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Determinación del radio
de curvatura de un vidrio
de reloj. Monografía de BI: FÍSICA
Álvaro Franco González
Candidato número: 000095-051
Nº de palabras: 3750
ÍNDICE
Método 1:usándolo como lente……………………….....Pág 3-21
-introducción y teoría ………………………………...Pág 3-4
-variables y control de las mismas …………………...Pág 5
-montaje ……………………………………….……..Pág 5-6
-descripción del vidrio de reloj utilizado…………….Pág 7
-procedimiento ……………………………….............Pág 7-8
-estudio de las incertidumbres ……………………….Pág 8-9
-presentación de datos experimentales ………………Pág 9-21
--agua……………………………………………...Pág 9-13
--glicerina………………………………. ………..Pág 14-17
--aceite de oliva………………………….. ………Pág 18-21
-recopilación de datos experimentales y conclusión ...Pág 22
Método 2: forma matemática …………………………..Pág 23-24
Método 3:midiendo el período de una bola que oscila en el
vidrio……………………………………………………Pág 25-29
-introducción y descripción del experimento………..Pág 25
-tabla de resultados ………………………………….Pág 26-27
-análisis de resultados………………………………..Pág 27-29
Fuentes …………………………………………………Pág 30
Objetivo: Determinación del radio de curvatura de
un vidrio de reloj.
METODO 1: USÁNDOLO COMO LENTE
Introducción y teoría.
Las lentes son sistemas ópticos que modifican la trayectoria de los rayos de luz.
Existen lentes convergentes y divergentes. Las convergentes se caracterizan por ser más
gruesas en el centro, y más estrechas en los bordes. Asimismo, las divergentes son más
gruesas en los bordes que en el centro. Las lentes convergentes, hacen que los rayos de
luz se encuentren en un punto antes de continuar su trayectoria en el espacio, punto que
llamamos foco. Las lentes divergentes desvían los rayos de luz de forma que las
direcciones de estos se distancian y no se encuentran jamás. En el caso de este estudio
fabricaremos una lente convergente plano-convexa utilizando un vidrio de reloj y un
líquido que sirva de relleno (agua, glicerina y aceite), de modo que los rayos paralelos
de luz se juntarán en el foco. La distancia de la lente al foco se llama distancia focal.
Además de esta característica, las lentes convergentes poseen otra que consiste en que
en un punto más allá del foco se formará la imagen enfocada del objeto que emite o
refleja la luz, siempre y cuando los rayos de luz no sean paralelos. La imagen enfocada
es un reflejo del objeto real que aparece de forma invertida en este caso. En nuestro
experimento trataremos de conseguir esta imagen enfocada, para obtener parejas de
datos que llamaremos iS y
oS , siendo iS la distancia de la lente a la imagen enfocada
en un plano y oS la distancia entre la lente y el objeto que emite la luz. Conociendo
estas relaciones, posteriormente aplicaremos la fórmula del constructor de
lentes: )11
)((1
21 RRnn
fmedioagua donde f es la distancia focal, (que la conoceremos
por la fórmula 0
111
SSf i
, y será una constante) n es el índice de refracción de cada
medio y los 1R es el radio de curvatura del vidrio de reloj, que coincidirá con el de la
lente que hemos fabricado (no tendremos en cuenta el grosor del vidrio para mayor
simplicidad) y 2R será ∞ ya que el líquido de relleno formará una superficie plana.
El índice de refracción es el
cociente entre la velocidad de la luz en el
vacío y la velocidad de la luz en el medio
que decidamos ( medioluz
vacíoluz
v
vn ). Con un
refractómetro podremos saber con
exactitud el índice de refracción del agua, que varía con la temperatura, pero nos
resultará aproximadamente del orden de 1,33, (225000
300000aguan ). El índice de refracción
del aire lo consideraremos como 1, ya que la velocidad de la luz en el aire es similar a la
velocidad de la luz en el vacío.
Además de variar la velocidad de la luz al cambiar de medio, también varía la
dirección del rayo de luz según el ángulo de incidencia. Esta variación en la dirección
del rayo de luz la podemos determinar mediante la ley de Snell 21 nn , donde
es el ángulo de incidencia con respecto a la vertical, 1n es el índice de refracción del
medio del que viene el rayo de luz, 2n el índice de refracción del medio a donde pasa
el rayo de luz, y es el ángulo con el que atraviesa el medio con respecto a la vertical.
En el experimento debemos tener en cuenta el cambio de dirección de la luz y
mantenerlo constante, y la manera más fácil, es hacer incidir el rayo en la lente de
manera vertical.
