Expresiones algebráicas

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Conjunto de variables y constantes unidos por las diferentes operaciones fundamentales (adición, sustracción, multiplicación, radicación, división, potenciación y radicación) un número limitado de veces. SON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

a) 32

123 x

31

yx8yx2 −−−−−−−−++++

b) yx3 ++++−−−− NO SON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

a) 53 cd5x4 −−−− Porque los exponentes de las letras no pueden ser números irracionales.

b) ...++++++++++++ 432 xxx Por que tienen un número ilimitado de términos.

TÉRMINO ALGEBRAICO Es aquella expresión cuyas variables no están relacionadas por las operaciones de adición o sustracción. Ejemplos: Las siguientes expresiones algebraicas constan de un término algebraico.

a) yx5 2

b) yxy43 )( ++++

c) 34ba72 −−−−

¡Atención! No es término algebraico:

a) y3x4 2 ++++

b) 2z4yx3 ++++−−−−

PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO En todo término algebraico se distinguen las siguientes partes: coeficiente, parte variable y exponentes. exponentes

{ 321iables

25

ecoeficient

ax7var

−−−−

{4434421

iables

2351

ecoeficient

xzm23

var

..−−−−

Exponentes

OBSERVACIÓN : El coeficiente incluye el signo que puede ser positivo o negativo

OPERACIONES CON TÉRMINOS ALGEBRAICOS

(Adición y sustracción)

TÉRMINOS SEMEJANTES Se tienen la misma parte literal y las variables correspondientes afectadas por los mismos exponentes. Ejemplo:

a) 23yx33−−−− ∼ 23yx2

1

b) yxyx4yx6 222 ;;−−−− REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Si dos o más términos semejantes pueden ser reducidos a uno solo, si es que se están sumando o restando. Para ello se suman sus coeficientes y el resultado se pone como coeficientes de la parte literal común. Ejemplo: Reducir los siguientes términos semejantes:

12x5y3 - 17x5y3 Resolución:

= 12x5y3 +17x5y3

= (12+17)x5y3 =29x5y3

1

1. Realizar la siguiente operación:

)()( c2b3a23c3b2a2 ++++−−−−−−−−−−−−++++ 2. Obtener (a + b) si:

x2a+1 y17

es semejante a: x13 y3b+2

3. Sean A y B dos términos semejantes 10m7 x

72

B x52

A ======== ++++ . Hallar “m”

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Para multiplicar polinomios, es necesario tener en cuenta la siguiente propiedad.

,,;. Raaaa nmnm ∈= +

• El producto de dos polinomios se realiza,

multiplicando cada término de uno de

ellos por todos los términos del otro. Se

eliminan términos semejantes y eso es

todo.

• En el caso de que hayan más de dos

polinomios, puedes coger a los dos

primeros, los multiplicas y el resultado

multiplicarlo por el siguiente polinomio.

Este nuevo resultado lo multiplicas por el

cuarto polinomio y así sucesivamente.

Veamos el ejemplo:

Multiplicar: (2x + 5x2) (x – 1) (x + 3)

Solución:

(2x + 5x2) (x – 1) (x + 3)

= 2x.x – 2x.1 + 5x2.x – 5x2.1

= 2x2 – 2x + 5x3 – 5x2

= (-3x2 – 2x + 5x3) (x + 3)

= -3x2.x – 3x2.3 – 2x.x – 2x.3 +5x3.x+5x3.3

= -3x3 – 9x2 – 2x2 – 6x +5x4+15x3

= 5x4 + 12x3 – 11x – 6x.

PRODUCTOS NOTABLES Son los resultados de ciertas multiplicaciones

indicadas, que se obtienen en forma directa, sin

efectuar la multiplicación.

A los productos notables también se les llama

“Identidades Algebraicas”.

