Estudios Generales CÓDIGO: 89001293 SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL Matemática T.O. Parte 02 DIRECCIÓN NACIONAL GERENCIA ACADÉMICA
1. Estudios Generales CDIGO: 89001293 SERVICIO NACIONAL DE
ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL Matemtica T.O. Parte 02
DIRECCIN NACIONAL GERENCIA ACADMICA
2. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 2
MATERIAL DIDCTICO ESCRITO CICLO : ESTUDIOS GENERALES CURSO:
MATEMTICA BSICA T.O. PARTE 02 Con la finalidad de uniformizar el
desarrollo de la formacin profesional en el Ciclo de Estudios
Generales a nivel nacional y dando la apertura de un mejoramiento
continuo, se autoriza la APLICACIN Y DIFUSIN del material didctico
escrito referido a MATEMTICA BSICA T.O. PARTE 02 Los Directores
Zonales y Jefes de Centros de Formacin Profesional son los
responsables de su difusin y aplicacin oportuna. AUTORIZACIN Y
DIFUSIN DOCUMENTO APROBADO POR EL GERENTE ACADMICO DEL SENATI N de
Pginas:.............261.............. Firma: ... Lic. Jorge Chvez
Escobar Fecha: ....
3. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 3
INDICE UNIDAD 08. Longitud
...............................................................................................
4 UNIDAD 10. Razones y
Proporciones.......................................................................
57 UNIDAD 11. Magnitudes Proporcionales
................................................................ 73
UNIDAD 12. Regla de Tres
......................................................................................
92 UNIDAD 13. Porcentaje
........................................................................................
103 UNIDAD 14. Angulos
............................................................................................
123 UNIDAD 15. Paralelas
..........................................................................................
145 UNIDAD 16. Circunferencia y Circulo
....................................................................
163 UNIDAD 17. Polgonos
.........................................................................................
175 UNIDAD 18.
Permetro..........................................................................................
197 UNIDAD 19. Superficie y volumen
........................................................................
220 UNIDAD 09. Medidas de Tiempo
............................................................................
37
4. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 4
UNIDAD 08 MEDIDAS DE LONGITUD
5. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 5
8.1. MEDIDAS DE LONGITUD. Medir es comparar una magnitud con otra
de la misma especie, tomada como unidad de medida Cientos de aos
atrs, la gente media el largo de objetos usando partes del cuerpo.
Por ejemplo, el pie de una persona representaba a un pie de largo,
el ancho de un pulgar era una pulgada, el espacio entre brazos
extendidos (de la punta de un dedo hasta la punta del otro), eran 6
pies. Cuando los Britnicos comenzaron a establecerse en Norteamrica
las colonias usaban pesos y medidas que eran comunes en aquel
tiempo. An haba confusin entre medidas que llegaron hacerse hasta
ms confusas despus de la Revolucin Americana, pues cada una de las
13 colonias trataba de encontrar una norma uniforme de pesas y
medidas. Tambin los Franceses, Espaoles y Holandeses tenan sus
propias normas y nadie estaba de acuerdo. Es as que en el ao 1832,
el Departamento de Tesorera dispuso que Ferdinad Rudolph Hassler
construyera las normas de medida y masas, y en el ao 1836, el
Congreso oficialmente cre la Oficina de Pesos y Medidas. Hassler
escogi el Sistema Imperial de Inglaterra sobre el sistema mtrico.
Sin embargo, el Sistema Internacional (SI) de Unidades (Sistema
Mtrico), es aceptado como la norma de medidas. 8.1.1. Unidad
Fundamental (EL METRO). Teniendo el marco del Sistema Internacional
de Unidades (SI), la unidad fundamental de la magnitud longitud es
el METRO. MAGNITUD UNIDAD SMBOLO DEFINICIN DE LA UNIDAD Longitud
metro m Longitud del trayecto recorrido en el vaco, por un rayo de
luz en el tiempo de s 458792299 1
6. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 6
8.1.2. PREFIJOS EN EL S.I. Los prefijos del SI son prefijos
empleados para nombrar a los mltiplos y submltiplos de cualquier
unidad del Sistema Internacional (SI), ya sean unidades bsicas o
derivadas. 1.1 PREFIJO SMBOLO FACTOR NOMBRE DEL VALOR NUMRICO Para
formar mltiplos decimales exa peta tera giga mega kilo hecto deca E
P T G M k h da 10 18 10 15 10 12 10 9 10 6 10 3 10 2 10 trilln mil
billones billn mil millones milln mil cien diez Para formar
submltiplos decimales deci centi mili micro nano pico femto atto d
c m n p f a 10 -1 10 -2 10 -3 10 -6 10 -9 10 -12 10 -15 10 -18
Dcima centcima milsima millonsima mil millonsima billonsima mil
billonsima trillonsima En el caso de la medida de longitud:
Mltiplos Submltiplos
7. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 7
kilmetro 1.2 HECTMETRO decmetro metro decmetro centmetro milmetro X
1000 1.3 X 100 X10 : 10 : 100 : 1000 1000 m 1.4 100 M 10 m 1 m 0,1
m 0,01 m 0,001 m 1 km 1.5 1 HM 1 dam 1 m 1 dm 1cm 1 mm Aplicar este
conocimiento midiendo el largo, ancho y alto de su mesa de trabajo.
Anotar estos datos, usando como unidades de medida el centmetro y
el milmetro. Largo ....................... cm ...
........................ mm Ancho ...................... cm
........................... mm Alto ........................... cm
........................... mm Sin embargo, el centmetro y el
milmetro, no son las nicas unidades de medida, si se toman 10cm, se
tiene 1 decmetro. 1 decmetro = 10 centmetros Y si se toman 10
decmetros, se tiene 1 metro (1 m) que es la unidad principal de
medida de longitud. Como ejercicio, tomar las medidas de longitud y
anotar sus resultados. a) Un libro b) Un saln de clase c) Un lpiz
Continuar multiplicando cada unidad por 10 y se tiene: 10 m forman
1 decmetro dam 10 dam forman 1 hectmetro hm
8. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 8
1 Largo = unidades Observar, con atencin, los dibujos de abajo.
Cada una de las aristas de los cuerpos recibe, en geometra, el
nombre de segmento de recta. Medir algunos de ellos, recordando que
medir un segmento de recta es verificar cuantas veces una unidad
est contenida en l. 2 3 4 Ancho = . Unidades Altura = . Unidades 5
Muy Importante: El nmero es la MEDIDA y el segmento (u) es la
UNIDAD DE MEDIDA. Subrayar, entonces, con un trazo, la medida, y
con dos, la unidad de medida. Ejemplo: La longitud de la regla es
de seis pulgadas. La broca de tres cuartos est sobre la bancada.
Compr mil milmetros de alambre de cobre. Esta caja contiene doce
docenas de pernos. La primera clase comienza a las 7 h y 15
minutos. En los dibujos de la pgina anterior, los segmentos medidos
representan: Largo, ancho y altura. La unidad (u), tomada como
medida, fue el centmetro (cm). Notar que cada centmetro est
dividido en partes iguales, cada una de las cuales se llama
milmetro (mm). En la medicin de la longitud: se tiene: 6 u = 6 cm =
60 mm.
9. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 9
Se puede comprobar que: 10 veces 1 milmetro es igual a 1 centmetro
10 x 1 mm = ........ mm = 1 ....... Completar: Ancho = 2,5 u = 2,5
cm = .......... mm alto = 1 u = 1 cm = .......... mm Por
consiguiente, se acaba de formar un conjunto (Sistema
Internacional) de unidades de medidas de longitud. Observar el
cuadro: 8.1.3. MLTIPLOS Y SUBMLTIPLOS DEL METRO. MLTIPLOS UNIDAD
SUBMLTIPLOS km 5.1 HM dam m dm cm mm kilmetro 5.2 HECTMETRO
decmetro metro decmetro centmetro milmetro 1000 m 5.3 100 M 10 m 1
m 0,1 m 0,01 m 0,001 m Observacin: Es preciso aclarar que: Existen
mltiplos mayores que el kilmetro. Existe submltiplos menores que el
milmetro. Por ejemplo: En mecnica de precisin y en trabajos
cientficos, se usan otros submltiplos del metro, como por ejemplo
la millonsima parte ( micra) del metro que se denomina micra ( m).
Resumiendo se tiene:
10. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
10 Medidas mayores que el metro, o sea, mltiplos del metro:
decmetro dam 1 dam = 10 m hectmetro hm 1 ....... = 100 ........
kilmetro km 1 .........= ........ 5.4 5.5 1 KM = 10 HM = 100 DAM =
1 000 M Medidas menores que el metro, o sea submltiplos del metro:
decmetro dm 1 dm = 0,1 m centmetro cm 1 ....... = ......... m
milmetro mm 1 ....... = ............. 5.6 1 MM = 0,1 CM = 0,01 DM =
0,001 M
11. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
11 EJERCICIOS Haciendo uso de los conceptos vertidos y detallados
anteriormente: 1. Completar: a) 5 dam = cinco decmetros b) 18 mm =
................................................... c)
........................... = doce kilmetros d)
........................... = nueve hectmetros e) 35 cm =
..................................................... f) .
.....................dm = siete .......................... 2.
Completar: a) 9,082 km = 9 km, 8 dam y 2 m b) 13,052 km = .........
km, ........ hm, ...... dam y .... m c) ............dam = 19 dam,
5m y 3dm d) 9,5 ..............= 9 m y 5 dm e) 8,25 dm =
............. y ............. 3. Se sabe que: 1 dam = 10 m
Entonces, completar: a) 8 dam = 8 x 10 = 80 m b) 28 dam =
............................ = .......................... m c) 3,4
dam = ........................... = . m d) 53 m = 53 10 = 5,3 dam
e) 156 m = . = . dam f) ,90 m = .. = . dam 4 Tambin se sabe que: 1
hm = 10 dam
12. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
12 Completar entonces: a) 5 hm = 5 x 10 = 50 dam b) 0,8 hm =
......................... = ........................ dam c) 58 hm =
......................... = .. dam d) 30 dam = 30 10 = . hm e) 48
dam = .. = .... hm f) 0,08 dam = .. = .... hm 5. Siguiendo el
raciocinio de las preguntas 3 y 4, para las otras unidades,
completar: a) 2 km = 2 x 10 = 20 hm b) 72 km =
........................... = . hm c) 0,8 km = . = . hm d) 5 m = 5
x 10 = 50 dm e) 3,8 m = .... = . dm f) 4 dm = 4 x 10 = 40 cm g) 52
dm = ... = .... cm 8.1.4. CONVERSIN DE UNIDADES. La unidad escrita
se refiere a la cifra que est a la izquierda de la coma decimal,
que usted debe haber observado. Ejemplo: En 45,87dm, se tiene 5 que
corresponde al casillero de dm. Para convertir unidades, basta
recordar el principio de la numeracin decimal. Por consiguiente,
para escribir 45,87 dm en metros, se tiene: M dm cm Mm 4,587 m 4 5
8 7 que se lee, 4 metros y 587 milmetros
13. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
13 Observar con atencin, la escalinata con sus carteles. Pues bien:
Cada grada que descienda, corra la coma decimal un lugar hacia la
derecha. Cada grada que suba, corra la coma decimal un lugar hacia
la izquierda. Realizar ahora los ejercicios que siguen: 6. De las
equivalencias: 1 dam = ........... m 1dm = .............. m 1 hm =
.m 1cm = ....m 1 km = .m 1mm = ... m 7. Siguiendo el Ejemplo, no
olvidar que la unidad indicada se refiere al orden colocado
inmediatamente antes de la coma decimal. Ejemplo: 35,40 m = 35 m y
40 cm 2,5 mm = ..................................... 802,7cm =
................................... 1,520 km =
.................................... 7,28 dm =
.................................... 0,85 m =
.................................... 8. Completar, observando el
ejemplo: a) Nueve metros y treinta centmetros = 9,30 m b) Doce
centmetros y doce milmetros =
............................................. c) Cuarenta y ocho
centmetros y siete milmetros = ........................... d)
Treinta y dos milmetros y ocho dcimos de mm =
.......................... km hm dam m dm cm mm
14. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
14 9. Complete el cuadro, observando los ejemplos: Ejemplo: m dm cm
mm a) 7 mm a 7 b) 14,5 dm b 1 4 5 c) 4,5 m c d) 20,1 cm d e) 0,2 m
e f) 12,5 cm f g) 3 m g h) 0,8 dm h 10. Responder: a) Cul es mayor?
5cm 25 mm? ............................................. b) Cul es
menor? 2dm 12 cm? ...............................................
c) Cuntos dm hay en 1 metro?
.................................................... d) Cuntos cm
hay en 1 metro?
.................................................... e) Cuntos mm
hay en 1 metro? ...................................................
11. Completar: a) En 1 km hay
........................................ metros b) En 1 hm hay
........................................ metros c) En 1 dam hay
...................................... metros d) En 3 m hay
...........................................decmetros e) En 5 m hay
...........................................centmetros f) En 10 m
hay ........................................ milmetros 12.
