1

Capitulo 1: TRIGONOMETRÍA

1.1. TRIGONOMETRIA PLANA

Se dice que a los antiguos egipcios se les planteó el siguiente problema:¿cómo medir, calcular o estimar la distancia de un barco a un puntodeterminado de la playa? Mandar un bote con una cuerda losuficientemente larga no parece ser una buena solución: ¿y si el barco esun barco de guerra enemigo que se apresta a atacar el puerto? Conocer ladistancia a que se encuentra podría tener como objetivo el poder lanzarlealgún objeto contundente.

Figura 1.1

Existen otros problemas similares, mas cotidianos: ¿cómo calcular o medirla altura de un árbol? Tal como antes, uno podría intentar subir hasta lapunta del árbol con una huincha lo suficientemente larga. Pero el métodotampoco parece muy bueno: aparte de lo trabajoso que es, hay el claropeligro de romper la última rama y precipitarse hasta el suelo.

2

Figura 1.2

Más interesante y difícil aún parece ser el problema de calcular la alturade un cerro, haciendo mediciones desde su base.

Figura 1.3

3

Una solución ingeniosa de todos estos problemas queda ya insinuada enlos dibujos que se han presentado: no es difícil en el terreno losmedirángulos indicados, medir la distancia que es accesible, hacer un dibujo aescala en un papel y medir con una regla la distancia a escala que sebusca. Solo se necesita multiplicar por el factor de escala para obtener ladistancia buscada.Esta solución tiene, al menos, tres desventajas: lentitud del procedimientoñ precisión precaria, sobretodo si las escalas a tomar son muyñ grandes: allí el simple grosor del trazado del lápiz con que se hace el dibujo influye en el resultado final dificultades manuales en realizar el dibujo en un papel.ñ

Por otro lado la solución obtenida dibujando a escala tiene una hipótesisoculta que es necesario esclarecer y discutir:

Figura 1.4

Si , entonces se supone que también con elTV œ 5T V TF œ 5T Fw w w w

mismo factor de escala . Esta hipótesis es correcta pues los triángulos5? ?TVF T V F y son semejantes ya que , por construcción, tienenw w w

todos sus ángulos iguales: ¡Teorema de Thales! Dividiendo las igualdadesanteriores resulta:

TF 5T F T FTV 5T V T Vœ œ

w w w w

w w w w

4

Es decir, las razones entre los lados del triángulo no dependen de laescala. Sólo dependerá de los ángulos y . Si llamamos:α "

3 α "Ð ß Ñ œ TFTV

entonces bastará con conocer el número 3 α "Ð ß Ñ para resolver nuestroproblema. En efecto, la longitud (buscada) será multiplicadaTF Ð ß Ñ3 α "por (medida) : .TV TF œ Ð ß ÑTV3 α "El problema se solucionaría si pudiéramos fabricar de esas razoneslistaspara una gama bastante amplia de ángulos y . Tales listas existen yα "se llaman Sin embargo, tales Tablas yaTablas Trigonométricas. pertenecen a la Historia: el desarrollo de las calculadoras de bolsilloproporcionan con un solo toque los números que se han estado buscandoen las Tablas. Cómo hacer estas listas es un problema cuya solución máscompleta exige un cierto desarrollo del Sincálculo infinitesimal. embargo, en principio se pueden hacer con un despliegue de muchapaciencia, midiendo con acuciosidad los ángulos y los trazos en cuestión.

1.2. DEFINICIONES BÁSICAS (para ángulos agudos)Históricamente surgen las siguientes razones, convencionales, definidaspara un triángulo rectángulo:

Figura 1.5

: es el seno del ángulo ñ =/8 œα α+,

es el coseno del ángulo ñ -9= œ Àα α-,

: es la tangente del ángulo ñ >1 œα α+-

5

Se definen también los inversos multiplicativos de las funcionesanteriores: : es la cosecante de ñ -9=/- œα α,

+

es la secante de ñ =/- œ Àα α,-

: es la cotangente de ñ -9>1 œα α-+

Las funciones coseno, cotangente y cosecante se denominan tambiéncofunciones de las funciones seno, tangente y secante respectivamente.

Es necesario destacar que estas definiciones, tal como han sido hechas,solo tienen sentido si el ángulo es agudo: en un triángulo rectángulo losαángulos, salvo el recto, deben ser agudos. Veremos más adelante la formade extenderlas a ángulos cualquiera.

EJEMPLOS

1. Si tomamos , entonces el ABC de la figura 1.5 es isóceles yα ?œ %&‰

por lo tanto . Luego y por lo+ œ - , œ + - œ #+ œ + #È È È# # #

tanto: ñ =/8 %& œ œ‰ + "

, #È ñ -9= %& œ œ œ‰ - + "

, , #È ñ >1 %& œ œ "‰ +

-

2. Si tomamos , entonces el ABC resulta ser la mitad de unα ?œ '!‰

triángulo equilátero:

Figura 1.6

De aqui se obtiene:

6

ñ =/8 '! œ œ -9= $!‰ ‰$

#

È ñ -9= '! œ œ =/8 $!‰ ‰"

#

ñ >1 '! œ $ œ -9> $!‰ ‰È ñ =/- '! œ # œ -9=/- $!‰ ‰

3. ¿Será una mera casualidad que las co-funciones de un ángulo seanprecisamente las funciones del ángulo complementario? Desde luego queno: basta hacer un dibujo para darse cuenta que el ángulo complementariose encuentra precisamente en el vertice opuesto y la afirmación resultadirectamente de las definiciones:

Figura 1.7

En efecto À =/8Ð*! Ñ œ œ -9= à -9=Ð*! Ñ œ œ =/8 àα α α α- +, ,

>1Ð*! Ñ œ œ -9>1 à =/-Ð*! Ñ œ œ -9=/- Þα α α α- ,+ +

TEOREMA 1

En un ABC (con ángulos agudos) vale:?1. , donde es el radio de la circunferencia+ , -

=/8 =/8 =/8α " #œ œ œ #< <

circunscrita. (Teorema de los senos)2. Teorema de los cosenos o Teorema general+ œ , - #,- -9= Ð# # # αde Pitágoras). Por simple cambio de nombre de lados y ángulos, valentambién : , œ - + #+- -9= à - œ + , #+, -9=# # # # # #" #

7

DEMOSTRACIÓN

Figura1.8

En ADC se tiene: ? α=/8 œ 2,-

En DBC se tiene: ? "=/8 œ 2+-

Luego , de donde . De modo2 œ , =/8 œ + =/8 œ-+ ,

=/8 =/8α " α "

totalmente análogo : . Por otro lado , llamando O al centro de, -=/8 =/8" #œ

la circunferencia circunscrita y prolongando la recta AO , se obtiene elpunto C' . Por el correspondiente Teorema de Thales, el ABC' es?rectángulo en el vértice B y el ángulo AC'B es nuevamente el mismo .t #Por lo tanto , es decir lo que completa la=/8 œ œ #< ß# - -

#< =/8 #

demostración del Teorema de los senos.En DBC se tiene: por el Teorema usual de Pitágoras? + œ 2 ;# # #

-

En ADC se tiene : . Por otro lado: , es decir:? α2 œ , : -9= œ-# # # :

,

: œ ,-9= ; œ - : œ - ,-9=α α y por lo tanto: . Reemplazando enla primera igualdad se obtiene finalmente:+ œ , , -9= Ð- , -9= Ñ œ# # # # #α αœ , , -9= - #,- -9= , -9= œ , - #,- -9=# # # # # # # #α α α α

Con este teorema podemos resolver los tres problemas que planteamos alprincipio:

8

El problema del barco: usando el Teorema de los senos en elñtriángulo ABC de la Figura 1.1 se tiene: , es decir:? EG EF

=/8 =/8Ð")! Ñ" α "œ

EG œ EF=/8=/8Ð")! Ñ

"α " . La distancia AB se encuentra en la playa y se

puede medir. De modo entonces que nuestra razón entre lados : 3 α "Ð ß Ñ

resultó ser =/8=/8Ð")! Ñ

"α "

El problema del árbol resulta más sencillo: en la Figura 1.2 elñlado AB del triángulo se puede medir , pues está sobre el suelo, entoncesla altura BC del árbol se calcula con la definición de la tangente:>1 œ FG œ EF >1α αFG

EF , es decir

El problema de la altura del cerro es un poco más complicada,ñpero igual es elemental: en el OO'B de la Figura 1.3 podemos aplicar el?

Teorema de los senos: Por otro lado, en el OAB,SF SS=/8 =/8Ð")! " α "œ Þ

w

) ?

que es rectángulo en A, se tiene: , por lo tanto, la altura 2SF œ =/8 2#

buscada se expresa: 2 œ SF=/8 œ SS# w =/8 =/8

=/8Ð")! Ñ" #

α "

donde la distancia es medible sobre la base del cerro.SSw

1.3. ALGUNAS EXTENSIONES

Nuestras consideraciones anteriores tienen una limitación muy molesta, nosolo teórica sino completamente práctica: debemos atenernos a ángulosagudos. En particular, los teoremas del seno y el coseno han sidodemostrados bajo esa restricción, sin la cual nuestras definiciones de lasfunciones trigonométricas no tienen sentido. ¿Que ocurre si nuestrostriángulos no son acutángulos? Para ver la necesidad de extender estasnociones a triángulos cualesquiera, supongamos que hay un faro en lo altode un acantilado y que se desea calcular la distancia de un barco quenavega a cierta distancia:

9

Figura 1.9

En el triángulo ABC podrá medirse la altura del faro AC pero tendrá?necesariamente un ángulo obtuso en ."

DEFINICIÓNConsideremos los ángulos dibujados en un sistema de referencia formadopor una recta fija y una semirecta que gira en torno al origen en un sentidou otro. La semirecta podrá girar arbitrariamente en sentido positivo(contrario a los punteros del reloj) o negativo (el sentido de los punterosdel reloj) lo que permite considerar ángulos mayores que 360 o ángulos9

negativos.

Figura 1.10

10

Si dibujamos el círculo unitario, es decir, el círculo de radio 1 centrado enel origen, entonces las semirecta cortará al círculo en un único punto decoordenadas . Se define entonces:ÐBß CÑ ñ =/8 œ C) ñ -9= œ B)Es claro que, si el ángulo es agudo y positivo: , entonces) )! Ÿ Ÿ *!9

las nuevas definiciones coinciden con las antiguas, es decir, estas nuevasdefiniciones las nociones de seno y coseno a ángulosextiendencualesquiera.Las demás funciones trigonométricas se definen:

>1 œ à -9> œ à =/- œ à -9=/- œ) ) )=/8 " " "-9= >1 -9= =/8

)) ) ) )

A estas alturas es conveniente introducir otra medida de los ángulos: larazón entre la longitud del arco medido sobre la circunferencia y su radio,en sentido positivo o negativo. Como la longitud de la circunferenciacompleta es entonces 360 corresponderá a en la nueva# < ß œ #1 19 # <

<1

unidad. Esta unidad se llama , de modo que, por ejemplo, el ánguloradiánrecto tendrá una medida de radianes. Una de las ventajas de esta forma1

#

de medir los ángulos es que ella es , no depende de lasa-dimensionalunidades de medida, puesto que se obtiene por una razón entre longitudes.Resulta muy sencillo demostrar que los teoremas del seno y el coseno sepueden extender a triángulos cualquiera. Lo dejaremos como ejercicio.

Finalmente indiquemos que muchas veces surge la necesidad deconocer aquellos ángulos es un cierto número conocido. Escuyo seno claro que habrá, en general, una infinidad de tales ángulos puesto que, conla extensión que hemos introducido, nuestras funciones trigonométricastienen caracter , es decir, repiten sus valores cuando el ángulo seperiódicodesplaza en una cantidad apropiada. Se denomina de un númeroarco-senoB BÞ a aquellos ángulos cuyo seno es Generalmente se buscan ángulosagudos o, al menos, entre 0 y 180 grados. En las calculadoras de bolsilloes éste tipo de ángulos el que aparece como arco-seno , denotado también=38 B" . Lo mismo puede decirse de los ángulos cuyo coseno es ,denominados y , análogamente, de .arco-coseno x arco-tangente ./ BMás adelante discutiremos estos conceptos con mayor detalle.

Una posibilidad de construir una tabla trigonométrica, sería podercalcular senos y cosenos de ángulos pequeños y poder establecer las

11

funciones trigonométricas de sus sumas. El siguiente teorema permitellevar a cabo este método.

TEOREMA 2

Sean y ángulos cualesquiera. Entonces:α " (a) -9=Ð Ñ œ -9= -9= =/8 =/8α " α " α " Ð,Ñ =/8Ð Ñ œ =/8 -9= -9= =/8α " α " α "

Ð-Ñ >1Ð Ñ œα " >1 >1">1 >1α "α "

DEMOSTRACIÓN.

Haremos la demostración para ángulos agudos por mayor claridad deldibujo. Se invita al lector a extender esta demostración para cualquier tipode ángulos.

Figura 1.11

Los triángulos BOP y AOD son claramente congruentes, pues ambos? ?contienen el ángulo en su vértice O. Por lo tanto las longitudes deα "las cuerdas BP y AD son iguales. Para calcular estas longitudes entérminos de las coordenadas de los puntos respectivos, usamos el teorermade Pitágoras (restringido):

12

Figura 1.12

La distancia PQ será : ÈÐB ?Ñ ÐC @Ñ Þ# #

En nuestro caso las coordenadas del punto B sonÐ-9=Ð Ñ ß =/8Ð ÑÑα " α " , mientras que las del punto A son y las de D : Ð-9= ß =/8 Ñ Ð-9=Ð Ñß =/8Ð ÑÑ œ Ð-9= ß =/8 Ñα α " " " " Finalmente las coordenadas de P son simplemente 1,0). Aplicando laÐfórmula anterior a la igualdad , resulta:FT œ EHÈÒÐ-9=Ð Ñ "Ó =/8 Ð Ñ œα " α "# #

œ ÈÐ-9= -9= Ñ Ð=/8 =/8 Ñα " α "# #

de donde, elevando al cuadrado y utilizando la identidad básica=/8 -9= œ "# #) ) (ver problemas 1.4) se obtiene:

# #-9=Ð Ñ œ # #-9= -9= #=/8 =/8α " α " α " de donde se sigue directamente la fórmula (a)Para demostrar (b) se puede usar la identidad : =/8 œ -9=Ð Ñ) )1

#

y aplicar la fórmula ya demostrada.Finalmente para demostrar la fórmula (c) basta poner:

>1Ð Ñ œ œα " =/8Ð Ñ-9=Ð Ñ -9= -9= =/8 =/8

=/8 -9= -9= =/8α "α " α " α "

α " α "

y dividir el numerador y el denominador por el factor -9= -9=α "

COROLARIOS:1. =/8 # œ #=/8 -9=α α α#Þ -9=# œ # -9= " œ " #=/8α α α# #

$Þ =/8 œ „α α α# # #

"-9=É (signo según cuadrante en que está )

4. (signo según cuadrante en que está )-9= œ „α α α# # #

"-9=É

13

Para demostrar estos corolarios basta aplicar el teorema anterior conα "œ y proceder de modo inverso para las fórmulas del ángulo medio.

Con estos resultados podemos, en principio, calcular las funcionestrigonométricas para, prácticamente , cualquier ángulo. En efecto, puestoque, por ejemplo, y entonces:=/8 $! œ -9= $! œ ß9 9"

# #$È

ñ =/8 "& œ œ9 "-9= $!# #

"É Ê9$

#

È

ñ -9= "& œ œ9 "-9= $!# #

"É Ê9$

#

È

ñ =/8 (ß & œ œ9 "-9= "&# #

"É Ë9"

$#

#Ê È

ñ -9= (ß & œ œ9 "-9= "&# #

"É Ë9"

$#

#Ê È

De este modo, con suficiente paciencia, podemos calcular senos y cosenosde ángulos tan pequeños como sea necesario. Enseguida podemossumarlos apropiadamente y obtener así las funciones trigonométricas quenecesitamos.No podemos ocultar el hecho de que existen otros métodos más prácticos,pero esos métodos requieren cálculo infinitesimal. En ese sentido, esinteresante hacerse la pregunta: ¿cómo calculan estas funcionestrigonométricas las calculadoras electrónicas? ¿ qué precisión puedenasegurar?

1.4. PROBLEMAS

1. Demuestre los teoremas del seno y del coseno para triánguloscualquiera. Para esto demuestre previamente que, si es un ánguloαobtuso, entonces À

=/8Ð Ñ œ =/8 à -9= Ð Ñ œ -9=1 α α 1 α α

2. Sea un ángulo cualquiera. Demuestre:) ñ =/8 -9= œ "# #) ) ñ =/8Ð Ñ œ -9=) )1

#

ñ -9=Ð Ñ œ =/8) )1#

(el seno es una función )ñ =/8Ð Ñ œ =/8) ) impar

14

(el coseno es una función )ñ -9=Ð Ñ œ -9=) ) par ñ =/8Ð # Ñ œ =/8) 1 ) (seno y coseno son funciones )ñ -9=Ð # Ñ œ -9=) 1 ) periódicas

3 Calcule al área de un triángulo en términos de sus lados y ángulos

4. Sobre una colina hay una torre : ¿cómo calcularía Ud. su alturaobservándola desde el valle?

5. Desde la cúspide de un faro de altura situado sobre un acantilado se2mide el ángulo que forma la visual hacia el barco respecto de laαvertical y desde la base se mide el ángulo que forma la visual hacia el"barco respecto de la vertical.(Ver Figura 1.9) ¿A qué distancia seencuentra el barco? Haga el cálculo para el caso: 2 œ (Þ)Ò7Ó ß œ )(Þ*α 9

ß œ *"Þ(" 9

6. Desde un helicóptero que pasa justo al medio de dos iglesias separadaspor una distancia que el piloto conoce, se mide el ángulo que subtienden.las iglesias. Calcule la altura a que vuela el helicóptero. Una vez obtenidauna buena fórmula, póngale estos números: α œ &' ß . œ #&!Ò7Ó9

7. ¿Qué ocurre en el problema anterior si el helicóptero no pasa justo almedio de las iglesias? ¿Debe hacer nuevas mediciones?. Discuta lasituación según diversos casos.

8. Una escala de 3[m] de largo está apoyada sobre la pared de unedificio. Si su base está a 1.3[m] del edificio ¿qué ángulo forma la escaleracon el piso? ¿Qué ocurre si el edificio es la torre de Pisa?

9. Justo frente a la ventana de mi departamento, al otro lado de la calle, seeleva un edificio nuevo en construcción. Por razones personales deseocalcular su altura: mido desde mi ventana el ángulo que forma la visualhacia la punta del edificio con la horizontal : 3 Después bajo hasta la9Þpuerta de calle de mi departamento y hago la misma medición: 5 . Como9

estos datos no son suficientes, mido con una lienza la altura a que seencuentra mi ventana: son 8 metros. ¿Qué altura tenía el edificio? ¿a quedistancia del mío se encontraba?

15

10. Se entiende por un triángulo, el obtener fórmulas explícitas oresolver valores numéricos de los distintos elementos de un triángulo, en funciónde otros elementos dados: resolver un ABC dados:? un lado y dos ángulosñ dos lados y el ángulo comprendido entre ellosñ dos lados y el ángulo opuesto al mayorñ los tres ladosñ

11. La paralaje de la estrella (la más cercana conocida)proxima centauriies de 0,765 segundos de arco. Si la distancia de la Tierra al sol es de,aproximadamente, 150 millones de kilómetros, ¿cuál será la distancia deesta estrella a nuestro sistema solar? Calcúlela también en años-luz,suponiendo que la luz viaja a 300.000 kilómetros por segundo.

12. La torre de Pisa tiene una inclinación aproximada de 8 respecto a la9

vertical. Calcular la altura de la torre, si un observador que se encuentra a29 metros de distancia vé la cúspide con un ángulo de elevación de 38.59Þ¿Le faltan datos? ¿Cuáles?

13. El palo central de una tienda de campaña de forma de un cono circulartiene una altura de 6 metros y su parte superior está sostenida por cuerdade 12 metros de largo amarradas a estacas clavadas en la tierra. ¿A quédistancia están las estacas del pié del mástil? ¿Cuál es la inclinación de loscables con la tierra?

14. El terreno ocupado por un granero es de 2 m] por 1 [m] y la( $inclinación de las alas del techo es de 35 Hallar la longitud de las vigas9Þy el área del techo completo, siendo la proyección horizontal de la cornisade 45[cm]

15. Desde lo alto de una roca de 150 pies de altura los ángulos dedepresión de dos botes situados al sur del observador son de 15 y 759 9ÞDeterminar la distancia que hay entre ellos.

16. Dos vias férreas se cortan en un ángulo de 26 . Del punto de9 w"'intersección parten dos trenes simultáneamente, una por cada vía. Unaviaja a 20 millas por hora. ¿ A qué velocidad debe viajar la otra para queal cabo de tres horas la distancia entre ellas sea de 30 millas? Discuta elrealismo de este problema.

16

17. Obtenga una fórmula explícita y exacta para el seno de un ángulomenor que un grado sexagesimal, usando la fórmula del ángulo mediopara el ángulo de 459

18. Demuestre las identidades (indicando el conjunto de excepciones): ñ " >1 B œ =/- B# #

ñ Ð-9= B "ÑÐ-9> B "Ñ " œ !# #

1ñ -9= Ð Ñ -9= Ð Ñ -9= # -9= # œ# #α " α " α " ñ -9= $B œ % -9= B $-9= B$

ñ œ"=/8 #-9= # ">1

">1αα α

α

1.5 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS COMO FUNCIONES DE VARIABLE REAL

¿Qué significa un ángulo? A nuestro entender significa podermedirasociarle unívocamente un número real. Con nuestro sistema de asociar acada ángulo, positivo o negativo, la longitud del arco de un círculo deradio unitario que recorre la semirecta que define el ángulo, tenemos unbuen método para medir ángulos. La unidad de medida será en este caso elradián. Si cambiamos de unidad de medida, el número real asociado seráotro. Recíprocamente, para cada número real nos gustaría poder definirun ángulo con esa medida. Aquí tropezamos con una dificultadmatemática no trivial: poder en buena forma la de unadefinir longitudcurva en el plano y poder dicha longitud. ¿Es que cualquier curvacalcular plana tiene longitud? ¿Cuáles curvas tienen longitud y cuales no?En nuestro caso la cosa no es tan complicada: solo tenemos que podercalcular la longitud de un arco de circunferencia, cuya existencia damospor sentada. Aceptando esto, podemos asociar a cada número real,positivo o negativo, un ángulo (positivo si se mide la longitud del arcorecorrido en el sentido contrario a los punteros del reloj, y negativocuando se recorre el arco al revés). Pero a cada ángulo podemos asociarlas funciones trigonométricas, de modo que, combinando ambosprocedimientos, podemos definir las funciones trigonométricas comofunciones reales de variable real:

17

Figura 1.13

Sea un número real, si llamamos al ángulo asociado medido enB ÐBÑ)radianes, entonces podemos definir las funciones reales:

=/8ÐBÑ œ =/8Ð ÐBÑÑà -9=ÐBÑ œ -9=Ð ÐBÑÑ à >1ÐBÑ œ >1Ð ÐBÑß />-Þ) ) )

Podemos bosquejar sus gráficas:

Figura 1.14

Se observa que todas estas funciones son periódicas, es decir, repiten susmismos valores cada cierta distancia fija. En general, una función real0 À !‘Ò‘ 3 se llama si existe un número tal queperiódica 0ÐB Ñ œ 0ÐBÑß aB − Þ3 ‘ 3 El número positivo que realiza estamenor igualdad se llama .período

18

Figura 1.15

Por se entiende la de la diferencia entre el mayor y elamplitud mitad menor valor posible. Por se entiende el desplazamientodiferencia de fasea izquierda o derecha respecto a una posición considerada de referencia("fase cero"). Veamos esto mediante algunos ejemplos:

EJEMPLOS

1. período0ÐBÑ œ =/8B À œ #1 amplitud œ " diferencia de fase œ !

#Þ 0ÐBÑ œ $-9=ÐB Ñ œ #1% : período 1

amplitud œ $ diferencia de fase œ 1

%

( se ha desplazado hacia la izquierda respecto a la fase cero)B 1%

3. período0ÐBÑ œ #=/8Ð$B "Ñ À œ #$1

amplitud œ # diferencia de fase œ "

$

Notar que, para obtener la diferencia de fase en este caso se ha planteadola ecuación: : o sea, se ha desplazado a la derecha$B " œ ! B œ B" "

$ $

respecto a la fase cero.

19

Figura 1.16

Todas las funciones anteriores suelen recibir el nombre de , essinusoidesdecir, parecidas al seno.

