Fenómenos de transporte. Bird

1. FENOMENOS DE TRANSPORTES E G U N D A E D I C I N

2. Fenmenos de transporte Segunda edicin R. Byron Bird Warren E. Stewart Edwin N. Lightfoot Departamento de Ingeniera Qumica Universidad de Wisconsin-Madison OLIMUSAWILEY8 3. Bird, Robert Fenmenos de transporte = Transport phenomena / Robert Byron Bird. -- 2a. ed. -- Mxico : Limusa Wiley, 2006. 1062 p. : il., fot. ; 20 cm. ISBN: 968-18-6365-8. Rstica. 1. Dlnamica de fluidos l. Steward, Warren, coaut. II. Ligthfoot, Edwin, coaut. 111. Viliagrnez Velzquez, Hugo, tr. V. Zetina Vlez, Atma Rosa, colab. LC: QA929 Dewey: 530.138 - dc21 VERSI~NAUTORIZADA AL ESPAOL DE LA OBRA ORIGINALMENTE PUBLICADA EN INGLES POR JOHNWILEY & SONS,CON EL T~TULO TRANSPORTPHENOMENA COLABORAD~REN LA TRADUCCI~N HUGOVILLAG6MEZ VELZQUEZ REVISI~NT~CNICA ALMA ROSA GRISELDAZETINA VLEZ INGENIERAQ~~~MICAPOR LA FACULTADDE QU~MICADE LA UN~VERSIDADNACIONALAUT~NOMADE MEKICO. DOCEMEEN MATEMATICAS,UNAM.PROFESORADE LA ESCUELADE CIENCIASQU~MICASDE LA UNIVERSIDAOLA SALLE. FENMENOSDETRANSPORTE SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNAPARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIOA O TRANSMITIDA. MEDIANTE NINGN SISTEMA O MTODO, EFECTR~NIMOMECANICO (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, LA GRABACI~NO CUALCiUlER SISTEMA DE RECUPERACI~NY ALMACENAMIENTO DE INFORMACI~N), SIN CONSENflMlENTO POR ESCRITO DEL EDITOR. O2006, EDITORIALLIMUSA, S.A. DE C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES BALOEFIAS95, MCxico, D.F. C.P. 06040 m51 30 0700 55 12 2903 [email protected] www.noriega.com.mx SEGUNDAEDICIN HECHOEN MEXICO ISBN 968-18-6365-8 4. Prlogo La transferenciade cantidad de movimiento, la transmisin de calor y la transferencia de materia surgieron como ramas independientes de la fsica clsica desde hace mucho, pem el estudio unificado de estas disciplinas se ha constituido en un rea fundamental de las ciencias de ingeniera. Este desarrollo, a su vez, iniciado hace menos de medio siglo, contina avanzando y encontrando aplicacionesen campos nuevos como la biotecnologa,la microelectrnica, la nanotecnologay la ciencia de polimeros. La evolucibn de los fenmenosde transporte ha sido tan rpida y extensa que es imposibleabarcarla por completoen un solo libro. A pesar de que hemos incluido muchos ejemplos representativos, nuestro inters primordial, necesariamente, han sidolos aspectosbsicos de este campo. Adems, en plticas con colegashemos encontrado que los fenmenosde transporte se ensean de varias formas y a diversos niveles. En esta edicinse ha incluido suficiente material para cubrir dos moda- lidades de cursos: uno intraductorio y otro avanzado. El curso elemental, a su vez, puede dividirse en un curso cobre transferencia de cantidad de movimiento y en otro sobw transmisin de calor y transferencia de materia, lo que proporciona ms oportunidades para demostrar la utilidad de este material en aplicacionesprcticas. La identificacinde algunas seccionescomo opcionales (O) y otras como avanzadas (O) puede ser til para estudiantes y profesores. Considerados durante mucho tiempo m6s bien como un tema matemtico, los fenmenos de transporte con ms significativospor su importancia fsica. La esen- cia medular de este tema la constituyeel planteamiento cuidadoso y conciso de los principios de conservacin,junto con las expresiones de densidad de flujo (flux),re- calcando las semejanzasy diferenciasentre los tres procesos de transporte considerados. A menudo, la especializacin hasta las condiciones lmite y las propiedades fsicas en un problema especfico puede proporcionar una visin til con esfuerzo mnimo. No obstante, el lenguaje de los fenmenos de transporte es matemtico, y en este libro hemos asumido que el lector est familiarizado con ecuaciones diferenciales ordinarias y con an6lisisvectorial elemental. Introducimos el uso de las ecuaciones diferenciales parciales con una explicacin suficiente de modo que el estudiante interesado pueda dominar el material presentado. Las tcnicas numri- cas se posponen, a pesar de su relevancia evidente, para que el estudiante se con- centre en la comprensin fundamental. A lo largo del texto se da prioridad a Ias citas y referencias bibliogrficas,esto con el fin de ubicar los fendmenos de transporte en su contexto histrico propio y para orientar al lector que desee ahondar en el estudio de los fundamentos y las aplicaciones.Hemos estado particularmenteinteresadosen presentar a los pioneros, a quienes tanto debernos, y en quienes podemos seguir encontrando inspiracin til. Se trata de personas no tan distintas de nosotros mismos, y quizs algunos de nuestros lectoresencuentren en ellos inspiracin para realizar contribuciones semejantes. Es evidente que tanto las necesidades de nuestros lectores como las herramien- tas de que disponen han cambiado enormemente desde que se escribi Ia primera edicin hace ms de 40 aos. Hemos hecho esfuerzos muy serios para actualizar el texto, dentro de los Lmites de espacioy de nuestras habilidades, y nos hemos esfor- zado por anticipar desarrollosfuturos.Algunos de los cambios mis importantes respecto a la primera edicin incluyen los siguientes: , 5. vi Prlogo propiedades de transporte de sistemas de dos fases uso de "densidades de flujos combinadas" para establecerbalances de envoltura y ecuaciones de variacin conservacinde la cantidad de movimiento angular y sus consecuencias obtencin completa del balance de energa mecnica tratamiento ms amplio de la teora de la capa lmite dispersin de Taylor anlisis mejorados de transporte turbulento anlisis de Fourier de transporte turbulento a Pr o Sc elevados inclusin de ms material sobre coeficientesde transmisin de calor y transferenciade masa anlisis ms completos de anlisis dimensional y escalacin mtodos matriciales para transferencia de materia de varios componentes sistemas inicos, separaciones de membrana y medio poroso relacin entre la ecuacin de Boltzmann y las ecuaciones sobre el continuo uso de la convencin "Q + W" en tratamientos de energa, de conformidad con los textos ms importantes de fsica o fisicoqumica. Sin embargo, siempre es la generacin ms joven de profesionistas la que ve el fu- turo con mayor claridad y ec la que debe construir su realidad sobre una herencia imperfecta. Queda mucho por hacer, aunque es de esperar que la utilidad de los fenmenos de transporte aumente en vez de disminuir.Cada una de las estimulantes nuevas tecnologas que estn floreciendo a nuestro alrededor se rige, en el nivel de inters detallado que se quiera, por las leyes de conservacin y las expresiones de densidad de flujo, junto con informacin sobre los coeficientes de transporte. Adaptar los planteamientos de los problemas y las tcnicas de solucin para estas nuevas reas indudablemente mantendr ocupados a los ingenieros durante mucho tiempo, y lo nico que podemos esperar es haber proporcionado una base til a partir de la cual empezar. El ,to de cada libro nuevo depende de muchas ms personas que las que se sefialan en la portada. La deuda ms evidente es ciertamente con los estudiantes perseverantes e inteligentes que en conjunto nos han enseado mucho ms de lo que nosotrosles hemos enseado. Asimismo, losprofesoresque revisaronel manus- crito merecen un agradecimiento especialpor sus numerosas correcciones y comen- tarios ilustrativos: Yu-Ling Cheng (Universidad de Toronto), Michael D. Graham (Univ'ersidad de Wisconsin), Susan J. Muller (Universidad de California-Berkeley), William B. Russel (Universidad de Princeton),Jay D. Schieber(Institutode Tecnolo- ga de Illinois) y john F. Wendt (Instituto von Krmn para Dinmica de Fluidos). Sin embargo, en un nivel ms profundo, nos hemos beneficiado de la estructura y las tradiciones departamentales creadas por nuestros antecesores aqu en Madison. En primer lugar se encuentra Olaf Andreas Hougen, a cuya memoria est dedicado este libro. Madison, Wisconsin. R.B.B. W.E.S. E.N.L. 6. Contenido . -p. . .. - -- Prlogo Ej. 2.3-1 Determinacin de la viscosidad a parfir de datos de flujo capilar 59, , . Captulo O El tema de los fenmenos Ej. 2.3-2 Flujo comprecible en un tubo circular de transporte 1 horizontal 60 S2.4 Flujo a travs de un hibo concntrico 61 s2.5 lujo de dos fluidos inmisciblesadyacentes 64 52 6 Flujo reptante alrededor dc una esfera 66 Parte I Transportede cantidad fl 2 6-7 Dettrnllrrncicnde la ziiscosrdnd a partir dr la zvlocirlnd final d~ 1471d c~ftnraque desrterrdt 70 de n3ovbiento I'reguntns para discusiii 70 Probiemas 71 Captulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidadde movimiento 11 51.1 Ley de viscosidad de Newton (transporte de cantidad de movimiento moiecular) 11 Ej. 7.1-1 Cdlculo de la densidad de Pujo de canfidad de mouirniento 16 1 . 2 Generalizacinde Ia ley de viscosidad de Newton 16 1 . 3 Dependencia de la viscosidad con respecto a la presin y la temperatura 22 Ej. 1.3-1 Esfimacin de la viscosidad a parfir de las propiedades crticas 24 51.4" Teora rnolecular de la viscosidad de gases a baja densidad 25 Ej. 1.4-7 C[cuIode la viscosidad de u n gas puro a baja denstdad 29 Ej. 1.4-2 Prediccin de la viscosidad de una mezcla de gases a baja densidad 30 51.5" Teora molecular de la viscosidad de lquidos 31 Ej. 1.5-1 Estimacin de la viscosidad de un lquido puro 33 s1.6" Viscosidad de suspensiones y de emulsiones 34 7 Transporte de cantidad de movimiento convectivo 37 Preguntas para discusin 40 Problemas 41 , Captulo2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 45 2 . Balances de cantidad de movimiento en Ia envoltura y condicioneslmite 46 s2.2 Flujo de una pelicula descendente 48 Ej. 2.2-2 Clculo de fa velocidad de una pelcula 53 Ej. 2.2-2 Pelcula descendente con viscosidad variable 53 S2.3 flujo a travs de un tubo circular 54 Captulo 3 Ecuaciones de variacin para sistemas isotrmicos 85 53.1. Ecuacin de continuidad 87 Ej. 3.1-1 Esfuerzos normales en superficies slidas para fluidos nmtonianos incompresibles 88 53.2 Ecuacin de movimiento 89 93.3 Ecuacin de energa mecnica 91 53.4" Ecuacin de cantidad de movimieiito angular 93 53.5 Ecuacionesde variacin en trminos de la derivada sustancial 94 Ej. 3.5-2 La ecuacin de Bernoulli para el flujo en estado estacionario de fluidos no viscosos 97 S3.6 Uso de las ecuacionesde variacin para resolver problemas de flujo 98 Ej. 3.6-1 Flujo estacionario en un tubo circular largo 99 Ej. 3.6-2 Pelcula desccndentr con viscosidad variable 101 Ej. 3.6-3 Operacidn de un uiscocmetro de Couette 101 Ej. 3.6-4 Forma de la superficie de un lquido en rofacin 106 Ej. 3.6-5 Flujo cerca de una esfera que gira lentamente 108 53.7 Anlisis dimensional de las ecuacionesde variacin 110 Ej. 3.7-1 Flujo transversal alrededor de un cilindro circular 171 Ej. 3.7-2 Flujo estacionario en un tanque agitado 214 Ej. 3:7-3 Cada de presin para flujo reptante en un tubo de relleno 117 Preguntas para discusin 118 Problemas 118 Captulo 4 Distribuciones de velocidad con ms de una variable independiente 129 4 Flujo dependiente del tiempo de fluidos newtonianos 129 vii 7. viii Contenido Ej. 4.1-1 Flujo cerca de una pared que se pone sribifamenteen movimiento 130 Ej. 4.1-2 Flujo laminar no estacionario entre dos ldminas paralelas 132 Ej. 4.1-3 Flujo laminar no estacionario cerca de una ldmina que oscila 135 54.2" Solucin de problemas de flujo usando una funcin de corriente 137 Ej. 4.2-2 Flujo reptante alrededor de una esfera 238 g . 