ECUACIONES DIFERENCIALES Unidad I: Ecuaciones Diferenciales de primer orden.

Unidad I

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

COMPETENCIAS ESPECIFICAS A DESARROLLAR:

Definir los conceptos de la teora preliminar de las ecuaciones diferenciales, orden, grado, linealidad.

Identificar los diferentes tipos de ED ordinarias de primer orden.

Determinar si una funcin es solucin de una ecuacin diferencial.

Discernir cual mtodo puede ser el ms adecuado para resolver una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden y emplearlo en el estudio de las EDO de variables separables y reducibles, EDO exactas y con factor integrante, EDO lineales y EDO de Bernoulli, determinando soluciones generales y/o particulares. Modelar la relacin existente entre una funcin desconocida y una variable independiente mediante una ecuacin diferencial ordinaria (EDO) que describe algn proceso dinmico (crecimiento, decaimiento, mezclas, geomtricos, circuitos elctricos).

Competencias previas: lgebra, operaciones, factorizacin, funciones. Funciones e identidades trigonomtricas. Derivacin de funciones explicita e implcitas. Integracin de funciones y mtodos de integracin.

1.1) TEORA PRELIMNAR.En esta unidad se inicia el estudio de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus aplicaciones considerando los casos ms simples de estas ecuaciones, pues se analizan las ecuaciones diferenciales de primera orden; en esta parte como durante el curso se pretende capacitar al alumno en los diferentes mtodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales.

Conforme se avanza en el curso, se observar que hay ms en el estudio de las ecuaciones diferenciales, que solamente dominar los mtodos que, en su momento, alguien invento para resolverlas.

La frase ECUACIONES DIFERENCIALES hace pensar en, al menos una ecuacin, que contiene como elementos derivadas de una funcin desconocida; y una de las competencias a desarrollar en este curso es precisamente, el encontrar la solucin de la ecuacin diferencial dada, para ello analizaremos las definiciones de algunos conceptos a utilizar.

CONCEPTO DE ECUACIN DIFERENCIAL.

Ecuacin Diferencial:Si una ecuacin contiene las derivadas o diferenciales de una o ms variables dependientes con respecto a una o ms variables independientes, es una ECUACIN DIFERENCIAL.

Ejemplos:

CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.Las Ecuaciones Diferenciales se clasifican por su tipo, su orden y su linealidad.

CLASIFICACIN POR SU TIPO:

Ecuacin Diferencial OrdinariaEs aquella Ecuacin Diferencial que solamente contiene derivadas ordinarias de una o ms variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.

Variable independiente.

Una EDO contiene ms de una variable dependiente.

Ecuacin Diferencial ParcialEs aquella Ecuacin Diferencial que contiene derivadas parciales de una o ms variables dependientes de dos o ms variables independientes.

CLASIFICACIN POR SU ORDEN:

El orden de una derivada ordinaria se define por las veces que se deriva una funcin, y se denomina primera derivada o derivadas de orden superior, para ello se puede utilizar la notacin normal u ordinaria as como la notacin de Leibniz.

Orden de la derivadaNotacin ordinariaNotacin de Leibniz

Primer orden

Segundo orden

Tercer orden

Ensimo orden

Orden de una Ecuacin Diferencial:Se define por el orden de la derivada mayor que interviene en la ecuacin diferencial, sea ordinaria o parcial.

Ejemplos:

Estudiar las ecuaciones diferenciales parciales exige como antecedente una buena base en la teora de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). En este curso se estudia solamente las EDO.

Grado de una Ecuacin Diferencial Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuacin diferencial, siempre y cuando la ecuacin este escrita en forma de polinomio. De no ser as se considera que no tiene grado.

Ejercicio 1.1:Determina el orden y grado de cada una de las EDO siguientes:

LINEALIDAD DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL:

Una Ecuacin diferencial ordinaria general de orden se representa generalmente por la expresin:

Se dice que una ecuacin diferencial ES LINEAL si cumple las siguientes dos condiciones, en caso contrario es una ecuacin diferencial NO LINEAL:

1) La variable dependiente junto con todas sus derivadas son de primer grado, es decir, la potencia de cada trmino en es uno.2) Cada coeficiente depende slo de la variable independiente .

Una ecuacin diferencial lineal de ensimo orden tiene la forma siguiente:

Ejercicio 1.2:Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALESECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS NO LINEALES

El exponente de es 2, es decir diferente de 1.

El coeficiente de la segunda derivada depende de .

El exponente de es -1, es decir diferente de 1.

La EDO es de primer orden, pero es de segundo grado; es NO LINEAL.

