Clase 18 ecuaciones de maxwell

Ecuaciones de MaxwellClase 18

19/04/2013

Ecuaciones de Maxwell

El comportamiento de la intensidad del campo eléctrico y de la densidad de flujo eléctrico a través de dos materiales se examino que los campos eran estáticos. Un tratamiento similar se dará ahora a la intensidad del campo magnético y a la densidad de flujo magnético , de nuevo con campos estáticos.

También se trato el concepto de densidad de corriente de desplazamiento y se examino la ley de Faraday. Esas mismas ecuaciones y otras desarrolladas antes se agrupan para formar un conjunto conocido como las ecuaciones de Maxwell.

Estas ecuaciones son le fundamento de toda teoría de los campos electromagnéticos.


Un campo estático E puede existir en ausencia de un campo magnético . Un condensador con carga estática constituye un ejemplo. De la misma manera, un conductor con una corriente constante tiene un campo magnético sin que haya un campo . Sin embargo, cuando los campos son variables con el tiempo no puede existir sin ni puede existir sin .

En tanto que mucha valiosa información puede derivarse de la teoría de campos estáticos, la teoría completa de los campos electromagnéticos solo puede ser demostrada con campos variables en el tiempo.

Los experimentos de Faraday y Hertz y los análisis teóricos de Maxwell involucran todos los campos variables en el tiempo.


Las ecuaciones agrupadas abajo, llamadas ecuaciones de Maxwell, se presenta la forma mas general donde tanto cargas como corriente de conducción pueden estar presentes en la región.

Ecuaciones de MaxwellForma Puntual Forma Integral


Obsérvese que las formas puntual e integral de las primeras dos ecuaciones son equivalentes bajo el teorema de Stokes, mientras que la forma mas puntual e integral de las ultimas dos ecuaciones son equivalentes bajo el teorema de divergencia.

Para espacio vacío, donde no hay cargas y no hay corrientes las ecuaciones de Maxwell toman la forma siguiente:

Ecuaciones de MaxwellForma Puntual Forma Integral


La primera y segunda ecuación de forma puntual en espacio pueden usarse para mostrar que los campos y variables con el tiempo no pueden existir independientemente.

La forma puntual de las ecuaciones de Maxwell se usa mas frecuentemente en los problemas. In embargo la forma integral es importante porque despliega las leyes físicas básicas.


Problema 1

Dado en el espacio vacío, halle . Dibuje y en .


Solución

La ecuación de Maxwell da

|𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧𝜕𝜕 𝑥

𝜕𝜕 𝑦

𝜕𝜕 𝑧

0 𝐸𝑚𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡− 𝛽 𝑧 ) 0|=− 𝜕𝐵𝜕𝑡

−𝜕𝐵𝜕𝑡

=𝛽𝐸𝑚𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡− 𝛽 𝑧 )𝑎𝑥


Solución

Donde la constante de integración, que es un campo estático, ha sido despreciada. Entonces

−𝜕𝐵𝜕𝑡

=𝛽𝐸𝑚𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡− 𝛽 𝑧 )𝑎𝑥⟹𝐵=−𝛽𝐸𝑚

𝜔𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡− 𝛽 𝑧 )𝑎𝑥

𝐻 (𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎)=−𝛽𝐸𝑚

𝜔𝜇𝑜𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡− 𝛽 𝑧 )𝑎𝑥


Solución

Obsérvese que son mutuamente perpendiculares.

En . La figura muestra que los dos campos a lo largo del eje , suponiendo que son positivos.


Problemas 2

Demuestre que los campos del problema anterior constituyen una onda que viaja en dirección . Verifique que la velocidad de la onda y dependen sólo de las propiedades del espacio vacío.


Solución

varían ambos como . Un estado dado de se caracteriza entonces por

Pero ésta es la ecuación de un plano que se mueve con velocidad𝜔 𝑡−𝛽 𝑧=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒=𝜔𝑡𝑜ó 𝑧=

𝜔𝛽 (𝑡−𝑡𝑜 )

𝑐=𝜔𝛽


Solución

la dirección de su normal, Se supone que tanto , como , son positivos. Para negativo, la dirección del movimiento seria ). De esta manera el patrón completo de la figura anterior se mueve por el eje con velocidad .

La ecuación de maxwell da

|𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧𝜕𝜕 𝑥

𝜕𝜕 𝑦

𝜕𝜕𝑧

− 𝛽𝐸𝑚

𝜔𝜇𝑜

𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡− 𝛽 𝑧 ) 0 0 |= 𝜕𝜕𝑡

[𝜖𝑜𝐸𝑚𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡− 𝛽 𝑧 )𝑎𝑦 ]


Solución

Por lo tanto

Mas aún


Problemas 3

S en el espacio vacío. Halle .


