DISTRIBUCIONES ALGUNOS EJERCISIOS

MATERIA: PROBABILIDAD

PROFESOR: Lic. Gerardo Edgar Mata Ortiz

ALUMNO: ROLANDO FERNANDO ECHAVARRIA

GRADO: 2

SECCION: C

Consideremos el siguiente juego, la apuesta a un número al arrojar un dado. Consideraremos un "éxito" si sale el número que eligimos, y un "fracaso" si sale otro número.

Tenemos que:

p = 1/6

q = 1-p = 5/6

Si hacemos una sola prueba donde P(k) es la probabilidad de k exitos.

tenemos que:

n = 1

P(0) = q = 5/6

P(1) = p = 1/6

Si hacemos dos pruebas, encontraremos lo siguiente:

n = 2

1era prueba

2da prueba

descripcion No. exitos

Prob 1era Prob 2nda

2 prob.

P Pierde 2 pruebas

0 5/6 5/6 25/36 25/36

q Gana primera pierda segunda

1 1/6 5/6 25/36 5/36

Tendremos cuatro diferentes formas de obtener resultados, estas cuatro formas las vemos en la columna "descripción" de la tabla anterior.

La probabilidad para cada resultado, se calcula multiplicando las probabilidades del resultado de cada prueba, dado que estas son independientes.

El número de "éxitos" lo hacemos contando las "p" de cada línea.

Así podemos calcular la probabilidad desde cero hasta 2 éxitos.

Observa que para la P(1) sumamos dos veces cinco sextos que se encuentran en los renglones verdes de la tabla anterior.

Así podemos calcular la probabilidad desde cero hasta 2 éxitosObserva que para la P(1) sumamos dos veces cinco sextos que se encuentran en renglonesde la tabla anterior.

Ley de poisson.

Sea X ~(4). Determinar

a) P(X=1) b) P(X=0) c) P(X<2) d) P(X>1) e) μX f) σx

a) P(X=1)= e-4 *

P(X=1)= 0.018315638 *

P(X=1)= 0.018315638 * 4 P(X=1)= 0.073262555

b) P(X=0) = e-4 *

P(X=0)= 0.018315638 *

P(X=0)= 0.018315638 * 1 P(X=0)= 0.018315638 c) P(X<2)

P(X=1)= e-4 * P(X=0) = e-4 *

P(X=1) = 0.018315638 * P(X=0)= 0.018315638 *

P(X=1) = 0.018315638 * 4 P(X=0)= 0.018315638 * 1 P(X=1) = 0.073262555 P(X=0)= 0.018315638 P(X<2) =P(X=1)+P(X=0) P(X<2) =0.07326255+0.018315638 P(X<2) =0.091578193

d) P(X>1)

P(X=2)= e-4 * P(X=3)= e-4 *

P(X=2)= 0.018315638 * P(X=3)= 0.018315638 *

P(X=2)= 0.018315638 * 8 P(X=3)= 0.018315638 * 10.66666667 P(X=2)= 0.146525111 P(X=3)= 0.195366814

P(X=4)= e-4 * P(X>1)= P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)

P(X=4)= 0.018315638 * P(X>1)= 0.146525111+0.195366814+

0.195366814 P(X=4)= 0.018315638 * 10.66666667 P(X=4)= 0.195366814 P(X>1)=0.537258739 e) μX

μX= 4

f) σx

σx= σx= 2 suponga que 0.03 % de los contenedores plásticos producidos en cierto proceso tiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el numero de contenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tienen este defecto. Determine: a) P(X=3) b) P(X≤2) c) P(1≤X<4) d) μX e) σx

a) P(X=3)= e-3*

P(X=3)= 0.049787068 *

P(X=3)= 0.049787068 * 4.5 P(X=3)= 0.0224041807

b) P(X≤2)

P(X=0)= e-3 * P(X=1)= e-3 *

P(X=0)= 0.049787068 * P(X=1)= 0.049787068 *

P(X=0)= 0.049787068 * 1 P(X=1)= 0.049787068 * 3 P(X=0)= 0.049787068 P(X=1)= 0.149361205

P(X=2)= e-3* P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

P(X=2)= 0.049787068 * P(X≤2)= 0.049787068+0.149361205+

0.149361205 P(X=2)= 0.049787068 * 4.5 P(X=2)= 0.0224041807 P(X≤2)=0.42319008 c) P(X<2)

P(X=1)= e-3 * P(X=2)= e-3*

P(X=1)= 0.049787068 * P(X=2)= 0.049787068 *

P(X=1)= 0.049787068 * 3 P(X=2)= 0.049787068 * 4.5 P(X=1)= 0.149361205 P(X=2)= 0.0224041807

P(X=3)= e-3* P(X<2)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)

