PROGRAMA DE ESTUDIOS UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA

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UNIDAD IZTAPALAPA

DIVISIÓN CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA

NIVEL LICENCIATURA

EN Matemáticas

CLAVE

UNIDAD DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE

Variable Compleja

TRIMESTRE 9

HORAS TEORÍA

3

CRÉDITOS 9 SERIACIÓN

HORAS PRÁCTICA

3

OPT. / OBL. OBL.

OBJETIVOS GENERALES Que el alumno:

Comprenda los elementos básicos de la teoría clásica de funciones de una variable compleja, y los relacione con otras ramas de las matemáticas, esto con el fin de prepararlo para cursos posteriores de matemáticas.

Reconozca el papel que juega la variable compleja dentro de las matemáticas, como antecesor de diversas áreas de la misma, tales como la teoría de la homotopía, la teoría de variedades, la teoría de las Superficies de Riemann, y la teoría de Curvas Algebraicas, entre otras.

Integre los conocimientos y habilidades adquiridos en cursos anteriores, tales como: Estructuras Numéricas, Fundamentos Matemáticos, Cálculo Avanzado, Álgebra y Geometría, reconociendo la interrelación que hay entre ellos.

Reafirme su habilidad para formular enunciados y demostraciones en términos matemáticos, con el rigor adecuado.

OBJETIVOS PARTICULARES Que el alumno:

Reconozca las similitudes y diferencias existentes ente las funciones diferenciables de variable real y compleja.

Sea capaz de aplicar el Teorema de Cauchy.

Identifique los distintos tipos de singularidades aisladas, así como sus principales características.

Aplique el Teorema del Residuo para evaluar integrales de distintos tipos.

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CONTENIDO SINTÉTICO

1. Funciones C-diferenciables.

1.1 Funciones C-lineales

1.2 Funciones C-diferenciables.

1.3 Funciones holomorfas.

1.4 Ejemplos clásicos de funciones C-diferenciables, como son, exponencial,

logaritmo, funciones trigonométricas, potencias, raíces, funciones fraccionales

lineales.

Tiempo estimado: 3 semanas.

2. El Teorema de Cauchy.

2.1 Integración de línea de funciones complejo valuadas.

2.2 El Teorema de Cauchy sobre rectángulos (triángulos o círculos).

2.3 Consecuencias del Teorema de Cauchy.

2.3.1 Toda función C-diferenciable es holomorfa.

2.3.2 El Teorema de Morera.

2.3.3 El Teorema de Convergencia para funciones C-diferenciables.

2.3.4 El Principio de Continuación Analítica.

2.3.5 El Principio de la Identidad.

2.4 El Teorema de Liouville.

2.5 El Teorema Fundamental del Álgebra.

2.6 El Principio del Módulo Máximo.

2.7 Versión Homotópica del Teorema de Cauchy (sin demostración).

Tiempo estimado: 4 semanas

3. Series de Laurent y el Teorema del Residuo.

3.1 Clasificación de singularidades aisladas.

3.2 Series de Laurent.

3.3 Residuos.

3.4 El Teorema de Cassorati Weierstrass.

3.5 El Teorema de Picard (sin demostración).

3.6 El Teorema del Residuo.

3.7 Aplicaciones del Teorema del Residuo al Cálculo de Integrales, como pueden

ser integrales indefinidas del tipo

dxxf )( , transformadas de Fourier, e

integrales trigonométricas.

Tiempo estimado: 4 semanas

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MODALIDADES DE CONDUCCIÓN DEL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE

1. Se estudiará la relación entre funciones diferenciables en sentido real y complejo.

2. Se estudiarán las funciones holomorfas y se demostrará que toda función

holomorfa es diferenciable en sentido complejo.

3. Se desarrollará la teoría necesaria para demostrar, que a diferencia de variable

real, toda función diferenciable en sentido complejo es holomorfa.

4. Se estudiará la representación de funciones C-diferenciables por medio de series

de potencias, su generalización a series de Laurent y sus singularidades.

5. Se usará el Teorema del Residuo para calcular integrales que aparecen en algunas

aplicaciones y que no se pueden calcular con los métodos de variable real.

6. Se pedirá al alumno que investigue alguna de las aplicaciones que tiene la

variable compleja en diferentes ramas de las ciencias.

MODALIDADES DE EVALUACIÓN

1. La evaluación global consistirá de un mínimo de dos evaluaciones periódicas y

una evaluación terminal.

2. Los factores de ponderación serán a juicio del profesor.

3. Cuando las evaluaciones periódicas sean suficientes para evaluar globalmente al

alumno, el profesor podrá eximirlo de la evaluación terminal.

4. La evaluación de recuperación podrá ser a juicio del profesor terminal o

complementaria.

BIBLIOGRAFÍA

Textos recomendados (*) [A] L.V. Ahlfors, Complex Analysis, Mc.Graw-Hill Book Co. 1966.

[Ch] (*) R. V. Churchill, J.W. Brown. Variable Compleja y Aplicaciones. 4a. Edición. Mc.

Graw Hill, 1986.

[C] (*) J. B. Conway, Functions of One Complex Variable I, Second Edition, Springer,

New York, 1978.

[Hi] E. Hile, Analytic function theory, Vol. I, II. Chelsea Pub. Co. New York, N. Y., 1976.

[H] R. W. Howell, COMPLEX ANALYSIS: Mathematica 4.1 Cuadernos Jones and Bartlett

Publicadores, Inc. 40. Paseo del Pino alto, Sudbury, MA 01776. USA. 2002. Internet:

http://www.jbpub.com

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[M.H.] (*) J. Marsden and M.J. Hoffman, Basic Complex Analysis, 2nd. Ed., Freeman Co.

New York, 1987.

[N] R. Narasimhan, Complex Analysis in One Variable, Birkhäuser, Boston, Inc., 1985.

[Ne] Z. Nehari, Conformal Mapping, Mc Graw-Hill, 1952.

[Nd] T. Needham, Visual Complex Analysis. Oxford Univ. Press, 1999.

[R] W. Rudin, Real and complex analysis, McGraw-Hill, New York, 1966.

[U] J. V. Uspensky, Theory of equations. T. M. H. Edition. McGraw-Hill, New York, 1948.

[Z] F. Zaldivar, Fundamentos de _ Algebra. UAM-I, México, 2003.

SELLO