También calcularemos f (la distancia focal) con la ecuación de Bessel, que sólo
se cumple cuando la distancia entre la lente y el plano de enfoque es cuatro veces mayor
que la distancia focal de la lente usada. La ecuación de Bessel dice que toda lente tiene
dos imágenes enfocadas si la distancia entre el foco de luz y el plano de enfoque es
mayor de cuatro veces la distancia focal de dicha lente; la lente tendrá posiciones
simétricas respecto al punto medio entre el foco de luz y el plano de enfoque.
Conociendo las posiciones de la lente cuando disponemos de las dos imágenes
enfocadas, y la distancia de la fuente de luz al plano de enfoque, manteniendo siempre
constante la posición de la fuente de luz y el plano de enfoque, podemos calcular la
distancia focal de la lente con la siguiente fórmula: l
Dlf
4
22
donde l es la distancia
entre la foco de luz y el plano de enfoque, D la distancia entre las distintas posiciones
de la lente cuando conseguimos las imágenes enfocadas.
Variables y control de las mismas.
En el experimento, durante la obtención de datos, deberemos controlar diversas
variables, que describiremos a continuación:
1º Ángulo de incidencia de la luz:
Como ya hemos visto anteriormente debemos mantener el mismo ángulo de
incidencia durante todo el experimento, y la manera más fácil y precisa es haciendo que
la luz incida de manera vertical sobre la lente, ya que de esa manera conseguimos que la
imagen se forme también en la vertical y no tengamos variaciones en la medida de Si
(210 nn , por lo tanto será 0, y la imagen estará siempre en la vertical).
2º Referencias:
Podemos cometer errores en la medida de las distancias. Para ello, además de
tratar de medir lo mejor posible y con el aparato adecuado (un metro), debemos tomar
puntos como referencia tanto en el foco de luz (será una linterna) como en la lente, y
tratarlos como lugar desde los que se mide durante todo el experimento.
3º Posiciones estables:
Hemos de mantener todo el montaje en las mismas posiciones durante todo el
experimento, ya que la más mínima variación de la posición de un constituyente de éste
podría hacer variar el punto donde se consigue la imagen enfocada, y como
consecuencia se medirían mal las distancias.
Montaje.
El montaje consistirá, a grandes rasgos, en una linterna boca abajo, cuya luz
atraviesa la lente que hemos fabricado y conseguiremos una imagen enfocada en el
suelo, donde colocaremos un folio blanco para que se aprecie mejor cuándo está
enfocada la imagen (se verá un punto de luz, imagen del LED de la linterna).
Debemos tener cuidado en no tomar distancias muy grandes, ya que serían más
difíciles de medir. Asimismo debemos evitar distancias muy pequeñas, ya que entonces
obtendremos datos poco concluyentes y mayores errores.
Utilizaremos como plano de enfoque el suelo, y sobre una mesa, colocado sobre
el borde de ésta, pondremos un pie de laboratorio de aproximadamente 1 metro de
longitud, donde con una pinza, sostendremos la linterna que utilizaremos como foco de
luz de forma vertical. Para sostener el vidrio de reloj de forma cóncava, con el agua
(más tarde se usará aceite y glicerina) contenida en su interior, utilizaremos un aro,
sujeto a otro pie de laboratorio que colocaremos sobre el suelo, de manera que linterna
y lente queden en la misma línea vertical imaginaria.
La imagen enfocada que buscamos la
proyectaremos sobre un fondo blanco (folio)
para apreciarla mejor, también en la vertical
imaginaria.
Como variable independiente
seleccionaremos la distancia iS , distancia entre
la lente y el plano de enfoque (suelo), donde
Linterna
Lente
Plano de enfoque
colocaremos el folio blanco para que la imagen enfocada se vea nítidamente. De esta
manera, en el experimento estableceremos la distancia lente-suelo deseada, y
posteriormente moveremos la pinza con la linterna hasta que consigamos la imagen
enfocada de ésta.
Descripción del vidrio de reloj utilizado.
El vidrio utilizado tiene 8,2 1,0 cm de diámetro, 0,7 1,0 cm de altura y 0,2
01,0 cm de grosor, medida que despreciaremos durante todo el experimento. El peso
de este vidrio es de 24,96 0,02 gramos.
Procedimiento.
Una vez montada la estructura del experimento,
comenzaremos a calcular la pareja de distancias iS y
oS , de los
que sabemos que la suma de sus inversas será una constante f
1,
de donde podemos despejar f y calcular la distancia focal de la
lente que hemos fabricado, y posteriormente utilizarla para
calcular el radio de curvatura de la lente, (que coincide con el
del vidrio de reloj) mediante la fórmula del constructor de
lentes: )( aireagua nnfR . En esta fórmula consideramos tan sólo un radio de
curvatura ya que cuando tengamos agua en el vidrio de reloj, la parte superior será plana
y tendrá curvatura infinita, ya que 01
RRsi
Calcularemos alrededor de 15 parejas de datos, para conseguir gráficas con
resultados concluyentes y obtener diversos valores de la constante 1/ f , para luego
calcular f en la gráfica 1/ Si -1/ So con precisión mediante el método de los mínimos
cuadrados (la constante será la ordenada en el origen, ya que la suma de las inversas es
constante, y cuando una de ellas vale 0, la otra tendrá el valor de la constante).
