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U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 71INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGU NDO ORDEN: Las ecuaciones de segundo orden tienen las mismas restricciones que las ecuaciones de primer orden en lo que respecta a la linealidad y a los coeficientes constantes, pero de un orden más alto. Para la solución de estas ecuaciones se utiliza el método clásico, también existe otro método para la solución de estas ecuaciones que es el de la transformación de Laplace y también Operadores Diferenciales. La ecuación de segundo orden se escribe: donde similarmente al igual que las ecuaciones de primer orden x(t) representa la variable eléctrica que se desea determinar, g(t) es la excitación o función forzante del sistema y a0, a1, a2 son lo parámetros característicos del circuito. SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGU NDO ORDEN: La solución general de la ecuación diferencial de segundo orden se divide en dos partes: solución particular y solución homogénea, complementaria o transitoria. SOLUCIÓN TRANSITORIA : Corresponde a la solución de la ecuación diferencial homogénea. La solución a esta ecuación tiene la forma: Al sustituir en la ecuación homogénea: como stke es diferente de cero se concluye que: esta ecuación representa la ecuación característica del circuito. Resolviendo: De esta ecuación se obtienen los valores de “s”, los cuales determinan los diferentes tipos de respuesta transitoria. CASO SOBREAMORTIGUADO : Este caso ocurre cuando el discriminante de la raíz de la ecuación. es mayor que cero: Se tiene como solución dos raíces reales, negativas y diferentes. La solución transitoria es de la forma: donde k1 y k2 son constantes arbitrarias que se determinan en la solución general a partir de las condiciones iniciales.
Ejemplo de respuesta sobreamortiguada
CASO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO : Este caso ocurre cuando el discriminante de la raíz de la ecuación: es igual a cero: Como esta condición hace que las dos raíces de solución sean iguales, reales y negativas entonces la solución transitoria queda de la siguiente forma: donde: k1 y k2 son constantes arbitrarias que se determinan a partir de las condiciones iniciales en la solución general.
Ejemplo de respuesta críticamente amortiguada.
)()()()(
tgtxadt
tdxa
dt
txda 212
2
0 =++
0txadt
tdxa
dt
txda 212
2
0 =++ )()()(
stT ketx =)(
0asasake0keaskeakesa 212
0stst
2st
1st2
0 =++⇒=++ )(
0asasa 212
0 =++ )(
0
22
0
1
0
1
0
202
11
a
a
a2
a
a2
as
a2
aa4aas −
±−=⇒
−±−=
ts2
ts1T
11 tekektx +=)(
)()()( txtxtx PT +=
0
2
2
0
1
0
1
a
a
a2
a
a2
as −
±−=
0a
a
a2
a
0
2
2
0
1 >−
0
22
0
1
0
11 a
a
a2
a
a2
as −
+−=
0
22
0
1
0
12 a
a
a2
a
a2
as −
−−=
ts2
ts1T
21 ekektx +=)(
0a
a
a2
a
0
2
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0
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0
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2
0
1
0
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a
a
a2
a
a2
as −
±−=
0
121 a2
ass −==
U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 72CASO SUBAMORTIGUADO U OSCILATORIO : En este caso el discriminante de la raíz de la ecuación: es negativo: por lo que se tienen raíces complejas conjugadas de la siguiente forma: donde: Sustituyendo las raíces en la expresión:
Ejemplo de respuesta subamortiguada.
Donde k1´ y k2´ son complejos conjugados. Manipulando estas expresiones con la identidad de Euler: se obtiene: k1 y k2 son constantes arbitrarias que se determinan a partir de las condiciones iniciales en la solución general. CASO OSCILATORIO PURO : Cuando en la ecuación diferencial el coeficiente a1 es igual a cero, la respuesta transitoria es oscilatoria pura y no desaparece al transcurrir el tiempo, esto ocurre porque s = -a1/2a0 = 0 y por lo tanto la componente exponencial de la solución se hace igual a uno, y queda solamente las componentes senoidales de esta solución transitoria. Donde:
Ejemplo de respuesta oscilatoria. SOLUCIÓN TRANSITORIA DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN EN FUNCIÓN DE ζ Y ωn: La ecuación diferencial homogénea de segundo orden también se escribe en función de dos parámetros: ζ (coeficiente de amortiguamiento) y ωn (frecuencia natural del sistema). De este modo la ecuación diferencial homogénea: donde a0 = 1 se transforma en: al identificar coeficientes se deduce que: al despejar los parámetros en función de los coeficientes: como la solución transitoria es de la forma: al sustituir esta expresión en la ecuación diferencial homogénea: al sacar factor común kest: : Se obtiene la ecuación característica en función de estos parámetros. La solución de esta expresión cuadrática es: Como la respuesta en un sistema de segundo orden depende del discriminante de la raíz, los diferentes casos de respuestas transitorias dependerán, con estos parámetros, del coeficiente de amortiguamiento.