Los más importantes son:

I. Trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplos:

• (a+2)2=a2+2.a.2+22=a2+4a+4

• (2a-1)2=(2a)2-2.2a.1+12=4a2-4a+1

Corolario: Identidades de Legendre

Ejemplos:

• ( 23 + )2+( 23 − )2=2( 2223 + )=10

• (x+5)2-(x-5)2=4.x.5=20x

•

Importante:

• (a-b)2≡(b-a)2

desarrollando:

a2-2ab+b2≡b2-2ab+a2

II. Diferencia de cuadrados.

Ejemplos:

• (a+2)(a-2)=a2-22=a2-4

• (m-1)(m+1)=m2-1

• (y+x)(x-y)=x2-y2

• (a2-3)(a2+3)=(a2)2-32=a4-9

III. Trinomio al cuadrado.

Ejemplos:

• (x+y+2)2= x2+y2+22+2(xy+2x+2y)

= x2+y2+4+2xy+4x+4y

• (x+y-3)2 = x2+y2+(-3)2+2[xy+x(-3)+y(-3)] (a+b)2 ≡ a2 + 2ab + b2

(a-b)2 ≡ a2 - 2ab + b2

(a+b)2 +( a-b)2 ≡ 2(a2+b2)

(a+b)2 - ( a-b)2 ≡ 4ab

(a-b)2m ≡ (b-a)2m

(a+b)(a-b) ≡ a2-b2

(a+b+c)2 ≡a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)

; m ∈ Z

2

= x2+y2+9+2[xy-3x-3y]

= x2+y2+9+2xy-6x-6y

IV. Binomio al cubo.

Ejemplos:

• (a+2)3 = a3+3a2.2+3a.22+23

= a3+6a2+12a+8

• (2a-1)3=(2a)3-3(2a)2.1+3(2a).12-13

= 8a3-12a+6a-1

También:

Ejemplo:

• Si la suma de dos números es 4 y el

producto es 5. calcular la suma de cubos.

Resolución:

(a+b)3≡a3+b3+3ab(a+b)

Reemplazamos: a+b=4 ∧ ab=5

⇒ 43=a3+b3+3.5.4

64=a3+b3+60

∴ a3+b3=4

V. Suma y diferencia de cubos

Ejemplos:

• (x+2)(x2-2x+4)=x3+23=x3+8

• ( 33 23 + )( 333 469 +− )=3333 23 + =5

VI. Producto de Binomios con un término

común.

Ejemplos:

• (a + 2)(a + 3) =a2+(2+3)a+2.3

= a2+5a+6

• (a + 4)(a - 1)=a2+(4-1)a+4(-1)

= a2+3a-4

• (a-6)(a+2)=a2+(-6+2)a+(-6)(2)

= a2-4a-12

• (a-4)(a-5)=a2+(-4-5)a+(-4)(-5)

= a2-9a+20

También:

Ejemplos:

• (x+1)(x+2)(x+3)=x3+(1+2+3)x2+(1.2+1.3

+2.3)x+1.2.3

= x3+6x2+11x+6

• (x-2)(x+3)(x+4)=x3+(-2+3+4)x2+(-2.3+-

2.4+3.4)x+(-2)(3)(4)

= x3+5x2-2x-24

• (x+2)(x-4)(x+6)=x3+(2-4+6)x2+[2(-4)+(-

4)6+6.2]x+2(-4)6

= x3+4x2-20x-48

• (x+1)(x-3)(x-5)=x3+(1-3-5)x2+[1(-3)+(-

3)(-5)+(-5).1]x+1(-3)(-5)

= x3-7x2+7x+15

• (x-2)(x-4)(x-6)=x3+(-2-4-6)x2+[(-2)(-4)+(-

4)(-6)+(-6)(-2)]x+(-2)(-4)(-6)

= x3-12x2+44x-48

VII. Trinomio al cubo

Ejemplo: Si se verifica que:

a+b=1, b+c=4, a+c=3

Calcular: a3+b3+c3

ResoluciónResoluciónResoluciónResolución

a+b = 1

b+c = 4 a+b+c = 4 y

a+c = 3

(a+b)3 ≡a3+3a2b+3ab2+b3

(a-b)3 ≡a3-3a2b+3ab2-b3

(a+b)3 ≡a3+b3+3ab(a+b)

(a-b)3 ≡a3-b3-3ab(a-b)

a3+b3 ≡(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3 ≡(a-b)(a2+ab+b2)