También calcularemos la distancia focal por la ecuación de Bessel, pero en este
caso colocaremos el vidrio de reloj sostenido por un aro que se encuentre enganchado a
un pie de laboratorio, y utilizaremos como foco de luz los fluorescentes del techo.
Como las posiciones de la lente cuando se consigue la imagen enfocada son simétricas,
cuando conozcamos una distancia, conoceremos la otra.
Además, realizaremos el experimento con aceite y glicerina, ya que tienen
índices de refracción próximos al del vidrio de reloj (alrededor de 1,5) y de esa manera
conseguimos evitar en parte el error que se podría cometer al despreciar el vidrio.
Estudio de las incertidumbres.
Para calcular la constante f/1 nos basaremos en la gráfica en la que se
relacionan las inversas de las distancias. Esta gráfica será una recta de pendiente -1, y
tiene la peculiaridad de que la suma de cada valor “ x ” más su correspondiente valor
“ y ”, es constante. Buscaremos el origen de coordenadas de esa recta, cuyo valor “ y ”
coincidirá con el valor de la constante f/1 . Para hallar el origen de coordenadas
utilizaremos el método de los mínimos cuadrados, mediante el cual la pendiente es:
D
yxyxnp
22 xxnD
El origen de coordenadas, conociendo los valores anteriores, es
pxyc
Pero este valor no es exacto, y debemos calcular su incertidumbre, que nos viene
dada por la fórmula D
xyc
2
, donde
2/12
2n
yy i
y donde
)( cxpyy iii .
Una vez que tengamos la ordenada en el origen y su error, podremos calcular
f despejándola (c
fcf
1;
1 ) y sabremos su error, ya que es directamente
proporcional al error de la ordenada en el origen (c
cff ).
Y una vez que conozcamos f y su error, podremos calcular R (el radio de
curvatura de la lente) mediante la fórmula del constructor de lentes
)( airemedio nnfR (desarrollada) y su error, que también es directamente
proporcional al error del foco f
fRR (si consideramos el error del refractómetro,
que nos dará el índice de refracción del líquido de la lente, como despreciable).
Finalmente habremos conseguido el radio de curvatura del vidrio de reloj y su
error.
Además de calcular los errores del método de los mínimos cuadrados, también
hemos de calcular los errores en el resultado obtenido en la ecuación de Bessel, que
como consistirá en una propagación de errores, podremos calcular el error por el método
de “ponernos en el peor caso”, utilizando los valores máximos en una operación y los
valores mínimos en otra.
En las medidas experimentales de las longitudes, estableceremos el error en 1
cm (en la fórmula del constructor de lentes) o en 2 cm (en la ecuación de Bessel, ya que
las distancias medidas en esta última fueron muy grandes, de más de dos metros y
medio, y la cinta métrica podía desviarse fácilmente de la vertical).
Cuando calculemos el error de una serie de datos aplicaremos la fórmula
n
nn
1
NOTA: Se utiliza el mismo tratamiento de errores en los tres apartados de que consta la
monografía.
Presentación de datos experimentales.
Agua:
Su índice de refracción a 19 grados es de 1,331.
Presentaré una tabla con los resultados obtenidos, y dibujaré en Excel las gráficas que
estudiaremos:
relación Si-So
0
20
40
60
80
100
120
140
0 50 100 150
Si (lente-suelo) cm
So
(le
nte
-lin
tern
a)
cm
Serie1
Esta gráfica es la hipérbola que resulta de la relación Si - So .
Relación 1/Si-1/So
y = -1,0635x + 0,0273
R2 = 0,9955
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0 0,005 0,01 0,015 0,02
1/Si (cm^-1)
1/S
o (
cm
^-1
)
Serie1
Lineal (Serie1)
La recta de pendiente -1 representa la relación 1/ Si -1/ So .
La gráfica de las inversas es la que estudiaremos detenidamente, ya que si
determinamos su ordenada en el origen, conseguiremos conocer el valor de la constante
1/f.
Calcularemos este valor y su error mediante el método de los mínimos
cuadrados, y usando una tabla de Excel.
