Aplicaciones del Control Estocástico al Análisis Semiclásico

IndicePlanteamiento del problema

La Ecuacion de Hamilton-JacobiSoluciones de viscosidad

La Formula Estocastica de Lax y EstimacionesDemostracion del teorema

Aplicaciones del Control Estocastico al AnalisisSemiclasico

Juliho David Castillo Colmenares

Depto. de Matematicas, CINVESTAV

Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estocastico al Analisis Semiclasico




Indice

1 Planteamiento del problema

2 La Ecuacion de Hamilton-Jacobi

3 Soluciones de viscosidad

4 La Formula Estocastica de Lax y Estimaciones

5 Demostracion del teorema





Los resultados que a continuacion se presentan pueden encontrarse en elartıculo de exposicion “Aplicaciones del Control Estocastico al AnalisisSemiclasico”, publicado en Aportaciones Matematicas, Memorias 45(2012) pag. 69-96.





En este artıculo, discutimos el lımite de las soluciones diferenciables de laecuacion de Hamilton-Jacobi con viscosidad, caracterizadas por laFormula estocastica de Lax, que converjen a una solucion de viscosidadde la ecuacion de Hamilton-Jacobi. Las soluciones de la ecuacion deHamilton-Jacobi con viscosidad estan relacionadas con las soluciones della ecuacion de Schrodinger y determinan el comportamiento clasico apartir del cuantico.





Consideremos el operador de Schrodinger

H(λ) : L2(Rn)→ L2(Rn),

definido por

H (λ) = −1

2∆ + λ2V (x), (2.1)

donde λ es un parametro (real) y ∆ es el operador de Laplace. Paraψ ∈ L2(Rn),

[H(λ)ψ](x) = −1

2(∆ψ)(x) + λ2V (x)ψ(x).





Supondremos que el potencial V : Rn → R cumple las siguienteshipotesis:

(1) V es C∞ y no negativa;

(2) lım‖x‖→∞ V (x) =∞;

(3) V se anula exactamente en dos puntos a, b y ∂2V /∂xi∂xj es unamatriz no singular para x = a, b.

(4)lım infλ→∞

(‖ja(Ω0)(λ)‖2 ‖jb(Ω0(λ))‖2) > 0,

donde ‖·‖2 es la norma en L2(Rn) y para k = a, b, jk : Rn → R esuna funcion caracterıstica.

(5) ∆V esta acotado, lo que es equivalente a que V : Rn → R seasemiconcavo.





El conjunto de todos los eigenvalores de H(λ), llamado espectro ydenotado por σ(H(λ)), es puramente discreto.E0(λ) ≡ ınf σ(H(λ)) es un eigenvalor, al cual llamaremos nivel mınimo deenergıa, mientras que al primer eigenvalor E1(λ) > E0(λ) le llamaremosenergıa del primer estado excitado.





El nivel mınimo de energıa tiene asociada una unica eigenfuncionΩ0(λ) : Rn → Rn, que se conoce como estado base. Dicha eigenfunciones positiva y no degenerada. Por lo que E0 tambien es conocida como“energıa del estado base”.

Observacion

Pediremos Ω0(λ) este normalizado, es decir, ‖Ω0(λ)‖2 = 1, donde ‖·‖2 esla norma en L2(Rn).





Definicion (Metrica de Agmon)

∀x , y ∈ Rn, definimos la metrica de Agmon como

ρ(x , y) = ınfγ∈Γx,y

1

2

∫ T

0

|γ(s)|2ds +

∫ T

0

V (γ(s))ds

(2.2)

donde

Γx,y := γ : [0,T ]→ Rn|T > 0, γ ∈ AC [0,T ], γ(0) = x , γ(T ) = y ,

y AC [0,T ] es el conjunto de funciones absolutamente continuas en [0,T ].





El resultado principal del artıculo es una demostracion alternativa delsiguiente teorema

Teorema

Si se satisfacen las hipotesis (1)-(4), y si suponemos que el potencial Ves semiconcavo, entonces para cualquier x

lım supλ→∞

1

λln |Ω0(λ; x)| = − mın ρ (x , a) , ρ (x , b) ,

siendo este lımite uniforme en subconjuntos compactos.





En nuestro problema, trabajamos con un Lagrangiano L : Rn × Rn → Rde la forma

L(x , v) =1

2|v |2 + V (x)

con el Hamiltoniano H : Rn × Rn → R asociado

H(x , p) =1

2|p|2 − V (x)

donde V : Rn → R.





La ecuacion de Hamilton-Jacobi

1

2|Dφ(x)|2 − V (x) = 0 (3.1)

tiene soluciones φ : Rn → R, las cuales no son soluciones clasicas, y queen este contexto llamaremos soluciones de viscosidad que, de hecho,dependen de los valores en a y b.





Consideremos ahora la

Definicion (Ecuacion de Hamilton Jacobi con viscosidad)

ε∆φ(x) +1

2|Dφ(x)|2 − V (x) = c(ε), (3.2)

donde el parametro ε es el coeficiente de viscosidad.