(x+a)(x+b) ≡x2+(a+b)x+ab

(x+a)(x+b)(x+c) ≡ x3+(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x+abc

(x+y+z)3≡x3+y3+z3+3(x+y)(x+z)(y+z)

(x+y+z)3≡x3+y3+z3+3(x+y+z)(xy+xz+yz)-3xyz

3

(a+b)(b+c)(a+c)=12

⇒ (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)

43=a3+b3+c3+3(12)

∴ a3+b3+c3=28

1. Efectuar:

(x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1)

2. Calcular:

OTRAS IDENTIDADES

I. Identidad trinómica de Argand.

II. Identidad de Gauss.

III. Identidad Especial

IV. Identidad de LAGRANDE

V. Igualdades condicionales.

Si: a+b+c=0 , entonces se cumple:

VI. Teoremas.

Sean: {x,y,z} ⊂ R ; {m,n,p} ⊂ Z+

Luego:

1. x2m+y2n+z2p=0 ⇔ x=y=z=0

2. x2+y2+z2=xy+xz+yz⇔x=y=z

Ejemplos:

1. Si: a2+b2+c2=3(ab+ac+bc)

Hallar:

)bcacab)(cba(abc3cba

M333

++++−++=


En la identidad de Gauss

a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)

3(ab+ac+bc)

Entonces:

a3+b3+c3-3abc=2(a+b+c)(ab+ac+bc)

∴ M=))(())((2

bcacabcbabcacabcba

++++++++

M=2

2. Simplificar:

( )))()((9

)()( 333

xzzyyxxzzyyx

R−−−

−+−+−=


Haciendo:

x-y=a ; y-z=b ; z-x=c

Se observa que: a+b+c=0

Luego tendremos: abc9

cba 333 ++

Por la igualdad condicional:

si: a+b+c=0 ⇒ a3+b3+c3=3abc

de donde:

abc

abc

abc

cbaR

9

3

9

333=

++=

∴ R=31

3. Si se cumple que: a3+b3+c3=0

( ) ( ) ( ) ( )22222142521425 −−−++++=R

(a2+a+1)(a2-a+1)≡a4+a2+1

(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)≡a4+a2b2+b4

a3+b3+c3-3abc≡(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)

(a+b)(a+c)(b+c)+abc≡(a+b+c)(ab+ac+bc)

(a2+b2)(x2+y2)≡(ax+by)2+(ay-bx)2

a2+b2+c2=-2(ab+ac+bc)

a3+b3+c3=3abc

(ab+ac+bc)2=(ab)2+(ac)2+(bc)2

4

Simplificar:

0;)()()(

3 ≠−+−+−

= abccacbcbaba

abcM


2223

ccabbcaab

abcM

−+−+−=

)(

3222 bcacabcba

abcM

−−−++−=

)(

3222 bcacabcba

abcM

−−−++

−=

Como a3+b3+c3+=0, podemos colocarlo así:

)(

3222

333

bcacabcba

abccbaM

−−−++

−++=

Por la identidad de Gauss:

)(

))((222

222

bcacabcba

bcacabcbacbaM

−−−++

−−−++++=

Es aquella operación que tiene por finalidad

hallar una expresión denominada “cociente”,

dadas otras dos denominadas “dividendo” y

“divisor”, tal que, el valor numérico del dividendo

es igual al producto de los valores numéricos del

divisor y el cociente, más el valor numérico del

resto para cualquier sistema de valores

atribuidos a sus letras.

ó

Donde:

• D(x) = Dividendo

• d(x) = Divisor

• q(x)= Cociente

• R(x) = Resto o residuo

Clases de división

1. División exacta:

Es división exacta ⇔ R(x)≡0

Luego:

2. División Inexacta:

Es división inexacta ⇔ R(x) 0

Luego:

Observación: Si R(x) ≡ 0, tenemos

D(x)≡d(x).q(x), luego podemos decir:

• d(x) es divisor de D(x)

• d(x) es factor de D(x)

• D(x) es divisible por d(x)

Ejemplo: EL Polinomio d(x) = x-1, es un

factor de D(x)=3x2+2x-5

Pues, D(x) es divisible por d(x), es decir:

01

523)(

2

)(

)( ≡⇒−

−+= xx

x Rx

xxd

D

PROPIEDADES DE GRADO

1. El grado del cociente es igual al grado del

dividendo menos el grado del divisor:

2. El grado del residuo es siempre menor que el

grado del divisor, su máximo grado es una

unidad menor que el grado del divisor (a

excepción de los Polinomios homogéneos).

