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VECTORES ESPACIALES Tradicionalmente en el análisis de sistemas de potencia se ha utilizado la transformaciones modales tales como: componentes simétricas, Clark, Park, entre otras. Estas transformaciones polifásicas permiten desacoplar las ligazones entre las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema de potencia simétricos y que adicionalmente, pueden presentar componentes con simetría cíclica. En sistemas de potencia balanceados, conectados en estrella con neutro aislado o en delta, las componentes de secuencia cero pueden ser despreciadas, debido a que en esta condición son cero. Las componentes de secuencia positiva y negativa tienen un comportamiento similar, en especial en sistemas simétricos, y una es la compleja conjugada de la otra. Durante las últimas décadas, la transformación de vectores espaciales ha sido utilizada ampliamente en el control dinámico de máquinas eléctricas. Definiendo la transformación de vectores espaciales como:

)(34

32

)()()()()()(

132 tj

c

b

ajj

etxtxjtxtxtxtx

eex ξβα

ππ

=+=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≡r (1)

El coeficiente 32 es necesario para mantener la in varianza de potencia entre el sistema de coordenadas primitivas y el de vectores espaciales. Este coeficiente viene dado por la transformación hermitiana de componentes simétricas ( 31 ) [16, 38] y el 2 para producir en vectores espaciales la misma potencia activa instantánea que el sistema original debido al efecto de la secuencia negativa en sistemas balanceados. En la figura 1 se muestra una interpretación gráfica de la transformación a vectores espaciales.

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Fig. 1: Interpretación grafica de la transformación de vectores espaciales

POTENCIA ACTIVA Y REACTIVA INSTANTANEA En sistemas de potencia trifásicos la potencia activa instantánea )(tp se calcula por la superposición de la potencia activa instantánea por cada una de las fases del sistema.

ccbbaa ivivivtp ++=)( (2)

La definición convencional de la potencia aparente S , esta basada en la capacidad del equipo en función de la tensión y corriente nominal en condición de operación balanceada ( línealínealínea IV −3 ). La potencia reactiva Q en sistemas trifásicos se define como la relación entre la potencia aparente y la activa a través del triangulo de Pitágoras ( 22 PS − ). Este concepto es utilizado por los ingenieros para el diseño y evaluación de los sistemas de potencia. Sin embargo, bajo condiciones desbalanceadas de operación o ante la presencia de armónicos en las tensiones o corrientes del sistema esta definición se corrige, introduciendo los conceptos de factor de potencia de desplazamiento (DPF) y de factor de distorsión armónica total (THD). A finales de la década de los noventa Kazibwe introduce los procedimientos para la realización de medidas de

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la potencia reactiva y los costos asociados a esta potencia en los sistemas eléctricos. Una mejor y más precisa definición de la potencia activa, reactiva y aparente instantánea en sistemas de potencia trifásicos se puede obtener al utilizar la teoría de los vectores espaciales. Recordando la definición del fasor de potencia aparente.

QjPeIVeIVeIeVIVS jjjj +===⋅=⋅≡ −− γβαβα )(*~~~ (3) Una expresión similar puede ser obtenida al utilizar vectores espaciales.

)()()()()( * tqjtptitvts +=⋅≡rrr (4)

donde:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≡

)()()(

132)( 3

43

2

tvtvtv

eetv

c

b

ajj ππ

r (5)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≡

)()()(

132)( 3

23

4*

tititi

eeti

c

b

ajj ππr

(6)

Sustituyendo las expresiones de los vectores espaciales de tensión y corriente en la ecuación (4) se obtiene la expresión de potencia instantánea en coordenadas primitivas ABC.

[ ] [ ]abccabbcaccbbaa vivivijivivivtqjtpts ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=+=33)()()(r (7)

Esta expresión de potencia instantánea (7) es válida en cualquier condición de operación, para sistemas de potencia de tres o cuatro hilos, para régimen transitorio y estado estacionario, condición de operación balanceada y no balanceada y ante formas de ondas sinusoidales o no sinusoidales. La parte real ecuación (7) coincide con la definición clásica de la potencia trifásica instantánea (2). Por otra parte, la parte imaginaria de la ecuación (7) define un concepto de la potencia reactiva instantánea que en algunos casos coincide con la definición clásica de potencia reactiva. Para un sistema de potencia trifásico balanceado en estado estacionario y alimentado por formas de onda sinusoidales, la potencia activa y reactiva instantánea son invariantes en el tiempo, esto se debe

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a que el vector espacial de tensión (5) y corriente (6) poseen una amplitud y un ángulo relativo entre ellos constante en el tiempo. En esta condición la definición clásica de potencia activa y reactiva coincide con la expresión (7) mientras que para condiciones de alimentación no sinusoidal y sistemas desbalanceados las definiciones clásicas y vectoriales de la potencia son diferentes. Sustituyendo la expresión de la potencia aparente instantánea (4) en la definición del factor de potencia [24], se obtiene el factor de potencia instantáneo:

( ) ( )( )tstptfp r= (8)

La expresión (8) al igual que la (7) es válida en cualquier condición de operación, para sistemas de tres o cuatro hilos. A continuación, presentamos tres casos de la aplicación de la definición de potencia instantánea vectorial comparada con la definición clásica de potencia.

