Un Ejemplo Sencillo Modal Espectral -Tienda Mi Preferida 021108

Elaboró: Ing. Juan. Sampson & Ing. Guillermo Chavez.

TRABAJO

DE SISMORRESISTENCIA.

DISEÑO ESTRUCTURAL TIENDA MI PREFERIDA

(MATAGALPA – NICARAGUA)

MAYO 2005.

NPT EXIST=100.00

FG

DA−4

AA−4

CA−4

ELEVACION OESTEESCALA 1:75

NPTE=99.40

NPTE=98.32

NPTE=98.54NPTE=98.65

NPT=98.80 NPT=98.69

CONSTRUCCION

EXISTENTE

NPT=98.55

CALCULO ESTRUCTURAL:

ING. GUILLERMO CHAVEZ TORUÑO. ( LIC. MTI #2828) ING. JUAN SAMPSON MUNGUIA. ( LIC. MTI #3139)

REVISÓ: ING. JULIO MALTEZ MONTIEL


Índice

Introducción Objetivos Marco Teórico Desarrollo (Memoria de Cálculo Estructural) Recomendaciones Conclusiones


Introducción Este es un trabajo didáctico de curso, correspondiente al curso de Postgrado en Sismorresistencia, específicamente relacionado a la unidad “Dinámica de Suelos y Estructuras”. Abarca el diseño estructural de un edificio de aproximadamente 1,000 m2, destinado a uso como tienda comercial, la cual, es de tres pisos y está ubicada en la ciudad de Matagalpa.

Objetivos Objetivo General

Aplicar los conocimientos adquiridos en Dinámica de Estructuras y de Suelos, en el diseño estructural de la edificación “Tienda Mi Favorita”.

Objetivos Específicos

Determinar mediante los métodos de Newmark y Desarrollo de Determinantes, las fuerzas sísmicas actuantes en la estructura en análisis.

Comparar los resultados del análisis dinámico de esta estructura, contra los obtenidos en un análisis estático previamente realizado.

Conocer mediante la aplicación del Método de Matrices de Transferencia para medio continuo, los períodos fundamentales de vibración del depósito de suelo sobre el que se ubica la estructura.

Verificar la utilidad de los estudios geotécnicos en el análisis dinámico de suelo y en la interacción suelo – estructura.

Marco Teórico

GRADOS DE LIBERTAD DINAMICOS: Desde el punto de vista dinámico, interesan los grados de libertad en los que se generan fuerzas de inercia significativas; es decir fuerzas iguales a la masa por la aceleración. Si las fuerzas de inercia importantes son solamente las generadas en cada piso por las masas, despreciando las deformaciones de piso en su plano, se tiene un sistema de “n” grados de libertad. En edificios es usualmente aceptable suponer las masas concentradas en los niveles de los pisos y que las fuerzas de inercia importantes son solo las laterales.


Un oscilador con varios grados de libertad lo constituyen los edificios de niveles múltiples asimilables a vigas de cortante en las que el desplazamiento lateral de cada piso ux(z) depende básicamente de las fuerzas cortantes horizontales en el piso Qx(z) Fig (3.21), despreciándose las deformaciones axiales y por alabeo del borde comprimido de los muros. Ejemplo de este tipo de sistemas cizallables son las edificaciones uniformes y esbeltas en base a marcos Fig (3.21b) en las cuales se desprecian las deformaciones axiales de las columnas, y las edificaciones con muros de cortante Fig (3.21b) cuya relación entre altura y longitud H/B ≤ 1/3 en cuyo caso la deformación en cualquier altura es:

=.ux ( )z...Ko Qx ( )z hz

.A G Deformacion por cortante

(3.18)

Qr z Q4 Q3 ux(z) ux(z) Q2 Q1 x (a) (b) Fig (3.21): Tipos de estructuras cizallables en base a marcos y muros respectivamente. Procediendo como si se tratara de una estructura sencilla aplicamos el principio de DÀlembert a cada cuerpo de Kelvin de la Fig (3.23), obteniendo tantas ecuaciones matriciales de la siguiente forma, como grados de libertad del sistema =.M ü .C ú .K u Q( )t Si consideramos el desplazamiento estático del terreno uo y llamamos u al desplazamiento total de la masa, entonces U = u - uo representa el conjunto de desplazamientos referidos a la configuración estática impuesta por los movimientos de la base.


Cr mr Kr m(r-1) . . m3 C1 m2 m1 K1 uo U u Fig: Configuración de los desplazamientos de cada masa cuando ocurren desplazamientos del

terreno. La ecuación matricial del movimiento referida al sistema de la Fig anterior es la siguiente:

[M](Ü) + [C](Ú) + [K](U) = Q(t)- Müo

Como nuestro tema se limita al caso de vibración libre estacionaria entonces Q(t)-Mü=0, y U = u, la ecuación del movimiento es: [M](Ü) + [C](Ú) + [K](U)=0

=M

m1

0

0

.