3. El término independiente del dividendo

estará determinado por el producto de los

términos independientes del divisor y el

cociente más el término independiente del

residuo.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

D(x)≡d(x).q(x)+R(x)

)(

)()(

)(

)(

x

xx

x

x

d

Rq

d

D+≡

D(x)≡d(x).q(x)

D(x) ≡ d(x).q(x)+R(x)

[q(x)]0 = [D(x)]

0 – [d(x)]0

RMÁX = [d(x)]0-1

T.I.(D)=T.I.(d).T.I.(q)+T.I.(R)

5

CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

I. División de Monomios.- Para dividir dos

monomios, se dividen los signos (según la ley

de signos) luego se dividen los coeficientes y

por último las partes literales de acuerdo a la

ley de exponentes.

Ejemplos:

* 2

55

xyz4

yx8 = 2xy4z-2

* 2

nm

ab6

ba36− = -6am-1bn-2

II. División de un polinomio entre un

Monomio.- Para dividir un Polinomio entre

un monomio se divide cada uno de los

términos del polinomio separadamente entre

el monomio divisor y se suman

algebraicamente cada uno de éstos

resultados.

Ejemplo: Dividir:

P=2

257356

7

352142

xy

yxyxyx −+

Resolución:Resolución:Resolución:Resolución:

P=2

25

2

43

2

56

7

35

7

21

7

42

xy

yx

xy

yx

xy

yx −+

P=6x5y3+3x2y5-5x4

III. División de dos polinomios.- La división

de polinomios sólo es aplicable para:

a) Polinomios de una sola variable

b) Polinomios homogéneos

Se debe tener en cuenta que los polinomios

deben ser completos y ordenados en forma

decreciente, con respecto a una letra llamada

“ORDENATRIZ”, si faltase alguna variable

se remplazarán por ceros.

Para dividir dos polinomios se utilizan los

siguientes métodos:

1. Método clásico o General

2. método de los coeficientes separados

3. Método de los coeficientes

indeterminados.

4. Método de Horner

5. Método de Ruffini

ESTUDIO DE CADA UNO DE LOS MÉTODOS

1. Método clásico ó General.- Para dividir

dos polinomios mediante éste método se

debe tener en cuenta las siguientes reglas:

a. Ordenar tanto el dividiendo como el

divisor según las potencias,

decrecientemente con respecto a una

variable.

b. En caso de faltar una potencia de la

variable se coloca en su lugar el término

faltante con coeficiente cero.

c. Dividir el primer término del dividendo

por el primer término del divisor para

obtener el primer término del cociente.

d. Este término se multiplica por cada uno

de los términos del divisor y se pasan a

restar con los correspondientes términos

del dividendo.

e. Tratar el resto obtenido en el paso (d),

como si fuera un nuevo dividendo y

repetir los pasos (c) y (d).

f. Continuar este proceso hasta que el resto

obtenido sea tal que su grado resulte

menor que el del divisor (o que sea

cero), dando el proceso como terminado.

Ejemplo: Dividir:

a2+2a4-3a3+a-2 entre a2-3a+2


2ª4-3a3+a2+a-2 |a2-3a+2

-2ª4 + 6a3-4a2 2a2+3a+6

3a3-3a2+a

-3a3+9a2-6a

6a2-5a-2

-6a2+18a-12

13a-14

∴ q(x) = 2a2+3a+6

R(x) = 13a-14

2. Método de los coeficientes separados.-

En este caso, además de las consideraciones

anteriores se debe tener en cuenta:

6

a) Se trabaja solamente con los coeficientes

y sus correspondientes signos del

dividendo y divisor.

b) En caso de faltar un término con una

potencia de la variable se coloca en su

lugar cero, tanto en el dividendo como en

el divisor.

c) De esta manera se obtienen los

coeficientes con sus signos del polinomio

cociente.

d) Para determinar el grado del coeficiente y

resto se aplican las propiedades.

