3 puntos de estatica

1

Diego Andrés Jarrín Ingeniería Electrónica Nivel 2 Grupo 3 Estática

Universidad Politécnica Salesiana

Laboratorio Teórico de Estática

Distribución de Carga

Ingeniería Electrónica

Diego Andrés Jarrín Nivel: 2 Grupo: 3

I. Objetivos

1. Comprobar teóricamente como afecta una carga distribuida sobre un cuerpo

2. Reemplazar las cargas distribuidas sobre un cuerpo por una sola fuerza ubicada a una respectiva distancia de un eje de giro.

3. Determinar las condiciones de equilibrio para cargas distribuidas y reacciones

II. Teoría

Inercia: es la propiedad que tienen los cuerpos para permanecer en reposo o moverse con velocidad constante, puede considerarse como la resistencia que

presentan los cuerpos al cambio de movimiento ya sea lineal o rotacional. La masa de los cuerpos es una manifestación de la inercia, porque es la que primero

presenta resistencia al cambio de movimiento.

Fuerza: es la magnitud física capaz de cambiar el estado de inercia lineal de un cuerpo.

Las fuerzas son magnitudes vectoriales y se usa la notación vectorial:

Para describirlas:

x y zF F i F j F k= + +��

Diego Andrés Jarrín Ingeniería Electrónica Nivel 2 Grupo 3

Reacción: cuando a un cuerpo se le aplica una fuerza, por la tercera ley de Newton “Ley de acción y reacción” el cuerpo reacc

misma magnitud y dirección pero en sentido contrario.

Tensión: es la fuerza que se distribuye en línea recta a través de cuerdas

como reacción al estiramiento debido a una fuerza aplicada

Sistema de fuerzas: conjunto de fuerzas en el espacio que pueden ser remplazadas por una fuerza resultante que produce el mis

fuerza resultante se obtiene sumando las respectivas componentes de la fuerzas del sistema.

Diagrama de cuerpo libre: un sistema de fuerzas puede analizarse por medio de

los elementos que interviene en el sistema:

Ingeniería Electrónica Nivel 2 Grupo 3 Estática

Reacción: cuando a un cuerpo se le aplica una fuerza, por la tercera ley de Newton “Ley de acción y reacción” el cuerpo reacc

y dirección pero en sentido contrario.

Tensión: es la fuerza que se distribuye en línea recta a través de cuerdas, cables o cuerpos que puedan tensionarse (

como reacción al estiramiento debido a una fuerza aplicada.

Sistema de fuerzas: conjunto de fuerzas en el espacio que pueden ser remplazadas por una fuerza resultante que produce el mis

las respectivas componentes de la fuerzas del sistema.

Diagrama de cuerpo libre: un sistema de fuerzas puede analizarse por medio del sistema coordenado de ejes del espacio cartesiano

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Reacción: cuando a un cuerpo se le aplica una fuerza, por la tercera ley de Newton “Ley de acción y reacción” el cuerpo reacciona ejerciendo una fuerza de la

o cuerpos que puedan tensionarse (someterse a estiramientos sin deformarse)

Sistema de fuerzas: conjunto de fuerzas en el espacio que pueden ser remplazadas por una fuerza resultante que produce el mismo efecto sobre el sistema. La

el espacio cartesiano, representando vectorialmente


Eje de giro: lugar en el espacio que se supondrá fijo para desde él medir las distancias

líneas de acción, dentro de un sistema de fuerzas. Al ser un lugar en el e

x y zr r i r j r k= + +� �

�

Momento de fuerzas: es la magnitud física capaz de cambiar el estado de inercia rotacional de un cuerpo

fuerza produce respecto a un eje de giro determinado

M r F= ⊗� �

�

En un sistema de fuerzas cada fuerza produce un momento respecto a un determinado eje de giro, si el momento produce un giro

considerará como negativo, caso contrario en sentido

momento resultante que produce el mismo efecto e

componentes de los momentos respecto a aquel eje

Par de fuerzas: son fuerzas paralelas de igual magnitud y dirección pero de sentido contrario que producen momento. Al ser de igual

contrario en la misma dirección, la fuerza resultante entre ellas es igual a cero, la única función que cu

depende de la distancia entre los puntos de aplicación de las fuerzas del par.