0

0

m2

0

.

0

0

0

m3.

0

.

.

.

.

0

0

0

0

0

mn

La matriz [C] es también cuadrada y contiene los coeficientes de influencia del amortiguamiento viscoso cij los cuales ordenados de la misma manera que los desplazamientos Ui se conoce como matriz de amortiguamiento viscoso del sistema estructural.

Parámetros del sistema: Masas, amortiguamiento viscoso y rigidez del sistema.


Para el caso de edificios de cortante esquematizados como una viga en cantiliver, podemos obtener los coeficientes de influencia del amortiguamiento viscoso de la siguiente manera:

0 0 cn cn 0 0 -cn c(n-1) 0 -c3 0

c3 -c2 c2+c3 0 c2 c1+c2 -c2 0 c1 Fig (3.24): Coeficientes de influencia de amortiguamiento viscoso. c11 = c1 + c2 c12 = -c2 c1n = c2n = c3n = 0 c21 = - c2 c22 = c2 + c3 c(n-1) = -cn c31 = c41 =....cn1 = 0 c32 = -c3

c42 = c52 = .......cn2 = 0 cnn = cn

=( )C

c1 c2

c2

c3

0

.

0

c2

c2 c3

c4

0

.

0

c3

c4

c3 c4

c5

.

0

0

0

c5

c4 c5

.

0

.

.

.

.

.

cn

0

0

0

0

cn

cn

La matriz de rigidez lateral [K] obtenida del ordenamiento de los coeficientes de influencia de rigidez kij de la misma manera que los desplazamientos Ui, se conoce como matriz de rigidez elástica al desplazamiento lateral. Para los edificios de cortantes mostrados en la Fig (3.21) podemos obtener los coeficientes de influencia de rigidez de idéntica manera a como obtuvimos los coeficientes de influencia de amortiguamiento viscoso La rigidez del piso r se obtiene como la suma de las rigideces de las piezas consideradas en la dirección de análisis esto es


=kr = 1

s

i

Ki

S es el numero de los elementos de rigidez en el piso r. La expresión que nos permite obtener la rigidez individual de cada pieza de cortante es la siguiente:

=K.E t

.4hL

3.3

hL

En el caso de edificios en base a marcos rígidos en ambas direcciones, cuyas vigas son mucho más rígidas que las columnas, la rigidez lateral para cada pieza individual es la siguiente:

=K

..12 E I

h3

La matriz de rigidez lateral elástica para edificios en los que predominan las deformaciones por cortante es la siguiente:

=K

k1 k2

k2

0

.

0

k2

k2 k3

k3

.

0

k3

k3

k3 k4

.

0

.

.

.

.

kn

0

0

0

kn

kn .


MEMORIA DE

CALCULO ESTRUCTURAL

PROYECTO: TIENDA MI FVORITA. UBICACIÓN: MATAGALPA - NICARAGUA DISEÑO ARQUITECTONICO: ARQ. URIEL HERNANDEZ B. ESTRUCTURA: ING. GUILLERMO CHAVEZ TORUÑO &

ING. JUAN SAMPSON MUNGUIA.

1.- DESCRIPCION GENERAL Este es un trabajo de curso, correspondiente al Postgrado en Sismorresistencia, que abarca el diseño estructural de un edificio de aproximadamente 1,000 m2, destinado a uso como tienda comercial, la cual, es de tres pisos y está ubicada en la ciudad de Matagalpa. En este trabajo se procede a determinar las fuerzas sísmicas actuantes en el edificio, mediante un análisis dinámico, a partir del cual, se calculan los modos y períodos de vibración de la edificación. En este recurso se emplearon a manera de práctica y comprobación los métodos siguientes:

- Método de Desarrollo de Determinantes - Método de Newmark

Como características de esta edificación se menciona que será de tres niveles, estructurada con marcos rígidos de concreto reforzado y paredes de mampostería a base de bloques de mortero de 15x20x40 cm, confinadas por vigas y columnas de concreto reforzado, las que interactúan entre sí para la correcta distribución y asimilación de fuerzas actuantes. La descripción anterior aplica para los dos primeros niveles de la edificación. En tanto, la tercera planta será de estructura metálica con vigas y columnas formadas por cajas de acero. La cubierta de techo en el ultimo nivel será de zinc ondulado estándar, calibre 26, apoyada sobre perlínes metálicos, los cuales, a su vez se apoyan en vigas metálicas tipo VM (4”x6”x1/8”). Los sistemas de entrepisos serán del tipo rígido, con losas de concreto reforzado de 13 cm de espesor. El sistema de fundaciones consistirá en zapatas aisladas, con las dimensiones y refuerzos especificados en los planos y en esta memoria.


