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1
Unidad 2
Potencial Eléctrico - Capacidad
IntroducciónHasta ahora vimos que el efecto de una distribución de cargas puede describirse usando el concepto de campo eléctrico producido por esa distribución.
El campo eléctrico esta definido por la fuerza eléctrica, por unidad de carga y como la fuerza es un vector, el campo también lo es .
qFEr
r=
IntroducciónVamos a introducir otro tipo de campo llamado potencial eléctrico o potencial
Definimos el potencial como la energía potencial por unidad de carga,
Como la energía es un escalar , el potencial también lo será.
La relación entre y es análoga a la que existe entre una fuerza conservativa y la energía potencial que lleva asociada.
V
V
Er
Sistemas ConservativosAl igual que en el estudio de la mecánico, resulta útil con frecuencia razonar en términos del trabajo realizado por las fuerzas eléctricas, y además el concepto de energía potencial constituye una importante ayuda para entender el comportamiento de las cargas eléctricas.
La integral de línea o integral sobre una trayectoria o caminorepresenta un concepto muy importante en temas relacionados con el trabajo que realiza una fuerza .
Sistemas Conservativos
l
α
Fr
dlFdW αcos= ∫=B
AAB dlFW αcos∫=B
AAB lxdFW
rr
Sistemas ConservativosLa integral en el caso del trabajo se debe hacer a lo largo de toda la trayectoria.
Las integrales de línea y los conceptos de trabajo son muy importantes cuando se trabaja con sistemas conservativos.
Se dice que un campo es conservativo porque se conserva la energía asociada con la posición.
Así el trabajo que es necesario para mover un cuerpo es independiente del camino seguido y además podemos recuperar toda la energía invertida permitiendo que el cuerpo vuelva al punto de partida.
Esta energía almacenada en virtud de la posición, se llama energía potencial.
2
Sistemas ConservativosEl requisito para que un sistema sea conservativo es precisamente que la energía potencial de un cuerpo en el campo quede definida exclusivamente por su posición.
Este requisito se cumple si el trabajo exterior para mover un cuerpo de un punto a otro es independiente del camino seguido entre dos puntos.
Solo con esta condición será único el trabajo necesario para llevar el cuerpo de una posición determinada desde un punto de referencia y por lo tanto solo en este caso quedará la energía potencial definida unívocamente.
Vamos a ver que cualquier posible distribución espacial de campo eléctrico debido a cargas en reposo, constituye un campo conservativo
Energía potencial de una partícula de prueba en el campo de una carga puntual.
q0q
B
A
Er
ldr
r
rrq
0q
EqFrr
0=
∫ ∫==B
A
B
AlxdEqlxdFWrrrr
0
090cos 00 == ∫
B
AEdlqW
Vemos el trabajo realizado por la fuerza eléctrica cuando una carga se mueve en el campo creado por otra carga puntual,
El camino es un arco centrado en la carga puntual desde el puntoA hasta el punto B
0=W
Energía potencial de una partícula de prueba en el campo de una carga puntual.
∫= b
a
r
r rdrqqW 2
0
0
4πε
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ba rrqqW 11
4 0
0
πεq
0qA
BEr
ldr
rdr
EqFrr
0=
∫ ∫==B
A
B
AlxdEqlxdFWrrrr
0
Veamos ahora una situación similar a la anterior, pero la carga sigue un camino radial entre el punto A y el punto B
000 0cosdrEqrdEqW b
a
b
a
r
r
r
r ∫∫ ==rr
∫=b
a
r
rEdrqW 0
rdld rr=
drr
qqW b
a
r
r∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 2
00 4πε
Energía potencial de una partícula de prueba en el campo de una carga puntual
cb rr =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
dcba rrqq
rrqqW 11
411
4 0
0
0
0
πεπε
∫∫∫∫ +++=E
D
D
C
C
B
B
AlxdElxdElxdElxdEWrrrrrrrr
BA
Er
ldr
r
rrq
0q
C
D
E
∫ ∫==B
A
B
AlxdEqlxdFWrrrr
0
00 ∫∫ +++=D
C
B
AlxdElxdEWrrrr⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
dbba rrqq
rrqqW 11
411
4 0
0
0
0
πεπε
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
da rrqqW 11
4 0
0
πεComo
Energía potencial de una partícula de prueba en el campo de una carga puntual
Cualquier camino de forma arbitraria puede ser descompuesto en una superposición sucesiva de pequeños tramos radiales más tramos de arcos circulares centrados en la carga.