0a
a
a2
a
0
2
2
0
1 <−
ωσ js1 += ωσ js2 −=
0
1
a2
a−=σ 2
0
1
0
2
a2
a
a
a
−=ω
0txadt
tdxa
dt
txd212
2
=++ )()()(
0txdt
tdx2
dt
txd 2nn2
2
=++ )()()( ωζω
2
1
a2
a=ζ2n a=ωst
T ketx =)(
0keske2kes st2n
stn
st2 =++ ωζω
0s2ske 2nn
2st =++ )( ωζω
0
2
2
0
1
0
1
a
a
a2
a
a2
as −
±−=
t2
t1T
ts2
ts1T ekektxekektx 21 )()( '')('')( ωσωσ −+ +=⇒+=
0s2s 2nn
2 =++ )( ωζω
1s2
442s 2
nn
2n
2n
2n −±−=⇒
−±−= ζωζω
ωωζζω
tktsenktx 21T ωω cos)( +=
)cos(cos)( tktsenketektsenektx 21tt
2t
1T ωωωω σσσ +=+=
jsenXXe jX += cos
0
2
a
a=ω
2n2a ω=n1 2a ζω=
U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 73CASO SOBREAMORTIGUADO : Se obtiene cuando en la ecuación: el coeficiente de amortiguamiento es: ζ>1 la solución transitoria es de la forma: t
2t
1T21 ekektx σσ +=)( donde:
CASO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO : Se obtiene cuando en la ecuación: el coeficiente de amortiguamiento es: ζ = 1 la solución transitoria es de la forma: t
2t
1T tekektx σσ +=)( donde: CASO SUBAMORTIGUADO : Se obtiene cuando en la ecuación: el coeficiente de amortiguamiento es: 0<ζ<1
la solución transitoria es de la forma: ( )tktsenketx 21t
T ωωσ cos)( += donde: nζωσ −= 2n 1 ζωω −=
CASO OSCILATORIO : Se obtiene cuando en la ecuación:
el coeficiente de amortiguamiento y la parte real de la raíz son: ζ = 0 y σ = 0
La frecuencia de oscilación es igual a la frecuencia natural: ω = ωn
la solución transitoria es de la forma: tktktx n2n1T ωω coscos)( += REPRESENTACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO : Si se representa la forma de las raíces de la ecuación característica para una variación del coeficiente de amortiguamiento ζ desde 0 hasta ∞, se obtendrá un lugar geométrico de las raíces en el plano complejo. Para ζ = 0 las respuestas son n21 jss ω±=, , es decir, las raíces
son puramente imaginarias por lo que se ubican en el eje imaginario. Para 0<ζ<1, las raíces son complejas y conjugadas como:
De acuerdo con las ubicaciones en el plano s (números complejos),
se observa que la parte real e imaginaria son:
Parte real: nζωσ −=
Parte imaginaria: 2n 1 ζωω −=
Se tiene que el lugar geométrico de las raíces en el plano complejo
s es un semicírculo cuyo radio es ωn y este lugar geométrico se
forma cuando ζ varía de 0 a 1.
Respuesta oscilatoria.
Respuesta subamortiguada
12nn1 −−−= ζωζωσ 12
nn2 −+−= ζωζωσ
nζωσ −=
1s 2nn −±−= ζωζω
1s 2nn −±−= ζωζω
1s 2nn −±−= ζωζω
1s 2nn −±−= ζωζω
2nn21 1jss ζωζω −±−=,
ωσ jss 21 ±=,
jω
σ
1s
2s
0=ζ
0=σ
nω=ω
RESPUESTAOSCILATORIA
2nn21 1js,s ζ−ωζω−= +−
jω
σθ
2s
1s
RESPUESTASUBAMORTIGUADA
10 <ζ<
nζω−=σ2
n 1 ζ−ω=ω
2nn21 1js,s ζ−ωζω−=
ζ=ω
ζω=θn
ncos
+−
U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 74Para ζ = 1 las raíces son reales iguales y negativas y quedan ubicadas sobre el eje real en el semi plano donde la parte real tiene valores negativos. Para ζ>1 las raíces son reales, negativas y diferentes apareciendo sobre el eje real en su lado negativo.
Respuesta críticamente amortiguada.
Respuesta sobreamortiguada.
SOLUCIÓN PARTICULAR : La forma de resolver la solución particular en las ecuaciones diferenciales de segundo orden cumple con las mismas características que la solución particular de primer orden, por lo que se aplica el método de coeficientes indeterminados para su solución.