Consideremos ahora la función seno restringida al intervalo :Ò ß Ó1 1# #

se observa que esta función es biyectiva y por lo tanto posee una inversa,llamada : En la Figura 1.17arco-seno +<-=/8 À Ò "ß "Ó Ò ß ÓÞÒ 1 1

# #

(a) y (b) presentamos las gráficas de estas funciones:

-1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2

0.20.40.60.81.01.21.4

x

y

(a) gráfica de seno (b) gráfica de arcoseno

Figura 1.17

Se pueden definir otras del arco-seno, tomando otra serie de valoresramasde que produzcan el mismo seno: basta agregar una constante de laBforma . Se puede definir, para cada número real el :#5 B1 conjunto

E<-=/8ÐBÑ œ Ö − À =/8 œ B×) ‘ )Aquí estamos denotando al conjunto con la inicial mayúscula, mientrasque la rama en la denotamos con minúscula. Es claro que elÒ ß Ó1 1

# #

conjunto será vacío, si E<-=/8ÐBÑ B Â Ò "ß "Ó

20

De forma análoga podemos proceder con las demás funcionestrigonométricas Para el arco-coseno se acostumbra a usar la rama que estáÞen En la Figura 1.18 mostramos el coseno y el arccos:Ò!ß ÓÞ1

Figura 1.18

En la Figura1.19 mostramos la gráfica de la tangente y una rama de lafunción arco-tangente:

-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

x

y

(a) Gráfica de tangente (b) Gráfica de arco-tangente

Figura 1.19

Resulta interesante resolver es decirecuaciones trigonométricas,ecuaciones donde intervienen funciones trigonométricas. Como estasfunciones son periódicas, habrá generalmente infinitas soluciones y el

21

problema consistirá en describir apropiadamente todas ellas. Veámoslo enunos ejemplos:

EJEMPLOS1. Resolver la ecuación:

$=/8B œ " #=/8BDespejando resulta: luego:=/8B =/8B œ "ß

B œ #5 ß 5 −1# 1 ™

Figura 1.20

2. Resolver la ecuación:$=/8B œ " =/8B

de donde por lo tanto:=/8B œ ß"#

B œ #5 ß 5 −

#5 ß 5 −œ 1

1'&'

1 ™

1 ™

22

Figura 1.21

3. Resolver la ecuación:l#=/8B "l l=/8B "l œ !

Aquí debe observarse que ambos sumandos son positivos y por lo tanto laúnica manera que su suma sea 0 es que ambos sean 0. En ese caso setendría: y a la vez lo que es imposible. Luego=/8B œ =/8B œ ""

#

esta ecuación no tiene soluciones.

4. Resolver la ecuación:l#=/8 B "l l=/8B "l œ "

Esta ecuación es muy parecida a la anterior, pero tiene, sin embargo,muchas soluciones. En efecto, primero hay que observar que el término=/8B " es siempre negativo, por lo que la ecuación se simplifica yqueda:

l#=/8 B "l =/8B œ !Para eliminar el valor absoluto, es necesario buscar las soluciones en dosámbitos diferentes:Ð3Ñ #=/8B "   ! ß =/8B   , es decir si , entonces la ecuación es:"

#

#=/8B " =/8B œ ! luego , que pertenece al ámbito de busqueda y por lo tanto=/8B œ "

B œ #51# 1

es una familia infinita de soluciones.Ð33Ñ #=/8B " ! =/8B , es decir si , entonces la ecuación es:"

#

#=/8B " =/8B œ !

23

luego que pertenece al nuevo ámbito de búsqueda y por lo=/8B œ ß"$

tanto tendremos dos familias infinitas de soluciones:

B œ!Þ$% #5#Þ)! #5œ 1

1

5. Resolver la ecuación: (1)+<--9=B +<-=/8 œ +<--9=B $È

donde se han tomado las ramas standard de arcoseno y arcocoseno.Llamemos : Por lo tanto:α " αœ +<--9=B ß œ +<-=/8BÞ -9= œ B à=/8 œ BÞ" Si aplicamos la función coseno a la igualdad (1) obtenemos:

-9=Ð Ñ œ -9= -9= =/8 =/8 œ B $α " α " α " ÈLuego:

B-9= B=/8 œ B $ Ð#Ñ" α ÈPero, por la elección de la rama de arcoseno, se tiene: Ÿ +<-=/8B œ Ÿ ß -9=   !1 1

# #" "luego: y por lo tanto:-9= œ " =/8 œ " B" "È È# #

De modo análogo, la rama elegida para arcocoseno nos dá:! Ÿ +<--9=B œ Ÿ ß =/8   !α 1 αluego : y por lo tanto:

=/8 œ " -9= œ " Bα αÈ È# #

Sustituyendo estos valores en la ecuación (2), obtenemos:B " B B " B œ #B " B œ B $È È È È# # #

por lo que las soluciones son: B œ ! à B œ à B œ " "# #

Resulta interesante comprobar que estos tres valores son, efectivamentesoluciones de la ecuación (1): Luego, la ecuación (1)ñ B œ ! À +<--9= ! œ à +<-=/8 ! œ !Þ1

#

se cumple ñ B œ À +<--9= œ à +<-=/8 œ à +<--9= œ" " "

# # $ # ' # '$1 1 1È

segun la elección de las ramas. Por lo tanto la ecuación se cumple. ñ B œ À +<--9=Ð Ñ œ à +<-=/8Ð Ñ œ à" " # "

# # $ # '1 1

+<--9=Ð Ñ œ ßÈ$# $

&1 según la elección de las ramas. Por lo quetambién en este caso la ecuación (1) se cumple.No está demás notar que también , pero no pertenece a=/8 œ ( " (

' # '1 1

la rama standard del arcosen.

6. Resolver la ecuación:+<->1 B œ +<--9> B

En la Figura 1.22 se han dibujado dos ramas de arcotangente y dearcocotangente:

24

Figura 1.22

Las ramas (1) corresponden a las ramas standard de estas funciones,mientras que las (2) son ramas desplazadas en un período hacia arriba y1hacia abajo.Llamando: entonces y aplicando la función" "œ +<--9>Bß >1 œ "

-9>"

tangente a la igualdad anterior, la ecuación queda:

B œ "B

cuyas soluciones son: . Pero si observamos las ramasB œ " à B œ "standard (1), éstas no se cortan en , por lo tanto la única soluciónB œ "en este caso es: Para obtener como solución habría que usarB œ "Þ "ramas diferentes, por ejemplo la (1) de arcotangente con la (2) dearcocotangente (en cuyo caso no es solución).B œ "

De un modo análogo se pueden plantear trigonométricas, esinecuaciones decir, problemas de búsqueda de números reales que satisfacen algunarelación de desigualdad y que contiene funciones trigonométricas.

EJEMPLOS

1. Resolver la inecuación:=/8B   "

#

25

Utilizando un gráfico, se puede ver que el conjunto solución en elintervalo es: Ò!ß # Ó Ò ß Ó1 1 1

' '&

Figura 1.23

2. Resolver la inecuación:=/8B -9= B "

Una forma poco inteligente de abordar este problema es hacer unaelaboración algebraica del tipo:=/8B " =/8 B "ßÈ # luegoÈ" =/8 B " =/8B# , elevando al cuadrado" =/8 B " #=/8B =/8 B ß# # y simplificando y factorizando

=/8BÐ=/8B "Ñ ! =/8B " y como es siempre negativo, seconcluye=/8B !ß À B # por lo tanto mas las traslaciones debido al1 1período. Pero este resultado se obtiene directamente de la inecuación:

=/8B " -9= Bpuesto que es positivo. Del mismo modo , despejando el" -9= Bcoseno:

-9= B " =/8Blo que se cumple si , es decir, si mas el período.-9= B ! B 1 1

# #$

Luego, la inecuación se cumple en todo el intervalo más lasÓ ß # Ò1# 1

traslaciones debido al período. La pregunta ahora es si acaso estas son lasúnicas soluciones. Para esto hay que investigar que ocurre en el intervaloÒ!ß Ó Þ =/8 B -9= B1

# Pero en ese intervalo y son los lados del triángulorectángulo de hipotenusa de largo 1. Por lo tanto en=/8B -9= B "ese intervalo. Por lo tanto la solución final es:

26

W œ ÖB #5 À B ß 5 − ×1 ™1 1# #

$

De modo análogo se pueden plantear de ecuaciones , sistemas desistemasinecuaciones y sistemas mixtos, es decir, de ecuaciones e inecuaciones. Enel caso de los sistemas el problema consiste en encontrar aquellosnúmeros que satisfacen las condiciones propuestas. Veamostodasejemplos:

EJEMPLOS

1.- Resolver el sistema mixto:

l" #-9= Bl œ "l B "l Ÿ #

La segunda condición, de desigualdad, es fácil de resolver: si entonces la desigualdad es , es decir, ñ B   "ß B " Ÿ # B Ÿ $ si , entonces la desigualdad es o sea:ñ B " B " Ÿ #ß . Por lo tanto la condición de desigualdad es:B   "

" Ÿ B Ÿ $Para resolver la primera condición, de igualdad, es necesario buscar endos ámbitos diferentes:Ð3Ñ " -9= #B   ! -9= B   En , es decir, donde . Aquí la"

#

ecuación es:" #-9= B œ " -9= B œ !, luego que está en el ámbito de búsqueda, por

lo tanto B œ #5

#5œ 1

1#$#

1

1

Pero debe estar entre 1 y 3 , por lo tanto la única solución en esteB ámbito es 1#Ð33Ñ " -9= #B ! ß -9= B En es decir, donde . Aquí la1

#

ecuación es: " # -9= B œ " -9= B œ ", luego que está en el ámbito debúsqueda , por lo tanto B œ #51 1Pero debe estar entre 1 y 3 , por lo tanto no hay solución en esteB ámbito. Luego, el conjunto-solución del sistema es:

W œ Ö ×1#

27

2.- Resolver el sistema mixto:+<->1 œ +<->1B"B "

"B #

lB "l Ÿ "

donde se considera la rama standard de arcotangente.En primer lugar resolveremos la desigualdad, para saber dónde debemosbuscar las soluciones del sistema À

! Ÿ B Ÿ #Llamando , y aplicando la función tangente a ambos lados" œ +<->1 "B

"B

de la igualdad, obtenemos:>1Ð# Ñ œ B œ œ œ" #>1

">1 %B

#Ð Ñ

"Ð Ñ

#Ð"B Ñ""#

"B"B"B"B

#

#

de donde . Pero debe estar en el intervalo [0,2], luego la únicaB œ „ B"

$Èsolución es: ."

$È1.6 PROBLEMAS

1 . Determinar período, amplitud y diferencia de fase de las siguientessinusoides y dibujar sus gráficas: ñ 0ÐBÑ œ #=/8Ð#B Ñ1$ ñ 0ÐBÑ œ #-9=Ð$B Ñ "1

#

ñ 0ÐBÑ œ $ -9=ÐB Ñ1%

2. Escribir la ecuación de una sinusoide con las siguientes características:

período amplitud dif. de faseñ œ à œ " à œ 1 1# #

período amplitud dif. de faseñ œ à œ à œ1 1"#

3. Encuentre : +<--9=Ð=/8ÐBÑÑ

%Þ + ¿Para qué valores de es válida la igualdad siguente?

+<-=/8 + œ +<--9=Ð " + ÑÈ #

28

5. Resolver las siguientes ecuaciones:

Ð+Ñ #-9= $-9= œ ##) ) Ð,Ñ =/- B -9= B œ =/8B Ð-Ñ =/8Ð Ñ œ " -9=BB

#

Ð.Ñ +<-=/8B œ +<->1 B Ð/Ñ >1 B $=/-B $ œ !#

Ð0Ñ +<- =/8B +<- =/8 #B œ ! Ð1Ñ +<- =/8B +<--9= B œ 1

#

Ð2Ñ +<->1B œ #+<--9=Ð BÑ"#

6. Resolver el sistema:=/8B=/8C œ "

% ¹-9=B-9=C œ $

% ¹7. Resuelva la ecuación:

-9=#B =/8B œ "

¿Cuántas soluciones hay en ? ¿Cuántas soluciones hay enÒ # ß # Ó1 1Ò!ß # Ó1 ? Ubíquelas en un gráfico.

8. Resolver la ecuación:

È" -9= B =/8 Ð' BÑ œ !# 1

*. Resuelva :#-9= #B >1B œ #

Indique en un gráfico aquellas soluciones que están en Ò ß Ó1 1

"!. Resolver las inecuaciones: Ð+Ñ =/8 #B -9= 1

$

Ð,Ñ $ =/8B -9= B   "È

29

""Þ Resolver el sistema mixto (ecuaciones con inecuaciones)

-9= #B =/8B œ " ¹B 'B & Ÿ !# ¹

1#. Resolver:#=/8B &-9= B ! Ó ß Ò en 1 1

# #

1$. Resolver el sistema de inecuaciones:

>1 B -9> B >1 1%

¸#B 'B #! Ÿ !# ¹

"%. Resolver:

È%=/8 B " " #=/8B#

lB $l Ÿ ! ¹1&. Resolver el sistema mixto:

-9=/- B -9> B œ $È" B Ÿ 6¹

"'Þ Resolver las ecuaciones:

ñ l" #=/8Bl œ =/8B |ñ " $-9= Bl œ -9= B

30

"(ЇÑÞ :Resolver la inecuación con parámetro real :

È=/8 B :   " -9= B#

(Aquí debe usted clasificar las posibles soluciones según el valor delparámetro . Distinga en particular los casos y ): : œ ! : œ "

#

1.7 . TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

Se cuenta que, a finales de los años 70, la Gobernación Marítima deValparaíso contrató a dos jóvenes ingenieros para calcular las rutas deacercamiento de los barcos que se dirigían a puerto desde lejanas latitudes.En aquella época recién se estaban difundiendo las computadoraspersonales y su uso se estaba convirtiendo en una moda muy extendidaentre los jóvenes profesionales. Haciendo uso de ellas, nuestros ingenieroscomenzaron su tarea con gran entusiasmo. Sin embargo aparecieronerrores reiterados que hacían perder tiempo ( y dinero) a las compañíasnavieras. Pensando que eran errores de redondeo en los cálculos,introdujeron en los programas computacionales. Pero losdoble precisiónerrores persistían. Hasta que un viejo ingeniero naval se percató quenuestros jóvenes profesionales habían programado los cálculos usandoTrigonometría Plana, la única que habían aprendido en la Universidad.Pero la Tierra no es plana y si los barcos estaban bastante lejos, laredondez de la Tierra había que tomarla en cuenta. Si bien la Tierra no es exactamente una esfera, se acerca bastante a esaforma: ¿pero hay versiones de los teoremas del seno y el coseno cuandolos lados del triángulo ya no son rectas sino arcos de círculo? ¿Quérelaciones se pueden establecer entre los elementos de un triángulo cuyoslados son arcos de círculo máximo de una esfera?Hay dos problemas básicos en la navegación: uno es el de determinar ladirección en que se debe navegar para llegar al punto deseado. Este es elProblema del Rumbo. El otro es el problema inverso: partiendo de ciertopunto conocido y con un rumbo dado, después de recorrer una ciertadistancia, ¿ cuál es la ubicación del barco? Este es el llamado Problema deColón. Para resolver estos problemas se necesita un sistema decoordenadas sobre la esfera terrestre ( y , por supuesto, considerar laTierra como una esfera). Además, se necesita desarrollar una versión de laTrigonometría sobre la esfera: la Trigonometría Esférica.

31

Entenderemos por ABC a la figura sobre la superficieo

triángulo esférico ?de una esfera formada por tres puntos A, B, C sobre ella , llamadosvértices, y los tres arcos de círculo máximo que unen dichos vértices.

Figura 1.24

Se van a entender como del triángulo esférico ABC loso

lados +ß , ß - ?ángulos que subtienden los arcos respecto del centro de la esfera. Losángulos , y en los vértices respectivos A, B, C son los α " # ángulosdiedros formados por los planos que pasan por el centro y los vértices

respectivos. Por ejemplo, será el ángulo diedro formado por los planosαOAC y OBC en la Figura 1.17. Recordemos que el ángulo diedro entredos planos se obtiene trazando perpendiculares a la intersección de los

planos:

Figura 1.25

32

Nótese que en un triángulo esférico la suma de los ángulos α " # puede ser mayor que 180 . Por ejemplo en el triángulo esta9 trirectángulosuma es de 2709

Figura1.26

Dados dos puntos A, B cualquiera sobre la esfera, el arco AB se entenderácomo el arco menor o igual a 180 . Todo arco posee dos que son9 poloslos puntos sobre la esfera que intersecta la recta perpendicular al plano

OAB.

Figura 1.27Si C es el tercer vértice del triángulo esférico ABC , entonces podemos

o?

elegir como polo del arco AB aquél que está en el mismo hemisferio queel vértice C. Llamaremos a este polo C' . Lo mismo podemos hacer con los

33

otros dos arcos del triángulo esférico: A' será el polo del arco BC que estáen el mismo hemisferio que A y B' el polo del arco AC que está en elmismo hemisferio que B. De este modo hemos definido un nuevotriángulo esférico: A'B'C' que llamaremos de ABC.

o o? ?triángulo polar

Es útil notar que cualquier arco que vaya desde el polo al planoTdeterminado por el arco AB medirá 90 , es decir radianes.9

#1

Los teoremas básicos de la Trigonometría Esférica hacen uso del triángulopolar y sus propiedades.Demostraremos previamente estas propiedades en forma de Lema:

LEMA Sea A'B'C' el triángulo polar de ABC . Entonces:

o o? ?

Ð+Ñ + œ à , œ à - œ ß + ß , -w w w w w w1 α 1 " 1 # donde y son loslados ángulos del triángulo polar, mientras que , y son los delα " #

triángulo ABCo?

Ð,Ñ El triángulo ABC es el triángulo polar de A'B'C'o o? ?

DEMOSTRACIÓN

Consideremos el arco AC y su polo asociado B' y además el arco AB consu polo C'. Luego, por definición el arco B'A es recto y del mismo modoßel arco C'A también mide Por lo tanto, el vértice A es polo del arco1

# Þ

C . De modo análogo, B será el polo del arco A y C el polo dew w w wF G

E Þ EFGw wB Esto demuestra que el triángulo es el triángulo polar de suo?

triángulo polar.

34

Figura 1.28

El arco C se intersecta con el arco AC en el punto E y con el arcow wFAB en el punto D. Como B es polo del arco AC, el arco B E midew w

también , lo mismo que el arco puesto que es polo del arco A .1#

w wG H G F

Observando el arco se tiene:G IHFw w

α 1 + œ IH G F œ G H F I œ œw w w w w# #1 1

de donde : .+ œ w 1 α Si se teme que esta deducción depende de la distribución de los puntosHE F I H Iw w sobre el arco, sería necesario ver que ocurre si los puntos y se encuentran en otros lugares:

Supongamos que la secuencia es : también se cumple:ñ IG HFw w

IH G F œ G H F Iw w w w

Si la secuencia es, finalmente nuevamente se tiene:ñ IG F H ßw w

IH G F œ G H F Iw w w w

Notar que en todos los casos se está sumando dos veces el arco interior.

Las otras dos relaciones se demuestran solo por cambio de nombre de loselementos.

35

TEOREMA 3 Sea un triángulo esférico. Entonces:?9EFG

1. (Ley de los senos)=/8 + =/8 , =/8 -=/8 =/8 =/8α " #œ œ

2. -9= + œ -9= , -9= - =/8 , =/8 - -9=α -9= , œ -9= - -9= + =/8 - =/8 + -9= " -9= - œ -9= + -9= , =/8 + =/8, -9= # (Ley de los cosenos para los lados)

3. -9= œ -9= -9= =/8 =/8 -9= +α " # " # -9= œ -9= -9= =/8 =/8 -9= ," # α # α -9= œ -9= -9= =/8 =/8 -9= -# α " α " (Ley de los cosenos para los ángulos diedros)

DEMOSTRACIÓN

Consideremos primero el caso particular de un triángulo esféricorectángulo en C, es decir, # œ *! Þ9

Figura 1.2*

Tracemos por B un plano perpendicular a OA. Este plano cortará a OA enel punto E y a OC en el punto D. Notar que entonces los ángulos OEB yOED son rectos. Por lo tanto el ángulo BED será el ángulo diedro . Elαplano BED es perpendicular al plano OAC pues éste contiene la recta OA

36

que es perpendicular al plano BED. Por otro lado, ya que el triánguloesférico es rectángulo en C, el plano ODB es perpendicular al plano OAC.Por lo tanto la recta BD es perpendicular al plano OAC, pues es laintersección de dos planos que son perpendiculares a OAC. En particularBD es perpendicular a OC y también BD es perpendicular a DE.Observando la Figura 1.22 y aplicando directamente las definiciones delas funciones trigonométricas pertinentes, se obtiene:

(1) =/8 + œ œ œ =/8 =/8 -FH FH IFSF IF SF α

(2) >1 + œ œ œ >1 =/8 ,FH FH HISH HI SH α

(3) -9= - œ œ œ -9= , -9= +SI SI SHSF SH SF

(4) >1 , œ œ œ -9= >1 -HI HI IFSI IF SI α

Sea ahora ABC un triángulo esférico cualquiera. Por el vértice C y elo?

centro O de la esfera podemos trazar un plano perpendicular al planoAOB, lo que corresponde a la altura :2

Figura 1.$!

Este plano corta al arco AB en un punto D determinándose los lados y7- 7 7 - ( o bien si la altura corta fuera de AB). Se determinan así

dos triángulos esféricos rectángulos en el vértice D y podemos aplicar lasrelaciones obtenidas más arribaÞ

37

1. Demostremos ahora la ley de los senos À

( usando (1) en ADC )o

=/82 œ =/8 =/8 ,α ?

( usando (1) en DBC )o

=/82 œ =/8 =/8 +" ?

Luego: Bajando la otra altura se completa la igualdad=/8 + =/8 ,=/8 =/8α "œ Þ

con el cuociente =/8 -=/8 #

2. Para demostrar la ley de los cosenos para los lados observamos: (5) usando (2) en ADC )

o>1 2 œ >1 =/87 Ðα ?

(6) (usando (1) en ADC)o

=/82 œ =/8 , =/8α ?

(7) (usando (3) en ADC )o

-9= , œ -9= 2 -9=7 ?

(8) (usando (3) en DBC )o

-9= + œ -9= 2 -9=Ð- 7Ñ ?Luego, usando el teorema del coseno de la suma en (8), tenemos:

-9= + œ -9= 2 Ð-9= - -9=7 =/8 - =/87Ñreemplazando aquí y de (7) y (5) respectivamente:-9=7 =/87-9= + œ -9= 2Ð-9= - =/8 - Ñ œ-9= , =/82 -9=

-9= 2 -9= 2 =/8αα

œ -9= - -9= , =/8 - =/82 -9==/8

αα

reemplazando finalmente de (6) se obtiene la ley del coseno para el=/8 2lado . Las otras dos leyes se obtienen simplemente cambiando el nombre-a los elementos. Aquí conviene notar que, en caso que la altura corte fuerade AB el lado deberá ser reemplazado por y el coseno no- 7 7 -cambia en la relación (8).

3. Para demostrar la ley de los cosenos para los ángulos diedros es precisopasar al triángulo polar Apliquemos el teorema de los cosenos

o?E F G Þw w w

para los lados al triángulo polar :o?E F Gw w w

-9= + œ -9= , -9= - =/8 , =/8- -9=w w w w w wαPero por el Lema, además, como+ œ à , œ à - œ ßw w w1 α 1 " 1 #

? ? 1 αo o

es el triángulo polar de , es decir,EFG E F G + œ ßw w w w

α 1w œ +Þ Sustituyendo estas relaciones en la igualdad anterior:-9=Ð Ñ œ -9=Ð Ñ-9=Ð Ñ 1 α 1 " 1 # =/8Ð Ñ=/8Ð Ñ-9=Ð +Ñ1 " 1 # 1 luego, utilizando la relación de las funciones trigonométricas con losángulos suplementarios, se tiene:

-9= œ Ð -9= ÑÐ -9= Ñ =/8 =/8 Ð -9= +Ñα " # " #

38

es decir:-9= œ -9= -9= =/8 =/8 -9= +α " # " #

que era lo que queríamos demostrar. Las otras dos leyes se obtienennuevamente cambiando el nombre a los elementos.

