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Cuadernillo del Estudiante
1ª SECCIÓN “RECORDANDO GRÁFICOS Y VARIABLES”
2
Nombre: ________________________________________________________________________
Colegio: ___________________________________________Curso:________________________
Comenzaremos el estudio de una nueva unidad, Estadística, muy
entretenida, que iras descubriendo poco a poco. Este será tu
cuadernillo en el cual encontrarás actividades con lo necesario para
aprender con éxito.
¿Te has fijado que durante todo el día estás recibiendo información,
de distintas fuentes y de diversas maneras? Si quisieras saber la
información del clima ¿Dónde la buscarías?
La información del clima la podemos obtener por medio de:
La radio
La televisión
El diario
En ciertos números telefónicos
En forma directa al observar a nuestro alrededor, aunque esta no es
la más precisa ya que depende de nuestras percepciones.
Es decir que la misma información es comunicada de manera diversa
o por numerosos medios de comunicación ocupando muchos canales
(auditivo, visual, táctil).
Si obtenemos la información del tiempo por medio del diario, nos
informamos por el canal visual.
Si obtenemos la información mediante la radio será el canal auditivo
el que nos permitió informarnos. Pero también obtenemos esta
información mediante la lectura de ciertos íconos o símbolos.
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O cuando estamos frente a un disco pare, este es un símbolo el cual
nos está dando la información de detención, o cuando estamos frente
a un cruce de cebra, sabemos que es por ahí donde podemos cruzar
sin riesgos. En realidad, con mucha frecuencia estamos frente a
diversos símbolos los que nos entregan información valiosa y que
debemos interpretar de la manera más precisa.
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Actividad 1 “Reconociendo Símbolos”
Completa el siguiente recuadro con el significado que tú le entregas a cada imagen.
SÍMBOLO SIGNIFICADO
Todas estas imágenes las asociamos directamente a un tema o a un
concepto definido, pero es muy probable que al escribirlo sólo en una
palabra no todas las personas coincidan, o puede que alguien no
conozca estos símbolos.
Es por esto que necesitamos algún procedimiento que nos permita
transmitir información para que cualquier persona la decodifique de la
misma forma.
Ahora imagina el siguiente caso:
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Se ha realizado un estudio donde se encuestó a un grupo de 100
personas mayores de 18 años, donde la pregunta fue: ¿Cuál es tu
equipo de futbol favorito? Y el resultado fue el siguiente:
“A 40 encuestados les gusta Colo-Colo, a 30 encuestados les gusta
Universidad de Chile, a 20 encuestados les gusta Universidad
Católica y a los otros 10 restantes les gustan otros equipos” ¿Cómo
podríamos traspasar esta información escrita a un símbolo que todos
podamos interpretar de la misma forma?
Como puedes observar es más fácil hacer las comparaciones y
entender la información que se está entregando cuando la
observamos en un gráfico.
Es precisamente para esto que fueron diseñado los gráficos, para
facilitarle al lector la comprensión de la información, existen varios
tipos de gráficos los cuales recordaras a continuación.
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Una posibilidad sería escribir los resultados así:
Colo-Colo 40 personas
U de Chile 30 personas
U Católica 20 personas
Otros equipos 10 persona
Otra posibilidad es entregar la misma información mediante un gráfico.
Colo-Colo
U. de Chile
U. de Católica
Otros
Gráficos
Los Gráficos son muy usados en estadística ya que permiten entregar
una gran cantidad de información de manera muy reducida y fácil de
interpretar.
Los tipos de gráficos más usados son:
Gráfico circular: Es útil para la representación de porcentajes con
respecto de un total. Está formado por un círculo el cuál se divide en
sectores circulares proporcionales a la frecuencia que representa.
Existen gráficos circulares Unidimensionales, tridimensionales y
tridimensionales seccionados.
Gráfico circular unidimensional.
Equipo Favorito
37%
27%
27%
9%Colo-colo
U de Chile
U Católoca
Otros
Gráfico circular tridimensional seccionado
Equipo Favorito
37%
27%
27%
9%Colo-colo
U de Chile
U Católoca
Otros
Gráfico circular tridimensional.
Equipo Favorito
37%
27%
27%
9%Colo-colo
U de Chile
U Católoca
Otros
Gráfico de barras: es útil para la comparación de frecuencias. Es
representado por barras separadas entre sí y a la altura de cada
barra, es proporcional a la frecuencia. Existen gráficos de barras
horizontales y verticales.
Gráfico de barras Horizontal Gráfico de barras vertical
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Sexo de los entrevistados
46 48 50 52 54
Hombre
Mujeres
Sexo de los entrevistados
46
48
50
52
54
Hombre Mujeres
Histograma: Es útil para representar información de datos que se
encuentran agrupados. Está formado por barras contiguas, donde la
altura de cada barra es proporcional a la frecuencia de cada variable.
Pictograma: Es útil cuando la información representada es una
cualidad. En este tipo de gráficos la frecuencia es representada
mediante dibujos alusivos al estudio y proporcionales en tamaño a la
frecuencia que representan.
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Actividad 2 “Asociando Gráficos”
1) Escribe el nombre que le corresponde a cada gráfico
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Recopilando información
Como ya sabes un gráfico es la manera más simple de entregar una
gran cantidad de información, pero también es importante poder
interpretar esa información.
Actividad 3“Recopilando Información”
I.- Se ha encuestado a los alumnos de enseñanza media de un
colegio
Científico-Humanista de la región Metropolitana para determinar cuál
es la asignatura que más les agrada y sus respuestas fueron las
siguientes: Al 25% de los encuestados les agrada lenguaje, al 18%
matemáticas, al 11% historia y geografía, al 5% química, al 3% física,
al 7% biología, al 25% educación física y el resto de estudiantes no
contestaron la encuesta.
Con estos datos se diseñó el siguiente gráfico circular
25%
18%
11%5%3%
7%
25%
6%
Asignatura Favorita
abHistoria y GeografíaQuímicaeBiologíaEd. FísicaNo responde
10
Observa con atención y luego responde:
1. La letra a corresponde a la asignatura de .
2. La letra b corresponde a la asignatura de .
3. La letra e corresponde a la asignatura de .
4. ¿Qué porcentaje de alumnos no respondió la encuesta? .
5. Las asignaturas de y tienen el
mismo porcentaje.
6. La asignatura que menos le gusta a los estudiantes es
.
II.- Observa el siguiente gráfico y responde.
1.- El país que presenta mayor volumen de exportación de miel
es .
2.- Hay países que han disminuido su volumen de exportaciones
en relación al año 2004.
Ejemplo .
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3.- ¿Qué preguntas se podrían realizar con esta misma
información?
Pregunta 1 .
Respuesta .
Pregunta 2 .
Respuesta .
III.- Según el I.N.E. instituto nacional de estadística en las notas de
prensa del 23 de mayo del 2008. De los 307.028 alumnos que se
matriculan por primera vez en los estudios universitarios, el 63,5% lo
hace tras superar las Pruebas de Acceso a la Universidad (PAU). Por
su parte, un 14,1% accede a un nuevo estudio porque poseía un título
universitario o había cursado el primer ciclo de otra carrera distinta.
El 22,4% restante accede a través de Formación Profesional, acceso
de mayores de 25 años, convalidaciones de estudios extranjeros, etc.
Con esta información de elaboró el siguiente gráfico circular.
Para completar este gráfico ¿Qué se debería colocar en remplazo de
los números 1, 2 y 3?
1. .
2. .
3. .
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IV.- El siguiente gráfico muestra los deportes favoritos de niños y
niñas que viven en un edificio de la capital.
Deporte Favorito 1
tenis fútbol natación ciclismo0123456789
niñas
niños
Observa con atención y luego responde:
1.- El deporte favorito de las niñas es .
2.- El deporte favorito de los niños es .
3.- ¿En qué deporte la cantidad de niños es mayor a la
cantidad de niñas?
.
4.- El total de personas que contestaron es de
.
5.- Con la información del gráfico, completa la siguiente tabla.