Tarea 1.1:Determine el orden y linealidad de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASORDENLINEAL o NO LINEAL

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

1.2) SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.En este curso, una de las competencias a lograr es resolver Ecuaciones Diferenciales, es decir, encontrar la solucin de dicha ecuacin. Como ya se mencion anteriormente, una Ecuacin Diferencial Ordinaria (EDO) se escribe de la forma:

Solucin de una Ecuacin Diferencial Ordinaria:Una solucin de una ecuacin diferencial de orden en un intervalo es una funcin definida en dicho intervalo que puede derivarse al menos veces y que, al ser sustituida junto con sus derivadas, satisface a la ecuacin para toda .

Es decir, resulta una identidad para los valores de en el intervalo , el cual puede ser abierto , cerrado o infinito

Ejercicio 1.3:Determine, realizando las operaciones correspondientes, si la funcin dada es una solucin de la Ecuacin Diferencial correspondiente.

1) Comprobar que la funcin es una solucin de la ED no lineal

2) Verificar si la funcin es una solucin de la ED no lineal

Solucin trivial: Se denomina as a la solucin de una ED que es idntica a cero en el intervalo .

Considere los dos problemas del ejercicio 1.3, verifique si tienen solucin trivial, es decir, si la funcin es una solucin de la ecuacin diferencial dada.

3) Comprobar que la funcin es una solucin de la ED . Verifique si la ecuacin diferencial tiene solucin trivial.

En los problemas del 4 al 8 siguientes, determine (realizando las operaciones correspondientes) si la funcin dada es o no solucin de la Ecuacin diferencial correspondiente, en cualquier caso las c representan una constante.

4)

5)

6) 7)

8); Soluciones propuestas:

Con frecuencia la solucin de una ED puede estar dada de manera implcita; cuando la solucin de la ED es de la forma se le denomina solucin explcita, mientras que si la solucin es de la forma se le denomina solucin implcita.

Ejercicio 1.4:a) Verifique que para el intervalo la funcin es una solucin implcita de la EDO

b) Verifique que la funcin es una solucin explicita de la EDO

c) Compruebe si la funcin implcita es una solucin de la ED :

El estudiante debe saber que una Ecuacin Diferencial dada tiene generalmente un nmero infinito de soluciones.

Si retomamos el inciso a del ejercicio 1.4, se puede decir que la relacin , despejando a como variable dependiente, se tendra entonces dos soluciones:

Es decir se tienen al menos dos soluciones de manera explcita; sin embargo esta relacin puede expresarse de forma general como la ecuacin de una circunferencia expresada por:

Esta ecuacin, para cualquier valor de incluyendo el cero, satisface de manera formal la ED generando como solucin una familia de curvas, como en la solucin de una integral indefinida; si se despeja a la variable de la funcin solucin se tiene una solucin general:

Que tiene un dominio para cualquier valor de tal que , esta solucin nos representa una familia de curvas en como solucin. Cuando , y , la solucin expresa una circunferencia de radio cero, es decir un punto en el origen, como se puede ver en la siguiente figura:

Cuando la solucin de una ecuacin diferencial contiene a una constante, se dice que es una solucin general, como el ejemplo analizado, y para cada valor de la constante que cumpla con la solucin de ecuacin diferencial se obtiene una solucin particular.

d) Encontrar, si es que existen, los valores de de tal manera que la funcin sea solucin particular de la ecuacin diferencial siguiente: e) Encontrar, si es que existen, los valores de de tal manera que la funcin sea solucin particular de la ecuacin diferencial siguiente:

Tarea 1.2:Determine, realizando las operaciones correspondientes, si la funcin(es) dada(s) es solucin de la Ecuacin Diferencial correspondiente, en cualquier caso, las son constantes:

1) 2)

3)4)

5)6)

7)8)

Resolver correctamente los siguientes ejercicios:

a)

Encuentre los valores de tales que sea una solucin particular de la EDO:

b)

Encuentre los valores de tales que sea una solucin particular de la EDO:

Cuando se habla de RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL se hace referencia a encontrar todas sus soluciones, es decir, encontrar un CONJUNTO SOLUCIN. Siempre que sea posible, al resolver una ecuacin diferencial hay que especificar el intervalo en que se encuentra definida cada funcin del conjunto solucin.

En el estudio de las ecuaciones diferenciales se utilizan (como ya se coment) las notaciones Leibniz, o la notacin prima, y se dice que expresan el formato de derivada, por ejemplo para la primera derivada en forma general esto se puede describir como:

La cual se puede reescribir como:

a esta expresin se le puede denotar como formato diferencial de la ecuacin diferencial.