2.-CARACTERISTICAS DE LOS MATERIALES 2.1- CONCRETO Se usará concreto cuya resistencia a los 28 días de fabricado sea 210 Kg/cm² (3,000 psi), con un módulo de elasticidad Ec = 210,000 Kg/cm² (3,000,000 psi). El peso volumétrico del concreto reforzado es de 2,400 Kg/m³ (150 lbs/ft³).

2.2 ACERO DE REFUERZO El acero de refuerzo longitudinal debe ser corrugado del tipo ASTM A-40, con un esfuerzo de fluencia fy = 2,800 Kg/cm2 (40,000 psi) y un módulo de elasticidad Es= 2,100,000 Kg/cm2 (29,000 Ksi). En tanto, el acero transversal, tendrá las mismas características mecánicas que el longitudinal, pero con la excepción que se utilizarán varillas lisas en el caso de la n°2. El peso volumétrico del acero es de 7,850 Kg/m3 (490 lb/ft3).

2.3 BLOQUES

Según los fabricantes nacionales, la resistencia a la compresión de las unidades de bloques a los 28 días de fabricados, alcanza valores de 1,300 psi (PROCON) y 1,600 psi (MAYCO). Para fines de cálculo, consideraremos que las unidades alcanzan valores mínimos de f'm = 55 Kg/cm² (785 psi) con relación al área neta. Las dimensiones de los bloques son 6" x 8" x 16" (15 x 20 x 40) cmts.

2.4 PAREDES

Los cerramientos serán de paredes de mampostería confinada con bloques de cemento, tanto para exteriores como para interiores. Para las paredes totales se consideró un peso promedio de pared repellada en ambas caras de 271 Kg/m².

2.5 MORTERO Para las uniones de las unidades de mampostería (bloques), se usará una mezcla de arena-agua-cemento, con una resistencia a la compresión no menor de 140 Kg/cm² (2,000 psi). El espesor de la junta de mortero será de 1.5 cm ó ½ plg.

2.6 ACERO ESTRUCTURAL Se usará acero del tipo A-36 para platinas y otros perfiles laminados. Para perfiles doblados en frío se usará acero con características según la designación ASTM A 245, con una resistencia en el límite de fluencia estimada para Fy = 2,520 Kg/cm² (36,000 psi).

2.7 SOLDADURA Se usará soldadura para aceros con Fy =36,000 psi o menores, de la clasificación de electrodos según ASTM A-233, E-60xx, que tiene un esfuerzo admisible al cortante de 13.6 Ksi. En los perfiles de espesores delgados, se aplicará soldadura del tamaño del espesor del material base, la que alcanza una capacidad de 100 Kg/cm para 1/16" de tamaño.


2.8 SUELOS Según estudio geotécnico, realizado en el sitio de emplazamiento de proyecto, a cargo del Ingeniero Consultor, Dr. Oscar Gutiérrez, se debe considerar una capacidad mínima de soporte del suelo de 2.50 Kg/cm². El peso volumétrico del suelo se considera igual a 1,600 Kg/m³. Este suelo, según resultados de análisis, se conforma estratigráficamente, por:

- Una primera capa de 1.50 m de profundidad, a base de arena limosa, plástica, color café claro, y con una compacidad de suelta a media. (SPT = 10 golpes)

- Una segunda capa de 0.80 m, a base del mismo material pero con una compacidad alta. (SPT = 20 golpes)

- A mayor profundidad de 2.28 m (hasta la profundidad de penetración realizada – 3.0 m), existe el mismo tipo de suelo, pero con una compacidad aun mayor que la del estrato anterior. (SPT = 25 golpes)

3.-CLASIFICACION ESTRUCTURAL SEGÚN RNC-83 Y RNC-2007 Según RNC-83: Edificio Principal (para ambas direcciones):

Grupo: 2 (Comercio y Vivienda) Tipo: 3 (Marcos Rígidos de Concreto) Grado: B (Categoría Regular por su simetría y tipo de mano de obra) Zona: 2 (Matagalpa, Nicaragua)

Cu = 0.105 Para diseño por Método de Carga Ultima.

Según RNC-2007: Edificio Principal, (para ambas direcciones): Grupo: B (grado de seguridad intermedio) Art. 20 Zona: B (Matagalpa) Art. 24 Factor amplificación del suelo: (Zona sísmica B, Tipo de suelo firme- II): S= 1.7 Art. 25 Aceleración máxima del terreno (para Mataglpa) = ao = 0.18 Anexo “C” Factor de reducción por sobrerresistencia: Ω = 2 Art. 57 Factor de capacidad dúctil: Q = 2 (Marcos de concreto con ductilidad normal) Art. 20 Coef. = 2.7*ao*S / (Ω*Q) = 2.7(0.18)(1.7) / (2*2) = 0.207 y no menor que S*ao =0.306. Si se conoce el período de la estructura se puede adoptar una ordenada del espectro de aceleraciones para diseño sísmico, calculada con un periodo T = 0.58 seg (obtenido de SAP-2000 y calculo manual).


