MARIA DEL MAR SOLANILLAJHON ALEXANDER GRAJALESANALISIS MATRICIAL Y DINAMICO DE ESTRUCTURAS

EJERCICIO DE ANALISIS MODAL ESPECTRAL

Método de superposición modal espectral

Se tiene la siguiente estructura

Figura No. 1 Vista en planta de la estructura

Figura No. 2 vista frontal de la estructura.

Las vigas de la estructura tienen la siguiente forma

35 × 40 [ cm ]−−−−−eje B

30 × 40 [ cm ]−−−eje A yC

Edificio de 4 pisos con los siguientes parámetros de espectro

Aa=0.25

Av=0.25

Fa=1.15

F v=1.55

I=1.0

Dadas los pesos por piso registrados en la figura anterior se tiene que la matriz de masa [Ton] de la estructura es:

[ M ]=(12.2324 0 0 0

0 12.2324 0 00 0 12.2324 00 0 0 7.1356

)( ton)

Se realizara un análisis de movimiento en sentido E-W, por lo tanto es importante considerar que para este caso particular de estructura, las vigas del eje B son distintas a las vigas de los ejes A y C

Con ayuda del programa de Matlab MRIG_KL, ofrecido por el profesor, fue posible determinar las matrices laterales de rigidez de las ejes Ay C (la misma) y la del eje B. Estas matrices están dadas en unidades de [T/m]

Eje B

[ KL¿¿ B]=1000∗(5.6731 −4.3807 1.1788 −0.1630

−4.3807 7.2395 −4.6078 0.96861.1788 −4.6078 6.6844 −3.1183

−0.1630 0.9686 −3.1183 2.2934)( ton

m )¿

Eje A-C

[ K ¿¿ L, EJE A−C ]=1000∗(5.6097 −4.3507 1.2288 −0.1750

−4.3507 7.1009 −4.5653 0.99521.2288 −4.5653 6.4822 −2.9956

−0.1750 0.9952 −2.9956 2.1538)( ton

m )¿

Es importante considerar una matriz lateral general para todo el edificio que no es mas que la suma de las dos matrices laterales obtenidas anteriormente, considerando que la matriz del eje A y C debe multiplicarse por 2.

K=2∗K LA y C+K LB

[ K total ]=10000 (1.6892 −1.3082 0.3636 −0.0513

−1.3082 2.1441 −1.3738 0.29590.3636 −1.3738 1.9649 −0.9110

−0.0513 0.2959 −0.9110 0.6601)

Al resolver el problema de valores propios de la ecuación de movimiento, con ayuda del software MODOS EDIFICIO, y empleando la matriz de rigidez K general de la estructura, se obtiene

Modos y periodos del edificio en la direccion este-oeste.

MODO T ( s )1 0.97472 0.29463 0.15724 0.1052

Tabla No.1 Modos y Periodos de la estructura

La matriz [ Φ ]4 x 4 contiene los modos normalizados con respecto a la masa:

[Φ]=(−0.0762 0.1741 0.1802 −0.1147−0.1378 0.1476 −0.0835 0.1844−0.1812 −0.0423 −0.1408 −0.1652−0.2034 −0.2185 0.1963 0.1118

)De acuerdo al capitulo A.2.6 de la norma sismo resistente de Colombia (NSR-10) se tiene el siguiente espectro de aceleraciones.

Como primera medida se realiza el cálculo de los límites de periodo en los que se encuentra la estructura, es decir:

T 0=0.1( Av Fv

Aa Fa)=0.1( 0.25∗1.55

0.25∗1.15 )=0.1348 s

T c=0.48( Av Fv

Aa Fa)=0.48∗( 0.25∗1.55

0.25∗1.15 )=0.6470 s

T L=2.4 Fv=2.4∗1.55=3.7200 s

Una vez calculados los periodos limite, se observa en la figura No.1 y se efectua el calculo de las

aceleraciones (Sa).