LOS PROBLEMAS DE LA NAVEGACIÓN

Para resolver los dos problemas clásicos de la navegación, debemosintroducir un sistema de coordenadas apropiado: uno de los "ejes" es elllamado que es el arco de círculo máximo quemeridiano de Greewichpasa por los polos y por la ciudad de Greenwich (cerca de Londres). Elotro es el Ecuador, que es el círculo máximo situado en el planoperpendicular a la recta que pasa por los polos. Un punto A sobre la esferaquedará determinado por el ángulo entre los planos que pasan por losαpolos y A y el plano que contiene al meridiano de Greenwich. Este ángulose llama y se mide entre 0 y 180 hacia el Este o hacia el Oeste.longitud 9

La otra coordenada es la llamada , que es el ángulo sobre ellatitud meridiano que va desde el ecuador hasta el punto A. La latitud se mediráentonces desde 0 a 90 hacia el norte o hacia el sur.9

Figura 1.3"

39

Se entiende por de un de un navío que se mueve sobre un arco derumbocírculo máximo sobre la superficie de la tierra, al ángulo que forma sumovimiento medido desde el meridiano que pasa por la posición en que seencuentra. Este ángulo se mide de 0 a 180 hacia el Este o hacia el Oeste.9

Figura 1.3#

El rumbo se puede medir también de 0 a 90 hacia el NE (noreste), hacia9

el NO (noroeste), hacia el SE (sureste) o hacia el SO (suroeste). Nóteseque el rumbo depende de la dirección del movimiento y que, a menos quese navegue por un meridiano o por el Ecuador, el rumbo cambiaconstantemente.

40

Figura 1.3$

El problema del RumboDados los puntos A y B, determinar el rumbo de salida, el rumbo dellegada y la distancia que los separa. En este caso se forma un triánguloesférico tomando como tercer vértice el polo norte ( o el polo sur):

Figura 1.3%

Los datos son: el lado a: 90 latitud de B (se tomará el signo si B señ „ 9

encuentra en el hemisferio Norte y el signo + si está en el Sur)

41

el lado b : 90 latitud de A (se tomará el signo si A señ „ 9

encuentra en el hemisferio Norte y el signo + si está en el Sur) el ángulo : la diferencia de longitudes de A y Bñ #Se busca: rumbo de salida : ; rumbo de llegada: 180 y distancia : cα "9 La distancia se obtiene directamente del teorema del coseno parañlos lados:

-9= - œ -9= + -9= , =/8 + =/8 ,-9= #

Para calcular el rumbo de salida usamos el teorema de losñ αsenos:

=/8 œα =/8 + =/8=/8 -

#

donde ya que el ha sido calculado.=/8 - œ " -9= - ß -9= -È #

El rumbo de llegada se calcula análogamente:ñ

=/8 œ" =/8 , =/8=/8 -

#

Apliquemos estos resultados a un problema concreto: partimos de BuenosAires (35 ) y queremos llegar a las Islas Canarias (309 9 96+>ÞW ß '! 6981ÞS6+>R ß #! 6981ÞS9 )

Figura 1.35

Entonces: # œ %! ß + œ *! $! œ '! ß , œ *! $& œ "#&9 9 9 9 9 9 9

Por lo tanto, la distancia será:

42

-9= - œ Ð!Þ&ÑÐ !Þ&(Ñ Ð!Þ)(ÑÐ!Þ)#ÑÐ!Þ((Ñ œ !Þ#'luego millas marinas (una milla marina es- œ (%ß '( œ %%)! œ %Þ%)!9 w

aproximadamente un minuto de arco sobre la esfera terrestre. Como unamilla marina corresponde a 1,852 Km, la distancia será de 8.297 Km.aproximadamente.Por otro lado y por lo tanto =/8 - œ =/8 (%Þ'( œ !Þ*' À9

=/8 œ œ !Þ&( ß œ $%ß *) Iα αÐ!Þ)'ÑÐ!Þ'%ÑÐ!Þ*'Ñ

9 Análogamente, resulta " œ $$ß #' IÞ9

Resulta interesante calcular esta distancia .como si la tierra fuese planaPara esto aplicamos el teorema del coseno al triángulo BCN, consideradoplano. Los lados serán [Km] [Km] , luego:+ œ 'Þ''( ß , œ "$Þ)*!

- œ + , #+,-9= œ *Þ((#È # # # [Km]

que contrasta con los 8.297 Km calculados anteriormente

El problema de ColónPartimos de un punto dado A con un rumbo de salida dado y recorremosαuna distancia siguiendo un arco de círculo máximo: ¿ cuáles son las-coordenadas (latitud y longitud) del punto B de llegada? Nuevamentepodemos tomar como tercer vértice el polo Norte.Esta vez los datos son (ver Figura 1.27): el ángulo (rumbo de salida)ñ α el lado b : 90 latitud de A (se tomará el signo si A señ „ 9

encuentra en el hemisferio Norte y el signo + si está en el Sur) el lado (medido en millas marinas nos dará el ángulo enñ -minutos)El lado lo podemos calcular directamente de la ley de los cosenos:+

-9= + œ -9= , -9= - =/8 , =/8 - -9=αLa latitud del punto B será 90 o según resulte serÀ + + *! ß +9 9

menor o mayor que 90 . Si es menor que 90 significa que el punto de9 9+llagada B se encuentra en el hemisferio norte.Usando la ley de los senos, se tiene:

=/8 œ# =/8 - =/8=/8 +

α La longitud de B será igual a la longitud de A más (o menos) el ángulo ,#según sin el rumbo tomado fué Este u Oeste.

43

Apliquemos estos resultados a un problema concreto: partimos deValparaíso (33 S , 72 O) con rumbo de salida 45 O y9 9 96+>Þ 6981Þrecorremos 3000 millas marinas. ¿ dónde nos encontramos?

Figura 1.36

En este caso : 3000 50α œ %& ß - œ œ ß , œ *! $$ œ "#$9 w 9 9 9 9

-9= + œ Ð !Þ&%ÑÐ!Þ Ñ Ð!Þ)%ÑÐ!Þ ÑÐ!Þ("Ñ œ !Þ643 766 129

Luego 84 0 y por lo tanto la latitud de B será 5,98 N+ œ ß # Þ9 9

=/8 œ œ !Þ# Ð!Þ!'ÑÐ!Þ("Ñ!Þ995 545

luego 3 99 y por lo tanto la longitud del punto B será de 104,99# œ #ß 9 9

O.

OBSERVACIONES.

1. En el cálculo de los ángulos aparece con frecuencia el seno del ángulobuscado. Pero en general habrá dos ángulos, en el intervalo queÒ!ß Ó1tienen el mismo seno. En efecto:

=/8Ð Ñ œ =/8Ð Ð ÑÑ œ =/8Ð Ñ1 1 1# # #α 1 α α

44

¿ cuál será el ángulo buscado, el agudo o el obtuso? Para responder a estapregunta es necesario analizar el problema concreto.Veámoslo con un ejemplo:Se zarpa desde Valparaíso con rumbo 30 hasta alcanzar una9RSdiferencia de longitud de 20 ¿se ha cruzado el ecuador?9Þ

Figura 1.37

Llamemos B al punto en que la trayectoria cruzaría al ecuador. En eltriángulo BVN calculemos el ángulo : si este ángulo resulta menor que

o? #

20 entonces no se habría cruzado el ecuador. Apliquemos el teorema de9ßlos senos a este triángulo:

=/8RF =/8RZ=/8$! =/8œ "

Pero el arco NB es de 90 y el arco NV es de 90+33 , luego:9 9œ "#$

=/8 œ œ =/8"#$ =/8$! œ#%ß )"&&ß #

" "=/8"#$ =/8 $!=/8 *!

9

9, de donde œ¿cuál de las dos soluciones es la correcta? Para dilucidarlo apliquemos elteorema de los cosenos al BVN:

o?

-9= "#$ œ -9=FR-9=FZ =/8FR =/8FZ -9= œ =/8F -9=" "VPero el coseno de 123 es negativo mientras que el seno del arco BV es9

positivo: luego el coseno de debe ser negativo y por lo tanto el ángulo " "debe ser el ángulo obtuso: De la igualdad anterior se obtiene" œ "&&Þ#Þ

45

el seno del arco BN y nuevamente aplicando el teorema de los senos, setiene:

=/8 œ =/8$! =/8FR#

de donde : Por lo tanto el barco cruza el ecuador.# œ "( ß %& Þ9

2. La distancia más corta entre un punto en el plano y una recta es ladistancia del punto al pié de la perpendicular. ¿Será válida esta propiedaden la esfera? . Tomemos un punto P en la esfera y una "recta" en laEFesfera, es decir un arco de círculo máximo:

Figura 1.38

Si aplicamos el teorema de los cosenos al ABP, obtenemos:o?

-9= , œ -9= + -9= - =/8 + =/8 , -9= *! œ -9= + -9= - Ÿ -9= +9

Luego, si es decir, si A, B, C se encuentran en el mismo+ß ,ß - Ÿ *! ß9

hemisferio, entonces el coseno es decreciente, por lo tanto + Ÿ ,Nótese que esto no es ya válido para arcos mayores de 90 , más aún, es9

fácil ver que el arco PA perpendicular al arco AB corta a este último endos puntos, uno de los cuales provee la distancia más corta y el otro la máslarga.

46

1.8. PROBLEMAS

1. El rumbo inicial de un barco que parte desde Nueva York(40 O ) es de Localizar el punto M del9 w 9 w 9 w%# Rà (% "! $! "! RIÞrecorrido que sea el más cercano al polo Norte y calcular las distanciasdesde M al polo y a Nueva York.

2. Un barco parte de San Francisco (37 ) con un rumbo9 w 9 w%) Rà "## #% Sinicial de 40 . Calcule la distancia hasta el cruce con el Ecuador.9 w$! WS¿Cuál será la longitud en ese punto? Localice además el punto en que seencuentra el barco después de recorrer 340 millas marinas.

3. Un aeroplano sale de Honolulú (21 ) con rumbo9 w 9 w") R à "&( &# Sinicial de 40 Encuentre el punto más cercano al polo Norte de su9%$RIÞtrayectoria y calcule la latitud en que se encuentra cuando la longitud esde 749 S

4. Un barco parte de Valparaíso (33 con un rumbo inicial de9 9Wà (# SÑ32 ¿ Qué distancia se puede recorrer de modo que el error cometido9 WSÞen el cálculo de la latitud usando Trigonometría Plana sea menor o igual aun grado sexagesimal? Use el Polo Sur como tercer vértice.(Indicación: use el método de ensayo y error)

5. Un barco que navega en la polinesia francesa (15 necesita9 9W à "%! SÑser guiado a Valparaíso (33 : calcule el rumbo de salida. Calcule9 9Wà (# SÑeste rumbo como si la tierra fuese plana (use el polo sur como tercervértice): ¿adónde iría a parar en Chile si se usa ese rumbo erróneo?

6. Un barco parte de un punto A (20 ) con rumbo 30 y9 9 9Rà ! 6981Þ RIrecorre 3000 millas marinas alcanzando el punto B. Calcule latitud y longitud de Bñ Si el capitán no sabe trigonometría esférica y aplica plana,ñencuentre los valores de latitud y longitud calculados de este modoerróneo. La (falsa) posición calculada por este capitán ¿se encuentra másñal Sur o más al Norte, más al Oeste o más al Este de la verdadera? ¿Cuál es el error total cometido? (es decir, la distancia en millasñentre la posición falsa y la verdadera?

47

7. Un barco parte de Valparaíso con la intención de llegar a Isla de Pascua(27 pero parte con un rumbo levemente equivocado de 86 S .9 9 9Wà "!* SÑ SCalcule la distáncia mínima a Isla de Pascua por la que pasa el barco.¿Cuál debió ser el rumbo (de salida) correcto?

8. Dos barcos A y B parten desde un mismo punto a las 12:00 hrs. y sealejan uno de otro según un ángulo de 7 . Si el barco A se desplaza en9

línea recta a 8 nudos y B a 6 nudos, ¿ A qué distancia estará uno de otro alas 16:00 hrs.? Use Trigonometría Plana y Esférica y calcule el errorcometido. Estudie cómo aumenta el error a medida que los barcos sealejan.(1 nudo 1 milla marina por hora 1.852 Km/hora )œ œ

9. Dos submarinos zarpan desde un mismo punto y al mismo tiempo enrumbos que difieren en un ángulo . Uno navega con un a velocidad deα25 nudos y el otro a 23 nudos. Tres horas después de partir distan entre si10 millas. ¿cuál es el ángulo comprendido entre sus cursos? (Haga unanálisis como en el problema anterior). ¿Que puede Ud. concluir ?

105

CAPÍTULO

5

En la antigüedad la arquitectura (pirámides, templos para los dioses,...) exigió un alto grado de precisión. Para medir alturas se basaban en la longitud de la sombra y el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte. En este procedimiento se utilizó una relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, que es lo que conocemos hoy como la relación pitagórica. 5.1 Triángulos rectángulos Como ya se ha definido, un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

5.2.3 Teorema de Pitágoras

Resolución de Triángulos Rectángulos

c

ba

A B

C

a : hipotenusa del triángulo rectángulo Δ

BAC b : cateto c : cateto

c

ba

A B

C

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es decir:

222 cba += A esta relación se le llama relación pitagórica.

El triángulo de lados 3, 4 y 5 unidades, llamado perfecto o sagrado, fue usado por los egipcios para trazar ángulos rectos. En sus papiros se observa que después de las inundaciones del Nilo y construyendo triángulos rectángulos con cuerdas, fijando los límites de las parcelas, trazaban direcciones perpendiculares.

106

5.2.3 El recíproco del teorema de Pitágoras

Si en un triángulo Δ

ABC se cumple 222 cba += , entonces Δ

ABC es rectángulo y el ángulo recto es el ángulo cuyo vértice es A . Nota: Si tres números, a, b y c verifican una de las tres relaciones pitagóricas entonces, podemos construir un triángulo rectángulo cuyos lados tienen como longitudes a, b y c. Queda para el lector verificar que las ternas de números utilizadas por los egipcios y los hindúes cumplen con la relación pitagórica. 5.2.3 Aplicaciones del teorema de Pitágoras Ejemplo 1: Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 5 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa? Solución Si llamamos: a a la hipotenusa; b y c a los catetos, aplicando el teorema de Pitágoras tenemos 169512 222 =+=a ⇒ 13169 ==a por lo que obtenemos que la hipotenusa mide 13 cm Ejemplo 2: Dado el triángulo de la figura, con los siguientes datos: cme 9= , cm.g 54= y

ο30=β . Calcular : f y α Solución Al aplicar el teorema de Pitágoras, tenemos: e2 = f2 + g2 al reemplazar por los datos, tenemos: e2 = f2 + 4.52 ⇒ f2 = g2 – 4.52 = 60.75

877560 ..f ≅=⇒ Por lo tanto: cmf 8.7≅ Para calcular el ángulo α , tenemos que α y β son complementarios (¿Porqué?), por lo tanto:

οοο 603090 =−=α

Ejemplo 3: Dado el Δ

ABC tal que: a) cma 10= , cmb 8= y cmc 6= b) cma 9= , cmb 11= y cmc 5= Decidir si los datos dados en a) y/o en b) corresponden a un triángulo rectángulo. Solución Tenemos que aplicar el recíproco del teorema de Pitágoras Para los datos dados en a), si es rectángulo, la hipotenusa debería ser a y lo otros dos los catetos, en consecuencia debería cumplirse:

222 cba +=

(1) 1002 =a

(2) 10068 2222 =+=+ cb

f

ge

E G

Fα

β

107

Por (1) y (2), se cumple el teorema de Pitágoras, por lo tanto con estos datos el Δ

ABC es rectángulo en A. Para los datos dados en b), si es rectángulo, la hipotenusa debe ser b y lo otros dos los catetos, en consecuencia debe cumplirse:

222 cab += (1) 1212 =b

(2) 10659 2222 =+=+ ca

Por (1) y (2), tenemos que no se cumple el teorema de Pitágoras, por lo tanto con estos datos

el Δ

ABC no es rectángulo. Ejemplo 4: Dado un triángulo de lados 4 cm, 5 cm y 6 cm, calcular la altura sobre el lado menor y el área. Solución Al observar la figura, vemos que la altura divide al triángulo dado

en dos triángulos: Δ

CID y el Δ

CIE . Al considerar estos triángulos rectángulos y aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:

⎪⎭

⎪⎬⎫

−+=+=

222

222

456

)x(hxh ⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+=+=

22

22

42536

)x(hxh

Al resolver el sistema, tenemos: cm.h 964≅ , cm.x 383≅ y 2909 cm.A ≅

La altura pedida es de 4.96 cm y el área es de 9.90 cm2

5.2 TRIGONOMETRÍA

La trigonometría plana tiene como objetivo resolver triángulos. Cada triángulo está constituido por seis elementos, tres lados y tres ángulos. Resolver un triángulo, significa determinar los elementos desconocidos cuando se tienen algunos datos y ciertas relaciones entre ellos. 5.2.3 Razones trigonométricas del triángulo rectángulo

C D

E

Ih

x6cm 4cm

5cm

Dado cualquier otro triángulo semejante al dado, por

ejemplo, el Δ

´BCA , tenemos:

´BA´C´A

cb,

´BC´BA

ac,

´BC´C´A

ab

=== ba

c A´ B

C´

A

C

α

b

c

a

C

AB

Dado cualquier triángulo rectángulo ABC, se pueden considerar las siguientes razones entre los lados del triángulo:

cb,

ac,

ab (1)

Figura 1

108

Por lo que podemos afirmar:

Definición: Las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo ABC, como el dado en la figura 1, son:

hipotenusa

deopuestocatetoabsen

α==α

hipotenusa

deadyacentecatetoaccos

α==α

α

α==α

deadyacentecatetodeopuestocateto

cbtg

Nota 1: Si bien hay otras 3 funciones trigonométricas, no vamos a tratarlas aquí. Nota 2: Observamos que tanto el seno como el coseno son relaciones entre un cateto y la hipotenusa, en tanto que la tangente es una relación entre catetos. Ejemplo 1: Encontrar el valor exacto de cada una de las tres funciones trigonométricas. Solución Para encontrar la longitud del cateto desconocido se usa el Teorema de Pitágoras.

cmbb

cabcba

4161635 222

222222

===−=

−=⇒+=

Ahora podemos calcular las razones pedidas:

54

==αhipotenusa

opuestocatetosen ,

53

==αhipotenusa

adyacentecatetocos ,

34

==αadyacentecateto

opuestocatetotg

Ejemplo 2: Calcular las razones trigonométricas del triángulo rectángulo de lados 7 cm; 7,4 cm y 2,4 cm. para el ángulo de 19º. Solución Como el triángulo es rectángulo, el mayor de los lados es la hipotenusa, o sea 7,4 cm. y el otro ángulo mide: ººº 711990 =− Sabemos que a mayor ángulo se opone mayor lado, obtenemos la siguiente figura.

Las razones dadas en (1), no dependen de la longitud de los lados, sino de la medida del ángulo y se las llama razones trigonométricas.

c

b a

A B

C

5cm

3cm α

A

B C

7cm

7.4 cm

2.4 cm

19º

71º

Con lo cual, ahora podemos calcular las funciones trigonométricas del ángulo de 19º.

4320474219

).

.

.ºsen == , 594047

719)

..

ºcos ==

.....ºtg 3428571074219 ==

109

Nota: Se pueden obtener en forma inmediata las razones trigonométricas para el ángulo ο71 .

Ejemplo 3: Si los rayos del sol forman un ángulo de 65º con el suelo y, la sombra de un mástil es de 86 cm. ¿Cuál el la altura del mástil medido en metros? Solución

8665 htg =ο ⇒ ο8586 tg.h =

Usando la calculadora tenemos que 14445069265 .tg ≅ο y en consecuencia:

m.cm.h 8414276184 ≅≅

El mástil mide aproximadamente 1.84 m 5.2.3 Cálculo exacto de las razones trigonométricas para ángulos

particulares A veces, necesitamos y podemos calcular algunas razones trigonométricas para unos determinados ángulos: 1) Ángulo de 45º Tenemos un triángulo rectángulo e isósceles (es una de los dos escuadras clásicas). Se calcula la hipotenusa suponiendo los lados iguales cb = y se pueden suponer , sin pérdida de generalidad, de valor 1.

22 222 bbbca ==+= Supongamos que 1=b , tenemos: 2=a , y como puede observarse

22

2145 ==ºsen y

22

2145 ==ºcos son iguales y 145 =ºtg

2) Ángulos de 30º y 60º Esta es la otra escuadra clásica:

C

A B65ο

86

h

c

ba

A B

C

45

45

ο

ο

c

C

B A 60º

30º

110

Como el tamaño no afecta a los cálculos, podemos suponer que cada lado mide 2 unidades. La altura h del triángulo es:

312 22 =−=h usando el Teorema de Pitágoras

21º30sen =

23

260 ==

hºsen

23

230 ==

hºcos 2160 =ºcos

33

31130 ===

hºtg 3

160 ==

hºtg

Nota: Se observa que: ºcosºsen 602130 == , ºsenºcos 60

2330 ==

No pasa lo mismo para las tangentes, ya que una es la recíproca de la otra: ο60

130tg

ºtg =

EJERCICIO 1: Si nos alejamos en la línea recta 30 m, sólo hay que levantar la vista 30º para ver la punta de la antena. ¿Cuál es la altura de la antena?. Observación: Los valores obtenidos pueden sintetizarse en la siguiente tabla:

Ángulo en grados 0º 30º 45º 60º 90º

αsen 0 21

22

23 1

αcos 1 23

22

21 0

αtg 0 33 1 3 no está

definida

A B

C

B'60 60o

o

30o

Usando esta escuadra, se le adosa otra escuadra, como lo muestra la figura siguiente, y obtenemos un triángulo equilátero, ya que todos sus ángulos miden 60º.

111

5.2.3 Algunas relaciones fundamentales

1º Relación : Esta tiene que ver con el Teorema de Pitágoras. En el triángulo Δ

ABC tenemos:

∧∧

=→= BsenababBsen

∧∧

=→= BcosacacBcos

Por Teorema de Pitágoras 222 cba += sustituyendo por las fórmulas anteriores obtenemos:

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=

∧∧ 22222 BcosaBsenacba ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∧∧BcosBsena 222

y dividiendo por 2a obtenemos:

2º Relación:

En el triángulo Δ

ABC obtenemos: ab

Bsen =∧

, ac

Bcos =∧

, ∧

∧∧

===

Bcos

Bsena/ca/b

cb

Btg

3º Relación:

Si α es un ángulo agudo (2

0π

<α< ) entonces:

122 =+∧∧BcosBsen

b

ca

A

B

C

∧

∧∧

=Bcos

BsenBtg

10 <α< sen

10 <α< cos

0>αtg

b´= 1

α

Α Β

C C´

B´

1

112

Nota: El αsen y αtg crecen al crecer el ángulo de 0 a 2π

. En cambio el αcos decrece al

crecer el ángulo de 0 a 2π

.

Ejemplo 1: Sabiendo que 31sen =α encontrar las otras dos razones trigonométricas.

Solución

1cossen 22 =+ αα α−=α⇒ 22 1 sencos3

222

31121 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=α−=α⇒ sencos

y 42

221

322

31

===αα

=αcossen

tg

Ejemplo 2: Sea 3=αtg calcular αsen y αcos Solución

⇒=αα

=α 3cossen

tg α=α cossen 3

reemplazando en la 1º relación: 122 =α+α cossen resulta:

( ) ⇒=α+α⇒=α+α 1913 2222 coscoscoscos 101110 22 =α⇒=α coscos

Por lo tanto: 1010

101

101

===αcos y 10

10310103

..sen ==α

5.3 ÁNGULOS ORIENTADOS Recordemos que un ángulo es la figura engendrada por la rotación de una semirrecta alrededor de su extremo. La posición inicial se llama lado inicial, OA , la posición final se llama lado terminal, OB . El punto fijo se llama vértice, O, (ver figura 2). Si la rotación se realiza en sentido antihorario (levógiro) el ángulo se considera positivo, como en la figura 2, en caso contrario negativo (dextrógiro). Representamos los ángulos orientados referidos a un par de ejes perpendiculares x e y, llamados ejes cartesianos ortogonales. Dada una semirrecta con origen en el origen de coordenadas y coincidiendo con el semieje positivo x, al rotarla genera un ángulo, ver figura 3.

A

α β

B

O x

y

Ángulo positivo

Figura 3

O

A

Bx

Ángulo negativo

y

αO

A

B Figura 2

113

Diremos que un ángulo está en posición normal si su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje x. La figura 3, muestra como los ejes cartesianos dividen al plano en cuatro partes, llamados cuadrantes. Diremos que un ángulo pertenece a un cuadrante dado si en él está ubicado el lado terminal del ángulo. En la figura 3, se muestra un ángulo α positivo, en el primer cuadrante y un ángulo β negativo, ubicado en el cuarto cuadrante. No hay límite para la magnitud de un ángulo. Si una semirrecta efectúa una rotación completa en sentido antihorario, habrá generado un ángulo de 360º o ángulo completo. Dos rotaciones completas en el mismo sentido generarán un ángulo de 720º. Si lo hacen en sentido contrario determinarán ángulos negativos. . La figura 4 muestra dos ángulos distintos a pesar que coinciden los lados iniciales y los lados terminales.