[q(x)]° = [D(x)]° - [d(x)]°

[R(x)]° = [d(x)]° - 1

Ejemplo: Dividir.

6a5-20a4-13a3+25a2-12a+7

3a2-a+1

Resolución:Resolución:Resolución:Resolución:

6 – 20 – 13 + 25 – 12 + 7 |3 – 1 + 1

-6 + 2 - 2 2 – 6 – 7 + 8

-18 – 15 + 25

+18 – 6 + 6

-21 + 31 - 12

+21 – 7 + 7

24 – 5 + 7

-24 + 8 – 8

3 – 1

• [q(x)]° = [D(x)]° - [d(x)]°

[q(x)]° = 5 – 2 = 3

• [R(x)]° = [d(x)]° – 1

[R(x)]° = 2 –1 = 1

q(x) = 2a3 – 6a2 – 7a + 8

R(x) = 3a - 1

3. Método de los coeficientes

indeterminados.- Este método consiste en

plantear el resultado con coeficientes

desconocidos, basándose en la identidad

fundamental de la división algebraica.

El cociente (q) y residuo (R) se asumen que

son conocidos con coeficientes

indeterminados para poder establecer la

identidad.

Ejemplo: Dividir:

6x4-x3-17x2+5x-3

3x3+4x2-2x-1


• Análisis de Grados:

[q(x)]° = 4 – 3 = 1

[RMÁX]° = 3 – 1 = 2

∴ q(x) y R(x) son de la forma:

q(x) = ax+b ......... (I)

R(x) = cx2+dx+e ………(II)

• Sabemos que: D=d.q+R, para nuestro caso:

D(x) d(x) q(x) R(x)

• Realizando operaciones en el segundo

miembro y agrupando convenientemente.

6x4-x3-17x2+5x-3≡3ax4+(4a+3b)x3+

(-2a+4b+c)x2+(-a-2b+d)x+(-b+e)

Identificando coeficientes:

i) 6=3a ⇒ a=2

ii) –1=4a+3b ⇒ b=-3

iii) –17=-2a+4b+c ⇒ c = -1

iv) 5=-a-2b+d ⇒ d = 1

v) –3=-b+e ⇒ e=-6

∴ q(x) = ax+b = 2x-3

R(x) = cx2+dx+e = -x2+x-6

MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS

1. Método de Guillermo Horner.- Este

método es un caso particular y sintetizado

del método de los coeficientes separados y

se emplea para la división de polinomios de

cualquier grado de una y dos variables

(asumiendo a una de ellas como tal y las

demás hacen el papel de números

constantes) teniendo en cuenta que los

polinomios deben ser completos y ordenados

D=d.q+R

)edxcx()bax()1x2x4x3(3x5x17xx6 223234 ++++−−+≡−+−−

7

en forma descendente con respecto a dicha

variable llamada letra ordenatriz, si falta

alguna variable se reemplazará por ceros.

Gráficamente:

d Coeficientes del dividendo

- I

- V

- I ÷ . + ⊕ - S

- 0

- R

Coef. del cociente Coef. del resto

• Los coeficientes del dividendo se escriben

con su propio signo arriba de la línea

horizontal.

• Los coeficientes del divisor se escriben en

el lado izquierdo de la línea vertical, el

primer coeficiente entre la horizontal y

vertical con su propio signo, los demás

coeficientes cambiarán de signo.

• Luego trazaremos otra línea vertical

punteada separando tantos términos del

dividendo como términos tenga el divisor

con signo cambiado contándolos a partir

del extremo derecho del dividendo y así

definiremos el cociente y el residuo. En

otras palabras podemos decir que el

número de columnas que se separan para

el resto lo determina el grado del divisor,

contándose de derecha a izquierda y las

demás le pertenecen al cociente.

Procedimiento para dividir:

1° Se divide el primer coeficiente del dividendo

entre el primer coeficiente del divisor

obteniéndose el primer coeficiente del cociente.