Análisis Modal

Modo 1. T=0.9747 s, T>T0>Tc y T<T L

Sa=1.2( Av Fv I

T )=1.2∗( 0.25∗1.55∗10.9747 )=0.4771

Modo 2. T=0.2946 s , T 0<T <T c

Sa=2.5 Aa Fa I=2.5∗0.25∗1.15∗1=0.7188

Modo 3. T=0.1572 s ,T 0<T <T c

Sa=2.5 Aa Fa I=2.5∗0.25∗1.15∗1=0.7188

Modo 4. T=0.1052 s ,T <T 0

Sa=2.5∗Aa Fa I (0.4+0.6TT 0

)=2.5∗0.25∗1.15∗1∗(0.4+0.6∗0.1052

0.1348 )=0.6240

Figura No. 1 Espectro de aceleraciones. Fuente: NSR-10

A continuación se presenta el cálculo del factor de participacion modal,

{ Γ }4 x 1=[ Φ ]T 4 x4 [ M ]4 x4 {γ }4 x 1

Donde {γ }4 x 1 es un vector unitario de 4 filas

{ Γ }=(−0.0762 0.1741 0.1802 −0.1147−0.1378 0.1476 −0.0835 0.1844−0.1812 −0.0423 −0.1408 −0.1652−0.2034 −0.2185 0.1963 0.1118

)T

∗(12.2324 0 0 0

0 12.2324 0 00 0 12.2324 00 0 0 7.1356

)∗(1111)

{ Γ }=(−6.28491.85820.8620

−0.3699)

Ahora se procede a calcular los de los desplazamientos máximos a partir del espectro de

aceleraciones, Zi max=|Γ i|T i

2

4 π 2∗Sa (T i , ξi )

Z1máx=9.81∗6.2849∗0.97472

4 π2 ∗0.4771=0.7078

Z2máx=9.81∗1.8582∗0.29462

4 π2 ∗0.7188=0.0288

Z3máx=9.81∗0.8620∗0.15722

4 π2 ∗0.7188=0.0038

Z4 máx=9.81∗0.3699∗0.10522

4 π2 ∗0.6240=6.3420∗10−4

A continuación se presenta una tabla con el resumen de los pasos anteriores.

Modo T (s ) Sa[ g] Γ i Zi máx

1 0.9747 0.4771 -6.2849 0.70782 0.2946 0.7188 1.8582 0.02883 0.1572 0.7188 0.8620 0.00384 0.1052 0.6240 -0.3699 6.3420∗10−4

Tabla No.2 Resumen de calculo

Desplazamientos modales

Para calcular los desplazamientos modales {ui }, se puede realizar de dos formas: la primera

trabajando con los vectores fila de la matriz de modos normalizados (Φ¿ es decir:

{ui }={Φi }|Γ i|Sa (T i ,ξ i )

ωi2 donde el subindice i indica el numero del modo. El otro medio es

directamente de forma matricial, un proceso mucho mas rápido, se tiene [ U ]=[ Φ ] [Zm] donde la

matriz [Zm] es una matriz diagonal con los valores máximos Zi máx. Asi se tiene que:

[ U ]=(−0.0762 0.1741 0.1802 −0.1147−0.1378 0.1476 −0.0835 0.1844−0.1812 −0.0423 −0.1408 −0.1652−0.2034 −0.2185 0.1963 0.1118

)∗(0.7078 0 0 0

0 0.0288 0 00 0 0.0038 00 0 0 6.3420∗10−4)

[ U ]=(−0.0539 0.0050 0.0007 −0.0001−0.0975 0.0043 −0.0003 0.0001−0.1283 −0.0012 −0.0005 −0.0001−0.1440 −0.0063 0.0007 0.0001

)Con estos resultados es posible obtener los máximos factibles de desplazamiento para cada piso, con la siguiente expresión:

u jmáx=√∑

i

m

(u ji )2

Donde el subindice j indica el piso.

