474 CAPÍTULO 6 Funciones trigonométricas de ángulos

474 CAPÍTULO 6 Funciones trigonométricas de ángulos

1–12 ■ Encuentre la medida en radianes del ángulo con la medidade grados dada.

1. 72� 2. 54� 3. �45�

4. �60� 5. �75� 6. �300�

7. 1080� 8. 3960� 9. 96�

10. 15� 11. 7.5� 12. 202.5�

13–24 ■ Encuentre la medida en grados del ángulo con la medidaen radianes dada.

13. 14. 15. �

5p

4

11p

3

7p

6

16. 17. 3 18. �2

19. �1.2 20. 3.4 21.

22. 23. 24.

25–30 ■ Se da la medida de un ángulo es posición estándar. En-cuentre dos ángulos positivos y dos ángulos negativos que soncoterminales con el ángulo dado.

25. 50� 26. 135� 27.3p

4

�

13p

12�

2p

15

5p

18

p

10

�

3p

2

La distancia recorrida por la piedra en 10 s es s � 15 � 2pr � 15 � 2p�3 � 90p pies.Por lo tanto, la velocidad lineal de la piedra es

■

Hay que observarse que la velocidad angular no depende del radio del círculo, sinosólo del ángulo u. Sin embargo, si se conoce la velocidad angular v y el radio r, sepuede encontrar la velocidad lineal como sigue: .√ � s/t � ru/t � r 1u/t 2 � rv

√ �s

t�

90p pies

10 s� 9p pies/s

Relación entre velocidad lineal y angular

Si un punto se mueve a lo largo de un círculo de radio r con velocidad angularv, entonces su velocidad lineal √ está dada por

√ � rv

Ejemplo 7 Hallar la velocidad lineal a partir

de la velocidad angular

Una mujer va en una bicicleta cuyas ruedas tienen 26 pulgadas de diámetro. Si lasruedas giran a 125 revoluciones por minuto (rpm), encuentre la velocidad a la queestá viajando, en millas/h.

Solución La velocidad angular de las ruedas es 2p�125 � 250p radianes/min. Pues-to que las ruedas tienen de radio 13 pulg (la mitad del diámetro), la velocidad lineal es

√ � rv � 13 � 250p � 10 210.2 pulg/min

Puesto que hay 12 pulgadas por pie, 5280 pies por milla y 60 minutos por hora, suvelocidad en millas por hora es

■

6.1 Ejercicios

� 9.7 mi/h

10 210.2 pulg/min � 60 min/h

12 pulg/pies � 5280 pies/mi�

612 612 pulg/h

63 360 pulg/mi

SECCIÓN 6.1 Medida angular 475

28. 29. 30. �45�

31–36 ■ Se dan las medidas de dos ángulos en posición están-dar. Determine si los ángulos son coterminales.

31. 70�, 430� 32. �30�, 330�

33. 34.

35. 155�, 875� 36. 50�, 340�

37–42 ■ Encuentre el ángulo entre 0� y 360� que es coterminalcon el ángulo dado.

37. 733� 38. 361�

39. 1110� 40. �100�

41. �800� 42. 1270�

43–48 ■ Encuentre el ángulo entre 0 y 2p que es coterminalcon el ángulo dado.

43. 44. 45. 87p

46. 10 47. 48.

49. Encuentre la longitud del arco sen la figura.

50. Encuentre el ángulo u en la figura.

51. Encuentre el radio r del círculo en la figura.

2 rad

r

8

¨

5

10

140*

5

s

51p

2

17p

4

�

7p

3

17p

6

32p

3,

11p

3

5p

6,

17p

6

�

p

4

11p

652. Encuentre la longitud de un arco que subtiende un ángulo

central de 45� en un círculo de radio 10 m.

53. Encuentre la longitud de un arco que subtiende un ángulocentral de 2 radianes en un círculo de radio 2 mi.

54. Un ángulo central u en un círculo de radio 5 m es subtendi-do por un arco de longitud 6 m. Encuentre la medida de u engrados y en radianes.

55. Un arco de longitud 100 m subtiende un ángulo central uen un círculo de radio 50 m. Encuentre la medida de u engrados y en radianes.