DEPORTE NIÑOS NIÑAS
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Población y Muestra
El Ministerio de Educación (MINEDUC) de todos los estudiantes del
país ha seleccionado a los que cursan 4º básico y 2º medio para que
rindan la prueba SIMCE y de este modo estimar cuento saben los
alumnos de nuestro país.
¿A quiénes ha seleccionado el MINEDUC para rendir las prueba
SIMCE?
Como puedes observar se ha escogido a solo un grupo de estudiantes
del país para rendir esta prueba, ese subgrupo corresponde a la
muestra, y de donde fue obtenido este subgrupo, es decir, los
estudiantes del País corresponde a la población.
Actividad 4 “Diferenciando la población de la
muestra”
Completa las oraciones según corresponda.
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Población: conjunto de todos los individuos, objetos y observaciones que poseen al menos una característica común (ejemplo, la población de alumnos de primeros medios del país).
Muestra: una parte o subconjunto de una población.
Dato: Información concreta sobre hechos, elementos, etc, que permiten estudiarlos, analizarlos, o conocerlos.
Los datos estadísticos se obtienen de la observación de un fenómeno en una población y la totalidad de ellos es la muestra.
1. En una encuesta realizada a todos los chilenos mayores de 15
años sobre
el consumo de cigarrillos se arrojó que el 50% es fumador, el 25% es
fumador ocasional y el 25% restante no fuma.
Del texto anterior se puede deducir que, la Población es
. y la Muestra es
.
2. En una encuesta realizada a los estudiantes universitarios chilenos
perteneciente a las universidades tradicionales, sobre los hábitos de
estudio, se obtuvo como resultado, que el 80% de los estudiantes
creen que para tener un buen resultado académico, se debe estudiar
día a día las materias en cuestión.
Del texto anterior se puede deducir que, la Población es
y la muestra es .
3. En una charla motivacional realizada a alumnos de primeros
medios de
Colegio José Victorino Lastaría, se pudo conocer que los alumnos
estaban desmotivados en el área de las ciencias.
Del texto anterior se puede deducir que, la Población es y la
Muestra es .
4. En un Focusgrup realizado a
estudiantes
de la facultad de Medicina de la
Universidad de Santiago de Chile, se pudo
observar que los alumnos de esta carrera
tenían la necesidad de contar con un
laboratorio de Anatomía.
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FOCUS GRUP: es una técnica de recolección de datos utilizada por investigadores para recolectar información acerca de la opinión de los usuarios.
Del texto anterior se puede deducir que, la Población es y
la Muestra es .
5. El colegio de Marcelo tiene cursos de 1º básico a 4º medio, en total
1200
niños, los profesores están preocupados ya que sus alumnos no son
muy responsables con sus tareas, es por esto que se ha tomado la
decisión da hacer un estudio estadístico de sus hábitos de estudio.
Pensando en la gran cantidad de alumnos se ha decidido escoger
para esta encuesta a los 10 primeros niños que entren a clases por
curso, si el colegio tiene 27 cursos.
¿Cuántos alumnos responderán la encuesta? ¿Son todos los alumnos
del colegio?
Del texto anterior se puede deducir que, la Población es
y la Muestra es .
6. En una fábrica de envases, se desea estimar que porcentaje de
estos
salen defectuosos. Para ello se analizaron los envases producidos por
la fábrica en una hora.
Del texto anterior se puede deducir que, la Población
y la muestra es .
Variables Cuantitativas y Cualitativas
Si escuchas decir que el tiempo es variable o que el sueldo de una
persona es variable ¿con que lo asocias? Claramente una variable es
algo que cambia, como el clima varia de un día a otro.
Ante una misma pregunta se podrán obtener distintas respuestas, ej:
si se le pregunta a diferentes personas su edad, obtendrán como
respuesta distintos edades (números), pero si se pregunta por
cantante favorito, se obtendrán distintos nombres (palabras).
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Ahora una pregunta, ¿Qué piensas cuando se habla de variable
cuantitativa o cualitativa?
Quizás con la palabra cualitativa pienses en cualidad y con la palabra
cuantitativa pienses en cantidad, si es así estas en lo correcto.
Una variable cuantitativa habla acerca de algo que es expresado en
forma numérica, por ejemplo la edad, esta es una variable
cuantitativa pues se puede expresar con números, ya sea en forma
de 18 años o diez y ocho años.
La variable cualitativa habla acerca de las cualidades de algo, por
ejemplo una variable cualitativa es el color de ojos, pues no se puede
expresar de forma numérica, sólo con una característica, una
cualidad.
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El ingreso de los empleados de cierta
empresa es una variable CUANTITATIVA, pues no la
podemos expresar en forma de “gana mucho”, “gana poco” o “gana más
o menos”
No es posible clasificar numéricamente el color de
ojos, ¿Cómo decir que el verde es 2 y el café es 4?, no es
posible verdad, es por esto que se ordenan por color, o por forma del ojo, ejemplo, ojo
almendrado, ojo redondo, etc.
Revisa que tanto has entendido sobre estas variables.
Actividad 5 “Identificando Variables”
Une los términos de la columna A con los términos de la columna B.
A B
1) Variable Cualitativa ___Edad
___ Tamaño
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Variable estadística: característica que es medida en diferentes individuos, y que es susceptible de adoptar diferentes valores
Una variable estadística puede ser Cualitativa (relacionadas con características que responden a ciertas categorías) o Cuantitativa (relacionadas con datos que se pueden cuantificar)
___ Estatura
___ Comuna
2) Variable Cuantitativa
___ Peso
___ Sabor
___ Nivel Socioeconómico
___ Sueldo
___ Género de una persona
Hemos visto dos tipos de variables, las cualitativas y las cuantitativas,
ahora veremos que existen cuatro variables más.
¿Qué crees que será una variable discreta? ¿Se te ocurre algo? La
variable discreta al estar dentro de la variable cuantitativa está
relacionada con números, la pregunta ahora es ¿Con qué clase de
números?
Variable Discreta: son todas las variables que se pueden
representar con números enteros, por ejemplo la cantidad de
Hermanos, no tienes dos hermanos y medio, tienes dos hermanos o
tres, o cuando se pregunta cuantas personas viven en una casa, no
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ser responde 5 personas y media, la respuesta es 5 personas, un
número entero .
Variable Continúa: a diferencia de la variable discreta no solo se
toman los números enteros sino que también se toman los números
racionales, por ejemplo promedio en matemática, puede ser un 5 o un
5,5 o la estatura de una persona, puede medir 1,64 mts. o 1 mt.
Ahora que ya sabes cuáles son las variables continuas y discretas
realiza una actividad.
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¿Podrías decir que al lanzar un dado
salió el 5,5? No verdad, los dados
tienen números que son enteros, a
esto se le llama discreto.
El tiempo, como concepto de
hora, es una variable continua,
pues se puede decir “son las dos
de la tarde con veinte minutos y
tres segundos (2:20:03). ¿Se
imaginan si al preguntar la hora le
dijeran “son las dos de la tarde”,
llegarías atrasado siempre, pues
habría un desfase de minutos.
Actividad 6 “¿Variable continua o Variable discreta?”
Identifica los números que están en la nube como variables continuas
o variables discretas y sitúalos donde corresponde.
Y ahora ¿qué será la variable ordinal? No se trata de ordinario sino de
orden, por ejemplo mayor o menor o cuando se forman en la fila es
del más bajo al más alto. Anteriormente mencionamos el ejemplo de
los hospitales, que ellos hacen el ingreso de los pacientes según el
orden de gravedad, grave – leve, da una jerarquía.
La variable nominal es en su totalidad diferente a la variable ordinal,
pues en está no podemos hablar de orden, por ejemplo una variable
nominal pueden ser los colores, estos no los podemos ordenar, o
también las comunas, ¿Cómo ordenarían las comunas? Practica
identificando las variables ordinales y nominales.
Actividad 7“¿Variable ordinal o Variable nominal?”