3 " Flujo de fluidos no viscosos por medio del empleo del potencial de velocidad 141 Ej. 4.3-1 Flujo potencial alrededor de un cilindro 145 Ej. 4.3-2 Flujo Iincia el interior de un canal rectangular 146 Ej. 4.3-3 Flujo cerca de una esquina 148 54.4" mujo cerca de superficies slidas por medio de la teora de la capa limite 150 Ej. 4.4-1 Flujo laminar a lo largo de una ldmina plana (solucidn aproximada) 154 Ej. 4.4-2 Flujo laminar a lo largo de una lmina plana (solucin eracfa) 155 Ej. 4.4-3 Flujo cerca de un;l esquina 157 Preguntas para discusin 158 Problemas 159 Captulo5 Distribuciones de velocidad en flujo turbulento 173 5 . 1 Comparaciones de los flujos laminar y turbulento 175 55.2 Ecuaciones de variacin con ajuste de tiempo para fluidos incompresibles 178 55.3 Perfil de velocidad con ajuste de tiempo cerca de una pared 181 35.4 Expresionesempricas pa7.a la densidad de flujo de cantidad de movimiento turbulento 184 Ej. 5.4-1 Desarrollo de ia expresin de esfumo de Reynolds en la vecindad de la pared 186 55.5 Flujo turbulento en ductos 187 Ej. 5.5-1 Estimacidn de la velocidad media en un tubo C ~ ~ C U ! U ~188 Ej. 5.5-2 Aplicacin de la fdrmula de longitud de mezcla de PraiiJtl a flujo furbulento en un tubo circular 190 Ej. 5.5-3 Magnitud relitiva de la viscosidad y la viscosidad de remolino 190 55.6" Flujo turbulento en chorros 191 Ej. 5.6-1 Distribucin de velocidad con ajusfede tiempo en un chorro de pared circular 191 Preguntas para discusin 196 Problemas 196 Captulo 6 Transporte de interfaseen sistemas isotrmicos 201 6 . 1 Definicin de factores de friccin 202 56.2 Factores de fricci6n para flujo en tubos 204 Ej. 6.2-3 Cuda de presin requerida para una velocidad de flujo dada 208 Ej. 6.2-2 Velocidad de Pujo para una cada de presin dada 209 96.3 Factores de friccin para flujo alrededor de esferas 210 Ej. 6.3-1 Determinacin del dimetro de una esfe~aque desciende 214 56.4" Factores de friccin para columnas de relleno 215 Preguntas para discusin 220 Problemas 221 Captulo 7 Balancesmacroscpicospara sistemas con flujo isotrmico 229 7 . 1 Balance macrosc6pico de materia 231 Ej. 7.1-1 Vaciadode un tanque esfrico 231 57.2 Balance macroscpico de cantidad de movimiento 233 Ej. 7.2-1 Fuerza ejercida por un chorro (Partea) 234 57.3 Balance macroscpicode cantidad de movimiento angular 235 Ej. 7.3-1 Momento de torsidn en un recipienfe mezclador 236 57.4 Balancernacroscpico de energa mecnica 237 Ej. 7.4-1 Fuerza ejercida por un chorro (Parteb) 239 s7.5 Estimacinde la prdida viscosa 240 Ej. 7.5-1 Potencia necesa~iapara el flujo en una tuberfa 242 s7.6 Uso de los balances macroscpicospara problemas de estado estacionario 244 Ej. 7.6-1 Aumenfode presidn y ptrdida por friccin en un ensanchamiento brusco 244 Ej. 7.6-2 Rendimiento deun eyector lquido-lquido 246 Ej. 7.6-3 Empuje sobre el codo de un fubo 247 Ej. 7.64 Chorro que incide 250 Ej. 7.6-5 Flujo isofrmicode un lquido a travs de un orificio 251 57.7" Uso de los balances macroscpicospara problemas de estado no estacionario 253 Ej. 7.7-1 Efectos de la aceleracin en flujo no esfacionnriodesde un tanque cilndrico 253 Ej. 7.7-2 Oscilaciones en un mandmetro 256 57.8. Deduccin del balance macroscpico de energa mecnica 258 Preguntas para discusi6n 261 Problemas 261 Captulo 8 Lquidos polimricos 271 8 . 1 Ejemplos del comportamiento de lquidos polimricos 272 98.2 Reometra y funciones del material 277 8. 58.3 Viscosidad no newtoniana y los modelos newtonianos generalizados 281 Ej. 8.3-1 Flujo laminar en un tubo circular de un fiuido incompresible que obedece la ley de potencias 284 Ej. 8.3-2 Flujo en una rendija estrecha de u n f[uido que obedece la ley de potencias 284 Ej. 8.3-3 Flujo tangencia1 en tubos concntricos de un fluido que obedece la ley de pofencias 285 98.4" Elasticidady los modelos viscoelsticosLineales 286 Ej. 8.4-1 Movimiento oscilatorio de amplitud pequea 289 Ej. 8.4-2 Flujo uiscoelstico no estacionario cerca de una lmina oscilatoria 290 58.50 Las derivadas corrotacionalesy los modelos viscoelsticosno lineales 291 Ej. 8.5-1 Funciones del material para el modelo de Oldroyd de 6 constantes 293 58.6. Teorias moleculares para lquidos polimricos 295 Ej. 8.6-1 Funciones materiales para el modelo ENEF-P 297 Preguntas para discusin 300 Problemas 301 Preguntas para discusin 334 Problemas 335 Captulo 10 Balances de energa en la envoltura y distribuciones de temperatura en slidos y en fIujo laminar 341 510.1 Balances de energa en la envoltura: condiciones lmite 342 s10.2 Conduccin de calor con una fuente de calor elctrica 343 Ej. 10.2-1 Voltaje necesario para producir una determinada elevacin de temueratura en un alambre calentado por una corriente elcfrica 347 Ej. 30.2-2 Alambre calentado con coeficiente de transmisidn de calor y temperatura ambiente de1 aire especificados 347 510.3 Conduccin de calor con una fuente de calor nuclear 348 510.4 Conduccin de calor con una fuente de calor viscosa 351 910.5 Conduccin de calor con una fuente de calor qumica 354 910.6 ~ond;ccion de calor a travs de paredes compuestas 357 E). 10.t;-! Partrlt-S1 cilnclrrn~scornpucsfas 360 Parte 11 Transporte de energa 910.7 Condiicciiide cal;)ren una aleta de erifrianiiento ,762 Captulo 9 Conductividadtrmica y los Ej. 10.7-1 Error en la medicin del terinopar 364 mecanismos de transporte de 510.8 Conveccin forzada 366 energa 309 s10.9 Conveccinlibre 372 Preguntas para discusi6n 376 9 . 1 Ley de Fourier de la conduccin de calor Problemas 377 (transporte molecular de energa) 310 Ej. 9.1-1 Medicin de la conductividad trmica 315 Captulo 11 Ecuaciones de variacin para sistemas 59.2 Dependencia de la conductividad trmica con no isotrmicos 393 respecto a la temperatura y la presin 316 Ej. 9.2-1 Efecto de le presi6n sobre la conductividad frrnica 318 Teora de la conductividad trmica de gases a baja densidad 318 Ej. 9.3-1 Clculo de la conductividad trmica de un gas monoatmico a baja densidad 323 E]. 9.3-2 Estimacin de la conductiuidad trmica de un gas poliatmico a baja densidad 324 Ej. 9.3-3 Prediccidn de la coriductiuidad trmica de una mezcla de gases a baja densidad 324 Teora de la conductividad trmica de lquidos 325 Ej. 9.4-1 Prediccidn de la conductiuidad trmica de un lquido 326 Conductividad trmica de slidos 327 Conductividad trmica efectiva de slidos compuestos 328 Tkansporte de energa convectiva 331 Trabajo asociado con movimientos moleculares 332 Ecuacin de energa 394 Formas especiale; de la ecuacin de energa 396 La ecuacin de movimiento de Boussinesq para conveccin forzada y libre 399 Uso de las ecuaciones de variacin para resolver problemas de estado estacionario 400 Ej. 11.4-1 Transmisin de calor por conveccin forzada en estado estacionario en flujo laminar en un tubo circular 401 Ej. 11.4-2 Flujo tangencia1 en tubos concntricos con generacin de calor viscoso 404 Ej. 11.4-3 Flujo estacionario en una pelcula no isot&tnica 405 Ej. 11.4-4 Enfriamienfopor transpiracin 406 Ej. 11.4-5 Transmisin de calor por conveccidn libre desde una ldmina vertical 408 Ej. 11.4-6 Procesos adiabdticos sin friccin en un gas ideal 411 Ej. 11.4-7 Flujo compresible unidimensional: perfiles de velocidad, temperatura y presin en una onda de choque estacionaria 412 9. x Contenido 511.5 Anlisis dimensional de las ecuaciones de variacin para sistemas no isotrmicos 416 Ej. 11.5-1 Distribucin de temperafuraalrededor de un cilindro largo 419 Ej. 11.5-2 Conveccidn libre en una capa horizontal de fluido; formacin de las celdas de Bnard 421 Ej. 11.5-3 Temperatura en la superficie de un serpentn calentador elctrico 423 Preguntas para discusin 424 Problemas 425 Captulo 12 Distribuciones de temperaturaconms de una variable independiente 439 512.1 Conduccin de calor no estacionaria en slidos 439 Ej. 12.2-1 Calenfamiento de una placa semiinfinita 440 Ej. 12.1-2 Calentamientode una placa finita 441 Ej. 12.1-3 Conduccidn de calor no estacionaria cerca de una pared con densidad de flujo de calor sinusoidal 445 Ej. 12.1-4 Enfriamiento de una esfera en contacto con un fluido bien agitado 446 512.2" Conduccin de calor estacionaria en flujo laminar incompresible 448 Ej. 22.2-1 Flujo laminar en un fubocon densidad de flujo de caior constante en la pared 449 Ej. 22.2-2 Flujo laminar en un fubo con densidad de flujo de calor constanfeen la pared: solucin asinfticapara la regin de embocadura 450 512.3" Flujo potencial de calor estacionario en slidos 452 Ej. 12.3-1 Distribucidn de temperatura en una pared 453 512.4' Teora de la capa limite para flujo no isotrmico 454 Ej.12.4-1 Transrnisi~ide calor en conveccinforzada laminar a lo largode una ldmina plana calentada (mtodointegral de von Kfrmn) 456 Ej. 12.4-2 Transmisidnde calor en conveccinforzada laminar a lo largode una ldminn plana calentada (solucinasintticapara nmeros de Prandfl elevados) 458 Ej. 12.4-3 Conveccinforzada enflujo tridimensional estacionariaa nmeros de.Prandt1 elmados 460 Preguntas para discusin 463 Problemas 463 Captulo 13 Distribuciones de temperaturaen flujo turbulento 479 513.1 Ecuaciones de variacin con ajuste de tiempo para flujo no isotrmicoincompresible 479 913.2 El perfil de temperatura con ajuste de tiempo cerca de una pared 481 513.3 Expresionesempricas para la densidad de flujo de calor turbulento 482 Ej. 13.3-1 Una relacinaproximada para la densidad de flujo de calor en una pared para flujo turbulento en un tubo 483 513.4' Distribucinde temperatura para flujo turbulento en tubos 4&4 513.5" Distribucinde temperatura para flujo turbulento en chorros 488 513.6. Anlisis de Fourier de transporte de energa en el flujo en un tubo con nmeros de Prandtl elevados 490 Preguntas para discusin 491 Problemas 492 Captulo 14 Transporte interfsico en sistemas no isotxmicos 497 514.1 Definicionesde los coeficientesde transmisin de calor 498 Ej. 14.1-1 Cdlculode los coeficientesde transrnisidn de calor a partir de datos experimentales 501 514.2 Clculos analticosde los coeficientes de transmisin de calor para conveccin forzada a travs de hibos y rendijas 503 514.3 Coeficientesde transmisin de calor para conveccin forzada en tubos 509 Ej. 14.3-1 Diseo de un calentador tubular 514 514.4 Coeficientes de transmisin de calor para conveccinforzada alrededor de objetos sumergidos 514 514.5 Coeficientes de transmisin de calor para conveccin forzada a travs de lechos de relleno 518 s14.6" Coeficientesde transmisin de caior para conveccinlibre y mixta 519 Ej. 14.6-1 Prdida de calor por conveccin libre desde un fubo horizontal 523 514.7" Coeficientesde transmisin de calor para condensacinde vapores puros sobre superficies slidas 524 Ej. 14.7-1 Condensacinde vapor en una superficie vertical 527 Preguntas para discusin 528 Problemas 528 Captulo15 Balances rnacroscpicospara sistemas no isotrmicos 533 -- 515.1 Balance macrosc6picode energa 534 515.2 Balance macroscpicode energa mecnica 536 515.3 Uso de los balances macroscpicos para resolver problemasde estado estacionario con perfiles de velocidad planos 538 Ej. 15.3-1 Enfriamiento de un gas ideal 539 Ej. 15.3-2 Mezcla de dos corrientesde gas ideal 