2° El primer coeficiente del cociente multiplica a

cada uno de los coeficientes del divisor con

signo cambiado y los resultados se colocan

debajo de los términos del dividendo

corriéndose un lugar hacia la derecha.

3° Se suman los términos de la segunda columna y

el resultado se divide entre el primer término

del divisor obteniéndose así el segundo término

del cociente.

4° Luego se repiten los procedimientos 2° y 3°

hasta obtener el último término del cociente,

con el cual se obtiene la última fila del

dividendo.

5° Llegado éste momento se reducen las columnas

que faltan, separando respectivamente el

cociente y el resto en sus zonas respectivas.

Ejemplo: Dividir:

2x3+10x4+10x2+10x-3+5x5+2x6

x3+2x2+3x-4


q(x)=2x3+x2+2x+3

R(x)=2x2+9x+9

2. Método de Paolo Ruffini.- Este método es

un caso particular de la división por “Horner”

se emplea para divisores binomios de primer

grado de la forma:

ax ± b ; a≠0 ∧ b>0

o transformables a primer grado

REGLAS A SEGUIR

• Se verifica si el polinomio dividendo está

completo y ordenado. Si faltara uno o

más términos éstos se completaran con

ceros.

• De existir dos o más variables, se asume

a una de ellas como tal y las demás

hacen el papel de números o constantes.

PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR

1° Se distribuyen en forma horizontal los

coeficientes del dividendo; en forma paralela a

éste paso se iguala el divisor a cero, se despeja

la variable y ésta se coloca en el ángulo inferior

izquierdo del gráfico.

8

Así:

D I V I D E N D O

x=N

COCIENTE Resto

2° El primer término del cociente es igual al primer

término del dividendo.

3° Luego éste valor se multiplica por el valor

despejado de la variable y el resultado se

coloca debajo del dividendo, se reduce y se

obtiene el segundo término del cociente.

4° Se procede como en el procedimiento 3°, hasta

llegar al último término del dividendo al reducir

obtenemos el resto de la división el cual

siempre será un valor numérico.

CASO I

• Cuando el primer coeficiente del divisor es

igual a la unidad, divisor de la forma (x±b).

Ejemplo: Dividir:

252 23

−−+−

xxxx

Resolución Resolución Resolución Resolución

i) Divisor = 0 ⇒ x-2=0

X=2

ii) Llevando a la gráfica de Ruffini:

1 -2 1 -5

2 2 0 2

1 0 1 -3

∴ q(x) = x2+1

R(x) = -3

CASO ESPECIAL: Podemos reconocerlo por que

los exponentes del dividendo son múltiplos exactos

del exponente del divisor (binomio no

necesariamente de primer grado), dichos

problemas se resolverán haciendo un cambio de

variable.

Ejemplo: Dividir:

3

452832

248

+

+−−

x

xxx

Resolución:

• Colocando como potencias de (x2)

3

4)(5)(28)(32

22242

+

+−−

x

xxx

• Haciendo un cambio de variables: x2=y

345283 24

++−−

yyyy

• Ahora aplicamos el método de Ruffini.

i) Divisor = 0 ⇒ y + 3 = 0 y = - 3

ii) Llevando a la gráfica

3 0 -28 -5 4

-3 -9 27 3 6

3 -9 -1 -2 10

q(y)=3y3-9y2-y-2

R(y)=10

Pero y=x2, reemplazando:

∴ q(x) = 3x6-9x4-x2-2

R(x) = 10

OBSERVACIÓN: Cuando las potencias del

dividendo son múltiplos de la potencia del divisor,

se podrá aplicar el proceso anterior.

CASO II

• Cuando el primer coeficiente del divisor es

diferente de la unidad, divisor de la forma ax±b.

Gráficamente:

D I V I D E N D O

x=±ab

Cociente falso Resto

÷a

Cociente verdadero

∴ q(x) = a

cociente

R(x) = Resto

OBSERVACIÓN:

De la identidad fundamental:

D(x)≡(ax+b).q(x)+R(x)≡ ( ) )()(. xx Rqaab

x +

+

D(x) ÷ ax ± b ; a=1

D(x) ÷ ax ± b ; a ≠ 1

9

Se observa que el cociente queda multiplicado por “a”.