Completar: 6m = .................................. dm 23 dm =
......................... m
15. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
15 9,7m = .. dm 80 dm = m 88,53 m = . dm 8,2 dm = ... m 0,44 m = ..
dm 33,4 dm = ........ m 13. Colocar convenientemente los smbolos en
las siguientes conversiones: a) 45,67 m = 456,7 ................ g)
289,05 km=28 905 ............. b) 45,67 m = 4567 .. h) 300,7 mm =
3,007 ... c) 45,67 m = 45 670. i) 0,7 km = 0,007 . d) 45,67 m =
4,567 . j) 10 hm = 100 000 e) 45,67 m = 0,4567 ... l) 9,47 cm =
94,7 ............................ f) 45,67 m = 0,04567 ............
m) 4000 dm = 4 . 14. Escribir en los puntos, los valores
correspondientes: a) 8 m = ........................ cm g) 4 cm =
...................... dam b) 17 m = . mm h) 38 cm = ..... m c) 9,5
m = cm i) 680 cm = .. m d) 0,16 m = . dm j) 77,5 cm = hm e) 0,007 m
= .. km l) 6,91 cm = ......................... dm f) 2800 m =
.................... cm m) 0,25 cm = .. mm 15. Efectuar, haciendo
la conversin de unidades conveniente: 80 cm + 0,7 Km + 5,2 m =
............................................................ m 4,8
dam 1 000 mm + 85 cm = cm 274,6 m 1,360 dam = ... m Solucionario:
1. b) Dieciocho milmetros c) 12 km
16. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
16 d) 9 hm e) Treinta y cinco milmetros f) 7 dm = siete decmetros
2. b) 13 km, 0 hm, 5 dam y 2 m c) 19,53 dam d) 9,5 m e) 8 dm, 2 cm
y 5 mm 3. b) 28 x 10 = 280 m c) 3,4 x 10 = 34 m d) 156 : 10 = 15,6
dam e) 90 : 10 = 9 dam 4. b) 0,8 x 10 = 8 dam c) 58 x 10 = 580 dam
d) 30 : 10 = 3 hm e) 48 : 10 = 4,8 hm f) 0,08 : 10 = 0,008 hm 5 b)
72 x 10 720 hm c) 0,8 x 10 8 hm d) 3,8 x 10 38 dm c) 52 x 10 = 520
cm 6. 1 dam = 10m 1 dm = 0,1 m 1 hm = 100 m 1 cm = 0,01 m 1 km =
1000 m 1 mm = 0,001 m
17. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
17 7. 802,7 cm = 802 cm y 7 mm 7,28 dm = 7dm y 28 mm 2,5 mm = 2 mm
y 5 dcimos de mm 1,520Km = 1 Km y 520 m 0,85 m = 85 cm 8. Doce
centmetros y doce milmetros = 12,12 dm Cuarenta y ocho centmetros y
siete milmetros = 48,7cm Treinta y dos milmetros y ocho dcimos de
mm = 32,8 mm 9. m dm Cm mm .......... ........ ..........
............ .......... c 4 5 d 2 0 1 e 0 2 f 1 2 5 g 3 h 0 8 10.
a) 5 cm b) 12 cm c) 10 dm d) 100 cm e) 1000 mm 11. a) 1000 m d) 30
dm b) 100 m e) 500 cm c) 10 m f) 10 000 mm 12. 6m = 60 dm 23 dm =
2,3 m 9,7 m = 97 dm 80 dm = 8 m
18. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
18 88,53 m = 885,3 dm 8,2 dm = 0,82 m 0,44 m = 4,4 dm 33,4 dm =
3,34 m 13. a) . = 456,7 dmg) . = 29 905 dam b) . = 4567 cm h) . =
3,007 dm c) . = 45 670 mm i) .. = 0,007 km d) . = 4,567 dam j) .. =
100 000 cm e) . = 0,4567 hm l) .. = 94,7 mm f)
........................ = 0,04567 km m) .................. = 4 hm
14. a) .. = 800 cm g) .. = 0,004 dam b) .. = 17 000 mm h) .. = 0,38
m c) .. = 950 cm i) = 6,80 m d) .. = 1,6 dm j) = 0,00775 hm e) .. =
0,000 007 km l) = 0,691 dm f) = 280 000 cm m) . = 2,5 mm 15. 0,80 m
+ 700 m + 5,2 m = 706 m 4800 cm 100 cm + 85 cm = 4785 cm 27,6 m
13,6 m = 14 m Observacin: Unidades que permiten medir a seres
microscpicos o distancias inapreciables por los seres humanos: 1
micra 0,001 milmetros. 1 nanmetro 0,000 001 milmetros. 1 angstron
(A) 0,000 000 1 milmetros.
19. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
19 Unidades que permiten medir enormes distancias, como la
distancia de los planetas: 1 ao luz 9,461 mil millones de
kilmetros. (distancia que recorre la luz en un ao) 1 unidad
astronmica 149 600 000 km de longitud. 8.2. SISTEMA INGLS. Ahora se
va a pasar de una a otra unidad (pulgada) que adems se emplea en
las especificaciones de materiales y de productos de USO
industrial: la pulgada. En la industria, las medidas de mquinas,
herramientas, instrumentos e instalaciones, se utiliza tambin otra
unidad de medida, denominada PULGADA. 8.2.1. PULGADA. La pulgada se
representa simblicamente por dos comillas () colocadas a la derecha
y un poco encima de un nmero. La figura de abajo representa un tipo
de regla de 6 pulgadas de longitud. Observe con atencin: Dos
pulgadas se abrevia Tres pulgadas se abrevia 2 3
20. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
20 La palabra INCH que se encuentra escrita en esta regla, en ingls
significa pulgadas. 8.2.2. EQUIVALENCIAS DE PULGADAS. Por
consiguiente una pulgada corresponde a veinticinco milmetros y
cuatro dcimos, aproximadamente. Las medidas en PULGADAS pueden ser
expresadas: En NMEROS ENTEROS Ej.: 1; 2; 17 1pulgada = 1 = 25,4 mm
1 25,4 mm Adems: 1pie = 1 = 12 pulgadas 1yarda = 3 pies = 3 = 36 1
pie = 0,3048 m 1 yarda = 0,9144 m 1 m = 3,28 pies1 pie = 1 1
21. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
21 1 3 4 En FRACCIONES ORDINARIAS de denominadores 2; 4; 8; 16; 32;
64 y 128. Ej.: 8 "5 4 "3 '2 "1 ;; En NMEROS MIXTOS, cuya parte
fraccionaria tendr, tambin, como denominador 2; 4; 8; 16; 32; 64 y
128. Ej: 64 "13 7 4 "3 1 '2 "1 2 ;; OBSERVACIN. Se encuentran
algunas veces pulgadas escritas en forma decimal. Ej.: "25,0 "4 "1
"5,0 2 "1 "75,0 "4 "3 "125,0 8 "1 Para medir una longitud
utilizando pulgadas, es necesario que se observen las divisiones de
la regla: 1. En la parte superior, cada pulgada fue dividida en 8
partes iguales, por tanto cada divisin es 1/8 (un octavo de
pulgada). 3 4
22. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
22 2. Cada pulgada fue adems dividida en 16 partes iguales (la
menor divisin es 16 1 ); excepto una parte de 1 cuya menor divisin
es 32 1 (de 1 a 32) Ver la medida de la longitud AB La regla
indica: 3. La pulgada est dividida en 8 partes iguales. De A hasta
B se tienen .......... partes iguales. . Por consiguiente la
pulgada fue dividida en 8 partes y se estn tomando 5 partes, luego:
La medida de A hasta B es Observar finalmente la lectura de las
medidas indicadas en las reglas que siguen, comenzando siempre la
cuenta del inicio de la regla. Medida A = 2 Medida B = 8 "5 1
Medida C = 2 "1 2 Medida D = 4 "3 3 Medida E = 16 "1 Medida F = 16
"13
23. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
23 Ejercicio: Medida G = 2 "1 2 Medida H = 8 "7 Medida I = 4 "1 3
Medida J = 32 "17 Medida L = 16 "15 Medida M = 32 "7 1 Efectuar las
lecturas de las medidas indicadas en la regla de abajo: 8.2.3.
TRANSFORMACIN DE PULGADAS EN MILMETROS. Para transformar pulgadas
en milmetros, usted debe multiplicar el nmero presentado en
pulgadas por 25,4 mm. Es fcil llegar a esta conclusin: 1. Si 1 es
igual a 25,4 mm 5 ser igual a 5 veces 25,4 mm Cierto? 5 = 5 x 25,4
mm = ........................................... mm 2. 4 3 4,25 4 3
4 "3 x x .. mm 3. 0,8 = 0,8 x 25,4 mm =
........................................... mm 4.
................................... 8 11 8 "3 1 x
24. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
24 Observar los ejemplos del cuadro y compltelo convenientemente.
Pulgada Nmero x 25,4 mm mm 1 1 x 25,4 mm 25,4 mm 3 3 x 25,4 mm 76,2
mm 5 5 x 25,4 mm ............. 10 10 x
................................. ............. 2 "1 2 mm25,4 1
4,25 2 1 mm x 12,7mm 4 "3 mmxx 4 4,25 3 1 mm25,4 4 3 19,05 8 "7 2 8
4,25 23 1 mm25,4 8 23 mm xx .............. 16 "11
.................... 16 "11 x .............. Se ver ahora cmo se
hace el problema inverso, esto es. 8.2.4. TRANSFORMACIN DE
MILMETROS A PULGADAS. Para transformar milmetros en pulgadas, usted
debe dividir el nmero presentado en milmetros entre 25,4 y despus
multiplicar el resultado por 1 o fraccin equivalente, es decir: 128
"128 64 "64 ; 32 "32 ; 16 "16 ; 8 "8 ; 4 "4 ; 2 "2 Hacer esta
multiplicacin para obtener la fraccin de pulgada. Observar con
atencin los ejemplos y completar:
25. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
25 1. Transformar 50,8 mm a pulgadas: 2 4,25 8,50 8,50 4,25"1 mm mm
mmx mm 2.1 = 2 Rpta. = 50,8 mm = ....................... 2.
Transformar 12,7 mm a pulgadas: 5,0 4,25 7,12 mm mm 0,5 . 1 = 0,5 =
2 "1 2 "1 64 64 : 128 64 128 "128 .5,0 Rpta. = 12,7 mm =
........................... 3. Transformar 10 mm a pulgadas: mm mm
4,25 10 .................... ....................... x 1 =
....................... ................................ x
_________ ...... "50 128 "128 x Rpta. = 10 mm = 64 "25 Resolver los
ejercicios siguientes: Transformar: a) 21,2 mm a fraccin
irreductible de pulgada. mm mm 4,25 2,21 ................ x 1 =
............................
26. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
26 ............... x 128 "128 ................... Rpta. = 21,2 mm =
............. b) 2 mm a fraccin irreductible de pulgada: Rpta. =
2mm = .................... Para resolver estos problemas se
acostumbra usar REGLA PRACTICAS ver: TRANSFORMAR MILMETROS A
PULGADAS (NMERO DECIMAL) En este caso, se tendr que dividir el
nmero de milmetros entre......... Pues bien, dividir entre 25,4 mm
es lo mismo que multiplicar por 4,25 1 , De acuerdo? Como: 03937,0
4,25 1 , se puede escribir la primera regla prctica: Para
transformar milmetros a pulgadas representadas por nmeros
decimales, se multiplica los milmetros por
......................... obtenindose el resultado en pulgadas
(decimales). Ejemplo: Transformar 10 mm a pulgadas, representado en
nmero decimales. 10 x 0,03937 = 0,3937 Ejemplo: Transformar ahora
25 mm en fraccin decimal de pulgada. Rpta.
.......................
27. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
27 TRANSFORMAR MILMETROS A FRACCIN ORDINARIA DE PULGADA. Ahora
multiplicar por 04,5 4,25 128 , 128 128 4,25 1 comoperox se tiene
la segunda regla prctica. Luego: Para transformar milmetros a
fraccin ordinaria de pulgada, se multiplica los milmetros por 5,04
(numerador), y se coloca el resultado sobre el denominador 128.
Observar el ejemplo con atencin, que se entender mejor la segunda
regla prctica. Ejemplo: Transformar 10 mm a fraccin de pulgada: 64
"25 128 "50 128 04,510 x Rpta. ..................... Resolver ahora
aplicando la regla prctica. 1. Transformar 21,2 mm a fraccin
ordinaria de pulgada 128 "107 128 04,52,21 x 2. Transformar 2 mm a
fraccin de pulgada: Rpta. ...................
28. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
28 PROBLEMAS RESUELTOS 1. Una cuadrilla de trabajadores asfaltaban
en el mes de enero 3 km de una carretera, en febrero 3 hm 8m y en
el mes siguiente 14 dam 34m. Cuntos hectmetros de carretera se han
asfaltado en los tres meses? km hm dam m dm 3 0 3 0 8 1 4 3 4 Es
decir 34,82 hm 2. Cuntas varillas de 28 cm de longitud se pueden
obtener de una tira de madera de 5 m 6dm? hm dam M dm cm 0, 0 5 0 0
6 0 Es decir 560 cm, luego el nmero de varillas = 20 28 560 cm cm
3. Una lmina de acero de 29,343 cm de longitud se divide en 12
partes iguales. Cul es la longitud de cada parte, si en cada corte
se pierde 0,93 mm del material? Para obtener 12 partes se deber
hacer 11 cortes, pero en cada corte se pierde 0,93 mm del material.