540 515.4 Las formasd de los balances macroscpicos 541 Ej. 15.4-1 Intercambiadores de calor paralelos O a confracorriente 543 10. Contenido xi Ej. 15.4-2 Potencia necesaria para bombear uz fluido compresible a travs de una fuberi de grandes dirnensioms 444 515.5" Uso de los balances macroscpicos para resolver problemas de estado no estacionarioy problemas con perfiles de velocidad no planos 547 Ej. 15.5-1 Calentamientode un lquido en un tanque agitado 547 Ej. 15.5-2 Operacinde un controlador de temperatura simple 550 Ej. 15.5-3 Flujo defluidos compresibles a travs de medidoresde calor 553 Ej. 15.5-4 Expansin libre intermitente de un fluido compresible 554 Preguntas para discusin 557 Problemas 557 Capitulo 16 Transporte de energa por radiacin 571 316.1 El espectrode radiacin electromagn6tica 572 516.2 Absorcin y emisin en superficies slidas 574 916.3 Ley de distribucin de Manck, ley de desplazamiento de Wien y ley de Stefan-Boltzmann 577 Ej. 16.3-1 Tmperatura y emisinde enerpk radiante del Sol 581 516.4 Radiacin directa entre cuerpos negros en el vaco a diferentestemperaturas 581 Ej. 16.4-1 Estimacin de la constanfe solar 586 Ej. 16.4-2 Transmisinde calor radiante entre discos 586 516.5" Radiacin entre cuerpos no negros a diferentes temperaturas 586 Ej. 16.5-1 Escudos de radiacin 589 Ej. 16.5-2 Pkrdidas de calor por radiaciny por conveccin libre en un tubo horizontal 590 Ej. 16.5-3 Radiacin y conveccincombinadas 590 516.6" Transporte de energa radiante en medios absorbentes 591 Ej. 16.6-1 Absorcin de una emisin de rayos de radiacin monocromdfica 593 Preguntas para discusin 593 Problemas 594 ,-,,ae* ,'wwP RL v,y (V v) es Ia divergencia del vector de velocidad. La conclusin importante es que se tiene una generalizacin de la ecuacin 1.1-2,y esta generalizacin implica no uno sino dos coeficientes3que caracterizanal fluido:la viscosidad p y la viscosidad dilatacional K. Por lo general, al resolver problemas de dinmica de fluidos no es necesario conocer K . Si el fluido esun gas, a menudo se supone que acta como un gas ideal monoatmico, para el que K es idnticamentecero.Si el fluido esun lquido, a menudo se supone que es incompresible, y en el captulo 3 se demuestra que para lquidos incompresibles(V - v) = O, y en consecuenciael trmino que contienea K se elimina de cualquier manera. La viscosidad dilatacional es importante para describir la absorcin del sonido en gases poliatmicos4y para describirla dinmica de fluidos de lquidos que contienenbur- bujas gaseosa^.^ La ecuacin 1.2-7(oIa 1.2-6)es importantey se usar a menudo. Por lo tanto, en la tabla B.l se escribecompletamenteen coordenadas cartesianas (x, y, z), cilndricas (r, O, z) y esfricas(r, O, +). Los datos de esta tabla para las coordenadas curvilneas se obtienen por los mtodos que se describen en sA.6 y sA.7. Se sugiere que los estudiantes principiantes no se preocupen por los detalles de tales deducciones, sino que ms bien se concentren en utilizar los resultados tabulados. Los captulos 2 y 3 proporcionan bastante prctica para efectuar lo anterior. Las componentes del esfuerzo significan lo mismo en coordenadas curvilneas que en coordenadas cartesianas.Por ejemplo, 7, en coordenadas cilndricas, que se encontrar en el captulo 2, puede interpretarse como: i) la fuerza viscosa en la direccin z sobre un rea unitaria perpendicular a la direccin r, o ii) la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento en la direccin z en la direccinr positiva. En la figura 1.2-2se ilustran algunos elementosde superficie tpicos y componentes de esfuerzotensoriales que surgen en la dinmica de fluidos. Los esfuerzos cortantes suelen ser fciles de visualizar, pero los esfuerzos normales pueden provocar problemas conceptuales.Por ejemplo, r,, es una fuerza por rea unitaria en la direcci6n z sobre un plano perpendicular a la direcciOn z. Para el flujode un ffuido incompresibleen el canal convergente de la figura 1.2-3,intuitivamente se sabe que v, aumenta al disminuir z; por lo tanto, segn la ecuacin 1.2-6, existe un esfuerzoT ~ ,= -2p4L(dvz/az) diferente de cero que acta sobre el fluido. ZC.-L.-M.-H.Navier, Ann. Chimie, 19,244-260 (1821);S.-D.Poisson, J. Ecole Polytech., 13,Cahier 20, 1-174 (1831); G.G. Stokes, Ttans. Camb. Phil. Soc.,8,287-305 (1845).Claude-Louis-Marie-Henn Navier (178518.16)h e ingeniero civil cuya especialidad era la construccinde carreteras y puentes; George Gabriel Stokes (1819-1903)ensen en la Universidad de Cambridge y fue presidente de la Roya1Cociety. Navier y Stokes son bien conocidos debido a las ecuacionesde Navier-Stokes(vase captulo 3).Vase tambin D.J.Acheson, Elementay Fluid Mechanics, Oxford University Press (1990),pp. 209-212,218. Algunos autores se refieren a p como la "viscosidad del esfuerzo cortante", pero esta denominacin es inapro- piada porquep puede surgir tanto en flujos no cortantes como en flujos cortantes. La expresin "viscosidad dinmica" tambin se observa ocasionalmente,pero este tnnino tiene un significado muy especificoen el campo de la viscoelas- ticidad y es un trmino inadecuado para p. 'L. Landau y E.M.Lifshitz,op. cit., captulo VIII. G.K. Batchelor,An lntroducfionLo Fluid Dynamicc, Cambridge University Press (1967),pp. 253-255. 32. s1.2 Generalizacinde la ley de viscosidad de Newton 21 La fuerza ejercidapor el fluidoenla direccin +sobreel elemento de superfiae (RdB)(dz)es -~,,gl,,~Rd@dz Esfera slida "YR, La fuerzaejercida por el fluidoen la diFecci6n 6 sobreel elementode Y superficie(M@)(Rsen 8d#) es - ~ ~ I , , ~ ~ ~ s e n B d 8 @ Cilindrosdo de radioR La fuerza ejercida por el La fuerza ejercida por el fluidoen la direccin fluidoen la direcci6n +zsobreel elemento $ sobreelelemento de de superficie(RdB){dz)es superficie (Rd8)(R sen 13dq5) -r,l,,~RdOdz es -7@lrE RR2senedB@ Cilindroslido @Lafluidozfuerzasobreenejercidaellaelementodireccinpor el de superficie(dr)(dz)es +TOZ 1O =(m/z~-&~dz W a Y I (0) fl ia fuerza ejercida por el fluidoen la direcci6n I r sobreel elementode Cono s6lido -7&10=ar~enadr& Figura 1.2-2 a) Algunos elenientos de superficie tpicos y esfuerzos cortantes en el sistema de coordenadas cilndricas. b)Algunos elementos de superficie tpicos y esfuerzos cortantes en el sistema de coordenadas esfricas. Nota sobre la convencin de signos para el tensor de esfuerzo. Respecto a la ecuacin 1.1-2(y en la generalizacin en esta seccin)hemos recalcado que ryxes la fuerza en la direccin x positiva sobre un plano perpendicular a la direccin y, y que esta es la fuerza ejercida por el fluido en la regin de menor y sobre el fluido de mayor y. En la mayor parte de los libros sobre dinmica de fluidos y elasticidad, las palabras "menor" y "mayo' con intercambiabIes y la ecuacin 1.1-2se escribe como 33. 22 Caphilo 1 Viscosidad y mecanismosdel transporte de cantidad de movimiento Figura 1.2-3 El flujo en un canal convergente es ejemplo de una situacin en que los esfuerzos normales no soncem. Debi a que u, es '@una funcin de r y z, la componente de esfuerzo normal rz2 -&(dv,/dz) es diferente de cero. Tambin, como v, depende de r y z, la componente de esfuerzo normal T , ~= -@(du,/Jr) no es igual a cero. Sin vztr) embargo, en la pared todos los esfuerzos nom~alesdesaparecen para fluidos descritos por la ecuacidn 1.2-7 en el supuesto de que la densidad sea constante (vanseel ejemplo 3.1-1y el problema 3C.2). T = +p(dv,/dy). Las ventajas de la convencin de signos que se usa en este libroYX son:a) la convencin de signos usada en la ley de viscosidad de Newton es consisten- te con la que se usa en la Iey de Fourier de conduccin de calor y la ley de difusin de Fick; b) la convencinde sgnos para rii es la misma que para la densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivopw (vanse 93.7y la tabla 19.2-2);c) en la ecuacin 1.2-2, los trminos $ij y 7ij tienen efmismo signo fijado,y los trminos p y T~~con ambos positivos para compresin (en concordancia con el uso comn en termodinmica);6)todos los trminosen la produccin de entropa en la ecuacin 24.1-5 tienen el mismo signo. En las ecuaciones 1.1-2y 1.2-6 resulta evidente que la convencin de signos es arbitraria, por lo que puede usarse cualquiera de stas, con tal be que el significadofsico del signo se comprenda claramente. 1.3 DEPENDENCIA DE LA VISCOSIDAD CON RESPECTO A LA PRESIN Y LA TEMPERATURA En varios manuales de ciencias e ingeniera pueden encontrarse datos extensos sobre las viscosidades de gases y lquidos puros.1Cuando se carece de datos experimentales y no se tiene tiempo para obtenerlos, la viscosidad puede estimarse por mtodos empricos,utiIizando otros datos sobre la sustancia dada. Aqu presentamos una correlacin de estados corresporzdiertes, que facilita tales estimaciones e ilus- tra tendencias generales de viscosidad con la temperatura y la presin para fluidos ordinarios. El principio de los estados correspondientes, que tiene una slida base cientfica? se utiIiza bastante para correlacionar datos de la ecuacin de estado y ter- modinmicos. Anlisis de este principio pueden encontrarse en libros de texto de fisicoqumica y termodinmica. 'J.A.Schetz y A.E. Fuhs (compiladoros),Handbook ofFluid Dynamics and Fluid Machincry, Wiley-lnterscience, Nueva York (19661,Vol. 1,captulo 2; W.M. Rohsenow,J.P.Hartnett y Y.I. Cho, Handbwk of H ~ a tTransfer, McGraw-Hill. Nueva York, 3a. edicin (1999), capitulo 2. Otras fuentes se mencionan en la nota de pie de pgina 4 de 51.1. J . Millat,J.H.Dymond y C.A. Nieto de Castro (compiladores), TrarrsportProperties of Fluids, Cambridge University Press (19961, capituIo 11, por E.A. Mason y EJ. Uribe, y capitulo 12,por M.L. Huber y H.M.M.Haiiley. 34. 51.3 Dependencia de la viscosidad con respecto a la presin y la temperatura 23 Figura 1.3-1 La viscoci- dad reducidap, =p/p, como una funcin de la temperatura reducida para varios valores de Ia presin reducida. [O.A. Uyehara y K.M.Watson, Nat. PefroleumNms, Tech. Section, 36,764 (4 de oct., 1944);revisada por K.M. Watson (1960).Una versina gran escala de esta grfica se encuentra disponible en O.A. Hougen, K.M.Watson y R.A.Ragatz, C.P.P. Charts, Wiley, Nueva York, 2a. edicin (1960).] Temperatura reducida T, = T/T, La grfica de la figura 1.3-1 proporciona una visin global de la dependencia de la viscosidad con respecto a la presin y la temperatura. La viscosidad reducida ,u, = ,u/,u, se grafic contra la temperatura reducida T, = T/T, para varios valores de la presin reducida p, = plp,. Una cantidad "reducida" es aquella que se ha hecho adi- mensionaI dividindola entre la cantidad correspondiente en el punto critico. El diagrama muestra que la viscosidad de un gas tiende a un lmite (el lmite a baja densidad) a medida que la presin se hace ms pequea; para la mayor parte de los gases, este lmite casi se alcanza a 1atm de presin. La viscosidad de un gas a baja densidad aumenta con un incrementoen la temperatura, mientras que Ia viscosidad de un lquido disminuye con un incremento en la temperatura. Rara vez hay valores experimentales disponibles de la viscosidad crtica ,u,. Sin embargo,^, puede estimarse en una de las siguientes formas: i)si se conoce un valor de la viscosidad a una presin y temperatura reducidas dadas, de preferencia en condiciones cercanas a las de inters, entonces ,u, puede calcularse a partir de ,u, =,u/,u,; o bien, ii) si se cuenta con datos de pV-T crticos, entoncesp, puede estimarse a partir de estas relaciones empricas: 35. 