Solución

| 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧𝜕𝜕 𝑥

𝜕𝜕 𝑦

𝜕𝜕 𝑧

𝐻𝑚𝑒𝑗 (𝜔𝑡+𝐵𝑧) 0 0

|=𝜕𝐷𝜕𝑡


Solución

| 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧𝜕𝜕 𝑥

𝜕𝜕 𝑦

𝜕𝜕 𝑧

𝐻𝑚𝑒𝑗 (𝜔𝑡+𝐵𝑧) 0 0

|=𝜕𝐷𝜕𝑡


Solución

Integramos Y por lo tanto

Potencia y Vector Poyting

Se escribe la primera ecuación de Maxwell para una región de conductividad y luego se toma el producto escalar de con cada término:

Donde, como es usual, . E utiliza la identidad vectorial

para cambiar el lado izquierdo de la ecuación.

𝛻×𝐻=𝜎 𝐸+𝜖𝜕𝐸𝜕𝑡

𝐸 ∙ (𝛻×𝐻 )=𝜎 𝐸2+𝐸 ∙𝜖𝜕𝐸𝜕𝑡


Por la segunda ecuación de Maxwell, tenemos

Similarmente,

𝐻 ∙ (𝛻×𝐸 )−𝛻 ∙ (𝐸×𝐻 )=𝜎 𝐸2+𝐸 ∙𝜖𝜕𝐸𝜕𝑡

𝐻 ∙ (𝛻×𝐸 )=𝐻 ∙(−𝜇 𝜕𝐸𝜕𝑡 )=− 𝜇2 𝜕𝐻2

𝜕𝑡

𝐸 ∙𝜖 𝜕𝐸𝜕𝑡

=𝜖2𝜕𝐸2

𝜕𝑡


Sustituyendo y reordenando términos,

Si esta igualdad es valida, entonces la integración de sus términos sobre un volumen general debe ser valida también

Donde el ultimo término ha sido convertido a una integral sobre la superficie de mediante el teorema de divergencia.

𝜎 𝐸2=− 𝜖 𝜕𝐸2

𝜕𝑡−𝜇2𝜕𝐻 2

𝜕𝑡−𝛻 ∙ (𝐸×𝐻 )

∫𝑣

❑

𝜎 𝐸2=−∫𝑣

❑ 𝜖𝜕𝐸2

𝜕𝑡−𝜇2𝜕𝐻2

𝜕𝑡−∮

𝑆

❑

(𝐸×𝐻 ) ∙𝑑𝑆


La integral de la izquierda tiene unidades watts y es el termino óhmico conocido para representar la energía disipada en calor por unidad de tiempo. Esta energía disipada tiene su fuente en las integrales de la derecha. Como son las densidades de energía almacenadas en los campos eléctrico y magnético respectivamente, las derivadas negativas respecto del tiempo pueden considerarse como una disminución en esta energía almacenada. Por consiguiente, la integral final (incluyendo el signo menos) debe ser la tasa de energía que penetra el volumen desde fuera. Un cambio de signo produce el valor instantáneo de energía que abandona el volumen:

𝑃 (𝑡 )=∮𝑆

❑

(𝐸×𝐻 ) ∙𝑑𝑆=∮𝑆

❑

℘ ∙𝑑𝑆


Para ondas planas, la dirección del flujo de energía es la dirección de propagación. De esta manera, el vector Poynting ofrece una forma una forma útil y libre del sistema de coordenadas de hallar la dirección de propagación es conocida. Esto puede tener mucho valor cuando se examinan ondas incidentes, transmitidas y reflejadas.

℘𝑝𝑟𝑜𝑚=12𝑅𝑒 (𝐸×𝐻∗ )


Donde es el vector de Poyting, tasa instantánea de flujo de energía por unidad de área en un punto.

En el producto vectorial que define el vector de Poyting, los campos se suponen reales. Pero si, se expresan en forman compleja y dependen en común del tiempo, entonces el promedio de tiempo de esta dado por

Donde es la conjugada compleja de H.

De esto se sigue la potencia compleja del análisis de circuitos, , de la que la potencia es la parte real,

℘𝑝𝑟𝑜𝑚=12𝑅𝑒 (𝐸×𝐻∗ )


Problema 4

Una onda viajera está descrita por . Dibuje la onda en y en , cuando ha avanzado , si la velocidad es de y si la frecuencia angular y el mismo tiempo


Solución

La onda avanza en un periodo, . Por tanto


Solución

La onda se muestra en en la figura a. A una distancia de dos veces la frecuencia, la longitud de onda es la mitad y la constante de defase es dos veces el valor anterior. En la figura b, en toda la onda avanzo también 236 m pero esta distancia es ahora

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