β≠α π+α=β 2

5.4 SISTEMA CIRCULAR: OTRA FORMA DE MEDIR ÁNGULOS Además del sistema sexagesimal que es la forma usual de medir ángulos en la vida cotidiana, existen otros sistemas para medir ángulos, entre ellos el sistema circular. La ventaja de este sistema es que medimos los ángulos en radianes, que son números reales. 5.4.1 Radianes La longitud de una circunferencia de radio r está dada por la fórmula:

L = 2 π r En el caso de una circunferencia unitaria, es decir, una circunferencia de radio r =1, la longitud es de 2 π . Por ejemplo, un ángulo completo mide 2π radianes, un ángulo llano, π radianes y un ángulo

recto 2π

radianes, o en forma aproximada, 6.28 radianes, 3.14 radianes y 1.57 radianes,

respectivamente.

α β

A

B

O x

y

Figura 4

Dos ángulos orientados son iguales si y sólo si están generados por la misma rotación

s

rα A

B

O

Figura 5

Consideremos el arco AB y sea s la longitud de dicho arco. La medida de un ángulo en radianes es:

radioarcodellongitud

rs

==α (1)

114

Con cualquiera de los datos obtenidos se pueden obtener las fórmulas de conversión de ángulos medidos en radianes a ángulos medidos en grados y viceversa. Dado que un ángulo llano es equivalente a π radianes, obtenemos:

ο180=π radianes Por lo tanto Nota: Utilizaremos rad como abreviatura de radianes.

En particular, si r = 1 resulta que la medida de α es sAB =∩

.

Ejemplo1: ¿Cuántos grados hay en un ángulo de π91

rad?

Solución Por lo visto anteriormente tenemos:

1 rad = gradosπ

180

por lo tanto:

π91 rad = π

91

π180 grados = 20ο

Ejemplo 2: ¿Cuántos radianes hay en un ángulo de 60 ο? Solución

En forma análoga al ejercicio anterior, pero utilizando la fórmula 1ο=180

π rad

Tenemos: 60 ο=60 180

π rad = rad.rad 0513

=π

Haciendo los cálculos correspondientes, podemos realizar la siguiente tabla:

grados 0 30 45 60 90 120 135 150 180

radianes 0 6π

4π

3π

2π

32π

43π

65π π

1 radián = π

180 grados ≅ 57.30ο

1 ο=180

π radianes ≅ 0.00075 rad

Cuando se usa la calculadora para calcular el valor de las razones trigonométricas, verificar que se encuentra en Modo Grados (sexagesimales) o Modo Radianes según sea la medida que se está usando.

y

Figura 6

A' x

BB'

A Or'

r

Observación: Recordemos de geometría que, dadas dos circunferencias concéntricas de radios r y r´, respectivamente, para un mismo ángulo α que

subtiende los arcos ∩

AB y ∩

'B'A (ver figura 6), se

cumple: 'r

'B'Ar

AB∩∩

= . En consecuencia, la razón dada

en (1) sólo depende del ángulo y por esto, se la toma como medida del ángulo.

115

5.5 LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS Con estos datos obtenemos :

bABABOAAB

====1

senα o sea el seno es la ordenada del punto A.

aOBOBOAOB

====1

cos α el coseno es la abscisa del punto A.

'''1

'''''tg bBABA

OBBA

====α es la ordenada del punto A’

Por tanto, el valor de cualquier línea trigonométrica de un ángulo depende solamente de la magnitud del ángulo y no del punto que se haya tomado sobre el lado terminal. En particular obtenemos las identidades: α=π+α cos)cos( 2 , α=π+α sen)sen( 2 . Por esta razón, se las llama funciones periódicas, y en este caso, son de período π2 .

Observación: Escojamos otro punto P’ cualquiera, a una distancia 0>ρ sobre el lado terminal de 'P.α con coordenadas ( )'y,'x determina un

triángulo Δ

'Q'OP semejante al Δ

OPQ ,

donde: OPPQ

'OP'Q'P

= ,es decir:

α==ρ

seny'y1

.

Del mismo modo se obtiene:

'x'ytan,'xcos =α

ρ=α .

x

y

O

P(x,y)

Q(x,0)

P´(x´,y´)

Q´(x´,0)

α

Figura 2

A

BO

1

B´

A´

α

b

a

b´

Figura 1

Sea ),O(C 1 una circunferencia con centro en el origen de coordenadas O(0, 0) y radio la unidad. Si se construye un ángulo α con vértice en el origen y sentido positivo podemos obtener las razones trigonométricas de ese ángulo llamadas funciones o líneas trigonométricas. Se determinan los

triángulos Δ

OBA y ´'Δ

AOB tales que: el segmento AB tiene longitud b, el OB longitud a, el 'B'A tiene longitud b’ y OA y 'OB por construcción tienen longitud 1, es decir, )b,a(A , ),a(B 0 ,

´)b,´(A 1 , ),´(B 01 .

116

Una ecuación del círculo unitario con centro en el origen es 122 =+ yx . Ya que α= cosx e α= seny se sigue que:

que es una de las relaciones fundamentales de la trigonometría.

Ejemplo 1: Hallar las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal cuyo lado

terminal pasa por cada uno de los siguiente puntos :

a) P1(3,4) ; b) ( )312 ,P − ; c) P3(-2, -4) ; d) P4 (2, -1)

¿Qué conceptos teóricos utiliza?

Solución

b) 23;2 2 == αρ sen ; 3tan;

21cos 22 −=−= αα

Queda para el lector completar. En las siguientes figuras se muestran gráficamente la solución.

5.5.1 Signo de las líneas trigonométricas

El signo de las líneas trigonométricas de cualquier ángulo, depende de los signos de las coordenadas de un punto cualquiera del lado terminal ya que 0>ρ . Así, en el primer cuadrante, ambas coordenadas son positivas, por lo tanto seno y coseno son positivos y como consecuencia todas las demás. Tenemos entonces el siguiente cuadro:

α I II III IV αsen + + - - αcos + - - + αtan + - + -

Queda para el lector hacer figuras similares a la figura 2 para los cuadrantes restantes.

122 =α+α cossen

α1α3

α2α4

Ο

2

−4

−1

−2

−1

4

31 x

y y

xO

P1

P3

P2

P4

3

117

5.6 SITUACIONES PROBLEMÁTICAS 1: Un cohete dista 200 m de la puerta y desde ella se observa el extremo del cohete formando un ángulo de 15º por encima de la horizontal. Calcular la altura que está el cohete.

Si hacemos un esquema tenemos un triángulo rectángulo Δ

BPQ

=⋅=⇒= ºtghhºtg 15200200

15

267994910200 .⋅≅ 58983953.≅ El cohete está a aproximadamente a 53.60 m 2: Sabiendo que la torre Eiffel mide 300 m de altura ¿cuánto hay que alejarse para que su extremo se vea, desde el suelo, 36º por encima de la horizontal. Solución Haciendo un esquema

⇒=⇒= mxx

300º36tg300º36tg

m..ºtg

mx 93841272650300

36300

===

Debe alejarse de la torre casi cuatro cuadras. 3: A veces, necesitamos usar triángulos superpuestos, sobre todo, si hay regiones inaccesibles. Solución Aquí se tienen dos triángulos, cada uno de ellos con datos insuficientes para resolver el

problema. Utilizando ambos, en el triángulo Δ

ABC tenemos:

yxºtg =40 no se conoce x ni y de estos datos, pero como la tangente 839040 .ºtg ≅

y.xyx. 83908390 =⇒=

En el triángulo Δ

DBC tenemos: ( )y.xy

x.y

xºtg +=⇒+

=⇒+

= 30577030

577030

30

En consecuencia tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en las cuales se despeja x

( )⎩⎨⎧

+==

y.xy.x305770

8390

igualando obtenemos: ( ) y..y.y.y. 577030577038903057708390 +⋅=→+=

h

200 m

P

B Q

15 ο

300 m

x

36 ο

D A

x

C

B 30

ο40 ο

y 30 m

Desde un patio vemos el extremo superior de una antena de televisión levantando la vista un ángulo de ο40 . Si nos alejamos en la línea recta 30 m, solo hay que levantar la vista 30º para ver la punta de la antena. ¿Cuál es la altura de la antena?.

118

agrupando las variables en un solo miembro, resulta:

⇒=− 311757708390 .y.y. ( ) 311757708390 .y.. =−

( ) 26203117

577083903117

..

...y =−

= m.06870266≅ m.06966≅

m...y.x 38550696683908390 ≅⋅≅⋅=

La altura de la antena es aproximadamente 55.38 m

119

5.7 Práctico: Resolución de Triángulos Rectángulos Ejercicio 1: Se sabe que la diagonal del cuadrado mide 7 cm. ¿Cuál es la longitud del lado?.

Ejercicio 2: Calcular el perímetro y el área del triángulo isósceles Δ

ABC en el que se sabe que: BCAB = , cmAC 24= y cmh 5= es la altura correspondiente al vértice B

Ejercicio 3: Se sabe que el área del rombo es 2Dd ⋅ , o sea la mitad del producto de las

diagonales. Obtener el área del rombo de 40 cm de perímetro y la diagonal menor =d 12 cm. Ejercicio 4: En un triángulo equilátero la altura mide 3 cm. ¿Cuánto miden los lados? Ejercicio 5: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y uno de los catetos mide el triple que el otro.

a) ¿Cuánto miden los catetos? b) Calcular el área.

Ejercicio 6: Determinar en cada caso las medidas de las diagonales de los rectángulos de base b y altura h

a) b = 8 cm h = 6 cm b) b = 4 cm h = 8 cm Ejercicio 7: Calcular la medida de la diagonal de un cuadrado cuyo lado L mide:

a) L= 2 m b) L= 0,6 m c) L= 5 dm Ejercicio 8: C D

AB E

Ejercicio 9: Pasar de grados sexagesimales a radianes: a) 136º b) 45º c) 235º d) 60º e) 300º f) 420º Ejercicio 10: Pasar de radianes a grados sexagesimales:

a) 3π b)

53π c)

6π

d) 6

5π e) 4

3π f) 2

5π

Ejercicio 11: Si 31

=σsen encuentre el valor exacto de:

a) σcos b) ( )σ−ºcos 90 Ejercicio 12: Si 4=σtg encuentre el valor exacto de σsen y σcos Ejercicio 13: a) Sabiendo que α es un ángulo agudo tal que 60.sen =α . Calcular

αα tgcos y

b) Sabiendo que α es un ángulo agudo tal que 7

72=αcos . Calcular αα tgy sen

El área del cuadrilátero BCDE es de 27 2cm . El área del

triángulo ADE es 31

del área del cuadrado ABCD.

Calcular la longitud de los lados del triángulo.

120

Ejercicio 14: Resolver el triángulo rectángulo, usando la información dada: I) 5=b º25=β II) 6=a º45=β III) 4=b º12=α IV) 5=a º30=α v) 10=c º40=α VI) 9=c 25ºβ = VII) 2=a 8=b VIII) 2=a 5=c IX) 4=b 6=c Ejercicio 15: Sea ABC un triángulo rectángulo en A, tal que cmACycmAB 34 == . Si A, B, C son los ángulos, calcular: cos B, sen B, tg B, cos C, sen C y tg C. Ejercicio 16: En un triángulo de lados 4 cm, 6 cm y 8 cm, calcular la altura sobre el lado mayor. Ejercicio 17: En el cuadrilátero ABCD, el lado AB tiene el doble de la longitud del lado CD. Sabiendo además que los lados AD y CD son iguales, siendo su medida 3 cm, calcular el perímetro y el área del cuadrilátero.

Ejercicio 18: Un tramo de carretera forma un ángulo de 15° con la horizontal. Al recorrer 200 m por la carretera, ¿Cuántos metros se ha ascendido en vertical? Ejercicio 19: De un rombo se conoce una diagonal, 24 cm, y el lado, 13 cm. Encontrar la medida de la otra diagonal. Ejercicio 20: Encontrar la altura de un trapecio isósceles cuyos lados paralelos miden 4 cm y 9 cm y los otros 6,5 cm.. Ejercicio 21: Un camino recto con inclinación uniforme lleva desde un hotel a 2640 metros hasta un mirador situado a 3663 metros. Si la longitud del camino es de 4653 metros. ¿Cuál es la pendiente del camino?.

Ejercicio 22: Para determinar la altura de una torre de transmisión de televisión, un agrimensor camina alejándose 300 metros de la base de la torre. Luego mide el ángulo de elevación y encuentra que es de 40º. Si el teodolito está a 2 metros del piso cuando la observación se realiza, ¿cuál es la altura de la torre?.

a

b

c

B C

A

40 0

300 m 2 m

400

b

B a

c

C

A

β

α

121

Ejercicio 23: Encuentre la distancia inaccesible AC , del estanque, sabiendo que

35=BC metros y el ángulo ºCBA 40=∧

. Ejercicio 24: Para medir la altura de una montaña, un topógrafo toma dos observaciones de la cima desde dos puntos separados una distancia de 1000 metros en línea recta hacia la montaña. La primera observación tiene como resultado un ángulo de elevación de 47º, la segunda tiene un ángulo de elevación de 35º. Si el teodolito está dos metros del piso, ¿cuál es la altura de la montaña?.

Ejercicio 25: En el siguiente dibujo, AT representa una torre, A el pie de la torre, B y C puntos alineados con A, siendo BC = 50 m, el ángulo ABT = 60º y el ángulo BCT = 30 º. ¿Cuál es la altura de la torre? Ejercicio 26:¿En un viaje por una carretera horizontal y recta nos dirigimos hacia el punto más alto de una montaña. En un instante dado medimos el ángulo de elevación y es, de 30º, Recorremos 2 kilómetros y al medir éste es de 45 º. ¿Cuál es la altura de la montaña respecto de la carretera donde hemos hecho las mediciones?

Ejercicio 27: Una estatua está colocada sobre una columna de 15 metros. Desde un punto del suelo situado en la misma horizontal que el pie de la columna, vemos la columna bajo un ángulo de 45º, y la estatua bajo un ángulo de 15º más, ¿Cuál es la altura de la estatua?

BC

A

a

bh

E35 47

2 m

0 0

1000 m

C B A

T

122

Ejercicio 28: Se sabe que el aro de baloncesto esta a 3,3 metros del piso. Los ojos de un jugador de baloncesto están a 1,98 metros del piso. Si el jugador se encuentra en la línea de tiro libre a 5 metros del centro del aro de la canasta. ¿Cuál es el ángulo de elevación de los ojos del jugador al centro del aro?.

Ejercicio 29: Un cierto día de primavera, un edificio de 100 m de altura proyectó una sombra de 16,50 m de largo. ¿Cuál era el ángulo de elevación del sol?

Ejercicio 30: En un rectángulo, uno de los lados mide 5 cm y su área es de 50 cm2. ¿Cuánto mide la diagonal?. Ejercicio 31: En un cuadrado, cuyo perímetro es de 8 cm se han marcado los puntos medios de los lados. Calcular el perímetro y el área del cuadrado que se obtiene al unir esos puntos. Ejercicio 32: Se inscribe un cuadrado en una circunferencia de radio cmr 8= a) ¿Cuánto miden el lado y la diagonal de ese cuadrado?. b) Calcular aproximadamente el área de la porción del círculo que no está ocupada por el

cuadrado?. c) Si se quisiera el valor exacto del área pedida en la parte anterior ¿cómo se expresaría?. Ejercicio 33: En un triángulo rectángulo los catetos miden 53 y 54 . ¿Cuánto mide su hipotenusa?. ¿Cuál es su perímetro?. Ejercicio 34: Encontrar el valor exacto de cada una de las tres funciones trigonométricas de un ángulo positivo si ( )34 −, es un punto en su lado terminal.

Ejercicio 35: Dado 31

=δsen y 0<δcos , encontrar el valor exacto de cada una de las otras

dos funciones trigonométricas. Ejercicio 36: Utilice la periodicidad de las funciones para encontrar el valor exacto de cada una de las siguientes expresiones. I. ºsen 405 II. ºcos 420 III. π21tg

IV. 4

33πcos

.

1

PROBLEMAS RESUELTOS DE PLANO INCLINADO

Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico

Bucaramanga – Colombia 2010

Para cualquier inquietud o consulta escribir a: quintere@hotmail.comquintere@gmail.com

quintere2006@yahoo.com

Un bloque de 5 Kg. se pone en movimiento ascendente en un plano inclinado con una velocidad inicial de 8 m/s. El bloque se detiene después de recorrer 3 m a lo largo del plano, el cual está inclinado un ángulo de 30° respecto a la horizontal. Determine: a. El cambio de la energía cinética del bloque b. El cambio en su energía potencial

2

c. La fuerza de fricción ejercida sobre él (supuestamente constante) d. El coeficiente de fricción cinético. a. El cambio de la energía cinética del bloque

20*

21 VmCinicialE =

2*21

fVmCfinalE =

Energía cinética final – Energía cinética inicial = 0 – 160 julios Δ energía cinética = - 160 julios b. El cambio en su energía potencial Es necesario hallar la altura (h)

330 hsen =

h = 3 * sen 30 h = 3 * 0,5 h = 1,5 metros Energía potencial inicial = m*g * h Energía potencial inicial = 5 Kg. * 9,8 m/seg2 * 0 m Energía potencial = 0 julios Energía potencial final = m*g * h Energía potencial final = 5 Kg. * 9,8 m/seg2 * 1,5 m Energía potencial = 73,5 julios Δ energía potencial = Energía potencial final - Energía potencial inicial Δ energía potencial = 73,5 julios – 0 julios Δ energía potencial = 73 julios 0

(VF)2 = (V0)2 – 2 * a * X 2 a x = (V0)2

FR VO = 8 m/seg.

Vf = 0 m/seg. N

600

W

300

x = 3 m

h = ?

juliossegmkgCfinalE 0

20*5*

21

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Nota: Si el cuerpo se desplaza 3 metros por el plano inclinado, es necesario calcular la altura “h” que es la que ocasiona energía potencial. La energía potencial al iniciar el movimiento es cero por que no tiene altura, pero a medida que va ganando altura en el eje vertical, la energía potencial va aumentando

juliossegmkgCinicialE 160

28*5*

21

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

( )2seg

m 10,66 m 6

2seg

2m64

m 3 * 2

2

segm 8

x2

2OV

a ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

==

a = - 10,66 m/seg2 (es negativa por que el movimiento pierde velocidad hasta que sea cero es decir es un movimiento retardado.) Pero: WX = W * sen 30 WX = m * g * sen 30 WX = 5 kg * 9,8 m/seg2 * 0,5 WX = 24,5 Newton WY = W * cos 30 WY = m * g * cos 30 WY = 5 kg * 9,8 m/seg2 * 0,866 WY = 42,43 Newton ΣFY = 0 N = WY N = 42,43 Newton Pero: FR = μ * N FR = μ * 42,43 FR = 42,43 μ ΣFx = m * a -WX - FR = m *a (Ecuación 1) -24,5 – 42,43 μ = 5 * (-10,66) -24,5 – 42,43 μ = -53,3 multiplicando la ecuación x (-1) 24,5 + 42,43 μ = 53,3 42,43 μ = 53,3 -24,5 42,43 μ = 28,8

678,043,428,28==μ Coeficiente de fricción cinético

Hallar la fuerza de fricción FR = μ * N FR = 0,678 * 42,43 FR = 28,8 Newton Un bloque de 5 Kg. es empujado una distancia de 6 metros, subiendo por la superficie de un plano inclinado 37 grados, mediante una fuerza F de 500 Newton paralela a la superficie del plano. El coeficiente de rozamiento entre el bloque es 0,2. a) ¿que trabajo a realizado el agente exterior que ejerce la fuerza F? b) ¿hállese el aumento de energía potencial del mismo? Datos: F = 500 Newton

3d = 6 metros

WX

N

300

W

WYFR

La fuerza de rozamiento FR siempre se opone al movimiento, por eso FR se dibuja en sentido contrario al movimiento

μ = 0,2 m = 5 Kg.

FXF

=37cos

FX = F cos 37 FX = 500 * 0,798635 = 391,33 Newton FX = 399,31 Newton

50037 YF

FYF

sen ==

FY = 500 * sen 37 FY = 500 * 0,601815 FY = 300,9 Newton Pero:

498,9*537 XWXW

WXW

sen ===

WX = 49 * sen 37 WX = 49 * 0,601815 WX = 29,48 Newton

498,9*537cos YWYW

WYW

===

WY = 49 * cos 37 WY = 49 * 0,798635 WY = 39,13 Newton Σ FY = 0 N – WY - FY = 0 N – 39,13 - 300,9 = 0 N = 39,13 + 300,9 N = 340,03 Newton FR = μ * N FR = 0,2 * 340,03 FR = 68 Newton Σ FX = m * a FX - FR – WX = m * a 399,31 - 68 – 29,48 = m * a 301,83 = m * a

236,60

583,30183,301

seg

mkgNewton

ma ===

Trabajo efectuado por la fuerza aplicada de 500 Newton FX = F cos 37 FX = 500 * 0,798635 FX = 399,31 Newton

Pero: d = 6 metros

4

370

WYWX

W = m * g

FX

FY

N

370

FR F = 500 N

FR

F = 500 N

370

d = 6 m

370

h = ??

W = FX * d = 399,31 * 6 W = 2395,86 Newton * metro W = 2395,86 julios

637 hsen =

h = 6 * sen 37 h = 6 * 0,601815 h = 3,61 metros Energía potencial = m*g * h Energía potencial = 5 Kg. * 9,8 m/seg2 * 3,61 m Energía potencial = 176,93 julios PROBLEMA DE REPASO DE LA FISICA DE SERWAY Pág. 132 de la cuarta edición Considere los tres bloques conectados que se muestran en el diagrama. Si el plano inclinado es sin fricción y el sistema esta en equilibrio, determine (en función de m, g y θ). a) La masa M b) Las tensiones T1 y T2.

Bloque 2m ΣFx = 0 T1 – W1X = 0 Pero: W1X = W1 sen θ W1 = (2m) * g W1X = (2m * g) sen θ Reemplazando T1 – W1X = 0 T1 – (2m * g) sen θ = 0 (Ecuación 1) Bloque m ΣFx = 0 T2 - T1 – W2X = 0 Pero: W2X = W2 sen θ W2 = m * g W2X = (m * g) sen θ Reemplazando T2 - T1 – W2X = 0 T2 - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 1) T2 - T1 – (m * g) sen θ = 0 (Ecuación 2) T2 – (2 m * g) sen θ – (m * g) sen θ = 0

5

Nota: Si el cuerpo se desplaza 6 metros por el plano inclinado, es necesario calcular la altura “h” que es la que ocasiona energía potencial. La energía potencial al iniciar el movimiento es cero por que no tiene altura, pero a medida que va ganando altura en el eje vertical, la energía potencial va aumentando

θ

T2

T2

T1

T1

M

m

2m

W1 = 2m*g

θ W1Y

T1

N1

W1X

Bloque 2m

T2N2

T1

W2X W2Y

θ

Bloque m

W2 = m*g

T2 – (3 m * g) sen θ = 0 T2 = (3 m*g) sen θ T1 – W1X = 0

W3 = M * g

T2

Bloque M T1 = W1X = (2 m * g) sen θ T1 = (2 m*g) sen θ Bloque M ΣFY = 0 T2 – W3 = 0 T2 = W3 W3 = M * g T2 = M * g Pero: T2 = (3 m * g) sen θ T2 = M * g M * g = (3m*g) sen θ M = (3m) sen θ a) La masa M M = 3 m sen θ Si se duplica el valor encontrado para la masa suspendida en el inciso a), determine: c) La aceleración de cada bloque.