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3 5,9 6.7 7/30 12
1,84 20 5.6
23 12.345 ⅓
San Miguel – La Granja Ingreso Hospital Formación Escolar
Femenino – Masculino Nombres
Variable discreta
Variable continúa
Variable ordinal
Variable nominal
¡¡Muy bien!! Ahora ya sabes los 2 tipos de variables y sus subtipos,
veamos si puedes identificarlas todas juntas.
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San Miguel – La Granja Ingreso Hospital Formación Escolar
Femenino – Masculino Nombres
Variable ordinal
Variable nominal
Actividad 8 “Construyendo un mapa conceptual”
Completa el mapa con los conceptos que se entregan a continuación.
Continua – Discreta – Ordinal – Nominal – 1,76 metros – 18 años –
Grave – Azul.
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Frecuencias y Tablas
Lee con atención la siguiente situación:
“En una encuesta realizada a un 8º año básico se preguntaba si
conocían la cultura mapuche, estas fueron sus respuestas”
SI SI NO SI SI NO NO NO NO NO SI SI NO
N/R N/R N/R SI SI SI SI SI NO SI N/R N/R NO
NO NO NO SI SI SI N/R N/R N/R SI NO SI SI
SI SI NO SI NO NO NO N/R N/R N/R SI NO NO
a) Cuenta y ordena la información anterior completando la siguiente
tabla:
Conoces la Cultura Mapuche
CATEGORIA CANTIDAD DE PERSONAS
NO
SI
NO RESPONDE
b) ¿Cuántos niños fueron consultados en total?
.
c) ¿Cuántos no respondieron la encuesta? .
d) ¿Cuántos alumnos respondieron que si conocían la cultura
Mapuche?
.
Si te fijas en la actividad anterior has encontrado varias respuestas,
primero determinaste el total de alumnos, lo cual es importante ya
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que siempre debes saber el número total de la muestra o tamaño de
la muestra, después encontraste el número de alumnos que cumplía
con la condición que se pedía.
Ej: 19 alumnos de los 52 alumnos que tiene el curso contestaron que
no conocían la cultura Mapuche. Ese número 19 que encontraste no
es más que la frecuencia Absoluta.
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Frecuencia Absoluta: Es el número de veces que aparece en la muestra un valor de la variable.
Denotaremos la frecuencia absoluta como
Actividad 9 “Construyendo una tabla de frecuencias
absolutas”
I. Las notas de la Prueba de Lenguaje de un 1º medio del colegio
Patagón de Punta Arenas son:
1. El total de alumnos o Tamaño de la muestra es
.
Con los datos anteriores construye una tabla de frecuencias absolutas
II. Estos son los promedios finales de la asignatura de Química del
II
en un colegio de la Santiago:
27
La tabla de frecuencias debe tener un Título alusivo al estudio que representa
En importante que en esta columna se registre el nombre de la variable EJ: Notas
Recuerda que el tamaño de la muestra corresponde al total de datos.
6 2 3 3 6
6 4 5 5 6
5 6 6 7 2
3 4 2 6 7
7 7 7 4 5
Titulo:
frecuencia
2
3
4
5
6
Total
5.2 – 4.0 – 5.4 – 2.8 – 5.9 – 4.0 – 2.8 – 6.7 – 5.5 – 5.4 – 3.7 – 5.9 – 5.5 –
6.1 – 5.5 – 4.1 – 6.1 – 2.4 – 5.4 – 3.4 – 4.4 – 5.5 – 4.1 – 4.6 – 4.1 – 4.0 –
5.9 – 6.4 – 6.1 – 5.4 – 4.8 – 4.6 – 4.8 – 5.2 – 4.4 – 4.1 – 2.8 – 4.8 – 4.6 –
5.2 – 6.7 – 4.1 – 5.5
En la siguiente tabla se ordenarán los datos y se encontrará la
Frecuencia Absoluta, ahora completa con las frecuencias que faltan.
∑ = 43
¿Cuántos alumnos tienen promedio 5,4?
¿Cuántos alumnos tienen promedio 4.0?
¿Cuánto alumnos tiene el curso de química?
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Notaste que al sumar todas las frecuencias absolutas obtienes el mismo resultado que el tamaño de la muestra.
Esto siempre debe ser así, ya que al obtener las frecuencias absolutas no modificamos los datos de la muestra.
El símbolo ∑ corresponde a la letra mayúscula sigma, del alfabeto griego.
La expresión se lee: “la sumatoria de los
términos donde varia del 1 hasta el número
de clases n”
Notas
2.4 1
2.8
3.4
3.7
4.0 3
4.1
4.4 2
4.6
4.8
5.2 3
5.4
5.5 5
5.9
6.1
6.4
6.7
Entonces podemos decir que: alumnos de tienen
promedio 5,4 en química. Y que alumnos de tienen
promedio 4,0 en química.
Las simples preguntas que contestaste anteriormente tienen una
finalidad, te facilitarán la obtención de los valores que corresponden a
la FRECUENCIA RELATIVA
¿Recuerdas como asociar un número a un porcentaje?
El porcentaje es un caso particular de la proporcionalidad directa, y
por lo tanto se calcula de la misma manera que se calcula esta.
Ejemplo:
En una olimpiada de atletismo se inscribieron 1520 competidores de
los cuales 304 eran chilenos ¿Qué porcentaje de chilenos
participaron en las olimpiadas?
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Frecuencia Relativa: es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra.
Denotaremos a la frecuencia relativa como fr y al tamaño de la muestra como N.
f r=f aN
Nº %
1520 100 1520∗x=100∗304 x=100∗304
1520 x=20
304 x
Respuesta: el 20% de los competidores eran chilenos.
Observación: si pones atención podrás notar que en el cálculo del
porcentaje aparece la razón entre el número de competidores
chilenos y el total de competidores inscritos en las olimpiadas, es
como calcular la frecuencia relativa de los competidores chilenos y
después esta frecuencia se multiplicó por 100, entonces podemos
decir que para calcular la frecuencia relativa porcentual simplemente
calculamos de frecuencia relativa y la multiplicamos por 100.
Actividad 10: “Construyendo un tabla de datos
estadísticos”
Al término de una prueba la profesora de Educación Física tiene los
siguientes datos anotados en su cuaderno.
Notas: 5.1 – 6.5 – 4.5 – 3.8 – 5.5 – 6.8 – 7.0 – 1.0 – 4.5 – 7,0 – 7.0 – 6.5 – 5,1 – 6.8 – 1.0
– 5.5 - 7.0 – 7.0 – 6.5 – 7.0 – 5.1 – 6.5 – 7.0 – 7.0 – 3.8 – 6.8 – 6.5 – 7.0 – 5.5 – 6.8 – 5.130
Frecuencia relativa Porcentual: corresponde a la frecuencia
relativa en su forma porcentual.
Denotaremos a la frecuencia relativa porcentual por f %
f %=f r∗100
31
Primero debes determinar el tamaño de la muestra y luego llenar la
tabla con los datos entregados.
32
Fa corresponde a las
frecuencias absolutas
acumuladas, la que se
obtiene de sumar la
frecuencia absoluta
correspondiente con todas
las anteriores a ella.
Notas
1.0
3.8
4.5
5.1
5.5
6.5
6.8
7.0
Datos Agrupados y no Agrupados
Mira con detención estas dos tablas que se crearon con los datos
obtenidos al preguntarle a un grupo de niños de 2º medio su estatura.
Datos en metros Tamaño de la muestra N= 30
1º tabla
2º tabla
Como puedes observar estas dos tablas
están construidas con los mismos datos,
pero una de ellas es de DATOS
AGRUPADOS y la otra de DATOS NO
AGRUPADOS, es decir, la tabla de datos
NO agrupados es la tabla larga que
considera CADA UNO de los datos.
La tabla de datos agrupados, como su
nombre lo dice, agrupa los datos en intervalos.