56. Un arco circular de longitud 3 pies subtiende un ángulo cen-tral de 25�. Encuentre el radio del círculo.

57. Determine el radio del círculo si un arco de longitud 6 m enel círculo subtiende un ángulo central de p/6 radianes.

58. Halle el radio del círculo si un arco de longitud 4 pies en elcírculo subtiende un ángulo central de 135�.

59. Encuentre el área del sector mostrado en cada figura.

a)

60. Determine el radio de cada círculo si el área del sector es 12.

a)

61. Encuentre el área de un sector con un ángulo central 1 ra-dián en un círculo de radio 10 m.

62. Un sector de un círculo tiene un ángulo central de 60�. En-cuentre el área del sector si el radio del círculo es 3 millas.

63. El área de un sector de un círculo con un ángulo central de 2radianes es 16 m2. Encuentre el radio del círculo.

64. El sector de un círculo con radio de 24 millas tiene unasuperficie de 288 millas2. Encuentre el ángulo central delsector.

65. El área de un círculo es 72 cm2. Encuentre el área de unsector de este círculo que subtiende un ángulo central dep/6 radianes.

66. Tres círculos con radios 1, 2 y 3 pies son externamente tan-gentes entre sí, como se ilustra en la figura de la páginasiguiente. Encuentre el área del sector del círculo de radio 1

0.7 rad 150*

80*

8

0.5 rad

10

b)

b)


que es cortado por los segmentos de recta que unen el centrode ese círculo con los centros de los otros dos círculos.

Aplicaciones

67. Distancia recorrida Las ruedas de un automóvil miden28 pulgadas de diámetro. ¿Qué tan lejos viajará el automóvil(en millas) si su ruedas giran 10 000 veces sin deslizamiento?

68. Revoluciones de las ruedas ¿Cuántas revoluciones daráuna rueda de 30 pulgadas de diámetro cuando el automóvilrecorre una distancia de una milla.

69. Latitudes Pittsburgh,Pennsylvania y Miami,Florida, se encuentran aproxi-madamente sobre el mismomeridiano. Pittsburgh tieneuna latitud de 40.5� N y Miami, 25.5� N. Encuentre la distancia entre estas dosciudades. (El radio de la Tierra es de 3960 millas.)

70. Latitudes Memphis, Tennessee y Nueva Orleans,Louisiana, se encuentran aproximadamente en el mismomeridiano. Memphis tiene latitud 35� N y Nueva Orleans,30� N. Encuentre la distancia entre estas dos ciudades. (El radio de la Tierra es de 3960 millas.)

71. Órbita de la Tierra Encuentre la distancia que viaja laTierra en un día y su trayectoria alrededor del Sol. Supongaque un año tiene 365 días y que la trayectoria de la Tierraalrededor del Sol es un círculo de radio 93 millones de millas.[La trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es en realidaduna elipse con el Sol en un foco (véase la sección 10.2). Estaelipse, sin embargo, tiene excentricidad muy pequeña, así quees aproximadamente circular.]

72. Circunferencia de la Tierra El matemático griegoEratóstenes (276-195 a.C.) midió la circunferencia de la Tie-

Sol

PittsburghMiami

rra a partir de las siguientes observaciones. Él observó que encierto día el Sol brillaba directamente en un pozo profundoen Siena (en la actualidad Assuán). Al mismo tiempo enAlejandría, 500 millas al norte (en el mismo meridiano),los rayos del Sol brillaban a un ángulo de 7.2� respecto alcenit. Use esta información y la figura para hallar el radio yla circunferencia de la Tierra.

73. Millas naúticas Encuentre la distancia a lo largo de un arcoen la superficie de la Tierra que subtiende un ángulo centralde 1 minuto (1 minuto � de grado). La distancia se llamauna milla náutica. (El radio de la Tierra mide 3960 millas.)

74. Irrigación Un sistema de irrigación emplea un tuborociador recto de 300 pies de largo que gira alrededor deun punto central como se ilustra. Debido a un obstáculo sólose permite que el tubo gire 280�. Encuentre el área irrigadapor este sistema.