u4máx=√0.05391+0.00502+0.00072+0.00012=0.0541 m

u3máx=√0.09752+0.00432+0.00032+0.00012=0.0976 m

u2máx=√0.12832+0.00122+0.00052+0.00012=0.1283 m

u1máx=√0.14402+0.00632+0.00072+0.00012=0.1441 m

Y el vector de los desplazamientos máximos factibles es:

{U máx }=(0.05410.09760.12830.1441

)(m)

Cálculo de las derivas de piso

Con los resultados de desplazamientos por piso para cada modo, es posible calcular las derivas

modales del piso, D j=u j−u j−1 y estos valores agruparlos en una matriz de derivas modaldes [ D ].

[ D ]=(−0.0539−(−0.0974) 0.0050−(0.0043) 0.0007−(−0.0003) −0.0001−(0.0001 )−0.0974−(−0.1283) 0.0043−(−0.0012) −0.0003−(−0.0005) 0.0001−(−0.0001)−0.1283−(−0.1440) −0.0012−(−0.0063) −0.0005−(0.0007) −0.0001−(0.0001)

−0.1440−(0) −0.0063−(0) 0.0007−(0) 0.0001−(0))

[ D ]=(0.0436 0.0007 0.001 −0.00020.0308 0.0055 0.0002 0.00020.0157 0.0051 −0.0012 −0.0002

−0.1440 −0.0063 0.0007 0.0001)

Como ya se tienen la matriz de derivas de la estructura es posible determinar sus valores máximos factibles, con la siguiente expresión (bajo el mismo concepto aplicado en el cálculo de máximos factibles de desplazamiento):

D jmáx=√∑

i

m

(D ji )2

D4máx=√0.04362+0.00072+0.0012+0.00022=0.0436 m

D3máx=√0.03082+0.00552+0.00022+0.00022=0.0313 m

D2máx=√0.01572+0.00512+0.00122+0.00022=0.0166 m

D1máx=√0.14402+0.00632+0.00072+0.00012=0.1441 m

El vector de derivas de piso máximas factibles es:

{Dmáx }=(0.04360.03130.12830.1441

)(m)

Fuerzas Modales

Las fuerzas modales se obtienen con la siguiente expresión, [ F ]=[ K ] [U ]

[ F ]=10000∗(1.6892 −1.3082 0.3636 −0.0513

−1.3082 2.1441 −1.3738 0.29590.3636 −1.3738 1.9649 −0.9110

−0.0513 0.2959 −0.9110 0.6601)∗(

−0.0539 0.0050 0.0007 −0.0001−0.0975 0.0043 −0.0003 0.0001−0.1283 −0.0012 −0.0005 −0.0001−0.1440 −0.0063 0.0007 0.0001

)

[ F ]=(−27.4018 27.9095 13.3976 −3.1762−49.5726 23.6530 −6.2054 5.1087−65.2002 −6.7858 −10.4675 −4.5759−42.6837 −20.4296 8.5139 1.8058

)(ton)

Se procede a calcular los valores máximos factibles de la siguiente forma:

F jmáx=√∑

i

m

(f ji )2

F4máx=√27.40182+27.90952+13.39762+3.17622=41.4654 ton

F3máx=√49.57262+23.65302+6.20542+5.10872=55.5114 ton

F2máx=√65.20022+6.78582+10.46752+4.57592=66.5404 ton

F1máx=√42.68372+20.42962+8.51392+1.80582=48.1146 ton

El vector de fuerzas modales máximas factibles es:

{Fmáx }=(41.465455.511466.540448.1146

)(ton )

Cortantes Modales de Piso

Finalmente se calculan los valores de cortante modal de piso, el cual se define como:

V ji =∑

j

m

Fki

V=(−27.4018 27.9095 13.3976 −3.1762−76.9744 51.5625 7.1922 1.9325−142.1746 44.7767 −3.2753 −2.6434−184.8583 24.3471 5.2386 −0.9376

)