Funciones elementales Matemáticas 1.º Bachillerato Puntos de corte con los ejes Consideramos la...
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Puntos de
corte con los ejes Consideramos la funcin f(x) =x 3 -2x 2 -x+2 Con
el eje OX Resolvemos la ecuacin x 3 -2x 2 -x+2=0 { x=-1 x=1 x=2
Puntos de cortes (-1,0) (1,0) (2,0) Con el eje OY Calculamos f(0)
f(0)=2 Punto de corte (0,2)
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Simetras
axiales: Funciones pares Consideramos la funcin f(x) = x 4 -2x 2 La
funcin es simtrica respecto del eje Y. x=0 d d Una funcin que
presenta este tipo de simetra se denomina funcin par. Por tanto,
f(-x) = (-x) 4 -2(-x) 2 = x 4 -2x 2 = f(x) -x x
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Simetras
centrales: Funciones impares Consideramos la funcin f(x) = x 3 -x
La funcin es simtrica respecto del origen de coordenadas. Una
funcin que presenta este tipo de simetra se denomina funcin impar.
Por tanto, f(-x) = (-x) 3 -(-x) = -x 3 +x = -f(x) -x x d d
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones
polinmicas Se llama funcin polinmica a las funciones f(x) = a n x n
+ a n-1 x n-1 +... + a 1 x + a o donde a n, a n-1,..., a o son
nmeros reales, n es un nmero natural, y a n 0. En este caso se dice
que tenemos una funcin polinmica de grado n. Las funciones f(x) = x
n para n = 1, 2, 3,..... f(x) = x 4 f(x) = x 2 f(x) = x 5 f(x) = x
3 Dominio Recorrido
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones
lineales Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b R se
llaman funciones lineales. (0, b): ordenada en el origen (0, b):
ordenada en el origen f(x) = ax + b, a > 0f(x) = ax + b, a <
0 Dominio: R Recorrido: R Una funcin lineal queda determinada
cuando se conocen las imgenes de dos valores distintos de la
variable independiente. Recorrido: R
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones
cuadrticas Son funciones de la forma y = ax 2 + bx + c, donde a 0,
b, c R Funciones y = ax 2 para diferentes valores de a: Son
parbolas Dominio: R Si a > 0: Recorrido = [0, ) Si a < 0:
Recorrido = ( , 0] a =2 a =1 a = 0,5 a = 2 a = 1 a = 0,5
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Representacin
grfica de funciones cuadrticas f(x) = ax 2 + bx + c, a 0 es una
parbola V V a > 0 a < 0
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato a > 0
convexa ramas hacia arriba mnimo en el vrtice a < 0 cncava ramas
hacia abajo mximo en el vrtice Coordenadas del vrtice: (b/(2a),
f(b/(2a)) Eje de simetra: x = b/(2a) Funciones polinmicas de
segundo grado: f(x) = ax 2 + bx + c (I) Grficas de funciones:
monotona y curvatura
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones
polinmicas de segundo grado: f(x) = ax 2 + bx + c (II) b 2 4ac <
0 no corta al eje OX Punto de corte con el eje OY: (0, c) b 2 4ac
> 0 corta al eje OX en dos puntos b 2 4ac = 0 corta al eje OX en
un punto Grficas de funciones: monotona y curvatura
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Representacin
grfica de algunas funciones polinmicas Grado 3 Grado 4 Grado 5
Grado 6
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones
polinmicas de tercer grado: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (I) a >
0 a < 0 Tipo 1: punto de inflexin cncavoconvexo Sin mximos ni
mnimos relativos y un solo punto de inflexin. Cortan al eje OX en
un solo punto y al eje OY en un solo punto. Tipo 2: punto de
inflexin convexocncavo I I
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones
polinmicas de tercer grado: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (II) a >
0 a < 0 Tipo 3: Mximomnimo Tipo 4: Mnimomximo Con un mximo y un
mnimo relativos y un solo punto de inflexin. Cortan al eje OY en un
solo punto. Pueden cortar al eje OX en 3, 2 1 punto. I I m m M
M
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones
polinmicas de tercer grado: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (II) a >
0 a < 0 Tipo 3: Mximomnimo Tipo 4: Mnimomximo Con un mximo y un
mnimo relativos y un solo punto de inflexin. Cortan al eje OY en un
solo punto. Pueden cortar al eje OX en 3, 2 1 punto. I I m m M
M
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato 1 1 Funciones
racionales Una funcin racional es una funcin cociente de dos
funciones polinmicas; es decir, f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x)
son dos polinomios. Dominio: conjunto de todos los nmeros reales
excepto los que anulan al denominador. Por tanto para hallar el
dominio hay que resolver la ecuacin Q(x) = 0. x - 1 ++ x + 1 f(x) +
+ + Las asntotas de la funcin f(x) = 1/(x 2 - 1) y los cambios de
signo en su dominio.