SOLUCIÓN PARTICULAR PARA DIFERENTES FUNCIONES FORZANTES: Los coeficientes indeterminados (A, B, C, D) que aparecen en la tabla se calculan sustituyendo la solución adecuada en la ecuación diferencial general. La solución poarticular a escoger dependerá de g( t ).
Luego, al agrupar e igualar los términos semejantes en ambos lados de la igualdad, se obtendrá un sistema de ecuaciones que permitirá hallar esos coeficientes (A, B, C, D) desconocidos hasta ese momento.
Tabla. Formas que se requieren para las funciones de prueba.
)()()()(
tgtxadt
tdxa
dt
txda 212
2
0 =++
n21 ss ζω−=,
1s 2nn1 −−−= ζωζω 1s 2
nn2 −+−= ζωζω
)t(gFactor Solución particular
V Ant n1n
1n1
n0 BtB...tBt +++ −
−
rte rtCe
tcosωtsenω tsen2Dtcos1D ω+ω
tcose t ωσ
tsene t ωσ ( )tcosBtAsene t ω+ωσ
tcoste t ωσ
tsente t ωσ( )( )tcosDtCsene
tcosBtAsentet
t
ω+ω+ω+ω
σ
σ
B
jω
σ= 2s1s
RESPUESTACRITICAMENTEAMORTIGUADA
21 s,s = 12nn −ζωζω−
1=ζ
nζω−=σ+−
jω
σ01s−2s
RESPUESTASOBREAMORTIGUADA
21 s,s = 12nn −ζωζω−
1>ζ
12nn1 −ζω−ζω−=σ
12nn2 −ζω+ζω−=σ
+−
U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 75SOLUCIÓN GENERAL : La solución general es la suma de la solución transitoria y la solución particular: Esta solución tiene dos coeficientes cuyos valores no se conocen (k1 y k2 ) y provienen de la solución transitoria; al igual que en la solución de primer orden se determinan con las condiciones iniciales de la variable buscada: la condición inicial y la condición inicial de primera derivada. Al evaluar con la condición inicial en t = t0 : se tiene una ecuación con dos incógnitas k1 y k2, se necesita otra ecuación para determinar estas constantes. Esto se hace al derivar la solución general y evaluarla para la condición inicial de primera derivada. ⇒ Así se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas, lo que permite obtener los valores de las constantes k1 y k2, de esta forma se obtiene la solución completa. ANÁLISIS DE CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN: Los circuitos RL y RC estudiados anteriormente son de primer orden y tienen como característica principal el poseer un solo elemento almacenador de energía (o uno equivalente). Si el circuito a estudiar tiene dos elementos de almacenamiento, un inductor y un capacitor, o dos del mismo tipo, pero no un equivalente en serie o en paralelo de un solo elemento, el circuito queda descrito por una ecuación diferencial de segundo orden. Existen excepciones a la regla de que los circuitos con dos elementos de almacenamiento tengan ecuaciones de segundo orden. Si se pueden reemplazar dos o más elementos almacenadores del mismo tipo (inductores o capacitores) por un solo equivalente, éste cuenta como un solo elemento de almacenamiento para determinar el orden de la ecuación. En otros casos los elementos los elementos almacenadores de energía pueden no interactuar. Por ejemplo, el siguiente circuito tiene dos capacitores, si se hace un análisis nodal para éste circuito, se obtienen: nodo V1: donde: nodo V2: donde: Estas son ecuaciones diferenciales de primer orden no acopladas, es decir, no hay incógnita que aparezca en ambas ecuaciones, cada una se resuelve como una ecuación diferencial de primer orden, aún cuando hay en el circuito dos elementos de almacenamiento que no son reducibles a uno solo equivalente. En la determinación de la ecuación diferencial de segundo orden que define la variable buscada en el circuito, se utilizarán ecuaciones nodales, ecuaciones de mallas y relaciones vol-ampere de los elementos del circuito. Las expresiones de las fuentes se dejarán en forma literal : v( t ), i( t ); una vez obtenida la ecuación diferencial, se reemplaza la expresión matemática que representan a esas fuentes. Generalmente se utiliza el método que genere el menor número de ecuaciones (mallas o nodos) para así utilizar menos ecuaciones en la resolución de la ecuación diferencial, por lo que es recomendable realizar un análisis topológico. Se busca que las incógnitas en el sistema de ecuaciones queden en función de la variable buscada o de la otra variable de la relación volt- ampere del elemento. En caso de buscarse la corriente de una fuente de voltaje o el voltaje de una fuente de corriente, como en estos elementos activos no existe relación volt-ampere, lo que se hace es buscar estas variables en función de corrientes o voltajes de los elementos pasivos presentes en el circuito. Si dentro de alguna ecuación queda términos integrales, se deriva esta ecuación Las incógnitas que no se desean en el sistema de ecuaciones se despejan en función de la variable buscada (o de la variable relacionada con la relación volt-ampere) y se sustituyen en el sistema de ecuación hasta que quede una sola ecuación diferencia de segundo orden que define la variable buscada. Una vez obtenida la ecuación diferencial, se resuelve con los procedimientos explicados anteriormente para calcular la respuesta transitoria y de régimen permanente de la variable buscada
