Volatility models and their applications in Finance (3/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-3

Volatilitat i Correlació

Gerard AlbàXavier Noguerola

FME UPC – febrer 2014

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2

1. Introducció

2. Volatilitat

2.1 Volatilitat històrica.

2.2 Volatilitat implícita.

2.3 Volatilitat implícita vs real.

Sessió Pràctica 1: Gregues. Gestió del risc d’una opció.Gestió d’un llibre de derivats.Informació de mercat sobre volatilitat.

2.4 Models de volatilitat.2.4.1 Models de volatilitat discrets: EWMA, GARCH.2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Volatilitat.Local, Volatilitat Estocàstica i Jump diffusion

2.5 Trading de volatilitat. Swaps de volatilitat.


33

3. Correlació

3.1 Introducció. Covariància i correlació.

3.2 Correlació històrica i implícita.

3.3 Models de correlació.

3.4 Trading de correlació.

3.5 Inconvenients de la correlació.

3.6 Altres mesures de dependència. Exemple: Opció Composite.

3.7 Efectes de la correlació en la valoració i càlcul de gregues.

3.8 Inconvenients en l’ús de paràmetres no observables. Provisions.


4

2.4 Models de volatilitat

• Històricament, s’observa:

– Moviments reduïts de l’acció venen seguits d’altres movimentsreduïts, i moviments accentuats venen seguits de més movimentsaccentuats (clustering).

– Reversió a la mitjana de la volatilitat històrica.

– Correlació negativa entre rendibilitats de l’acció i volatilitatimplícita


5


• i en la volatilitat implícita:

– Les volatilitats de curt termini es mouen més que les de llargtermini.

– Les volatilitats implícites en strikes “a la baixa” més elevades queles volatilitats per strikes “a l’alça” (skew).

– Les volatilitats implícites es mouen més quan la volatilitatimplícita és més alta.

– L’skew de la volatilitat implícita a curt termini molt més accentuatque a llarg termini (salts – jumps-)


6

• Índex S&P500 des del 1990 a 2005


7

• Moviments superiors al 4% i volatilitat. Salts en ambdós.


8


• Els models de volatilitat poden ser utilitzats tant en lapredicció del nivell de volatilitat actual com en la valoraciód’opcions.

• Existeixen dues famílies de models de volatilitat:– Models discrets (usats en la predicció)

• EWMA• ARCH i GARCH

– Models continus (usats en la valoració d’opcions)• Volatilitat local• Volatilitat estocàstica• Jump diffusion.


9

2.4.1 Models de volatilitat discrets: EWMA, GARCH

• Per tal de calcular la volatilitat actual, l’estimador de la

volatilitat es pot modificar assignant

diferents ponderacions a les observacions, de manera que

les observacions més recents contribueixin més:

• També podem afegir al model una volatilitat mitjana V a llargtermini amb un cert pes γ:

• Model ARCH(m):

∑=

−=m

iinn r

m 1

22 1σ

∑=

−⋅=m

iinin r

1

22 ασ

iα

jiji >< αα ∑=

=m

ii

1

1α

∑=

−⋅+⋅=m

iinin rV

1

22 αγσ ∑=

=+m

ii

1

1αγ

∑=

−⋅+=m

iinin r

1

22 αωσ


10


• En el model de mitjana mòbil exponencial (EWMA) s’usa unfactor per assignar els pesos a cada observació.

• A les observacions més recents se’ls assigna una ponderaciómajor que les anteriors:

• S’obté la següent expressió pel càlcul successiu de lesvolatilitats:

• El model EWMA s’usa sobretot en càlculs de riscos VaR. Podeuveure “RiskMetrics-Technical Document” de RiskGroup(JPMorgan et al) (λ=0.94 per diària; 30 dies aprox és el perioded’observació efectiu. λ=0.97 per mensual; 100 dies)

)1( ≤λλ

1−⋅= ii αλα

21

21

2 )1( −− ⋅−+⋅= nnn rλσλσ


11


• Model GARCH(1,1):

• EWMA és GARCH(1,1) amb

• GARCH presenta reversió a la mitjana, tal com s’observa enels mercats. EWMA no té reversió.

• Model GARCH(p,q) calcula a partir de les p observacionsmés recents i les q darreres estimacions de la variància.

• GARCH(1,1) es calibraajustant els paràmetres amb funcions de màximaversemblança. Implica càlcul massiu, sobretot en casmultivariant.