Luego, por los 11 cortes se perder: 0,93 mm x 11 = 10,23 mm = 1,023
cm. Entonces quedar: 29,343 cm 1,023 cm = 28,32 cm
29. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
29 Por lo tanto, la longitud de cada parte ser: cm cm 36,2 12 32,28
4. Cuntos cuadraditos de 5 mm de lado se cuentan en una hoja cuyas
medidas son 20 cm de largo y 0,1 m de ancho? Largo 20 cm = 200 mm
Ancho 0,1 m = 10 cm = 100 mm rea de la hoja = (200 mm) . (100 mm) =
20 000 mm2 rea del cuadradito = (5 mm) . (5 mm) = 25 mm2 Por lo
tanto, el nmero de cuadraditos ser = 800 25 00020 2 2 mm mm 5. El
permetro de un rectngulo mide 1500 mm y el ancho mide 25 cm, Cunto
mide el largo del rectngulo, expresar la respuesta en dm? Permetro
del rectngulo = 2(l + a) =1500 mm, de lo cual (l +a) = 750 mm Como
el ancho mide 250 mm, el largo medir: 750 mm 250 mm = 500 mm. 6.
Convertir a fraccin de pulgada 92,075 mm. Aplicando la regla de
conversin: 8 5 3 8 29 128 464 128 04,5 075,92 pulgadas. 7. Una
cinta metlica esta graduada en pies, pero en forma errnea, de tal
manera que cuando mide 15 pies, en realidad su verdadera longitud
es 18 pies. Cul es la verdadera medida de una tira de madera de
6,25 pies? Si 6,25 pies = 6,25 x 12 pulg = 75 pulg
30. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
30 15 pies = 15 x 12 pulg = 180 pulg 18 pies = 18 x 12 pulg = 216
pulg Aplicando regla de tres simple directa, se tendr: 180 pulg
_________ 216 pulg 75 pulg _________ x Luego: x = 90 pulg 8. A qu
es equivalente 4 3 7 pulgadas en metros. lg75,775,07 4 3 7 4 3 7 pu
, que convertidos a mm dar: 7,75 x 25,4 mm = 196,85 mm; y expresado
en metros. 0,19685 m PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I CONVERSIN DE
UNIDADES DE LONGITUD 1. Convertir en cm: 0,36 dm; 312mm; 0,8m; 3,7
dm; 0,01 m; 62,8 mm; 0,68 dm 2. Convertir en dm: 3,21 m; 0,48 m ;
3,4 mm; 8,6 cm; 7,88 mm; 32, 08 m; 7,85 cm 3. Convertir en mm:
31. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
31 2,84 dm; 6,82 m ; 5,8 dm; 0,3 m; 6,76 cm; 0,685 m; 0,0045 dm 4.
Convertir en m: 2,84 dm ; 7621 cm ; 0,5 mm ; 7,8 cm ; 3,41 dm;
482,5 mm; 0,85 cm 5. Sumar en mm: 3, 42 m + 34 cm + 68, 1 dm + 34,
1 mm + 0,085m + 3,485 cm + 0, 05 dm 6. Sumar en cm: 3,42 m + 38 cm
+ 0,12 mm + 0, 03 dm + 0,045 m + 0,00875 dm + 22,2 cm 7. Restar en
m: 86, 4m 8,2 cm 3,45 cm 0,87 dm 0,0034m 0,082 dm 8. Un acero
cuadrado con 1430 mm de longitud se reduce en 138 cm. Qu longitud
tiene la pieza restante (en m)? 9. Los extremos de dos tubos de 420
mm y 38,2 cm de longitud se sueldan a tope entre s. Calcule la
longitud del tubo soldado en cm. 10. La distancia entre centros de
dos perforaciones de 44 y 23 mm de dimetros respectivos es de 318,5
mm. Cunto material queda entre las perforaciones? 11. Se quieren
poner dos soportes en un eje de 732 mm de longitud a tres
distancias iguales Qu longitud tienen los espacios? 12. En un
hierro plano de 5,81 m de longitud se quieren perforar 6 agujeros a
igual distancia entre si y de los extremos. Calcule dicha
distancia.
32. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
32 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II. 1. Efectuar y expresar en metros
la respuesta: 1,23 dam + 25,4 cm + 0,04 hm A) 52,554 m B) 16,554 m
C) 46,56 m D) 26,45 m E) 12,954 m 2. Efectuar y expresar en
milmetros la respuesta: 0,123 dm + 42,7 cm + 0,0057 m 240 mm A) 367
mmB) 20,5 mm C) 2040 mm D) 205 mm E) 248 mm 3. Cuntas varillas de
2,8 dm de longitud, se podrn obtener de una varilla de 5m 6 dm? A)
36 B) 18 C) 20 D) 40 E) 48 4. Se tiene una canaleta de 124,8 dm y
se corta los 3/8 de ella, Qu longitud queda? A) 7,8 m B) 0,078 8 m
C) 780 dm D) 7800 mm E) 78,8 dm 5. Cierta persona compr 123,45 dam
de cable elctrico, de los cuales vende 0,004 km, utiliza 1246 cm y
dona 340 dm. Cunto le queda? A) 116,5 dam B) 1184,04 m C) 11,84 dm
D) 1184 cm E) 116,52 m 6. La medida de la arista de un cubo es 0,52
m, Cul ser la suma de las medidas de todas sus aristas? A) 31,2 dm
B) 20,8 dm C) 41,6 dm D) 42,7 dm E) 62,4 dm 7. El permetro de un
hexgono regular mide 450 cm, Cunto mide cada lado? A) 0,75 cmB)
0,007 5 m C) 0,075 m D) 75 dm E) 0,75 m
33. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
33 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III-A 1. Calcular en centsimas de
hectmetro: 200 + 205,25m + 0,45km a) 660,33mb) 660,33cm c)
660,033mmd) 606,30m e) 660,33hm 2. De una pieza de madera de 10yd
7,62cm se ha obtenido trozos de 33cm cada una. Qu longitud falta
para completar un trozo ms, si en cada corte se pierde 1cm? a)
5,02cm b) 2,6cm c) 28,98cm d) 29,98cm e) 310,2cm 3. Del grfico
hallar: a+b+c+d. a) 123cm b) 20,23cm c) 19,8mm d) 10,2cm e) 310,2mm
4. Reducir a milsimas de dam: 12dam 6cm 20dm 11,5cm a) 12,620m b)
122,175cm c) 12217,5cm d) 12217,5mm e) 122,75cm 5. Si: A= 45,8cm
0,0428m; B= 0,82dm + 14,3cm. C= 2(A B)/3. Hallar el exceso de A
sobre C. a) 28,84cm b) 10,2cm c) 2,16cm d) 24,12cm e) 48,24c
34. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
34 6. Hallar el permetro de la figura: a) 158,342mm b) 159,524mm c)
162,412mm d) 222,25mm e) 222,5mm PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III-B
1. A cuntos centmetros equivale " 4 1 3 ? a) 2,54cm b) 10,2cm c)
8,255cm d) 6,72cm e) 9,28Cm 2. El equivalente de 127mm a pulgadas
es: a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 3 3. Indicar verdadero (V) o falso (F)
en las proposiciones. I. 13,56dm < > 1m 35cm 6mm II. 31,67m
< > 3Dm 16dm 7cm III. 5,608Hm < > 56Dm 8m IV. 2,24dm
< > 0,2m 24cm a) VVFF b) VVFV c) VVVF d) VVVV e) FVVF 4.
Cuntas partes de 16mm de longitud pueden cortarse de una barra de
14,696dm de longitud, usando una herramienta de 2,4mm de ancho sin
que sobre material? a) 8 b) 79 c) 80 d) 75 e) 87
35. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
35 5. Efectuar: 0,222dm + 48,5cm 0,025m 4,269dm a) 2,048dm b)
10,2dm c) 0,25dm d) 0,553dm e) 1,248dm 6. Cortando los 2/7 y los
3/5 de una varilla de cobre, la longitud de sta ha disminuido en
124cm. Cul era la longitud de la varilla en centmetros? a) 140 b)
120 c) 160 d) 144 e) 158 7. Cuntos centsimos de milmetro estn
contenidos en cuatro dcimos de metro? a) 200 b) 2 000 c) 20 000 d)
200 000 e) 20 8. Al dividir un listn de madera de 2,1 pies de
longitud, de tal manera que el trozo menor mida los de la longitud
del mayor. Dar la medida, en centmetros, del trozo mayor. a) 36,57
b) 36,576 c) 36, 574 d) 36, 5 e) 43 9. Hallar el permetro de la
figura en fraccin de pulgadas. 14,3 a) " 128 53 b) " 32 53 c) " 8 1
d) " 128 25 e) " 32 21 10. Convertir 2,04mm a fraccin ordinaria de
pulgada. a) " 8 1 b) " 16 1 c) " 64 7 d) " 64 5 e) " 8 3 0,24 mm
0,24 mm 2,34 mm 2,34 mm
36. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
36 11. Hallar el permetro de la regin sombreada. Si R = 2,4 mm 14,3
a) 31/64 b) 25/64 c) 29/32 d) 43/64 e) 19/32 12. Hallar la longitud
del contorno de la figura. a) 370,44mm. b) 342,32mm. c) 387,35mm.
d) 328,52mm. e) 387,24mm. 13. Hallar el radio de la circunferencia:
a) 1/32 b) 19/128 c) 7/16 d) 11/64 e) 7/32 14. 98 006 dm se puede
expresar como: a) 9 Km 7 Hm 6dm b) 8 Km 8 Hm 8dm c) 8 Km 7 Hm 8dm
d) 9 Km 8 Hm 6dm e) 9 Km 6 Hm 6dm r r R 8 1 3 2 1 4
37. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
37 UNIDAD 09 MEDIDAS DE TIEMPO
38. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
38 9.1. MEDIDA DE TIEMPO. En la antigedad, la vida del hombre no
era apresurada y sus relojes, de sol, de agua o de arena, carecan
de divisiones especiales para contar los minutos. Hasta principios
del siglo XVIII los relojes no tenan minutero, pero a comienzos del
siglo XIX aparece ya hasta el segundo. Qu puede ocurrir en una
milsima de segundo? Muchas cosas! Es verdad que, en este tiempo, un
tren solamente puede avanzar unos tres centmetros, pero el sonido
recorre ya 33 centmetros; un avin cerca de medio metro, la Tierra,
en este intervalo de tiempo, recorre 30 metros de su rbita
alrededor del sol, y la luz, 300 kilmetros. En la actividad laboral
y acadmica, por lo general, establecemos un registro del tiempo
empleado en la confeccin de un artculo, en los trabajos de taller,
para la investigacin, la elaboracin de un informe, la atencin al
cliente, etc. En Informtica hablamos de tiempo de acceso; en
fotografa, tiempo de exposicin; en el deporte, tiempo muerto; en
astronoma, tiempo sideral; en religin, tiempo litrgico; en
lingstica, tiempo compuesto como forma verbal, entre otros. Y tal
como otras magnitudes, los intervalos de tiempo pueden medirse.
Unidad Fundamental. Teniendo el marco del Sistema Internacional de
Unidades (SI), la unidad fundamental de la magnitud tiempo es el
SEGUNDO. MAGNITUD UNIDAD SMBOLO DEFINICIN DE LA UNIDAD Tiempo
segundo s Es la duracin de 9 192 631 770 perodos de la radiacin
correspondiente a la transicin entre los dos niveles hiperfinos del
estado fundamental del tomo de cesio 133
39. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
39 9.2. MULTIPLOS DEL SEGUNDO. Se tiene al MINUTO y a la HORA. El
instrumento para medir el tiempo se llama
....................................... El tiempo es la nica
magnitud no decimal del SI, por lo que para expresar la hora local
utilizando el segundo y sus mltiplos (minuto y hora) se recomienda
lo siguiente: 1. En la representacin numrica del tiempo se emplearn
las cifras arbigas (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) y se emplearn
nicamente los siguientes smbolos: h hora min minuto s segundo 2. El
tiempo se expresar utilizando dos cifras para indicar los valores
numricos de las horas, de los minutos y de los segundos, separados
de los smbolos de estas unidades mediante espacios en blanco y de
acuerdo al siguiente orden: Primero: HORA Segundo: MINUTO y
Tercero: SEGUNDO Ejemplo: 08 h 23 min 43 s ; 18 h 54 min 27 s 3.
Cuando el tiempo se exprese en horas, minutos y segundos, o en
horas y minutos, puede omitirse el ltimo smbolo respectivo.