Eje de giro: lugar en el espacio que se supondrá fijo para desde él medir las distancias “radios de giro” que existen hasta los puntos de aplicación de las fuerzas o sus

Al ser un lugar en el espacio, se lo representa vectorialmente:

x y zr r i r j r k= + +�

� �

Momento de fuerzas: es la magnitud física capaz de cambiar el estado de inercia rotacional de un cuerpo, puede considerarse como la cantidad de giro que una

je de giro determinado. Matemáticamente queda definido por la fórmula:

M r F� �

En un sistema de fuerzas cada fuerza produce un momento respecto a un determinado eje de giro, si el momento produce un giro

considerará como negativo, caso contrario en sentido anti horario el momento se considerará como positivo; estos momentos

duce el mismo efecto en el sistema. El momento resultante en un eje de giro determinado

respecto a aquel eje.

fuerzas: son fuerzas paralelas de igual magnitud y dirección pero de sentido contrario que producen momento. Al ser de igual

contrario en la misma dirección, la fuerza resultante entre ellas es igual a cero, la única función que cumplen es la de producir un momento, que únicamente

depende de la distancia entre los puntos de aplicación de las fuerzas del par.

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que existen hasta los puntos de aplicación de las fuerzas o sus

, puede considerarse como la cantidad de giro que una

En un sistema de fuerzas cada fuerza produce un momento respecto a un determinado eje de giro, si el momento produce un giro en sentido horario se lo

estos momentos pueden reemplazarse por un

en un eje de giro determinado se obtiene sumando las respectivas

fuerzas: son fuerzas paralelas de igual magnitud y dirección pero de sentido contrario que producen momento. Al ser de igual magnitud pero de sentido

mplen es la de producir un momento, que únicamente


Distribución de carga: conjunto de fuerzas distribuidas continuamente a través de un cuerpo geométrico. Una carga distribu

fuerza resultante concentrada en un determinado punto del cuerpo.

punto donde la fuerza resultante se concentra, se obtien

Para cuerpos geométricos sencillos se usa las formulas geométricas de área para encontrar la fuerza resultante, y se ubican u

para paralelogramos, círculos y en el baricentro para triángulos.

Cuando el cuerpo geométrico viene definido por una función

( )b

a

F w x dx= ∫

El momento producido por la fuerza resultante viene definido por la ecuación:


Distribución de carga: conjunto de fuerzas distribuidas continuamente a través de un cuerpo geométrico. Una carga distribu

concentrada en un determinado punto del cuerpo. La fuerza resultante en una carga distribuida, se obtiene encontrando el área del cuerpo. Y el

punto donde la fuerza resultante se concentra, se obtiene encontrando el centro de gravedad (lugar donde se concentra todo el peso) del cuerpo.

Para cuerpos geométricos sencillos se usa las formulas geométricas de área para encontrar la fuerza resultante, y se ubican u

ralelogramos, círculos y en el baricentro para triángulos.

Cuando el cuerpo geométrico viene definido por una función ( )w w x= la fuerza resultante será la integral en el intervalo

F w x dx

Ecuación ( )1

El momento producido por la fuerza resultante viene definido por la ecuación:

4

Distribución de carga: conjunto de fuerzas distribuidas continuamente a través de un cuerpo geométrico. Una carga distribuida puede ser reemplazada por una sola

La fuerza resultante en una carga distribuida, se obtiene encontrando el área del cuerpo. Y el

e encontrando el centro de gravedad (lugar donde se concentra todo el peso) del cuerpo.

Para cuerpos geométricos sencillos se usa las formulas geométricas de área para encontrar la fuerza resultante, y se ubican usualmente en el centro del cuerpo

la fuerza resultante será la integral en el intervalo [ ],a b que contiene al cuerpo:

5


( )b

a

M x w x dx= ⋅∫

Ecuación ( )2

Centro de Presión: cuando una carga distribuida se aplica sobre otro cuerpo, al reemplazar la carga distribuida por una sola fuerza resultante, el lugar donde se

aplica esta fuerza sobre el otro cuerpo se conoce como centro de presión. Es el punto donde se proyecta el centro de gravedad del cuerpo de la carga distribuida

sobre el otro cuerpo.