Las ecuaciones utilizadas para obtener la pendiente y la ordenada en el origen de
la recta, basándonos en el método de los mínimos cuadrados son, con p=pendiente y
c=ordenada en el origen:
D
yxyxnp 22 xxnD pxyc
D
xyc
2
, donde
2/12
2n
yy i
y donde )( cxpyy iii.
Tabla de datos:
Si (cm) So (cm)
error So
(cm)
x
1/Si
(cm1)
y
1/So
(cm1)
69,3 83,5 ±1 0,0144 0,0120
64,9 93,3 ±1 0,0154083 0,0107181
59,5 105,7 ±1 0,0168067 0,0094607
54,4 124,2 ±1 0,0183824 0,0080515
88,6 65,6 ±1 0,0112867 0,0152439
94,3 64,4 ±1 0,0106045 0,015528
103,7 58,4 ±1 0,0096432 0,0171233
108,7 56,9 ±1 0,0091996 0,0175747
115 55,2 ±1 0,0086957 0,0181159
119,2 53,2 ±1 0,0083893 0,018797
76,5 75 ±1 0,0130719 0,0133333
80,9 71,8 ±1 0,0123609 0,0139276
n 12 sumas 0,1482791 0,1698501
medias 0,0123566 0,0141542
error y
desviación
y desv y2 x·y x
2
±0,0001434 2,69E-05 7,26E-10 0,0001728 0,00020823
±0,0001149 -
0,00019057 3,63E-08 0,0001652 0,00023742
±8,95E-05 3,92E-05 1,54E-09 0,000159 0,00028247
±6,48E-05 0,00030571 9,35E-08 0,000148 0,00033791
±0,0002324 -4,81E-05 2,32E-09 0,0001721 0,00012739
±0,0002411 -
0,00048962 2,40E-07 0,0001647 0,00011245
±0,0002932 8,34E-05 6,96E-09 0,0001651 9,30E-05
±0,0003089 6,31E-05 3,98E-09 0,0001617 8,46E-05
±0,0003282 6,84E-05 4,68E-09 0,0001575 7,56E-05
±0,0003533 0,00042359 1,79E-07 0,0001577 7,04E-05
±0,0001778 -6,01E-05 3,61E-09 0,0001743 0,00017087
±0,000194 -
0,00022198 4,93E-08 0,0001722 0,00015279
sumas 1,88E-18 6,22E-07 0,0019702 0,0019531
Dy 0,0002494
D 0,00145108
p -1,0634935
c 0,02729533 f 36,6362992 radio 12,126615
Dc 0,0005787 f 0,77673931 radio 0,25710071
Dc/c 0,02120136 ff / 0,02120136
radio/
radio 2%
Ahora calcularemos la distancia focal mediante la ecuación de Bessel:
E. de Bessel 37,381032
36,39602
258*4
64,2696166564
4
22
L
Dlf cm
Siendo l=258 2 y D=164 2
El error de la distancia focal lo calculamos poniéndonos en los peores casos:
Exceso: 76,391040
2624467600f , luego la incertidumbre es: 39,76-38,37=1,39cm
Defecto: 08,371024
2755665536f , luego la incertidumbre es 38,37-37,08=1,29cm
Es posible, como en este caso, que no den incertidumbres iguales. En este caso,
tomamos como error el valor mayor.
Por lo tanto, la distancia focal según la ley de Bessel es 38,37 1,39 cm.
El radio de curvatura, en consecuencia es: 7,12331,037,38)331,0(fR
Y su error, que es proporcional al de la distancia focal es:
46,027,38
39,17,12
f
fRR
El radio de curvatura es de 12,7 0,5 cm según la ecuación de Bessel.
Glicerina.
Su índice de refracción a 19 grados centígrados es de 1,468, más próximo al del
vidrio y por tanto éste afectará menos en los resultados.
relación Si-So
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100 120 140
Si (lente-suelo) cm
So
(le
nte
-lin
tern
a)
cm
Serie1
La gráfica representa la relación entre la pareja de datos Si-So.
Relación 1/Si-1/So
y = -0,8965x + 0,0361
R2 = 0,9968
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0 0,01 0,02 0,03 0,04
1/Si (cm^-1)
1/S
o (
cm
^-1
)
Serie1
Lineal (Serie1)
Ésta, la gráfica de la relación 1/Si-1/So, es la que estudiaremos más a fondo para
hallar su ordenada en el origen, mediante el método de los mínimos cuadrados, (cuyas
fórmulas describimos anteriormente), ya que esa ordenada en el origen nos indicará el
valor de la constante 1/f.