Ejemplo: Dividir: 13

15627 24

−++−

xxxx

Resolución

i) Divisor = 0 ⇒ 3x-1=0 x=1/3

ii) Llevando a la gráfica

27 0 -6 1 15

x=31 9 3 -1 0

27 9 -3 0 15

÷3 9 3 -1 0

∴ q(x) = 9x

3+3x2-x

R(x) = 15

TEOREMA DE RENÉ DESCARTES

(TEOREMA DEL RESTO)

Finalidad.- Se utiliza para hallar el resto en una

división de polinomios sin la necesidad de efectuar

dicha operación, es decir, de una manera directa.

Teorema.- En toda división de la forma P(x) entre

(ax+b), el resto se halla mediante el valor numérico

del polinomio P(x) cuando x toma el valor de

−ab .

Es decir: ax

P x

−)( ⇒

Demostración.- Utilizando la identidad

fundamental de la división será posible expresar

así:

P(x) ≡ (ax+b) . q(x) + R

Cociente Resto o residuo

Evaluando la identidad en x=-b/a

Rab

qbab

aP

ab +

−

+

−=

−.

044 344 21

∴ RP

ab =

−

Ejemplo: Hallar el resto en:

21354 23

+−+−

xxxx


i) Divisor = 0 ⇒ x+2=0

x= -2

ii) Reemplazando x = -2 en el dividendo con lo

cual se halla el resto.

R = 4(-2)3-5(-2)2+3(-2)-1

R = -32-20-6-1

∴ R=-59

Son aquellas divisiones algebraicas en las cuales

el cociente y el residuo de la división se obtienen

sin mediar algoritmo correspondiente, o sea sin

necesidad de efectuar la operación.

La división es exacta (esto es, el resto es nulo).

Estos casos especiales son de la forma general.

Donde: x, a son las bases

n∈N ∧ n≥2

Condiciones que deben cumplir

a) Deben tener las bases iguales.

b) Deben tener los exponentes iguales.

Así: axax nn

±±

Numéricamente: axax 1010

±±

CASOS DE COCIENTES NOTABLES

Existen cuatro casos de cocientes notables, que

se determinan combinando convenientemente

los signos; las cuales son:

axax nn

−− ;

axax nn

−+ ;

axax nn

++ ;

axax nn

+−

PRIMER CASO:

A. Cálculo del Resto: Por el teorema del

resto.

x-a = 0 ⇒ x=a

R=an-an=0

∴ R=0

R=P(a) Resto de la división

axax nn

±±

COCIENTES NOTABLES

axax nn

−−

10

Esto indica que para cualquier valor entero

de “n”, será siempre exacta por lo tanto es

un cociente notable.

B. Cálculo del cociente:

Donde “n” es par o impar

Ejemplo: Calcular el cociente en forma

directa de:

322344

axaaxxaxax +++=

−−

SEGUNDO CASO:

A. Cálculo del resto: Por el teorema del resto.

x-a=0 ⇒ x=a

R=an+an

∴ R=2an≠0

Vemos que en éste caso para cualquier valor

de “n” el resto es siempre diferente de cero

por lo cual el cociente que se obtiene será

siempre un cociente completo y nunca un

cociente exacto.

B. Cálculo del cociente:

Donde “n” es par o impar.

Importante: Excluiremos el presente caso

debido a que la división no es exacta, en

consecuencia no es un cociente notable.

TERCER CASO:

A. Cálculo del Resto: Por el teorema del

resto.

x+a=0 ⇒ x=-a

R=(-a)n+an

Si:n=# par ⇒ R=an+an=2an≠0 (cociente

completo)

Si:n=# impar ⇒ R= -an+an=0 (cociente

exacto):

B. Cálculo del cociente.-

Donde “n” es impar.