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final Grficas
de algunas funciones Es una hiprbola Dom (f) = R - {0} Rec(f) = R -
{0} Dom (f) = [0, + ) Rec(f) = [0, + )
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final Dom (f)
= R Rec(f) = R Grficas de algunas funciones irracionales
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato FUNCIN VALOR
ABSOLUTO Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a
cero la funcin, sin el valor absoluto, y se calculan sus races. 2.
Se forman intervalos con las races y se evala el signo de cada
intervalo. 3. Definimos la funcin a trozos, teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la
funcin. 4. Representamos la funcin resultante.
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE UNA
FUNCIN VALOR ABSOLUTO
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final Funcin
valor absoluto - x si x 0 x si x >0 X Y Dom (f) = R Rec (f) =
[0, + )
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato 132-2 Final
Funcin parte entera y = [ x ] X Y Dom (f) = R Rec (f) = {..., -3,
-2, -1, 0, 1, 2,....}
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones
exponenciales Una funcin exponencial es una funcin de la forma f(x)
= a x, siendo x la variable y a un nmero real. Dominio: R.
Recorrido: (0, ) Las grficas de todas las funciones exponenciales
pasan por el punto (0, 1). 0 < a < 1a > 1 f(x) = 2 x f(x)
= e x = (1/e) x f(x) = e x f(x) = 2 x = (1/2) x
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones
logartmicas Una funcin logartmica es una funcin de la forma f(x) =
log a x, siendo x la variable y a un nmero real mayor que 0 y
distinto de 1. Dominio: (0, ). Recorrido: R Las grficas de todas
las funciones logartmicas pasan por el punto (1, 0). Es inversa de
la exponencial: sus grficas son simtrica respecto y = x. 0 < a
< 1a > 1 f(x) = a x f(x) = log a x
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin
logartmica con la base mayor que 1
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin
logartmica con la base comprendida entre 0 y 1
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato 0 1 2 3
10,1510,3010,451111,1510,3511,45 Funcin peridica perodo = T x x + T
Una funcin f(x) es peridica de perodo T si existe un nmero real T
0, llamado perodo, tal que f(x) = f(x + T), para todo x de su
dominio.
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin mantisa
La funcin mantisa hace corresponder a cada nmero el mismo nmero
menos su parte entera. f(x) = x [x] La funcin mantisa, f(x) = x
[x], es peridica de periodo 1.
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato ALGUNAS
GRFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS: Las funciones seno, coseno y
tangente son peridicas, de manera que el periodo de las funciones
seno y coseno es 2 y el de la funcin tangente es . Las funciones
seno y coseno estn definidas para todo el conjunto de los nmeros
reales. Ambas son funciones continuas (no as la funcin tangente).
Las funciones seno y coseno estn acotadas, ya que sus valores estn
contenidos en el intervalo [-1,1]. La funcin tangente no est
acotada. Las funciones seno y tangente son simtricas respecto al
origen, ya que sen(-x)=-sen x; tan(- x)=-tan x. En cambio, la
funcin coseno es simtrica respecto al eje Y: cos(-x)=cos x.
Propiedades de las funciones trigonomtricas
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin seno y
= 1 y = 1 3 Propiedades de la funcin seno: Su dominio que es R. Su
recorrido es el intervalo [1, 1]. Es peridica de perodo 2 . Es una
funcin impar: sen ( x ) = sen x.
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE LA
FUNCIN SENO
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato CARACTERSTICAS
DE LA FUNCIN SENO
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin coseno
y = 1 y = 1 3 Propiedades de la funcin coseno: Su dominio es R. Su
recorrido es el intervalo [1, 1]. Es peridica de perodo 2 . Es una
funcin par: cos ( x ) = cos x. y = cos x y = sen x
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE LA
FUNCIN COSENO
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato CARACTERSTICAS
DE LA FUNCIN SENO
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin
tangente Propiedades de la funcin tangente: Su dominio es R k k Z
Su recorrido es toda la recta real. Es peridica de perodo . Las
recta x = k k Z son asntotas verticales. Es una funcin impar: tan (
x ) = tan x.
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE LA
FUNCIN TANGENTE
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato CARACTERSTICAS
DE LA FUNCIN TANGENTE
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato FUNCIN
COTANGENTE CARACTERSTICAS DE LA GRFICA : Su dominio es toda x n. Su
imagen es el conjunto de todos los nmeros reales. No corta al eje
OY. Corta al eje OX en x = /2n. Las asntotas son x = n. Su periodo
es .