Tabla de datos:
x y
Si (cm) So (cm)
error So
(cm)
1/Si
(cm1)
1/So
(cm1)
119,3 35,7
1 0,0083822 0,0280112
112,4 36,1
1 0,0088968 0,0277008
108,5 35,5
1 0,0092166 0,028169
103,6 37,2 1 0,0096525 0,0268817
97,6 36,9 1 0,0102459 0,0271003
92,9 37,5 1 0,0107643 0,0266667
86,4 38,6 1 0,0115741 0,0259067
80,6 40,2 1 0,0124069 0,0248756
73,9 41,8 1 0,0135318 0,0239234
67 43,2 1 0,0149254 0,0231481
60,2 46,1 1 0,0166113 0,021692
53,6 51,7 1 0,0186567 0,0193424
46,1 60,6 1 0,021692 0,0165017
39,6 76 1 0,0252525 0,0131579
32,3 121,5 1 0,0309598 0,0082305
n 15 sumas 0,2227687 0,341308
medias 0,0148512 0,0227539
error y desviación y desv y2 x·y x
2
±0,0007846 -0,00054212 2,94E-07 0,0002348 7,03E-05
±0,0007673 -0,00039118 1,53E-07 0,0002465 7,92E-05
±0,0007935 0,00036369 1,32E-07 0,0002596 8,49E-05
±0,0007226 -0,0005328 2,84E-07 0,0002595 9,32E-05
±0,0007344 0,00021773 4,74E-08 0,0002777 0,00010498
±0,0007111 0,00024883 6,19E-08 0,0002871 0,00011587
±0,0006712 0,00021489 4,62E-08 0,0002999 0,00013396
±0,0006188 -6,96E-05 4,84E-09 0,0003086 0,00015393
±0,0005723 -1,33E-05 1,77E-10 0,0003237 0,00018311
±0,0005358 0,00046073 2,12E-07 0,0003455 0,00022277
±0,0004705 0,00051598 2,66E-07 0,0003603 0,00027594
±0,0003741 8,23E-08 6,77E-15 0,0003609 0,00034807
±0,0002723 -0,00011953 1,43E-08 0,000358 0,00047054
±0,0001731 -0,00027126 7,36E-08 0,0003323 0,00063769
±6,77E-05 -8,22E-05 6,76E-09 0,0002548 0,00095851
sumas 3,94E-05 1,60E-06 0,004509 0,0039329
Dy 0,00035046
D 0,00936748
p -0,8964968
c 0,03606796 f 27,7254353 radio 12,9755037
c 0,00045417 f 0,3491191 radio 0,16338774
c/c 0,01259202 ff / 0,01259202
radio/
radio 1,26%
La distancia focal la corroboraremos, según lo hicimos anteriormente, por la
ecuación de Bessel.
E. de Bessel: 89,261032
27755
2584
3880966564
4
22
L
Dlf cm es la distancia
focal.
Ya que l=258 2 y D=197 2
El error de esta medida es, poniéndonos en los peores casos, ya que se trata de
una propagación de errores:
Por exceso: 44,281040
3802567600f , luego el error es 28,44-26,89= 1,55 cm
Por defecto: 32,251024
3960165536f , luego el error es 26,89-25,32= 1,57 cm
La distancia focal según la ecuación de Bessel el 26,89 1,57 cm.
Mediante la fórmula 58,12468,0*89,26)468,0(fR y sabiendo que el
error de la distancia focal es proporcional al del radio de curvatura
(89,26
57,158,12
f
fRR , el radio es 12,6 0,7.
Por último probaremos con un tercer índice de refracción, y la sustancia elegida
será el aceite de oliva. Recuerdo que estoy seleccionando sustancias (además del agua)
con un índice de refracción próximo al del vidrio de reloj con el que experimento en el
laboratorio, que es aproximadamente 1,5, para evitar en la medida de lo posible el error
que podría causar el paso de la luz por el vidrio, que lo estamos despreciando durante
todo el experimento.
Aceite de oliva:
Su índice de refracción a 19 grados centígrados es de 1,467.
relación Si-So
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 20 40 60 80 100 120 140
Si (lente-suelo) cm
So
(le
nte
-lin
tern
a)
cm
Serie1
Ésta es la gráfica de la relación Si-So. Es una hipérbola.
Relación 1/Si-1/So
y = -0,9927x + 0,037
R2 = 0,9912
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0 0,01 0,02 0,03 0,04
1/Si (cm^-1)
1/S
o (
cm
^-1
)
Serie1
Lineal (Serie1)
Ésta es la gráfica de relación 1/Si-1/So. Resulta una recta de pendiente -1.
