Diapositiva 1

Diapositiva 2

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Puntos de corte con los ejes Consideramos la funcin f(x) =x 3 -2x 2 -x+2 Con el eje OX Resolvemos la ecuacin x 3 -2x 2 -x+2=0 { x=-1 x=1 x=2 Puntos de cortes (-1,0) (1,0) (2,0) Con el eje OY Calculamos f(0) f(0)=2 Punto de corte (0,2)

Diapositiva 3

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Simetras axiales: Funciones pares Consideramos la funcin f(x) = x 4 -2x 2 La funcin es simtrica respecto del eje Y. x=0 d d Una funcin que presenta este tipo de simetra se denomina funcin par. Por tanto, f(-x) = (-x) 4 -2(-x) 2 = x 4 -2x 2 = f(x) -x x

Diapositiva 4

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Simetras centrales: Funciones impares Consideramos la funcin f(x) = x 3 -x La funcin es simtrica respecto del origen de coordenadas. Una funcin que presenta este tipo de simetra se denomina funcin impar. Por tanto, f(-x) = (-x) 3 -(-x) = -x 3 +x = -f(x) -x x d d

Diapositiva 5

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones polinmicas Se llama funcin polinmica a las funciones f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +... + a 1 x + a o donde a n, a n-1,..., a o son nmeros reales, n es un nmero natural, y a n 0. En este caso se dice que tenemos una funcin polinmica de grado n. Las funciones f(x) = x n para n = 1, 2, 3,..... f(x) = x 4 f(x) = x 2 f(x) = x 5 f(x) = x 3 Dominio Recorrido

Diapositiva 6

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones lineales Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b R se llaman funciones lineales. (0, b): ordenada en el origen (0, b): ordenada en el origen f(x) = ax + b, a > 0f(x) = ax + b, a < 0 Dominio: R Recorrido: R Una funcin lineal queda determinada cuando se conocen las imgenes de dos valores distintos de la variable independiente. Recorrido: R

Diapositiva 7

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones cuadrticas Son funciones de la forma y = ax 2 + bx + c, donde a 0, b, c R Funciones y = ax 2 para diferentes valores de a: Son parbolas Dominio: R Si a > 0: Recorrido = [0, ) Si a < 0: Recorrido = ( , 0] a =2 a =1 a = 0,5 a = 2 a = 1 a = 0,5

Diapositiva 8

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Representacin grfica de funciones cuadrticas f(x) = ax 2 + bx + c, a 0 es una parbola V V a > 0 a < 0

Diapositiva 9

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato a > 0 convexa ramas hacia arriba mnimo en el vrtice a < 0 cncava ramas hacia abajo mximo en el vrtice Coordenadas del vrtice: (b/(2a), f(b/(2a)) Eje de simetra: x = b/(2a) Funciones polinmicas de segundo grado: f(x) = ax 2 + bx + c (I) Grficas de funciones: monotona y curvatura

Diapositiva 10

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones polinmicas de segundo grado: f(x) = ax 2 + bx + c (II) b 2 4ac < 0 no corta al eje OX Punto de corte con el eje OY: (0, c) b 2 4ac > 0 corta al eje OX en dos puntos b 2 4ac = 0 corta al eje OX en un punto Grficas de funciones: monotona y curvatura

Diapositiva 11

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Representacin grfica de algunas funciones polinmicas Grado 3 Grado 4 Grado 5 Grado 6

Diapositiva 12

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones polinmicas de tercer grado: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (I) a > 0 a < 0 Tipo 1: punto de inflexin cncavoconvexo Sin mximos ni mnimos relativos y un solo punto de inflexin. Cortan al eje OX en un solo punto y al eje OY en un solo punto. Tipo 2: punto de inflexin convexocncavo I I

Diapositiva 13

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones polinmicas de tercer grado: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (II) a > 0 a < 0 Tipo 3: Mximomnimo Tipo 4: Mnimomximo Con un mximo y un mnimo relativos y un solo punto de inflexin. Cortan al eje OY en un solo punto. Pueden cortar al eje OX en 3, 2 1 punto. I I m m M M

Diapositiva 14

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones polinmicas de tercer grado: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (II) a > 0 a < 0 Tipo 3: Mximomnimo Tipo 4: Mnimomximo Con un mximo y un mnimo relativos y un solo punto de inflexin. Cortan al eje OY en un solo punto. Pueden cortar al eje OX en 3, 2 1 punto. I I m m M M

Diapositiva 15

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato 1 1 Funciones racionales Una funcin racional es una funcin cociente de dos funciones polinmicas; es decir, f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son dos polinomios. Dominio: conjunto de todos los nmeros reales excepto los que anulan al denominador. Por tanto para hallar el dominio hay que resolver la ecuacin Q(x) = 0. x - 1 ++ x + 1 f(x) + + + Las asntotas de la funcin f(x) = 1/(x 2 - 1) y los cambios de signo en su dominio.