T = 0.58 seg. Ta = 0.1 seg. Tb = 0.6 seg. a= S*d = S*(2.7* ao) = 1.7*2.7*0.18 = 0.8262

, Donde el coeficiente sísmico es a / (Ω*Q) = 0.8262/(2*2) = Coeficiente Sísmico = 0.207.

“Cuando el periodo estructural se encuentra entre 0.1 y 0.6 seg., podemos recalcular la aceleración espectral “a” permite con seguridad tomar como coeficiente el valor de 0.207.”

Nota: Para este trabajo se utilizó el coeficiente resultante mediante la clasificación con el RNC-83 (Cu = 0.105)


4.-CARGAS Y PESOS 4.1 Techo: Carga Muerta:

Cubierta de Zinc Cal.- 26: 6.00 Kg/m² Cielo Falso Gypsum con estructura metálica: 19.00 Kg/m²

Accesorios: 5.00 Kg/m Perlín de 2"x 5"x 3/32: 4.51 Kg/ m² Pared de bloques/cemento 6" x 8" x 16" repellada a/c 271.00 Kg/m²

Carga Viva: Carga por área de 10.00 Kg/m² para techos (RNC-83, Art. 17) livianos de cubiertas onduladas, más una carga

concentrada de 200 Kg al centro del claro para elementos principales, o de 100 Kg para elementos secundarios.

4.2 Entrepiso: Carga Muerta:

Losa = 2400 * 0.13 = 312.00 Kg/m² Cascote + Ladrillo = 2200*0.04 = 99.00 Kg/m² Cielo gypsum + perfilaría alum.= 19.00 Kg/m² Lámparas + Accesorios = 11.00 Kg/m² Total Cm = 430.00 Kg/m²

Carga Viva: (RNC-83, Art. 17)

Distribuida por área en entrepiso de comercio ligero = 350.0 Kg/m² Carga viva reducida para entrepiso de comercio ligero = 250.0 Kg/m²

5.-PROGRAMAS (SOFTWARES) UTILIZADOS

SAP-2000. V-11.4 Versión Profesional. MATLAB, Versión 5.1


6.-ANALISIS DINAMICO 6.1 DESCRIPCION DEL ANALISIS REALIZADO. En el análisis de esta edificación de tres niveles se considera que debido a la mayor rigidez de los primeros dos pisos, medida respecto al tercer nivel (particiones livianas de durock), la fuerza sísmica se concentrará en estos dos primeros niveles, ya que el tercero actuando como un apéndice, no aporta significativamente en la resistencia a este tipo de fuerzas. De igual manera se simplifica el análisis, al considerar que como existen marcos cada 4.0 m (regularidad de la estructura), se puede analizar un solo marco y luego por analogía, se obtienen resultados para el resto de elementos de la edificación. 6.2 DETERMINACION DE MODOS Y PERIODOS DE VIBRACION EN EDIFICIO 6.2.1 Cálculo de masas de cada nivel: a) Tercera Planta (Área = 13.80 m x 5.50 m) Techo:

Wtecho = 35 Kg/m² Wvigas techo (cajas 4”x6”x1/8”) = 37.20 m * 13 Kg/m = 484 Kg / (13.80 x 5.50) m² =

= 6.50 Kg/m²

Total Cm = 41.50 Kg/m² Cv = 10 .00 Kg/m²

Particiones:

Longitud = 32.30 ml Altura = 3.20 m Wparticiones = 32.30 m * 3.20 m * 50 Kg/m² = 5,168 Kg / (13.80 x 5.50) m² = 70 Kg/m²

Total Cm = 70.0 Kg/m²

Nota: Estos pesos (techo y particiones) se trasladan como masas discretizadas a la segunda planta. b) Segunda Planta (Área = 13.80 m x 5.50 m) W (Losa + cascote + ladrillo + accesorios) = 430 Kg/m² Wvigas entrepiso = 35.80 ml * 0.30 m * (0.50 – 0.13) m * 2,400 Kg/m³ = 12,115.0 Kg

= 12,115 Kg / (13.80 x 5.50) m² = 160.0 Kg/m²


W columnas = 4 columnas * 0.40 m * 0.40 m * 3.70 m * 2,400 Kg/m³ = 5,684 Kg = 5,684 Kg / (13.80 x 5.50) m² = 75.0 Kg/m²

Resumen de cargas Cm techo = 41.50 Kg/m²

Cm particiones = 70.00 Kg/m² Cm entrepiso = 430.00 Kg/m² Cm vigas entrepiso = 160.00 Kg/m² Cm columnas = 75.00 Kg/m² Total Cm = 776.50 Kg/m² Cv techo (Debido al tercer nivel)= 10 .00 Kg/m² Cv entrepiso Reducida (comercio ligero) = 250.00 Kg/m² Total Peso Sísmico = 260.00 Kg/m²

c) Primera Planta (Área = 13.80 m x 5.50 m) W (Losa + cascote + ladrillo + accesorios) = 430 Kg/m² Wvigas entrepiso = 35.80 ml * 0.30 m * (0.50 – 0.13) m * 2,400 Kg/m³ = 12,115.0 Kg