La tabla de datos experimentales:
x y
Si (cm) So (cm)
error So
(cm)
1/Si
(cm 1 )
1/So
(cm 1 )
119,3 35,1 1 0,0083822 0,02849
111 35,3 1 0,009009 0,0283286
106,1 35,7 1 0,0094251 0,0280112
100 36,3 1 0,01 0,0275482
93,8 35,4 1 0,010661 0,0282486
87,2 40,2 1 0,0114679 0,0248756
80,7 40,6 1 0,0123916 0,0246305
74,2 43,7 1 0,0134771 0,0228833
67,4 45,4 1 0,0148368 0,0220264
61,2 48,6 1 0,0163399 0,0205761
54,9 54,5 1 0,0182149 0,0183486
47,9 62,2 1 0,0208768 0,0160772
42,9 73,5 1 0,02331 0,0136054
37,5 94 1 0,0266667 0,0106383
31,7 154 1 0,0315457 0,0064935
n 15 sumas 0,2366047 0,3207817
medias 0,0157736 0,0213854
error y
desviación
y desv y2 x·y x
2
±0,0008117 -
0,00023307 5,43E-08 0,0002388 7,03E-05
±0,0008025 0,00022773 5,19E-08 0,0002552 8,12E-05
±0,0007846 0,00032336 1,05E-07 0,000264 8,88E-05
±0,0007589 0,00043111 1,86E-07 0,0002755 0,0001
±0,000798 0,00178766 3,20E-06 0,0003012 0,00011366
±0,0006188 -
0,00078426 6,15E-07 0,0002853 0,00013151
±0,0006067 -
0,00011238 1,26E-08 0,0003052 0,00015355
±0,0005236 -
0,00078201 6,12E-07 0,0003084 0,00018163
±0,0004852 -
0,00028905 8,36E-08 0,0003268 0,00022013
±0,0004234 -
0,00024721 6,11E-08 0,0003362 0,00026699
±0,0003367 -
0,00061329 3,76E-07 0,0003342 0,00033178
±0,0002585 -
0,00024222 5,87E-08 0,0003356 0,00043584
±0,0001851 -
0,00029845 8,91E-08 0,0003171 0,00054336
±0,0001132 6,66E-05 4,44E-09 0,0002837 0,00071111
±4,22E-05 0,00076543 5,86E-07 0,0002048 0,00099513
sumas 4,45E-05 6,09E-06 0,0043721 0,004425
medias 0,0005033 Dy 0,00068447
D 0,01039258
p 0,99272618
c 0,03704436 f 26,9946632 radio 12,6065077
c 0,00089325 f 0,65092482 radio 0,30398189
c/c 0,02411309 ff / 0,02411309
radio/
radio 2,41%
Y volvemos a calcular la distancia focal por el otro método que conocemos:
E. de Bessel: 65,271032
3802566564
4
22
l
Dlf cm la distancia focal.
L=258 2 D=195 2
Calculamos ahora la propagación de errores de este resultado, en el que influirán
el error de la medición de l y el error de la medición de D. Para calcular este error,
utilizaremos el método de ponernos en la peor situación:
Exceso: 18,281040
3724966564f cm, luego el error es de 28,18-27,65=0,53 cm
Defecto: 10,261024
3880965536f cm, luego el error es de 27,65-26,1=1,55 cm
Seleccionamos el valor más grande como error de la medida. Según la ecuación
de Bessel, la distancia focal es: 27,65 1,55 cm.
Utilizando el resultado obtenido, el radio de curvatura
es: 91,12467,0*65,27)467,0(fR
Sabiendo que los errores entre la distancia focal y el radio de curvatura son
proporcionales, si no tenemos en cuenta el error del
refractómetro;65,27
55,191,12
f
fRR =0,72
El radio de curvatura mide: 12,9 0,7.
Recopilación de datos experimentales y conclusión:
Elaboraré unas tablas con los valores obtenidos para cada índice de refracción
por los dos métodos, el de los mínimos cuadrados y la ecuación de Bessel.
Distancia focal:
Min. Cuad.(cm) E. Bessel (cm)
agua 36,64±0,77 38,37±1,39
glicerina 27,73±0,35 26,89±1,57
aceite 26,99±0,65 27,65±1,55
Radio de curvatura:
Min. Cuad. (cm) E. Bessel (cm)
agua 12,13±0,26 12,7±0,46
glicerina 12,97±0,16 12,58±0,73
aceite 12,6±0,3 12,91±0,72
Nos fiaremos más de los resultados del aceite y de la glicerina, ya que anulan en
parte el error causado por el índice de refracción del vidrio.
Buscaremos el intervalo de corte entre el intervalo del resultado del aceite y el
de la glicerina (en el método de los mínimos cuadrados, ya que tiene menos error). Se
cortan en el intervalo (12,81, 12,9), luego podemos suponer que el radio de curvatura
real se encuentra en ese intervalo.