Operación Balanceada y Desbalanceada: Considerando un sistema de potencia trifásico tres hilos, alimentado por un sistema de tensiones sinusoidales balanceados de valor efectivo 1 p.u., aplicado a un par de cargas balanceadas conectadas en delta con valor de: ( 00.1 j+ p.u.) y ( 6.08.0 j+ p.u.) por rama. Para el caso desbalenceado se aplicara un factor de 1.0, 1.05 y 0.95 a cada rama de la carga respectivamente. En las figuras 2 y 3 se presenta una comparación entre los resultados de potencia activa y reactiva instantánea calculada a partir de la definición clásica y los cálculos obtenidos al utilizar la definición de potencia instantánea vectorial de la expresión (7). Se puede observar en las figuras 2 y 3 que el cálculo de potencia por la definición clásica como la vectorial coincide perfectamente en condición balanceada de operación, mientras que para la condición desbalanceada sólo reproduce la potencia activa. El oscilograma del vector espacial de potencia instantánea permite visualizar la variación en el tiempo de la potencia activa y reactiva. El centro de gravedad del oscilograma representa la potencia activa y reactiva promedio de la carga.

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Fig. 2: Definición clásica y vectorial de la potencia para carga puramente resistiva en condición de operación balanceada y desbalanceada.

Fig. 3: Definición clásica y vectorial de la potencia para carga resistiva inductiva

en condición de operación balanceada y desbalanceada.

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Operación Armónica: En este caso analizaremos la potencia activa y reactiva entregada por un inversor trifásico de un pulso por semiciclo, sin control por ancho de pulso, aplicado a una carga conectada en delta de impedancia a frecuencia fundamental de 6.08.0 j+ en p.u. La tensión )(tvab aplicada por el inversor a la carga puede ser descrita a través de series de Fourier de la siguiente forma:

∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅−

=1 6

)12(6

)12(cos)12(

234

)(n

ab tnsennn

tv πωππ

(9)

Las tensiones )(tvbc y )(tvca pueden representarse a través de la expresión (9) considerando la fase relativa en atraso de 32π y 34π respectivamente. En la figura 4 se presenta los resultados del cálculo de la potencia activa y reactiva utilizando las dos definiciones. Se puede destacar que para ambas definiciones la potencia promedio activa coincide perfectamente mientras que la potencia reactiva difiere. La potencia media vectorial coincide con el centro geométrico de su oscilograma.

Fig. 4: Definición clásica y vectorial de la potencia para carga resistiva inductiva

alimentada por un inversor trifásico sin control por ancho de pulso.

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Operación Transitoria: En la operación normal de sistema de potencia se presentan diferentes condiciones de operación transitorias tales como: arranque de motores, energización de transformadores y operaciones de apertura y cierre de líneas de transmisión, durante estas maniobras las tensiones y corrientes aplicadas presentan distorsiones originando que sus formas de onda no sean sinusoidales. Por ejemplo, consideremos el arranque de un motor de inducción trifásico de jaula de ardilla a plena tensión desde un sistema de tensiones sinusoidales balanceado de frecuencia fundamental. El motor se encuentra cargado en el eje a par nominal. En la figura 5 se presenta, la potencia activa y reactiva instantánea durante el proceso de arranque del convertidor. La definición clásica de potencia no puede ser aplicada en esta condición de operación, debido a que requiere la evaluación de los valores efectivos de tensión y corriente en las bobinas que conforman el estator. Una de las principales ventajas de la definición de la potencia a través de vectores espaciales, es la posibilidad de utilizarla para estimar los parámetros del modelo de la máquina de inducción en régimen dinámico de operación.

Fig. 5: Vector espacial de potencia durante un arranque a plena tensión de una

máquina de inducción.

Interpretación Física: Una interpretación física de la expresión de potencia instantánea (7) se puede obtener al considerar, la relación existente entre la fuerza electromotriz e , y la

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intensidad de campo eléctrico Er

por una parte y de la intensidad de campo magnético H

r y la corriente i por otra. El producto vectorial de estas dos

intensidades de campo en cada punto del espacio y del tiempo define el vector de Pointing HES

rrr×= . Este vector espacio-temporal representa el flujo de

potencia transferida por unidad de área debido a los campos electromagnéticos. Por ejemplo, en el entrehierro de las máquinas eléctricas rotatorias el vector de Pointing S

r en cada punto del espacio y del tiempo, tiene dos componentes una

en sentido axial y otra tangencial. La componente axial determina la potencia activa transferida entre el estator y el rotor, mientras que la tangencial representa la potencia que fluye en el entrehierro para mantener el campo electromagnético rotatorio. En líneas de transmisión trifásicas el fenómeno es similar, la potencia activa instantánea corresponde a la componente longitudinal del vector de Pointing mientras que la potencia reactiva corresponde a la componente tangencial o rotatoria de este vector. Debido a que la corriente i esta relacionada con la intensidad de campo magnético H

ra través de la ley de

Amper y la fuerza electromotriz e se obtiene de la integral de la intensidad de campo eléctrico E

r, es razonable pensar que la potencia activa instantánea

)(tp esta relacionada con la componente radial del vector de Pointing Sr

, y la potencia reactiva instantánea )(tq con la componente tangencial de este vector.