View
70
Download
12
Category
Preview:
Citation preview
Program Perkuliahan Dasar UmumSekolah Tinggi Teknologi Telkom
Persamaan Diferensial Orde I
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
2
Persamaan DiferensialPersamaan Diferensial
Definisi Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang
memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB).
Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan Persamaan Diferensial Parsial.
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
3
Persamaan Diferensial (2)Persamaan Diferensial (2) Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila
persamaan diferensial tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunannya bersifat linear.
Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikutan(x) yn + an-1(x) yn-1 + … + a0(x) y = f(x)
dengan an(x) 0 dan an(x), an-1(x), … , a0(x) adalah koefisien PD.
Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya jika tidak disebut PDBL tak homogen.
Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
4
ContohContoh
dtdN(1)
(2) y ’ + 2 cos 2x = 0
(3) y” + ex y’ + sin xy = ex sin x , orde 2
x3 y”+ cos 2x (y’)3= x2 y2 , orde 2
= kN , N = N(t)
(4)
, orde 1 dimana N peubah tak bebas t peubah bebasnya
, orde 1 dimana y peubah tak bebas x peubah bebasnya
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
5
SolusiSolusi Misal ada suatu persamaan diferensial dimana y
sebagai peubah tak bebas yang bergantung pada peubah bebas x atau suatu fungsi y = f (x) disebut solusi PDB jika fungsi y = f (x) disubtitusikan ke PDB diperoleh persamaan identitas.
Solusi umum dan solusi khususJika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarang maka solusi disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus.
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
6
ContohContoh
(1) y = cos x + c solusi umumPersamaan Diferensial y’ + sin x = 0Karena (cos x + c)’ + sin x = -sin x + sin x = 0
(2) y = cos x + 6 solusi khusus Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0 Karena(cos x + 6)’ + sin x = -sin x + sin x = 0
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
7
PDB Orde 1PDB Orde 1
PDB terpisah PDB dengan koefisien fungsi homogen PDB Linier
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
8
PDB terpisahPDB terpisah
PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : g(y) dy = f(x) dx disebut PDB terpisah.
Penyelesaian : integralkan kedua ruasContoh : tentukan solusi umum PD
(x ln x) y' = y , (y’= dxdy
)
1y yex 3 = , y(2) = 0
1.
2.
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
9
ContohContoh
1. Jawab:
(x ln x) y' = y
ydx
dyxx ln
xx
dx
y
dy
ln
xx
dx
y
dy
ln
cxy lnlnlnln
xcy lnlnln
xcy ln
Jadi solusi umum PD tersebut
adalah
xcy ln
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
10
ContohContoh
2. Jawab:
y' = x3 e-y
yexdx
dy 3
dxxe
dyy
3
dxxdye y 3
cxe y 4
4
1
cxy 4
4
1ln
c4)2(
4
1ln0
Jadi solusi khusus PD tersebut
adalah
3
4
1ln 2xy
Diketahui y(2) = 0, sehingga
341 cc
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
11
LatihanLatihan
2
2
1 yx
dxdy
)1(2243 2
y
xxdxdy
)1(' 3
2
xyx
y
221' xyyxy
1)0(,21
cos2
y
yxy
dxdy
0)0(),1)(1(2' 2 yyxy
)21)(21(' 32 xxyy
1)0(,0)1( yyedxdy
e xx
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
12
Fungsi homogenFungsi homogen
Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika
A(kx,ky) = knA(x,y), k konstan sembarang
Contoh : Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak !
1. A(x,y) = x + y A(kx,ky) = kx + ky = k (x + y) = k A(x,y)
A(x,y) = x + y , fungsi homogen dengan derajat 12. A(x,y) = x2 + xy A(kx,ky) = k2x2 + kx ky = k2 (x2+xy) = k2 A(x,y) A(x,y) = x2 + xy , fungsi homogen dengan derajat 2
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
13
PD dengan koefisien fungsi homogen PD dengan koefisien fungsi homogen
PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk ),(),(
'yxByxA
y
dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen.
Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x)
uxuy ''
dx
dy
dx
du
= x + u
dy = x du + u dx
dengan
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
14
ContohContoh
Selesaikan solusi persamaan diferensial berikut
x
yxy
11.
