Proyecto IntegradorSIMULACIN DEL MOVIMIENTO DE UNA ACCIN EN LA BOLSA MEXICANA DE VALORES

Matemticas en el Mercado de Valores

Me di cuenta definitivamente de la importancia de lafrmula de Black-Scholes al escuchar a esosnegociadores de opciones hablar de modo rutinario deecuaciones diferenciales y ecuaciones diferencialesestocsticas. Quin hubiese podido imaginarse a estagente hablando de esta manera?

Robert C. Merton

Premio Nobel de Economa en 1997

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Modelo Black-Scholes

En los ltimos aos, los mercados financieros de capitales y derivados han

experimentado un enorme auge, hasta el punto de convertirse en una de las

industrias de mayor crecimiento y prosperidad. Este periodo de apogeo ha

impulsado el estudio riguroso de estos mercados mediante modelo

matemticos. Uno de los problemas principales en las finanzas modernas es el

de valorar (poner precio) a los productos financieros. La moderna teora de

valoracin de Black-Scholes (1973) ha cambiado la forma en que los tericos

acadmicos y los profesionales de los mercados entienden la valoraciones de

todo tipo de acciones, derivados, opciones, swap, etc.

.

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3Pocas teoras han sufrido y resistido una revisin tan rigurosa, en particular la teorade Black-Scholes ha salido airosa de los escrutinios no slo por su flexibilidad y gradode aplicacin sino porque la mayor parte de las ideas modernas de valoracin ya seencuentran originalmente en ella. El modelo ha servido de base de numerosasgeneralizaciones y extensiones por parte de los acadmicos y profesionales de lasfinanzas.

Ahora, bsicamente una opcin es un contrato que da a su poseedor el derecho (nola obligacin) de comprar o vender algo (llamado subyacente) en un instantefuturo (la fecha de expiracin o del ejercicio) a un precio estipulado (el precio delejercicio).

4As, el modelo de Black-Scholes es una de las ms importantes aplicaciones en finanzasdel Movimiento Browniano Geomtrico, en el cual el modelo supone que la distribucinde probabilidad de los precios futuros de una opcin subyacente, que no pagadividendos, sigue este proceso aleatorio con una deriva y una volatilidad constante. Enotras palabras, describe de manera matemtica la relacin entre el precio actual de unaopcin y sus posibles precios futuros. El modelo del movimiento browniano geomtricoestablece que los pagos futuros de una opcin estn normalmente distribuidos con unamedia y una desviacin estndar (volatilidad) constante y estimables con los datos delpasado. As, se estima el valor actual de opciones para la venta (Call Price/ derecho decompra) o venta (Put Price/ derecho de venta) en un momento determinado en elfuturo.

El modelo utiliza como base el cumplimiento de todos los supuestos matemticos comoque es adaptado a una filtracin , es una martingala, la varianza es finita, etc.

.

Modelo Matemtico

El modelo proporciona las siguientes frmulas para calcular el precio de del

valor de compra y el precio del valor de venta.

= (1) (2)

= 1 1 2 1

Donde

1 =ln(/)+ +

2

2

y 2 = 1 .

.

5

6Donde:

= es el valor de compra de una opcin.

= es el valor de venta de una opcin.

= es el precio actual de la opcin (subyacente).

= es el precio de ejercicio de la opcin.

= es la tasa de inters libre de riesgo (tasa anualizada).

= es el tiempo faltante en aos para el vencimiento de la opcin.

= es la desviacin estndar de la tasa anualizada

() = es la probabilidad acumulada de que un nmero aleatorio que sedistribuye como una normal estndar sea menor al valor .