De manera tal que cuando la partícula se mueva de un punto A hasta un punto B, a lo largo de un camino de forma arbitraria, el trabajo realizado por la fuerza eléctrica en los trozos infinitesimales de arco es cero y el trabajo total es la suma de las contribuciones de los tramos radiales infinitesimales.
Energía potencial de una partícula de prueba en el campo de una carga puntual
B
q
br
A0q
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
da rrqqW 11
4 0
0
πε
ar
3
Energía potencial eléctricaLa idea de energía potencial, como forma de energía asociada a la posición de
los cuerpos, está presente también en los campos eléctricos.Así, una carga negativa situada en un punto a una distancia de otra
carga central positiva acumula en esa posición una cierta energía
potencial, energía que podría liberarse si se dejara en libertad, ya que se
desplazaría hacia por efecto de la fuerza atractiva.
eF
q
q P
Qr
Q
Q
Energía potencial eléctricaSituarla de nuevo en la posición inicial supondría la realización de un trabajoen contra de la fuerza atractiva ejercida por
Este trabajo exterior a las fuerzas del campo se invierte precisamente en aumentar su energía potencial y puede escribirse en la forma
Q
pE
Fr
eFr
q Q
∫−=−b
aab lxdFUU
rr
Energía potencial eléctrica
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−==−=− ∫∫
ab
b
ae
b
aab rr
qqlxdFlxdFUU 114 0
0
πε
rrrr
Tengamos presente que solo podemos hablar de variaciones de energía potencial
Seleccionamos una posición para la cual definamos como de energía potencial cero. De esta forma podemos definir la energía potencial de un punto.
FFe
rr−=
( )rU
( ) 0=rU ∞→r
( )r
qqrU0
0
4πε=
( ) 0=∞UEs decir tomamos la energía potencial igual a cero cuando las partículas están tan separadas, que los efectos eléctricos de una sobre la otra son despreciables
Energía potencial eléctrica
Decimos entonces que ,es el trabajo realizado por un agente externo contra la fuerza eléctrica cuando una partícula de prueba se lleva desde un punto muy lejano hasta un punto separado unadistancia de la carga puntual
∫∞
−=r
lxdFrUrr
)(
( )rU
r
Energía potencial eléctricaEnergía potencial de una partícula de prueba en el campo de varias cargas puntuales.