Ejemplo: 05 h 11 min 20 s 05 h 11 min 20 00 h 39 min 08 s 00 h 39
min 08 23 h 42 min 18 h 42 15 h 15 h 4. Las 24 horas corresponden a
las 00 h 00 del da siguiente. Ejemplo: Las 24 horas del lunes,
corresponden a las 00 h del da martes. 5. Para escribir el tiempo
en horas, minutos y segundos, se recomienda usar el modo descrito
anteriormente, dejando de lado la forma antigua. Ejemplo:
40. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
40 Denominacin recomendada Denominacin antigua 08 horas 8 a.m. 15 h
30 min 15:30 h 15:30 p.m. 3 p.m. 12 h 12 m 23 h 42 23:42 h 11:30
p.m. 24 h 12 p.m. 6. Cuando se escriba una cantidad acompaada de
una unidad del SI, se recomienda escribir la cantidad seguida del
smbolo de la unidad y no del nombre del mismo, en especial cuando
se trate de documentos tcnicos. Ejemplo: Correcto Incorrecto 47 s
cuarenta y siete s 27 min veintisiete min RECOMENDACIONES PARA LA
ESCRITURA DE FECHAS EN FORMA NUMRICA a) En la representacin numrica
de fechas se utilizarn las cifras arbigas, es decir {0; 1; 2; 3; 4;
5; 6; 7; 8; 9}. b) Para expresar el ao se utilizarn cuatro cifras,
las que se escribirn en bloque. Cuando no exista riesgo de confusin
podr utilizarse slo dos cifras. Ejemplo: 2007 07 1998 98
41. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
41 Para expresar el mes se utilizarn dos cifras, desde 01 hasta 12.
Para expresar el da se emplear dos cifras, desde 01 hasta 31. Al
escribir la fecha completa, se respetar el orden siguiente:
Primero: AO Segundo: MES y Tercero: DA Adems se usar
preferentemente un guin para separarlos, tambin se puede usar un
espacio en blanco cuando no exista riesgo de confusin. Ejemplo:
2005-03-17 2005 03 17 98-09-23 98 09 23 c) Ejemplos de escritura de
fechas numricas Correcto Incorrecto 20 de marzo del 2007 2007-03-20
20-3-2007 25 de diciembre de 1998 1998-12-25 25 / 12 / 98 28 de
julio de 1821 1821-07-28 28 / VII / 1821 30 de abril de 2007
2007-04-30 2,007-04-30 15 octubre de 2003 2003-10-15 15 de octubre
de 2003 9.3. EQUIVALENCIA DE UNIDADES DE TIEMPO. El tiempo se mide
de la unidad ms grande a la ms pequea en: Milenio 1000 aos. Siglo
100 aos. Dcada 10 aos. Lustro 5 aos. Ao 12 meses, 365 das o 366 en
los aos bisiestos. (una vez cada 4 aos el mes de febrero tiene 29
das) Semestre 6 meses. Trimestre 3 meses. Bimestre 2 meses.
42. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
42 Mes 30 das (abril, junio, septiembre y noviembre). 31 das
(enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y diciembre). Quincena
15 das. Da 24 h 1440 min 86 400 s Hora 60 min 3600 s Minuto 60
segundos 9.4. OPERACIONES CON LA MEDIDA DE TIEMPO. ADICIN Operar:
07 h 45 min + 07 h 15 min + 02 h 14 min 04 h 50 min 09 h 59 min 11
h 65 min 12 h 05 min Ahora sumar: 5d 08h 20 min + 12 h 48 min Muy
bien, el resultado es: 5d 21h 08min Ahora sumar: 23d 18 h 20 min +
36 h 48 min El resultado ser: .. SUSTRACCIN. Operar: 16 h 50 min -
18 h 30 min - 17 h 90 min - 12 h 30 min 17 h 45 min 17 h 45 min 04
h 20 min 00 h 45 min Observar que no se puede restar 45 min de 30
min, por eso, usar el artificio de pedir prestado una unidad del
orden inmediato superior, en este caso, 1 h. Observacin: 05 h 30
min es diferente de 5,30 h Dado que: 05,3 h equivale a 05 h 18 min,
pues 0,3 de 60 min = 18 min
43. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
43 MULTIPLICACIN. Operar: 06 h 14 min 29 s 5__ 30 h 70 min 145 s 31
h 12 min 25 s 03 h 12 min 25 s ______ 18__ 54 h 216 min 450 s 57 h
43 min 30 s Ahora multiplicar: 5d 08h 20min 24s 12 el resultado es:
........................................................ DIVISIN.
Dividir: 28d 09h 35min 7 Muy bien, el resultado es: 4d 01h 22min 08
4/7s Dividir: 4d 13h 30min 20s 5 El resultado es:
................................................. EJERCICIOS Marcar
las respuestas correctas: 1. Sumar 07 h 25 min con 08 h 55 min 2.
Restar 17 h de 12 h 30 min
44. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
44 3. Utilizar los smbolos de acuerdo al ejemplo: Ejemplo: Diez
horas y cincuenta y cinco minutos 10 h 55 min a) Cinco horas y
cuarenta y cinco minutos b) Dieciocho horas y cinco minutos c)
Treces horas y media d) Doce horas y media 4. Escribir conforme al
ejemplo: Ejemplo: 07 h 15 min siete horas y quince minutos. a) 05 h
45 min b) 18 h 30 min 5. Indicar los valores que corresponden,
siguiendo el ejemplo: Ejemplo: 08 h 480 min 28 800 s a) 05 h 30 min
330 min b) 04 h 10 min c) 02 h 50 min d) 09 h 15 min 6.
Desarrollar: a) 05 h 40 min + 03 h 35 min b) 03h 35 min + 02 h 40
min c) 05 h 45 min + 55 min + 01h 25 min d) 08 h 12 min + 06 h 55
min + 01 h 45 min e) 03 h 35 min + 50 min + 03 h 25 min + 30 min f)
55 min 05 min + 09 h 23 min 56 s + 234 min 45 s 7. Una pieza
requiere 06 h 25 min, en el torno, 45 min en la fresadora y 01 h 30
min en el acabado. Calcular el tiempo total que requiere la pieza.
8. Realizar las siguientes sustracciones: a) 18 h 30 min 13 h 15
min b) 12 h 45 min 07 h 30 min c) 04 h 15 min 30 min
45. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
45 d) 03 h 20 min 50 min e) 12 h 07 h 30 min 9. El tiempo previsto
para ejecutar una pieza es de 17 h 15 min. Un trabajador pudo
hacerla trabajando desde las 07 h 50 min hasta las 11 h 15 min, y
desde las 12 h 45 min hasta las 16 h 30 min. Calcular la diferencia
entre el tiempo empleado y el tiempo previsto. 10. Completar el
cuadro: 01 min s 01h s 01h min 1d ..................... h 1 semana
..................... d 1 ao ..................... d 1 dcada
..................... aos 11. Colocar el signo igual (=) o
diferente () a) 07 h 45 min .................. 07,45 h b) 07, 45 h
... 07 h 27 min c) 12,30 h . 12 h 18 min d) 12 h 30 min . 12,30 h
e) 17,15 . 17 h 15 min f) 17 h 15 min . 17,25 h 12. Cada uno de los
8 funcionarios de una empresa trabajaron 24 d 5 h. Calcular el
total de tiempo trabajado por dichos funcionarios en das y horas (1
da laborable es 8 horas)
46. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
46 13. Una pieza fue fabricada en 4 perodos iguales. Si cada perodo
fue de 06 h 50 min, Cul es el tiempo empleado en la pieza? 14. Un
instalador hidrulico trabaja desde las 17 h hasta las 11 h 30 min,
y desde las 13 h hasta las 15 h. Despus de 6 das de trabajo. Cunto
debe recibir, si por hora cobra S/. 6? 15. Calcular los 3/5 de 2 d
05 h 20 min 16. Un obrero, en un mes, trabaja 22 d 2 h 40 min. Si
un segundo obrero ha trabajado la tercera parte de este perodo, Qu
tiempo ha trabajado el segundo obrero? (Trabajan 8 horas diarias)
17. Para pavimentar 8 salas, un grupo de operarios demor 15 d 6 h
30 min. Qu tiempo emplearn en pavimentar 3 salas, si se trabaja 08
h diarias? Muy Importante: Sera necesario memorizar las
equivalencias de los mltiplos del tiempo, segn esto, numerar la
segunda columna de acuerdo a la primera: (1) 1 ao ( ) 30 minutos
(2) media hora ( ) 100 aos (3) 3 minutos ( ) 3 meses (4) 1 siglo (
) 180 segundos (5) 1 bimestre ( ) 365 das (6) 1 trimestre Escribir
los meses que tienen 31 das:
47. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
47 Escribir (V) (F), si es verdadero o falso: Febrero tiene 31 das
( ) Un trimestre tiene 3 aos ( ) Un da tiene 24 horas ( ) Una hora
tiene 3600 segundos ( ) Un da tiene 1440 segundos ( ) Una semana
tiene156 horas ( ) Un ao tiene 4 trimestres ( )
48. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
48 PROBLEMAS RESUELTOS 1. Al mirar el reloj se observa que los 3/5
de lo que falta para acabar el da es igual al tiempo transcurrido.
Qu hora es? Da = 24 h x24rtranscurrifaltanquehoras
xdastranscurrihoras Luego: 85372)24( 5 3 xxxxx Es las 9 de la maana
2. Maruja trabaja 15 d 16 h 30 min, su hermana Palmira labora la
tercera parte de este periodo. Qu tiempo trabaja Palmira? min9060
min30551 3min301615 mi hdh hd Palmira trabaja 5d 5 h 30 min 3. Un
mnibus que va de Lima a Pisco recorre en cierto tramo 120 km a 2 h
40 min. Cuntos metros recorre por minuto en dicho tramo? 2h 40 min
= 160 min 120 km = 120 000 m Recorre por minuto min/750 min160
000120 m m 4. A qu es igual 121 207 segundos? 121 207 s : 60 s =
2020 min y 7s de resto 2020 min : 60 min = 33 h y 40 min de resto
33 h : 24 h = 1d y 9 h de resto 9 h 40 min 7 s
49. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
49 5. Un padre tiene 3 hijos cuyas edades son: Pedro: 15 aos 5
meses 6 das, Marisol: 7 aos 4 meses 8 das Roberto:4 aos 18 das,
Cunto suman las tres edades? 15 aos 5 meses 6 das 7 aos 4 meses 8
das 4 aos 18 das 26 aos 9 meses 32 das = 26 aos 10 meses 2 das 6.
Un mecangrafo ha empleado 3 h 16 min 18 s en hacer un trabajo.
Cunto necesitar para hacer 7 veces ms el mismo trabajo? 3 h 16 min
18 s x 8 24 h 128 min 144 s = 1 d (2 h 8 min) (2 min 24 ) 1 d 2 h
10 min 24 s 7. En una fbrica trabajan 14 operarios y cada uno de
ellos labor 25 d 4 h 35 min. Calcular el tiempo trabajado por
dichos operarios, considere 1 d = 8 h? 25 d 4 h 35 min x 14 350 d
56 h 490 min = 350 d (7 d) (8 h 10 min) 358 d 10 min 8. Seis
obreros pueden hacer una obra en 15 d 6 h, despus de 6 d de trabajo
se retiran 2 de ellos. Con qu atraso se entregar la obra? xobr
hhdobr hdobr 4 78696 6156 (como trascurren 6 d) hdh obr hobr x
514117 4 786 14 d 5 h 9 d 6 h = 4 d 7 h
50. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
50 9. Una persona naci el 15 de setiembre de 1986. En qu fecha
cumplir 36 aos 8 meses y 20 das de edad? 1986 aos 9 meses 15 d + 36
aos 8 meses 20 d 2022 aos 17 meses 35 d = 2023 aos 6 meses 5 d 10.
Una obra esta programada para hacerla en 12 h 18 min por un
trabajador. Este empieza la jornada a las 8 h 20 min y para a las
14 h 40 min para refrigerar. Si prosigue su labor a las 15 h 17 min
, A qu hora deber acabar su trabajo? 15 h 17 min - 14 h 40 min = 37
min de refrigerio Hora de inicio 8 h 20 min + Duracin del trabajo
12 h 18 min Refrigerio 37 min 20 h 75 min = 21 h 15 min
51. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
51 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I 1) Convertir en: a) horas: 312min;
6374 s; 3,2min; 6800min; 22850 s; 415min b) minutos: 32h; 4350h;
6,8h; 8400 s; 18215 s; 12h c) segundos: 21h; 320min; 7,3min;
4600min; 12860min; 15h d) decimals: 6h 36min; 12h 34min; 16h 48min
56 s; 46min 48 s e) h,min,s : 12,334h; 2,4h; 46,86h; 0,866h; 18,48h
f) restar: 143h 36min 18 s -45h 39min 26 s 2) Convertir en: a)
grados: 240' ;35' ; 4200; 31,2' ; 0,68' ; 0,42 ; 425' b) minutos:
360 ;38 ;4600 ; 38,6 ; 0,64 ; 172 ; 86 c) segundos: 314' ;56' ;
3800' ;68,2 ; 0,45 ; 0,012; 15 d) decimales: 64' ; 28; 12627'42 ;
3638'18 ; 42 12' 48 e) , ' , : 14,38 ; 6,3 ; 12,7 ; 0.38 ; 18,75 f)
sumar: 1446'+18134+378' + 9 12' 32 3) El tiempo de trabajo de una
maquina es de 1h 13 min 19 s. Reducir el tiempo a decimales. 4) En
32h 38min 42s se fabrican 4 piezas de trabajo iguales. Calcule el
tiempo para una pieza de trabajo. 5) En una pista se corren 12
vueltas en 1h 8min 36 s. Cunto tiempo fue necesario para dar una
vuelta?
52. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
52 6) Para trabajar una pieza hay que ajustarla en un angulo de 14
12' 56. Para el ajuste se requiere el ngulo en decimales. 7) La
suma de los dos ngulos de un triangulo es de 139 37' 4. Calcular el
tercer ngulo. PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II. 1. Me despert a las 7
h 32 min 14 s e ingres a Estudios Generales 12 432 segundos despus.
A qu hora ingres a estudiar? A) 9 h 59 min 27s B) 7 h 32 min 43 s
C) 3 h 29 min 50 s D) 10 h 59 min 26s E) 13 h 2 min 59 s 2. Cada da
de lunes a viernes, gan S/. 6 ms de lo que gan el da anterior. Si
el viernes gan el quntuple de lo que gan el lunes, Cunto gan el
jueves? A) 30 B) 25 C) 28D) 27 E) 24 3. La bajada de una montaa se
hace ordinariamente en los 4/5 del tiempo empleado en la subida. Si
una persona baj desde la cspide en 1 h 56 min y subi a razn de 50 m
cada 5 min, Calcular la altura de la montaa? A) 860 m B) 1160 m C)
1450 m D) 950 m E) 1830 m 4. Un elstico al ser estirado 3 cm vuelve
a su estado primitivo al cabo de 30 s. Si se estira 3 mm, Cunto
tiempo despus volver a su estado primitivo? A) 30 s B) 3 s C) 0,3 s
D) 5 s E) 4 s 5. Desde las 24 horas hasta este momento han
transcurrido 84 352 s, Qu hora es? A) 23 h 25m 51 s B) 23 h 25min
52 s C) 24h 25 min 52 s D) 22 h 32 min 25 s E) 21 h 23 min 35 s 6.
Una cuadrilla de trabajadores empieza a asfaltar una avenida el 4
de enero. Si asfaltan una cuadra en 4 das, En qu fecha se acaba la
obra, si la avenida tiene
53. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
53 43 cuadras? A) 05-26 B) 06-26 C) 07-26 D) 04-26 E) 07-25 7.
Expresar en das, horas, minutos y segundos: 31 183 625 s A) 114 d
22 h 07 min B) 360 d 22 h 07 min C) 360 d 20 h 07 min 05 s D) 866 d
20 h 07 min 05 s E) 368 d 22 h 07 min 8. Si a la mitad de los das
transcurridos en el ao, se le agrega 1/3 de los que falta para
acabarse, se obtiene el nmero de das transcurridos. En qu fecha
estamos?. Considerar ao no bisiesto. A) 05-25 B) 05-26 C) 05-27 D)
04-26 E) 04-27 9. En una oficina trabajan 14 empleados y cada uno
de ellos labor 25 d 04 h 35 min. Calcular el tiempo total de
trabajo de dichos empleados. Considerar 1 d: 08 horas de trabajo.
A) 357 d 05 h B) 358 d 40 min C) 358 d 10 min D) 357 d 49 min E)
358 d 06 h 10. Un tornero fabrica una matriz en 8 h 34 min 15 s, un
aprendiz lo hace en 20 h 45 min 15 s. Si cada uno debe fabricar 10
matrices en el taller, Cunto tiempo de ventaja le lleva el tornero
al aprendiz? A) 3 d 02 h 15 min B) 5 d 01h 40 min
54. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
54 C) 3 d 04 h 40 min D) 4 d 02 h 50 min E) 5 d 01 h 50 min 11.
Para construir un barco trabajan 120 soldadores; cada uno suelda 2
m2 en 05 h 30 min. Si el barco tiene una superficie total de 347
760 m2, En cunto tiempo estar listo el barco? A) 11 meses 2 d 01 h
30 min B) 11 meses 15 d 03 h 25 min C) 11 meses 04 d 15 min D) 10
meses 3 d 02 h 10 min E) 11 meses 28 d 10 h 15 min 12. Un cao llena
un depsito en dos horas, y estando lleno el desage lo vaca en tres
horas. En cunto tiempo se llenar el depsito si se abre el desage
dos horas despus de abrir el cao? A) 02 h B) 03 h C) 04 h D) 05 h
E) 06 h
55. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
55 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III Medida de tiempo 1. Un tren parte
a las 8 horas y 20 minutos para Hacer un recorrido de 500 Km. ; lo
que efecta en 16 horas y 40 minutos. Qu velocidad debe llevar un
segundo tren, que parte 2 horas y 58 minutos despus que el primero,
para que alcance a ste en una estacin situada a 156Km. Del punto de
partida? a) 20Km/h b) 30Km/h c) 40Km/h d) 50Km/h e) 60Km/h 2. Un
caracol sube por una pared, cada da logra ascender un metro, pero
cada noche baja 600 mm. Cunto tardar en llegar a lo alto de la
pared que mide 10m de altura? a) 22 das b) 23 das c) 24 das d) 25
das e) 26 das 3. En una casa encantada, un fantasma aparece en
cuanto empiezan a dar las 12, en el reloj de pared y desaparece en
cuanto a sonar la ltima campanada. Cunto dura la aparicin del
fantasma, si adems el reloj tarda 6 segundos en dar las 6? a) 10
seg b) 12 seg c) 13 seg d) 13,2 seg e) 15 seg 4. A que hora entre
las 2 y las 3, el horario y el minutero estarn en direcciones
opuestas? a) 2h 43min 38s b) 2h 23min 38s c) 2h 33min 38s d) 2h
43min 28s e) 2h 43min 18s 5. Qu tiempo tardar un auto en recorrer
1626 Hm con una velocidad de 60 Km/h? a)2,69h b)2h 42min 30s
c)2,72h d)2h 44min 36s e)2h 42min 36s
56. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
56 6. Carlos demora 12 minutos en comerse una pizza de 10cm de
radio Cunto demora en comerse una Pizza de 15cm de radio? a)18min
b)36min c)15min d)27min e)24min 7. Rosa ,Chabela, Margarita demora
15 minutos en limpiar ,1/3y 1/4 de su casa respectivamente. Si
juntas se ponen a limpiar todo su casa En que tiempo lo haran? a)
12/13 min b)15 12/13min c)15 11/13 min d) 12 11/13min e)13 11/13
min 8. Un ladrn arrebata una cartera a una seora escapndose con una
velocidad de 8 m/s y la seora la persigue a 3 m/s . Cuando el ladrn
ha sacado 120 m de ventaja, lo atrapa un polica Qu tiempo demor la
fuga del ladrn? a) 32s b)15s c)24s d)18s e)30s 9. En 7 horas 30
minutos una costura puede confeccionar un pantaln y 3 camisas, o
dos pantalones y una camisa En cunto tiempo puede confeccionar un
pantaln y una camisa? a)3h b) 3h 30min c) 4h d) 4h 30min e) 5h 10.
A cunto equivale 3,5 trimestres: a) 3m b) 2m 1d c) 40d d) 1m 15d e)
6m 2d 11. Un padre tiene 30 aos y su hija 3 Dentro de cuntos aos la
edad de padre ser el cudruple de la edad de su hija? a)15aos b)
3aos c) 5aos d) 6aos e)10aos
57. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
57 UNIDAD 10 RAZONES Y PROPORCIONES
58. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
58 10.1. RAZN. Es la comparacin que se establece entre dos
cantidades de una magnitud mediante las operaciones de sustraccin o
divisin. 10.2. TIPOS DE RAZONES. RAZN ARITMTICA. Es la comparacin
de dos cantidades que se obtiene mediante la sustraccin, y consiste
en determinar en cunto excede una de las cantidades a la otra.
APLICACIONES: 1. Hallar la razn aritmtica de: a) Las edades de Adn
y Eva que son de 20 aos y 11 aos. Rpta. 9 aos. b) Los precios de
dos artculos son S/. 1,40 y S/. 3,60. Rpta. S/. 2,20
59. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
59 2. La diferencia entre las temperaturas de dos cuerpos es 20 C,
si la menor temperatura marca 50 C, cul es la mayor temperatura?
Rpta. 70C 3. La edad del padre excede en 24 aos a la edad del hijo,
y ste tiene 40 aos. Hallar la edad del hijo. Rpta. 16 aos. 4. La
razn aritmtica de dos nmeros es 15, si el menor es 30. Hallar el
nmero mayor. Rpta. 45. RAZN GEOMTRICA. Es la comparacin de dos
cantidades mediante el cociente. APLICACIONES: 1. La diferencia de
dos nmeros es 280 y estn en la relacin de a 3. Hallar el mayor
nmero. Rpta. 490. 2. Las edades de dos personas son: 20 aos y 12
aos, En qu relacin estn sus edades? Rpta. 5 / 3. 3. De dos nmeros,
cuya razn aritmtica es 19, y su suma es 35. Hallar la razn
geomtrica. Rpta. 27/ 8.
60. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
60 4. La razn aritmtica de dos nmeros es 26, y la razn geomtrica es
3. Hallar el menor nmero. Rpta. 13. 10.3. PROPORCIN. Es el
resultado de comparar dos razones. 10.4. CLASES DE PROPORCIONES.
PROPORCIN ARITMTICA (P.A.) (Equidiferencia). A) PROPORCIN ARITMTICA
DISCRETA . Los cuatro trminos de la proporcin son diferentes: a b c
d. El 4 trmino (d) de la proporcin se llama: CUARTA
DIFERENCIAL.
61. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
61 B) PROPORCIN ARITMTICA CONTINUA. Los trminos medios son iguales.
El 3 trmino (c) de la proporcin se llama: TERCERA DIFERENCIAL.
MEDIA DIFERENCIAL o MEDIA ARITMTICA b a + c 2 Trminos 1 2 2 3 a b =
b c = r PROPORCIN GEOMTRICA (P.G.) (Equicociente). A) PROPORCIN
GEOMTRICA DISCRETA. Los cuatro trminos son diferentes: a b c d El 4
trmino (d) de la proporcin se llama: CUARTA PROPORCIONAL B)
PROPORCIN GEOMTRICA CONTINUA. Los trminos medios de la proporcin
son iguales. El 3 trmino (c) de la proporcin se llama: TERCERA
PROPORCIONAL.
62. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
62 ____ MEDIA PROPORCIONAL o MEDIA GEOMTRICA b = a. c 10.5.
PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES. 10.6. ESCALAS GRFICAS. La ESCALA
es la razn entre la longitud representada en un plano y la longitud
en tamao real.
63. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
63 La ESCALA es una fraccin con numerador unitario. El denominador
indica las veces que se repite el numerador para obtener la medida
o dimensin real. ESCALA = Longitud en el plano Longitud del tamao
real Tamao real =4,50 m Tamao en el plano = 0,09 m REPRESENTACIN. 1
:100 indica: 1 mm de trazo en el papel es a 100 mm de longitud real
1/100 indica: 1 cm de trazo en el papel representa 100 cm de
longitud real 1 indica: 1 m de trazo en el papel representa 100 m
de longitud real 100 PROBLEMAS DE APLICACIN: 1. Cuntos centmetros
representa en el papel un puente de 45,00 m de largo, si el dibujo
se hace a una escala de 1 : 750? Rpta. 6 cm
64. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
64 2. En un plano a escala 1 : 50 , se observa que las dimensiones
del dormitorio son de 3 cm de ancho por 4 cm de largo. Cules son
las dimensiones reales del dormitorio? Rpta. 1,5 m.; 2,0 m. 3. La
distancia grfica entre dos ciudades en un plano a escala 1 : 2 500
es 20 cm. Hallar la distancia grfica en otro plano a Escala 1 : 10
000. Rpta. 5 cm 4. Completar el siguiente cuadro y hallar X, Y, Z,
W, P, Q y R, en las unidades medidas: N ESCALAS DISTANCIA GRFICA
DISTANCIA REAL 1 1 : 20 X mm 2,40 m 2 1 : 25 5 cm Y m 3 1 : 50 5 cm
Z cm 4 1 : 75 W mm 0,02 km 5 1 : 100 6,5 m P cm 6 1 : 150 4 cm Q km
7 1 : 200 R mm 0,54 m Solucin de la aplicacin, completando el
cuadro: N ESCALAS DISTANCIA GRFICA DISTANCIA REAL 1 1 : 20 120 mm
2,40 m 2 1 : 25 5 cm 1 3/8 m 3 1 : 50 5 cm 262,5 cm 4 1 : 75 3 750
mm 0,020 km 5 1 : 100 6,5 m 65 000 cm 6 1 : 150 4 cm 0,006 km 7 1 :
200 27 mm 0,54 m
65. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
65 PROBLEMAS RESUELTOS. 1. La razn de dos nmeros es 6/5, y la suma
de dichos nmeros es igual a 33. Cules son estos nmeros? A) 20; 13
B) 18; 15 C) 16; 17 D) 30; 3 E) 16; 13 2. En un concurso de tiro,
Antonio acert 50 sobre 75 tiros; Pepe 70 sobre 90 tiros ; y Ricardo
48 sobre 60 tiros. Quin logr mayor razn de tiros acertados? A) Pepe
B) Ricardo C) Antonio D) Igual Antonio y Pepe E)Faltan datos. 3.