El centro de presión está ubicado a una distancia definida por el radio de giro que se necesita para que la fuerza resultante de la carga distribuida genere momento,

y matemáticamente obedece a la ecuación:

( )1b

a

r x w x dxF

= ⋅∫

Ecuación ( )3

Donde F es la fuerza resultante encontrada en el intervalo [ ],a b que contiene al cuerpo de la carga distribuida.

En ciertas ocasiones para encontrar la fuerza resultante y el centro de presión, se debe integrar la región que acota la carga distribuida respecto a un eje diferente a

x

Equilibrio de un sistema de fuerzas: decimos que un sistema de fuerzas está en equilibrio cuando la suma de fuerzas (fuerza resultante del sistema) es igual a cero. Y

también la suma de momentos (momento resultante) respecto a cualquier eje determinado es igual a cero.

III. Conocimientos requeridos

Para resolver un sistema de fuerzas en equilibrio donde se aplican fuerzas, tensiones, momentos, cargas distribuidas y reacciones se necesita conocer los siguientes

temas:

• Geometría analítica: para identificar lugares como puntos de aplicación de fuerzas y distancias como radios de giro dentro de los sistemas de fuerzas.

• Algebra Lineal: para realizar operaciones vectoriales como encontrar vectores directores que indican la dirección y sentido en los que se aplican fuerzas o tensiones,

o calcular el producto cruz entre el radio de giro y una fuerza para determinar los momentos respecto a un eje de giro determinado.


• Integral definida: para calcular la fuerza resultante de un

IV. Planteamiento del problema

Para comprobar teóricamente como afecta una carga distribuida sobre un cuerpo y determinar las condiciones de equilibrio para

vamos a resolver el problema 5-37 del libro de estática de Hibbeler:

5-37. El muro de contención AD está sometido a presiones

reacciones horizontal y vertical en ese punto y también la tensión

V. Procedimiento y resolución

Para resolver el problema seguiremos los siguientes pasos:

1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre del sistema


calcular la fuerza resultante de una carga distribuida en un cuerpo.

Para comprobar teóricamente como afecta una carga distribuida sobre un cuerpo y determinar las condiciones de equilibrio para

37 del libro de estática de Hibbeler:

El muro de contención AD está sometido a presiones de agua y de tierra de relleno. Suponiendo que AD está "articulado" en el terreno en A

horizontal y vertical en ese punto y también la tensión requerida en el ancla BC necesaria por equilibrio. El muro tiene una masa de 800 kg.

Para resolver el problema seguiremos los siguientes pasos:

Dibujar el diagrama de cuerpo libre del sistema identificando las fuerzas que intervienen en él:

6

Para comprobar teóricamente como afecta una carga distribuida sobre un cuerpo y determinar las condiciones de equilibrio para cargas distribuidas y reacciones,

"articulado" en el terreno en A, determine las

muro tiene una masa de 800 kg.

7


2. Encontrar las medidas de las fuerzas que intervienen en el sistema:

A Ax AyR R i R j= +��

� �

BCT F=��

2

800 9.8 7840 7.84m

W Kg j jN jKNs

= − = − = −

� � � �

El peso del muro por ser de forma rectangular, está concentrada en la intersección de sus diagonales, en la intersección de las líneas proyectadas de los

puntos medios de la altura y de la base.

8


6.5

3.252

d m m= =

Reemplazaremos la carga distribuida por una fuerza resultante 1F igual al área del triángulo ubicada a una distancia

1x

1

118 4

2

KNm

mF

=

•

236KN=

1

236F iKN=��

�

Ubicada en los 2

3 de la altura por propiedad del baricentro en un triángulo.

( )1

24 4

3y m

= −

1.333m=

9


Reemplazaremos la carga distribuida por una fuerza resultante 2F igual al área del triángulo ubicada a una distancia

2x

2

310 6.5

2

KNm

mF

=

•

1007.5KN=

2

1007.5F iKN= −��

�

Ubicada en los 2

3 de la altura por propiedad del baricentro en un triángulo.