P(X=3)= 0.049787068 * P(X<2)= 0.149361205+0.224041807+

0.224041807 P(X=3)= 0.049787068 * 4.5 P(X=3)= 0.0224041807 P(X<2)= 0.597444819 d) μX

μX= 3 e) σx

σx=

σx= 1.732030808 3.- el numero de mensajes recibidos por el tablero computado de anuncios es una variable aleatoria de Poisson con una razón media de ocho mensajes por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una hora? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en 11/2 horas? a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una hora?

P(X=3)= e-8*

P(X=3)= 3.354626279x10-4 *

P(X=3)= 3.354626279x10-4 * 273.0666667 P(X=3)= 0.09160366 b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?

P(X=10)= e-12*

P(X=10)= 6.144212353x10-6 *

P(X=10)= 6.144212353x10-6 * 17062.76571 P(X=10)= 0.104837255 c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en 11/2 horas?

P(X=0)= e-12* P(X=1)= e-12*

P(X=0)= 6.144212353x10-6 * P(X=1)= 6.144212353x10-6 *

P(X=0)= 6.144212353x10-6 * 1 P(X=1)= 6.144212353x10-6 * 12 P(X=0)= 6.144212353x10-6 P(X=1)= 7.373054824x10-5

P(X=2)= e-12* P(X<3)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

P(X=2)= 6.144212353x10-6 * P(X<3)= 6.144212353x10-6 +

7.373054824x10-5 +

P(X=2)= 6.144212353x10-6 * 72 4.423832894x10-4 = P(X=2)= 4.423832894x10-4 P(X<3)= 5.2225805x10-4

una variable aleatoria X tiene una distribucion binomial y una variable Y tiene una distribucion de Poisson. Tanto X como Y tienen medias iguales a 3. ¿Es posible determinar que variable aleatoria tiene la varianza mas grande? Elija una de las siguientes respuestas: i) Sí, X tiene la varianza mas grande. ii) Sí, Y tiene la varianza mas grande iii) No, se necesita conocer el numero de ensayos,n, para X. iv) No, se necesita conocer la probabilidad de éxito, p, para X. v) No, se necesita conocer el valor de λ para Y. Fórmula para determinar la varianza en una distribución binomial: σ2

x= (1-p) σ2

x= (1-3) σ2

x= -2 Formula para determinar la varianza en una distribución Poisson: σ2

y= λ σ2

y= 3 Respuesta: ii) Sí, Y tiene la varianza más grande La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agita por completo la concentración, y posteriormente se extraen 3 mL. Sea X el numero de partículas que son retiradas. Determine. a) P(X=5) b) P(X≤2) c) μX d) σx

a) P(X=5)= e-6 *

P(X=5)= 2.478752177x10-3 *

P(X=5)= 2.478752177x10-3 * 64.8 P(X=5)= 0.160623141

b) P(X≤2)

P(X=0)= e-6 * P(X=1)= e-6 *

P(X=0)= 2.478752177x10-3 * P(X=1)= 2.478752177x10-3 *

P(X=0)= 2.478752177x10-3 * 1 P(X=1)= 2.478752177x10-3 * 6 P(X=0)= 2.478752177x10-3 P(X=1)= 0.014872513

P(X=2)= e-6 * P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

P(X=2)= 2.478752177x10-3 * P(X≤2)= 2.478752177+0.014872513+

0.044617539 P(X=2)= 2.478752177x10-3 * 18 P(X=2)= 0.044617539 P(X≤2)= 0.061968804 c) μX

μX= 6 d) σx

σx= σx= 2.449489743

Sea T ~ t(4,0.5):

determinar

b) Determinar

c) Determinar P(T

P(T

= 1- e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e

(0.5)(1)

=1- 0.60653 -0.30327 -0.075816 -0.012636

=0.000175

d) Determinar P(T

P(T

= e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e

(0.5)(3)

=0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551

=0.9344

Sea T ~ Weibull(0.5,3)

a) Determinar

b) Determinar

c) Determinar P(T

P (T>5) =1-P(T 1) = 1 – e-

En el articulo “Parameter Estimation with Only One Complete Failure

Observation”se modela la duracion en horas, de cierto tipo de cojinete con la

distribucion de Weibull con parámetros

a) Determine la probabilidad de que un cojinete dure mas de 1000 horas

b) Determine la probabilidad de que un cojinete dure menos de 2000 horas

P(T<2000)= P(T

c) La función de riesgo se definio en el ejercicio 4 ¿Cuál es el riesgo en

T=2000 horas?

h(t) =

La duración de un ventilador, en horas , que se usa en un sistema computacional

tiene una distribución de Weibull con

a) ¿Cuáles la probabilidad de que un ventilador dure mas de 10 000

horas?