Si φε es una solucion de (3.2), entonces exp(φε/2ε) es una solucion de la

Definicion (Ecuacion de Schrondinger)

2ε2∆ψ − V (x)ψ = c(ε)ψ. (3.3)





Considere ahora la sustitucion ε = 1/2λ, de la cual obtenemos (conalgunas manipulaciones algebraicas)(

−1

2∆ + λ2V (x)

)ψ1/2λ = −λ2c

(1

2λ

)ψ1/2λ,

y como ψ1/2λ es positiva, si escogemos c(ε) de manera que

c

(1

2λ

)= −E0(λ)

λ2,

concluimos que es el estado base de nuestro problema.Por [6], teorema 1.1, c(ε)→ 0, cuando ε→ 0.





Observacion

A partir de ahora, por los argumentos anteriores, trabajaremos con lanotacion ψε(x), para referirnos al estado base Ω(λ; x). Debemos tenerpresente las relaciones 2ε = 1

λ y ψε = eφε/2ε.





Para obtener la demostracion del teorema 2.1, estudiaremos elcomportamiento de las soluciones φε de la ecuacion con viscosidad (3.2),cuando ε→ 0, de manera que podamos obtener subsucesiones queconvergen uniformemente a una solucion de viscosidad φ de la ecuacion(3.1).





Definicion

Una funcion continua φ : Rn → R se dice solucion de viscosidad (hacia elfuturo) de la ecuacion (3.1) si satisface las siguientes propiedades:

1 Si v ∈ C 1 y φ− v tiene un maximo local en x0 entonces

1

2|Dv(x0)|2 − V (x0) ≤ 0. (4.1)

2 Si v ∈ C 1 y φ− v tiene un mınimo local en x0 entonces

1

2|Dv(x0)|2 − V (x0) ≥ 0. (4.2)





Proposicion ([1], Proposicion 1.3)

1 Si φ ∈ C (Rn) es una solucion clasica de (3.1), es decir, esdiferenciable en todo x ∈ Rn y satisface

1

2|Dφ(x)|2 − V (x) = 0,

entonces es una solucion de viscosidad de (3.1).

2 Si φ ∈ C 1(Rn) es una solucion de viscosidad de (3.1), entonces esuna solucion clasica de (3.1).





Proposicion

Si φ ∈ C (Rn) es una solucion de viscosidad de (3.1), entonces

1

2|Dφ(x)|2 − V (x) = 0

en cualquier punto x ∈ Rn donde φ es diferenciable.





Una ultima caracterizacion de las soluciones de viscosidad es la siguiente:

Proposicion

Una funcion φ es una solucion de viscosidad hacia el futuro de (3.1) si ysolo si resuelve el siguiente problema de punto fijo, para todax ∈ Rn, t ≥ 0,

φ(x) = supγ:[0,t]→Rn,γ(0)=x

φ(γ(t))−∫ t

0

1

2|γ(s)|2 + V (γ(s))ds (4.3)

donde el supremo se toma sobre las curvas C 1 a trozos.





Observacion

Esta formula es conocida como de Lax-Oleinik, el cual se obtiene delmetodo de programacion dinamica.(Vease [5], [2] capıtulo 3, [1] seccion1.5)





Lema ([4], [7])

φ(x) = − mın ρ(x , a), ρ(x , b) .





La solucion a la ecuacion de Hamilton-Jacobi con viscosidad (3.2) puedeser caracterizada por una formula variacional analoga a (4.3).En el caso viscoso, necesitamos introducir un espacio de probabilidad(Ω,F ,P) dotado de un un movimiento Browniano W (t) : Ω→ Rn.Denotaremos por E la esperanza con respecto a la medida deprobabilidad P.





La solucion a la ecuacion (3.2) satisface la

Definicion (Formula Estocastica de Lax)

φε(x)

= supv

E(φε(Xε(τ))−

∫ τ

0

1

2|v(s)|2 + V (Xε(s))ds − c(ε)τ

),

donde v es un control admisible progresivamente medible, τ es un tiempode paro finito y Xε es la solucion de la ecuacion diferencial estocastica

dXε(t) = v(t)dt +√

(2ε)dW (t)

Xε(0) = x(5.1)

que se deduce del lema 3.1 en [3].





El siguiente lema se demuestra usando la Formula de Lax y la ultimahipotesis que introdujimos, es decir, que V es semiconcavo.

Lema

Existe una subsucecion φεn∞n=0 , de manera que

εn∆φεn(x) +1

2|Dφεn(x)|2 − V (x) = c(εn),

de manera quelımεn→0

φεn(x) = φ(x). (5.2)





Ahora bien, por el lema 5.1, sabemos que para alguna subsucesion εn

φ(x) = lımεn→0

φεn(x).

Peroφεn(x) = 2εn lnψεn .

Recordemos que ψεn es, en este contexto, igual el estado base Ω(λ; x) deloperador de Schrodinger, dado por la ecuacion (2.1).





Entonces

φεn =1

λΩ(λ; x).

Como εn → 0 es equivalente a λn = 12εn→∞, sabemos que existe una

subsucesion λn , de manera que,

lımλn

1

λnΩ(λn; x) = φ(x).





Usando el lema 4.4, obtenemos

lımλn→∞

1

λnΩ(λn; x) = − mın ρ(x , a), ρ(x , b) .

Pero esto quiere decir, bajo las hipotesis (A1)-(A4), ademas de suponerque la funcion V : Rn → R es semiconcava, hemos demostrado que

lım supλ→∞

1

λΩ(λ; x) = − mın (ρ(x , a), ρ(x , b)) .





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