24 Captulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento -Aqu, y, est en micropoises, p, en atm, Teen K y Veen cm3/g-mol. En el apndice E se proporciona una tabulacinde viccosidadescrticas3calculadas con el mtodo i. La figura 1.3-1tambin puede usarse para una estimacin gruesa de viscosidades de mezclas. Para una mezcla con N componentes se utilizan las propiedades "seudo~rticas"~definidas como Es decir, el diagrama se usa exactamente como para fluidos puros, pero con las propiedades seudocriticasen vez delas propiedades crticas. Este procedimiento emp- , rico funciona razonablemente bien, a menos que en la mezcla haya sustancias , qumicamente distintas o las propiedades crticas de los componentes difieran bastante. Hay muchas variantes del mtodo anterior, as como vanos otros empiricmos. Lo anterior puede encontrarse en la extensa compilacin de Reid, Prausnitz y P ~ l i n ~ . ~ Estimar la viscosidad del N, a 50C y 854 atm, dadas M = 28.0 g/g-mol, pc = 33.5 atm y T, = 126.2K. Estimacin de la viscosidad a partir de las propiedades crticas Al aplicar la ecuacin 1.3-lbse obtiene = 189 micropoises = 189 X poise La temperatura y presin reducidas son A partir de la figura 1.3-1se obtienep, = p/pC= 2.39. Por lo tanto, el valor anticipado de viscosidad es p =pc,u/p,) = (189 x 10-6)(2.39)= 452 x poise (1.3-5) El valor medido6es 455 x poise. Esta concordanciaes extraordinariamentebuena. 30.A.Hougen y K.M.Watson. Chemical ProcasPrincipies, Parte 111, Wiley, Nueva York (19471, p. 873. Olaf Andreas Hougen (1893-1986) fue pionero en el desarroiiode la ingenieraqumica durante cuatro d6cadas; junto con K.M. Watsony X.A. Ragatz, escribilibros.importantessobre tennodirnica y cintica. O.A.Hougen y K.M.Watson, ChemiLiI Procesc Priilciplss, Parte 11, Wiley, Nueva York (19471,p. O4. R.C.Reid,J.M. Prausnitz y B.E. +liiig, TheProperties of Cases and Liquids,McGraw-Hill,Nueva York, 4a. edicin (198'71, captulo9. A M.1-F.Michels y R.E. Gibson, Proc Roy. Soc. (Londres),Al34,288-307 (1931). 36. 51.4 Teona molecular de la viscosidad de gasesa baja densidad 25 51.40 TEORA MOLECULARDE LAVISCOSIDAD DE GASES A BAJADENSIDAD Para adquirir una mejor comprensindel conceptotransporte de cantidad de mo- miento rnolecular, analizaremos este mecanismo de transporte desde el punto , vista de una teora cintica elemental de losgases. Consideramos un gas puro compuesto de molculas esfricasrgidas que no se atraen entre s de dimetro d y masa m, y el nmero de densidad (nmerode molculas por volumen unitario) se toma como n. Se supone que la concentracin de las molculas del gas es tan pequea que la distanciamedia entre molculases muchas veces su dimetro d. En un gas como ste se sabe1que, en equilibrio, las velocidades moleculares estn dirigidas aleatoriamente y tienen una magnitud media dada por (vaseel problema 1C.1) donde K es la constante de Boltzmann (vaseel apndice F). La frecuencia de born- bardeo molecular por rea unitaria sobreuno de los lados de cualquiersuperficiees- tacionaria expuesta al gas es La distancia media recorrida por una molcula entre colisiones sucesivas es la trayectoria libre media A, dada por En promedio, las molculas que llegan a un plano habrn experimentadosu ltima colisina una distancia a del plano, donde a est dada de manera muy aproximada Por El concepto de la trayectoria libre media es intuitivamente atractivo, aunque slo tiene sentido cuando A es grande en comparacincon la amplitud de las fuerzas in- termoleculares.El concepto es idneo para el modelo molecular de esferas rgidas considerado aqu. Para determinar la viscosidad de un gas en trminos de los parrnetros del modelo molecular, consideremos el comportamiento del gas cuando fluye paralelo al plano xz con un gradiente de velocidad du,/dy (vase la figura 1.4-1).Suponemos que las ecuaciones 1.4-1a 1.4-4 siguen siendo vlidas en esta condicin de no equilibrio, en e1supuesto de que todas las velocidades moIecularesse calculen con res 'Las cuatro primeras ecuacionesen esta seccinse proporcionansin demostracin.Justificacionesdetalladas se dan en libros sobm teora cinbtica;por ejemplo, E.H. Kennard, Kinetic Theory ofG a s , McGraw-Hill,Nueva York (19381, captulos11y 111. Tambin E.A. Guggenheim,Elementsof the Kinefic Theoy of Gases, Pergamon Press, Nueva York (1960), capitulo 7, ha escritoun breve informe de la teora elemental de la viscosidad.Para resmenes legibles di. la teora cintica de los gases, conslteseel Libro de R.J. Silbey y R.A.Alberty, Physicnl Chemktry,Wiey, Nueva York. 3a. edicin (20011,captulo 17, o bien, el de R.S. Berry,S.A. Rice y J.Ross, Physiml Chemisty, Oxford University Fress, 2a. edicin (2000),capitulo 28. 37. 26 Captulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento L/ Perfil de velocidad v,k) desde e' plano Figura 1.4-1 Transporte con componente molecularde cantidadde movimientoen la direccin x desde el plano en (y - a) hasta el plano en y. pecto a la velocidad media v en la regin en que la molcula dada tuvo su ltima colisin.La densidad de flujo de cantidad de movimiento en la direccin x a travs de cualquier plano con y constante se encuentra al sumar las cantidades de movimiento x de las molculas que cruzan en la direccin y positiva y restar las cantidades de movimiento x de aquellas que cruzan en la direccinopuesta, como sigue: Al escribir esta ecuacin, hemos supuesto que todas las molculas tienen velocidades representativas de la regin en que chocaron por ltima vez y que el perfil de velocidad u,(y) es esencialmente h e a l para una distancia de varias trayectorias li- bres medias. En vista de la ltima suposicin,es posible escribir inclusive Al combinar las ecuacionec 1.4-2, 1.4-5 y 1.4-6 se obtiene para la densidad de flujo neto de la cantidad de movimiento de x en la direccin y positiva sta es la misma forma que la ley de viscosidad de Newton dada en la ecuacin 1.1-2.Al comparar las dos ecuaciones se obtiene una ecuacin para la viscosidad o bien, a1combinar las ecuaciones 1.4-1,1.4-3y 1.4-8 Esta expresin para la viscosidad fue obtenida por ~axwell*en 1860. La cantidad n-d2se denomina seccin transversal de colisin (vasela figura 1.4-2). JamesClerk Mvrwell(1831-1897)fue itno de los ms grandes fisicosde todos los tiempos;es particularmente famoso por su desarrollo en el campodel elechomagnetismoy su contribucin a la teora cintica de los gases. En relacidn con sta,vase J.C.Maxwell, Phil. Mag., 19, 19, Prop. XIll (11160); S.G. Bmsh,Am. l.Phys.,30,269-281(1962). Hay algo de controversiaconcerniente a las ecuaciones 1.4-4y 1.4-9(vease S. Chaprnany T.G.Cowling, The Mathematicul i7feoyof Non-Uniform Gases,Carnbridge University Press,3a. edicin,1970,p. 98);R.E. Cumingham y R.J.J.Williarns, Difision in Gasesand Porous Media, PlenumPress, Nueva York (1980),56.4. 38. 51.4 Teora molecularde la viscosidad de gases a baja densidad 27 Crculo de rea ~ d 2 Figura 1.4-2 Cuando dos esferas rgidas de dimetro d se ,----[ aproximan entre s, el centro de una esfera (en O') "ve" un I circulo de rea mi2alrededor del centro de la otra esfera ,I (en O), sobre el que puede ocurrir una colisibn. E1 rea vd2 I 1 se denomina "seccin transversal de colisin". i I 5 1La deduccin anterior, que proporciona una imagen cuaiitativamente correcta de la transferencia de cantidad de movimientoen un gas a baja densidad, aclara por qu queramos introducir el trmino "densidad de fiujo de cantidad de movimien- to" para ryxen 51.l. La qrediccin de la ecuacin 1.4-9 de quep es independiente de la presin con- cuerda con datos experimentales hasta aproximadamente 10 atm a temperaturas por arriba de la temperatura crtica (vasela figura 1.3-1).La dependencia predicha respecto a la temperatura es menos satisfactoria;los datos para variosgases indican quep aumenta ms rpido que fl.Para describir mejor la dependencia de p respecto a la temperatura, es necesarioreemplazarel modelo de esferasrgidas por uno que retrate de manera ms precisa las fuerzas de atraccin y de repulsin. Tambin es necesario abandonar las teoras de la trayectoria libremedia y usar la ecuacin de Boltzmann para obtener de manera ms exacta la distribucin molemlar de velocidad en sistemas que no estn en equilibrio. Relegando los detalles al apndice D, presentamos aqu Ios resultados Una rigurosa teora cintica de gases monoatmicosa baja densidad h e desarrollada a principiosde siglo xx por Chapman en Inglaterra y de manera independiente por Enskog en Suecia. La teora de Chapman-Enskog proporciona expresionespara las propiedades de transporte en trminos de la energla pofencial intmolecular q(r), donde r es la distancia entre un par de molculas que estn experimentandouna colisin.As, la fuerza intermolecular est dada por F(r)= -dp/dr. La forma funcional exacta de

separacionesr < r,,, Aqu E / Ky T estn en K, a est en angstroms (1A = 10-lo m),V est en cm3/g-m01 y pc est en atmsferas. La viscosidad de un gas monoatmico puro de peso molecuiar M puede escribirse en trminos de los parmetros de Lennard-Jonescomo I potencial cp(r}que describe la I Lasmolculasse atraen interaccinde dos molculas = := entres a separacionesI esfricas no polares. El potencial I r>rm I de Lennard-Jones(6-121,dado por I Cuandor =k,1~pI la ecuacin 14-10,es una de las1 I ha cado hasta muchas ecuaciones empricas 5 JmnKTp=-- o bien p = 2.6693x 10-5 m- (1-4-14) 16 ?rcT2n 02n menosde 0.01E propuestas para ajustar esta - curva.Para r < r,, las molculas r se repelen enhe s, mientras que para r > r,, las molculas se atraen entre s. En la segunda forma de esta ecuacin, si T [=lK y a [=]A, entonces,u [=] g/crn - s. La cantidad adimensional flp es una funcin de variacin lenta de la temperatura adimensionalKT/E,del orden de magnitud de la unidad, dada en la tabla E.2.Se denomina "integral de colisin para la viscosidad", ya que explica los detalles de las trayectoriasque siguen las molculasdurante una colisinbinaria. Si el gas estuvie- ra compuesto por esferas rgidas de dimetro u (en vez de por molculas reales con fuerzas de atraccin y repulsin),entonces fiF sena exactamente igual a la unidad. Por tanto, la funcin puede interpretarse como si describiese la desviacin respecto al comportamiento de las esferas rgidas. Aunque Ia ecuacin 1.4-14es un resultado de la teora cintica de los gases mo- noatmicos, se ha descubierto que tambin es extraordinariamente buena para los gases poliatmicos. La razn de esto es que, en la ecuacin de conservacinde can- 40. 51.4 Teora molecular de la viscosidad de gases a baja densidad 29 tidad de movimiento para una colisin entre molculas poliatmicas, las coordenadas del centro de masa son ms importantes que las coordenadas internas [vase 50.3bI. La dependencia respecto a la temperatura predicha mediante la ecuacin 1.4-14 concuelda bien con la que se encontr a partir de la lnea a baja densidad en la correlacin empricadela figura 1.3-1.La viscosidad de los gasesa baja densidad aumenta con la temperatura, aproximadamente como de la potencia 0.6 a la 1.0de la temperatura absoluta, y es independiente de la presin. Para calcular la viscosidad de una mezcla de gases puede usarse la extensin para varios componentes de ia teora de Chapman-Ensk~g.