6

d) Las tensiones T1 y T2.T2

La masa es M = 3 m sen θ El problema dice que se duplique la masa M = 2 * (3 m sen θ) M = 6 m sen θ Al duplicar la masa, el cuerpo se desplaza hacia la derecha. Bloque 2m ΣFx = (2 m) * a T1 – W1X = 2 m * a Pero: W1X = W1 sen θ W1 = 2 m * g W1X = (2m * g) sen θ Reemplazando T1 – W1X = 2 m * a T1 – (2 m * g) sen θ = 2 m * a (Ecuación 1)

θ

T2T1

m

T1

M

2m

Bloque 2m

W1 = 2m*g

θ W1Y

T1

N1

W1X T2N2

T1

W2X W2Y

θ

Bloque m

W2 = m*g

Bloque m ΣFx = (m) * a T2 - T1 – W2X = m * a Pero: W2X = W2 sen θ W2 = m*g W2X = (m * g) sen θ Reemplazando T2 - T1 – W2X = m * a T2 - T1 – (m * g) sen θ = m * a (Ecuación 2) Bloque M ΣFY = (6 m sen θ) * a W3 - T2 = 6 m sen θ * a W3 = 6 m sen θ * g Reemplazando 6 m sen θ * g - T2 = 6 m sen θ * a (Ecuación 3) Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 – (2m * g) sen θ = 2m * a (Ecuación 1) T2 - T1 – (m*g) sen θ = m * a (Ecuación 2) 6 m sen θ * g - T2 = 6 m sen θ * a (Ecuación 3) – (2m*g) sen θ – (m *g) sen θ + 6 m sen θ * g = 2m * a + m * a + 6 m sen θ * a – (3m*g) sen θ + 6 m sen θ * g = 3m * a + 6 m sen θ * a 3 m g sen θ = 3 m * a + 6 m sen θ * a Cancelando las masas m m g sen θ = m * a + 2 m sen θ * a g sen θ = a + 2 sen θ * a a + 2 sen θ * a = g sen θ Factorizando la aceleración a(1 + 2 sen θ) = g sen θ

θθ

sen 2 1sen g a

+=

Despejando la ecuación 3 para hallar T2

6 m sen θ * g - T2 = 6 m sen θ * a (Ecuación 3) 6 m sen θ * g - 6 m sen θ * a = T2 6 m sen θ ( g - a ) = T2

Pero: θ

θsen 2 1

sen g a+

=

Reemplazando

7

W3 = 6 m sen θ * g

T2 Bloque M

2T sen 2 1

sen g - g sen m 6 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+ θθθ

Factorizando g

2T sen 2 1

sen - 1 sen g m 6 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+ θθθ

2T sen 2 1

sen - 2sen 1 sen g m 6 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++

θθθθ

2T sen 2 1

sen 1 sen g m 6 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++

θθθ

( ) sen 2 1

)sen (1 * sen g m 6 2T ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++

=θ

θθ

Despejando la ecuación 1 para hallar T1 T1 – (2m*g) sen θ = 2m * a (Ecuación 1) T1 = 2m * a + 2m*g sen θ

Pero: θ

θsen 2 1

sen g a+

=

θθ

θ sen g m 2 sen 2 1

sen g m 2 1T +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

( ) θ

θθ sen g m 2

sen 2 1sen g m 2 1T +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

( ) ([ ])

sen 2 1 2sen 1 sen g m 2 sen g m 2 1T ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+++

=θ

θθθ

sen 2 1

2sen g m 4 sen g m 2 sen g m 2 1T ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+++

=θ

θθθ

sen 2 1

2sen g m 4 sen g m 4 1T ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++

=θ

θθ

Factorizando

( ) sen 2 1

1 sen g m 4 1T ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

=θ

θθ sen

Si el coeficiente de fricción estática entre m y 2m y el plano inclinado es μS y el sistema esta en equilibrio encuentre: e) El valor mínimo de M. f) El valor máximo de M. g) Compare los valores de T2 cuando M tiene sus valores mínimo y máximo

8Para hallar el valor mínimo de M se considera

que el cuerpo intenta el desplazamiento hacia T2

9

la izquierda y la fuerza de rozamiento se opone a esto. Bloque 2m ΣFx = 0 T1 + FR – W1X = 0 Pero: W1X = W1 sen θ W1 = 2m * g W1X = (2m * g) sen θ Reemplazando T1 + FR – W1X = 0 T1 + FR – (2m * g) sen θ = 0 (Ecuación 1) ΣFY = 0 N1 - W1Y = 0 Pero: W1Y = W1 cos θ Pero: W1 = 2 m g W1Y = 2 m g cos θ N1 = W1Y N1 = 2 m g cos θ (Ecuación 2) Pero: FR = μS * N1 (Ecuación 3)

FR = μ *2 m g cos θ Reemplazando en la ecuación 1, tenemos T1 + FR – (2m * g) sen θ = 0 T1 + μ *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 4) Bloque m ΣFx = 0 T2 + FR - T1 – W2X = 0 Pero: W2X = W2 sen θ W2 = m * g W2X = (m * g) sen θ T2 + FR - T1 – W2X = 0 T2 + FR - T1 – (m * g) sen θ = 0 (Ecuación 5) ΣFY = 0 N2 – W2Y = 0 W2Y = W2 cos θ Pero: W2 = m g N2 = W2Y = m g cos θ

θ

FR

T1

W1 = 2m*g

W1Y

N1

W1X

Bloque 2m

T2N2

T1

W2X

W2Y θ

W2 = m*g

FR

Bloque m

FR

θ

T2T1

m

T12m

MFR

Pero: FR = μ * N2

FR = μ * m g cos θ (Ecuación 6) Reemplazando la ecuación 6 en la ecuación 5 T2 + FR2 - T1 – (m*g) sen θ = 0 T2 + μ * m g cos θ - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 7) Bloque M ΣFY = 0 W3 - T2 = 0 T2 = W3 W3 = M * g T2 = M * g M * g - T2 = 0 (Ecuación 8) Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 + μ *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 4) T2 + μ * m g cos θ - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 7) M * g - T2 = 0 (Ecuación 8) μ *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ + μ * m g cos θ – (m*g) sen θ + M * g = 0 Sumado términos semejantes μ *3 m g cos θ – (3 m * g) sen θ + M * g = 0 M * g = 3 m g sen θ - 3 μ m g cos θ Se cancela la g (gravedad) como termino común M = 3 m sen θ - 3 μ m cos θ M = 3 m (sen θ - μ cos θ ) (Este es el valor mínimo de M para que el sistema se mantenga en equilibrio) Reemplazando M en la ecuación 8, hallamos T2 M * g - T2 = 0 (Ecuación 8) 3 m (sen θ - μ cos θ ) * g - T2 = 0 Despejando T2 T2 = 3 m (sen θ - μ cos θ )* g Este es el valor de T2, cuando M es mínimo f) El valor máximo de M. Para hallar el valor máximo de M se considera que el cuerpo intenta el desplazamiento hacia la derecha y la fuerza de rozamiento se opone a esto. Bloque 2m ΣFx = 0 T1 - FR1 – W1X = 0 Pero: W1X = W1 sen θ W1 = 2m * g W1X = (2m*g) sen θ

10

W3 = M * g

T2

Bloque M

Reemplazando T1 - FR1 – W1X = 0 T1 - FR1 – (2m*g) sen θ = 0 (Ecuación 9) ΣFY = 0 N1 - W1Y = 0 Pero: W1Y = W1 cos θ Pero: W1 = 2 m g N1 = W1Y N1 = 2 m g cos θ (Ecuación 10) Pero: FR = μ * N1

FR = μ *2 m g cos θ (Ecuación 11) Reemplazando la ecuación 11 en la ecuación 9, tenemos T1 - FR – (2m*g) sen θ = 0 T1 - μ * 2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 12) Bloque m ΣFx = 0 T2 - FR - T1 – W2X = 0 (Ecuación 13) Pero: W2X = W2 sen θ W2 = m * g W2X = (m*g) sen θ Pero: W2 = m g Pero: W2Y = W2 cos θ W2Y = m g cos θ ΣFY = 0 N2 – W2Y = 0 N2 = W2Y = m g cos θ (Ecuación 14) Pero: FR = μ * N2

FR = μ * m g cos θ (Ecuación 15) Reemplazando la ecuación 15 en la ecuación 13 T2 - FR - T1 – W2X = 0 (Ecuación 13) T2 - FR - T1 – (m*g) sen θ = 0 T2 - μ * m g cos θ - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 16) Bloque M ΣFY = 0 W3 - T2 = 0 T2 = W3 W3 = M * g T2 = M * g M * g - T2 = 0 (Ecuación 17)

11

FR

θ

T1

W1 = 2m*g

W1Y

N1

W1X

Bloque 2m

FR

W2X

T2N2

T1

W2Yθ

W2 = m*g

Bloque m

W3 = M * g

T2

Bloque M

Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 - μ *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 12) T2 - μ * m g cos θ - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 16) M * g - T2 = 0 (Ecuación 17) - μ *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ - μ * m g cos θ – (m * g) sen θ + M * g = 0 - μ *3 m g cos θ – (3 m * g) sen θ + M * g = 0 Se cancela la g (gravedad) como termino común M * g = 3 m g sen θ + 3 μS m g cos θ M = 3 m sen θ + 3 μ m cos θ M = 3 m (sen θ + μ cos θ ) El valor máximo de M, para que el sistema no se desplace hacia la derecha Reemplazando M en la ecuación 17, hallamos T2 M * g - T2 = 0 (Ecuación 17) 3 m (sen θ + μ cos θ )* g - T2 = 0 Despejando T2 T2 = 3 m (sen θ + μ cos θ ) * g Este es el valor de T2, cuando M es máximo. g) Compare los valores de T2 cuando M tiene sus valores mínimo y máximo Despejando T2 T2 = 3 m (sen θ - μ cos θ ) * g Este es el valor de T2, cuando M es mínimo Despejando T2 T2 = 3 m (sen θ + μ cos θ ) * g Este es el valor de T2, cuando M es máximo. PROBLEMA 5 – 33 Serway CUARTA EDICION Un bloque de masa m = 2 Kg. Se mantiene en equilibrio sobre un plano inclinado de ángulo θ = 600 mediante una fuerza horizontal F, como se muestra en la figura P5 – 33.

a) Determine el valor de F, la magnitud de F. b) Encuentre la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre el bloque (ignore la fricción).

Σ FX = 0 FX – WX = 0 (Ecuación 1) FX = WX Pero: FX = F cos 60 WX = W sen 60 F cos 60 = W sen 60

Newton 33,94 1,732 * 9,8 * 2 60 tgg m 60 W tg 60 cos60sen W F =====

F = 33,94 Newton Encuentre la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre el bloque (ignore la fricción).

12

F

600

FX FY

WX

WYW

EJE XN

300

300

600

F

W

Σ FY = 0 N – WY – FY = 0 (Ecuación 2) Pero: FY = F sen 60 WY = W cos 60 Reemplazando en la ecuación 2 N – WY – FY = 0 (Ecuación 2) N – W cos 60 – F sen 60 = 0 N – m g cos 60 – F sen 60 = 0 N – 2 * 9,8 * 0,5 – 33,94 * 0,866 = 0 N – 9,8 - 29,39 = 0 N = 9,8 + 29,39 N = 39,19 Newton Problema 5 – 33 Serway Quinta edición; Problema 5-25 Serway sexta edición A un bloque se le da una velocidad inicial de 5 m/seg. Hacia arriba de un plano sin fricción con una inclinación de 200 Cuan alto se desliza el bloque sobre el plano antes de que se detenga

Σ FX = m a WX = m a Pero:

13

WX = W sen 20 N

WX

N

200

W

WY

W sen 20 = m a m g sen 20 = m a g sen 20 = a a = 9,8 sen 20 a = 3,351 m/seg2

Pero; V0 = 5 m/seg. 0

(VF)2 = (V0)2 - 2 * a * X (V0)2 = 2 * a * X

( )

metros 3,729 6,703

25 3,351 * 2

25 a 2

20V

X ====

X = 3,729 metros Problema 5 – 34 Serway quinta edición; Problema 5 – 26 Serway sexta edición Dos masas están conectadas por una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin fricción, como en la figura. Si el plano inclinado no tiene fricción y si m1 = 2 Kg. m2 = 6 Kg. y θ = 550 encuentre:

a) Las aceleraciones de las masas b) La tensión en la cuerda c) La rapidez de cada masa 2 seg. Después de que se sueltan desde el reposo.

700

W

200

X

m1 = 2 kg. m2 = 6 kg. θ = 550

Pero: P1 = m1 g P1 = 2 * 9,8 = 19,6 Newton P1 = 19,6 Newton Bloque m1Σ Fy = m1 a T – P1 = m1 a T – 19,6 = 2 a (Ecuación 1) Pero: P2 = m2 g P2 = 6 * 9,8 = 58,8 Newton P2 = 58,8 Newton Bloque m2P2X = P2 sen 55 P2X = 58,8 sen 55 P2X = 48,166 Newton Σ FX = m2 a P2X – T = m2 a 48,166 – T = 6 a (Ecuación 2) T – 19,6 = 2 a (Ecuación 1) 48,166 – T = 6 a (Ecuación 2) - 19,6 + 48,166 = 2a + 6a 28,566 = 8a 28,566 = a(8 )

2seg

m 3,57 8

28,566 a ==

b) La tensión en la cuerda T – 19,6 = 2 a (Ecuación 1) T – 19,6 = 2 * 3,57 T – 19,6 = 7,14 T = 7,14 + 19,6 T = 26,74 Newton La rapidez de cada masa 2 seg. Después de que se sueltan desde el reposo.

0

VF = V0 + a t VF = a t

14

Bloque m2

N2

P2Y

P2X

P2 = m2 g

T

550

m1 = 1

T Bloque m1

T

m1 = 2m2 = 6

T

550

VF = 3,57 * 2 VF = 7,14 m/seg. Problema 5 – 40 Edición cuarta; Problema 5-32 quinta edición; Problema 5 – 22 sexta edición Un bloque se desliza hacia abajo por un plano sin fricción que tiene una inclinación de θ = 150. Si el bloque parte del reposo en la parte superior y la longitud de la pendiente es 2 metros, encuentre: La magnitud de la aceleración del bloque?

a) Su velocidad cuando alcanza el pie de la pendiente?

Σ FY = 0 WY – N = 0 WY = N Pero: WY = W cos θ W cos θ = N Σ FX = m a WX = m a Pero: WX = W sen θ W sen θ = m a Pero: W = m g m g sen θ = m a g sen θ = a a = 9,8 * sen 15 a =9,8 * 0,258 a = 2,536 m/seg2

0

(VF)2 = (V0)2 + 2 * a * X 2 a x = (VF)2

segm 3,18 2 * 2,536 * 2 2FV === Xa

Problema 5 – 41 Serway Edición cuarta; Problema 5 – 62 Serway Edición quinta Un bloque de masa m = 2 Kg. se suelta del reposo a una altura h = 0,5 metros de la superficie de la mesa, en la parte superior de una pendiente con un ángulo θ = 300 como se ilustra en la figura 5 – 41. La pendiente esta fija sobre una mesa de H = 2 metros y la pendiente no presenta fricción. a) Determine la aceleración del bloque cuando se desliza hacia debajo de la pendiente b) Cual es la velocidad del bloque cuando deja la pendiente. c) A que distancia de la mesa, el bloque golpeara el suelo. d) Cuanto tiempo ha transcurrido entre el momento en que se suelta el bloque y cuando golpea el suelo. e) La masa del bloque influye en cualquiera de los cálculos anteriores.

15

X = 2 metros

θ = 150

V0 = 0

N

W = m g

WX

WY 150

a) Determine la aceleración del bloque cuando se desliza hacia debajo de la pendiente

PX

PY

P

300

16

Y = 2 m

V0 = - 3,13 m/seg. V0Y

VX

PX = P sen 30º ∑ FX = m a PX = m a PX = m g sen 30 PX = m a m g sen 30 = m a g sen 30 = a a = 9,8 * 0,5 a = 4,9 m/seg2

La aceleración del bloque cuando se desliza hacia abajo por el plano inclinado

Dh 30sen = metro 1

0,50,5

30sen h D ===

D = 1 metro Cual es la velocidad del bloque cuando deja el plano inclinado 0

(VF)2 = (V0)2 + 2 * a * X 2 a x = (VF)2

segm 3,13 1 * 4,9 * 2 2FV === Xa

b) Cual es la velocidad del bloque cuando deja la pendiente. La velocidad con la cual llega al final del plano inclinado, es la misma velocidad que el cuerpo inicia el tiro parabólico. (Ver grafico.) Es decir la velocidad inicial en el tiro parabólico es 3,13 mseg. Esta velocidad es negativa por que va dirigida hacia abajo. (V0 = - 3,13 m/seg.) V0Y = Vo sen 30 V0Y = 3,13 sen 30 V0Y = - 1,565 m/seg. Esta velocidad es negativa por que va dirigida hacia abajo. d) Cuanto tiempo ha transcurrido entre el momento en que se suelta el bloque y cuando golpea el suelo. Tiempo total = tiempo en el plano inclinado + tiempo en el tiro parabolico

X

h = 0,5 θ = 300

VVY

VX

D

300

V0 = - 3,13 m/seg.

V0Y

VX

Es necesario hallar el tiempo que demora el cuerpo en el plano inclinado. VF = V0 + a t pero V0 = 0 VF = a t

seg 0,638 2seg

m 4,9seg

m 3,13

aFV

t ===

t = 0,638 seg. (tiempo del cuerpo en el plano inclinado) Es necesario hallar el tiempo que demora el cuerpo en el tiro parabolico Pero Y = 2 metros (V0Y = - 1,565 m/seg.)

2

2 t* g - t 0YV - Y - = Multiplicando la ecuación por (-1)

2

2 t* g t 0YV Y +=

2

2 t* 9,8 t 1,565 2 +=

2 t4,9 t 1,565 2 += Ordenando la ecuación, hallamos el tiempo que el cuerpo demora en el aire. 4,9 t2 + 1,565 t – 2 =0 a = 4,9 b = 1,565 c = - 2

9,8

39,2 2,4492 1,565-

4,9 * 2(-2)* 4,9 * 4 - 2(1,565) (1,565)-

a 2

c a 4 - 2bb- t +±

=±

=±

=

9,8

41,6492 1,565 - t ±=

9,86,453 1,565 - t ±

=

9,84,88

9,86,4536 -1,565 1t =

+=

t = 0,4988 seg. (tiempo del cuerpo en el TIRO PARABOLICO) Tiempo total = tiempo en el plano inclinado + tiempo en el tiro parabolico Tiempo total = 0,638 seg. + 0,4988 seg. Tiempo total = 1,137 seg. c) A que distancia de la mesa, el bloque golpeara el suelo. X = VX * t t es el tiempo del cuerpo en el TIRO PARABOLICO = 0,4988 seg. VX = Vo cos 30 VX = 3,13 * 0,866 VX = 2,71 m/seg. Esta velocidad es positiva por que va dirigida hacia la derecha.

17

300

V0 = - 3,13 m/seg.

V0Y

VX

X = VX * t X = 2,71 * 0,4988 X = 1,351 metros La masa del bloque influye en cualquiera de los cálculos anteriores. No, la masa se cancela y por lo tanto no influye en los calculos. Problema 5 – 57 Edición cuarta; Problema 5 – 45 edición quinta; Problema 5-41 Edición sexta Un bloque de 3 Kg. parte del reposo en la parte superior de una pendiente de 300 Y se desliza 2 metros hacia abajo en 1,5 seg. Encuentre: a) La magnitud de la aceleración del bloque. b) El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano. c) La fuerza de fricción que actúa sobre el bloque. d) La rapidez del bloque después de que se ha deslizado 2 metros.

La magnitud de la aceleración del bloque.

m = 3 Kg. X = 2 metros t = 1,5 seg. V0 = 0

2 ta

21 t 0V X +=

2 ta 21 X =

2 X = a t2

2seg

m 1,77 2,25

4 21,5

2 * 2 2t

X 2 a ====

a = 1,77 m/seg2

El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano. ∑ FX = m a WX – FR = m a (Ecuación 1) Pero: WX = W sen 30 WX = m g sen 30 WX = 3 * 9,8 * 0,5 WX = 14,7 Newton. ∑ FY = 0 N – WY = 0 N = WY = W cos 30 N = m g cos 30 N = 3 * 9,8 * 0,866 N = 25,461 Newton FR = μ * N FR = μ * 25,461

18

V0 = 0

X = 2 metros t = 1,5 seg.

300

600

W

N

300

W

WX

WY

FR

N

Reemplazando en la ecuación 1 WX – FR = m a (Ecuación 1) 14,7 – μ * 25,461 = 3 * 1,77 14,7 - μ 25,461 = 5,31 μ 25,461 = 14,7 - 5,31 μ 25,461 = 9,39

0,368 25,4619,39 ==μ

μ = 0,368 coeficiente de fricción cinética La fuerza de fricción que actúa sobre el bloque. FR = μ N FR = 0,368 * 25,461 FR = 9,36 Newton La rapidez del bloque después de que se ha deslizado 2 metros. VF = V0 +a * t pero: V0 = 0 t = 1,5 seg. VF = a * t pero: a =1,77 m/seg2

VF = 1,77 * 1,5 VF = 2,65 m/seg. Problema 5 - 85 serway cuarta edición Los tres bloques de la figura están conectados por medio de cuerdas sin masa que pasan por poleas sin fricción. La aceleración del sistema es 2,35 cm/seg2 a la izquierda y las superficies son rugosas. Determine:

a) Las tensiones en la cuerda b) El coeficiente de fricción cinético entre los bloques y las superficies (Supóngase la misma μ para

ambos bloques) Datos: m1 = 10 kg. m2 = 5 kg. m3 = 3 Kg. a = 2,35 cm/seg2 g = 9,8 m/seg2

Bloque m1∑ FY = m1 a P1 – T1 = m1 a (Ecuación 1) P1 = m1 g P1 = 10 * 9,8 = 98 Newton P1 = 98 Newton 98 - T1 = m1 a 98 - T1 = 10 * 2,35 98 - T1 = 23,5 98 + 23,5 = T1 T1 = 74,5 Newton Bloque m2∑ FX = m2 a T1 – FR2 – T2 = m2 a (Ecuación 2) ∑ FY = 0 P2 – N2 = 0 P2 = N2 19

250

m3

m2

m1

FR2

FR3

T2

T2 T1

T1

m2 g = N2P2 = m2 g P2 = 5 * 9,8 = 49 Newton P2 = N2 = 49 Newton Pero: FR2 = μ N2FR2 = μ 49 Reemplazando en la ecuación 2 T1 – FR2 – T2 = m2 a (Ecuación 2) 74,5 - μ 49 – T2 = m2 a = 5 * 2,35 = 11,75 74,5 - μ 49 – T2 = 11,75 74,5 - 11,75 - μ 49 = T2 62,75 - μ 49 = T2 (Ecuación 3) Bloque m3∑ FX = m3 a T2 – P3X – FR3 = m3 a Pero: P3X = P3 sen 25 P3X = 3 * 9,8 sen 25 P3X = 12,42 Newton ∑ FY = 0 P3Y – N3 = 0 P3Y = N3 P3Y = P3 cos 25 P3Y = 3 * 9,8 sen 25 P3Y = 26,64 Newton N3 = 26,64 Newton FR3 = μ N3 FR3 = μ 26,64 Reemplazando en: T2 – P3X – FR3 = m3 a T2 – 12,42 - μ 26,64 = 3 * 2,35 T2 = 12,42 + μ 26,64 + 7,05 T2 = 19,47 + μ 26,64 (Ecuación 4) Igualando las ecuaciones 3 y 4, hallamos el coeficiente cinético de fricción 62,75 - μ 49 = T2 (Ecuación 3) T2 = 19,47 + μ 26,64 (Ecuación 4) 62,75 - μ 49 = 19,47 + μ 26,64 62,75 – 19,47 = μ 26,64 + μ 49

20

N3

FR3 P3Y

P3X

P3 = m3 g

250

T2

Bloque m3

Bloque m1

T1

P1 = m1 g

T2

FR2 T1

Bloque m2

N2

P2 = m2 g

43,28 = 75,64 μ

0,572 75,6443,28 ==μ

Para hallar la tensión T2 se reemplaza en la ecuación 4 T2 = 19,47 + μ 26,64 (Ecuación 4) T2 = 19,47 + 0,572 * 26,64 T2 = 19,47 + 15,23 T2 = 34,7 Newton Problema 5 – 87 Serway cuarta edición; Problema 5-72 Serway quinta edición; Problema 5-68 Serway sexta edición Dos bloques de 3,5 kg. y 8 Kg. de masa se conectan por medio de una cuerda sin masa que pasa por una polea sin fricción (figura p 5 – 87). Las pendientes son sin fricción: Encuentre:

a) La magnitud de la aceleración de cada bloque? b) La tensión en la cuerda?

m1 = 3,5 kg. m2 = 8 kg. Pero: P1X = P1 sen 35 = m1 g sen 35 P1X = 3,5 * 9,8 * sen 35 P1X = 3,5 * 9,8 * 0,5735 P1X = 19,67 Newton NO HAY ROZAMIENTO Bloque m1 Σ FX = T – P1X = m1 * a T – 19,67 = 3,5 a (Ecuación 1) Bloque m2 Σ FX = m2 * a P2X – T = m2 * a Pero: P2X = P2 sen 35

P2X = m2 g sen 35 P2X = 8 * 9,8 * 0,5735 35 = 44,96 Newton

44,96 – T = 8 a (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema. T – 19,67 = 3,5 a (Ecuación 1) 44,96 – T = 8 a (Ecuación 2)

-19,67 + 44,96 = 11,5a

21

m1m2

T T

350350

Bloque m2

N2

P2Y

P2X

P2 = m2 g

T

350

P1 = m1 g

P1X

N1

P1Y

T

350

Bloque m1

11,5a = 25,29

2seg

m 2,2 11,525,29 a =

a = 2,2 m/seg2

b) La tensión en la cuerda? Reemplazando en la ecuación 1 T – 19,67 = 3,5 a (Ecuación 1) T -19,67 = 3,5 * 2,2 T = 7,7 + 19,67 T = 27,37 Newton

Problema 5 – 88 cuarta edición; Problema 5-73 quinta edición El sistema mostrado en (figura p5 – 87). Tiene una aceleración de magnitud igual a 1,5 m/seg2 . Suponga que el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la pendiente es el mismo en ambas pendientes.: Encuentre:

a) El coeficiente de fricción cinético. b) La tensión en la cuerda?

m1 = 3,5 kg. m2 = 8 kg. HAY ROZAMIENTO FR1 , FR2 que se oponen a que el sistema se desplace hacia la derecha. Pero: P1X = P1 sen 35 = m1 g sen 35 P1X = 3,5 * 9,8 * sen 35 P1X = 3,5 * 9,8 * 0,5735 P1X = 19,67 Newton Bloque m1 Σ FX = m1 * a T – P1X - FR1 = m1 * a T – 19,67 - FR1 = 3,5 * 1,5 T – 19,67 - FR1 = 5,25 Σ FY = 0 P1Y – N1 = 0 P1Y = N1 Pero: P1 = m1 g P1Y = P1 cos 35 = m1 g cos 35 P1Y = 3,5 * 9,8 * 0,8191 P1Y = 28,09 Newton P1Y = N1 = 28,09 Newton Pero: FR1 = μ N1 FR1 = 28,09μ T – 19,67 - FR1 = 5,25 T – 19,67 – 28,09μ = 5,25 (Ecuación 1) 22

FR1

P1X

N1

P1Y

T

350

P1 = m1 g

Bloque m1

FR2 FR1

T T

350 350

Pero: P2X = P2 sen 35

P2X = m2 g sen 35 P2X = 8 * 9,8 * 0,5735 P2X = 44,96 Newton

Bloque m2 Σ FX = m2 * a P2X – T - FR2 = m2 * a 44,96 – T - FR2 = 8 * 1,5 44,96 – T - FR2 = 12 Σ FY = 0 P2Y – N2 = 0 P2Y = N2 Pero: P2 = m2 g P2Y = P2 cos 35 = m2 g cos 35 P2Y = 8 * 9,8 * cos 35 P2Y = 8 * 9,8 * 0,8191 P2Y = 64,21 Newton P2Y = N2 = 64,21 Newton Pero : FR2 = μ N2 FR2 = 64,21μ 44,96 – T - FR2 = 40 44,96 – T – 64,21μ = 12 (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema. T – 19,67 – 28,09μ = 5,25 (Ecuación 1) 44,96 – T – 64,21μ = 12 (Ecuación 2)

-19,67 – 28,09μ + 44,96 – 64,21μ = 5,25 + 12 25,29 -92,3μ = 17,25

92,3μ = 25,29 -17,25 92,3 μ = 8,04

0,087 92,38,04 ==μ

μ = 0,087 coeficiente de fricción cinética La tensión en la cuerda?