Diapositiva 16

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final Grficas de algunas funciones Es una hiprbola Dom (f) = R - {0} Rec(f) = R - {0} Dom (f) = [0, + ) Rec(f) = [0, + )

Diapositiva 17

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final Dom (f) = R Rec(f) = R Grficas de algunas funciones irracionales

Diapositiva 18

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato FUNCIN VALOR ABSOLUTO Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la funcin, sin el valor absoluto, y se calculan sus races. 2. Se forman intervalos con las races y se evala el signo de cada intervalo. 3. Definimos la funcin a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la funcin. 4. Representamos la funcin resultante.

Diapositiva 19

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE UNA FUNCIN VALOR ABSOLUTO

Diapositiva 20

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final Funcin valor absoluto - x si x 0 x si x >0 X Y Dom (f) = R Rec (f) = [0, + )

Diapositiva 21

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato 132-2 Final Funcin parte entera y = [ x ] X Y Dom (f) = R Rec (f) = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2,....}

Diapositiva 22

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones exponenciales Una funcin exponencial es una funcin de la forma f(x) = a x, siendo x la variable y a un nmero real. Dominio: R. Recorrido: (0, ) Las grficas de todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0, 1). 0 < a < 1a > 1 f(x) = 2 x f(x) = e x = (1/e) x f(x) = e x f(x) = 2 x = (1/2) x

Diapositiva 23

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones logartmicas Una funcin logartmica es una funcin de la forma f(x) = log a x, siendo x la variable y a un nmero real mayor que 0 y distinto de 1. Dominio: (0, ). Recorrido: R Las grficas de todas las funciones logartmicas pasan por el punto (1, 0). Es inversa de la exponencial: sus grficas son simtrica respecto y = x. 0 < a < 1a > 1 f(x) = a x f(x) = log a x

Diapositiva 24

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin logartmica con la base mayor que 1

Diapositiva 25

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin logartmica con la base comprendida entre 0 y 1

Diapositiva 26

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato 0 1 2 3 10,1510,3010,451111,1510,3511,45 Funcin peridica perodo = T x x + T Una funcin f(x) es peridica de perodo T si existe un nmero real T 0, llamado perodo, tal que f(x) = f(x + T), para todo x de su dominio.

Diapositiva 27

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin mantisa La funcin mantisa hace corresponder a cada nmero el mismo nmero menos su parte entera. f(x) = x [x] La funcin mantisa, f(x) = x [x], es peridica de periodo 1.

Diapositiva 28

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato ALGUNAS GRFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS: Las funciones seno, coseno y tangente son peridicas, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2 y el de la funcin tangente es . Las funciones seno y coseno estn definidas para todo el conjunto de los nmeros reales. Ambas son funciones continuas (no as la funcin tangente). Las funciones seno y coseno estn acotadas, ya que sus valores estn contenidos en el intervalo [-1,1]. La funcin tangente no est acotada. Las funciones seno y tangente son simtricas respecto al origen, ya que sen(-x)=-sen x; tan(- x)=-tan x. En cambio, la funcin coseno es simtrica respecto al eje Y: cos(-x)=cos x. Propiedades de las funciones trigonomtricas

Diapositiva 29

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin seno y = 1 y = 1 3 Propiedades de la funcin seno: Su dominio que es R. Su recorrido es el intervalo [1, 1]. Es peridica de perodo 2 . Es una funcin impar: sen ( x ) = sen x.

Diapositiva 30

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE LA FUNCIN SENO

Diapositiva 31

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato CARACTERSTICAS DE LA FUNCIN SENO

Diapositiva 32

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin coseno y = 1 y = 1 3 Propiedades de la funcin coseno: Su dominio es R. Su recorrido es el intervalo [1, 1]. Es peridica de perodo 2 . Es una funcin par: cos ( x ) = cos x. y = cos x y = sen x

Diapositiva 33

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE LA FUNCIN COSENO

Diapositiva 34

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato CARACTERSTICAS DE LA FUNCIN SENO

Diapositiva 35

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin tangente Propiedades de la funcin tangente: Su dominio es R k k Z Su recorrido es toda la recta real. Es peridica de perodo . Las recta x = k k Z son asntotas verticales. Es una funcin impar: tan ( x ) = tan x.

Diapositiva 36

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE LA FUNCIN TANGENTE

Diapositiva 37

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato CARACTERSTICAS DE LA FUNCIN TANGENTE

Diapositiva 38

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato FUNCIN COTANGENTE CARACTERSTICAS DE LA GRFICA : Su dominio es toda x n. Su imagen es el conjunto de todos los nmeros reales. No corta al eje OY. Corta al eje OX en x = /2n. Las asntotas son x = n. Su periodo es .