Ejemplo: Calcular el cociente en forma

directa de:

43223455

axaaxaxxaxax +−+−=

++

CUARTO CASO:

A. Cálculo del resto.- Por el teorema del

resto.

x+a=0 ⇒ x=-a

R=(-a)n-an

Si:n = # par ⇒=an-an=0 (cociente exacto)

Si:n = # impar⇒R=-an-an=-2an≠0(cociente

completo)

B. Cálculo del cociente.-

Donde “n” es par.

FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL

Es una fórmula que nos permite encontrar un

término cualquiera en el desarrollo de los

cocientes notables sin necesidad de conocer los

demás:

Sabemos que:

{1n2n

t

23n

t

2n

t

1nnn

axa...axaxxaxax

321

−−−−− +++++=−−

43421321

Donde:

t1=xn-1=xn-1a°

t2=xn-2a=xn-1a1

t3=xn-3a2=xn-3a2

t69=……..=x

n-69a68

En General

1n2n23n2n1nnn

axa.....axaxxaxax −−−−− +++++=

−−

axax nn

−+

axa2

a....axaxxaxax n

1n23n2n1nnn

−+++++=

−+ −−−−

axax nn

++

1n2n23n2n1nnn

axa...axaxxaxax −−−−− +−−+−=

++

axax nn

+−

1n2n23n2n1nnn

axa...axaxxaxax −−−−− −+−+−=

+−

tk= xn-kak-1

↓ signo

; 1≤ k ≤ n

11

Donde: K→ es el lugar pedido

N → es el exponente de las bases en el

numerador

El signo → se colocará de acuerdo al caso

que corresponda.

REGLA PARA EL SIGNO

a) Cuando el divisor es de la forma (x-a):

b) Cuando el divisor es de la forma (x+a) y si:

Ejemplo: En el cociente notable de:

yxyx

−− 6060

Hallar el término de lugar 15.

ResoluciónResoluciónResoluciónResolución:

Recordando en yxyx nn

−−

⇒ tk=xn-kyk-1

En el problema n=60 ∧ k=15

⇒ t15 = x60-15 . y15-1

∴ t15=x45y14

LEYES DE UN COCIENTE NOTABLE:

I. Si la división tiene la forma que origina un

cociente notable, el exponente que se repite en

el dividendo indica el número de términos del

cociente.

a) 100osmintérde#yxyx 100100

=⇒−−

b) 64

506504

64

300200

yx

)y()x(

yx

yx

−−

⇒−−

# de términos = 50

II. El cociente se caracteriza por ser completo y

ordenado respecto a sus bases; además de ser

homogéneo respecto a las mismas.

III. El primer término del desarrollo se obtiene

dividiendo el primer término del dividendo

entre el primero del divisor.

IV. A partir del segundo término los exponentes de

la primera base disminuyen de uno en uno,

mientras que los de la segunda van

aumentando de uno en uno.

V. Si el divisor es un binomio diferencia (x-a)

todos los términos del cociente serán positivos;

pero si es un binomio suma (x+a) los términos

del cociente serán alternados (los de lugar

impar positivos y los de lugar par negativos).

VI. Solo cuando “n” es impar, las bases del término

central tendrán igual exponente.

Ejemplo:

654233245677

axaaxaxaxaxxaxax ++++++=

−−

VII. Para calcular un término cualquiera contando

de derecha a izquierda, sólo basta con

intercambiar las bases tanto en el numerador

como en el denominador, para luego aplicar la

fórmula del término general.

Ejemplo: Calcular el término 35 contando a

partir de derecha a izquierda del desarrollo de:

axax 121121

−−

ResoluciónResoluciónResoluciónResolución:

Intercambiando las bases:

xaxa 121121

−−

Luego: t35=a121-35x35-1=x34a86

VIII. Si: qp

nm

ax

ax

±±

origina un cociente notable

Entonces se cumple: qn

pm =

Además: ==qn

pm

número de términos

Ejemplo: si 42

2001n

yx

yx

−−+

origina un cociente

notable, calcular el valor de “n”.


* Como origina un cociente notable:

4

2002

1n =+ ⇒ n+1=(50)(2)

n=100-1 ∴ n=99

Todos son positivos (+)

K=# impar ⇒ (positivo +) K=# par ⇒ (negativo -)

1

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Expresiones algebráicas