Reemplazando en la ecuación 1 T – 19,67 – 28,09μ = 5,25 (Ecuación 1) T – 19,67 – 28,09* 0,087 = 5,25 T – 19,67 – 2,44 = 5,25 T = 19,67 +2,44 + 5,25 T = 32,51 Newton 23

FR2

Bloque m2

N2

P2Y

P2X

P2 = m2 g

T

350

CAPITULO 1 COMPOSICION Y DESCOMPOSICION DE VECTORES 1.3 SEARS – ZEMANSKY Un bloque es elevado por un plano inclinado 200 mediante una fuerza F que forma un ángulo de 300 con el plano.

a) Que fuerza F es necesaria para que la componente FX paralela al plano sea de 8 Kg. b) Cuanto valdrá entonces la componente FY

FX = 8 Kg FX = F cos 30

200

300

8 = F cos 30

FY

FX

300

8 = F 0,866

9,23 0,866

8 F ==

F = 9,23 Kg. FY = F sen 30 FY = 9,23 * (0,5) FY = 4,61 Kg.

CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY Problema 2.13 Un bloque que pesa 14 kg. esta colocado sobre un plano inclinado y ligado a otro bloque de 10 kg. por una cuerda que pasa por una pequeña polea sin rozamiento. El coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque y el plano es 1/7. Para que dos valores de θ se moverá el sistema a velocidad constante. Supóngase que todas las fuerzas actúan en el centro del bloque.

Bloque P1 = 14 Kg. Σ FX = 0

24

T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen θ P1X = 14 sen θ Pero: P1Y = P1 cos θ P1Y = 14 cos θ Σ FY = 0

P2 = 10

P1 = 14 Kg.

FR

θ0

N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 14 cos θ FR = μ * N1 (Ecuación 3) FR = 1/7 * (14 cos θ) FR = 2 cos θ Bloque m2Σ FY = 0 P2 – T = 0 (Ecuación 4) P2 = T Pero: P2 = 10 Kg. T = P2 = 10 Kg.

Reemplazando en la ecuación 1

P2 = m2 * g P2 = 10 Kg.

Bloque m2 P1 = m1 * g P1 = 14 Kg.

FR

P1Y

Bloque m1

P1X

θ0

N1T

T

T

T

T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) 10 – 14 senθ - 2 cos θ = 0 pero : sen2 θ + cos2 θ = 1

2/1 2sen- 1 2sen - 1 cos ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛== θθθ

Reemplazando 10 – 14 senθ - 2 cos θ = 0 10 – 14 senθ - 2 (1-sen2 θ)1/2 = 0 5 – 7 senθ - (1-sen2 θ)1/2 = 0 5 – 7 senθ = (1-sen2 θ)1/2 Elevando al cuadrado en ambos lados

[ ] 22/1

2sen - 1 2 7 5⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=− θθsen

25 – 70 senθ + 49 sen2 θ = 1 – sen2 θ 49 sen2 θ + sen2 θ – 70 senθ + 25 – 1 = 0 50 sen2 θ – 70 sen θ + 24 = 0 Aplicando la formula para ecuaciones de segundo grado. a = 5 b =-70 c= 24

100 4800 - 4900 70

(50) 224 (50) 4 - 270) - ( 70) (- -

sen ±=

±=θ

10010 70

100 100 70 sen ±=

±=θ

25

0,8 10080

10010 70 1sen ==

+=θ θ1 = arc sen 0,8

θ1 = 53,130

0,6 10060

10010 70 2sen ==

−=θ θ2 = arc sen 0,6

θ2 = 36,860

θ1 = 53,130 Cuando el cuerpo se desplaza hacia la derecha. P2 = 10

P1 = 14

FR

53,130

θ2 = 36,860 Cuando el cuerpo se desplaza hacia la izquierda.

CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY

Problema 2.14 Un bloque que pesa 100 Kg. esta colocado sobre un plano inclinado de 300 y conectado a un segundo bloque de peso W pendiente de una cuerda que pasa por una pequeña polea sin rozamiento. El coeficiente estático de rozamiento es 0,4 y el coeficiente cinético 0,3.

a) Calcular el peso W para el cual el bloque de 100 Kg. se eleva por el plano a velocidad constante. b) Hállese el peso W para el cual se mueve hacia abajo a velocidad constante. c) Para que intervalo de valores de W permanecerá el bloque en reposo?

T

T

26

Calcular el peso W para el cual el bloque de 100 Kg. se eleva por el plano a velocidad constante.

P1 = 100

FR

300

T

T

Bloque P1 (Cuando se desplaza hacia la derecha) Σ FX = 0

P1 = 100

FR

P1Y

Bloque P1

P1X300

N1

T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 T P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg. Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg. Nota: Cuando el cuerpo esta en movimiento se utiliza el coef. cinético FR = μC * N1 (Ecuación 3) μC = 0,3 (Coeficiente cinético de rozamiento) FR = 0,3 * (86,6) FR = 25,98 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. T = P1X + FR = 0 T = 50 + 25,98 T = 75,98 Kg.

W = m2 * g W = ?

Bloque W

T BLOQUE W Σ FY = 0 (por que se desplaza a velocidad constante) T – W = 0 T = W (Ecuación 4) Pero T = 75,98 Kg. W = 75,98 Kg. Hállese el peso W para el cual se mueve hacia abajo a velocidad constante.

La fuerza de rozamiento actua en sentido contrario al movimiento.

Bloque P1 (Cuando se desplaza hacia la izquierda) Σ FX = 0

P1 = m1 * g P1 = 100

FR

P1Y

Bloque P1

P1X

300

N1

27

- T + P1X - FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg. Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg. Nota: Cuando el cuerpo esta en movimiento se utiliza el coef. cinético FR = μC * N1 (Ecuación 3) μC = 0,3 (Coeficiente cinético de rozamiento) FR = 0,3 * (86,6) FR = 25,98 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. -T + P1X - FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. T = P1X - FR = 0 T = 50 - 25,98 T = 24,02 Kg. BLOQUE W (por que se desplaza a velocidad constante) Σ FY = 0 T – W = 0 T = W (Ecuación 4) Pero T = 24 Kg. W = 24 Kg. Para que intervalo de valores de W permanecerá el bloque en reposo? SI el cuerpo intenta moverse hacia la derecha, la fuerza de rozamiento actúa hacia la izquierda Bloque P1 (Cuando el cuerpo intenta desplazamiento hacia la derecha) Σ FX = 0 T – P1X - FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30

W = m2 * g W = ?

Bloque W

T

T

T

T P1 = 100

FR

300

W = ?

La fuerza de rozamiento actua en sentido contrario al movimiento.

Bloque P1

NB1 T

P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg. Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg. FR = μC * N1 (Ecuación 3) μC = 0,4 (Coeficiente estático de rozamiento) FR = 0,4 * (86,6) FR = 34,64 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. T – P1X - FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg.

W = m2 * g W = ?

Bloque W T = P1X + FR = 0 T = 50 + 34,64 T T = 84,64 Kg. BLOQUE W Σ FY = 0 T – W = 0 T = W (Ecuación 4) Pero T = 84,64 Kg. W = 84,64 Kg. SI el cuerpo intenta moverse hacia la izquierda, la fuerza de rozamiento actúa hacia la derecha Σ FX = 0 Cuando el cuerpo intenta desplazamiento hacia la izquierda) T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1)

P1 = m1 * g P1 = 100

FR

P1Y

Bloque P1

P1X

300

N1

Pero: P1X = P1 sen 30

T P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg. Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg. FR = μC * N1 (Ecuación 3) μC = 0,4 (Coeficiente estático de rozamiento) FR = 0,4 * (86,6) FR = 34,64 Kg.

28

La fuerza de rozamiento actua en sentido contrario al movimiento. Cuando el cuerpo no se desplaza se utiliza el coef. estatico

La fuerza de rozamiento actua en sentido contrario al movimiento. Cuando el cuerpo no se desplaza se utiliza el coef. estatico

Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. T = P1X - FR = 0

W = m2 * g W = ?

Bloque W T = 50 - 34,64 T T = 15,36 Kg. BLOQUE W Σ FY = 0 T – W = 0 T = W (Ecuación 4) Pero T = 15,36 Kg. W = 15,36 Kg. Problema 2-16 Sears zemanski El bloque A, de peso W, desliza hacia abajo con velocidad constante sobre un plano inclinado S cuya pendiente es 370 mientras la tabla B, también de peso W, descansa sobre la parte superior de A. La tabla esta unidad mediante una cuerda al punto más alto del plano. a) Dibujar un diagrama de todas las fuerzas que actúan sobre el bloque A. b)Si el coeficiente cinético de rozamiento entre las superficies A y B y entre S y A es el mismo, determinar su valor.

FR1 = fuerza de rozamiento entre los dos bloques

T

FR2 = fuerza de rozamiento entre el bloque B y el plano inclinado

B

A

370

BWBXW

37sen =

WBX = WB sen 37 = m g sen 37 B

WAX = WA sen 37= m g sen 37

BWBYW

37 cos =

WBY = WB cos 37 = m g cos 37 B

WAY = WA cos 37 = m g cos 37 Bloque B

29

∑ FX = 0 Por que el bloque B no se desplaza por que la cuerda no lo permite.

WA = m g

WAXWAY

FR2 NA

WBX

WBY

WB = m g

Bloque A T - WBX – FR1 = 0

WBX

370

NB

FR1

WBY

WB = mB g

TBloque B

Pero: FR1 = μ NBB

FR1 ∑ FY = 0

NB – WB BY = 0 NB = WB BY = m g cos 37 Bloque A ∑ FY = 0 NA – WAY – WBY = 0 NA = WAY + WBY

NA = WB cos 37 + WB BB cos 37 NA = m g cos 37 + m g cos 37 NA = 2m g cos 37 Por que el bloque A se desplaza a VELOCIDAD CONSTANTE, la aceleración es cero. ∑ FX = 0 FR1 + FR2 - WBX – WAX = 0 WBX = WB sen 37 = m g sen 37 B

WAX = WA sen 37= m g sen 37 Pero : WAX = WBX FR1 + FR2 = WBX + WAX FR1 + FR2 = m g sen 37 + m g sen 37 FR1 + FR2 = 2 m g sen 37 (Ecuación 1) FR1 = μ NB (+) B

FR2 = μ NA FR1 + FR2 = μ NB + μ NB A FR1 + FR2 = μ (NB + NB A) (Ecuación 2) Pero: NA = 2m g cos 37 NB = m g cos 37 B

Reemplazando en la ecuación 2 FR1 + FR2 = μ (NB + NB A) (Ecuación 2) FR1 + FR2 = μ (m g cos 37 + 2m g cos 37 ) FR1 + FR2 = μ (3m g cos 37 ) (Ecuación 3) Igualando la Ecuación 1 y la Ecuación 3 FR1 + FR2 = 2 m g sen 37 (Ecuación 1) FR1 + FR2 = μ (3m g cos 37 ) (Ecuación 3) 2 m g sen 37 = μ (3m g cos 37 ) Cancelando los términos semejantes 2 m g sen 37 = μ (3m g cos 37 ) 2 sen 37 = μ (3 cos 37 ) Despejamos μ

37 tg32

37 cos 337sen 2 ==μ

μ = 0,666 tg 37 Capitulo 2 Equilibrio Sears - Zemansky

30

Problema 2 – 17 Dos bloques A y B están dispuestos como indica la figura 2-21 y unidos por una cuerda al bloque C. El bloque A = B = 20 Newton. y el coeficiente cinético de rozamiento entre cada bloque y la superficie es 0,5. El bloque C desciende con velocidad constante.

a) Dibujar dos diagramas de fuerzas distintos que indiquen las fuerzas que actúan sobre A y B. b) Calcular la tensión de la cuerda que une los bloques A y B c) Cual es el peso del bloque C?

31

Bloque A

T2 Bloque B∑ FX = 0 Por que se desplaza a velocidad constante, luego la aceleración es cero.

T2T1 – FR1 = 0 (Ecuación 1) T1 = FR1 ∑ FY = 0 WA – N1 = 0 WA = N1 WA = N1 = 20 Newton Pero: FR1 = μ N1FR1 = μ 20 = 0,5 * 20 FR1 = 10 Newton T1 = FR1 T1 = 10 Newton Bloque B Por que se desplaza a velocidad constante hacia la derecha, luego la aceleración es cero. ∑ FX = 0 T2 – WBX – T1 – FR2 = 0 (Ecuación 2) Pero: WBX = WB sen 37 B

WBX = 20 sen 37 = 12,036 Newton WBX = 12,036 Newton T1 = 10 Newton ∑ FY = 0 WBY – N2 = 0 WBY = N2 = WB cos 37 = 20 cos 37 B

WBY = N2 = 15,972 Newton Pero: FR2 = μ N2FR2 = μ 20 = 0,5 * 15,972 FR2 = 7,986 Newton Reemplazando en la ecuación 2, hallamos la tensión T2T2 – WBX – T1 – FR2 = 0 (Ecuación 2) T2 = WBX + T1 + FR2 T2 = 12,036 + 10 + 7,986 T2 = 30 Newton Bloque C

Bloque B

WB

N2

WBX WBY

T1

FR2 T2

370

FR1

Bloque A

WA

N1

T1

FR1 WA

T1

WC

T2

Bloque C

T1Bloque A BloFR2

T1370

que C

FR1

Por que se desplaza a velocidad constante hacia la derecha, luego la aceleración es cero. ∑ FY = 0 WC – T2 = 0 WC = T2 = 30 Newton WC = 30 Newton PARTE 1 RESNICK – HALLIDAY Pág. 139 Problema 5 – 13 Un bloque de masa m1 = 43,8 kg. en un plano inclinado liso que tiene un ángulo de 300 esta unido mediante un hilo que pasa por una pequeña polea sin fricción a un segundo bloque de masa m2 = 29,2 Kg. que cuelga verticalmente (Figura 5 – 17).

a) Cual es la aceleración sobre cada cuerpo? b) Cual es la tensión en la cuerda?

Pero: P1X = P1 * sen 30 P1 = m1 * g P1X = m1 * g * sen 30 P1X = 43,8 * 9,8 * 0,5 P1X = 214,62 Newton Bloque m1 Σ FX = m1 * a T – P1X = m1 * a T – 214,62 = 43,8a (Ecuación 1) Bloque m2 Σ FY = m2 * a P2 - T = m2 * a P2 = m2 * g P2 = 29,2 * 9,8 P2 = 286,16 Newton Reemplazando P2 - T = m2 * a 286,16 - T = 29,2 * a (Ecuación 2) Resolviendo la ecuación 1 y ecuación 2, hallamos la aceleración del sistema. T – 214,62 = 43,8a (Ecuación 1) 286,16 - T = 29,2a (Ecuación 2) -214,62 + 286,16 = 43,8a + 29,2a 71,54 = 73 a

2seg

m 0,98 73

71,54 a ==

a = 0,98 m/seg2

32

300

T

m2 = 29,2 Kg.

m1 = 43,8 T

Bloque m2

P2 = m2 * g

T

Bloque m1

T

P1Y

P1X

P1 = m1 * g

300

Cual es la tensión en la cuerda? Reemplazando 286,16 - T = 29,2a (Ecuación 2) 286,16 - T = 29,2 * 0,98 286,16 - T = 28,61 T = 286.16 – 28,616 T = 257,54 Newton DINAMICA DE LAS PARTICULAS RESNICK – HALLIDAY Pág. 141 Capitulo 5 Problema 20 Remítase a la figura 5 -5. Sea la masa del bloque 29,2 Kg. (2 slugs) y el ángulo θ = 300 .

a) Encuentre la tensión en la cuerda y la fuerza normal que obra en el bloque. b) Si la cuerda se corta, encuentre la aceleración del bloque. No considere la fricción

Pero: P1X = P1 * sen 30 P1 = m1 * g P1X = m1 * g * sen 30 P1X = 29,2 * 9,8 * 0,5 P1X = 143,08 Newton Bloque m Σ FX = 0 T – P1X = 0 (Ecuación 1) T – 143,08 = 0 T = 143,08 Newton. Σ FY = 0 N – P1Y = 0 N = P1Y Pero: P1Y = P1 * cos 30 P1 = m1 * g P1Y = m1 * g * cos 30 N = P1Y = m1 g cos 30 N = 29,2 * 9,8 * 0,866 N = 247,82 Newton

c) Si la cuerda se corta, encuentre la aceleración del bloque. No considere la fricción

Σ FX = m a P1X = m a (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 * sen 30 P1 = m1 * g P1X = m1 * g * sen 30 (Ecuación 2) Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 1 P1X = m a (Ecuación 1) m1 * g * sen 30 = m a Cancelando términos semejantes 33

300

T m = 29,2

300P1Y

N T

P1X

P1 = m1 * g

300 P1Y

N

P1X

P1 = m1 * g

m1 * g * sen 30 = m a g * sen 30 = a a = 9,8 * 0,5 a = 4,9 m/seg2

En cada uno de los diagramas, hallar el valor del peso desconocido si los cuerpos se mueven a velocidad constante en el sentido indicado.

34

NO HAY ROZAMIENTO Como se desplaza a velocidad constante no hay aceleración. Bloque m1Σ FX = 0 T1 – P1X = 0 Pero: P1X = P1 sen 40 P1 = m1 g T1 – P1 sen 40 = 0 (Ecuación 1) T1 – m1 g sen 40 = 0 T1 = m1 g sen 40 T1 = 15 * 9,8 * 0,642 T1 = 94,374 Newton Bloque m2Σ FY = 0 P2 – T1 = 0 (Ecuación 2) P2 = T1 P2 = 96,418 Newton SI HAY ROZAMIENTO μ = 0,24 Bloque m1Σ FX = 0 T1 – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 40 P1 = m1 g P1X = m1 g sen 40 P1X = 15 * 9,8 * 0,642 P1X = 94,37 Newton Pero: P1Y = P1 cos 40 P1 = m1 g P1Y = m1 g cos 40 P1Y = 15 * 9,8 * 0,766 P1Y = 112,6 Newton N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 112,6 Newton μ = 0,24 FR = μ * N1 (Ecuación 3)

Bloque m2

T1

m2 = ? P2 = m2 * g

m1 = 15 Kg. P1 = m1 * g

P1Y

m2 = ? P2 = m2 * g

m1 = 15 Kg.

400

T1

T1

Bloque m1

N1

T1

P1X

400

P1X

FR

m1 = 15 Kg. P1 = m1 * g

P1Y

Bloque m1

Bloque m2 N1

T1

400

m2 = ? P2 = m2 * g

T1

FR = 0,24 * 112,6 FR = 27,02 Newton T1 – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) T1 = P1X + FR Pero: P1X = 94,37 Newton T1 = 94,37 + 27,02 T1 = 121,39 Newton Bloque m2Σ FY = 0 P2 – T1 = 0 (Ecuación 4) P2 = T1 P2 = 121,39 Newton En cada uno de los diagramas, hallar el valor del peso desconocido si los cuerpos se mueven a velocidad constante en el sentido indicado. NO HAY ROZAMIENTO Como se desplaza a velocidad constante no hay aceleración.

TT

P2

m1 = 60

530300

P1Y

Bloque m1

P1X

300

N1

Bloque m1

35

Σ FX = 0 T – P1X = 0 (Ecuación 1) TP1X = P1 sen 30 P1 = m1 g T – P1 sen 30 = 0 T – m1 g sen 30 = 0 T = m1 g sen 30 T = 60 * 9,8 * 0,5 = 300 Newton T = 294 Newton Bloque m2Σ FY = 0 P2x – T = 0 (Ecuación 2) P2x = T = 294 Newton P2x = P2 sen 53

Newton 368,14 0,7986

294 53sen

2XP 2P ===

P2 = 368,14 Newton SI HAY ROZAMIENTO

P2YP2X

N2

530

Bloque m2

T

m2 = ? P2 = m2 * g

m1 = 15 Kg. P1 = m1 * g

TT

mB1B = 60 Kg.

Bloque m1Σ FX = 0 T – P1X – FR1 = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1 = m1 g P1X = m1 g sen 30 P1X = 60 * 9,8 * 0,5

FR1 P1Y

Bloque m1

P1X

300

N1

P1X = 294 Newton

36

Pero: P1Y = P1 cos 30 P1 = m1 g P1Y = m1 g cos 30 P1Y = 60 * 9,8 * 0,866 P1Y = 509,2 Newton Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 509,2 Newton μ = 0,24 FR1 = μ * N1 (Ecuación 3) FR1 = 0,24 * 509,2 FR1 = 122,2 Newton T – P1X – FR1 = 0 (Ecuación 1) T = P1X + FR1 Pero: P1X = 294 Newton T = 294 + 122,2 T = 416,2 Newton Bloque m2Σ FY = 0 N2 – P2Y = 0 (Ecuación 4) N2 = P2Y Pero: P2Y = P2 cos 53 P2 = m2 g N2 = P2Y = P2 cos 53 FR2 = μ * N2 (Ecuación 5) FR2 = 0,24 * P2 cos 53 FR2 = 0,24 * P2 * 0,6018 FR2 = 0,144 P2 Pero: P2X = P2 sen 53 T = 416,2 Newton FR2 = 0,144 P2 Σ FX = 0 P2X – T - FR2 = 0 (Ecuación 6) P2 sen 53 - 416,2 - 0,144 P2 = 0

T La fuerza de rozamiento actua en sentido contrario al movimiento.

m1 = 15 Kg. P1 = m1 * g

FR2

P2YP2X

N2

530

Bloque m2

T

m2 = ? P2 = m2 * g

0,7986 P2 - 0,144 P2 = 416,2 0,654 P2 = 416,2

Newton 636,39 0,654416,2 2P ==

37

1

TRIGONOMETRÍA

2

ESQUEMA DE TRIGONOMETRÍA

Definición de triángulo. Definición de ángulo. Propiedad de la suma de los ángulos de un triángulo. Triángulo rectángulo. Enuncia el teorema de Pitágoras. Razones trigonométricas Relaciones fundamentales de las razones trigonométricas:

� Cos2α + sen2α =1 � 1 + tg2α = 1/ cos2 α

Demostraciones Definición de radián.