~(~De manera alternativa, es posible usar la siguiente frmula emprica bastante satisfactoria:' donde las cantidades adimensionales son Aqu N es el nmero de especies qumicas en la mezcla, x, es la fraccin molar de la especiea,p, es la viscosidad de la especiepura a a la temperatura y presin del sistema, y M, es el peso molecular de la especiea. Se ha demostrado que Ia ecuacin 1.4-16reproduce valores medidos de las viscosidades de mezclas dentro de una desviacin media aproximada de 2%. La dependencia de la viscosidad de la mezcla respecto a la composicin es extremadamente no lineal para algunas mezclas, en especial aquellas de gases ligeros y pesados (vase el problema 1A.2). Para resumir, las ecuaciones 1.4-14, 1.4-15y 1.4-16son frmulas tiles para calcular viscosidadesde gases no poIares y de mezclas de gases a baja densidad a partir de valores tabulados de los parmetros a y E / K de la fuerza intermolecular.No proporcionan resultados confiables para gases que constan de molculas polares o bastante alargadas debido a los campos de fuerza dependientes del ngulo que existe entre esas molculas. Para vapores polares, como H20,NH,, CH,OH y NOCl, una modificacindependiente del ngulo de la ecuacin 1.4-10ha dado buenos resultado~.~Para los gases ligeros Hgy He por debajo de aproximadamente 100K, es necesario tener en cuenta los efectosc~nticos.~ Hay disponibles muchos empirismos adicionales para estimar viscosidades de gases y mezclas de gases. Una referencia estndar es la de Reid, Prausnitz y I'oling.10 Calcularla viscosidad del C 0 2a 200,300 y 800 K y 1 atm. Clculo de la viscosidad de ungas puro a baja densidad 7C.R.Wilke,J. Chem.Phys., 18,517-519(1950);vase tambinJ.W.Buddenberg y C.R.Wilke, Ind. Eng. Chm., 41, 1345-1347(1949). E.A. Mason y L. Monchick,J. Chem. Phys., 35,1676-1697 (1961) y 36,1622-1639,2746-2757 (1962). 1.0 Wschfelder, C.E Curtissy R.B.Bird,op. cit., captulo 10;H.T.Wood y C.F.Curtiss,J. Chem. Phys., 41, 1167- 1173(1964);R.J. Munn, EJ. Smith y E.A. Mason, J. C h m . Phys., 42,537-539 (1965);S. Imam-Rahajoe, C.F.Curtiss y R.B. Bernstein, J. Chem.Phys., 42,530-536 (1965). 'O R.C. Reid,J.M.Prausnitzy B.E. Poiing, The Properties of Gases and Liquids, MGraw-HiIi, Nueva York, 4a. edicin (1987). 41. 30 Capitulo 1 Viscosidad y mecaiiismos del transporte de cantidad de movimiento Usar la ecuacin 1.4-14.A partir de la tabla E.1 se encuentra que los par6metros de Lennard- Jones para el COZson E/K = 190K y a = 3.996 A. El peso molecular del CO, es 44.01. Al sus- tit~iir?,: y u en la ecuacin 1.4-14 se obtiene dondep [=l g/cm - S y T [=] K. Los cIcu1os restantes pueden presentarse en una tabla. Viscosidad (g/cm .S) T(K) KTIE % ./T Predicha Observadal' Para efectos de comparacin, en la ltima columna se muestran datos experimentales. La buena concordai-iciaera de esperarse, ya que los parmetros de Lennard-Jones de la tabla E.1 se obtuvieron a partir de datos de viscosidad. Calcular la viscosidad de la siguientemezcla de gases a 1atm y 293 K a partir de los datos pro- porcionadossobrelas componentespuras a las mismas presin y temperatura: Prediccin de la -. f viscosidad de una -9 mezcla de gases a baja Fraccin Peso Viscosidad,p, densidad Especiea molar, x, molecular,M, (g/cm . S) * q c f 1 ; 1.COZ 0.133 44.01 1462 x 10-7 2. O2 0.039 32.00 2031 X 10-7 Usar las ecuaciones 1.4-16y 1.4-15(en ese orden).Los clculos pueden sistematizarse en forma tabular; as: 11 H.L.Johnstnn y K.E. McCloskey, J. Phys.Chem., 44,1038-1058 (1940). 42. i 91.5 Teora molecular de la viscosidad de lquidos 31 As, la ecuacin 1.4-15 p r o p o r c i o n a E1 valor o b s e ~ a d o ' ~es 1793 X g/cm .s. Kirkwood y colaboradoresdesarrollaron una rigurosa teora cintica de las propiedades de transporte de lquidos mon~atmicos.~Sin embargo, esta teora no conduce a resultados fciles de usar. Una teora ms antigua, desarrollada por ~ ~ r i n g ~y colaboradores, aunque menos bien fundamentada tericamente, proporciona una descripcin cualitativadel mecanismo de transporte de cantidad de movimientoen lquidos y permite una estimacin gruesa de la viscosidad a partir de otras propiedades fsicas.Analicemosbrevemente esta teora. En un lquido puro en reposo, las molculas individuales estn constantemente en movimiento.Sin embargo, debido a su estrecha cercana, el movimientoest bastante restringido a una vibracin de cada molcula dentro de una "caja" formada por sus vecinos ms prximos. Esta caja se representa por medio de una barrera de energa de altura A GA/, donde A es la energalibre de activacin molar para es- capar de la caja en el fluido estacionario(vase la figura 1.5-1).Segn Eyring, un 1- /Sitio vacante o "hueco" en la retcula Capa C Capa B Figura 1.5-1 Ilustracin de un proceso de escape en e1 flujo de -En el fluido en poso '60 - un lquido. La molcula 1debe b - En el fluidobajo esfuerzo7yx pasar a travs de un "cuello de W - botella" para alcanzar un sitio X vacante. 1 2 ~ .Herning y L. Zipperer, Gas-und Wasserfoch, 79,49-54,69-73 (1936). J.H.lMng y J.G. Kirkwood, J. Chem. Phys., 18,817-823(1950); R.J Bearman y J.G. Kirkwood, 1.Cheni. Phys.,28, 136-146(1958).Para publicacionesadicionales,vase John Gamble Kirkwood, Collected Works, Gordon and Breach, Nueva York (1967).John Gamble Kirkwood (1907-1959)contribuy mucho a la teora cintica de 10s lquidos, ~ro~iedadesde solucionesde polneros, teora de electrlitos y termodinmica de procesos irreversibles. S. Giasstone, K.J.Laidler y H Eyring, Theory of Rate Processrs, McCraw-Hill, Nueva York (19411, captulo 9; H. Eyring, D. Henderson, B.J.Ctover y E.M. Eyrng, Statisticnl Mechanics, Wiley, Nueva York (19641, capitulo 16. Vase tambih R.J. Silbey y R.A. Alberty, Physicul Chonistry, Wey, 3a. edicin (2001),520.1; y R.S. Beny, S.A. Rice y J. Ross, Physical Chernisfry,Oxford University Press, 2a. edicin (2000),capitulo 29. Henry Eyring (1901-1981)desarroll teoras para las propiedades de transporte basndose en modelos fsicossimples; tambin desarroll la teora de las veloQdades de &accin absolutas 43. 32 Captulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento quido en reposo experimenta continuamente reordenamientos, en los que una molcula a la vez escapa de su "caja" hacia un "hueco" adyacente, y que entonces las molculas se mueven en cada una de las direcciones de coordenadas en saltos de longitud a a una frecuencia v por molcula.La frecuencia est dada por la ecuacin de velocidad KT Y = -exp(-~GJ / RT) (1.5-1) h Donde K y h son las constantes de Boltzmann y Planck, respectivamente,fles el n- mero de Avogadro y R = Kes la constante del gas (vase el apndice F). En un fluido que circula en la direccin x con un gradiente de velocidad dv,/dy, la frecuenciade los reordenamientosmolecularesaumenta. El efectopuede explicar- se al considerar la barrera de energa potencial como distorsionada bajo el esfuerzo aplicado T ~ ,(vasela figura 1.5-11,de modo que donde Ves el volumen de un m01de lquido, y t ( a / o ) ( ~ ~V/2) es una aproximacin al trabajo realizado sobre las molcuIas a medida que se mueven hacia la parte superior de la barrera de energa, movindose con el esfuerzo cortante aplicado (signo positivo)o contra el esfuerzocortanteaplicado (signonegativo).Ahora definimos u+ como la frecuenciade saltos hacia adelante y u- como la frecuencia de saltos hacia atrs. Entonces, a partir de las ecuaciones 1.5-1 y 1.5-2se encuentra que KT v, = -exp(-aC; / RT) exp(+ar,v /ZSRT) h (1-5-3) La velocidad neta con que las molculas en la capa A se deslizan por encima de las que estn en la capa B (figura 1.5-1)es justamente la distancia recorrida por salto (a) multiplicada por la frecuencia neta de saltos adelante (u, - u-); esto proporciona El perfil de velocidad puede considerarsecomo lineal sobrela muy pequea distancia S que hay entre las capas A y B, de modo que Al combinar las ecuaciones1.5-3 y 1.5-5,finalmente se obtiene Lo anterior predice una relacin no lineal entre el esfuerzo cortante (densidad de flujode cantidad de movimiento) y el gradiente de velocidad; es decir,flujo no newtoniano. Este comportamiento no lineal se analiza con ms detalle en el captulo 8. 44. 51.5 Teora molecular de la viscosidad de iquidos 33 "3 EJEMPLO 1.5-1 i Estimacin de la viscosidadde un lquido puro Sin embargo, la situacingenerales que a7 .I'/~sRT>-Dpcon partculas slidas de tamaiio caracterstico D, r B Figura 3B.5 Viscoshetro de discos paralelos. E6,, Salida de fluido una frmula para deducir la viscosidad a partir de estas mediciones. Supngase flujo reptante. de r y O, con las otras componentes de la velocidad @wala cero. a") Usar la ecuacin de continuidad para demostrar que u, den g = ~ ( r ) ,donde u(r)es una funcin de r por determinar. 3" - 'b) Escribir la componente 6 de la ecuacin de movimiento para este sistema, suponiendo que el flujo es suficiente- niente lento, de modo que el trmino [v - Vv] es desprecia- ble. Demostrar que lo anterior da r o=---+pl doP [ l (r2%)] (38.4-1) r ae sen O r' dr ihiih h) Separar lo anterior en dos ecuaciones f,? donde B es la constante de separaci611, y resolver las dos eduacionespara obtener I a) Postular que para valores pequeos de R los perfiles de velocidad tienen la forma v, = O, u, = O y ve = rf(z);por qu parece razonable esta forma para la velocidad tangencia? Postular adems que 9 = P(r, z). Anotar las ecuaciones simplificadasde continuidad y movimiento resultantes. b) A partir de la componente 6 de la ecuacin de movimiento, obtener una ecuacin diferencialpara ftz).Resolver la ecuacin paraflz) y evaluar las constantes de integracin. Al final, esto lleva al resultado ve = Ckr(z/B). El lector hubiera podido adivinar este resultado? c) Demostrar que la ecuacin deseada que funciona para deducir la viscosidad es p = 2BTz/dlR4. d) Analizar las ventajas y las desventajas de este instru- mento. 38.6 Flujo axial circulante en tubos concntricos (figura 3B.6). Una varilla de radio KRse mueve hacia arriba con velocidad constante vo a travs de un recipiente cilndrico de radio interior R que contiene un lquido newtoniano. El lquido circula en el cilindro, movindose hacia arriba a lo largo de la varilla central mvil y hacia abajo a lo largo de la pared fija del recipiente. Encontrar la distribucin de velocidad en la regionanular, lejosde Ias perkirbaciones finales. U(T) = '"1-g2)R [ ( l - ~ ) + ~ ~ - q ) ](38.4-5) i; 4p ln cot(E / 2) La vanlla de radioKR S5 "' se muevehana arriba donde y Y2 son los valores de la presin modificada a f = E y 6 = .rr - E, respectivamente. d) Usar los resultados anteriores para obtener la velocidad de flujomsico / -< ~ ( 9 ~- - B , ) R ~ ( ~ - K ) ~ ~ (3B.4-6) w = El cilindrode longltudL 12p in C O ~(E / 2) I I hene un radiointerior m. 4 ;$ R (conL >>R) 3B.5 Viscosimeho de discos paralelos (figura3B 5).Un fluido,cuya viscosidad debe medirse, se coloca en el inter- valo de espesor B que hay entre los dos discos de radio R. Ce mide e1 momento de torsin T, necesario para hacer girar el disco superior a una velocidad angular 0.Obtener Figura 3B.6 Flujo circulante producido por una varilla que se mueve axialmente en una regin anular cerrada. 131. 