Jawab:
Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx x
yx
dx
dy
x
y
dx
dy1 u
dx
dxudux
1 dxudxudux 1
dxdux x
dxdu
x
dxdu cxu ln
cxx
yln xcxxy ln
Jadi solusi umum dari PD di atas adalah xcxxy ln
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
15
ContohContoh
2.
Jawab:
Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx
2
2 2
x
xyy
dx
dy
x
y
x
y
dx
dy2
2
uudx
dxudux22
dxuudxudux 22
dxuudux 2 x
dx
uu
du
2 x
dx
uu
du2
cxuu
dulnln
)1(
cxduuu
ln1
11
cxuu ln1lnln
0xy2ydx
dyx 22 , y(1)=1
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
16
Contoh (no.2 lanjutan)Contoh (no.2 lanjutan)
cxu
uln
1ln
cx
xyxy
ln1
ln
cxxy
ylnln
cx
xy
y
2)1( cxcxy
cx
cxy
1
2
Diketahui y(1) = 1, sehingga
c
c
11
2
1c
Jadi solusi khusus PD di atas adalahx
xy
2
2
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
17
LatihanLatihan
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini
xyyx
dxdy
23 22
2
2 2x
xyydxdy
yxyx
dxdy
3
2
22
xyxyx
dxdy
yxyx
dxdy
2
34
yxxy
dxdy
2
34
2y dx – x dy = 0
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
18
PDB LinierPDB Linier
PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : 1y + P(x) y = r(x)
disebut PDB linier.
Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integral
dxxPe
)(
dxxPe
)(1y dxxPe
)( dxxPe
)(
1)()( dxxP
ye dxxPe
)(
+ P(x)yr
(x)
= r(x)
Kemudian, kalikan kepada kedua ruas, sehingga diperoleh:
Integralkan kedua ruas
= dx + c dx)x(Pye dxxP
e)(
r(x) Solusi Umum PDB
=
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
19
ContohContoh
1. xy’ – 2y = x3 ex
Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini
Jawab:xexy
xy 22' (bagi kedua ruas dengan x)
Sehingga diperoleh faktor integrasi:
2lnln22
2
xeee xxdxx
kalikan kedua ruas dengan x-2, yaitu:
xeyx
yx
32
2'
1 xey
x
1
2
1 ceyx
x 2
1
22 xcexy x Jadi solusi umumnya adalah 22 xcexy x
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
20
ContohContoh
2. y’ + y = (x + 1)2, y(0) = 3
Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini
Jawab:
Faktor integrasi dari PD di atas adalah:xdxee 1
kalikan kedua ruas dengan ex, yaitu:
21' xeyeye xxx )1()'( 2 xeye xx dxxeye xx 2)1( dxexexye xxx )1(21 2
xcexxy 2121 2
ceexexye xxxx 2)1(21 2
sehingga xcexy 12
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
21
Contoh (no. 2 Lanjutan)Contoh (no. 2 Lanjutan)
Diketahui y(0) = 3, sehingga
c13 2c
Jadi solusi khusus PD di atas adalah xexy 212
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
22
LatihanLatihan
Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini:
211
2'.4
x
xy
y
xxyy sectan'.3
xeyy 2'.1
1')1(.2 2 xyyx
0)1(,1.6 1 yeyxxy x
22'.5 xyy
26
,2sincos2'sin.7
yxxyyx
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
23
Trayektori OrtogonalTrayektori Ortogonal
Masalah dalam TO ini adalah bagaimana mendapatkan keluarga kurva yang ortogonal atau tegak lurus terhadap keluarga kurva lain.
Cara untuk mendapatkan trayektori ortogonal dari suatu kurva adalah sebagai berikut:
Turunkan secara implisit f(x,y) = c terhadap x, nyatakan parameter c dalam x dan y.