= 12,115 Kg / (13.80 x 5.50) m² = 160.0 Kg/m² W columnas = 4 columnas * 0.40 m * 0.40 m * 4.10 m * 2,400 Kg/m³ = 6,298 Kg

= 6,298 Kg / (13.80 x 5.50) m² = 83.0 Kg/m² Resumen de cargas Cm entrepiso = 430.00 Kg/m²

Cm vigas entrepiso = 160.00 Kg/m² Cm columnas = 83.00 Kg/m² Total Cm = 673.00 Kg/m² Cv Reducida entrepiso (comercio ligero) = 250.00 Kg/m²


DIAGRAMA DE CARGA VIVA.

DIAGRAMA DE CARGA MUERTA.


6.2.2 Cálculo de masas gravitacionales de cada nivel: Nivel 2: Cm = 776.50 Kg/m² Cvr = 260.00 Kg/m² (Incluye los 10 kg/m² de techo). W2 = 1,036.50 Kg/m² * 13.80 m * 5.50 m = 77.95 Ton / 981 cm/seg² = 0.0795 Ton seg²/cm Nivel 1: Cm = 673.00 Kg/m² Cvr = 250.00 Kg/m² W2 = 923.00 Kg/m² * 13.80 m * 5.50 m = 70.10 Ton / 981 cm/seg² = 0.072 Ton seg²/cm 6.2.3 Cálculo de rigideces de elementos verticales resistente por cada nivel: En esta edificación los elementos resistentes encargados de soportar las cargas y transmitirlas en proporción a sus rigideces, son los elementos de columnas. Nivel 2: (altura de columnas = 4.30 m). K columnas = 12 EI/h³ I col. = bh³/12 Ec = 57400√fć = Ec = 57400√fć = 220 Ton/cm² Icol.= (40 cm)(40 cm)³ / 12 = 213,333.3 cm4 K2 = 4 columnas * 12(220 Ton/cm²)(213,333.3 cm4)/(430 cm)³ = 28.335 Ton/cm Nivel 1: (altura de columnas = 4.70 m). Ec = 57400√fć = 220 Ton/cm² Icol.= (40 cm)(40 cm)³ / 12 = 213,333.3 cm4 K1 = 4 columnas * 12(220 Ton/cm²)(213,333.3 cm4)/(470 cm)³ = 21.70 Ton/cm Del desglose anterior de cargas podemos resumir los siguientes datos para el marco crítico analizado. Nivel 1 Peso Total= 70.10 ton Masa = 0.072 Ton seg²/cm


Nivel 2 Peso Total = 77.95 ton Masa = 0.0795 Ton seg²/cm Matriz de Masa de la estructura.

Ton seg²/cm

Matriz de Rigidez de la Estructura.

Ton/cm

Ton/cm

MEDIANTE EL MÉTODO DE DESARROLLO DE DETERMINANTES, A PARTIR DE LA ECUACIÓN SIGUIENTE:

02 =− MwK

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−×−

00

0795.0335.28335.28335.28072.0034.50

2

2

ww

Se obtiene una ecuación polinómica de grado “n” (segundo grado), donde “n” es el numero de grados de libertad, cuyas raíces corresponden a los valores de 2w . Para simplificar variables llamaremos a λ=2w . (Bazan y Meli, pag 110)

0)599.414,107332.1051(006.0 2 =+− λλ

radWW 708.101653.93612 =→= (Eigenvalores en la tabla Sap 2000).

Y los correspondientes valores de los períodos son T1= 0.58 seg. T2= 0.205 seg.

M0.072

0

0

0.0795⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

=

K21.699 28.335+

28.335−

28.335−

28.335⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

K50.034

28.335−

28.335−

28.335⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

radWW 605.302679.11422 =→=

2*i

i

T πω

=

Deberá incluirse el efecto de los modos naturales de vibración con periodos mayores o iguales a 0.4 seg y en ningún caso considerar menos de los 3 primeros modos de vibrar excepto para estructuras de hasta 3 niveles.

Deberá incluirse el efecto de los modos naturales de vibración necesarios para que la suma de los pesos efectivos en cada dirección de análisis sea al menos el 90% de la masa de la estructura.

Matemáticamente esta expresión constituye un problema de valores característicos.