21

21

2−− ⋅+⋅+⋅= nnn rV σβαγσ

1=++ βαγ

λβλαγ =−== 10

2nσ

1<+ βα

21

21

2−− ⋅+⋅+= nnn r σβαωσ


12

2.4.1 Models de volatilitat discrets: EWMA, GARCH• Model GARCH de Heston:

– segueix una distribució N(0,1)– tipus d’interès compost continu

• Es poden calibrar els paràmetres mitjançant preus de mercatd’opcions europees, ja que en aquest model es té fórmulatancada per la seva valoració.

• En el límit quan el pas de temps tendeix a 0, aquest modelens dóna un model continu de volatilitat estocàstica.

21

21

2−− ⋅+⋅+= nnn r εβαωσ

nnnnr εσσµ ⋅+−= 2

21

nεµ


13


14


15


16

• Els models més importants de modelització de la volatilitati de valoració d’opcions més enllà de Black-Scholes són:

� Volatilitat Local

� Volatilitat Estocàstica

� Jump diffusion

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion


17

• Black-Scholes:


tttt

t dWdtS

dS ⋅+= σµ

02 2

222

=−∂∂+

∂∂+

∂∂

tt

ttt

t

tttt rVS

VS

S

VS

t

V µσ


18

• Volatilitat Local:– És una metodologia pràctica i simple per valorar opcions

exòtiques de manera consistent amb l’skew de volatilitat del mercat de les opcions vainilles. Extensió Black-Scholes.

– És conegut que la funció de densitat (risc neutral) per la distribució de probabilitats dels preus d’un actiu subjacent St a venciment T (és a dir, distribució d’ST) es pot obtenir dels preus d’opcions europees:

– Donada la distribució dels preus ST per cada T amb preu inicial S0, ! procès de difusió que la genera.


( ) ( ){ }∞∈ ,0;,, KTKSC o

∃

( ) ttt

t dWStSdtS

dS0;,σµ +=


19


• Volatilitat Local:

– Per tant, donats els preus d’opcions europees per diferentsstrikes , ! procès de difusió que generaaquests preus. És a dir, existeix una única funció (VolatilitatLocal) que calibra els preus de mercat de les opcionseuropees.

∃( ) ( ){ }∞∈ ,0;,, KTKSC o

( )0;, StSσ


20


– Com calculem la funció Volatilitat Local?

– El Lema d’Ito aplicat a: permet

obtenir EDP pel preu de l’opció europea (anàleg a Black-

Scholes.):

– o bé, equivalentment, si C=C(FT, K, T) amb


( ) ttt

t dWStSdtS

dS0;,σµ +=

∂∂−⋅+

∂∂=

∂∂

K

CKC

K

CK

T

Ct

t µσ2

222

2

2

222

2 K

CK

T

C

∂∂=

∂∂ σ

∫⋅=

T

tdt

T eSF 00

µ


21



( )2

22

02

2

1,,

K

CK

T

C

STK

∂∂⋅

∂∂

=σ


22


� Per tant, amb el preu d’una opció en un cert instant de temps, amb els preus de dues opcions d’strikes adjacents i el d’una opció amb venciment a l’instant posterior, podem calcular la volatilitat local en aquest instant. És a dir, amb butterflies i calendar spreads d’opcions podem obtenir (garantir-nos) volatilitats implícites futures (anàleg a tipus d’interès forward).

� Podem usar volatilitats locals en arbres, MonteCarlo, diferències finites per EDPs per valorar derivats complexos.



23


– Avantatges:

� Calibració exacta de la superfície de volatilitats de mercat.� Mercat complet (existeix cartera replicant) i tots els

paràmetres són observables.� Solució senzilla pel pricing (EDP,Crank Nicholson.

Aproximacions analítiques per opcions amb barrera).

– Inconvenients:

� Dinàmica de l’skew no realista.� L’estructura de volatilitat futura (implícita) que resulta no

correspon a la realitat. Especialment, per dates futures allunyades es perd l’skew.

� La calibració és molt sensible a interpolació/extrapolació dels preus discrets observats de mercat.



24

• Volatilitat Estocàstica:

– Els models de volatilitat estocàstica modelitzen la volatilitat mitjançant un procés continu estocàstic.

– Els models poden ser integrats en els processos habituals de modelització de preus.