33
1.51 1.63 1.68 1.49 1.53 1.65 1.61 1.66 1.42 1.64 1.50 1.62 1.67 1.62 1.52 1.44 1.46 1.45 1.52 1.57 1.47 1.55 1.69 1.64 1.54 1.56 1.53 1.59 1.60 1.58
Estatura af rf %rf
1.42 1 0.033 3.3%1.44 1 0.033 3.3%1.45 1 0.033 3.3%1.46 1 0.033 3.3%1.47 1 0.033 3.3%1.49 1 0.033 3.3%1.50 1 0.033 3.3%1.51 1 0.033 3.3%1.52 2 0.066 6.6%1.53 2 0.066 6.6%1.54 1 0.033 3.3%1.55 1 0.033 3.3%1.56 1 0.033 3.3%1.57 1 0.033 3.3%1.58 1 0.033 3.3%1.59 1 0.033 3.3%1.60 1 0.033 3.3%1.61 1 0.033 3.3%1.62 2 0.066 6.6%1.63 1 0.033 3.3%1.64 2 0.066 6.6%1.65 1 0.033 3.3%1.66 1 0.033 3.3%1.67 1 0.033 3.3%1.68 1 0.033 3.3%1.69 1 0.03 3.3%
Estatura ix af rf %rf
[1,42 - 1,51 ] 1,465 7 0,233 23,3%
[1,51 – 1,60 ] 1,555 11 0.367 36,7%
[1,60 – 1,69 ] 1,645 12 0.400 40%
Te has fijado que en cada grupo tenemos a un representante, en los
equipos de futbol tienen al capitán, en las comunas tienen al Alcalde
y así ocurre en los diferentes grupos.
Y en un grupo o intervalo de datos, ¿Quién será el representante?
En la tabla anterior había una columna pintada de verde, esta
columna contiene a los representantes de cada intervalo, se llama.
34
Marca de clase: Es el punto medio de cada intervalo o clase, para encontrarla debemos sacar un promedio del intervalo. Para esto sumamos los extremos y lo dividimos por dos.
Actividad 11 “Encontrando marca de clase y
completando tabla”
En una empresa se está organizando la fiesta de fin de año y para
facilitar el trabajo agruparon a los hijos de los trabajadores por
edades, tal como lo muestra la siguiente tabla.
Completa la tabla con los siguientes datos: Edades de los hijos de los
trabajadores
En las tablas de datos agrupados se deben reconocer dos nuevos
conceptos que ayudarán a la construcción de estas.
El Rango (R) es el intervalo donde están comprendidos todos los
datos, corresponde a la diferencia entre el dato máximo y el dato
mínimo.
35
Edades M c f a f r f %
[0años-5años[ 19
[5años-10años[ 23
[10años-15años[ 12
Las Clases o intervalos son divisiones que se les realizan a los
datos para facilitar su organización, es decir, es un fraccionamiento o
división del rango, con este fraccionamiento se obtendrá la amplitud
de cada uno de esos intervalos
a (amplitud )=R(rango)
n(numerodeintervalos)
36
Medidas de tendencia central
Actividad 12 “¿Media o Promedio?”
Los alumnos de la asignatura de matemática serán eximidos del
examen final, sí su promedio es superior a 5.5, si las notas de un
alumno de dicho curso son:
5.1 – 6.8 – 4.3 – 6.1 – 4.4 – 5.0 – 6.3 – 4.9 – 6.4 – 6.4
¿Se eximirá del examen? ¿Cuál será promedio? ¿Cómo lo obtuviste?
Desarrollo:
Promedio, palabra muy usada en el colegio sobre todo al final de cada
semestre pero, si alguna vez te preguntan por la media aritmética o
simplemente la media debes saber que son exactamente lo mismo.
37
El Promedio o media se designa generalmente por x donde esta corresponde al nombre de la variable.
x=x1+x2+x3+…+xn
N
Para el ejemplo anterior el tamaño de la muestra corresponde a 10,
ya que se tienen 10 notas, es decir:
x=5.1+6.8+4.3+6.1+4.4+5.0+6.3+4.9+6.4+6.410
x=55.710
x=5.57
38
NOTA:
Recuerda que el promedio posee una gran limitación. Esta es que es muy influenciado por los valores externos.
Recuerda que N
corresponde al tamaño de
la muestra, es decir, la
cantidad de elementos con
que se calculara el
Este es el resultado final sin aproximar, más debes recordar que los
valores, en este caso las notas, se aproximan a la décima.
Como la centésima es mayor a 5, la décima aumenta en uno.
Promedio o Media aritmética.
Es el valor característico de una serie de datos cuantitativos, se obtiene a partir de la suma de todos los valores dividida en el número de sumandos.
x=∑i=1
n
x i
Ejercicio: Cecilia practica la rapidez en la resolución de acertijos o
adivinanzas. En una tabla registró los resultados de una semana.
¿Cuál es el promedio de acertijos o adivinanzas contestadas correctamente por Cecilia?
Cuando los datos son AGRUPADOS existe otra la forma de obtener
la media aritmética. Al trabajar con un intervalo no podemos asegurar
a quien corresponde cada frecuencia, sólo conocemos la frecuencia
total del intervalo, es por esto que se trabaja con el representante de
ese intervalo la marca de clase.
Ejemplo: En un curso de 30 alumnos de 2º medio se les pregunto por
su estatura y los resultados fueron:
39
Días de la semanaAcertijos
contestados
Lunes 3
Martes 4
Miércoles 2
Jueves 1
Viernes 5
Sábado 4
Domingo 2
Estatura M c f a f r f %
[1,42 - 1,51[ 1,465 7 0,233 23,3%
[1,51 – 1,60 [ 1,555 11 0.367 36,7%
[1,60 – 1,69 ] 1,645 12 0.400 40%
En este caso, para obtener media Aritmética, debemos multiplicar
la marca de clase por la frecuencia absoluta en cada uno de los
intervalos para luego sumarlas, ese resultado se divide por el total
de datos, como muestra el siguiente ejemplo.
x=x1∗f 1+x2∗f 2+x3∗f 3+…+xn∗f n
n
x=1.465∗7+1.555∗11+1.645∗1230
x=47.130
x=1.57
Por lo tanto podemos decir que la estatura promedio de los alumnos
es de 1,57 metros.
A diario nos encontramos con frases como “este diseñador está de
moda” o “el mp4 es moda entre los jóvenes” pero estas frases
tienen algo en común, la “moda”, esa simple palabra nos indica que
si tomásemos a un grupo de jóvenes lo más frecuente sería que
tuviesen un mp4.
En estadística funciona de la misma forma, a la mayor frecuencia
absoluta se le denomina Moda, es decir, en el caso anterior donde los
40
datos eran 5.1 – 6.8 – 4.3 – 6.1 – 4.4 – 5.0 – 6.3 – 4.9 – 6.4 – 6.4. La
moda sería 6.4 ya que es la nota que más se repite.
La moda se puede encontrar tanto en variables cuantitativas como
cualitativas
En la siguiente tabla se presentan las notas de matemáticas
obtenidas en un curso:
41
¿Cuál fue la moda?Notas Frecuencia
1,0 2
2,0 4
3,0 3
4,0 2
5,0 6
6,0 8
7,0 2
Cuando se tiene datos agrupados se debe buscar la moda con la
siguiente fórmula.
Donde primero se debe
identificar al intervalo modal,
que corresponde a aquel
intervalo donde se encuentra
la mayor de las frecuencias
absolutas, y es desde ese
intervalo de donde serán
obtenidos los datos para
trabajar con la fórmula antes
señalada.
Li Es el límite inferior del intervalo modal.
a Es la amplitud del intervalo.
d1 Corresponde a la diferencia entre la frecuencia absoluta del
intervalo modal con la del intervalo anterior.
d2 Corresponde a la diferencia entre la frecuencia absoluta del
intervalo modal con la del intervalo posterior.
42
M o=Li+a∗d1
d2+d1
Clase Frecuencia Absoluta
[60, 63)5
[63, 66)18
[66, 69)42
[69, 72)27
[72, 75)8
100
Ejemplo: Observa con atención la siguiente tabla:
M o=66+3∗(42−18)
(42−18 )+(42−27)
M o=66+ 3∗2424+15
M o=66+3∗2439
M o≈67.85
La Mediana es el valor que se encuentra justo al medio de nuestras
observaciones las cuales deben estar secuenciadas y ordenadas en
forma ascendente o descendente.