Diapositiva 39

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE LA FUNCIN COTANGENTE CARACTERSTICAS DE LA GRFICA : Dominio: R {x = k, k Z } Imagen: R Paridad: ctg x = - ctg(-x) [funcin impar] Periodo: Corta al eje OX en x = (k+1)/2, k Z No corta al eje OY Las asntotas son x = k/2, k Z

Diapositiva 40

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato FUNCIN SECANTE CARACTERSTICAS DE LA GRFICA : Su dominio: R {(2k+1)/2, k Z } Su imagen es (- , 1] U [1, + ) Corta al eje OY en el punto (0,1). No corta al eje OX Puntos mximos: ((2k+1), -1) k Z Puntos mnimos: ( (2k,, 1). k Z Las asntotas son x =( 2k+1)/2, k Z Su periodo es 2.

Diapositiva 41

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE LA FUNCIN SECANTE

Diapositiva 42

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE LA FUNCIN COSECANTE CARACTERSTICAS DE LA GRFICA : Su dominio: R { (k, k Z } Su imagen es (- ,1] U [1, + ) No corta ni al eje OY ni al OX Puntos mximos: ((2k+1)/2, -1) k Z Puntos mnimos: ((2k-1)/2,, 1). k Z Las asntotas son x = k, k Z Su periodo es 2.

Diapositiva 43

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin arco seno Propiedades de la funcin arco seno: Su dominio es [1, 1]. Su recorrido es el intervalo ]. La funcin sen x es inyectiva en /2, /2 En ese intervalo tendr inversa: f(x) = arcsen x. Las grficas de ambas funciones son simtricas respecto a la recta y = x. y = sen x y = arcsen x 1 y = x 1 0 1 1

Diapositiva 44

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin arco tangente Propiedades de la funcin arco tangente Su dominio: R. Su recorrido es el intervalo ]. La funcin tan x es inyectiva en , En ese intervalo tendr inversa: f(x) = arctan x. Las grficas de ambas funciones son simtricas respecto a la recta y = x. y = tan x y = arctan x y = x 0

Diapositiva 45

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES La siguiente tabla resume las reglas bsicas que se deben seguir para efectuar transformaciones a una grfica que se represente por medio de una frmula o ecuacin.

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Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable dependiente Si la funcin y =f(x) pasa por el punto (x o,y o ) entonces la funcin y =f(x)+a pasa por el punto (x o, y o +a). La grfica de y = f(x)+a se obtiene trasladando a unidades hacia la arriba (abajo) la grfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0) Grfica de y = f(x) Grfica de y = f(x)+2 Trasladamos la grfica de y = f(x), 2 unidades hacia arriba

Diapositiva 47

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable independiente Si la funcin y =f(x) pasa por el punto (x o, y o ) entonces la funcin y =f(x+a) pasa por el punto (x o - a, y o ). La grfica de y = f(x+a) se obtiene trasladando a unidades hacia la izquierda (derecha) la grfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0) Grfica de y = f(x) Grfica de y = f(x+2) Trasladamos la grfica de y = f(x) 2 unidades a la izquierda

Diapositiva 48

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable dependiente Grfica de y = f(x) Grfica de y = 2f(x) Se dilata la grfica verticalmente al doble Si y = f(x) pasa por (x o,y o ) entonces y = af(x) pasa por (x o, ay o ). Por ello para a>1 esta transformacin dilata verticalmente la grfica, y para 0 < a < 1 la contrae verticalmente

Diapositiva 49

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final Grficas de f(x) y de - f(x) (I) Conocida la grfica de y = f(x), la grfica de g(x) = - f(x) es simtrica respecto al eje de abcisas, ya que los puntos (x, f(x)), y (x, g(x)) = (x, -f(x)) son simtricos respecto a este eje Grfica de y = f(x) Grfica de y = - f(x) Se simetriza la grfica respecto al eje OX

Diapositiva 50

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable independiente Si la funcin y = f(x) pasa por el punto (x o,y o ) entonces y = f(ax) pasa por el punto (x o /a, y o ). Si a > 1 la grfica se contrae horizontalmente. Si 0 < a < 1 la grfica se dilata horizontalmente Grfica de y = f(x) Grfica de y = f(2x) Se contrae la grfica horizontalmente a la mitad

Diapositiva 51

Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final Grficas de f(x) y de f(-x) Las grficas de f(x) y de g(x) = f(-x) son simtricas respecto al eje de ordenadas ya que los puntos (x, f(x)) y (-x, g(-x)) = (-x, f(x)) son simtricos respecto a este eje Grfica de y = f(x) Grfica de y = f(-x) Se simetriza la grfica respecto al eje OY