Instituto Universitario Politécnico "Santiago Mariño"

Ingeniería de Sistemas

Distribuciones Estadísticas

Daniel Antonio Aponte Aranda C.I:11163553

7 de Marzo de 2017

Distribución Normal Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana". En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal.

Formula:

Distribución Binomial En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad

discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de

Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del

éxito entre los ensayos.

Formula:

Procedimiento:

Primero se identifican los datos; se busca la probabilidad de éxito, que es p, luego

se busca el número de pruebas, que es n, y por último x, que es el número de

éxitos. La q, que es la probabilidad de fracaso, se obtiene despues de identificar p,

si p vale 70, q vale 30, pues es lo que resta para llegar al 100%. Una vez que se

ubicaron los datos, se sustituyen en la formula. Primero se realiza el resultado de

la combinación de n y x, después se sacan las raíces y al final se multiplican los

resultados.

Ejemplo:

Ejemplo caja de pelotas

Datos p= 0,31

q= 0,69

n= 4

k= 2

Resultado= 0,27451926

Distribución de Poisson En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una

distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de

ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos

durante cierto periodo de tiempo.

Formula:

Procedimiento:

Se identifican los datos; n es el número de pruebas, p la probabilidad de éxito y x

es el número de éxitos. El símbolo que es diferente a los demás se llama lambda,

ese se obtiene multiplicando n por p, y la e se saca en la calculadora científica,

con los botones shift y ln. Una vez que se ubicaron los datos dentro del problema,

comenzamos a sustituir. El signo que se observa a lado de la x, el signo !, significa

que la equis es factorial. Una vez que obtuvimos lambda, la elevamos a la x

multiplicamos el resultado por la e. Para obtener e, utilizamos las teclas ya

mencionadas y escribimos en la calculadora lo que salió de la lambda normal, y

esa es nuestra e. Después de multiplicar e por lambda elevada a la x, dividimos el

resultado por la x factorial (x!).

Ejemplo:

Ejemplo alumnos de contabilidad

Datos n= 100

p= 0,03 λ= 3 k= 5 Resultado= 0,10081881

Cómo diferenciar una Distribución Normal, una Binomial

y una de Posisson, observando sus características

Cuando se estudia Estadística se estudian las distribuciones de probabilidad y entre las más conocidas se tienen la Distribución Normal, Binomial y la Distribución de Poisson. Cada una de ellas con características propias que permiten identificarlas.

Los alumnos al presentar la prueba generalmente tienen dificultad en identificar cual Distribución de probabilidad debe aplicar para obtener el resultado. Quizás, las más fácil se la distribución normal, porque dentro del enunciado del problema hay datos que indican que se está en presencia de la Distribución Normal. La variables de está distribución es aleatorias continuas, que significa, que las magnitudes medidas toman cualquier valor real.

La distribución binomial y la de Poisson son distribuciones de variables aleatorias discretas, que son aquellas que asumen un conjunto de valores numerables.

Los enunciados de los problemas de distribución Normal generalmente expresan que los datos siguen la distribución normal y dan el valor de la mendia y la desviación estándar, valores necesarios para estandarizar la variable.

Ahora, para identificar un problema de la distribución Binomial, se debe observar si el evento o experimento tiene dos resultados, si o no; éxito o fracaso; apagado o encendido; que los eventos sean independientes y que la probabilidad permanezca fija.

Y por último una distribución de Poisson describe eventos independientes que ocurren en un espacio determinado o a una velocidad constante en el tiempo.

Tener clara las características de las distintas distribuciones ayuda en el momento de resolver los problemas. Recomiendo leer varios enunciados y antes de hacer cualquier calculo identificar las características de las distribuciones.

Ejercicios de la GUIA

Ejercicio de distribución normal

1. Supongamos que Z es una variable alectorias que se distribuye según una

distribución N (0,1) calcular:

1. P (Z≤1.47) 2.P (Z>1.47) 3.P (Z ≤ -1.47) 4.P (Z<1.47)

5. P (0.45< Z ≤1.47) 6 (-1.47<Z ≤-.045) 7. P (-1.47<Z ≤0.45) 8. P=0.75

Respuestas:

1. P (Z ≤ 1.47) = 0.9292

2. P (Z > 1.47)

P (Z > 1.47) = 1 − P (Z ≤ 1.47) = 1 − 0.9292 = 0.0708

3. P (Z ≤ −1.47)

P (Z ≤ −1.47) = 1 − P (Z ≤ 1.47) = 1 − 0.9292 = 0.0708

4. p (Z > 1.47)

p (Z > 1.47) = p (Z ≤ 1.47) = 0.9292

5. P (0.45 <Z ≤ 1.47)

P (0.45 <Z ≤ 1.47) = P (Z ≤ 1.47) − P(Z ≤ 0.45) =

= 0.9292 − 0.6736 = 0.2556

6. P (−1.47 <Z ≤ − 0.45)

P (−1.47 <Z ≤ − 0.45) = P (0.45 <Z ≤ 1.47) =

= P (Z ≤ 1.47) − P (Z ≤ 0.45) = 0.9292 − 0.6736 = 0.2556

7. P (-1.47 < Z ≤ 0.45)

P (-1.47 < Z ≤ 0.45) = P (Z ≤ 0.45) − [1 − P (Z ≤ 1.47)]=

= 0.6736 − (1 − 0.9292) = 0.6028

8. p= 0.75

p= 0.75Z ≤0.68

Para calcular la variable X nos vamos a la fórmula de la tipificación.

(X – μ)/σ = 0.68X = μ + 0.68 σ

Ejercicio de distribución Binomial

1. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el

80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la

lectura:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?

b. ¿Y cómo máximo 2?

Respuestas:

Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?

B (4, 0.2)

p = 0.8

q = 0.2

p(X=2) (4/2)0.8*0.8 * 0.2*0.2= 4.3/2*0.64*0.04 = 0.1536

¿Y cómo máximo 2?

P(x < 2) = p (x= 0)+p (x=1)+p (x=2) = (4/0)*0.8+0.2*0.2*0.2*0.2+

(4/1)0.8+0.2*0.2*0.2+(4/2)0.8*0.8+0.2*0.2 = 0.1808