122 Captulo 3 Ecuacionesde variacin para sistemas isotrmicos Flujos semejantes a ste ocurren en los seHos de alguna maquinaria de vaivn o alternativa; por ejemplo, en el espacio anular entre anillos de pistones. a) Primero, considerar el problema en que la regin anular es bastante estrecha; es decir, donde K es apenas menor que la unidad. En ese caso el anillo puede aproximarse por una delgada rendija plana y puede despreciarse la curvatura. Demostrar que en este lmite la distribucin de velocidad est dada por donde 4 = r / R . b) Despubs, trabajar el problema sin la suposicin de la rendija delgada. Demostrar que la distribucin de velocidad est dada por 3B.7 Densidades de flujo de cantidad de movimiento para flujo reptante dentro de una ranura (figura 3B.7).Un lquido newtoniano incompresible circula muy lentamente hacia el interior de una ranura muy delgada de espesor 2B (en la direccin y) y ancho W(enla direccin2). La velocidad de flujo msico en la ranura es w. A partir de los resultados del problema 2B.3 puede demostrarse que la distribucin de velocidad dentro de la ranura es en sitios no muy prximos a la entrada. En la regin fuera de la ranura, las componentes de velocidad para flujo rep- tanle son Las ecuaciones 3B.7-1 a 3B.7-4 son slo aproximadas en la regin cerca de la entrada de la ranura para ambos x r O y x 5 O. a) Encontrar las componentes de la densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo p w dentro y fuera de la ranura. b) Evaluar la componente xx de pvv en x = -a, y = 0. C) Evaluar la componente xy de pvv en x = -a, y = +a. d) El flujo total de energa cintica a travs del. plano x = -a es igual al flujo total de energa cintica a travs de la ranura? e) Comprobar que las distribuciones de vebcidad dadas en las ecuaciones3B.7-1a 3B.74 satisfacenla relacin (V.v) = 0. f) Encontrar el esfuerzo normal T~~ e ~ e lplano y = O y tam- bi6n en la superficie slida en x = 0. g) Encontrar el esfuerzo cortante T~~ en la superficie slida en x = O. LESsorprendente este resultado? Para comprender el resultado, Les de ayuda trazar el perfil de velocidad vy contra x en algn plano y = a? 33.8 Distribucin de velocidad para flujo reptante hacia una ranura (figura 3B.7)>Se desea obtener la distribucin de velocidad dada para la regin corriente arriba en el problema previo. Se postula que ve = O, u, = O, v, = v,(r, O) y 8 = P(Y,8). a) Demostrar que la ecuacin de continuidad en coordenadas cilndricas da u, =P@)/r,dondeJ(8) es una funcin de 0 para la cual df/d8 = O en 8 = O y f = O en 0 = x/2. b) Escribir las componentes r y 8 de la ecuacin de movimiento de flujo reptante, e insertar la expresin para f(0) del inciso a). C) Diferenciar la componente r de la ecuaci6n de movimien- to respecto a 0 y la componente 0 respecto a r. Demostrar que lo anterior conduce a d) Resolver esta ecuacin diferencial y obtener una expresin para f(0) que contenga tres constantes de integracin. Adaptadode R.B. Bird, R.C.Armstrongy O.Hassager, Dynamics 0f Figura 3B.7 Flujo de lquido hacia una ranura desde una Poiymeric Liquids, volumen 1,wiley-~nterscience,Nueva York, 2a. edicin regin semiinfinitax < 0. (19871, pp. 42-43. 132. Problemas 123 &. &valuar las constantes de integracin usando las dos b) Demostrar que la componente x de la herza por unidad gQndicione~limite en el inciso a)y el hecho de que la veloci- de rea ejercida por el lquido sobre el cilindro es +dade flujo mdsico total a travs de cualquier superficie debe ser igual a W. Esto da - plr-R cos 8 + r,I,,, sen O (30.9-5) C) Obtener la fuerza F, = 2C7fLpvmejercida en la direccin (3B'8-2) x sobre una longitud L del cilindro. 0 ~ ~ , , u s ,a partir de las ecuaciones de movimiento del 3B.10 Flujo radial entre discos paralelos (figura 38.10). I;;C-cob), obtener 9(r, 0) como Una parte de un sistema de lubricacin consta de dos discos entre los cualesun Iubricante fluyeradialmente. El flujo 9(r,0)=9., -%cos 20 se lleva a cabo debido a una diferencia de presin modifi- ~ w ~ r (3B'8-3) cada Ol - g2entre los radios interior y exterior rl y r2, respectivamente. $ul es el significado fsico de Y,? I a) Escribir las ecuaciones de continuidad y movimiento g)Demuestre que el esfuerzo normal total ejercido sobre la para este sistema de flujo, suponiendo flujo newtoniano en superficieslida en 0 = ~ / 2es estado estacionario, laminar e incompresible. Considere 6 slo la regin rl 5 r 5 r2 y un flujo dirigido radialmente. B. 2 W J (p+ ~ e e ) f e = ~ / 2=pm+- (3B.8-4) b) Demostrar cmo la ecuacin de continuidad permite h ,), TW~Y' simplificarla ecuacin de movimiento para obtener &) Luego, evale re,en la misma superficie slida. $2 dop 1 d24 i)Demuestreque elperfildevelocidad obtenidoenla ecuacin +p-- (3B.10-1)-'F=-dr -dz2 3B.8-2es el equivalentede las ecuaciones3B.7-2 y 3B.7-3. donde Q = ni, es una funcin slo de z. Por qu 4 es inde- 3B.9 Fluio transversal Iento alrededor de un cilindro pendiente de r? (vasela figura 3.7-1).Un fluido newtoniano incompresible C) Puede demostrarse que no existe solucin para lase aproxima a un cilindro estacionario con una velocidad ecuacin 33.10-1 a menos que se omita eI trmino no linealuniformeestacionariau, en la direccin x positiva. Cuando que contienea 4. La omisin de este trmino corresponde a las ecuacionesde variacin se resuelven para flujo reptante, la "suposicin de flujo reptante". Demostrar que para flujose encuentran las siguientes expresiones5para la presin y la velocidad en la vecindad inmediata del cilindro (no son reptante, la ecuacin 3B.10-1 puede integrarse respecto a r para obtenervlidas a grandes distancias): tl, COS8 p(r,O)=p=- C P p - pgr sen 0 Y d) Demostrar que al integrar an ms respecto a z se a, = Cv.[f h(~)R 4 4 r(E)']COSO (3B.9-2) obtiene Aqu p, es la presin lejos del cilindro en y = O y 1 Entrada de fluido C = 2 (3B.9-4) ln(7.4/ Re) con el nmero de Reynolds definido como Re = 2Rvd/p. z = +b a) Usar estos resultados para obtener la presin p, el esfuer- - - - - - - z = -b zo cortante rroy el esfuerzo normal r,, en la superficie del cilindro. r = r1 5VaseG.K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge Figura33.1 Flujo radia1hacia afuera en el entre dos UNversity PESS (19671, pp. 244-246,261. discos circularesparalelos. 133. 124 Captulo 3 Ecuaciones de variacin para sistemas isotrmicos e) Demostrar que la velocidad de flujo msico es Bernoulli para Y1- Y,, la diferencia entre las presiones modificadas corriente arriba y corriente abajo de la contrac- f) Bosquejar las curvas P(r) y v,(r, z). cin? Este resultado coincide con observaciones experi- (38.10-4) mentales? b) Repetir la deduccin para flujo horizontal isotrmico de un gas ideal a travs de una contraccinrepentina. 3B.11 Flujo radial entre dos cilindros coaxiales. Consi- 38.14 Ecuacin de Torricelli para el vaciado de un drese un flujo incompresible,a temperatura constante, que tanque (figura 38.14).Un gran tanque descubierto se llena fluye radialmente entre dos envolturas cilndricas porosas de un lquido hasta una altura h. Cerca del fondo del tanque con radios interior y exterior KRy R. hay un orificio que permite la salida del fluido a la atms- a) Demostrar que la ecuacin de continuidad conduce a fe& Aplique 1a"ec;acin de Bernoulli a una lnea de co- vr = C/r, donde C es una constante. rriente que se extiende desde la superficie del lquido en la parte superior hasta un punto en la corriente de salida justo b) Simplificar las componentes de la ecuacin de movi- fuera del recipiente. Demuestre que esto conduce a una miento a fin de obtener las siguientes expresiones para la velocidad de salida =*h. Esta expresinseconoce distribucin de presin modificada: como ecuacin de Torricelli. d 9 Para obtener este resultado es necesario suponer 3 . 1 1 - 1 incompresibilidad (lo que suele ser razonable para casi dr d0 dz todos los lquidos) y que la altura de la superficiedel fluido C) Integrar la expresin anterior para dB/dr para obtener d) Anotar todas las componentes diferentes de cero de T para este flujo. e)Repetir el problema para esferas concntricas. 3B.12 Distribucin de presin en fluidos incompresibles. Penlope est mirando fijamente un vaso de precipi- tado lleno de un lquido, que para todos los propsitos prcticos puede considerarse como incompresible y cuya densidad es po. Ella le dice a usted que est intentando comprender cmo la presin del lquido varia con la profundidad. Tom el origen de coordenadas en la interfase lquido-aire,con el eje x positivo apuntando lejos del Iqui- do. Ella comenta lo siguiente: "Si simplifico la ecuacinde movimientopara un liquido incompresible en reposo, obtengo O = -dp/dz - ~ ~ y . Puedo resolver esto y obtener p = p,,, - p d z . Eso parece razonable: la presin crece al aumentar la profundidad." "Pero, por otra parte, la ecuacin de estado para cualquier fiuido es p = p(p, T), y si el sistema est a ternperatu- ra constante, esto precisamente se simplifica a p = p(p). Y, como el.fluido es incompresible,p = p(po),y iP debe ser una constante en todo el fluido! Cmoes posible?" Resulta evidente que Penlope requiere dc ayuda. Proporcione una explicacin til. cambia tan le,ntamentecon el tiempo, que la ecuacin de Bernoulli puede aplicarse en cualquier instante (suposicin de estado casi estacionario). Superficie del liquido en la cual "1 = 0 Y P = Patm Lnea de flujode comente tpica '2" Salida de fiuido cn la cual "2 = U~aciadoY P = Patm Figura 38-14 Vaciado del fluido de un tanque. Los puntos "1" y "2" estn sobre la misma lnea de flujo de corriente. 3B.15 Forma de una superficie libre en flujo anular tan- gencial. a) Un lquido se encuentra en el espacio anular entre dos cilindros verticales de radios KR y R, y el liquido est abier- to a la atmsfera en la parte superior. Demostrar que cuando el. cilindro interior gira con velocidad angular fli y el cilindro exterior permanece fijo,la superficie libre del lquido tiene la forma 38-13 Flujo de un fluido a travs de una contraccin repentina. 2([-2 +41n [-f2) (38.15-1) a) Un liquido incompresible fluye a travs dc una contraccin repentina de un tubo de dimetro DI a otro hlbo de di- donde zR es la altura del liquido en la pared del cilindro metro ms pequeo D2.Qu predice la ecuacin de exterior, y f = r/R. 134. Problemas 125 p - - - p p b)Repetir el inciso a) pero con el cilindro interior fijo y e l cilindro exterior girando a una velocidad angular Q,. ,Demostrar que la forma de la superficiedel lquido es e $ ' i5) Trazar un dibujo en el que se comparen estas dos formas ;iela superficie del lquido. 