MÉTODO 2: FORMA MATEMÁTICA
En este apartado realizaremos una comprobación matemática del radio de
curvatura obtenida en el apartado anterior; nos basaremos en la fórmula de la superficie
del casquete de esfera, ya que un vidrio de reloj es un casquete. La fórmula es:
hRS 2
Queremos calcular el radio, luego ésta será la incógnita. El 2 y el son
constantes, luego no nos fijaremos en ellas. Debemos calcular la superficie del casquete
y la altura del mismo.
Para calcular la superficie debemos pegar en el centro del vidrio de reloj, por la
parte de fuera, un pequeño pegote de plastilina, que fijará éste a la mesa lo suficiente
para que podamos ir girando el vidrio sobre el pegote y marcando el contorno en una
hoja de papel. Nos resultará un círculo, cuyo centro, radio y por tanto área, podemos
calcular con mediatrices. Esta área será la superficie del casquete.
Para calcular la altura del casquete volvemos a recurrir a la plastilina. Esta vez
utilizaremos un pegote más grande de plastilina, y posteriormente lo aplastamos con el
vidrio de reloj boca abajo hasta que los bordes de este toquen con la mesa. Despegamos
la plastilina del vidrio con cuidado y medimos su grosor con un Pie de rey. El resultado
obtenido es la altura del casquete. Aplicamos la fórmula y el resultado es:
hRS 2 ; 7,022,4 2 R
Las medidas y las incertidumbres del radio de superficie y de la altura son:
r=4,2 0,1 h=0,7 0,1
Como es de esperar con las grandes incertidumbres relativas obtenidas (2,3% y
14,3%), el resultado no será muy preciso, pero por lo menos nos dará una idea del orden
de magnitud que debemos obtener.
La superficie del casquete es 55,41 1,32 mientras que el producto de
7,02 = 4,39 0,63.
El radio de curvatura según la fórmula matemática es: 62,1239,4
41,55R
El error lo calculamos poniéndonos en las peores situaciones:
Exceso: 09,1576,3
73,56R
,nos quedaremos con la mayor diferencia, 15,09-12,62= 2,47
Defecto: 77,1002,5
09,54R
R=12,62 2,47
El resultado confirma los datos finales obtenidos en el método 1.
MÉTODO 3: MIDIENDO EL PERÍODO DE UNA BOLA QUE OSCILA EN EL
VIDRIO.
Introducción y descripción del experimento:
El período de oscilación es el tiempo que tarda la bolita en realizar una
oscilación (ida y vuelta). La distancia de oscilación no influye en el período, siempre
que se mantenga un vidrio de reloj de radio de curvatura constante. Asimismo, el radio
y el peso de la bola, tampoco influyen en el período. Tan solo influyen el radio de
curvatura del vidrio y la gravedad, que es constante (alrededor de 9,8 m/s2
en Madrid).
En este apartado he demostrado las anteriores afirmaciones calculando el
período en diversos experimentos con vidrios
de distinto radio de curvatura y con bolas de
tamaño distinto, resultados que se recogen en la
siguiente tabla de Excel; Para la medida precisa
del período de oscilación, se han grabado
vídeos y posteriormente se han analizado con
un programa informático, el Virtual-Dub.
Tabla de resultados.
Vidrio(radio)cm Bola(radio)cm Períodos Fotogramas/período
4,4 2 5 10,10,11,10,11
1,7 5 12,11,10,11,11
1,5 5 11,10,11,12,10
1,27 5 11,11,12,10,11
8,4 2 5
15,15,17,15,16
1,7 5 16,16,15,17,16
1,5 5 16,16,16,16,16
1,27 5 15,16,16,17,16
12,85 (vidrio
objeto del
experimento)** 2 5 19,18,21,20,20
1,7 5 20,19,21,21,20
1,5 5 20,19,21,20,20
1,27 5 19,21,20,20,21
25,36 2 5
24,25,24,24,24
1,7 5 23,24,24,24,25
1,5 5 24,24,24,26,25
1,27 5 24,25,25,25,25
Media
fotogramas. Error tiempo (s)* Error (s)
tiempo
medio error
10,4 ±0,25 0,416 ±0,01 0,432 ±0,00505964
11 ±0,32 0,44 ±0,0128
10,8 ±0,37 0,432 ±0,0148
11 ±0,32 0,44 ±0,0128
15,6 ±0,4 0,624 ±0,016
0,636 ±0,004
16 ±0,32 0,64 ±0,0128
16 0 0,64 0
16 ±0,32 0,64 ±0,0128
19,6 ±0,5 0,784 ±0,02
0,8** ±0,00565685
20,2 ±0,37 0,808 ±0,0148
20 ±0,32 0,8 ±0,0128
20,2 ±0,37 0,808 ±0,0148
24,2 ±0,2 0,968 ±0,008
0,976 ±0,00730297
24 ±0,31 0,96 ±0,0124
24,6 ±0,4 0,984 ±0,016
24,8 ±0,2 0,992 ±0,008
*El tiempo equivalente a cada fotograma es de 0,04 segundos.