( )2

26.5 6.5

3y m

= −

2.167m=

VI. Trabajos

Con los datos encontrados en la sección de procedimiento y resolución, resolver el ejercicio aplicando las condiciones de equilibrio en un sistema de fuerzas:

� Sumatoria de Fuerzas en x y y

Σ 0xF KN=

1 20Ax BCR F F T KN+ + + =

236 1007.5 0Ax BCR KN KN T KN+ − + =

771.5 0Ax BCR KN T KN− + =

771.5Ax BCR KN T= −

Σ 0yF KN=

0AyR W KN+ =

10


7.84 0AyR KN KN− =

7.84AyR KN=

7.84AyR j jKN=� �

� Sumatoria de Momentos en el eje A

Σ 0AM KNm=

( ) 1 1 2 20 0 6 0A BCi j m R y F y F d W jm T KNm+ ⊗ + ⊗ + ⊗ + ⊗ + ⊗ =

��

( ) ( )1.333 236 2.167 1007.5 3.25 7840 6 0BCjm iKN jm iKN jm jKN jm T i KNm⊗ + ⊗ − + ⊗ − + ⊗ =� � � � � � � �

314,588 2183.253 6 0BCkKNm kKNm T km KNm− + − =� � �

1868.665 6 BCkKNm T km=� �

1868.665

6BC

KNmT

m=

311.444BCT KN=

311.444BCT i iKN=� �

Y como teníamos que BCT F=��

entonces:

311.44F iKN=� �

Y Reemplazando en

771.5Ax BCR KN T= −

( )771.5 311.444 KN= −

460.056KN=

460.056AxR i iKN=� �

11


Entonces las soluciones del problema son:

460.056AxR KN=

7.84AyR KN=

311.44F KN=

VII. Preguntas

1. Calcule 1 2 1 2, , ,F F y y aplicando las ecuaciones ( )1 y ( )3 y describa ¿qué resultados encuentra?

Buscamos la región acotada por la recta que limita la carga distribuida con el eje y

( )4 4

118

y

x

− =− −

59118

2x y= −

Integramos la región que contiene a la carga distribuida:

12


4

1

0

59118

2F y dy

= − − ∫

4

2

0

59118

4y y= − +

( ) ( )2594 118 4

4= − +

236KN=

1

236F iKN=��

�

Después calculamos el centro de presión:

4

1

0

1 59118

236 2y y y dy

= − −

∫

4

2

0

1 59118

236 2y y dy

= − − ∫

4

3 2

0

1 5959

236 6y y

= − −

( ) ( )3 21 594 4

24 236= − +

1.333m=

11.333y jm=

��

13


Buscamos la región acotada por la recta que limita la carga distribuida con el eje y

6.5 6.5

310

y

x

− =−

620

31013

x y= − +

Integramos la región que contiene a la carga distribuida: 6.5

2

0

620310

13F y dy

= − + ∫

6.5

2

0

310310

13y y= − +

( ) ( )23106.5 310 6.5

13= − +

1007.5KN=

14


2

1007.5F iKN= −��

�

Después calculamos el centro de presión: 6.5

2

0

1 620310

1007.5 13y y y dy

= − +

∫

6.5

2

0

1 620310

1007.5 13y y dy

= − + ∫

6.5

3 2

0

1 620155

1007.5 39y y

= − +

( ) ( )3 28 26.5 6.5

507 13= − +

2.167m=

2

2.167y jm=��

�

Debido a que el integral representa el área contenida por una función dentro de un intervalo, al aplicar las ecuaciones ( )1 y ( )3 encontramos los mismos

resultados de las áreas que representan las fuerzas resultantes que calculamos anteriormente por fórmulas geométricas básicas sobre áreas de figuras

regulares sencillas.

También encontramos las mismas distancias donde se concentran concentradas las fuerzas resultantes de las cargas distribuidas, en el baricentro como en

cualquier triángulo.

2. ¿Por qué en el eje A la reacción AR��

y el peso W�

del muro no producen momento?

En el caso de la reacción AR��

no se produce momento porque el radio de giro medido desde el eje de giro A hasta las fuerzas de reacción ubicadas en ese

mismo punto, es cero:

( )0 0 0Ai j m R+ ⊗ =��

� �

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Por lo tanto no se produce momento de fuerzas en ese punto.