Table: Modal Participation Factors, Part 2 of 2

OutputCase

StepType StepNum RZ ModalMass

ModalStiff

Text Text Unitless Kgf-m-s2 Kgf-m-s2 Kgf-m MODAL Mode 1.000000 0.000000 1.0000 107.216 MODAL Mode 2.000000 0.000000 1.0000 968.975 MODAL Mode 3.000000 0.000000 1.0000 13744.021 MODAL Mode 4.000000 0.000000 1.0000 14822.134 MODAL Mode 5.000000 0.000000 1.0000 27505.069 MODAL Mode 6.000000 0.000000 1.0000 27620.726 MODAL Mode 7.000000 0.000000 1.0000 37700.482 MODAL Mode 8.000000 0.000000 1.0000 42576.988 MODAL Mode 9.000000 0.000000 1.0000 99584.570 MODAL Mode 10.000000 0.000000 1.0000 100713.679 MODAL Mode 11.000000 0.000000 1.0000 112432.048 MODAL Mode 12.000000 0.000000 1.0000 125698.123

Table: Modal Periods And Frequencies

OutputCase StepType StepNum Period Frequency CircFreq Eigenvalue Text Text Unitless Sec Cyc/sec rad/sec rad2/sec2

MODAL Mode 1.000000 0.606805 1.6480E+00 1.0355E+01 1.0722E+02 MODAL Mode 2.000000 0.201848 4.9542E+00 3.1128E+01 9.6898E+02 MODAL Mode 3.000000 0.053595 1.8659E+01 1.1723E+02 1.3744E+04 MODAL Mode 4.000000 0.051609 1.9377E+01 1.2175E+02 1.4822E+04 MODAL Mode 5.000000 0.037886 2.6395E+01 1.6585E+02 2.7505E+04 MODAL Mode 6.000000 0.037806 2.6451E+01 1.6619E+02 2.7621E+04 MODAL Mode 7.000000 0.032360 3.0902E+01 1.9417E+02 3.7700E+04 MODAL Mode 8.000000 0.030450 3.2840E+01 2.0634E+02 4.2577E+04 MODAL Mode 9.000000 0.019911 5.0225E+01 3.1557E+02 9.9585E+04 MODAL Mode 10.000000 0.019799 5.0508E+01 3.1735E+02 1.0071E+05 MODAL Mode 11.000000 0.018738 5.3366E+01 3.3531E+02 1.1243E+05 MODAL Mode 12.000000 0.017722 5.6427E+01 3.5454E+02 1.2570E+05


Para el cálculo de los desplazamientos, se sustituyen los valores de 2w para el modo 1 y modo 2 en la siguiente expresión:

• Modo 2.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×−−

−×−00

*653.9360795.0335.28335.28

335.2865.936072.0034.50

2

1

UU

Esto conduce a la formación de un sistema de dos ecuaciones:

0335.28405.17 21 =−− UU 0125.46335.28 21 =−− UU

Normalizando los modos de vibración respecto a U1, esto es suponer U1= 1.0 y sustituyendo este valor en las ecuaciones anteriores, se obtiene un valor de U2=-0.61

• Modo 1 De la misma manera, sustituyendo para 679.1142

2 =W , y suponiendo U1=1.0 se obtiene un valor para U2 = 1.47. Resumiendo para cada modo de vibrar se tiene lo siguiente:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

47.100.1

1U ; modo 1.

-0.61

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=61.0

00.12U ; modo 2

1.47

1.00

1.00


Modos Ortonormalizados: Es conveniente escalar los modos, de manera que las masas generalizadas sean iguales a la unidad. Se dice entonces que los modos se han normalizado respecto a la matriz de masa o que son ortonormales. Para obtener el modo ortonormal se debe dividir cada Ui entre nmi , calculada de la siguiente manera: (Bazan y Meli, pag 123) Si conocemos el modo “Ui” en una escala cualquiera podemos plantear * *T

i i im n U M U=

• Modo 1.

[ ] 2449.047.100.1

*0795.000072.0

*47.1,00.11 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=nm

• Modo 2

Así los modos ortonormalizados serán:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=976.2204.2

2444.047.100.1

1'U

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=9194.1

1466.3101.061.0

00.1

2'U

Los coeficientes de participación para los modos de esta estructura se calculan con:

1**' MUp Tjj = .

1p = 2.2024*0.072+2.976*0.0795 = 0.382

2p = 3.1466*0.072 + (-1.9194)*0.0795 = 0.0739

Y se debe cumplir 21)()( 2

22

1 mmpp +=+ . Donde los cuadrados de los coeficientes de participación son las masas efectivas de los modos. En este punto es importante notar que la adición de las masas efectivas es igual a la suma de las masas del sistema.

m1n U1T M⋅ U1⋅:= m1n 0.2449=

m2n U2T M⋅ U2⋅:= m2n 0.1016=


(0.382)^2+(0.0739)^2 = 0.1515 (Lo cual indica que en los dos modos se ha incluido la totalidad de las fuerzas de inercia). 0.1514 = 0.1515. Ok, cumple. Además se debe comprobar la ortogonalidad de los modos respecto a la matriz de masa y a la matriz de rigidez.

Ortogonalidad respecto a matriz de masas Ortogonalidad respecto a matriz de rigideces.

Ambas son cercanas a cero. (Cumple).