)()()( txtxtx TP +=
)()()( 0T0P0 txtxtx +=
dt
tdx
dt
tdx
dt
tdx TP )()()( +=dt
tdx
dt
tdx
dt
dx 0T0Pt0
)()( +=
11
111 R
tv
R
V
dt
dVC
)(=+
12
222 R
tv
R
V
dt
dVC
)(=+
1C1R ii =
2C2R ii =
U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 76ANÁLISIS DEL CIRCUITO RLC SERIE : Al determinar la ecuación de malla cuando se cierra S en t = 0 por LVK: al determinar la relación volt-ampere en los elementos pasivos: al sustituir las relaciones volt-ampere en la ecuación de malla: se obtiene una ecuación integro-diferencial que al derivar y dividir por L se convierte en una ecuación diferencial de segundo orden. SOLUCIÓN TRANSITORIA : En la ecuación diferencial homogénea: al sustituir la solución transitoria: se obtiene la ecuación característica: al comparar con la ecuación: se obtiene que la frecuencia natural es: y la relación de amortiguación es: RESPUESTA SOBREAMORTIGUADA: Se obtiene cuando ζ>1 la solución transitoria es de la forma: donde: RESPUESTA CRÍTICAMENTE AMORTIGUADA : Se obtiene cuando ζ = 1 la solución transitoria es de la forma: donde: RESPUESTA SUBAMORTIGUADA: Se obtiene cuando 0<ζ<1 la solución transitoria es de la forma: donde: RESPUESTA OSCILATORIA PURA : Se obtiene cuando ζ = 0 debido a que R = 0 Ω por lo que σ = 0. La frecuencia de oscilación ω es igual a la frecuencia natural ω = ωn es decir: La respuesta transitoria es: RESISTENCIA DE AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO : De la expresión de ζ en función de R, L y C se deduce que variando cualquiera de estos parámetros cambiará la relación de amortiguación. En base a esto, se define un valor particular de resistencia que hace que ζ = 1. A esta cantidad se le llama resistencia crítica ( Rcrit ) ya que, si el sistema tiene una resistencia interna igual a la crítica, su comportamiento transitorio será precisamente críticamente amortiguado. En el caso particular del circuito RLC serie: cuando ζ = 1. SOLUCIÓN PARTICULAR : La solución particular se determina a partir de la ecuación diferencial general de segundo orden: al observar la forma de la función forzante se eligirá la solución particular utilizando el método de los coeficientes indeterminados. Esto puede dar como resultado múltiples soluciones que dependerán de las expresiones con la cual estén formadas la función forzante. (Asenwt, Ae-bt, A, etc. o combinaciones de ellas). SOLUCIÓN GENERAL : La solución general será la suma de las soluciones particular y transitoria: Los coeficientes de la solución transitoria se determinan evaluando la solución general y la derivada de la solución general con las condiciones iniciales, para obtener dos ecuaciones con las incógnitas de la solución transitoria. al derivar la solución general: al evaluar en t = 0: Se determinan los valores de las constantes k de la solución transitoria.
)()()()( tvtvtvtv CLR =++
∫∫ −+== −∞−
t
0Ct
C dttiC
10vdtti
C
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)()( = )()( tRitvR =
)()()()(
)( tvdttiC
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0LC
1s
L
Rs2 =++
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1n =ω
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C
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R=ζ
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21 ekekti +=)(
LC
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L2
R
L2
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2
1 −
+−=LC
1
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R
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2
2 −
−−=
st21T etkkti )()( += L2
Rs −=
tsenektekti t2
t1T ωω σσ += cos)( L2
R−=σ 2
L2
R
LC
1
−=ω
LC
1n =ω tsenktkti n2n1T ωω += cos)(
C
L2Rcrit =
dt
tdv
L
1ti
LC
1
dt
tdi
L
R
dt
tid2
2 )()(
)()( =++
)()()( tititi TP +=
)()()( 0i0i0i TP +=
dt
tdi
dt
tdi
dt
tdi TP )()()( +=dt
0di
dt
0di
dt
di TP0
)()( +=
SL)t(i H1R 2Ω