P(T>10 000 ) =1 –(1-

=0.3679

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de 5000

horas?

P(t<5000) =P(T

Un sistema consiste de dos componentes conectados en serie. El sistema fallara

cuando alguno de los componentes falle. Sea T el momento en el que el sistema

falla. Sean X1 y X2 las duraciones de los dos componentes. Suponga que X1 y X2

son independientes y que cada uno sigue una distribución Weibull con

2

a) determine P(

P(

b) determine P(T 5)

P(T =0.8647

c) T Tiene una distribución de Weibull= si es Asi ¿Cuáles son sus

parametros?

Si, T~ Weibull (2,

Determine el área bajo la curva normal

a) Ala derecha de z= -0.85.

b) Entre z = 0.40 y z = 1.30.

c) Entre z =0.30 y z = 0.90.

d) Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45

Estos resultados se obtuvieron con las tablas anexas al final de los problemas

A – 1 – 0.1977 = 0.8023

B – 0.9032 – 0.6554 = 0.2478

C – 0.8159 – 0.3821 = 0.4338

D – 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.7404

puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen normalmente con media

de 480 y desviación estándar de 90.

a) ¿Cual es la proposición de puntuaciones mayores a 700?

b) ¿Cual es el 25º? ¿Percentil de las puntuaciones?

c) Si la puntuación de alguien es de 600. ¿En que percentil se encuentra?

d) ¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre 420 y 520?

µ = 480 σ = 90

A - Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a la derecha de Z es 0.0073

B – la puntuación de z en el 25 º percentil -0.67

El 25 º percentil es entonces 480 - 0.67 (90) = 419.7

C – z = (600-480)/90 = 1.33 el área a la derecha de z es 0.9082

Por lo que una puntuación de 600 esta en el percentil 91

D - z = (420 - 480)/90 = - 0.67

Z = (520 – 480)/90 = 0.44

El área entre z = - 0.67 y z = 0.44 es 0.6700 – 0.2514 = 0.4186

La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente con media

de 10 giga pascales (Gpa)

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación tenga

resistencia mayor a 12 GPa?

b) Determine el primer cuartil de la resistencia de esta aleación.

c) Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación.

µ = 10 σ = 1.4

A) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43 es 1 – 0.9236 = 0.0764

B) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67

El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062 Gpa.

C) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645

El 25 º percentil es entonces 10 + 1.645(1.4) = 12.303 Gpa.

La penicilina es producida por el hongo penicillium, que crece en un caldo, cuyo

contenido de azúcar debe controlarse con cuidado. La concentración optima e

azúcar es de 4.9 mg/mL. Si la concentración excede los 6 mg/mL, el hongo muere

y el proceso debe suspenderse todo el día.

a) ¿Si la concentración de azúcar en tandas de caldo se distribuye

normalmente con media 4.9 mg/mL y desviación estándar 0.6 mg/mL

en que proporción de días se suspenderá el proceso?

b) El distribuidor ofrece vender caldo con una concentración de azúcar

que se distribuye normalmente con medida de 5.2 mg/mL y

desviación estándar de 0.4 mg/mL ¿este caldo surtirá efectos con

menos días de producción perdida?

A) (6 – 4.9)/0.6 =1.83 1 – 0.9664 = 0.0336

B) Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00 1 – 0.9772 = 0.0228

Con este caldo el proceso se suspendería el 2.28% de los días

El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina se distribuye con media de

12.05 onzas y desviación estándar de 0.03 onzas.

a) ¿Qué proporción de latas contiene menos de 12 onzas?

b) La medida del proceso se puede ajustar utilizando calibración. ¿En que valor

debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?

c) Si la media del procesos sigue siendo de 12.05 onzas. ¿En que valor debe

fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?

A) (12 – 12.05)/0.03 = -1.67 la proporción es 0.0475

B) Z= -2.33 entonces -2.33=(12 - µ)/0.03 despejando µ = 12 .07 onzas

C) – 2.33 = (12-12.05)/ σ despejando σ = 0.0215 onzas