3&.16 Flujo en una ranura con flujo transversal uni-/ / ' gome(figura3B 16).Un fluidocircula en la direccinx positiva a travs de un largo ducto plano de longitud L, ancho wy espesor B, donde L >> W >> B. El ducto tiene paredes porosas en y = O y y = B, de modo que puede mante- &rse un flujo transversal constante, con v - :( y - .,una qonstante, en todas partes. Flujos de este tipo son importantes en relacin con procesos de separacin en los que se utiliza el efecto de difusin por barrido. Al controlar cuida- dosamente el flujotransversales posibleconcentrarlos cons- ifituyentes ms grandes (molculas, partculas de polvo, etctera)cerca de la pared superior. a) Demostrar que el perfil de velocidad para el sistema est dado por medio de la ranura, con las paredes porosas situadas en y = 2b. Su respuesta al inciso a) es donde a = bvop/p y 77 = y / b Este resultado es equivalente a la ecuacin 3B.16-l? 3C.1 Viscosmetro de compresin de discos paralelos6 (figura 3C.I). Un fluido llena por completo la regin entre dos discos de radio R. El disco inferior est fijo, y el disco superior se hace aproximar muy lentamente al inferior con una velocidad constante vo, empezando desde una altura Ho(yHo< O eny = 00, V, =O . para toda t > O A continuacin introducirnosuna velocidad adimensional4 = v,/vo,de modo que la ecuacin 4.1-1 se convierteen 84 $4-=y- (4.1-5) dt ay2 con +(y, 0) = 0, +(O, t) = 1 y 4403, f ) = O, Como las condicionesinicial y lmite s61o contienen nmeros puros, la solucin de la ecuacin 4.1-5 debe ser de la forma 4 = $(y, f; v). Sin embargo, ya que 4 es una funcin adimensional,las cantidades y, f y u siempre deben aparecer en una combinacin dimensional. Las nicas combinaciones adimensionalesde estas tres cantidades son y&o potencias o rnitiplos de esto. Por tanto, concluimos que donde stees el "mtodo de combinacinde variables (independientes)".El "4" se incluye para que el resultadofinal en la ecuacin4.1-14 sevea ms claramente;esto s610 lo sabremoshacer despus de resolver el problema sin ese nmero. La forma de la solucin de la ecuacin 4.16 es posible esencialmente porque en el sistema fsico no hay longitud o tiempo caractersticos. A continuacibnconvertimoslas derivadas en la ecuacin 4.1-5 en derivadas respectoa la "variable combinada" .qcomo sigue: Luego, al sustituir estas expresiones en la ecuacin 4.1-5 se obtiene sta es una ecuacin diferencial ordinaria del tipo dado en la ecuacin C.l-8, y las condiciones limite asociadas son La primera de estas condicioneslmitees la misma que la ecuacin 4.1-3, y la segunda ir-iu- ye las ecuaciones4.1-2 y 4.1-4. Si ahora se hace dQ/dq = +,se obtiene una ecuacin de primer orden de variables separablespara +, que puede resolverse para obtener Despus, al integrar por segunda vez se obtiene += ~ ~ [ ~ x ~ ( - i j ~ ) d ~ +c2 O 141. 132 Captulo4 Distribucionesde velocidad con ms de una variable independiente 1.0 Figura 4.1-2 Distribucin de 0.9 velocidad, en forma adimensional, para flujo en la vecindad de una 0.8 pared que sbitamentese pone en 0.7 movimiento. v, 0.6 - vO 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.8 0.9 1.0 1.11.2 1.3 1.4 1.5 y/* La eleccin de O para el lmite inferior de la integral es arbitraria; otra eleccin hubiera producido un valor distinto de C2, que sigue siendo indeterminado. Ntese que hemos sido cui- dadosos en usar una barra superior para la variable de integracin (3)a fin de distinguirla de la 7 en el lmite superior. La aplicacinde estas dos condiciones lmite permite evaluar ambas constantes de integracin, y por ltimo se obtiene 1:e x p - ? ~ ~ 4(3=1- exp(-$)d~= 1-erfq (4.1-14) [exp(-+)d~ Esta relacin de integrales se denomina funcin de error, lo cual se abrevia como erf q (vase SC.6).Es una funcinbien conocida,disponible en manuales matemticos y en programas de computacin Cuando la ecuacin4.1-14vuelve a escribirseen las variables originales,se convierte en donde erfc q se denomina funcidn de ermr complementariu. En la figura 4.1-2 se muestra una grfica de la ecuacin 4.1-15.Ntese que, al graficar el resultado en trminos de cantidades adimensionales, slo se requiere una curva. La funcin de error complementaria erfc q es una funcin montona decreciente que va de 1 a 0 y cae a 0.01 cuando 77 es aproximadamente 2.0. Podemos usar este hecho para defi- nir un "espesor de la capa lmite" S como esa distancia y para la cual v, ha cado a un valor de 0 . 0 1 ~ ~ .Esto proporciona S = 4 6 c o m o una escala de longitud natural para la difusin de cantidad de movimiento. Esta distancia es una medida de lo que la cantidad de movimiento ha "penetrado" en el cuerpo del fluido. Ntese que este espesor de la capa lmite es proporcional a la raz cuadrada del tiempo transcurrido. Sedesea volver a resolver el ejemplo ilustrativo precedente, pero con una pared fija a una distancia b de la pared mvil en y -O. Este sistema de flujo tiene un lmite de estado estacionario cuando t -+03, mientras que el problema del ejemplo 4.1-1 no lo tena. estacionario entre dos laminas paralelas SOLUCIN As como en el ejemplo4.1-1, la ecuacin para la componente x de la velocidad es 142. @.1 Flujo dependiente del tiempo de fluidos newtonianos 133 Ahora las condicioneslmite son C.I.: en t 5 O, v, = O para O 5 y i- b C.L. 1: en y = O, v, = vo para toda t >O C.L.2: en y = b, v, = O para toda t > O Es conveniente introducir las siguientesvariablesadimensionales: Las elecciones para la velocidad y posicin adimensionalesaseguran que estasvariables irrin deO a 1.La elecci6n del tiempoadimensionalse hace para que en la ecuacin diferencialpar- cial transformada no haya parmetros: La condicin inicia1es 4 = O para r = O, y las condiciones limite son # = 1para 77 = O y Q = O para 7 = 1. Sabemos que en un tiempo infinito el sistema alcanza un perfil de velocidad de estado estacionario#,(q), de modo que en T = m, la ecuacin 4.1-21 se convierteen con 4, = 1para g = O, y 4, = O para 7) = 1.As, se obtiene para el perfil limitantede estado estacionario. Luego es posible escribir donde #fes Ia parte transitoriade la soluci6n, que desaparecea medida que el tiempo tiende a infinito.As, al sustituir esta expresinen la ecuacin diferencial original y en las condiciones Limite, se obtiene para # J ~ con$, =+,para ?=O,y #,=Opara 77 = Oyl. Para resolver la ecuacin 4.1-25 se usa el "mtodo de separacin de variables (dependientes)", donde se supone una solucin de la forma Al sustituir esta solucin de ensayoen la ecuacin 4.1-25 y luego dividir entre el productofg se obtiene 143. 134 Captulo4 Distribuciones de velocidad con ms de una variable independiente El miembro izquierdo es una funcin slo de T,y el derecho es una funcin slo de 77. Esto significaque ambos lados deben ser iguales a una constante. Elegimos designar la constante como -c2 (igualmente hubiera podido usarse c o +c2, pero la experiencia indica que estas elecciones hacen algo mas complicados los procedimientos matemticos subsecuentes). En- tonces la ecuacin 4.1-27 puede separarse en dos ecuaciones Estas ecuacionestienen las siguientes soluciones (vanse las ecuaciones C.l-1 y C.l-3). g = A ~ ~ ~ ~ T f .=B sen c q + C cos cv donde A, B y C son constantes de integracin. A continuacin aplicamos las condiciones limite e inicial como sigue: C.L. 1:debido a que 4, = O para q = O, la funcin f debe ser cero para 77 = O. Por tanto, C debe ser cero. C.L. 2: debido a que 4, = O para q = 1,la funcin f debe ser cero para q = 1. Esto es cierto si B = O o si sen c es cero. La primera opcin llevana a que f = O para todo 77, lo cual sera fsica- mente inaceptable. Por consiguiente, asumimos la segunda opcin, que lleva al requerimien- to de que c = O, +m, +27r, 2 3 ~- .Identificamos estos diversos valores admisibles de c (denominados "valorespropios, valores caractersticoso eigenvalores") como c, y escribimos c, = nw, con n = 0, 21, 52, I 3 . . (4.1-32) Por tanto, hay muchas funcionesadmisibIesfn(denominadas "funciones propias o funciones caractersticas") que satisfacenla ecuacin 4.1-29 y las condiciones lmite; a saber, Las funcionescorrespondientes que satisfacenla ecuacin 4.1-28se denominan g, y estn dadas por g, = ~ , e x ~ ( - n ~ d ~ ) ,con n = O, 51, +2, 23, . - . (4.1-34) C.I.: las combinacionesfd,satisfacen la ecuacin diferencial parcial para 4, en la ecuacin 4.1-25,as como tambin lo hace cualquier superposicin de tales productos. Por consiguiente, para la solucin de la ecuacin 4.1-25 escribimos +m $t = D, exp(-n2r27)sen nav (4.1-35) ,,=a donde an deben determinarse los coeficientesde expansin D, = A,Bn. En la operacin suma, el trmino n = O no contribuye; tambin, debido a que sen(-n)wv = -sen(+n)wq, podemos omitir todos los trminos con valores negativos de n. Por tanto, la ecuacin 4.1-35 se convierte en m 4,= Dn exP(-n2r27)sen naT n = l Segn la condicin inicial, 4, = 1 - para T = O, de modo que m 1-q= D, sennaq n-1 144. $4.1 Flujo dependientede1tiempode fluidosnewtonianos 135 iAhora debemos determinar todos los Dn a partir de esta ecuacin!Esto se hace multiplican- doambos lados de la ecuacin por sen mnq, dondem es un entero, y luegointegrando sobre el intervalofsicamentepertinentedesde 71 = O hasta 7= 1,as: [(l-q)senm7inq= sen nnq sen m q d q n = l (4.1-38) E1miembro izquierdo da 1/mr; las integralesen el miembro derechoson cerocuandon = m ya cuando n = m. Por tanto, la condicininicial lleva a La expresinfinalpara el perfil de velocidad adimensional se obtienea partir de lasecuaciones 4.1-24,4.1-36 y 4.1-39 como exP(-n2r2r)sen nnq (4.1-40) As, la solucinconsta de un trmino Imitede estado estacionariomenos un trmino transi- tono, que desaparece al aumentarei tiempo. Aquellos lectores que intenien por primera vez el mtodo de separacin de variables encontrarn bastante larga y complicada la secuencia de pasos anterior.Sin embargo, ningn paso especfico en el desarrolloes particularmente difcil.La soluci6n final en la ecuacin4.1-40 se ve muy complicadadebido a la operacin suma infini- ta. En realidad, excepto para valores muy pequeos del tiempo, slo pocos de los primeros trminos de la serie contribuyen de manera apreciable. Aunque no lo demostraremosaqu,la solucin de este problema y la del problema precedente estn relacionadas estrechamente.* En el lmite de un tiempo breve que tiende a desaparecer, Ia ecuacin4.1-40 se hace equivalente a la ecuacin4.1-15- Esto es razonable, ya que, para un tiempo muy corto, en este problema el fluido es- t en movimientoslo muy cerca de la pared en y = O, y el fluido no puede "sentir" la presencia de la pared en y = b. Debido a que la solucin y el resultado en el ejern- plo 4.1-1 son por mucho ms sencillosque los de ste, a menudo se usan para repre- sentar el sistema si slo estn implicados tiempos pequefios. Esto es, por supuesto, una aproximacin, pero bastante til. A menudo tambin se usa en problemas de transmisin de calor y transporte de materia. Un cuerpo serniinfinito de lquido est limitadoen un lado por una superficie plana (elpla- no xz). Inicialmenteel fluido y e1slidoestn en reposo.Al instante t = O la superficie slida caminar no sehace oscilar sinusoidalmenteen la direccinx con amplitudXoy frecuencia (circular)w. Es estacionariocerca de decir, el desplazamientoX del plano a partir de su posici6n en reposo es una ldmina que oscila X(t) = Xosen ot 14.1-41) y entoncesla velocidad del fluidopara y = O es dX v,(O,t) =-=Xoocos wf (4.1-42) df Para una solucin por series particularniente buena para tiempos breves, vase H.S. Carslaw y J.C.Jaeser, Conduction of Heat in Solids, Oxford University Pms, 2a.edicin (19591, pp. 308-310. 145. 