( )2100 EExqExqFrrrr
+==
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=+= ∫ ∫∫∫
b
a
b
a
b
a
b
a
lxdElxdEqlxdEEqlxdFrrrrrrrrr
210210
( ) 0=∞U ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
2
2
1
1
0
0
4 rq
rqqU
πε
∑=
=i
n i
i
rqqU
10
0
4πε
Potencial eléctrico
La energía potencial eléctrica es proporcional a la carga
Para poder independizarnos, dividimos energía potencial eléctricala carga y obtenemos una cantidad que llamaremos por definición potencial eléctrico )(V
0q
0qUV = [ ] [ ]
[ ]coulombjoulevolts =
4
Potencial eléctricoPotencial producido por partículas cargadas
∑=
==i
n i
i
rq
qUV
100 41πε
Para una sola carga será
rqV
04πε=
Potencial eléctricoPotencial producido por una distribución continúas de carga
∑=
=N
i i
i
rqV
10
lim4
1πε
∞→N 0→qi
∫=r
dqV04
1πε
Diferencia de potencialLa diferencia de potencial a partir de la diferencia de energía potencial para una partícula cargada, cuando se mueve entre los puntos será
0qUUVV ab
ab−
=−
∫−=−b
aab lxdEqUUrr
0
∫−=−b
aab lxdEVVrr
Relación entre el campo eléctrico y la diferencia de potencial
∫−=−b
aab lxdEVVrr
0==⇒∞→ ∞VVa a ( ) VPVVPb b ==⇒≡
∫∞−=P
lxdEVrr
Relación entre el campo eléctrico y la diferencia de potencial
VErVeamos ahora como analizar el caso inverso, es decir conocido
encontrar el valor de
y
z
( )zyxPa ,, ( )zyxxPb ,,Δ+
x x
x
i
jk
E
d
( )zyxPa ,,
( )zyxxPb ,,Δ+
Relación entre el campo eléctrico y la diferencia de potencial
( )zyxPa ,, ( )zyxxPb ,,Δ+
∫Δ+
−=Δ+−xx
xlxdEzyxxVzyxVrr
),,(),,(
( ) dxEixdxkEjEiElxdE xzyx
rrrrrrrr=++=
cteEx x =⇒→Δ 0
xExEzyxxVzyxV x
xx
x x Δ−≅−=Δ+− ∫Δ+
),,(),,(
xEx
zyxxVzyxV−≅
ΔΔ+− ),,(),,( 0→Δx
xEx
zyxxVzyxV−=
ΔΔ+− ),,(),,(lim
xExV
−=∂∂
realizando el mismo análisis para los otros ejes, será
5
Relación entre el campo eléctrico y la diferencia de potencial
La componentes de están dadas por las derivadas parciales cambiadas de signo.
Si conocemos la expresión de para una distribución de
cargas, podemos conocer el campo eléctrico a través de
estas ecuaciones.
Matemáticamente estas ecuaciones definen la función gradiente,
zEzV
−=∂∂
xExV
−=∂∂
yEyV
−=∂∂
Er
V
VE ∇=rr
Relación entre el campo eléctrico y la diferencia de potencial
Vemos el caso particular de una distribución de cargas que posee simetría esférica
dependerá únicamente de la coordenada radial
El campo eléctrico tendrá solamente radial
V rrE
drdVEr −=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−= 2
000
14
114
14 rrdr
dr
qdrd
drdVEr πεπεπε2
041
rEr πε
=
Superficies equipotencialesUna superficie equipotencial es aquella en la que el potencial es constante.
Debido a esto, cuando partícula se mueve a lo largo de una superficie equipotencial las fuerzas eléctricas no realizan trabajo alguno.
Al igual que las líneas de campo sirven para visualizar el campo, las superficies equipotenciales son útiles para visualizar el comportamiento espacial del potencial.
Superficies equipotenciales
rqV
04πε=
En un campo uniforme las superficies equipotenciales son planos paralelos entre si y perpendiculares a la dirección del campo
Superficies equipotenciales
Er
Superficies equipotenciales
Las líneas de campo son perpendiculares a superficies equipotenciales que cruzan.
OTRAS PROPIEDADES ELECTROSTATICAS DE LOS CONDUCTORES
6
Capacidad y Capacitores: Introducción
El condesandor o capacitor es uno de los diferentes dispositivos que se utilizan en los circuitos eléctricos y electrónicos.
Están hechos para almacenar y ceder energía eléctrica de acuerdo con las necesidades de cada circuito.
La propiedad que caracteriza las posibilidades de almacenamiento de energía de un condensador es su capacidad eléctrica.
Capacidad y Capacitores: Introducción
Cuando se almacena energía en un condensador aparece un campo eléctrico en su interior. Esta energía almacenada puede asociarse al campo eléctrico.
Todo campo eléctrico lleva asociada una energía.