• Cálculo de las aceleraciones espectrales: Los reglamentos de construcción prescriben efectos suavizados en los espectros, en los que se ensanchan los picos y se eliminan los valles y nos suministran la seudo aceleración máxima para cada periodo.

U11

1.475⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= U21

0.61−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

U1T M⋅1.00

0.61−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ 0.0005=

U1T K⋅1.00

0.61−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ 0.0298=

Según RNC-83: LA ACELERACION ESPECTRAL PARA SUELOS MEDIOS Y DUROS CON PERIODOS MAYORES DE 0.50 SEG ESTA DADA POR: A= 0.50/T *(CoefSism*g) = 89.18 cm/seg². RNC-2007: a= S*d=S*2.7*a0 a= (1.7*2.7*0.18 ) = 0.8262*g. Am (Aceleracion espectral) = =a/( Ω*Q’)=0.8262*981/(2*2) = 202.63 cm²/seg.


Modo T(Seg) Aceleración

Espectral. Coef.*U A=c*u*g; g=980 cm/seg²

1 0.58 - 0.105*0.862 =0.091 0.091x980=89.18 cm/seg2 2 0.205 - 0.091 89.18 cm/seg2 a= S*d = S*(2.7* ao) = 1.7*2.7*0.18 = 0.8262*g/( Ω*Q’) (Aceleración espectral, RNC 2007; Am = a/( Ω*Q’) a= 0.5/0.58 = 0.862 (Aceleración espectral, RNC 1983) Cálculo de los desplazamientos máximos como contribución de cada modo:

• Modo 1.

( )

cms,884.0601.0

976.2204.2

*708.10

382.0*18.891 2 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=Δ

• Modo 2.

2

3.1466 0.025689.18*0.07392 * ,1.9194 0.0156(30.605)

cms⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

MODO 1. SAP 2000. MODO 2. SAP 2000.

( ) 12

* * 'i i

i

A pi UW

Δ =En vista que no es posible predecir con exactitud acelerogramas de eventos sísmicos venideros, los reglamentos prescriben la intensidad sísmica de diseño mediante espectros suavizados que suministran la seudo aceleración máxima para cada periodo.


VERIFICACION MEDIANTE METODO DE NEWMARK

Este es un método basado el proceso de iteración de Stodola-Vianello, cuya finalidad es el cálculo del modo fundamental de vibración de las estructuras llamadas sencillas o cercanamente acopladas. Y considera que las masas de los pisos intermedios están ligadas sólo a la de los pisos superiores e inferiores mediante resortes, que representan las rigideces de entrepiso correspondientes.

MODO 1 PISO1 PISO2

ITERACION RENGLON K M K M 21.6990 0.0720 28.3350 0.0795 (ton/cm) (Ton.cm²/seg) (ton/cm) (Ton.cm²/seg) 1 X 1 2 2 F/w² 0.0720 0.1590 A 3 V/w² 0.2310 0.1590 4 Dy/w² 0.0106 0.0056 5 y/w² 0.0106 0.0163 6 w² 93.9351 123.0233 K M K M 21.6990 0.0720 28.3350 0.0795 (ton/cm) (Ton.cm²/seg) (ton/cm) (Ton.cm²/seg) 1 X 1.0000 1.4750 2 F/w² 0.0720 0.1173 B 3 V/w² 0.1893 0.1173 4 Dy/w² 0.0087 0.0041 5 y/w² 0.0087 0.0129 6 w² 114.6503 114.6913 (F/w²)(y/w²) 0.0006 0.0015 (M)(y/w²)² 0.0000 0.0000 w²= 114.6792 T1 0.5867 w= 10.7088


MODO 2 PISO1 PISO2

ITERACION RENGLON K M K M 21.6990 0.0720 28.3350 0.0795 (ton/cm) (Ton.cm²/seg) (ton/cm) (Ton.cm²/seg) 1 X 1 -1 2 F/w² 0.0720 -0.0795 A 3 V/w² -0.0075 -0.0795 4 Dy/w² -0.0003 -0.0028 5 y/w² -0.0003 -0.0032 6 w² -2,893.2000 317.3238 K M K M 21.6990 0.0720 28.3350 0.0795 (ton/cm) (Ton.cm²/seg) (ton/cm) (Ton.cm²/seg) 1 X 1.0000 -0.6140 2 F/w² 0.0720 -0.0488 B 3 V/w² 0.0232 -0.0488 4 Dy/w² 0.0011 -0.0017 5 y/w² 0.0011 -0.0007 6 w² 935.8261 938.6430 (F/w²)(y/w²) 0.0001 0.0000 (M)(y/w²)² 0.0000 0.0000 w²= 936.6505 T2 0.2053 w= 30.6047

Como se observa en la tabla anterior, los períodos de la estructura resultan con los valores siguientes:

T1= 0.5867 seg. T2= 0.2053 seg.

Valores bastantes similares a los obtenidos en el análisis por el Método de Desarrollo de Determinantes.