7El proceso para realizar el clculo de una opcin es:1. Obtenga por internet el historial de precios

diarios de una accin en la Bolsa Mexicana deValores, para 180 das.https://mx.finanzas.yahoo.com/http://economia.terra.com.mx/empresas/cotizaciones.aspx?idtel=RV032AMXL

2. Copiar el historial de precios diarios en una hoja de Excel. (Se reordenaron los precios en funcin de la fecha ms antigua a la ms actual)

3. Renombrar la hoja de clculo con el nombre de Datos Histricos.

4. Asociar un tiempo a cada uno de los precioscomenzando en 1. (para efectos del ejemplo seutilizaron 23 precios).

85. Se copiarn los datos de los precios de cierre enotra hoja de clculo a la cual renombraremosvolatilidad.

96. Se estimar una de las variables necesariasconocida como volatilidad. Existen variasmaneras de estimar la volatilidad, sin embargopor lo general sta se estima en base a ladesviacin estndar anualizada de losrendimientos de los precios histricosobtenidos. Debido a lo anterior, primeramentese deben encontrar los rendimientos de lasiguiente manera

= 1

Se crea una columna con el nombre deRendimientos y los calculamos segn la frmulaanterior.

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7. A los rendimientos se les debecalcular la varianza diaria muestralcon la funcin en Excel. ( )

8. La varianza obtenida debemultiplicarse por 360 debido a que esdiaria y se desea anual.

9. Se calcula la raz de la varianza paraencontrar la desviacin estndaranualizada, la cual es la volatilidad dela opcin.

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10. En una tercera hoja de clculo se realizar elclculo del modelo de Black-Scholes. A estasegunda hoja se le renombrar con Black-Scholes.

11. Se especifican algunas variables necesariaspara calcular la valoracin. Estas variables semantendrn fijas durante el clculo. Lasvariables son: el precio actual de la accin (S),la Inters libre de riesgo (r), tiempo alvencimiento (t) y volatilidad ().

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12. El inters libre de riesgo (r) es la tasa de CETESpara el mismo intervalo de tiempo del historial delos precios (en el ejemplo se utiliza la tasa de cetesa 28 das). Si el historial es de 180 das debertomarse la tasa de cetes a 180 das.

13. El tiempo al vencimiento (t) debe ser el tiempoque falta al vencimiento. En el ejemplo y en laactividad realizada por ustedes, se calcular a tresmeses (todos utilizaremos el mismo tiempo alvencimiento). El tiempo deber expresarse en

funcin de aos, por lo que ser90

360= 0.25.

14. La volatilidad () ya se conoce (ejemplo es 0.2003)15. Se utilizar el precio ms actual como el precio

actual de la opcin (S), (ejemplo 39.39).

13

16. Se crean nombres en un renglndeterminado de los elementosnecesarios a calcular para aplicar elmodelo de Black-Scholes. Estoselementos son: Tiempo (1 a 20) Precio del ejercicio (K) 1 2 (1) (2)

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17. Se inventan 20 precios del ejercicio (K)que utilizaremos como precios futurosde cierre. Es recomendable utilizarprecios que comiencen por debajo delos precios histricos hasta preciosque rebasen los mismos precioshistricos.

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18. Se calculan los valores de los siguienteselementos siguiendo las frmulas

1 =ln(/)+ +

2

2

2 = 1

Algunos de los valores deben fijarse,por lo que se debe escribir el signo depesos $ antes de la letra de la columnay antes del nmero del rengln (porejemplo $D$4)

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19. Se calculan las probabilidades de la distribucin Normal correspondientes a losvalores de los elementos 1 y 2 . Se utiliza la funcin de Excel.. , la cual nos encuentra la probabilidad del valordeseado.

17

20. Se calculan los precios Call Price y Put Price siguiendo las frmulas = (1)

(2) = 1 1

2 1

18

21. Se copian las frmulas hasta el ltimo precio futuro de cierre inventado.

19

20. Se grafican los Call Price y Put Price

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Call Price y Put Price

Call Price Put Price

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

35.00

40.00

45.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Precio (K) y Call Price

Precio (K) Call Price

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

35.00

40.00

45.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Precio (K) y Put Price

Precio (K) Put Price

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Bibliografa

Utilizacin de la frmula de Black Scholes para valorar opciones, Universidadde Navarra.http://web.iese.edu/pablofernandez/docs/fn-0425.pdf

Miguel ngel Mirs Calvo, Matemticas en Wall Street: La frmula de Black-Scholeshttp://webs.uvigo.es/mmiras/Webpersonal/docusPDF/lugo.pdf

http://www.financialwisdomforum.org/gummy-stuff/BS-Volatility.htm