El estudio de los condensadores y la capacidad nos acerca a un importante aspecto de los campos eléctricos: la energía de un campo eléctrico
Capacidad y Capacitores: Introducción
Debemos tener presente la importancia de los campos para entender los fenómenos naturales. Se puede usar un condensador para establecer configuraciones de campo eléctrico deseadas con diversas finalidades
Debido a que los condensadores pueden confinar fuertes campos eléctricos en pequeños volúmenes, pueden servir como dispositivos útiles para almacenar energía.
Capacidad y Capacitores: Introducción
La edad electrónica no podría existir sin los condensadores.
Se usan, junto con otros aparatos, para reducir fluctuaciones devoltaje en fuentes de poder electrónicas, para transmitir señales pulsantes, para generar oscilaciones electromagnéticas en radiofrecuencia y para lograr retardos de tiempo.
En la mayoría de estas aplicaciones, la diferencia de potencial entre las placas no es constante, como hasta ahora hemos supuesto, sino que varía el tiempo, a menudo en forma sinusoidal o en forma de pulsaciones.
Capacidad y Capacitores
Un condensador es un dispositivo formado por dos conductores cercanos y aislados entre sí.
Independientemente de su forma cada uno de los conductores es denominado «placa» del condensador.
Capacidad y Capacitores
Q+ Q−
Er
En el caso más sencillo podemos decir que dos conductores aislados con cargas iguales y opuestas forman un condensador
7
Capacidad y Capacitores:condensador de placas planas paralelas
Q+
A
d
Q− En su funcionamiento normal, las dos placas poseen el mismo valor de carga pero de signos contrarios.
La carga está distribuida de manera superficial, en su mayor parte sobre las superficies que se encuentran enfrentadas.
Er
Capacidad y Capacitores: condensador de placas planas paralelas
Q+
A
d
Q−
V
VQ
=C
[ ] [ ][ ]volts
coulombFaradio =
FF 610−=μ
FF 910−=η
FpF 1210−=
Capacidad y Capacitores: condensador de placas planas paralelas
Capacidad y Capacitores: condensador de placas planas paralelas
Capacidad y Capacitores: condensador de placas planas paralelas
Q+
d
A
Q−
Er
h
Podemos calcular la capacitancia de nuestro dispositivo aplicando la ley de Gauss.
Capacidad y Capacitores: condensador de placas planas paralelas
∫ ∑∑ =⇒=ΦS
qSxdE
qE
00 εε
rv
h
EAQ 0ε=
EAE =Φ EAqqEAE 00
εε
=⇒==Φ⇒
∫−= ldEVrr
Q+
El trabajo requerido para llevar una carga de prueba de una placa a la otra puede calcularse como:
EdldEV =−=⇒ ∫rr
dA
EdEA
VqC 00 εε
=== dAC 0ε=
8
Capacidad y Capacitores: condensador de placas planas paralelas
VCQ *=
Q+Q−
A
d
V
dAC 0ε=
Capacidad y Capacitores: Condensador cilíndrico
l
bRl >>
De la ley de Gauss tenemos
( )rlEqSdEq πεε 200 =⇒= ∫rr
( )rlqEπε 20
=
∫−=b
a
ldEVrr
====−= ∫∫ ∫∫ drrl
qdrrl
qEdrldEVb
a
b
a
b
a
r
r
r
r
r
r
b
a
12
12 00 πεπε
rr
a
b
rr
lqV ln
2 0πε= a
b
rr
lCln
2 0πε=
a
b
a
b
rr
l
rr
lq
qVqC
ln
2
ln2
0
0
πε
πε
===
Capacidad y Capacitores: Condensador esférico
∫−=b
a
ldEVrr
====−= ∫∫ ∫∫ drr
qdrr
qEdrldEVb
a
b
a
b
a
r
r
r
r
r
r
b
a2
02
0
14
14 πεπε
rr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ba rrqV 11
4 0πε⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=ab
ba
rrrrC 04πε
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
==ab
ba
ba
rrrr
rrq
qVqC 0
0
411
4
πε
πε
Condensadores en serie y en paralelo
Los componentes de los circuitos pueden ser conectados de muy diferentes formas.