– Existeixen diversos models de volatilitat estocàstica:– Heston– Hull & White– Ornstein-Uhlenbeck



25

• Model de Heston:

Volatilitat a curt terminiVolatilitat a llarg terminiVelocitat de reversió a la mitjanaVolatilitat de la Volatilitat

• amb distribució i correlació ρ.

( ) ( )2222tttt dWdtd γσσθκσ +−=

0σθκγ

0>κ0≥γ

)1(ttt

t

t dWdtS

dS σµ +=


)2()1( , tt dWdW ( )dtN ,0


26


– Modelitza reversió a la mitjana i correlació entre la volatilitat i elpreu de l’actiu subjacent.

– Suposant , el model implica que a l’instant següent t+dt, lavolatilitat haurà augmentat en mitjana, ja que il’esperança de l’altre terme és 0. Anàlogament, la volatilitatdisminueix si . La velocitat de reversió a la mitjanadetermina la força de retorn cap a la mitjana .

– La correlació ρ afecta l’skew de volatilitat. Per exemple, per unacorrelació positiva, un augment de la rendibilitat de l’actiu vindràacompanyat, en mitjana, d’un augment de la volatilitat. És a dir,la volatilitat implícita augmenta amb l’strike.

– El paràmetre de volatilitat γ afecta a la kurtosi (fat tails).

θσ <t022 >− tσθ

θσ >t θ



27


– Existeix fórmula tancada de valoració d’opcions vainilla europees

– S’usa per valorar altres opcions exòtiques, calibrant el model a partir dels preus de mercat de vainilles.

– Sovint es valora usant MonteCarlo o diferències finites, calibrant amb preus de mercat.

– Valoració usant MonteCarlo:



28

Exemple de valoració usant simulacions de Montecarlo:Option ExplicitOption Base 1Global Const Pi = 3.14159265358979

Function opcioPVHeston( _ByVal CallPutFlag$, _ByVal data1 As Date, _ByVal data2 As Date, _ByVal S0#, _ByVal K#, _ByVal r#, _ByVal div#, _ByVal vol#, _ByVal kappa#, _ByVal theta#, _ByVal lambda#, _ByVal rho#, _ByVal N&, _ByVal m&)

'kappa=Velocitat de reversió a la mitjana (>0)'theta=Volatilitat a llarg termini'lambda=Volatilitat de la volatilitat (>=0)'rho=correlació entre les variables aleatories' del preu del subjacent i la volatilitat'N=nombre de tirades de MC'm=discretització de temps

Dim rnd1#, rnd2#Dim S#, v#, dt#Dim i&, j&, cpflag%Dim valor

valor = 0



29

Select Case CallPutFlag

Case "CALL":cpflag = 1

Case "PUT"cpflag = -1

Case Else:opcioPVHeston = "ERROR EN TIPUS D'OPCIÓ!!!"Exit Function

End Select

'Comprovem si la data d'inici es superior a la de v encimentIf data1 >= data2 Then

valor = Max(cpflag * (S0 - K), 0)Else

'Definim tic de tempsdt = (data2 - data1) / (365 * m)For i = 1 To N

v = vol * volS = S0

For j = 1 To m'Generem dos nombres aleatoris correlacionatsrnd1 = BoxMuller()rnd2 = rho * rnd1 + Sqr(1 - rho * rho) * BoxMuller()

S = S * Exp((r - div - 0.5 * v) * dt + Sqr(v * dt) * rnd1)v = v + kappa * (theta * theta - v) * dt + lambda * Sqr(v * dt) * rnd2

If v < 0 Thenv = -v

End IfNext

'payoffvalor = valor + Max(cpflag * (S - K), 0)

Next

opcioPVHeston = valor / N

End If

End Function


30

Function BoxMuller()Dim x As DoubleDim y As DoubleDim dist As Double

Dox = 2 * Rnd() - 1y = 2 * Rnd() - 1dist = x * x + y * yLoop While dist >= 1 Or dist = 0#

BoxMuller = x * Sqr(-2 * Log(dist) / dist)

End Function


31


32


33

• Altres models de volatilitat estocàstica:

– Hull&White: (Volatilitat sense reversió a la mitjana)

– Ornstein-Uhlenbeck: (La variància pot resultar negativa)


)2(222tttt dWdtd γσκσσ +=

( ) )2(22ttt dWdtd γσθκσ +−=


34

• Volatilitat Estocàstica:

– Avantatges:

� Calibració adequada de l’smile de mercat pels terminis llargs.� Dinàmica de l’smile realista.