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE LA
FUNCIN COTANGENTE CARACTERSTICAS DE LA GRFICA : Dominio: R {x = k,
k Z } Imagen: R Paridad: ctg x = - ctg(-x) [funcin impar] Periodo:
Corta al eje OX en x = (k+1)/2, k Z No corta al eje OY Las asntotas
son x = k/2, k Z
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato FUNCIN SECANTE
CARACTERSTICAS DE LA GRFICA : Su dominio: R {(2k+1)/2, k Z } Su
imagen es (- , 1] U [1, + ) Corta al eje OY en el punto (0,1). No
corta al eje OX Puntos mximos: ((2k+1), -1) k Z Puntos mnimos: (
(2k,, 1). k Z Las asntotas son x =( 2k+1)/2, k Z Su periodo es
2.
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE LA
FUNCIN SECANTE
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE LA
FUNCIN COSECANTE CARACTERSTICAS DE LA GRFICA : Su dominio: R { (k,
k Z } Su imagen es (- ,1] U [1, + ) No corta ni al eje OY ni al OX
Puntos mximos: ((2k+1)/2, -1) k Z Puntos mnimos: ((2k-1)/2,, 1). k
Z Las asntotas son x = k, k Z Su periodo es 2.
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin arco
seno Propiedades de la funcin arco seno: Su dominio es [1, 1]. Su
recorrido es el intervalo ]. La funcin sen x es inyectiva en /2, /2
En ese intervalo tendr inversa: f(x) = arcsen x. Las grficas de
ambas funciones son simtricas respecto a la recta y = x. y = sen x
y = arcsen x 1 y = x 1 0 1 1
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin arco
tangente Propiedades de la funcin arco tangente Su dominio: R. Su
recorrido es el intervalo ]. La funcin tan x es inyectiva en , En
ese intervalo tendr inversa: f(x) = arctan x. Las grficas de ambas
funciones son simtricas respecto a la recta y = x. y = tan x y =
arctan x y = x 0
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato
TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES La siguiente tabla resume las reglas
bsicas que se deben seguir para efectuar transformaciones a una
grfica que se represente por medio de una frmula o ecuacin.
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final
Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable
dependiente Si la funcin y =f(x) pasa por el punto (x o,y o )
entonces la funcin y =f(x)+a pasa por el punto (x o, y o +a). La
grfica de y = f(x)+a se obtiene trasladando a unidades hacia la
arriba (abajo) la grfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0)
Grfica de y = f(x) Grfica de y = f(x)+2 Trasladamos la grfica de y
= f(x), 2 unidades hacia arriba
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final
Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable
independiente Si la funcin y =f(x) pasa por el punto (x o, y o )
entonces la funcin y =f(x+a) pasa por el punto (x o - a, y o ). La
grfica de y = f(x+a) se obtiene trasladando a unidades hacia la
izquierda (derecha) la grfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0)
Grfica de y = f(x) Grfica de y = f(x+2) Trasladamos la grfica de y
= f(x) 2 unidades a la izquierda
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final
Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable
dependiente Grfica de y = f(x) Grfica de y = 2f(x) Se dilata la
grfica verticalmente al doble Si y = f(x) pasa por (x o,y o )
entonces y = af(x) pasa por (x o, ay o ). Por ello para a>1 esta
transformacin dilata verticalmente la grfica, y para 0 < a <
1 la contrae verticalmente
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final Grficas
de f(x) y de - f(x) (I) Conocida la grfica de y = f(x), la grfica
de g(x) = - f(x) es simtrica respecto al eje de abcisas, ya que los
puntos (x, f(x)), y (x, g(x)) = (x, -f(x)) son simtricos respecto a
este eje Grfica de y = f(x) Grfica de y = - f(x) Se simetriza la
grfica respecto al eje OX
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final
Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable
independiente Si la funcin y = f(x) pasa por el punto (x o,y o )
entonces y = f(ax) pasa por el punto (x o /a, y o ). Si a > 1 la
grfica se contrae horizontalmente. Si 0 < a < 1 la grfica se
dilata horizontalmente Grfica de y = f(x) Grfica de y = f(2x) Se
contrae la grfica horizontalmente a la mitad
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- Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final Grficas
de f(x) y de f(-x) Las grficas de f(x) y de g(x) = f(-x) son
simtricas respecto al eje de ordenadas ya que los puntos (x, f(x))
y (-x, g(-x)) = (-x, f(x)) son simtricos respecto a este eje Grfica
de y = f(x) Grfica de y = f(-x) Se simetriza la grfica respecto al
eje OY