Al resolver una ecuacin diferencial, se encuentra comnmente los siguientes tipos de solucin:a) Solucin general: se representa por una familia de funciones o curvas que satisfacen la ecuacin diferencial. Esta representacin incluye una o varias constantes arbitrarias.

b) Solucin particular: es la que representa una solucin especfica de la ecuacin diferencial, es decir una funcin sin constantes arbitrarias o una curva especifica de la familia de curvas de la solucin general.

c) Solucin singular: algunas ecuaciones diferenciales, que se encuentran en raras ocasiones en la prctica, admiten un tercer tipo de solucin llamadas soluciones singulares. Puede ocurrir que una expresin dada de la funcin solucin (funcin primitiva) no incluya todas las soluciones particulares, an ms, es posible que una ED tenga soluciones que no se puedan obtener de la funcin primitiva ni operando con la constante arbitraria, a estas solucin se le denomina solucin singular.

Ejercicio 1.5:Sea la funcin primitiva , determine una ecuacin diferencial de primer orden cuando la variable dependiente es , y analice sus posibles soluciones.

Tarea 1.3:En los siguientes problemas realice las operaciones correspondientes para verificar que la funcin indicada es: solucin general o solucin particular o ninguna de las dos, de la ecuacin diferencial dada, en cualquier caso las son constantes:

1)2)

3)4)

5)

1.3) PROBLEMA DEL VALOR INICIAL Y TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD.De las definiciones y ejemplos vistos anteriormente se observa, de manera general, que una ecuacin diferencial puede tener una infinidad de soluciones; lo interesantes es, Cmo escoger, una de las soluciones particulares?.Condicin inicial: Es una suposicin o condicin prescrita que se utiliza para verificar determinada propiedad, representada, generalmente, por un valor numrico o constante. Las condiciones iniciales se representan por variables que llevan escrito un subndice, por ejemplo .

Con frecuencia nos interesan problemas en los que se busca una solucin particular de una ED tal que satisface condiciones prescritas, es decir, condiciones impuestas sobre una desconocida o sus derivadas. Dentro de un intervalo que contiene a el problema:

Donde: a) son constantes dadas arbitrarias y se llama problemas con valores iniciales.b) Los valores iniciales de y de sus primeras derivadas en un solo punto , , , .

Los problemas de valor inicial son fciles de interpretar en trminos geomtricos ya que a partir de la solucin general de una ED, se est buscando una solucin particular en un intervalo que contenga a , tal que su grafica pase por el punto dado . Las palabras surgen de los sistemas fsicos donde la variable independiente es el tiempo y donde y representan la posicin y la velocidad respectivamente de un objeto al comienzo o al tiempo inicial .

Con frecuencia, resolver un problema con valores iniciales de orden, implica determinar primero una familia de soluciones de la ecuacin diferencial dada y despus utilizando las condiciones iniciales en determinar los valores numricos de las constantes en la familia de soluciones. La solucin particular resultante est definida en algn intervalo que contiene al punto inicial .

Al considerar un problema con valores iniciales surgen preguntas importantes:

Para el problema de valores iniciales, definido anteriormente, se pide:

El siguiente Teorema, debido al matemtico Charle E Picard, establece las condiciones suficientes para garantizar la existencia y unicidad de una solucin de un problema con valores iniciales.TEOREMA DE EXISTENCIA DE UNA SOLUCIN NICA: Sea una regin rectangular en el plano definida por que contiene al punto en su interior. Si y son continuas en , entonces existe algn intervalo , contenido en , y una funcin nica definida en , que es una solucin del problema con valores iniciales.

Ejercicio 1.6:Resuelva los siguientes problemas de valor inicial:a) Una solucin general de la ecuacin diferencial puede escribirse como . Determinar la solucin particular que satisface la condicin inicial

b) La ED tiene a como solucin general. Determine la solucin particular que tiene las condiciones iniciales .

Tarea 1.4:En cada uno de los siguientes ejercicios se tiene una solucin general propuesta para la ecuacin diferencial dada con condiciones iniciales, determinar:a) Comprobar si la solucin general propuesta, es o no solucin de la ecuacin diferencial dada.b) En caso de ser solucin general, con las condiciones iniciales dadas determine una solucin particular.

FUNCION SOLUCIN PROPUESTAECUACIN DIFERENCIAL CON CONDICIONES INICIALES

1)

2)

3)

4)

5)

2) ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN DE VARIABLES SEPARABLES.A travs de los aos, las matemticas han tratado de resolver muchas ecuaciones especializadas. En esta parte del curso se inicia con el estudio de resolver una ecuacin diferencial, para ello existen diferentes mtodos, el mtodo depender del tipo de ecuacin diferencial; sin embargo, lo que funciona bien con un tipo de ecuacin de primer orden no necesariamente se aplica a otros tipos.

MTODOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO) DE PRIMER ORDEN: EDO de variables separables y reducibles. EDO exactas y con factor integrante. EDO lineales. EDO de Bernoulli.

SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, POR EL MTODO DE VARIABLES SEPARABLES. Antecedentes: Formulas bsicas de integracin. Tcnicas de Integracin; integracin por partes y por fracciones parciales.

Se inicia el estudio de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con el modelo ms simple de las EDO, que consiste en la separacin de variables utilizando tcnicas o mtodos de integracin.

Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden que se puede escribir de la forma:

Donde es una funcin continua dependiente de solamente, y una funcin continua dependiente de solamente. A las ecuaciones as expresadas se les denomina ecuaciones diferenciales de primer orden de variables separables y al procedimiento de solucin se le denomina de separacin de variables.

MTODO DE SEPARACIN DE VARIABLES

Expresar la ecuacin en formato diferencial.

Aplicar el proceso o mtodo de integracin correspondiente para obtener la solucin general.

El resultado de las integrales expresa la funcin solucin general de la ecuacin diferencial dada.

Ejercicio 1.7:a) Encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial siguiente. Compruebe si la solucin obtenida es solucin de la ED dada.

En algunos tipos de solucin se requiere la aplicacin de propiedades de logaritmos y/o de la funcin exponencial, a continuacin se muestra un resumen de algunos modelos matemticos de estas propiedades:

b) Encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial siguiente:

c) Dada la condicin inicial . Encuentre la solucin particular de la ecuacin diferencial siguiente:

d) Encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial siguiente:

e) Encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial siguiente:

EJERCICIOS EXTRAS PARA PRACTICAR:Encuentre la solucin general de las EDO siguientes:a) c) b) d)

Tarea 1.5:Encuentre la solucin general de las ecuaciones diferenciales de primer orden de variables separadas. En las ED que tengan condiciones iniciales, determine la solucin particular de la ED que satisface dichas condiciones.

NOTA: En caso de existencia de logaritmos, eliminarlos utilizando leyes de logaritmos.

1)6)

2)7)

3)8)

4)9)

5)10)

3) ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGNEAS DE PRIMER ORDEN.Este tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias tambin reciben el nombre de ecuaciones diferenciales de primer orden reducibles, debido a que mediante una sustitucin algebraica adecuada puede reducirse a una ecuacin diferencial de variables separables. Primero se estudia el proceso para definir si una funcin es homognea y conocer su grado.

Una funcin es una , si para algn nmero real se cumple la expresin:

Ejercicio 1.8:Determine si las funciones siguientes son homogneas, en caso afirmativo defina el grado de la funcin.

a) Es f.h. de grado 3

b) Es f.h. de grado 1

c) Es f.h. de grado 0

d) No es f.h.

Una ecuacin diferencial homognea de primer orden es cualquier ecuacin que se puede escribir de la forma:

donde: y son funciones homogneas del mismo grado.

MTODO DE SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGNEASDE PRIMER ORDEN

Dada la ecuacin:

Se comprueba que las funciones y sean homogneas.Se verifica que:, son homogneas,

Se realiza cambio de variable y de su diferencial y se sustituyen en la ED homognea, y se simplifican las operaciones indicadas.

En algunos casos la integral que se obtiene no se puede resolver o es muy difcil de hacerlo, en ese caso el cambio de variable es:

Utilizando factorizacin se convierte la ED homognea a ED de variables separables.

Se resuelve la ED obtenida aplicando el mtodo de separacin de variables.

Ya resuelta la integral, se regresa a las variables originales sustituyendo , obteniendo as la solucin general de la ED homognea. O bien si se aplic el otro cambio de variable.

Ejercicio 1.9:a) Hallar la solucin general de la EDO homognea de primer orden siguiente:

b) Determine una solucin particular de la ED homognea de primer orden del inciso anterior sujeto a las condiciones iniciales siguientes:

c) Hallar la solucin general de la ED homognea de primer orden siguiente:

d) Hallar la solucin general de la ED homognea de primer orden siguiente:

e) Hallar la solucin general de la ED homognea de primer orden siguiente:

Tarea 1.6:Encuentre la solucin general de las ecuaciones diferenciales homogneas de primer orden. En las ED que se tengan condiciones iniciales, determine la solucin particular de la ED que satisface dichas condiciones.

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