Una pieza de franela de 72 m de longitud se ha dividido en dos
partes, cuya diferencia es de 18 m. Hallar el precio de la parte
mayor, si el precio por metro es de S/. 8. A) 352 B) 216 C) 208 D)
360 E) 192 4. Se tienen dos barriles que contienen 400 litros y 500
litros de vino respectivamente. Cuntos litros de vino se debe de
pasar del primer al segundo barril, para que las cantidades de vino
en cada barril estn en la relacin de 2 a 3? A) 68 B) 30 C) 80 D) 40
E) 100 5. Cuntos centmetros representa en el papel un puente de
43,20 m de largo, si el dibujo se hace a una escala de 1 : 720 ? A)
2 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 5 cm E) 100 cm 6. Un objeto se dibuja a
escala de 1 : 30 , y tiene una altura de 0,40 m ; si se desea
dibujarlo a una escala de 1 : 20, Cul ser su altura? A) 80 cm B) 40
cm C) 200 cm D) 60 cm E) 100 cm 7. S: A = B = C y A+B=30 Cuanto
vale C? 2 8 7 A) 12 B) 18 C) 21 D) 30 E) 42
66. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
66 8. La suma, la diferencia y el producto de dos nmeros estn en la
misma relacin que los nmeros 11 ; 5 y 144. Hallar el mayor dichos
nmeros. A) 15 B) 48 C) 60 D) 52 E) 24 9. El producto de los
antecedentes de una serie de 3 razones iguales es 288, y el
producto de los consecuentes de dicha serie es 2 304. Cul es la
suma de los consecuentes, si la suma de los antecedentes es 21? A)
42 B) 90 C) 91 D) 32 E) 62 10. Un empleado ahorra S/. 5 940 por da;
si lo que cobra y lo que gasta diariamente est en la relacin de 13
a 7. Determinar en cuntos soles debe disminuir sus gastos diarios
para que la relacin entre lo que cobra y lo que gasta sea de 9 a 2.
A) S/. 2 035 B) S/. 4 070 C) S/. 5 040 D) S/. 4 505 E) S/. 6 015
SOLUCIN DE LOS PROBLEMAS 1. Sean A y B los nmeros 2. A : Antonio ;
P : Pepe ; R : Ricardo
67. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
67 3. Sean A y B las dos partes de la tela 4. 400 X = 2 X=40 Rpta.
D 500 + X 3 5. Escala = Longitud en el plano Longitud de tamao real
6. H = altura real del objeto ; X = tamao del objeto en el dibujo
7. A = B = C = k 2 8 7 8. A + B = A B = A x B = k 11 5 144
68. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
68 9. A = C = E = k B D F 10. Sea: C = cobra ; G = gasta ; A =
ahorra
69. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
69 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I 1. En un corral hay N aves (patos y
gallinas). Si el nmero de patos es a N como 3 es a 7; y la
diferencia entre patos y gallinas es 20. Cul ser la relacin entre
patos y gallinas, luego de retirar 50 gallinas? A) 4 : 3 B) 2 : 1
C) 3 : 4 D) 3 : 20 E) 2 : 3 2. En una reunin hay 60 adultos, y por
cada 5 jvenes hay 7 nios. Luego llegan a la reunin 50 jvenes, 40
nios y cierto nmero de adultos. Cuntos adultos llegaron al final,
si los jvenes nios y adultos son ahora proporcionales a 5; 6 y 8
respectivamente? A) 150 B) 160 C) 170 D) 180 E) 190 3. La cantidad
de dinero que tiene A es a lo que tiene B como 7 es a 3. Si A le da
a B la quinta parte de su dinero; y luego B le da a A la cuarta
parte de lo que tiene ahora. Al final A tiene S/. 3 350. Cunto de
dinero tena A al principio? A) S/. 2 800 B) S/. 3 000 C) S/. 3 200
D) S/. 3 500 E) S/. 4 000 4. En una carrera a dos vueltas sobre un
circuito cerrado, A le gan a B por 1/2 vuelta; y B le gan a C por
1/4 de vuelta. Cuando A llega a la meta, hallar la fraccin de
vuelta con que B aventaja a C.
70. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
70 A) 1 / 4 B) 3 / 16 C) 1 / 5 D) 3 / 8 E) 1 / 8 5. La suma de los
cuadrado de los 4 trminos de una proporcin geomtrica continua es 7
225. Hallar la media proporcional, si la diferencia de extremos es
75. A) 85 B) 55 C) 80 D) 10 E) 20 6. En un tonel hay una mezcla de
63 litros de agua y 36 litros de vino, se extraen 22 litros del
contenido y se aade al recipiente N litros de vino para tener
finalmente una mezcla cuya relacin es de 1 a 3 respectivamente.
Hallar el valor de N. A) 80 B) 60 C) 110 D) 119 E) 120 7. A es la
tercera proporcional de 24 y 12; B es la cuarta proporcional de 56,
7 y 64; C es la media proporcional de 256 y 4. Halle la cuarta
proporcional de B, A y C. A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) 25 8. Cierto
nmero de canicas se divide en tres grupos, cuyos nmeros son
proporcionales a los nmeros 5, 7 y 11 respectivamente. Si del
tercer grupo pasa al segundo grupo 8 canicas; en el tercer grupo
queda el doble de lo que hay en el primer grupo, Cuntas canicas hay
finalmente en el segundo grupo?
71. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
71 A) 50 B) 54 C) 58 D) 62 E) 64 9. Sean A y B dos cantidades: A es
la cuarta proporcional de 12; 5 y 16, B es la media proporcional de
1 y 81. La correcta relacin de orden entre A y B es: A) A < B B)
A = B C) A > B D) A +1= R E) A2 < B 10. Se desea preparar una
solucin utilizando los componentes lquidos A, B y C en la proporcin
de 2; 5 y 8. Pero para preparar la solucin le faltan 2 litros del
componente B y 2 litros del componente C; los cuales son
remplazados por el componente A, siendo la proporcin final obtenida
de 2; 3; X. Hallar X. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
72. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
72 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II 1. Se quiere cortar un tubo de
acero de 2,75 m de longitud en razn directa de 2:3. Calcular las
longitudes parciales. 2. El dimetro y la longitud de un eje estn en
razn directa de 2:7. El dimetro del eje es de 40 mm. Calcular la
longitud del eje. 3. Los brazos de una palanca de 1,75 m de
longitud estn en relacin directa de 3:7. Cul es la longitud menor
cuando para la otra se miden 1,48 m.? 4. Una chapa de acero de 800
x 1400 mm ha de ser representada en un dibujo en la proporcin de
1:20 Qu longitud tendrn los lados en el dibujo? 5. La escala de un
mapa automovilstico es de 1:500 000. Qu longitud natural
corresponde al trayecto de 4,5 cm medido en el mapa? 6. Un trayecto
de 2,875 Km de longitud est representado en un mapa con 11,5 cm.
Determinar la escala del mapa. 7. Un letrero advierte Pendiente de
5% en 1200 m . Calcular la altitud a superar. 8. El dimetro y la
longitud de un cono estn en razn directa de 1:10. Calcular el
dimetro correspondiente a la longitud de 150 mm. 9. Una chaveta
tiene una razn de inclinacin de 1:20. Qu altura corresponde a una
longitud de chaveta de 140 mm?
73. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 73 UNIDAD 11 MAGNITUDES PROPORCIONALES
74. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 74 11.1. MAGNITUD. Es todo aquello susceptible de
variacin (aumento o disminucin) y que puede ser medido. 11.2.
CANTIDAD. Es el valor de un estado particular de la magnitud, posee
dos partes: valor numrico y unidad. MAGNITUD CANTIDAD Tiempo 60 h
Longitud 15 m Temperatura 35 C Masa 40 kg 11.3. CLASIFICACIN DE
MAGNITUDES. 11.3.1. Magnitudes Directamente Proporcionales ( D.P.
). Se sabe que al abastecer un carro en un grifo, cuanto ms
gasolina se coloque en el tanque, ms soles pagar. Para tener una
idea, basta observar en el cuadro de abajo, suponiendo que el
precio de la gasolina por galn sea de S/. 8. GASOLINA (GALONES)
PRECIO (S/.) 1 8,00 2 16,00 5 40,00 10 80,00 15 120,00 30 240,00 Al
colocar 1 galn de gasolina, se pagar S/. pero, si se colan 15
galones de gasolina, el precio ser 15 veces mayor, o sea; 15 x 8.00
que es igual a S/. ..
75. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 75 As, si se aumenta la magnitud gasolina, la otra
magnitud precio (soles) aumentar el mismo nmero de veces, o sea,
las magnitudes varan en el mismo sentido. Por tanto, dos magnitudes
son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES: Cuando al aumentar o disminuir los
valores de una de ellas los valores correspondientes en la otra
magnitud tambin aumentan o disminuyen en la misma proporcin.
Ejemplo de magnitudes directamente proporcionales: Nmero de libros
y costo total. Si se compran libros, cada uno a S/. 2 (precio
constante); a mayor cantidad de libros el costo total ser mayor,
pero; si compra menor cantidad de libros el costo total ser menor.
Adems, se verifica que la razn entre el nmero de libros y el costo
total es CONSTANTE, esto es, la razn tiene siempre el mismo valor
(0,25). 25,0 4 1 25,0 16 4 25,0 96 24 25,0 12 3 Entonces se puede
escribir: 25,0 12 3 96 24 16 4 4 1 Interpretacin geomtrica.
76. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 76 Conclusin. Si: I. La grfica de 2 magnitudes D.P. es
una recta que pasa por el origen de coordenadas. II. En cualquier
punto de la grfica (excepto en origen de coordenadas) el cociente
de cada par de valores correspondiente resulta una constante. III.
La funcin de proporcionalidad directa ser: F(X) = K x K: pendiente
(constante) 11.3.2. Magnitudes Inversamente Proporcionales ( I.P 1
). Dos magnitudes son INVERSAMENTE PROPORCIONALES cuando al
aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores
correspondientes en la otra magnitud disminuyen o aumentan en la
misma proporcin. Observar el cuadro que representa las velocidades
de un auto y el tiempo empleado en recorrer una misma distancia:
Disminuyendo la velocidad del auto, aumentar el tiempo empleado,
luego la velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente
proporcionales. Observar, que el producto de dos valores
correspondientes (velocidad y tiempo) es siempre el mismo. 90 x 2 =
180 ; 60 x 3 = 180 ; 45 x 4 = 180 ; 36 x 5 =180 VELOCIDAD TIEMPO 90
km/h 2 horas 60 km/h 3 horas 45 km/h 4 horas 36 km/h 5 horas
77. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 77 x K )x(F Se puede finalmente concluir que:
Interpretacin Geomtrica: Conclusin. Si: B"I.P.""A"
BdevalorxAdevalor Constante Importante: I. La grfica de dos
magnitudes I.P. es una rama de una hiprbola equiltera. II. En
cualquier punto de la grfica el producto de cada par de valores
correspondientes, resulta una constante. III. La funcin de
proporcionalidad inversa ser: K: constante PROPIEDADES: I. Si : A
D.P. B B D.P. C A D.P. C II. Si: A I.P. B A D.P. 1 B o: A D.P. B A
I.P. 1 B
78. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 78 tetanCons dificultadxobra h/dxdasNxeficienciaxobrerosN
III. Si: A D.P. B ( C es constante) A D.P. C ( B es constante) A K
B x C IV. Si: A I.P. B ( C es constante) A I.P. C ( B es constante)
A x B x C = K
79. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 79 PROBLEMAS RESUELTOS 1. La magnitud A es D.P. a la
magnitud B cuando A= 51, B = 3. Hallar el valor que toma B, cuando
A = 34. Resolucin: Se debe plantear: 2 2 1 1 B A B A x 34 3 51 X =
2 2. Del siguiente grfico de magnitudes proporcionales, calcular (a
+ b) Resolucin: Se debe plantear: 5 3 85 5124 10 b a a = 6 ; b = 40
; a + b = 46
80. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 80 Das I.P. Rapidez 3. La magnitud A es I.P. a B , adems
cuando A es igual a 6 entonces B es igual a 16. Halle B cuando A es
igual a 4. Resolucin: Se debe plantear: 2211 BABA x4166 x = 36 4.
El precio de una casa es directamente proporcional al rea e
inversamente proporcional a la distancia que se encuentra de Lima.
Si una casa ubicada a 65 Km cuesta S/. 135 000. Cunto costar una
casa del mismo material, si su rea es el doble y se encuentra a 120
Km de distancia de Lima? Resolucin: k rea distanciaprecio )( ))(( ,
( k = constante ) Entonces: 2s (120).)( s (65).000)180( x x = 295
000 5. Si A es el triple de rpido que B. Si juntos pueden hacer
cierto trabajo en 12 das. Cunto tiempo le tomar a A hacerlo slo?.