Las más simples de éstas son las conexiones en serie y en paralelo.
Se dice que un capacitor es el equivalente a un conjunto de capacitores si podemos verificar que el capacitor equivalente puede reemplazar al conjunto de capacitores si alteraciones en el resto del circuito.
Condensadores en serie
V
1C
Q−Q+3C
Q−Q+2C
Q−Q+
3V2V1V
ba
11 C
qV =
22 C
qV =
33 C
qV =321 VVVV ++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=++=
321321
111CCC
qVVVV
⇒
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
==
321
1111
CCCVqCeq ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
321
1111CCCCeq∑
=
=n
i neq CC 1
11
Condensadores en paralelo
1C
Q−Q+
2C
Q−Q+
3C
Q−Q+
V ba
VCq 11 = VCq 22 =
VCq 33 =
321 qqqqT ++=
( )321321 CCCVVCVCVCqT ++=++=
321 CCCCVqC eq
Teq ++=⇒=
∑=
=n
ineq CC
1
9
Energía eléctrica en un condensador
• Cuando se carga un condensador con una batería, la batería realiza un trabajo al transportar portadores de carga desde una placa hasta la otra, elevando así la energía potencial de los portadores.
• Este aumento de la energía potencial de los portadores constituye la energía eléctrica almacenada en un condensador.
• Esta energía es igual al trabajo que fue necesario para cargarlo
WU =
Energía eléctrica en un condensador
→t ( )tq′
( )→tV ( ) ( )C
tqtV′
=
( )→′ tqd qdCqVdqdW ′′
==
CQqd
CqVdqdWW
QQ 2
00 21
∫∫∫ =′′
===
CQU
2
21
=
CQU
2
21
=2
2CVU =2
QVU =
Densidad de energía de un campo eléctrico
dAC 0ε
= EdV =
( ) ( )AdEEddACVU 2
020
2
21
21
2εε
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
AdEl factor es el volumen que hay entre las placas, que corresponde con el volumen ocupado por el campo eléctrico EE
Ad
AdE
AdUu 0
20
212 ε
ε
===
Eu 021 ε=
Como la energía es proporcional al volumen ocupado por el campo, podemos obtener la densidad de energía (o energía por unidad de volumen)
Condensador de placas paralelas con dieléctrico
2121 QQCC =⇒=
2CV- - - -
+ + + + + + + +
- - - -
+ ++ + + + ++
- - - - - - - - -
12 CC >
1C
12 QQ >
1
2
CCK =
Como es la misma VLa relación de la capacitacia con el dieléctrico a la capacitancia sin el dieléctrico se llama constante dieléctrica del material
Condensador de placas paralelas con dieléctrico
0VVd <
- - - -
+ + + +
- - - -
+ + + +
El experimento muestra que la diferencia de potencial entre las placas del condensador de arriba es menor que la del condensador de abajo
KVVd
0=
0V
dV
Condensador de placas paralelas con dieléctrico
Se llega a la conclusión, de que el efecto del dieléctrico es aumentar la capacidad en un factor K
constante dieléctrica→K
10.000Titanato de estroncio y bario250Titanato de estroncio100Dióxido de titanio5.4Mica3.5Papel78Agua1,00054Aire1Vacío
Constante dieléctricaMaterial
10
Condensador con dieléctrico
Para un condensador de placas paralelas podemos entonces escribir, como resultado experimental
dAK
C 0ε=
1=KdAC 0ε=
LKC 0ε= dAL =
Para el vacío ⇒
La capacitacia de cualquier capacitor podrá escribirse como
Condensador placas planas paralelas
a
b
rrlL
ln
2π= Condensador cilíndrico
Condensador con dieléctrico
Vemos que ocurre con la energía eléctrica que almacena el dieléctrico.
