ρ

dR

dρ+RZ

ρ

d2Q

dφ2+RQ

d2Z

dz2= 0,

dividiendo por RQZ tenemos

1

R

d2R

dρ2+

1

Rρ

dR

dρ+

1

Qρ2d2Q

dφ2+

1

Z

d2Z

dz2= 0

pasando el ultimo termino (que es el unico dependiente de Z), tenemos

1

R

d2R

dρ2+

1

Rρ

dR

dρ+

1

Qρ2d2Q

dφ2= − 1

Z

d2Z

dz2

igualando ambos lados de la ecuacion a una constante −l2 conveniente pero arbitrariamente elegida2,tenemos

d2Z

dz2= l2Z

y1

R

d2R

dρ2+

1

Rρ

dR

dρ+

1

Qρ2d2Q

dφ2= −l2

2La eleccion del signo de la constante de separacion es arbitraria. Sin embargo, se elige un signo menos para lacoordenada axial z esperando una posible dependencia exponencial en z.

5

multiplicando esta segunda expresion por ρ2 y acomodando los terminos, tenemos

ρ2

R

d2R

dρ2+ρ

R

dR

dρ+ l2ρ2 = − 1

Q

d2Q

dφ2

de nuevo, igualando el termino de la derecha a una constante m2 arbitraria 3 tenemos

d2Q

dφ2= −m2Q.

Finalmente, para la dependencia de ρ obtenemos la ecuacion de Bessel

ρ2d2R

dρ2+ ρ

dR

dρ+R(l2ρ2 −m2) = 0.

Reescribiendo las tres ecuaciones diferenciales ordinarias obtenidas, tenemos

d2Z

dz2− l2Z = 0 (2)

d2Q

dφ2+m2Q = 0 (3)

d2R

dρ2+

1

ρ

dR

dρ+

(l2 − m2

ρ2

)R = 0 (4)

Las soluciones a las ecuaciones (2) y (3) son

Z(z) = e±lz

Q(φ) = e±imφ

donde m puede ser un entero y aunque l es arbitrario, asumiremos que es real y positivo.Las soluciones a la ecuacion de Bessel son las funciones de Bessel de orden m. Una amplia explicacion

de estas soluciones se puede encontrar en [Arfken-Weber, Cap. 11] o una mas concisa en [Jackson, pp.111–116]

3 Solucion General de la ecuacion de Laplace en coordenadas esfericaspolares

Como se menciono al final de la Seccion 1, la ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas se puedeescribir en la forma

∇2Φ ≡ 1

r2∂

∂r

(r2∂Φ

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Φ

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2Φ

∂φ2.

o lo que es lo mismo

1

r

∂2

∂r2(rΦ) +

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Φ

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2Φ

∂φ2= 0 (5)

3El signo positivo es elegido para la coordenada acimutal φ, esperando una dependencia periodica en φ.

6

Utilizando el metodo de separacion de variables, suponemos que el potencial Φ se puede expresar comoun producto de funciones de cada variable r, θ, φ de la forma

U(r)

rP (θ)Q(φ),

cuando sustituimos esta expresion en la ecuacion (5) resulta

PQd2U

dr2+

UQ

r2 sin θ

d

dθ

(sin θ

dP

dθ

)+

UP

r2 sin2 θ

d2Q

dφ2= 0

Dividiendo por UPQ y multiplicando por r2 sin2 θ, obtendremos

r2 sin2 θ

U

d2U

dr2+

sin θ

P

d

dθ

(sin θ

dP

dθ

)+

1

Q

d2Q

dφ2= 0

con lo que hemos conseguido aislar la dependencia de φ al ultimo termino que ademas, podemos igualara una constante llamada (por conveniencia) −m2, es decir:

1

Q

d2Q

dφ2= −m2

que tiene solucionesQ = e±imφ.