Resolucin: Sea R rapidez: RA = 3 RB (Das) . (Rapidez) = cte
Reemplazando valores: ( RA + RB ) x 12 = RA x X ( 3RB + RB ) x 12 =
3 RB x X 4 RB x 12 = 3 RB x X Simplificando: X = 16
81. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 81 EJERCICIOS DE REFUERZO Seguir los modelos para decir
si las series siguientes representan sucesin de nmeros directa o
inversamente proporcionales: a) Valores de magnitud Q: 6 1 8 48 0,1
Valor de magnitud R: 4 24 3 0,5 240 b) Valores de magnitud M: 0,4
10 16 13 0,1 2,5 18 Valor de magnitud N: 2,4 60 96 78 0,6 15 108
Resolver los ejercicios para fijar lo que estudi sobre magnitudes
proporcionales. 1. Observar los ejercicios siguientes y responder:
Valor de magnitud x : 5 2 10 1 0,4 Valor de magnitud y : 8 20 4 40
100 Cmo se denominan las magnitudes x e y? 2. Completar: Valor de
magnitud A : 7 3 5 9 Valor de magnitud B : 28 12 .. .. Cmo se
denominan las magnitudes A y B? 3. En estos ejercicios se tiene
valores correspondientes a dos magnitudes directa o inversamente
proporcionales. Completar conforme el caso: a) Valor de magnitud y
: 10 25 2 . 5 Valor de magnitud z : 20 8 . 4 . b) Valor de magnitud
x : 2 3 1 24 0,5 69 90 7 Valor de magnitud y : 6 9 . . . . . . c)
Valor de magnitud A : . . 7 . . . . . Valor de magnitud B : 20 40
35 100 10 8 45 15
82. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 82 d) Valor de magnitud M : 6 1 8 48 ... Valor de
magnitud R : 4 . 3 . 240 Corregir respuestas: 1. 5 x 8 = 2 x 20 =
10 x 4 = 1 x 40 = 0,4 x 100 = 40 Rpta.: inversamente proporcional.
2. 5 9 20 36 Rpta. directamente proporcional 3. a) 2 50 5 100 4 40
b) 3 72 1,5 207 270 21 c) 4 8 7 20 2 1,6 9 d) 4 24 3 0,5 0,1 11.4.
REPARTO PROPORCIONAL. Consiste en distribuir una cantidad en partes
proporcionales a ciertos nmeros llamados ndices del reparto; ya sea
en forma directa o inversamente proporcional. 11.4.1. TIPOS DE
REPARTO. A. REPARTO SIMPLE DIRECTO: Cuando las partes a obtener son
proporcionales a los ndices. Ejemplo: Repartir 400 en 3 partes que
sean proporcionales a 2, 3 y 5.
83. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 83 Resolucin: Las partes sern: 2k , 3k y 5k las cuales
deben sumar 400, entonces: 2 k + 3 k + 5 k = 400 K ( 2 + 3 + 5 ) =
400 K = 40 Suma de ndices Constante de reparto Ahora, damos lo que
le toca a cada uno: 2 (40) = 80 ; 3 (40) = 120 ; 5 (40) = 200 Mtodo
Prctico: PARTES D.P. A 2k 400 B 3k + k = 400 = 40 10 C 5k 10k
Luego: A = 2 (40) = 80 ; B = 3 (40) = 120 ; C = 5(40) = 200
Observacin: Si a los ndices de un reparto, se dividen o multiplican
por un mismo nmero positivo, el reparto no varia es decir se
obtiene las mismas partes. Ejemplo: Repartir 470 en 3 partes que
sean proporcionales a los nmeros: 5 ; 3 ; 3 6 8 4 Resolucin: Es
conveniente que los nmeros proporcionales sean enteros, entonces
buscamos nmeros que estn en la misma relacin que las fracciones;
para ello es necesario considerar el MCM de los denominadores, para
multiplicar a los ndices. MCM ( 6 ; 8 ; 4) = 24
84. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 84 10 47 470 K PARTES D.P A : 6 5 x = 20 k 470 B : 8 3 x
= 9 k C : 4 3 x = 18 k 47 k Luego las partes sern: A = 20 (10); B =
9 (10); C= 18 (10) B. REPARTO INVERSO. Recordando que: ( A IP B ) (
A DP 1 ) B Inversamente Directamente Proporcional Proporcional
Entonces para repartir una cantidad en forma inversamente
proporcional a ciertos ndices, es suficiente repartir directamente
proporcional a las inversas de los ndices: Ejemplo: Repartir 390 en
3 partes que sean inversamente proporcionales a los nmeros de 6 ; 9
y 12. Resolucin: Partes I.P. D.P. A : 6 1 x 36 = 6 k 6 390 B : 9 1
x 36 = 4 k k = 390 = 30 9 13 C : 12 1 x 36 = 3 k 12 13 k Las partes
sern: A = 6 (30) = 180; B = 4 (30) = 120; C = 3 ( 30) = 90 24 24
24
85. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 85 C. REPARTO COMPUESTO. Se da cuando el reparto se hace
en partes que son proporcionales a varios grupos de ndices.
Recordar: Si: A D.P. B y tambin con C , entonces A D.P. (B x C).
EJEMPLO: Repartir 2 225 en 3 partes que sean D.P. a los nmeros: 3 ,
5 y 8 e I.P. a los nmeros 4, 6 y 9. Resolucin: MCM ( 4, 6, 9 ) = 36
Partes D.P. I.P. D.P. A : 3 4 1 3 x 1 = 3 x 36 = 27k 4 4 4 2 225 B
: 5 6 1 5 x 1 = 5 x 36 = 30k k = 2225 = 25 6 6 6 89 C : 8 9 1 8 x 1
= 8 x 36 = 32k 9 9 9 89k Las partes son: A = 27 (25 ) = 675 ; B= 30
( 25 ) = 750 y C = 32 ( 25 ) = 800 REGLA PRCTICA PARA EFECTUAR UN
REPARTO COMPUESTO Primero : Se convierte la relacin I.P. a D.P.
Segundo: Los grupos de los ndices D.P. se multiplican. Tercero : Se
efecta el reparto simple directo a los nuevos ndices.
86. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 86 PROBLEMAS RESUELTOS 6. Repartir el nmero 32 en partes
D.P. a los nmeros 3, 5 y 8 Resolucin: Partes D.P. A : 3 3 k 32 B :
5 5 k k = 32 = 2 16 C : 8 8 k 16 k Las partes son: A = B = . C =
Luego los valores que satisfacen al problema son: 6 , 10 y 16. 7.
Repartir el nmero 63 en partes D.P. a los nmeros 2, 3 y 4.
Resolucin: Partes D.P. A : . . 63 B : . . k = C : . .. Luego los
valores son: A = .., B = , C = Comparar respuestas: 6) A = 3 ( 2 )
= 6 , B = 5 ( 2 ) = 10 , C) = 8 ( 2 ) = 16 DP 7) : 2 2 k . : 3 3 k
+ k 63 7 : 4 4 k 9 9 k las partes son: A = 2 ( 7 ) = 14 , B = 3 ( 7
) = 21 y C = 4 ( 7 ) 28
87. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 87 Resolver: 8. Una firma instituye un premio de S/. 470
para ser distribuido entre sus trabajadores en orden inverso a las
faltas de los mismos. Al final del semestre ste debe distribuirse
entre tres trabajadores que tienen 3, 5 y 4 faltas,
respectivamente. Cunto recibe cada uno? 9. Una mezcla de bronce
tiene 5 partes de cobre, 3 de estao y 2 de zinc. Cuntos Kg. de cada
metal sern necesarios para preparar 40 Kg. de esa mezcla? Corregir:
8) Partes I.P. D.P. , MCM ( 3, 5 4 ) = 60 A : 3 1 x 60 = 20 k 3 470
B : 5 1 x 60 = 12 k + k = 470 = 10 5 47 C : 4 1 x 60 = 15 k 4 47 k
Las partes sern: A = 20(10 ) = 200 ; B = 12 (10) = 120 ; C = 15 (
10) = 150 9) DP : 5 5 k 40 : 3 3 k + k = 40 = 4 : 2 2 k 10 10 k Las
partes son: A = 5 ( 4 ) = 20 Kg cobre B = 3 ( 4 ) = 12 Kg estao C =
2 ( 4 ) = 8 Kg zinc
88. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 88 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I 1. Se tienen dos
magnitudes A y B, tales que: 3 A es I.P. a B. Si cuando A = 8, B =
6. Hallar A, si B = 2. A) 218 B) 212 C)216 D) 220 E) 228 2. Si el
peso de un elefante blanco es D.P. a sus aos, si un elefante
tuviera 360 Kg, entonces su edad sera 32 aos. Cuntos aos tendr
sabiendo que pesa 324 Kg? A) 28A, 294 D B) 27A, 280D C) 27A, 294D
D) 28A, 292D E) 30 3. El rea cubierta por la pintura es
proporcional al nmero de galones de pintura que se compra. Si para
pintar 200 m2 se necesitan 25 galones. Qu rea se pintar con 15
galones? A) 367 B) 300 C) 100 D) 320 E) 120 4. Manolo descubre que
los gastos que hace en celebrar su cumpleaos son D.P al nmero de
invitados e I.P. a las horas que ocupa en preparar la reunin. Si la
ltima vez gast S/. 1 200; invit a 100 personas y ocup 12 horas.
Cunto ahorrar invitando 20 personas menos y ocupando 4 horas ms? A)
480 B) 230 C) 460 D) 320 E) 485 5. Una rueda A de 60 dientes
engrana con otra de 25 dientes. Fija al eje de esta ltima hay una
tercera de 40 dientes que engrana en una rueda B de 75 dientes. Si
A da una vuelta cada 2/3 segundos. Cuntas vueltas dar B en 2 horas
30 minutos? A) 36750 B) 17280 C) 46000 D) 32000 E) 48000 6.
Repartir 22 270 inversamente proporcional a 5(n + 2) ; 5(n + 4) ;
5(n + 5) . Dar como respuesta la menor de las 3 partes. A) 3675 B)
2300 C) 4600 D) 3200 E) 4800
89. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 89 7. Repartir N directamente proporcional a los nmeros
32 ; 72 ; 162 obteniendo que la media geomtrica de las partes
obtenidas es 4/19 de N ms 578. Hallar N. A) 3600 B) 2300 C) 2100 D)
4200 E) 1800 8. Una herencia dejada por un padre a sus tres hijos
se reparti I.P. a sus edades siendo; 12 ; n ; y 24 aos si el
reparto hubiera sido D.P. a sus edades, el que tiene n aos hubiera
recibido los 13/12 de lo que recibi. Calcular el valor de n. A) 13
B) 18 C) 15 D) 16 E) 17 9. Al repartir 22 050 directamente
proporcional a las races cuadradas de los nmeros 7,2; 9,8 y 12,8.
En cunto excede la parte mayor a la parte menor? A) 3600 B) 2300 C)
2100 D) 4200 E) 1800 10. Repartir 33 000 en 4 partes que sean D.P.
a los nmeros. ;;; 8 3 3 1 7 3 0,5; indicar una de las cantidades.
A) 8000 B) 6720 C) 10000 D) 10 E) 100
90. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 90 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II REPARTOS PROPORCIONALES.
En este tipo de problemas se divide un total en varias partes que
han de ser proporcionales a ciertos nmeros dados. 1. Tres hermanos
se han repartido cierta cantidad de dinero en partes proporcionales
a sus edades. Si el mayor tiene 23 aos y le han correspondido S/.
184, cunto se llevar cada uno de los otros dos que tienen 15 y 12
aos, respectivamente? 2. Repartir 559 en partes proporcionales a 4,
4, 3 y 2. 3. Se ha encargado a un orfebre el diseo y la fabricacin
de un trofeo que ha de pesar 5 kg y ha de estar fabricado con una
aleacin que contenga tres partes de oro, tres de plata y dos de
cobre. Qu cantidad se necesita de cada metal? 4. Se ha pagado S/.
37500 por tres parcelas de terreno de 7,5 Ha, 4 Ha y 36000 m2,
respectivamente. Cunto ha costado cada parcela? 5. La nmina de una
empresa asciende a 1,5 millones de nuevos soles. Un doceavo
corresponde a los sueldos de los directivos, tres doceavos a los
sueldos de los tcnicos y ocho doceavos a los de los obreros. Qu
cantidad corresponde a cada grupo? 6. Para fabricar una pieza de
tela de 1,10 m de ancho y 65 m de largo, se necesitan 35,75 kg de
algodn. Cunto pesar una pieza de tela de la misma clase que mide
0,95 m de ancho y 120 m de largo? 7. Un grifo arroja 100 litros de
agua por minuto y otro arroja 80 litros en el mismo tiempo. Cunto
tardarn, entre los dos ,en llenar un depsito de 540 litros?
91. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 91 8. La ruedas delanteras de una locomotora tienen un
radio de 0,45 m y las traseras, 0,65 m. Cuntas vueltas darn las
primeras mientras las segundas dan 2600 vueltas? 9. Una pieza de
cierta aleacin metlica contiene 24 g de cobre, 5 g de estao y 15 g
de nquel. Si en la fabricacin de una partida de esas piezas se han
invertido 84 kg de cobre, Cules son las cantidades de estao y nquel
empleadas?
92. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 92 UNIDAD 12 REGLA DE TRES
93. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 93 CONCEPTO Es una de las ms usuales aplicaciones de la
proporcionalidad que consiste en calcular el valor desconocido de
una magnitud relacionado dos o ms magnitudes y esta puede ser regla
de tres simples o bien regla de tres compuesta. 12.1. REGLA DE TRES
SIMPLE (R3S). Es Cuando intervienen dos magnitudes proporcionales
de las cuales se conocen tres valores, dos pertenecientes a una de
las magnitudes y la tercera a la otra magnitud y debemos calcular
el cuarto valor. La R.3.S. Puede ser de dos tipos: R3S DIRECTA. Se
plantea cuando las magnitudes que intervienen son directamente
proporcionales (D.P). EN GENERAL: Dada las magnitudes A y B
directamente proporcionales los valores a; b; c y la incgnita X. Se
plantea as: MAGNITUD A MAGNITUD B Supuesto: a c . Pregunta: b X (D)
Como son magnitudes directamente proporcionales se est indicando
por (D) y aplicando la definicin se tiene: x b c a Despejando la
incgnita X a bc x
94. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 94 REGLAS PRCTICAS. REGLA 1.Una vez planteado se
multiplica en aspa; es decir, de se efecta: cbXa .. a bc x REGLA 2.
Del planteado la incgnita X es igual al valor que est sobre l,
multiplicado por la fraccin a b . X = c. a b EJEMPLO (1): Si 3
limas cuestan S/. 144, Cunto se pagar por 7 limas iguales que las
primeras? RESOLUCIN. Las magnitudes que intervienen son la magnitud
de cantidad de limas y el costo las cuales son D.P. porque a mayor
cantidad de limas el costo ser mayor y a menor cantidad de limas el
costo ser menor y se plantea: Cantidad Limas Costo (s/.) Supuesto:
3 144 Pregunta: 7 X (D) Aplicando la 2da regla prctica, se tiene:
336 3 7 .144x soles OBSERVACIN: Para aplicar esta regla prctica es
necesario que la incgnita se ubique en la segunda fila adems se est
indicando con (D) porque son directamente proporcionales. Se coloca
de manera diferente como se indica en el planteo
95. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 95 EJEMPLO (2): Esmeralda al comprar 5 revistas gast x
soles pero si hubiera comprado 12 revistas el gasto sera S/, 28 ms.
Hallar el valor de X. RESOLUCIN. Del enunciado se nota que
intervienen las magnitudes N de revistas y el gasto respectivo, el
cual se plantea del modo siguiente: N REVISTAS Costo (s/.)
Supuesto: 5 X Pregunta: 12 X + 28 (D) En este caso es conveniente
utilizar la primera regla prctica por lo cual se multiplica en
aspa: 5 (X + 28) = 12X 5X + 140 = 12X 140 = 7X X = 20 R3S INVERSA.
Resulta de comparar dos magnitudes inversamente proporcionales
(I.P) EN GENERAL: Dada las magnitudes A y B inversamente
proporcionales los valores a, b y c y a incgnita X se plantean:
MAGNITUD A MAGNITUD B Supuesto: a c Pregunta: b X (I) Por definicin
de magnitudes inversamente proporcionales acbx .. b a cx .
96. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 96 REGLAS PRCTICAS: REGLA N 1. Una vez planteado se
multiplica en Lnea y stas deben ser iguales, tal como se ha hecho
en la solucin anterior. REGLA N 2. Del planteo () la incgnita X es
igual al valor que se encuentra sobre ella multiplicado por la
fraccin b a ; es decir, se copia Igual como est en el planteo. b a
cX . EJEMPLO 3: En qu tiempo 2 albailes pueden hacer un muro, que
un albail lo hace en 8 horas? RESOLUCIN. Del enunciado se nota que
las magnitudes que intervienen son nmero de albailes y el tiempo
los cuales son inversamente proporcionales, ya que a mayor nmero de
albailes se demora menos tiempo y a menor nmero de albailes mayor
tiempo, por lo cual se plantea: N albailes Tiempo (horas) Supuesto:
1 8 Pregunta: 2 t ( I ) Para hallar el valor de t se aplica la
REGLA N 2: horas4 2 1 .8t EJEMPLO 4: Un mvil a una velocidad de
90km/h emplea X horas para recorrer un trayecto pero si aumenta su
velocidad a 120 Km/h empleara 2 horas menos. Hallar X. RESOLUCIN.
Se sabe que a mayor velocidad demora menos tiempo y viajando a
menor velocidad demora ms tiempo lo cual indica que la velocidad y
el tiempo son I.P. Se copia Igual como est en el planteo
97. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 97 VELOCIDAD TIEMPO Supuesto: 90 X Pregunta: 120 X - 2
(I) En este caso conviene utilizar la REGLA N 1 y para ello se
multiplica en Lnea: 90(x) = 120 (x 2) 3x = 4x 8 8 x NOTA: En una
regla de tres cuando se conocen tres valores de los cuatro es
conveniente aplicar la regla N 1 ya sea del D.P como el ejemplo (1)
y (3). En una regla de tres cuando se conocen dos valores de los
cuatro es conveniente aplicar la regla N 2 ya sea multiplicar en
aspa si es D.P o multiplicar en lnea si es I.P. como el caso del
ejemplo (2) y (4). Los valores correspondientes a una misma
magnitud o columna se pueden dividir o multiplicar por el mismo
valor y el resultado no se altera. 12.2. REGLA DE TRES COMPUESTA
(R.3.C). Se plantea cuando intervienen ms de dos magnitudes. MTODO
DE SOLUCIN. Existen varios mtodos de solucin pero en este caso
vamos a utilizar las reglas prcticas que se han estudiado en R.3.S
directa e inversa y para ello se van a seguir los siguientes pasos:
1. Se reconocen las magnitudes que interviene en el problema 2. Se
disponen los datos de manera que los valores pertenecientes a una
misma magnitud se ubique en una misma columna y es adecuada que
estn en las mismas unidades. 3. En la primera fila (supuesto) se
colocan los datos y en la segunda fila (pregunta) los dems incluido
la incgnita.
98. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 98 4. La magnitud en la cual se ubica la incgnita se
compara con las dems, indicando en su parte inferior si es
directamente proporcional por (D) y si es inversamente proporcional
con (I). 5. El valor desconocido o incgnita es igual al valor que
se encuentra sobre ella por las diferentes fracciones que se
conforman en cada magnitud si es D.P. se coloca de manera Diferente
y si es I.P se copia Igual. EJEMPLO (5). Qu rendimiento deben tener
6 obreros que en 16 das trabajando 9h/d han hecho 21m3 de una obra
cuya dificultad es como 3 si para hacer 14 m3 de la misma obra de 5
como dificultad se empleara 8 obreros de 60% de rendimiento durante
12 das de 8 h/d. RESOLUCIN. X% = 60%. %48 5 3 . 14 21 . 9 8 . 16 12
. 6 8 NOTA: Cuando en una R.3.C intervienen la magnitud nmero de
obreros y el rendimiento de c/u se multiplican porque son I.P y se
reemplaza por una sola magnitud que sera el rendimiento total. Si
en un problema se tiene el nmero de das y las horas diarias ambas
se multiplican y se reemplazan por una sola magnitud que sera el
tiempo. Igualmente si se tiene la obra y su respectiva dificultad
ambas se multiplican y se reemplazan por la magnitud obra.
RENDIMIENTO N OBREROS N DIAS H / D OBRA DIFICULTAD Supuesto 60% 8
12 8 14 5 Pregunta X% 6 16 9 21 3 (I) (I) (I) (D) (D) Igual Igual
Igual Diferente Diferente
99. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 99 %48 10 9 . 3 2 %.80% X PROBLEMAS PROPUESTO NIVEL I
Resolver los siguientes problemas: 1) 18 tornillos hexagonales
cuestan s/. 3,20. Cunto cuestan 5 tornillos? 2) Un obrero gana 528
nuevos soles en 48 horas. Cunto gana por hora? 3) Tres aprendices
efectan un trabajo en 2 das Qu parte del trabajo realizan en un da?
4) Dos planchas de chapa de acero pesan 31,2 kg. Cul es la masa
referida a la superficie de cinco planchas de magnitudes idnticas?
5) Determinar la masa referida a la longitud de una barra perfilada
de 1 m cuando para 6,1 m se da una masa de 32 kg. 6) Una polea de
transmisin con un dimetro de 120 mm efecta 1200 revoluciones. Cul
es el nmero de revoluciones de la polea accionada de 720 mm de
dimetro? 7) Un automvil consume 8,4 litros de gasolina por 100 km.
Qu trayecto puede recorrer con 40 litros en el tanque? 8) Un
automvil recorri 33 km en 12 minutos. Cul era su velocidad de
marcha en km/h? RENDIMIENTO TOTAL TIEMPO OBRA 60 % 8 12. 8 2 14..5
10 x % 6 16..9 3 21..3 9 (I) (D)
100. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 100 9) Una rueda dentada impulsadora con 42 dientes
ejecuta 96 revoluciones. Cuntos dientes ha de tener la rueda
accionada para que ejecute 224 revoluciones? 10) Una bomba
transporta en 2 horas 1200 l de agua. Cunto tiempo se necesita para
vaciar un stano inundado de 2x1, 5 x 3 m? 11) Para la obtencin de
40Kg de bronce se necesitan 2,4 kg de estao Cunto estao es
necesario para 122 kg de bronce? 12) Cuatro obreros roblonan 480
remaches en 3 horas. Cuntos remaches roblonan 2 obreros en 4
horas?
101. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 101 PROBLEMAS DE REFUERZO-NIVEL II. 1) Para recorrer 44
km en 2 horas; una persona dio 60 000 pasos, si sus pasos son de
igual longitud. Cuntos pasos dar para recorrer 33 km en 3h? A)
44000 B) 45 000 C) 44000 D) 33 000 E) 30 2) Un trabajo puede ser
hecho por 16 hombres en 38 das. Si 5 hombres aumentaron su
rendimiento en un 60 %, en que tiempo terminaron el trabajo? A) 30
B) 26 C) 32 D) 25 E) 40 3) Un reloj que marcaba las O horas se
adelanta 6 minutos en cada hora. Dentro de qu tiempo marcar la hora
exacta? A) 3 das B) 4 das C) 5 das D) 6das E) 7 das 4) Una persona
demora 10 horas para construir un cubo compacto de 9 dm de arista.
Despus de 320 horas de trabajo.Qu parte de un cubo de 36 dm de
arista se habr construido? A) 2 1 B) 4 1 C) 5 1 D) 6 1 E) 3 1 5)
Una obra puede ser realizada por 6 obreros en 20 das Cuntos obreros
ms se necesitarn para hacer el mismo trabajo en las 10 3 partes de
ese tiempo? A) 14 B) 12 C) 20 D) 15 E) 18 6) En 9 litros de agua se
han disuelto 580 gramos de azcar Cuntos litros de agua sern
necesarios aadir para que el litro de la mezcla tenga 29 gramos de
azcar? A) 8 l B) 9 l C) 10 l D) 11 l E) 20 l 7) Si 8 obreros hacen
una obra en 20 das y despus de 5 das se retiran 3 obreros. Cuntos
das se retrasar la obra? A)4 B)5 C)8 D)9 E) 15
102. MATEMTICA T.O. Parte 02 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO
OPERATIVO 102 8) Si 10 obreros trabajando 8 horas diarias emplean
12 das para terminar un trabajo.Cuntos das emplearan 5 obreros,
trabajando 6 horas diarias para hacer el mismo trabajo? A)8 B) 18
C) 24 D) 32 E) 34 9) Se tiene un cubo de madera que cuesta S/.1
920.Cunto costar un cubo cuya arista sea los 5/4 de la arista
anterior? A) S/.3 750 B)S/.3 850 C)S/.4 530 D)S/.1 890 E)S/.3 560
10) Si 15 obreros van a hacer una obra en 30 das trabajando 10
horas diarias y despus de 8 das se acord que la obra termine 12 das
antes del plazo.Cuntos trabajadores deben contratarse , teniendo en
cuenta que se aumento 1 hora de trabajo diario? A)8 B) 12 C) 15 D)
18 E) 20 11) Si 12 obreros pueden hacer una obra en 21 das .Si 8 de
ellos aumentan su rendimiento en 60%, qu tiempo emplear para
realizar la obra. A) 12 B) 15 C) 18 D) 24 E) 17 12) Un ingeniero
puede construir 600 metros de carretera con 40 hombres ,en 5 das ,
trabajando 8 h/d Cuntos das tardara este ingeniero en construir 800
metros de carretera con 50 obreros doblemente eficientes que los
anteriores en un terreno de triple dificultad, trabajando 2 horas
ms por da? A)4 B)5 C)8 D)9 E) 15 13) Despepitando 8250 kg de
ciruelas se ha obtenido 6750kg de pulpa. Cul sera el importe que se
tendra que gastar para obtener 9 kg de pulpa?, si las ciruelas se
compran a razn de S/. 0.81 el kg. A) SI. 91,81 B) SI. 8,91 C) SI.
8,80 D) S/. 72,90 E) SI. 7,29 14) Quince obreros han hecho la mitad
de una obra en 20 das. En ese momento abandonan el trabajo cinco
obreros. Cuntos das tardarn en terminar el trabajo los obreros que
quedan? A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32 15) Un auto va de P a Q y
llega a cierta hora; si aumentara su velocidad un 50 % ahorrara 2
horas. En qu porcentaje debe aumentarla, si quiere llegar una hora
antes? A) 100% B) 15% C) 20% D) 25 E) 40%