En el caso del peso W�

se debe a que es una fuerza que por su dirección y sentido, no hace girar al muro, por el contrario, lo está empujando hacia abajo, lo

cual producirá una reacción AyR en A

Además en el producto cruz, se está multiplicando dos vectores unitarios:

( ) ( )3.25 7840 25480 0 0d W jm jKN KNm⊗ = ⊗ − = =� � � �

Por lo tanto no se produce momento de fuerzas en ese punto.

VIII. Conclusiones

1. Una carga que se distribuye a través de un cuerpo, ejerce una presión sobre el cuerpo que lo soporte, distribuida continuamente a través de él, pero

concentra toda la fuerza de su centro de gravedad en un punto llamado centro de presión sobre el cuerpo que la soporta y es el lugar donde se puede

medir un radio de giro para calcular el momento que la fuerza resultante de la carga produce.

En nuestro problema, existen dos cargas distribuidas ejerciendo presión sobre un muro de contención articulado en la tierra en un punto A que as su vez

produce una reacción para soportar las cargas.

2. Toda carga distribuida continuamente sobre otro cuerpo puede ser reemplazada por una fuerza resultante, equivalente al área de la carga distribuida. Esta

fuerza resultante se concentrara en el centro de gravedad de la carga distribuida que se proyectara sobre el cuerpo que le soporte produciendo un

momento, por lo tanto la fuerza resultante se ubicara en un punto de presión, con lo que se demuestra que se puede reemplazar la carga distribuida por

una sola fuerza resultante ubicada en un punto donde produce momento.

Para nuestro problema, las cargas distribuidas fueron reemplazadas por fuerzas resultantes de:

1

236F iKN=��

�

2

1007.5F iKN= −��

�

Ubicadas cada una respectivamente en un punto:

1

1.333y jm=��

�

2

2.167y jm=��

�

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3. Para que un sistema este en equilibrio, las sumatorias de fuerzas y momentos en el sistema deben ser cero respectivamente.

En nuestro problema las sumatorias de fuerzas y momentos nos ayudaron para calcular las reacciones en el punto A dentro de la tierra donde está

articulado en muro de contención y que además de estar sometido a dos cargas distribuidas sobre él, es ayudado por una fuerza horizontal F�

producida

por la tensión de una cuerda BC

En nuestro problema para mantener el equilibrio se calculo los valores necesarios en las reacciones y la tensión de la cuerda que son:

460.056AxR KN=

7.84AyR KN=

311.44F KN=

IX. Recomendaciones

Para resolver ejercicios de estática que contengan fuerzas, tensiones, reacciones, cargas distribuidas, es necesario ser ordenado, para lo cual es recomendable

seguir los siguientes pasos:

1. Dibujar un diagrama de cuerpo libre que indique todas fuerzas intervinientes en el sistema

2. Encontrar las medidas de las fuerzas que interviene en el sistema

3. Plantear las condiciones de equilibrio resumidas en las sumatorias de fuerzas y momentos iguales a cero respectivamente.

4. Resolver el sistema lineal de ecuaciones que describe al problema

X. Bibliografía

o T.C. Huang “Mecánica para ingenieros” Tomo 1 Primera Edición Imprenta Nuevo Mundo S.A. México D.F.-México 1974

pp. 74-284,403-429

o Van Der Merwe “Física General” Primera Edición McGraw-Hill Serie Schaum México D.F.-México 1991 pp.1-25

o Marcos Toro Álvarez “Física General” Tomo 1 Primera Edición

Departamento de Física Instituto nacional Mejía Quito-Ecuador pp. 40-50

Para imágenes ilustrativas:

o http://www.fisica-facil.com/Temario/Dinamicarotacional/Teorico/Momento/momento.htm

o http://medusa.unimet.edu.ve/mecanica/bpim11/Distribuidas.PDF

• Este Trabajo fue realizado en el Editor de Ecuaciones de Microsoft Word 2007 y la interfaz de Microsoft Visio 2007 para los gráficos y diagramas de cuerpo libre.

Documents

3 puntos de estatica