– Inconvenients:

� Calibració inadequada de l’smile per terminis curts.� Problemes en un mercat incomplet o amb paràmetres no

observables.� Solució numèrica complexa.



35

• Jump diffusion:

– es la mitjana de salts a l’any (nombre de salts)– M és la magnitud mitjana del salt (%)– amb distribució de Poisson (independent de ) amb

freqüència :


( ) ttttt

t dPMdWdtMS

dS ⋅++⋅−= σλµ

λ

dt⋅λ

( )dtPoissondPt ⋅λ~

tdWtdP


36

• Jump diffusion:

– Avantatges:

� Calibració adequada de l’smile de mercat pels terminis curts.� Dinàmica de l’smile realista.� Existeix fórmula analítica de valoració de vanilles europees.

– Inconvenients:

� Calibració inadequada a l’smile per terminis llargs.� Problemes en un mercat incomplet o amb paràmetres no

observables.� Solució numèrica complexa.



37

• Models Universals:

� Els models universals corresponen a combinacions dels tres models anteriors (volatilitat local, estocàstica i de jump difussion), alguns fins i tot amb jumps en la volatilitat.

� Aquestes combinacions permeten obtenir models que reuneixen els avantatges dels models inicials però també presenten més problemàtica en altres aspectes (per exemple, en la complexitat de càlcul dels paràmetres).



38

• Model de volatilitat local estocàstica (SLV):

�� = �� ∙ ��∙ �� + �� , � ∙ �� ∙ �� ∙ � ��

�� = −� ∙ � −�

�∙ �� ∙ �� + � ∙ � �

�

� � �� ∙ � �

� = � ∙ ��

on:

� �� , �� ∙ ��|�� = � = �, � � ∙ � ��|�� = � = �� , � �

⇒ �, � =�� ,�

� !"|�#$�

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion. Exemple.


39

Valoració alternativa sense model específic de volatilitat per aopció exòtica (per exemple, opció FX amb barrera):

o Calcular preu teòric usant entorn B-S (volatilitat ATM constant).

o Considerar skew:

� Portfolio de vainilles que replica aproximadament la Vegade l’opció exòtica (implica, doncs, opcions OTM, i.e.,utilització de l’skew). Es determinen nominals usant, perex., mínims quadrats i un univers finit de vainilles.

� Calcular cost/benefici (primes) de la cartera respectevaloracions ATM.

o Preu exòtica = Valor teòric + cost/benefici de l’skew.

2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local, Estocàstica i Jump diffusion. Exemple.


40

2.5 Trading de volatilitat. Swaps de volatilitat

• Un swap de volatilitat és un derivat que té com a subjacent la volatilitat d’un cert actiu durant un període de temps.

• Tal com un swap de tipus d’interès que permet intercanviar un tipus fix per un de flotant, els swaps de volatilitat permeten intercanviar una volatilitat fixada per la volatilitat futura real.

• Permeten tenir una exposició a la volatilitat d’un subjacent, independentment de moviments direccionals d’aquest.


41


• Si la volatilitat fixa és Vf (també anomenada strike) i la volatilitat real (anualitzada) al llarg del termini del contracte és Vh, el payoff del swap de volatilitat és:

Payoff=Nominal x (Vh-Vf)

• La volatilitat real (històrica) es calcula segons una font, freqüència i fórmula pactats inicialment.


42


• Els swaps de volatilitat són útils per a especular sobre valorsfuturs de la volatilitat.

• També són molt útils per a market-makers d’opcions, ja quepermeten cobrir-se del diferencial entre la volatilitat real i laimplícita. El market-maker té un risc de volatilitat realitzadaen el delta-hedging, però les opcions es negocien segonsvalors de volatilitat implícita.


43

• Exemple: Valoració d’un swap de volatilitat usant el model de Heston:

– Swap cost zero:

– Model de Heston:

[ ] [ ] [ ] [ ]( )30

220

22

0

20

2

82 σσσσ

σσσσ −+−+≈ EVarE

E

[ ] ( ) 2220

2 1 θθσκ

σκ

+−−=−

T

eE

T

[ ] ( )( ) ( )[ ]222220

223

222 234112

2θκθσκ

κγσ κκκκ

κ

TeeeTeT

eVar TTTT

T

+−+−+−+−=−

[ ] [ ]σσ EKKE =⇒=− 0


Economy & Finance

Volatility models and their applications in Finance (3/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-3