Karena tegak lurus maka trayeksi Ortogonal (TO) harus memenuhi:
),(11
yxDfy
Trayektori Ortogonal dari f(x,y) = c, didapatkan dengan mencari solusi dari
),(11
yxDfy
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
24
ContohContoh
2cxy Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva
Jawab:
Langkah-langkah menentukan TO :
1. Tuliskan 2cxy dalam bentuk 2x
yc
Kemudian turunkan yaitu:2cxy
2. TO akan memenuhi PD
cxy 2'
22'
x
yxy
x
yy 2'
y2
x
x/y2
1y1
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
25
Contoh (lanjutan)Contoh (lanjutan)
3. TO dari adalah solusi dari PD berikut:
)(2
22
ellipscyx
y
xy
21
y
x
dx
dy
2
xdxydy2 cx
y 2
22
2cxy
Jadi keluarga yang tegak lurus terhadap parabola2cxy
adalah )(2
22
ellipscyx
x
y
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
26
LatihanLatihan
Tentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut :
222 cyx cxy 222 cyx 4 x2 + y2 = c
4.
2.
1.
5.
y = cx 3.
Program Perkuliahan Dasar UmumSekolah Tinggi Teknologi Telkom
Penggunaan PD Orde IPenggunaan PD Orde I
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
28
Penerapan dalam Rangkaian ListrikPenerapan dalam Rangkaian Listrik
Sesuai dengan Hukum Kirchhoff,
rangkaian listrik sederhana (gambar
samping) yang mengandung sebuah
tahanan sebesar R ohm dan sebuah
kumparan sebesar L Henry dalam
rangkaian seri dengan sumber gaya
elektromotif (sebuah baterai atau
generator) yang menyediakan suatu
voltase E(t) volt pada saat t memenuhi
tEtIRtIL 'Dengan I adalah arus listrik dalam ampere.
R L
S
E(t)
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
29
ContohContoh
Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu
rangkaian RL dengan R = 6 ohm, L = 2 henry dan sebuah
baterai yang menyediakan voltase sebesar E = 12 Volt dan
diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat
t = 0, jika saklar S ditutup).
JawabPersamaan diferensialnya adalah
Atau bisa disederhanakan menjadi 126'2 II
63' II
1.
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
30
Contoh (Lanjutan)Contoh (Lanjutan)
Kemudian kedua ruas kalikan dengan faktor integrasi te3
ttt eCCeeI 333 22
Syarat awal, I = 0 pada saat t = 0, memberikan C = –2
Kita peroleh
Sehingga,
teI 322
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
31
ContohContoh
Dari contoh sebelumnya baterai diganti dengan generator
arus bolak – balik dengan E = 12 sin 9t Volt dan
diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat
t = 0, jika saklar S ditutup).JawabPersamaan diferensialnya adalah
Atau bisa disederhanakan menjadi
tII 9sin126'2
tII 9sin63' Kemudian kedua ruas kalikan dengan faktor integrasi
te3
dtteeI tt 9sin6 33Kita peroleh
2.
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
32
Contoh (Lanjutan)Contoh (Lanjutan)
CtCostSin
eeI
tt 9993
8196 3
3
teCttI 39cos53
9sin51
C53
053
C
tettI 3
53
9cos53
9sin51
Dengan integral parsial, didapat hasil integralnya adalah
Jadi,
Syarat awal, I = 0 pada saat t = 0, memberikan
Sehingga,
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
33
LatihanLatihan
Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu
rangkaian RL dengan R = 106 ohm, L = 1 henry dan sebuah
sumber gaya elektromotif yang menyediakan voltase
sebesar E = 1 Volt dan diasumsikan saat awal arusnya
adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S ditutup).
1.
Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu
rangkaian RL dengan L = 3,5 Henry dan sebuah sumber
gaya elektromotif yang menyediakan voltase sebesar E(t)
= 120 sin 377t Volt dan diasumsikan saat awal arusnya
adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S ditutup).
2.
04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II
34
LatihanLatihan
Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu
rangkaian RL dengan R = 1000 ohm dan sebuah sumber
gaya elektromotif yang menyediakan voltase sebesar E(t)
= 120 sin 377 t Volt dan diasumsikan saat awal arusnya
adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S ditutup).
3.
Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu rangkaian
RL dengan R = 1000 ohm, L = 3,5 henry dan sebuah sumber
gaya elektromotif yang menyediakan voltase sebesar E(t) = 120
sin 377t Volt dan diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I =
0 pada saat t = 0, jika saklar S ditutup).
4.
Recommended