136 -Captulo4 Distribuciones de velocidad con ms de una variable independiente Designamos la amplitud de la velocidad de oscilacin por vo= Xow y volvemos a escribir la ecuacin4.1-42como v,(O, f ) = vOcos wt = vo % {le"t) (4.1-43) donde %{z) significa "la parte real de 2". Para sistemas oscilantes, por regla generalno se tiene inters en la solucincompleta,sino sloen el "estado estacionarioperidico" que existedespus de que han desaparecido[% "oscilaciones transitorias" iniciales.En ese estado todas las partculas del fluidoen el sistema ejecutarnoscilaciones sinusoidales con frecuencia o,pero con fase y amplitud que son funciones s610 de la posicin. Esta solucin de "estado estacionarioperidico" puede obtenerse por una tcnica elemental que se usa en forma extensa. Matemticamente es una solucin asintticapara t + m. Una vez ms, la ecuacinde movimiento est dada por y las condicionesinicial y lmite estn dadas por C.I.: en t 5 O, v, = O para toda y (4.1-45) C.L. 1: en y = O, u, = vo%(8Wt] para toda t > O (4.1-46) C.L.2: en y = m, u, = O para toda t > O (4.1-47) La condicin inicial no ser&necesaria, ya que nos ocupamos s610 de la respuesta del fluido despus de que la lmina ha estado oscilandodurante mucho tiempo. Postulamos una solucin oscilatoria de la forma Aqu v0 se elige como una funcin compleja de y, de modo que v,(y, t) difiere de v,(O, t) tanto en amplitud como en fase. Sustituimosesta solucin de ensayo en la ecuacin 4.1-44 y obte nemos A continuacin se usa el hecho de que si 3 {z,w]= Vi (z,wt,donde z, y z, son dos cantidades complejas y w es una cantidad compleja arbitraria,entonces zl = z2.As, la ecuacin 4.1-49 se convierte en con las siguientescondiciones limite: La ecuacin 4.1-50 es de la forma de la ecuacin C.14 y su solucin es 146. g4.2 Solucinde problemas de flujousando una funcin de corriente ' 137 Debidoa que fi=~(l/t/Sf(l+ i), esta ecuacin puede volver a escribirsecomo La segundacondicin lmiterequiere que Cl = O, y la primera condicin lmiteda C2= vo.Por consiguiente,la solucin de la ecuacin 4.1-50es A partir de este resultado y la ecuacin4.1-48se obtiene ofinalmente, En esta expresin, la exponencialdescribe la atenuacin del movimiento oscilatono; es decir, la disminucin en la amplitud de las oscilaciones del fluidocon un incrementoen la distancia a partir de la lmina. En el razonamientodel coseno,la cantidad - aqse denomina desplazamiento de fase; es decir,describe en qu medida las oscilaciones del fluidoa una distancia y de la pared estn "fuera de paso" con las oscilaciones de la pared misma. Debe recordarseque la ecuacin4.1-57no es la solucincompleta del problema segn se plantea en lasecuaciones4.1-44 a 4.1-47, sino sb la solucin "peridica de estadoestaciona- rio". La solucincompletase proporciona en el problema 4D.1. - Hasta este punto hemos elegidolos ejemplosy problemas de modo que en la velocidad del fluido slo haba una componente que no desaparece. Es ms difcil obtener soluciones de la ecuacin completa de Navier-Stokes para flujo en dos o tres dimensiones.El procedimientobsico es semejante: se resuelven simultneamente las ecuaciones de continuidad y movimiento,junto con las condiciones inicial y 1- mite idneas, para obtener 10s perfiles de presin y velocidad. Sin embargo,tener la velocidad y la presin como variables dependientes en la ecuacin de movimiento plantea una mayor dificultad en los problemas de flujo multidimensional que en los ms sencillos analizados previamente. En consecuencia, a menudo conviene eliminar la presin al tomar el rotacional de la ecuacin de movimiento, luego de usar el vector identidad [v Vvl =$V(v .v) - [v X [V X VI], que est dado en la ecuacinA.4-23. Para fluidos de viscosidad y densidad constantes, esta operacin da 2[V x v] - [V X[V x [V x VI]]= vv2[v x VI (4.2-1) at sta es la ecuacin de variacin para la verticidad [V X vl; en el problema 3D.2 se proporcionan otras dos formas de escribirla. As, para problemas de flujo viscoso es posible resolver la ecuacin para la vorticidad (una ecuacin vectorial de tercer orden) junto con la ecuacin de continuidad y las condiciones inicial y lmite relevantes para obtener la distribucin de velocidad. Una vez que se conocesta, la distribucin de presin puede obtenerse a partir de la ecuacin de Navier-Stokes en la ecuacin 3.5-6.Algunas veces este m- 147. 138 Capitulo4 Distribuciones de velocidad con ms de una variable independiente todo para resolver problemas de flujo es conveniente incluso para los flujos unidi- mensionales previamente analizados (vase,por ejemplo, el problema 4B.4). Para flujos planos o axisimtricos,la ecuacin para la vorticidad puede volver a formularse introduciendo la funcin de corrienfe $. Para hacer esto, expresamos las dos componentes de velocidad que no desaparecen como derivadas de $ de tal forma que la ecuacin de continuidad se cumpla de manera automtica (vasela tabla 4.2-1).La componente de la ecuacin para la vorticidad que corresponde a la direccin en que no hay flujo se convierteentonces en una ecuacin escalar de cuarto orden para $.Luego, las dos componentesde la velocidad que no desaparecenpueden obtenerse una vez que se encuentra la ecuacin para el escalar 9.En la tabla 4.2-1 se proporcionan los problemas ms importantes que pueden tratarse de esta manera.1 La funcin de corriente en s tambin es interesante. Las superficies de @ constante contienen Zzzeas de corrienfe? que en flujo de estado estacionarioson las trayectorias de los elementos del fluido. El caudal volumtrico entre las superficies$ = I,+ y $ = es proporcional a - En esta seccin seconsidera,comoun ejemplo,el flujoreptante estacionarioque pasa por una esfera estacionaria, que est descrito por Ia ecuacin de Stokes de la ecuacin 3.5-8,vlida para Re 1alrededor de objetosaerodinmicosy que proporciona una descripcin razonablemente aceptable del perfil de velocidad, excepto muy cerca del objeto y ms ail de la lnea de separacin. Entonces, la ecuacin para la vorticidad en la ecuacin 3D.2-1puede simplifi- carse omitiendo el trmino que contienela viscosidad cinemtica.Si, adems, el flujo es estacionario y bidimensional, entonces desaparecen los trminos alat y [w . Vv]. Esto significa que la vorticidad w = IV x VI es constante a lo largo de una lnea de flujo de corriente. Si el fluido que se aproxima a un objeto sumergido no tiene vorticidad lejos de ste, entoncesel flujo ser tal que w = [V X vl es cero en todo el campo de flujo. Es decir, el flujo es irrotacional. Para resumir, si se supone que p = constante y que [V x VI = O, entonces puede esperarse que los flujos bidimensionales proporcionen una descripcin razonablemente aceptable del flujode fluidos de baja viscosidad alrededor de objetos sumergidos. Este tipo de flujo se denominaflujopotencial. Por supuesto, sabemosque esta descripcindel flujoes inadecuada en la vecindad de superficies slidas. Cerca de estas superficies utilizamos un conjunto diferente de suposiciones, que conducen a la teorl de la capa lmite, que se analizar en s4.4.Al resolver las ecuaciones de flujo potencial para el "campo lejano" y las ecuacionesde la capa lmite para el "campo cercano" y luego hacer corresponder asint- ticamente las soluciones para Re grande, es posible adquirir una comprensin de todo el campo de flujo alrededor de un objeto aerodinrnic~.~ Para describir el flujopotencial comenzamoscon la ecuaci6nde continuidad para un fluido incompresible y con la ecuacin de Euler para un fluido no viscoso (ecuacin3.5-9): (continuidad) (V v) = O (4.3-1) (movimiento) En la ecuaci6n de movimiento hemos usado la identidad vectorial [v - Vv] = V :v2 - Iv X [V X vll (vasela ecuacinA4.23). Para el flujo irrotacional en dos dimensiones,el enunciado de que [V x v] = O es (irrotacional) y la ecuacin de continuidad es (continuidad) La ecuacinde movimientopara flujo irrotacionalestacionario puede integrarsepa- ra obtener (movimiento) g4v;?I -t vi) + 9= constante (4.3-5) Es decir, la suma de la presin y la energa cintica y potencial por unidad de volumen es constanteen todo el campo de flujo. sta es la ecuacin de Bernoulli para flu- 'M.Van Dyke, Perturbafion Methods in FIuid hjnarnics, The Parabolic Precc, Stanford,Cal. (1975) 151. 94.3 Flujo de fluidos no viscosos por medio del empleo del.potencial de velocidad 143 jo potencial incompresible, y la constante es la misma para todas las lneas de flujo de corriente. (Esto debe compararse con la ecuacin 3.5-12, la ecuacin de Bernoulli para un fluido compresibleen cualquier tipo de flujo; ah la suma de las tres contribuciones es una constante diferente en cada lnea de flujo de corriente.) Deseamos resolver las ecuaciones4.3-3 a 4.3-5 para obtener u,, vyy 9 como funciones de x y y. Ya hemos visto en la seccin previa que la ecuacin de continuidad en flujos bidimensionalespuede cumplirse escribiendolas componentes de la velocidad en trminos de una funcin de corriente $(x,y). Sin embargo, cualquier vector que tenga un rotacional cero tambin puede escribirse como el gradiente de una funcin escalar (es decir, [V X vJ= O implica que v = -V4).Es muy conveniente, entonces, introducir un potencial de velocidad 4(x,y). En vez de trabajar con las componentes v, y vyde la velocidad, elegimostrabajar con 3r(x,y) y +(x,y). Luego se obtienen las siguientes relaciones: (funcinde corriente) (potencialde velocidad) Ahora las ecuaciones 4.3-3 y 4.3-4 se cumplirn automticamente.Al igualar las expresionespara las componentes de la veIocidad se obtiene stas son las ecuaciones de Cauchy-Riemann, que son las relaciones que deben ser sa- tisfechas por las partes real e imaginaria de cualquier funcin analtica3w(z)= 4(x, y) + i$tx, y), donde z = x +iy. La cantidad w(z)sedenomina potencial complejo.Al diferenciar la ecuacin4.3-10 respecto a x y la ecuacin 4.3-11 respecto a y y luego sumar, se obtiene V2+ = O. Al diferenciar respedo a las variables en orden inverso y luego restar, seobtieneV2$ = O. Es decir, tanto +(x, y) como $(x, y) satisfacenla ecuacin bidimensional de Lap1ace4 Como una consecuencia del desarrollo anterior, parece que cualquier funcin analtica w(z)produce un par de funciones 4(x, y) y $(x, y) que son el potencial de velocidad y la funcin de corriente para algn problema de flujo. Adems, las curvas 4(x,y) = constante y $tx, y) = constante son entonces las lneas equipotenciales y las lneas de flujo de corriente para el problema. Las componentes de la velocidad se obtienen entonces a partir de las ecuaciones 4.3-6 y 4.3-7, las ecuaciones 4.3-8 y 4.3-9 o a partir de - Aqu sesupone que el lector tiene algn conocimientode las funciones analticasde una variable compleja. Introducciones tiles al tema pueden encontrarse en V.L. ShPeter, E.B. Wylie y K.W.Bedford, Fluid Mechnics. McGraw-m, Nueva York, 9a. edici6n (1998),capfhilo8, y en M.D.Greenberg, Fortndations o/ Applied Mnthatics, Prentice-Hd, Englewood Cliffs,N.1. (19781, captulos 11y 12. Inclusopara flujos tridimensionales, la suposicinde flujoirrotacional sigue permitiendo la definicin de un potencialde velocidad. Cuando v = -V+ se sustituye en (V .v) = O, se obtiene la ecuacin tridimensional de Laplace @6= O. La solucin de esta ecuacin es el tema de la "teora de potencial", para la que existe una literatura bastante abundante. Vanse, por ejemplo, P.M. Mom y H. Feshbach, Methods of TheoreticillPhysics,McGraw-Hill, Nueva York (1953),captulo 11;y J.M. Robertcon, Hydmdynomics in Theory and Application, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. (1963, que recalca las apIicacionesen ingeniera.Hay muchos problemas de flup a travs de medios porosos, conduccin de calor, difusin y conduccinelctricadescritos p

Science

Fenómenos de transporte. Bird