Para calcular la mediana:
1º Se deben ordenar los datos.
2º Si la serie tiene un número impar de datos, la mediana es el dato
que se encuentra en la posición central.
43
Aquí se encuentra la mayor frecuencia absoluta, entonces, corresponde al intervalo modal.
3º Si la serie tiene un número impar de datos, la mediana
corresponde a la media aritmética entre las dos posiciones centrales.
Pero si los datos son agrupados el cálculo de la mediana se realiza:
1º Se debe buscar el intervalo en el que se encuentre la mitad de los
datos, es decir N2
44
Ejemplo: 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Me= 5
Ejemplo: 7, 8, 9, 10, 11, 12 Me= (9+10):2=9,5
2º Es de este intervalo de donde se obtendrán los datos para la
siguiente fórmula:
Li Es el límite inferior del intervalo modal
a Es la amplitud del intervalo.
N2
Corresponde a la mitad del tamaño de la muestra
Fa−1 Es la frecuencia acumulada anterior al intervalo de la
mediana.
f a Es la frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra la
mediana
45
M e=Li+a∗N
2−Fa−1
f a
Fa−1
f a
N2
=1002
Ejemplo
Calcular la mediana de una distribución estadística que viene
dada por la siguiente tabla:
46
M e=66+3∗100
2−23
42
M e=66+ 3∗50−2342
M e=66+ 3∗2742
M e≈67.929
Clase
[60, 63) 5 5
[63, 66) 18 23
[66, 69) 42 65
[69, 72) 27 92
[72, 75) 8 100
Total de datos 100
Actividad 13 “Calculando medidas de tendencia
central”
Se aplicó una encuesta a un grupo de 40 personas para conocer el
tipo de trabajo que realizan. Los resultados se registraron en la
siguiente tabla:
ACTIVIDAD FRECUENCIA
Agricultura 5
Comercio 10
Construcción 8
Educación 6
Artística 4
Otras 7
¿Cuál es el tamaño de la muestra?
¿Es posible calcular la media aritmética? ¿Por qué?
¿Es posible calcular la mediana? ¿Por qué?
¿Es posible calcular la moda? ¿Por qué?
Medidas de Posición
Estas medidas sirven para verificar en qué posición se encuentran los
datos. Las medidas de posición se utilizan bastante para
47
“seleccionar” a la población, por ejemplo la Beca Presidente de la
Republica pueden postular los alumnos pertenecientes a los 3
primeros QUINTILES.
Entre las medidas de posición encontramos el PERCENTIL, el QUINTIL
y el CUARTIL.
El percentil es una partición, de 100 partes iguales, a una
distribución de frecuencia, así el P1 es el 1% inferior a la distribución
de frecuencia, el P2 corresponde al 2% y así sucesivamente.
Su definición formal es Son los valores que dividen a un conjunto
ordenado de datos en 100 partes iguales.
Se calcula, para datos no tabulados o no agrupados, de la siguiente
manera
Donde N es la cantidad de datos y k corresponde al percentil que se
quiere calcular
Ejemplo:
48
Dado el siguiente conjunto de datos: 2-5-9-3-13-10-11-6-7, ¿Cuál es el valor del PERCENTIL 30?
Solución:
Primero se ordenan los datos, resultando: 2 – 3 – 5 – 6 – 7 – 9 – 10 – 11 – 13
Pk=k∗N100
Como piden el percentil 30, k toma ese valor y se tienen 9 datos, por lo
tanto N toma ese valor, resultando:
P30=30∗9100
P30=270100
Pk=k∗N100
Ahora, que pasa cuando tengo una tabla de datos tabulados o agrupados, ahí recurrimos a la formula:
Donde:
Li Es el límite inferior del intervalo a utilizar
a Es la amplitud del intervalo a estudiar
Fa−1 Es la frecuencia acumulada anterior al intervalo a utilizar.
f a Es la frecuencia absoluta del intervalo a utilizar
49
Dado el siguiente conjunto de datos: 2-5-9-3-13-10-11-6-7, ¿Cuál es el valor del PERCENTIL 30?
Solución:
Primero se ordenan los datos, resultando: 2 – 3 – 5 – 6 – 7 – 9 – 10 – 11 – 13
Pk=k∗N100
Como piden el percentil 30, k toma ese valor y se tienen 9 datos, por lo
tanto N toma ese valor, resultando:
P30=30∗9100
P30=270100
Pk=Li+a∗k∗N
100−Fa−1
f a
Si bien se ve complejo, Observa el siguiente ejemplo notaras que no tiene mayor grado de dificultad.
Ahora es momento de practicar, ¡manos a la obra y ejercita!
Actividad 14 “Cálculo de Percentil”
50
Ejemplo:
Dada la siguiente tabla, encuentra el PERCENTIL 30.
k∗N100
=30∗26100
=780100
=7.8∴ k∗N100
=7.8
Ese número se debe buscar en la Frecuencia Absoluta Acumulada ( ), al mirar la tabla se observa que el 7,8 está en el Fi 15, por lo tanto el Fi-1 será el numero de arriba (el circulo amarillo).
El límite inferior se saca de la fila donde se encontró el Fi , por lo tanto el Li viene siendo 20, y la frecuencia absoluta será 9, entonces:
Pk=Li+a∗k∗N
100−Fa−1
f a
P30=20+ 10∗7.8−69
P30=20+ 10∗1.89
P30=20+2
∴P30=22
I. Calcula el percentil 24 de los siguientes datos:
4 – 9 – 3 – 10 – 6 – 3 – 9 – 12 – 5 – 3 – 2 – 11
II. Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:
X1
[ 50 – 60 [ 8 8
[ 60 – 70 [ 10 18
[ 70 – 80 [ 16 34
[ 80 – 90 [ 14 48
[ 90 – 100 [ 10 58
[ 100 – 110 [ 5 63
[ 110 – 120 [ 2 65
65
El Cuartil es una partición de 4 partes iguales a una distribución de
frecuencia, donde esta Q1 (quien representa al 25% de la distribución
de la frecuencia), Q2 y Q3 donde van de 25% en 25% es decir Q3 es el
75% de la población o de la distribución de frecuencia.
Su definición formal “Son los 3 valores que dividen a un conjunto
ordenado de datos en 4 partes iguales, Q1, Q2 y Q3 los cuales
51
Desarrollo:
Desarrollo:
determinan el valor correspondiente al 25%, 50% y 75% de los datos
respectivamente”.
Se calcula para datos no tabulados, o no agrupados, de la siguiente
manera:
Donde N es la cantidad de datos y k corresponde al cuartil que se
quiere calcular.
Ejemplo:
Ahora, que pasa cuando tengo una tabla de datos tabulados o
agrupados, ahí recurrimos a la fórmula:
Donde:
Li Es el límite inferior del intervalo a utilizara Es la amplitud del intervalo a estudiarFa−1 Es la frecuencia acumulada anterior al intervalo a utilizar.f a Es la frecuencia absoluta del intervalo a utilizar
52
Dado el siguiente conjunto de datos: 2-5-9-3-13-10-11-6-7, ¿Cuál es el valor del CUARTIL 3?
Solución:
Primero se ordenan los datos, resultando: 2 – 3 – 5 – 6 – 7 – 9 – 10 – 11 – 13
Qk=k∗N
4 Como piden el cuartil 3, k toma ese valor y se tienen
9 datos, por lo tanto N toma el valor 9, resultando:
Qk=3∗9
4=27
4∴Q3=6.75
Qk=k∗N
4
Qk=Li+a∗k∗N
4−Fa−1
f a
Si bien se ve complejo, ve el siguiente ejemplo para que puedan observar que no tiene mayor grado de dificultad.
Ahora es momento de practicar, ¡¡manos a la obra y ejercita!!