• Cálculo de Fuerzas Cortantes por Nivel.

[F]=[K]*[Desplaz]


• Fuerzas Cortantes Estandarizadas por cada Nivel.

Las fuerzas horizontales en cada nivel serán resistidas por cuatro columnas y las fuerzas en cada una de ellas serán: Nivel 1: 5.15 ton / 4 columnas = 1.2875 ton @ columna.

Nivel 2: 7.939 ton / 4 columnas = 1.985 ton @ columna.

Modo 1.

0.6

0.88⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

5.0856

7.9338⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

=, Ton

Modo 2.

K0.0256

0.0156⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅0.8388

0.2834−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

=, Ton

F1 5.08562 0.83882+:= F1 5.1543= ton

F2 7.93392 0.28342+:= F2 7.939= ton

50.034

28.335−

28.335−

28.335⎛⎜⎝

⎞⎟⎠


Realizando una comparación con las fuerzas laterales encontradas por el método estático equivalente. (R.N.C-83), se observa lo siguiente: Datos requeridos: Longitud de análisis = 13.80 mts. Altura desde el Nivel de Fundación = 9.00 mts Calculo del Período (T).

00.122.080.13

00.9*09.0=→== αseg

mtsmtsT

Cortante Basal = C(W1+W2) = 0.105(70.10 + 77.91) ton = 15.54 ton. Nivel 1: 4.97 ton / 4 columnas = 1.24 ton @ columna.

Nivel 2: 10.57 ton / 4 columnas = 2.64 ton @ columna. Comparación del Método Estático con Método Dinámico. Se debe comprobar que en toda estructura (Arto.33 RNC, Ec # 26), el Cortante Dinámico dividido entre el Cortante Estático, no debe ser menor de 0.80. 13.09/15.54 = 0.84 > 0.80, (Cumple)

Nivel Método Estático.(ton)

Método Dinámico.(ton)

Nivel 1 4.97 5.15 Nivel 2 10.57 7.94

Sumatoria 15.54 13.09


Verificación de máximos desplazamiento (Drifts). RNC-2007


Piso Niveles Altura Despl. Piso Delta Piso Drift Calc.cm cm cm

0 0.00000-1 470 0.6010 0.0013

1 0.60101-2 430 0.2830 0.0007

2 0.8840

Revisando la condición "b" del Art.34, RNC-07.

Q' = 2 = 1.6Ω = 2

Drift Calc. Q'Ω/2.5 Drif. Result. Comparación Drift Perm. Observ.

0.0013 1.6 0.0020 < 0.0150 Ok!

0.0007 1.6 0.0011 < 0.0150 Ok!


Como se observa en la tabla anterior, los valores de deriva calculados considerando las condiciones sísmicas correspondientes, son menores que las derivas permisibles para dichas condiciones. Por tanto, el análisis por desplazamientos es adecuado. 7.0 CONCLUSIONES

• Se analizó la estructura mediante un análisis dinámico para determinar los modos fundamentales de vibración de la misma, ya que una vez obtenidos estos, se pueden determinar las frecuencias angulares y los períodos, posteriormente se pueden calcular los desplazamientos de la estructura y finalmente determinar las correspondientes fuerzas laterales de cada nivel de la edificación.

De este análisis mediante dos métodos diferentes (Método de Desarrollo de Determinantes y Método de Newmark), se llegó a la determinación de los períodos de la estructura con valores que no difieren en mas de 3% uno del otro. Indicando que independiente de la metodología de análisis, los resultados serán congruentes y bastantes cercanos a lo esperado. Lo cual se comprueba además en una verificación realizada con el programa SAP-2000 para la determinación de los periodos.

Modo Método

Desarrollo de Determinantes

(T)

Método de Newmark

(T)

Variación (%)

Análisis Sap-2000.

Modo 1 0.580 0.5867 1.14 % 0.6068 Modo 2 0.205 0.2053 2.65 % 0.2018

• Se hace necesario en el Método de Desarrollo de Determinantes, la comprobación de las ortonormalidades y ortogonalidades de las matrices de masa y rigidez, para verificar la exactitud de cálculos y la confianza en los resultados obtenidos.

• De la comparación entre los métodos dinámico y estático, se observa que la variante es

poca, indicando que para edificaciones relativamente pequeñas y de pocos niveles de altura, ambos métodos se pueden aplicar sin variaciones importantes en los resultados.

Pero debe ponerse atención especial a que si bien los valores de cortante basal son similares, y los del primer nivel, más similares aún, estos valores difieren en una cantidad importante a partir del segundo nivel. Pudiéndose traducir que en alturas considerables es más factible considerar el uso del método dinámico.

Nivel Método

Estático.(ton) Método

Dinámico.(ton)Variación

(%) Nivel 1 4.97 5.15 3.6 % Nivel 2 10.57 7.94 24.9 %

Sumatoria 15.54 13.09 15.8 % Noviembre 2007. FINAL.

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