� Paso de grados sexagesimales a radianes. � Paso de radianes a grados sexagesimales

La circunferencia goniométrica: su utilidad y su utilización. La reducción de las razones trigométricas de los ángulos al primer cuadrante.

• Del segundo al primer cuadrante. • Del tercer al primer cuadrante. • Del cuarto al primer cuadrante.

Ángulos de medidas cualesquiera. La resolución de triángulos rectángulos: Explica cómo resuelves un triángulo rectángulo en las siguientes situaciones.

• Conociendo los tres lados. • Conociendo dos ángulos. • Conociendo un ángulo agudo y un cateto. • Conociendo un ángulo agudo y la hipotenusa.

El teorema de los senos: enunciado, demostración y utilidad. El teorema del coseno. Enunciado, demostración y utilidad. Resolución de triángulos no rectángulos.

• Conociendo dos ángulos y un lado. • Conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. • Conociendo dos lados y un ángulo que no es el comprendido entre ellos. • Conociendo los tres lados.

¿Qué supone el teorema del coseno con respecto al teorema de PITÁGORAS? Relaciones trigonométricas de gran interés.

� Razones trigonométricas de los ángulos suma y diferencia. � Razones trigonométricas del ángulo doble. � Razones trigonométricas del ángulo mitad.

Resolución de ecuaciones trigonométricas. ¿Qué supone resolver una ecuación trigonométrica? • Simples. • Complejas.

Diferentes fórmulas para hallar el área de un triángulo. • Base y altura • Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos • Los tres lados.

3

TRIGONOMETRÍA Responde: 1. Escribe la definición de trigonometría:

2. ¿Por qué crees que se deben estudiar los triángulos?

3. Clasificación de los triángulos: Completa las definiciones siguientes, realizando un dibujo de

cada uno de ellos. En una hoja adjunta.

1. Según sus lados

• Equilátero:

• Isósceles:

• Escaleno:

2. Según sus ángulos

• Acutángulo:

• Rectángulo:

• Obtusángulo:

4

Propiedad LA SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO ES 180º (EL ÁNGULO LLANO). Demostración Toma dos hojas de papel, un rotulador, pegamento y unas tijeras, dibuja un triángulo en una de

las hojas, colorea cada uno de los ángulos, recorta el triángulo y después los ángulos,, traza una

recta en la otra hoja, a continuación ve pegando los ángulos uno a continuación de otro y

comenzando con el primer ángulo desde la recta trazada.

Responde:

¿Qué ocurre?

¿Cuánto suman los tres ángulos?

EL TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. h (hipotenusa)

(Cateto) c

b (Cateto)

c2+ b2= h2

Las ternas pitagóricas son tres números de forma que el triángulo formado por esos lados

verifican la igualdad anterior por ejemplo 3,4,5 es una terna pitagórica.

Compruébalo.

Busca alguna más.

5

Las razones trigonométricas

Una razón es un cociente, una división, una proporción, una fracción y por tanto un número.

En un triángulo rectángulo se definen las siguient es razones trigonométricas: ββββ (beta)

h (hipotenusa) (Cateto) c

αααα (alfa)

b (Cateto)

sen αααα = cateto opuesto a alfa / hipotenusa = c/h

cos αααα = cateto contiguo a alfa / hipotenusa = b/h

tg αααα = cateto opuesto a alfa / cateto contiguo a alfa = c/b

Opuesto a significa: en frente de

Contiguo a significa: junto a

sen ββββ = cateto opuesto a beta / hipotenusa = b/h

cos ββββ = cateto contiguo a beta / hipotenusa = c/h

tg ββββ = cateto opuesto a beta / cateto contiguo a beta = b/c

6

Comprueba que los triángulos cuyos lados están en la tabla siguiente verifican el teorema de

Pitágoras. Dibuja el triángulo de algunos . Calcula el perímetro del triángulo, su área y las

razones trigonométricas de los ángulos agudos. (α β)

c b h Sen αααα Cos αααα Tg αααα Sen ββββ Cos ββββ Tg ββββ Perímetro Área 3 4 5

12 5 13

24 7 25

15 8 17

24 10 26

60 11 61

84 13 85

24 18 30

80 18 82

180 19 181

264 23 265

20 21 29

220 21 221

120 22 122

1. ¿Qué puedes decir de los triángulos formados a partir de los datos de la tabla anterior?

2. ¿Qué relación existe entre los ángulos α y β, de dichos triángulos?

3. ¿Qué relación existe entre las razones trigonométricas de los ángulos α y β?

• ¿Qué observas entre el seno de alfa y el coseno de beta?

• ¿Qué observas entre el coseno de alfa y el seno de beta?

• ¿Qué observas entre la tangente de alfa y la tangente de beta?

7

El radián

El radián es la forma de medir los ángulos en las matemáticas superiores. Es el ángulo

que determina un arco de circunferencia con igual longitud que su radio.

La longitud de la circunferencia es L= 2πr

La longitud del arco es La= r.

Habrá tantos radianes como arcos, es decir como veces contenga la longitud de la

circunferencia al arco con la longitud del radio.

L/ La =2πr/r=2π.

Una circunferencia contiene 2ππππ radianes. Un radián mide

57,2957795130823208767981548141052... º

LA CALCULADORA Y LA TRIGONOMETRÍA La calculadora posee tres formas de medir ángulos.

En grados sexagesimales DEG MODE 4

La circunferencia mide 360º sistema utilizado desde mesopotamia (Babilonia), pasando a

Persia y a la India que posteriormente llega a occidente con los árabes. (La forma de medir el

tiempo una 1 hora = 60 minutos; 1 minuto = 60 segundos es un ejemplo actual de la utilización de

este sistema)

En grados centesimales GRA MODE 6

Utilizado en profesiones técnicas (arquitectos, aparejadores y topógrafos) en las que los

ángulos juegan un papel importante en el cálculo de áreas, distancias, pendientes, peraltes.

En radianes. RAD MODE 5

Es la forma de medir los ángulos en matemáticas está basada en la importancia por el

número de veces que aparece en cualquier parte de las matemáticas el número pi con el símbolo

π.π.π.π.= 3,1415926535897932384626433832795... = 3,1415926535897932384626433832795... = 3,1415926535897932384626433832795... = 3,1415926535897932384626433832795...

ππππ posee infinitas cifras decimales no periódicas.

Una circunferencia posee 2·ππππ radianes.

Se define el radián como aquel ángulo de la circunferencia de forma que el arco que

abarca mide exactamente igual que el radio de la circunferencia.

8

Paso de grados sexagesimales a radianes.

El paso se realiza mediante regla de tres simple y directa sabiendo que los 360 º que tiene una

circunferencia son 2π radianes.

Completa las tablas siguientes:

Grados 180 90 45 60 30 15 75 135 225 270 360 Radianes

Grados Radianes ππππ 2222ππππ ππππ/2/2/2/2 ππππ/4/4/4/4 ππππ/6/6/6/6 ππππ/5/5/5/5 3333ππππ/2/2/2/2 2222ππππ/3/3/3/3 5555ππππ/4/4/4/4 7777ππππ/4/4/4/4 ππππ/12/12/12/12

9

Se utilizarán los grados sexagesimales, mientras no se diga lo contrario. Completa la tabla:

Ángulo αααα

sen αααα cos αααα tg αααα sen αααα/cos αααα sen 2 αααα+ cos 2 αααα

0º 5º

10º 15º 20º 25º 30º 35º 40º 45º 50º 55º 60º 65º 70º 75º 80º 85º 90º

• Qué conclusiones obtienes al completar la tabla siguiente.

¿Qué son dos ángulos complementarios?

• ¿Puedes decir si estos tiene algo que ver con las razones trigonométricas seno y coseno?

10

PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA

Cálculo de distancias a partir de otras distancias y de razones trigonométricas: 1. Calcula la altura que alcanza un globo si tiene una cuerda de 10 m y por el levante la cuerda

forma un ángulo de 30º con el suelo. 2. Halla la altura de una cometa que está unida al suelo por una cuerda de 100 m, que forma con

la horizontal del terreno un ángulo de 60º . Suponiendo que el hilo está tirante.

100 m ¿altura? 3. Halla la altura de un edificio si proyecta una sombra de 20 m cuando los rayos solares forman

un ángulo de 45º con el suelo. 4. Determina la altura que alcanza una escalera apoyada sobre una pared y de 4 m de longitud

que forma un ángulo de 56º con el suelo. ¿A qué distancia se encuentra de la pared?

4 m

56º 5. Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se

apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º y si se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de 30º . Halla la anchura de la calle. ¿A qué altura se alcanza sobre cada una de las fachadas?

45 º

30 º

60 º

11

Cálculo de inclinaciones (ángulos) a partir de dis tancias y razones trigonométricas:

6. Halla la altura de un árbol que proyecta una sombra de 7m cuando una persona de 1,73 m de

altura proyecta una sombra de 1 m ¿Cuál es la inclinación de los rayos solares con el suelo? 7. Calcula los ángulos de los vértices de un rombo cuyas diagonales miden 6 y 12 cm.

Polígonos regulares áreas y apotemas 8. Calcula la apotema y el área de un pentágono regular con 16 cm de lado.

16 cm

9. Calcula la apotema y el área de un octógono regular con 16 cm de lado. 10. Calcula la apotema y el área de un hexágono regular con 16 cm de lado. 11. Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm y las ramas miden 12 cm ¿ Halla el ángulo

que forman las ramas del compás? 12. Una escalera debe tener 20 escalones, determina la inclinación de la escalera si las partes

de los escalones miden 30 y 40 respectivamente.

40 cm

30 cm

12

Experiencia: Recordando a Thales de Mileto. Con el mástil, una tiza y un metro debes completar la siguiente tabla, después deberás utilizar las razones trigonométricas para seguir completando. Es aconsejable que realices un dibujo.

Hora Longitud de la sombra Longitud del mástil tg αααα Ángulo αααα

1. Realiza un dibujo de las longitudes de las sombras en distintas horas e intenta explicar el

porqué de esto.

2. Indica un procedimiento para calcular la hora a partir de la longitud de la sombra.

3. Indica si el ángulo depende de la longitud del mástil. Para ello considera distintas longitudes

del mástil.

13

Cálculo de razones trigonométricas una a partir de otra. sen αααα 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 cos αααα tg αααα sen αααα cos αααα 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 tg αααα

Dada las longitudes de los lados de los triángulos indica como procederías para determinar si son rectángulos, ¿Puedes hallar los ángulos opuestos al cateto menor? Indica como.

c b h 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 35 12 37 48 14 50 63 16 65 80 18 82 99 20 101

120 22 122 143 24 145 168 26 170 195 28 197 224 30 226 255 32 257 288 34 290 323 36 325 360 38 362 399 40 401 440 42 442 483 44 485 528 46 530 575 48 577 624 50 626 675 52 677 728 54 730

c b h

16 30 34 27 36 45 40 42 58 55 48 73 72 54 90 91 60 109 112 66 130 135 72 153 160 78 178 187 84 205 216 90 234 247 96 265 280 102 298 315 108 333 352 114 370 391 120 409 432 126 450 475 132 493 520 138 538 567 144 585 616 150 634 667 156 685 720 162 738 775 168 793 832 174 850 891 180 909

Encuentras algún grupo de triángulos que posean los mismos ángulos agudos, ¿Qué

propiedad cumplen los lados? ¿Y las áreas de los triángulos .?

14

LA CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA Circunferencia utilizada para medir los ángulos. Es una circunferencia DE RADIO 1. 1º cuadrante 2º cuadrante 3º cuadrante 4º cuadrante

Coseno del ángulo

Seno del ángulo

Ángulo αααα Tangente del ángulo

15

PITÁGORAS ES MÁS QUE UN TEOREMA Breve Historia.

Pitágoras fue un filósofo y matemático griego que vivió en el periodo 585 – 500 A. C. Hombre

místico y aristócrata que fundó la Escuela Pitagórica, una especie de secta cuyo símbolo era el

pentágono estrellado, y dedicada al estudio de la filosofía, la matemática y la astronomía.

Por muchos años se le ha atribuido a Pitágoras el enunciado y demostración del teorema

geométrico que lleva su nombre. Aunque algunos historiadores consideran lo contrario, ha resultado

difícil demostrarlo, debido al misterio que rodeaba las enseñanzas de la escuela, así como el carácter

verbal de estas y la obligación de atribuir todos los conocimientos al jerarca de la escuela.

Existen evidencias de que en otras culturas también se conocía el teorema. Por ejemplo, los

hindúes explícitamente enuncian una regla equivalente a este teorema en el documento Sulva –

Sutra que data del siglo VII A.C. Por otra parte, los Babilonios aplicaban el teorema 2000 años A. C.,

pero tampoco se conoce de la existencia de una demostración, ya que la geometría no era para ellos

una teoría formal sino un cierto tipo de aritmética aplicada, en la cual las figuras venían

representadas en forma de números. A su vez, los egipcios conocían que el triángulo de lados 3,4 y

5 es rectángulo pero no se conoce de la existencia de alguna regla que sustente el conocimiento del

teorema.

Algunos aseguran que durante sus viajes a Egipto y al oriente antiguo, el sabio griego conoció

el enunciado de la regla y se dedicó a demostrarla.

El enunciado que dieron los antiguos griegos al Teorema de Pitágoras es el siguiente: el área

del cuadrado construido sobre la hipotenusa, de un triángulo rectángulo es igual a la suma de

las áreas de los cuadrados construidos sobre los ca tetos.

El enunciado moderno es: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipot enusa es

igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Algo de lógica

p = “el triángulo es rectángulo”

q = “c 2 +b2 =h2”

El teorema consiste en afirmar que siempre que ocurra p ( el triángulo sea rectángulo) entonces obligadamente se tiene q( la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de las cuadrados de los catetos).

p ���� q

¿Ahora bien, se cumple el resultado contrario? Es d ecir, siempre que el triángulo cumpla que

el lado mayor al cuadrado sea igual a la suma de lo s cuadrados de los otros dos se cumplirá

que el triángulo va a ser rectángulo.

q ���� p

16

ALGUNOS PRINCIPIOS PITAGÓRICOS, NO MATEMÁTICOS:

• Abandona los grandes caminos, sigue los senderos.

• Economizad las lágrimas de vuestros hijos, a fin de que puedan regar con ellas vuestra tumba.

• Educad a los niños y no será necesario castigar a los hombres.

• Educar no es dar carrera para vivir, sino templar e l alma para las dificultades de la vida.

• El hombre es mortal por sus temores e inmortal por sus deseos.

• El principio es la mitad del todo.

• Entre dos hombres iguales en fuerza, el más fuerte es el que tiene la razón.

• No sabe hablar quien no sabe callar.

• No te envanezca ser amado mucho por una mujer a quien profesas ardiente amor.

• Resuélvete a seguir la conducta más excelente y por costumbre te deleitarás con ella.

17

AHORA, LA DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA EN LA VERSIÓN AN TIGUA: 1.- Dibujamos un triángulo rectángulo cualquiera

c h

b 2.- Construimos cuadrados a cada uno de los lados del triángulo anterior. h2

c2

b2

3.- Dibujamos un cuadrado con el lado igual a la suma de los catetos del triángulo, sobre él dibujamos cuatro triángulos rectángulos iguales al inicial. El cuadrado de en medio tiene un área con valor h2. c b h2 4.- Consideramos los triángulos diferenciados dos a dos h2

18

5.- Desplazamos los triángulos que tienen el mismo sombreado para formar un rectángulo en vértices diametralmente opuestos. b2 c2 Por tanto la suma del área no rayada coincide con el área de un cuadrado con lado a y con el área

no rayada de un cuadrado de lado b, y como el área no rayada coincide con el área de un cuadrado

con lado la hipotenusa del triángulo rectángulo. De modo que se tiene la igualdad siguiente que es la

tesis del teorema de Pitágoras.

c2 + b2 = h2

19

EL TEOREMA DEL COSENO COMO AMPLIACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS. Las letras minúsculas son distancias. (Lados) Las letras mayúsculas son los vértices y si tienen el acento circunflejo indican también el ángulo Ĉ a

B^

b

c Â

a2 = b2 + c2 - 2·b·c·cos(Â) Comprueba:

1. Si el triángulo es rectángulo aplicando el teorema del coseno se obtiene el teorema de Pitágoras.

2. Si en un triángulo se cumple el teorema de Pitágoras entonces el triángulo es rectángulo. (En

cierto modo este resultado se conocía hace 3.000 años es Egipto y mesopotamia) pero solo para

el triángulo de lados 3, 4,5.

20

El teorema de los senos Ĉ a

B^

b

c Â

)()()( Csen

c

Bsen

b

Asen

a ==

21

Relaciones trigonométricas: Las relaciones trigonométricas no son el producto de mentes malintencionadas que pretenden poner

trabas a los alumnos de 1º de bachillerato para aprobar las matemáticas sino que son una serie de fórmulas que se han deducido principalmente en el s. XVI como consecuencia de las necesidades del cálculo y que por no disponer de máquinas eficientes era bastante engorroso calcularlas directamente teniendo que recurrir a las tabas trigonométricas como las que se presenta a continuación.

Ángulo cos Sen Tan Cotan Ángulo

0 1 0 0 #¡DIV/0! 90

1 0,9998476952 0,0174524064 0,0174550649 57,2899616308 89

2 0,9993908270 0,0348994967 0,0349207695 28,6362532829 88

3 0,9986295348 0,0523359562 0,0524077793 19,0811366877 87

4 0,9975640503 0,0697564737 0,0699268119 14,3006662567 86

5 0,9961946981 0,0871557427 0,0874886635 11,4300523028 85

6 0,9945218954 0,1045284633 0,1051042353 9,5143644542 84

7 0,9925461516 0,1218693434 0,1227845609 8,1443464280 83

8 0,9902680687 0,1391731010 0,1405408347 7,1153697224 82

9 0,9876883406 0,1564344650 0,1583844403 6,3137515147 81

10 0,9848077530 0,1736481777 0,1763269807 5,6712818196 80

11 0,9816271834 0,1908089954 0,1943803091 5,1445540160 79

12 0,9781476007 0,2079116908 0,2125565617 4,7046301095 78

13 0,9743700648 0,2249510543 0,2308681911 4,3314758743 77

14 0,9702957263 0,2419218956 0,2493280028 4,0107809335 76

15 0,9659258263 0,2588190451 0,2679491924 3,7320508076 75

16 0,9612616959 0,2756373558 0,2867453858 3,4874144438 74

17 0,9563047560 0,2923717047 0,3057306815 3,2708526185 73

18 0,9510565163 0,3090169944 0,3249196962 3,0776835372 72

19 0,9455185756 0,3255681545 0,3443276133 2,9042108777 71

20 0,9396926208 0,3420201433 0,3639702343 2,7474774195 70

21 0,9335804265 0,3583679495 0,3838640350 2,6050890647 69

22 0,9271838546 0,3746065934 0,4040262258 2,4750868534 68

23 0,9205048535 0,3907311285 0,4244748162 2,3558523658 67

24 0,9135454576 0,4067366431 0,4452286853 2,2460367739 66

25 0,9063077870 0,4226182617 0,4663076582 2,1445069205 65

26 0,8987940463 0,4383711468 0,4877325886 2,0503038416 64

27 0,8910065242 0,4539904997 0,5095254495 1,9626105055 63

28 0,8829475929 0,4694715628 0,5317094317 1,8807264653 62

29 0,8746197071 0,4848096202 0,5543090515 1,8040477553 61

30 0,8660254038 0,5000000000 0,5773502692 1,7320508076 60

31 0,8571673007 0,5150380749 0,6008606190 1,6642794824 59

32 0,8480480962 0,5299192642 0,6248693519 1,6003345290 58

33 0,8386705679 0,5446390350 0,6494075932 1,5398649638 57

34 0,8290375726 0,5591929035 0,6745085168 1,4825609685 56

35 0,8191520443 0,5735764364 0,7002075382 1,4281480067 55

36 0,8090169944 0,5877852523 0,7265425280 1,3763819205 54

37 0,7986355100 0,6018150232 0,7535540501 1,3270448216 53

38 0,7880107536 0,6156614753 0,7812856265 1,2799416322 52

39 0,7771459615 0,6293203910 0,8097840332 1,2348971565 51

40 0,7660444431 0,6427876097 0,8390996312 1,1917535926 50

41 0,7547095802 0,6560590290 0,8692867378 1,1503684072 49

42 0,7431448255 0,6691306064 0,9004040443 1,1106125148 48

43 0,7313537016 0,6819983601 0,9325150861 1,0723687100 47

44 0,7193398003 0,6946583705 0,9656887748 1,0355303138 46

45 0,7071067812 0,7071067812 1,0000000000 1,0000000000 45

sen cos cotan Tan

22

Seno de la Suma de dos ángulos

Sen(a+b)= Sen(a)Cos(b)+Cos(a)·Sen(b)

Comprueba la relación con 60º= 45º +15º aplicando la tabla.

Sen(60º)=sen(45º+15º)=sen(45º)·cos(15º)+ cos(45º)·sen(15º)=

= 0,7071067812 · 0,9659258263 + 0,7071067812·0,2588190451=

= 0,7071067812 (0,9659258263 + 0,2588190451)= 0,7071067812·1,2247448714=

=0,86602540380686193768

sen(180+a)=

sen(90+a)=

sen(270+a)=

sen(2a)=sen(a+a)=

Seno de la resta de dos ángulos

Sen(a-b)= Sen(a)Cos(b)-Cos(a)·Sen(b)

sen(180-a)=

sen(90-a)=

sen(270-a)=

coseno de la Suma de dos ángulos

Cos(a+b)= cos(a)Cos(b)-sen(a)·sen(b)

cos(180+a)=

cos (90+a)=

cos (270+a)=

cos (2a)= cos (a+a)=

Coseno De La Resta De Dos Ángulos

Cos(a-b)= cos(a)Cos(b) + sen(a)·sen(b) cos(180-a)=

cos (90-a)=

cos (270-a)=

23

Tangente de la Suma de dos ángulos

tg(a+b)=

tg(180+a)=

tg(90+a)=

tg(270+a)=

tg(2a)=

Tangente De La Resta De Dos Ángulos

tg(a-b)=

tg(180-a)=

tg (90-a)=

tg (270-a)=

24

APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA OPTICA

La ley de la reflexión afirma que el ángulo que forma el rayo reflejado con la normal es igual que el ángulo que forma el rayo incidente con la normal al plano de reflexión. Reflejado. Normal Incidente LEY DE SNELIUS El índice de refracción es una constante que depende del medio en que se propaga la luz n = c/v ; donde c es la velocidad de la luz en el vacío y v es la velocidad de propagación de la luz en ese medio. C=3·108 m/s. Lo que nos dice es que al pasar la luz de un medio a otro con velocidades de propagación (índices de propagación diferentes) se cumple que:

n sen α= n’sen β n n’ β

α Supongamos que tenemos dos medios con índices de refracción 1,2 y 1,05 determina el ángulo del rayo refractado si incide con un ángulo de 15º. Y si el rayo incidiera con un ángulo de 70º. A partir de los datos anteriores determina el ángulo a partir del cual todos los ángulos mayores que él no se refractan si no que se reflejan. (Esto es el efecto llamado reflexión total.)

25

LA VISIÓN BINOCULAR. Cuando un objeto se observa con los dos ojos, en cada ojo se produce una imagen con

diferente perspectiva. Parecería lógico que en este caso se vieran dos imágenes, pues sólo para un punto (aquel en que ser cortan los dos ejes de visión de los dos ojos), sin embargo no se ven dos imágenes si no una y con ello se tiene la sensación de profundidad, o de tercera dimensión (visión estereoscópica o visión en relieve) La sensación de profundidad o bien de que un punto está más lejano que otro está ligada al ángulo que forman entre sí los ejes visuales de los dos ojos cuando se dirigen a dichos puntos. La distancia en término medio entre las dos pupilas es de 65 mm y se ha comprobado que si los ángulos que forman las visuales poseen una diferencia superior a 30 ‘’, entonces se puede distinguir cual de esos objetos está más alejado. ¿A partir de que distancia es imposible determinar si un objeto está más alejado que otro? Simplificando el problema a triángulos rectángulos dividiendo el triángulo y los ángulos que forman los ejes de visión entre dos. Así como la distancia entre las pupilas. α1 α2 EJERCICIOS

1. Halla la distancia a partir de la cual no es posible determinar si un objeto está más alejado que otro.

2. Calcula también la distancia de separación entre dos objetos tales que la diferencia entre los

ángulos es 1º y el más cercano está a 20 m.