Actividad 15 “Calculo de Cuartil”
I. Calcula los Cuartiles de los siguientes datos:
4 – 9 – 3 – 10 – 6 – 3 – 9 – 12 – 5 – 3 – 2 – 11
II. Calcular los Cuartiles de la distribución de la tabla:
53
Ejemplo:
Dada la siguiente tabla, encuentra el CUARTIL 2.
k∗N4
=2∗264
=524
=13 Este número se debe buscar en la Frecuencia Absoluta
Acumulada (Fi), al mirar la tabla se puede observar que el resultado de Q2, el cual es 13, está en Fi 15, por lo tanto el Fi-1 será el numero que esta sobre él (el número que está encerrado en el circulo amarillo).
El Límite Inferior se obtiene de la fila donde se encuentra la Fi, por lo cual vendría siendo el número 20, y la Frecuencia Absoluta (fi) será 9. Entonces si se reemplazan estos datos en la formula, resulta:
Qk=Li+a∗k∗N
4−Fa−1
f a=20+
10∗13−69
=20+10∗7
9=20+7.7 ∴Q2=27.7
Desarrollo:
X1
[ 50 – 60 [ 8 8
[ 60 – 70 [ 10 18
[ 70 – 80 [ 16 34
[ 80 – 90 [ 14 48
[ 90 – 100 [ 10 58
[ 100 – 110
[
5 63
[ 110 – 120
[
2 65
65
8.3 Anexo 3: Evaluaciones Formativas
54
Desarrollo:
EVALUACION FORMATIVA Nº 1
Nombre: _______________________________________ Curso: ________________
Fecha: _____________________________ Puntaje: ________________ Nota: _____
I. Indica que tipo de variable es en el recuadro que corresponde.
a) Color de ojos
b) Sueldos de una empresa
c) Comunas de Santiago
d) Edades en años
e) Horas
f) Niveles de estudio
g) Rankings musicales
h) Cantidad de Hermanos
i) Latitudes
j) Calificaciones (notas)
II. De los siguientes textos identifica cual es la población y cuál es la muestra.
a) De una empresa internacional se eligieron a los trabajadores del área de
contabilidad para responder la encuesta.
Población:
Muestra:
55
b) En el Colegio San Francisco se seleccionaron a los alumnos mayores de 15
años para ir al museo de anatomía.
Población:
Muestra:
c) En el último CENSO se les pregunto a las personas que tienen
discapacidades auditivas cuantas habían sido de nacimiento.
Población:
Muestra:
III. Contesta las siguientes preguntas según el siguiente texto:
1. “El siguiente gráfico muestra la cantidad de ventas que un vendedor juguetes ha hecho por mes durante el año 2011”
a) El mes que tuvo menos entradas fue:
b) El mes que gano más dinero fue:
c) Observando el gráfico y analizando su contenido, ¿qué afirmación
es correcta?
a. En Diciembre vendió el doble que en Noviembre. _____
b. Hay un mes en que se vendieron sobre 170.000 unidades.
_____
c. Hubo ocasiones en que se vendieron menos de 40.000
unidades. ____
56
d. En Mayo las ventas descendieron a la mitad con respecto al
mes anterior. ____
2. “La editorial Lee Más está interesada en conocer acerca de los hábitos
de lectura de los y las estudiantes de séptimos y octavos años del país”
a) ¿Cuál es la población considerada?
b) ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde a una muestra del
caso presentado?
a) Alumnos de la región metropolitana.
b) Alumnas de 7º y 8º básicos de todo el País.
c) Solo alumnos de 7º básico de todo Chile.
d) Una muestra grande de alumnos y alumnas de cada región de
Chile
c) Según los datos entregados:
a) Es posible realizar el estudio a toda la población
b) Seria mejor realizar un estudio a una muestra representativa de
la población.
c) Considerar solo alumnos y alumnas de la Región Metropolitana.
d) Considerar solo alumnos de 7º básico de todo Chile.
57
EVALUACION FORMATIVA Nº 2 - A
Nombre: _______________________________________ Curso: ________________
Fecha: _____________________________ Puntaje: ________________ Nota: _____
I. Una Industria desea conocer el consumo familiar mensual de cierto producto,
envasado en latas. Se entrevistaron a 50 familias resultando la siguiente
información, respecto al consumo familiar de las latas.
4 0 1 4 6 4 1 2 5 1
3 3 4 4 0 7 6 1 4 3
0 6 7 4 1 3 4 4 0 0
1 1 2 1 2 5 4 1 5 2
3 6 4 5 4 3 4 3 0 4
a) Construir la TABLA DE FRECUENCIA
b) Construir un POLIGONO DE FRECUENCIA
c) Calcular la MODA, MEDIA, MEDIANA
DATOS fi Fi fr Fr fr*100 Datos*fi
58
EVALUACION FORMATIVA Nº 2 - B
Nombre: _______________________________________ Curso: ________________
Fecha: _____________________________ Puntaje: ________________ Nota: _____
I. A todos los alumnos de 4º medio se les hizo un cuestionario, donde ellos debían
decir cuántos son los integrantes de su hogar, se encuesto a 3 cuartos medios,
teniendo un total de 50 alumnos, los datos son los siguientes:
2 3 7 2 7 6 3 8 4 7
3 5 6 3 6 6 2 7 5 6
4 2 5 5 5 4 4 3 6 5
5 2 4 6 2 5 5 3 2 4
2 4 7 4 3 6 6 2 7 2
a) Construir la TABLA DE FRECUENCIA
b) Construir un POLIGONO DE FRECUENCIA
c) Calcular la MODA, MEDIA, MEDIANA
DATOS fi Fi fr Fr fr*100 Datos*fi
EVALUACION FORMATIVA Nº 3
59
Nombre: _______________________________________ Curso: ________________
Fecha: _____________________________ Puntaje: ________________ Nota: _____
I. Calcular el PERCENTIL 35 y 60 de la distribución de la tabla:
fi Fi
[50 – 60[ 8 8
[60 – 70[ 10 18
[70 – 80[ 16 34
[80 – 90[ 14 48
[90 – 100[ 10 58
[100 – 110[ 5 63
[110 – 120[ 2 65
65
II. Calcular los CUARTILES de la distribución de la tabla:
fi Fi
[50 – 60[ 8 8
[60 – 70[ 10 18
[70 – 80[ 16 34
[80 – 90[ 14 48
[90 – 100[ 10 58
[100 – 110[ 5 63
[110 – 120[ 2 65
65
FÓRMULAS
Pk=Li+
k∗n100
−Fa−1
f a∗ai
Qk=Li+
k∗n4
−Fa−1
f a∗ai
60
EVALUACION FORMATIVA Nº 3
Nombre: _______________________________________ Curso: ________________
Fecha: _____________________________ Puntaje: ________________ Nota: _____
I. Calcular el PERCENTIL 35 y 60 de la distribución de la tabla:
fi Fi
[50 – 60[ 4 4
[60 – 70[ 11 15
[70 – 80[ 19 34
[80 – 90[ 13 47
[90 – 100[ 9 56
[100 – 110[ 6 62
[110 – 120[ 3 65
65
II. Calcular los CUARTILES de la distribución de la tabla:
fi Fi
[50 – 60[ 4 4
[60 – 70[ 11 15
[70 – 80[ 19 34
[80 – 90[ 13 47
[90 – 100[ 9 56
[100 – 110[ 6 62
[110 – 120[ 3 65
65
FORMULAS
Pk=Li+
k∗n100
−Fa−1
f a∗ai
Qk=Li+
k∗n4
−Fa−1
f a∗ai
8.4 Anexo 4: Pauta Evaluación Formativa
61
EVALUACION FORMATIVA Nº 1
Nombre: _______________________________________ Curso: ________________
Fecha: _____________________________ Puntaje: ________________ Nota: _____
I. Indica que tipo de variable es en el recuadro que corresponde.
k) Color de ojos NOMINAL
l) Sueldos de una empresa DISCRETA
m) Comunas de Santiago NOMINAL
n) Edades en años DISCRETA
o) Horas DISCRETA
p) Niveles de estudio ORDINAL
q) Ranking musicales ORDINAL
r) Cantidad de Hermanos DISCRETA
s) Latitudes CONTINUAL
t) Calificaciones (notas) CONTINUA
II. De los siguientes textos identifica cual es la población y cuál es la muestra.
a) De una empresa internacional se eligieron a los trabajadores del área de
contabilidad para responder la encuesta.