KVVd
0=QUV 2
=
UU
QUQU
VV
Kdd
0
0
0
2
2
===K
UU 0=
Como
⇒
Condensador con dieléctrico Condensador con dieléctrico
Condensador con dieléctrico Condensador con dieléctrico
11
Dieléctricos-Comportamiento de los átomos
Er
Dieléctricos - Comportamiento de los átomos
00 =E 0E
++ +
+
+
+
+
++
-
-
--
- --
-
-
--
-
-+
++
+
+
+
-
EEErrr′+= 0
Er′
Dieléctricos - Comportamiento de los átomos
Si se coloca un dieléctrico en un campo eléctrico, aparecen cargas superficiales inducidas cuyo efecto es debilitar al campooriginal dentro del dieléctrico.
EEErrr′+= 0
EdV =
KVV
EE
d
== 00
_ _ _ _ _ _ _ _ _
+ + + + + + + +
Los dieléctricos y la ley de Gauss
q−
0Er q′
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
+ + + + + + + + + + + + + +
Superficie gaussiana
AqEqAEqSdE0
0000 εεε =⇒=⇒=∫
rr
q
Er
q′−
Aq
AqEqqEASdE
0000 εεεε
′−=⇒′−==∫
rr
Los dieléctricos y la ley de Gauss
⇒
AqE0
0 ε=
AKq
KEE
0
0
ε== A
qA
qAK
q
000 εεε′
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=′
Kqq 11
Kq
Kq
KqqSdE 1111110 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=∫
rrε
qSdEK∫ =rr
0ε
Sin dieléctrico el campo es
AqqE
0ε′−
=Con dieléctrico el campo esqqSdE ′−=∫
rr0ε
Tres vectores eléctricos
→
→
Para problemas difíciles, tales como el de encontrar en campo eléctrico en el centro de un elipsoide de dieléctrico colocado en un campo eléctrico externo (posiblemente no uniforme), se logra mayor simplificación en el trabajo y mas profunda comprensión de los problemas si introducimos un nuevo formalismo.
Er
Pr
Dr
,
Vector campo eléctrico→
Vector desplazamiento eléctrico
Vector polarización eléctrica
12
Tres vectores eléctricos
⇒
Aq
Aq
AKq
000 εεε′
−= Aq
Aq
AKq
000 εεε=
′+
Aq
AKq
Aq ′
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
00 εε
AqP′
=Definimos
Es el campo eléctrico
PEAq rr
+= 0ε PEDrrr
+= 0ε
⇒
Tres vectores eléctricos
Pr
Er
Dr
Esta relacionado con todas las cargas
Esta relacionado únicamente con las cargas libres
Esta relacionado únicamente con las cargas de polarización
Tres vectores eléctricos
Se puede reescribir la Ley de Gauss en presencia de material dieléctrico de la siguiente manera.
Aq
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
AKqK
Aq
00 εε
0εKSi a la expresión La multiplico y divido por
Dr
Er
EKDrr
0ε=⇒
Tres vectores eléctricos
( )EKPrr
10 −= ε
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
′=
KAq
AqP 11 A
qD =
( )EKK
KEKK
KDK
DPrrrrr
11111 00 −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= εε
Con respecto a la polarización
Pero
01 =⇒= PKr
En el vacío
Tres vectores eléctricos
qSdEK∫ =rr
0ε
EKDrr
0ε=
∫ = qSdDrr
q
La ley de Gauss en presencia de materiales dieléctricos nos quedaba:
Como será
Donde son las cargas libres
Tres vectores eléctricos
E
D
P Desaparece en el vacióSolo cargas de polarización
Polarización
Componente normal continua
Sólo cargas libresDesplazamiento eléctrico
Componente tangencial continua
Todas las cargasIntensidad de campo eléctrico
Condiciones de frontera
Relacionado con
SímboloNombre
13
Tres vectores eléctricos
Er EqF
rr=
PEDrrr
+= 0ε
∫ = qSdDrr
EKDrr
0ε=
( ) EKPrr
01 ε−=
Relaciones empíricas entre algunos materiales dieléctricos
Ley de Gauss cuando hay medios dieléctricos
Relación entre los tres vectores
Ecuación de definición de