3. Halla la diferencia de los ángulos que forman las visuales tales que están a 10 y 15 m respectivamente de un individuo.

26

EL SOL Y LOS ÁNGULOS: LOS INICIOS DE LA TRIGONOMETR ÍA

Como ya os habréis percatado, al observar las sombras de los objetos, éstas tienen distinta

longitud todos los días del año a la misma hora, de la misma forma, a lo largo del día las sombras

cambian de longitud, aunque también de posición pero es sólo la longitud de la sombra lo que nos

interesa en este momento. Por ello definimos αt (alfa sub t) el ángulo que forman los rayos

solares con el suelo en la hora solar t (el tiempo medido en horas), L la latitud que en el caso de

Sanlúcar es aproximadamente 36º (36°46'47.42"N) y δ la desviación de los rayos solares con

respecto a la vertical que va desde el punto de la superficie de la tierra en que estamos al centro de

la misma.

δ=23,45º•sen((n-82)•72/73) esta desviación depende del día del año en que nos encontramos

aproximación de la fórmula de Cooper.

Existe una igualdad entre las razones trigonométricas de dichos ángulos:

Sen (ααααt)= sen(L) •••• sen( δδδδ) + cos(L) ••••cos( δδδδ)••••cos(180-15t)

ααααt

Esta fórmula permite calcular la inclinación de los rayos solares en cualquier momento a partir de la

hora solar y la latitud.

• Halla la hora solar en que amanece y oscurece el día 19 de marzo. (súmale una hora y

obtendrás la hora legal, en verano hay que sumarle dos horas.)

• Halla el número de horas de sol de ese día.

Observa que si amanece u oscurece, entonces el ángulo que forman los rayos solares con el suelo

es 0º.

El cambio de las estaciones y los ángulos.

1. Se llama equinoccio aquellos días en que la duración del día y la noche son exactamente

iguales.

2. Se llama solsticio de invierno aquel día en que la duración del día es la menor del año,

3. Se llama solsticio de verano aquel día en que la duración del día es la mayor del año.

Ejercicio:

1. Determina dichos días, la desviación solar en ellos δ , la hora solar en que amanece y

oscurece y la duración de los rayos solares. Para la latitud en la que nos encontramos.

27

Las estaciones y los ángulos

La tierra al girar alrededor del sol no lo hace en una trayectoria circular sino elíptica. El

período de traslación de la tierra alrededor del sol es de 365 días aproximadamente.

El período de giro de la tierra sobre si misma es de 24 horas. Lo que hace que gira 15 grados

cada hora aplicando una simple regla de tres.

El eje de giro de la tierra con el plano en el que se encuentra el sol y la tierra (y el resto de planetas del sistema solar) llamado plano de la eclíptica forma una ángulo de 23,45 º pero los rayos solares no llegan siempre con esa desviación sino que depende del lugar de la trayectoria en que se encuentra, esto es, a lo largo del recorrido de la tierra por su trayectoria los rayos llegan a la tierra con una inclinación u otra variando desde –23,45º hasta 23,45º. Y esta inclinación es la que provoca las estaciones. Otoño

Invierno Verano

Primavera

Cómo ves las estaciones no son una cuestión de dist ancias, sino de ángulos .

Halla la desviación de los rayos solares δ = 23.45 sen ( 72·(n-82)/ 73) en los días 22 de diciembre,

23 de marzo , 24 de junio y 22 de septiembre que son aproximadamente los días de cambio de

estaciones. ¿qué le sucede a la desviación en esos días.?

Es el momento de citar a Sócrates (Filósofo grieg o del siglo V antes de Cristo)

“(...)¿ No es cierto que el que tenga intención de hacerse con una casa como es debido lo que

debe procurar es que sea lo más agradable de habitar y lo más útil?

-Agradable pues será tenerla que sea en verano fresca, y que sea abrigada en invierno.

De acuerdo.

- Bien, pues en la casa que miran al mediodía el sol en invierno se cuela entre los soportales, más

que en verano, al pasar por nuestras cabezas y de los techos, proporcionan sombras. Así , que

bueno es que así las cosas se presenten , habrá que construir más altas la partes que den al

mediodía (sur), para que el sol inviernizo no halle estorbos , y más bajas las que den al septentrión

para que no den contra ella los vientos fríos. (...)”

28

TEORÍA, PROBLEMAS Y EJERCICIOS. El día 1 de enero se coloca una estaca en el punto A indicando la longitud de la sombra 7 días después la

sombra a la misma hora (12:00 solar) sólo alcanza hasta el punto B, al medir la distancia entre A y B sólo mide

un metro halla la altura del poste, si está a latitud 36º Norte.

B A

Nota se puede calcular el ángulo que forma el sol con el suelo a las 12:00 solar sabiendo el día del año y la

latitud del punto, esta fórmula es la siguiente: αααα = 90 - L + δδδδ

donde L = latitud y δ=23,45•sen( (n-82)2π/365) donde el argumento (lo de dentro) del seno está medido en

radianes y n es el día del año contado desde el 1 ( 1 de enero) hasta el 365 (31 de diciembre).

Problema

Halla los lados de un triángulo cuyos lados están en progresión aritmética de diferencia 1 y el ángulo mayor es

el cuádruple que la suma de los otros dos.

Problema

Halla los lados de un triángulo cuyos lados están en progresión aritmética de diferencia 1 y el ángulo mayor es el triple que la suma de los otros dos. Problema

Halla los lados de un triángulo cuyos lados están en progresión aritmética de diferencia 1 y el ángulo mayor es el doble que la suma de los otros dos. Ejercicio Calcula sen(a+b) sen (a-b) y sen2 a – sen2 b sabiendo que cos a=0,4 y cos b=0,1. Demuestra que independientemente de los ángulos a y b elegidos se cumple que :

sen(a+b) •sen (a-b) = sen2 a – sen2 b = cos2 b – cos2 a Teoría

Enuncia y demuestra el teorema de los senos. Aplícalo para resolver el siguiente triángulo:

a= 20 A=30º b=44 .

Ejercicio Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

√3Cos x - senx = 1

Problema Un submarino se encuentra sumergido a 300 m y con su sónar detecta un barco enemigo en la dirección norte

formando un ángulo de 60 º con la vertical. Y en la dirección este se encuentra un barco aliado formando un

ángulo de 30 con la vertical.

Teoría : Enuncia el teorema del coseno. Demuestra que si un triángulo cumple la relación entre los lados que define el teorema de Pitágoras entonces el triángulo es rectángulo. Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

a) sen x + cos x =1

b) sen2x - cos2 x =1

29

Halla la altura del edificio de utilizando dos métodos diferentes: 60º 45º 100 m

EXAMEN DE MATEMÁTICAS Teoría : Enuncia el teorema del coseno. Demuestra que si un triángulo cumple la relación entre los lados que define el teorema de Pitágoras entonces el triángulo es rectángulo. Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

a) sen x –cos x =1

b) sen2x-cos2 x =1

1. Halla la altura del edificio de utilizando dos métodos diferentes: 60º 30º 50 m

EXAMEN DE MATEMÁTICAS Teoría : Enuncia y demuestra el teorema del coseno. Resuelve las ecuaciones trigonométricas: a) √3sen x +cos x =1

b) 3sen2x-2cos2 x =1

Halla la altura del edificio de utilizando dos métodos diferentes: 45º 30º 30 m

30

EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA

1. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este cateto mide 54°. Halla la medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo.

2. Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la torre bajo un ángulo de 60°. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el ángulo es de 80°. Halla la altura de la torre.

3. Calcula las razones trigonométricas de 140° y de 220°, sabiendo que:

0844077;0,4064;0,40 === ooo tgcossen

4. Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla el valor de sus lados y de sus ángulos:

5. Sara y Manolo quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en la orilla opuesta de un río. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo correspon-diente al vértice en el que está Sara es de 25° y el ángulo del vértice en el que está Manolo es de 140°.¿A qué distancia se encuentra Sara del castillo? ¿Y Manolo?

6. Completa la siguiente tabla:

7. Demuestra la siguiente igualdad:

( )xsen

xsenxcosxcosxcosxsen

212 +=

−⋅+

31

8. Resuelve la ecuación: xcosxcos 3124 −=

9. Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40°. ¿A qué distancia del poste sujetaremos el cable? ¿Cuál es la longitud del cable?

10. Si sen x = 0,35 y 0° < α < 90° halla (sin calcular α): ( ) ( )αcosαsen +− oo 180 b)180 a)

MÁS EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA

11. Halla la altura de un edificio que proyecta una sombra de 56 m. a la misma hora que un árbol

de 21 m. proyecta una sombra de 24 m. Sol: 49 m

12. En un mapa, la distancia entre La Coruña y Lugo es de 19 cm., entre Santiago de Compostela y

La Coruña 12 cm, y entre Santiago de Compostela y Lugo 20 cm.En otro mapa, la distancia

entre Santiago de Compostela y La Coruña es de 18 cm. ¿Cuáles serán las otras dos distancias

medidas en este segundo mapa? Sol: 30 cm y 28’5 cm.

13. En un mapa a escala 1:10.000.000, la distancia entre dos ciudades es de 12 cm. ¿Cuál es la

distancia real que las separa? Sol: 1.200 km.

14. Tenemos dos triángulos isósceles semejantes. Del pequeño conocemos que cada uno de los

lados iguales mide 5 cm y el lado desigual 3 cm; pero del grande, sólo sabemos que el lado

desigual mide 7 cm. ¿Cuánto mide cada uno de los otros dos lados? Sol: 11,67 cm.

15. Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 y 5 cm. (S: 13 cm)

16. Sabiendo que en un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 25 m y un cateto 7 m, halla el otro

cateto. (S: 24 m).

17. Halla la altura y el área de un triángulo equilátero de 2,5 m de lado. (S: 2,2 m; 2,75 m2).

18. Un poste vertical de 3 m proyecta una sombra de 2 m; ¿qué altura tiene un árbol que a la

misma hora proyecta una sombra de 4,5 m? S: 6,75 m

19. Las longitudes de los lados de un campo triangular son 125 m, 75 m y 100 m. Se hace a escala

un dibujo del campo, y el lado mayor queda representado por un segmento de 3 cm. ¿Cuáles

son las longitudes de los otros dos lados del triángulo en el dibujo?S: 2,4 cm y 1,8 cm.

20. Si un campo está dibujado a escala de 1:1200, ¿cuál será en el terreno la distancia que en el

dibujo mide 18 cm? S: 216 m.

21. ¿A qué escala está dibujado un campo, si en el plano un segmento de 12 cm representa 60 m

de terreno? S: 1:500

22. ¿A cuántos radianes equivalen 115°38'27"? Rdo: 2,02 rad

23. ¿A cuántos grados sexagesimales equivalen 2 radianes? Rdo: 114°35'29"

32

24. Ayúdate de la calculadora para completar la tabla siguiente:

Medida de A en grados, minutos y segundos 45º 30º 75º

Medida de A en radianes 3

π 6

π

tg A 2,3 0,6

25. Resuelve los siguientes apartados:

i. Si cos A = 1/2 ; calcula sen A y tg A

ii. Si sen A = 4/5 ; calcula cos A y tg A

26. Averigua los ángulos A , B y C sabiendo:

a. tg A = 2’5 Sol: 68º 11’ 55”

b. sen B = 0’3 Sol: 17º 27’ 27”

c. sen C = 0’6 Sol: 36º 52’ 12”

27. Utilizando la calculadora, halla las siguientes rezones trigonométricas redondeando a 4

decimales:

i. sen 34º 35’ 57” Sol: 0,5678

ii. cos 85º 7’ 23” Sol: 0,0850

iii. tg 87º 33” Sol: 19,1397

iv. sen 43º 35’ Sol: 0,6894

28. Utilizando la calculadora, halla los ángulos de las siguientes razones trigonométricas:

i. sen α = 0,3456 Sol: α = 20º 13’ 7”

ii. cos α = 0,5555 Sol: α = 56º 15’ 17”

iii. tg α = 1,4572 Sol: α = 55º 32’ 24”

iv. cos α = 0,25 Sol: α = 75º 31’ 21”

v. sen α = 0,0525 Sol: α = 3º 34”

29. Sabiendo que 3

2=αsen , halla el resto de las razones trigonométricas.

Indicación: utiliza la fórmula 1cossen 22 =α+α en primer lugar para hallar el coseno y a partir de ahí

te saldrá: 5

52,

3

5cos == αα tg

33

30. Sabiendo que 4

3cos =α , halla el resto de las razones trigonométricas.

solución: 3

7,

4

7== αα tgsen .

31. Sabiendo que 4

5=αtg , halla el resto de las razones trigonométricas.

solución: 41

414cos =α ,

41415

sen =α .

32. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: uno de sus ángulos,

B = 37º, y su hipotenusa, a = 5’2 m.

Indicación: Como es un triángulo rectángulo el ángulo A = 90º, luego B + C = 90º ⇒ C = 53º. El dibujo del triángulo será: Utilizando sen B, cos B, sen C o cos C, obtendrás que b = 3’13 m y c = 4’15 m.

33. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: uno de sus ángulos

B = 29º, y el cateto opuesto, b = 4’5 m. Solución: C = 61º, a = 9’29 m, c = 8’12 m.

34. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: la hipotenusa, a =

5’7m, y un cateto, b = 4’6m.

Indicación: Debes aplicar "40'11º36Cluego,807'07'56'4

ab

Ccos ==== . B = 53º48’19”. c = 3’37m.

35. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: los dos catetos, b =

3’5m y c = 2’8m.

Indicación: Debes partir de cb

Btg = . Solución: B = 51º20’24”, a = 4’48m, C = 38º39’35”.

A B

C a= 5’2 m

b

c

34

36. Las bases de un trapecio isósceles miden 7 y 4 metros; su altura mide 5 metros. Halla los

ángulos del trapecio.

Indicación:

Aplicando 5'15

Atg = , hallas A y como 2A + 2B = 360º,

te debe salir: A = 73º18’27” y B = 106º41’.

37. Desde un punto A del suelo se observa una torre, PQ, y se la ve bajo un ángulo ∝ = 31º. Se

avanza 40 m. en dirección a la torre, se mira y se la ve, ahora, bajo un ángulo β = 58º. Halla la

altura h de la torre y la distancia de A al pie, Q, de la torre.

Indicación: Mirando el triángulo AQP aplica tg α Mirando el triángulo BQP aplica tg β. Obtienes así un sistema y resolviéndolo obtendrás BQ = 24 m y h = 38’4m. Finalmente AQ = 64 m.

38. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conocen: uno de sus

ángulos, B = 51º, y el cateto contiguo, c = 7’3m. Solución: C = 39º, b = 9’01m, a =

11’60m.

39. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conocen: la hipotenusa, a =

4’6m, y un cateto, c = 3’1m. Solución: b = 3’40m, B = 47º37’24”, C = 42º22’35”.

40. De un rombo ABCD se conocen la diagonal AC = 4m. y el lado AB = 5m. Halla los ángulos

del rombo y su otra diagonal. Solución: 132º48’, 47º12’, 9’2m.

41. Desde un cierto punto del terreno se mira a lo alto de una montaña y la visual forma un ángulo

de 50º con el suelo. Al alejarse 200 m de la montaña, la visual forma 35º con el suelo. Halla la

altura, h, de la montaña. Solución: 339’6 m.

42. Simplifica: xxtgxx

coscoscos

1 2 ⋅−− Solución: 0

43. Simplifica: senx

xx )cos1)(cos1( +− Solución: sen x

44. Simplifica: αααα

3

3coscos

sensen −−

Solución: αtg

45. El radio de un polígono regular mide 10 m. ¿Cuánto miden el lado y la apotema? Sol: a = 8,09

m l = 11,76 m

7m

4m

5m

A

B

A

B

Este trocito mide 1’5 m.

α β

A B

Q

P

h

d

35

46. Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 14 cm y 8 cm. Sol: 120º 30’ 36”; 59º

29’ 23”

47. Desde un barco se ve el punto más alto de un acantilado con un ángulo de 74º. Sabiendo que la

altura del acantilado es de 200 m, ¿a qué distancia se halla el barco del pie del acantilado?

Sol: 57,35 m

48. Si la sombra de un poste es la mitad de su altura, ¿qué ángulo forman los rayos del sol con el

horizonte? Sol: 63º 26’ 6”

49. En un triángulo isósceles el lado correspondiente al ángulo desigual mide 7,4 m y uno de los

ángulos iguales mide 63º. Halla la altura y el área. Sol: h = 7,26 m, S = 26,86 m2

50. Calcula el seno y el coseno de un ángulo cuya tangente vale 0’7. Sol: sen α = 0,57; cos α =

0,82

51. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla, haciendo uso de las relaciones fundamentales:

sen α 0,94

4/5

cos α 0,82 2

3

tg α

3,5 1

En las operaciones que te aparezcan radicales, trabaja con ellos; no utilices su expresión decimal. 52. Calcula el valor exacto de las razones trigonométricas que faltan y el ángulo α:

sen α 1/3

cos α 3

2

tg α

2

α

53. Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicación con un avión que va a

aterrizar. En ese momento el avión se encuentra a una altura de 1.200 m y el ángulo de

observación desde la torre (ángulo que forma la visual hacia el avión con la horizontal) es de

30º. ¿A qué distancia está el avión del pie de la torre si ésta mide 40 m de alto? 2.340 m

36

AUN HAY MÁS EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA

54. Desde lo alto de un faro de 50m se ve un nadador bajo un ángulo de depresión (ángulo bajo la horizontal) de 250 grados. ¿A qué distancia del faro se encuentra el nadador?

55. Un avión vuela entre dos ciudades, A y B, separadas 80 km la una de la otra. Las visuales

desde el avión a A y B forman, respectivamente, ángulos de 300 y 450 con la horizontal. ¿A qué altura vuela el avión?

56. Calcula la longitud del paralelo terrestre situado a 400 Norte. Radio de la Tierra = 6,357.106 m 57. Calcula los lados y ángulos del triángulo ABC:

58. Una estatua de 2,5 m está colocada sobre un pedestal. Desde un punto del suelo se ve el

pedestal bajo un ángulo de 400 y la estatua bajo un ángulo de 450. Calcula la altura del pedestal.

59. Calcula el área, los lados y la otra diagonal del paralelogramo ABCD:

A

B

C

7 cm

3 cm

500

18 m

200 500

D

C B

A

37

60. En la figura los triángulos ABC y ACE son rectángulos e iguales. El triángulo CDE es

isósceles, siendo CD el lado desigual. Calcula el área de este triángulo.

61. Los puntos C y D resultan inaccesibles para el observador, que desea medir la distancia entre ellos, x. Para lograrlo utiliza un teodolito en los puntos A y B, midiendo los ángulos de las visuales tal y como indica el diagrama. Sabiendo que la distancia entre A y B es de 55m calcula la distancia x deseada.

62. Calcular la longitud de la correa de transmisión que une las dos poleas representadas por los dos círculos sabiendo que sus radios son 10 cm y 5cm y que la distancia entre sus centros es de 30cm. Indicación: Busca triángulos semejantes.

55

x D C

B

A

420 360

430 490

río

38

63. Calcula la longitud del segmento TP de la figura, sabiendo que el radio de la circunferencia es

25cm y que la cuerda TT’ mide 30cm.

64. Para calcular la altura de una colina se escogen dos puntos sobre la llanura, A y B, distantes

1500 m. Con un teodolito se miden los siguientes ángulos:

Segmento AB con la visual a la cumbre, desde A: 750 Segmento AB con la visual a la cumbre, desde B: 600 Visual de la cumbre, desde A, con la horizontal AC’: 300 Calcula la altura de la colina.

65. Demuestra las siguientes identidades trigonométricas:

a) yx

yx

yx

yx

tgtg1

tgtg1

)cos(

)cos(

+−=

−+

b) bababa cossen2)sen()sen( =−++

c) aa

a2sen

tg1

tg22

=+

d)

2tg1

2tg2

sen2 x

x

x+

=

e) [ ][ ] 1)(cot)(cos)(cot)(cos =−+ agaecagaec f) yx

yxyx

coscos

)sen(tgtg

−=−

g) x

xx

x

x

cos

sencos

2tg

sen2 2

−= h) 1cossen)cot(tg =+ aagaa

i) aasen

aeca22

22

cos.

1cossec =+ j)

2

2BA

tg

BAtg

senBsenA

senBsenA−

+

=−+

k) baecbeca

ecbecababa

sec.seccos.cos

cos.cos.sec.sec)sec(

−=+ l)

x

ecxgxtgx

cos

coscot =+

T’ T

P

C’

C

h

B

A

39

m) xtg

xtg

senxx

senxx

senxx

senxx2

2

1

12

cos

cos

cos

cos

−+=

+−+

−+

n) a

a

a

a

cos1

cos1

sec1

sec1

+−=

+−

ñ) tgytgxgygx

tgytgx.

cotcot=

++

o) 01)(cot. =+−agtga

p) xsenxsenx

2sec21

1

1

1 =−

++

q) ( ) 12cos 2 +=+ asensenaa

r) 1.

1.

)(

)(

−−=

−+

ctgbtga

ctgbtga

basen

basen s)

BA

BAsentgBtgA

cos.cos

)( −=−

t) x

xsenx

xtg

senx

coscos

2

2 2

−= u) atg

tga

asena

asena222 1cos

cos

−=

−

66. Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas:

a) a

aa2

22

tg

cossec − b)

ag

eca2cot1

cos

+ c)

)cos2(cos

sencos22

22

aaec

aaec

−−

d) a

a

a

a

cos

sen

cos1

2sen 2

2⋅

− e)

aa

aa

3coscos

3sensen

−+

f) aa

aa

5cos3cos

5sen3sen

+−

g) xx

xx

4cos8cos

3cos3sen

− h)

ctgxtgx

x

+− 2cos1

i) x

senx

senx

x

cos

1

1

cos −−−

67. Sabiendo que A,B y C son los ángulos de un triángulo demuestra que:

tgA + tgB + tgC = tgA·tgB·tgC

68. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a) xx tg2tg −= b) 5sec2cos3 −= xx c) x x x cos210cos26cos8cos =+

d) 2sectg =xx e) 3cos22

sen4 =+ xx

f) x

xx

2tg1

tg2cos

+=

g) 2cos =+ xsenx h) 11

22

=−

tgxxtg

tgx i)

2

1.cos2 −=tgxx

j) 01cos2 =++ xxsen k) xx seccos2 = l) 0sec =+ tgxx

m) 1sec3 22 += xxtg n) )2()4cos( xsenx = o) )260()3( xtgxtg −=

p) 2

3.cos =ctgxx q) 1

)60cos(

)30( =++

x

xsen r)

3)30cos()30(4 =−− xxsen

40

s) xsensenxxsen 23 =+ t) 12

cos 2 =+ xtgx u) 02232cos2 =++ xsensenxx

69. Resuelve los siguientes sistemas trigonométricos:

a) 1tg

0coscos)sen(

==−+

y

yxyx b)

4

3)(cot

1tgtg

=+

=+

yxg

yx c)

yx

yx

tg3tg

sen2sen

=

=

d)

2

3

2cos

2

3sensen

=

−

=+

yx

yx

e) 5,0sensen

3

2

=−

=+

yx

yxπ

f)

1coscos2

4

=

=+

yx

yxπ

g)

2

1)(

2

1)cos(

=−

=+

yxsen

yx h)

18022

1

=+=+

yx

senysenx i)

5

26cos

23

5cos

+=

+=

xy

xecy

j) 32cos2

3cos.4

=

=

xy

xsenxy k)

4

1cos

4

3cos

22

22

−=−

=+

xysen

yxsen l)

22

1cos.cos

=+

=

tgytgx

yx

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

70. Resolver el triángulo cuya hipotenusa mide 27 cm y uno de sus ángulos es de 30º.

71. Resolver el triángulo que tiene un cateto de 8 cm y cuya hipotenusa mide 12 cm.

72. Resolver el triángulo ABC del que se conocen los lados a = 40 m y b = 32 m y el ángulo B =

123º.

73. Resolver el triángulo ABC del que se conocen sus tres lados: a = 20 m, b = 15 m y c = 26 m.

74. Resolver el triángulo ABC del que se conocen los lados a = 9 m y b = 17 m y el ángulo C = 50º.

75. Resolver el triángulo ABC del que se conocen los ángulos A = 40º y B = 55º y el lado c = 50 m.

76. Resolver el triángulo ABC del que se conocen los lados a = 20 m y b = 15 m y el ángulo A = 50.

77. Los lados de un triángulo son proporcionales a 2, 3 y 4 respectivamente. Determinar su área si

su perímetro es 81 m.