Población: TRABAJADORES DE LA EMPRESA
INTERNACIONAL
Muestra: TRABAJADORES DEL AREA DE CONTABILIDAD
b) En el Colegio San Francisco se seleccionaron a los alumnos mayores de
15 años para ir al museo de anatomía.
62
Población: ALUMNOS COLEGIO SAN FRANCISCO
Muestra: ALUMNOS MAYORES DE 15 AÑOS
c) En el último CENSO se les pregunto a las personas que tienen
discapacidades auditivas cuantas habían sido de nacimiento.
Población: PERSONAS CENSADAS
Muestra: PERSONAS CENSADAS CON DISCAPACIDAD
AUDITIVA
III. Contesta las siguientes preguntas según el siguiente texto
1. “El siguiente gráfico muestra la cantidad de ventas que un vendedor juguetes ha hecho por mes durante el año 2011”
c) El mes que tuvo menos entradas fue: MAYO
d) El mes que gano más dinero fue: DICIEMBRE
c) Observando el gráfico y analizando su contenido, ¿qué afirmación es correcta?a. En Diciembre vendió el doble que en Noviembre. __F___b. Hay un mes en que se vendieron sobre 170.000 unidades. __F___c. Hubo ocasiones en que se vendieron menos de 40.000 unidades. __F__d. En Mayo las ventas descendieron a la mitad con respecto al mes
anterior. __V__
63
2. “La editorial Lee Más está interesada en conocer acerca de los hábitos
de lectura de los y las estudiantes de séptimos y octavos años del país”
a) ¿Cuál es la población considerada?:
ESTUDIANTES DE LOS COLEGIOS DE CHILE.
b) ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde a una muestra del caso
presentado?
a) Alumnos de la región metropolitana.
b) Alumnas de 7º y 8º básicos de todo el País.
c) Solo alumnos de 7º básico de todo Chile.
d) Una muestra grande de alumnos y alumnas de cada región de
Chile
c) Según los datos entregados:
a) Es posible realizar el estudio a toda la población
b) Seria mejor realizar un estudio a una muestra representativa
de la población.
c) Considerar solo alumnos y alumnas de la Región Metropolitana.
d) Considerar solo alumnos de 7º básico de todo Chile.
EVALUACION FOMATIVA Nº 2 - A
Nombre: _______________________________________ Curso: ________________
Fecha: _____________________________ Puntaje: ________________ Nota: _____
64
I. Una Industria desea conocer el consumo familiar mensual de cierto producto,
envasado en latas. Se entrevistaron a 50 familias resultando la siguiente
información, respecto al consumo familiar de las latas.
4 0 1 4 6 4 1 2 5 1
3 3 4 4 0 7 6 1 4 3
0 6 7 4 1 3 4 4 0 0
1 1 2 1 2 5 4 1 5 2
3 6 4 5 4 3 4 3 0 4
a) Construir la TABLA DE FRECUENCIA
b) Construir un POLIGONO DE FRECUENCIA
c) Calcular la MODA, MEDIA, MEDIANA
DATOS fi Fi fr Fr fr*100 Datos*fi
0 6 6 0.12 0.12 12% 0
1 9 15 0.18 0.30 18% 9
2 4 19 0.08 0.38 8% 8
3 7 26 0.14 0.52 14% 21
4 14 40 0.28 0.80 28% 56
5 4 44 0.08 0.88 8% 20
6 4 48 0.08 0.96 8% 24
7 2 50 0.04 1 4% 14
65
d)
0 1 2 3 4 5 6 70
2
4
6
8
10
12
14
16
POLIGONO DE FRECUENCIA
e) MODA = 4 MEDIANA = 3 MEDIA ARITMETICA = 3.04
66
EVALUACION FORMATIVA Nº 2 - B
Nombre: _______________________________________ Curso: ________________
Fecha: _____________________________ Puntaje: ________________ Nota: _____
I. A todos los alumnos de 4º medio se les hizo un cuestionario, donde ellos debían
decir cuántos son los integrantes de su hogar, se encuesto a 3 cuartos medios,
teniendo un total de 50 alumnos, los datos son los siguientes:
2 3 7 2 7 6 3 8 4 7
3 5 6 3 6 6 2 7 5 6
4 2 5 5 5 4 4 3 6 5
5 2 4 6 2 5 5 3 2 4
2 4 7 4 3 6 6 2 7 2
a) Construir la TABLA DE FRECUENCIA
b) Construir un POLIGONO DE FRECUENCIA
c) Calcular la MODA, MEDIA, MEDIANA
DATOS fi Fi fr Fr fr*100 Datos*fi
2 10 10 0.2 0.2 20% 20
3 7 17 0.14 0.34 14% 21
4 8 25 0.16 0.50 16% 32
5 9 34 0.18 0.68 18% 45
6 9 43 0.18 0.86 18% 54
7 6 49 0.12 0.98 12% 42
8 1 50 0.02 1 2% 8
d)
67
2 3 4 5 6 7 80
2
4
6
8
10
12
POLIGONO DE FRECUENCIA
e) MODA = 2 MEDIANA = 4.5 MEDIA ARITMETICA = 4.44
68
f) EVALUACION FORMATIVA Nº 3
Nombre: _______________________________________ Curso: ________________
Fecha: _____________________________ Puntaje: ________________ Nota: _____
I. Calcular el PERCENTIL 35 y 60 de la distribución de la tabla:
fi Fi
[50 – 60[ 8 8
[60 – 70[ 10 18
[70 – 80[ 16 34
[80 – 90[ 14 48
[90 – 100[ 10 58
[100 – 110[ 5 63
[110 – 120[ 2 65
65
II. Calcular los CUARTILES de la distribución de la tabla:
fi Fi
[50 – 60[ 8 8
[60 – 70[ 10 18
[70 – 80[ 16 34
[80 – 90[ 14 48
[90 – 100[ 10 58
[100 – 110[ 5 63
[110 – 120[ 2 65
65
FORMULAS
Pk=Li+
k∗n100
−Fa−1
f a∗ai
Qk=Li+
k∗n4
−Fa−1
f a∗ai
EVALUACION FORMATIVA Nº 3
69
P35=70+ 22.75−1816
∗10 P35=72.96875
P60=80+ 39−3414
∗10 P60=83.57142
Q1=60+ 16.25−810
∗10 Q1=68.25
Q2=70+ 32.5−1816
∗10 Q2=79.0625
Q3=90+ 48.75−4810
∗10 Q3=90.75
Nombre: _______________________________________ Curso: ________________
Fecha: _____________________________ Puntaje: ________________ Nota: _____
I. Calcular el PERCENTIL 35 y 60 de la distribución de la tabla:
fi Fi
[50 – 60[ 4 4
[60 – 70[ 11 15
[70 – 80[ 19 34
[80 – 90[ 13 47
[90 – 100[ 9 56
[100 – 110[ 6 62
[110 – 120[ 3 65
65
II. Calcular los CUARTILES de la distribución de la tabla:
fi Fi
[50 – 60[ 4 4
[60 – 70[ 11 15
[70 – 80[ 19 34
[80 – 90[ 13 47
[90 – 100[ 9 56
[100 – 110[ 6 62
[110 – 120[ 3 65
65
FORMULAS
Pk=Li+
k∗n100
−Fa−1
f a∗ai
Qk=Li+
k∗n4
−Fa−1
f a∗ai
8.5 Anexo 5: Evaluación Sumativa
70
P35=70+ 22.75−1519
∗10 P35=74.07894
P60=80+ 39−3413
∗10 P60=83.84615
Q1=70+ 16.25−1519
∗10 Q1=70.65789
Q2=70+ 32.5−1519
∗10 Q2=71.44736
Q3=90+ 48.75−479
∗10 Q3=91.94
EVALUACIÓN SUMATIVA
Nombre: _______________________________________ Curso: ________________
Fecha: _____________________________ Puntaje: ________________ Nota: _____
I. Selección Múltiple, en la hoja de respuesta marca con una “X” la alternativa que
consideres correcta.