**El período de oscilación en el vidrio utilizado es de 0,8 s.
Análisis de resultados.
Finalmente, y sabiendo como ya se ha explicado anteriormente que el período de
oscilación de una bola tan sólo depende del radio de curvatura del vidrio sobre el que
fluctúa (y de la gravedad, pero es constante), intentaremos establecer una gráfica que
indique la relación período de oscilación-radio de curvatura. Para ello, hemos calculado
el radio de curvatura de cada uno de los vidrios utilizados mediante el método 1, que es
el más fiable; y como ya conocemos el período medio de oscilación sobre cada uno de
esos vidrios, tan sólo nos queda representarlos gráficamente:
Si en cambio, colocamos en el eje “x” el radio de curvatura y en el eje “y” el
período de oscilación, la gráfica quedaría de la siguiente manera:
Partiendo de las gráficas proporcionadas por Excel, y redondeando los datos,
podremos establecer una aproximación de la ley general para calcular el radio de
curvatura del vidrio de reloj a partir del período de oscilación de una bola y viceversa:
y299,22 x , donde “x” sería el período e “y” sería el radio de curvatura.
2/1227,0 xy , donde “x” sería el radio de curvatura e “y” sería el período de
oscilación.
Esta última ecuación nos lleva a pensar, debido a su similitud gráfica (tiene un
raíz), a su coincidencia de variables (sólo depende de la gravedad y del radio de
curvatura), y a la presencia de una constante, que la forma exacta de esa fórmula podría
ser la del péndulo (modificada un poco porque la bola gira): 5
72
g
RT .
Como no sabemos exactamente la energía que pierde la bola al girar, el valor
5
7puede no ser correcto, luego debemos considerar que esa constante tomará valores de
entre 5
7y 1. El radio del vidrio de reloj objeto del experimento (entre 12,81 y 12,9) debe
estar dentro del intervalo formado por el valor mayor y menor de esa fórmula; valores
que calculamos a continuación:
Valor menor:7)2(
52
2TgR =
7)2(
58,08,9
2
2
11,348 cm.
Valor mayor: 88,15)2(
8,08,9
)2( 2
2
2
2TgR cm
En efecto, el intervalo que obtuvimos como resultado, (12,81, 12,9) se encuentra
dentro del intervalo (11,348, 15,88), que no podemos conocer con mayor precisión,
debido a que no conocemos con exactitud la constante dentro de la raíz, pero sabemos
que está entre 7/5 y 1. Aún así, se corrobora por segunda vez el resultado obtenido en el
método 1.
Fuentes de consulta.
Páginas web: www.acacia.pntic.mec.es/jruiz27/contenidos.htm 29 de diciembre 2008 a
las 11:50.
www.elearning.retamail.com/apuntesdeerrores 1 de enero de 2009 a las
16:27.
Olimpiada de Física de Vigo 2004.
CRC Handbook of Chemistry and Physics 85th edition.
Magro,R. Serrano,M. Introducción a la Física General. Ed:Bibilioteca Técnica
Universitaria. 1ºEdición.
Tipler,A. Mosca,G. Física para la ciencia y la tecnología (volumen 2). Ed: Reverté. 1º
Edición.
Álvaro Franco González (000095-051)
Resumen de la Monografía del Bachillerato Internacional.
Determinación del radio de curvatura de un vidrio de reloj.
Con motivo de la monografía del BI en el campo de la Física, decidí estudiar la
forma un objeto sencillo: un vidrio de reloj. Más concretamente, me propuse determinar
su radio de curvatura sin valerme de aparatos fabricados para ese fin. Pensé en tres
métodos que podrían ofrecer resultados satisfactorios: utilizando el vidrio como lente
convergente, utilizando fórmulas matemáticas y mediante un movimiento armónico de
una bola sobre el vidrio boca arriba.
Desarrollé los tres métodos en el laboratorio, ya que requieren de
experimentación. Como en toda experimentación, se produjeron incertidumbres, y para
rebajarlas cuanto fuera posible me basé en la teoría de errores utilizando métodos como
el de los mínimos cuadrados.
Mediante los tres métodos obtuve resultados muy similares, lo que confirma la
exactitud del estudio. Se presenta por tanto un estudio concreto y completo, para el que
se emplearon algunas nuevas tecnologías como el programa Excel de Microsoft, el
Gimp de tratamiento fotográfico, y el VirtualDub de análisis de fotogramas procedentes
de cámaras digitales.