Para que Q sea univaluada, m debe ser un entero si todo el intervalo del angulo acimutal esta permitido.Procediendo de manera similar, encontramos ecuaciones separadas para P (θ) y U(r):

1

sin θ

d

dθ

(sin θ

dP

dθ

)+

[l(l + 1)− m2

sin2 θ

]P = 0

d2U

dr2− l(l + 1)

r2U = 0

donde l(l + 1) es otra constante real. De esta ultima ecuacion se encuentra que la solucion es:

U = Arl+1 +Br−1

pero l esta indeterminada.

4 Identidades de Green. Primera y segunda. Casos de las condi-ciones de frontera

Teorema de la Divergencia sea A(x, y, z) una funcion vectorial de posicion cualquiera cuya primerderivada es continua a traves de un volumen V y sobre la superficie frontera S. La superficie S esregular, pero arbitraria.4 Entonces, se puede mostrar que∫

SA · nda =

∫V∇Adv.

4Un elemento de arco regular es representado en forma parametrica por las ecuaciones x = x(t), y = y(t), z = z(t)tal que en el intervalo a ≤ t ≤ b, las funciones de t x, y, z son continuas, univaluadas y tienen derivadas contınuas detodos los ordenes como unicas restricciones. Una curva regular se construye con un numero finito de tales arcos unidospunta a punta pero sin que la curva se cruce a si misma. Por lo tanto, una curva regular no tiene puntos duplicados y esderivable por pedazos. Un elemento de superficie regular es una porcion de una superficie cuya proyeccion sobre un planoapropiadamente orientado es el interior de una curva cerrada regular. Por lo que no se intersecta a si mismo.

7

Teorema de Green Sea V una region cerrada del espacio limitada por una superficie regular S, ysean φ y ψ dos funciones escalares de posicion cuyas primera y segunda derivadas son continuas sobreV y sobre S. El teorema de divergencia aplicado al vector ψ∇φ da∫

V∇ · (ψ∇φ)dv =

∫S

(ψ∇φ) · nda.

Expandiendo la divergencia a

∇ · (ψ∇φ) = ∇ψ · ∇φ+∇ψ · ∇φ = ∇ψ · ∇φ+ ψ∇2φ,

y notando que

∇φ · n =∂φ

∂n,

donde ∂φ/∂n es la derivada en la direccion de la normal positiva, obtenemos la primera identidad deGreen: ∫

V∇ψ · ∇φdv +

∫Vψ∇2φdv =

∫Sψ∂φ

∂nda. (6)

Si en particular hacemosψ = φ y tomando a φ como una solucion de la ecuacion de Laplace, laprimera identidad de Green se reduce a∫

V(∇φ)2dv =

∫Zφ∂φ

∂nda.

Intercambiando ψ con φ, y aplicando el teorema de la divergencia al vector φ∇ψ, obtenemos∫V∇φ · ∇ψdv +

∫Vφ∇2ψdv =

∫Sφ∂ψ

∂nda. (7)

Ahora, restando (7) de (6), obtenemos una relacion entre la integral de volumen y la integral desuperficie de la forma ∫

V(ψ∇2φ− φ∇2ψ)dv =

∫S

(ψ∂φ

∂n− φ∂ψ

∂n

)da, (8)

conocida como la segunda identidad de Green.

Bibliografıa

[Arfken-Weber] Arfken, G.B. & Weber, H.J. Mathematical Methods for Physicists. 6a edicion. Elsevier.EUA, 2005.

[Jackson] Jackson, John David. Classical Electrodynamics. 3a edicion. John Wiley & Sons. EUA, 1999.

[Reitz-Milford] Reitz J.R., Milford F.J. y Christy R.W. Fundamentos de la Teorıa Electromagnetica.4a edicion. Adison-Wesley Iberoamericana.

[Alonso-Finn] Alonso M. y Finn E. Fısica volumen II: campos y ondas. Fondo Educativo Interameri-cano. EUA, 1970.

[Lorrain-Corson] Lorrain, P. & Corson, D.R. Electromagnetic Fields and Waves. 3a edicion. W.H.Freeman and Company. New York, EUA, 1988.

[Stratton] Stratton, Julius. Electromagnetic Theory.Wiley-Interscience, EUA, 2007.

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