Ha llegado el fin del semestre y las notas de un alumno de 1º medio son las
siguientes:
Notas: 6,5 – 4,2 – 3,8 – 5,7 –4,5 – 5,5 – 3,8 – 6,1 – 5,9 – 3,3
1. La media en las notas es:
a) 493
b) 49,3
c) 4,93
d) 5,0
e) 3,8
2. La mediana en las notas es:
a) 100
b) 5,0
c) 4,5
d) 5,5
e) 4,5 y 5,5
3. La moda en las notas es:
a) 5,5
71
b) 5,0
c) 4,93
d) 4,5
e) 3,8
Observa con atención la siguiente tabla y luego responde las preguntas de la 4 a la 9
Intervalo
en años
Marca de
clase
Frecuencia
Absoluta
Frecuencia
Absoluta
acumulada
Frecuencia
Relativa
Frecuencia
Relativa %
¿ 2 14 14 M 35
¿ 7 X 26 0,3 30
¿ Z 10 36 0,25 25
¿ 16,5 4 Y 0,1 W
4. Con respecto a los valores faltantes en la tabla podemos asegurar que:
I. Z =X II.- W= 100% III.- M=14/Y
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) I y III
e) Todas
5. La marca de clase del intervalo donde se encuentra la mediana es
a) 16,5
b) 12
c) 10-14
72
d) 7
e) 2
6. El intervalo modal es:
a) 15-18
b) 10-14
c) 5-9
d) 0-4
e) N.A.
7. La mediana es:
a) 3
b) 4
c) 7
d) 7,5
e) 11
8. La moda es:
a) 4
b) 2
c) 1
d) 8
e) 0
9. La media es:
a) 298
b) 40
c) 7,5
d) 7
e) 4
73
10. La talla de los pacientes de un consultorio médico es una variable:
I) Cuantitativa.
II) Discreta.
III) Continua.
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) Sólo I y II
e) Sólo I y III
11. El grafico de la figura 1 muestra los puntajes obtenidos por todos los
integrantes de un curso en una evaluación de inglés.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
74
15 20 25 30 350
2
4
6
8
10
12
Nº Alumnos
PUNTOS
a) El curso tiene exactamente 10 alumnos.
b) Exactamente 10 alumnos obtuvieron menos de 30 puntos.
c) Más de la mitad del curso, obtuvo un puntaje sobre los 25 puntos.
d) 16 alumnos corresponden al 50% de los integrantes del curso.
e) El promedio de los puntajes fue de 25 puntos.
Lee con atención y luego responde las preguntas 11 y 12
El Ministerio de Educación MINEDUC quiere saber cuánto es lo que han
aprendido los estudiantes de kínder a cuarto básico de todo el país, es por esto,
que ha seleccionado a todos los estudiantes que cursan 4º básico a nivel
nacional para rendir la prueba Simce y así poder medir la calidad de la
educación en nuestro país.
12. La MUESTRA está representada por:
a) Todos los estudiantes del país
b) Los estudiantes de kínder
c) Los estudiantes de 4º básico
d) Los estudiantes a nivel nacional
75
e) Los estudiantes de kínder a cuarto básico
13. La POBLACION está representada por:
a) Los estudiantes de kínder
b) Los estudiantes de 4º básico
c) Los estudiantes a nivel nacional
d) Los estudiantes de kínder a cuarto básico
e) Todos los estudiantes del país
14. ¿Cuál(es) de los siguientes métodos sirve(n) para recopilar información?
I) Entrevistas.
II) Cuestionario.
III) Censos.
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) II y III
e) I, II y III
15. Si se quiere hacer un estudio estadístico de las alturas de los alumnos de
los segundos básicos A, B y C de un colegio, que tienen entre 7 y 8 años
de edad, la población corresponde a:
a) Todos los alumnos del colegio
b) Sólo los alumnos de los segundos básicos A,B y C
c) Las alturas de todos los alumnos del colegio
d) Las alturas de los alumnos de los segundos básicos A,B y C
76
e) Las edades de los alumnos de los segundos básicos A,B y C
16. ¿Cuál de los siguientes enunciados representa el uso de una variable
cualitativa?
a) Recuento del número perillas de un condominio.
b) Estaturas de los alumnos de un jardín.
c) Profesiones de los habitantes de una localidad.
d) Salario obtenido por los profesionales de una institución.
e) Las temperaturas mínimas alcanzadas en el mes de Julio.
77
17. La madre de Luis escribe en una hoja los promedios que obtuvo su hijo,
pero olvida anotar el de Biología, como se muestra en la tabla adjunta. Si
todas las asignaturas tienen la misma ponderación, ¿Cuál es la nota que
se olvidó?
ASIGNATURA PROMEDIO
LENGUAJE 5,0
MATEMATICA 5,5
ED. FISICA 6,0
BIOLOGIA ?
FISICA 6,0
ARTES VISUALES 6,0
PROMEDIO FINAL 5,5
a) 4,5
b) 5,0
c) 5,3
d) 5,5
e) 5,7
18. Dado el siguiente conjunto de datos: 2; 5; 9; 3; 13; 10; 11; 6; 7. ¿Cuál es
el valor del tercer cuartil?
a) 4
b) 5
c) 7
d) 9
e) 10
19. Un estudio de frecuencias de cinco líneas de buses Interprovinciales que
pasan por una determinada esquina entregó los resultados que están en el
78
gráfico de la figura 6. A partir de dicho gráfico, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)?
I) La línea de más alta frecuencia es la 431.
II) Hay dos líneas que tienen el mismo número de pasadas por hora.
III) El promedio de pasadas de las líneas 380 y 381 es igual a las pasadas
de la línea 403.
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
d) Sólo I y III
e) I, II y III
79
20. Antonia ha obtenido las siguientes notas en Lenguaje 5,3; 7,0; 6,7 y 5,9.
Si debe rendir su última prueba la cual es coeficiente dos, ¿cuánto debe
ser la nota, para que Antonia obtenga un promedio final de 6,2 en
matemática?
a) 6,0
b) 6,1
c) 6,2
d) 6,3
e) 6,4
21. El gráfico de la figura 1, muestra la cantidad de kilómetros recorridos
por los alumnos de un curso en la gira de estudio. Con respecto a estos
datos, ¿cuántos alumnos recorrieron hasta 400 kilómetros?
a) 18
b) 20
c) 45
d) 27
e) 7
Lee con atención y luego responde las preguntas22 – 23 y 24
80
La siguiente tabla muestra las alturas de los jugadores de un equipo de BASKETBALL.
Altura (metros) Nº de Jugadores
[1.70 – 1.75[ 1
[1.75 – 1.80[ 3
[1.80 – 1.85[ 4
[1.85 – 1.90[ 8
[1.90 – 1.95[ 5
[1.95 – 2.00[ 2
22. Para la pregunta “¿Cuántos jugadores miden menos de 1.90?”, es recomendable calcular:
a) Frecuencia Absoluta
b) Marca de Clase
c) Frecuencia Relativa
d) Frecuencia Absoluta Acumulada
e) Frecuencia Relativa Porcentual
81
23. Para presentar a los jugadores, estos salen a la cancha formados de manera ascendente, el jugador que se encuentre al medio, representa a:
I) La Mediana
II) La Media Aritmética
III) La Moda
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo III
d) I y II
e) I y III
24. Si se quisiera representar esta tabla, ¿Cuál es el mejor grafico para ello?
I) Polígono de Frecuencia
II) Grafico de Barra
III) Histograma
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo III
d) I y III
e) I y II
82