75. Limpia parabrisas Los extremos superior e inferior deuna hoja de limpia parabrisas están a 34 pulg y 14 pulgdel punto central, respectivamente. Mientras está enoperación el limpiador abarca 135�. Encuentre el áreabarrida por la hoja.

280*

300

3000

piessieses

160

Siena

Rayos del Sol7.2*

SECCIÓN 6.1 Medida angular 477

76. La vaca amarrada Una vaca está sujeta a una cuerda de100 pies a la esquina interna de un edificio en forma de L,como se muestra en la figura. Encuentre el área en la quepuede pastar la vaca.

77. Malacate Se emplea un malacate de radio 2 pies paralevantar cargas pesadas. Si el malacate da 8 revolucionescada 15 s, encuentre la velocidad a la cual sube la carga.

78. Ventilador Un ventilador de techo con aspas de 16 pulggira a 45 rpm.a) Determine el velocidad angular del ventilador en rad/min.b) Encuentre la velocidad lineal de las puntas de las aspas

en pulg/min.

79. Sierra radial Una sierra radial tiene una aspa con un radiode 6 pulg. Suponga que el aspa gira a 1000 rpm.a) Encuentre la velocidad angular del aspa en rad/min.b) Determine la velocidad radial de los dientes de la sierra

en pies/s.

80. Velocidad en el Ecuador La Tierra gira respecto a su ejeuna vez cada 23 h 56 min 4 s, y el radio de la Tierra mide3960 millas. Calcule la velocidad lineal de un punto en elEcuador en millas/h.

81. Velocidad de un automóvil Las ruedas de un automóviltienen un radio de 11 pulg y giran a 600 rpm. Determine lavelocidad del automóvil en millas/h.

82. Ruedas de un camión Un camión con ruedas de 48 pulgde diámetro viaja a 50 millas/h.a) Encuentre la velocidad angular de las ruedas en rad/min.b) ¿Cuántas revoluciones por minuto dan las ruedas?

83. Velocidad de una corriente Para medir la velocidad deuna corriente, los científicos colocan una rueda de paletasen la corriente y observan la velocidad a la cual gira. Si larueda de paletas tiene un radio de 0.20 m y gira a 100 rpm,encuentre la velocidad de la corriente en m/s.

84. Rueda de bicicleta En la figura se muestran las coronasdentadas y la cadena de una bicicleta. La corona dentadade los pedales tiene un radio de 4 pulg, la corona dentada dela rueda tiene un radio de 2 pulg y la rueda tiene un radiode 13 pulg. El ciclista pedalea a 40 rpm.a) Encuentre la velocidad angular de la corona dentada de

la rueda.b) Determine la velocidad de la bicicleta. (Suponga que la

rueda gira a la misma velocidad que la corona dentadade la rueda.)

85. Taza cónica Una taza cónica se construye a partir de unapieza circular de papel con radio 6 cm al cortar un sector yunir los bordes como se muestra. Suponga que u � 5p/3.a) Encuentre la circunferencia C de la abertura de la taza.b) Obtenga el radio r de la abertura de la taza. [Sugerencia:

use C � 2pr.]c) Encuentre la altura h de la taza. [Sugerencia: use el teo-

rema de Pitágoras.]d) Encuentre el volumen de la taza.

6 cm

6 cm6 cm

¨

h

r

13 p13 p

6.2 Trigonometría de ángulos rectos

En esta sección se estudian ciertas relaciones de los lados de triángulos rectángulos,llamadas relaciones trigonométricas y se dan varias aplicaciones.

Relaciones trigonométricas

Considere un triángulo rectángulo con u como uno de sus ángulos agudos. Las rela-ciones trigonométricas se definen como sigue (véase la figura 1).


86. Taza cónica En este ejercicio se determina el volumen dela taza cónica del ejercicio 85 para un ángulo u.

a) Siga los pasos del ejercicio 85 para mostrar que el volu-men de la taza como una función de u es

b) Grafique la función V.

c) ¿Para qué ángulo u el volumen de la taza es un máximo?

Descubrimiento • Debate

87. Formas diferentes de medir ángulos La costumbre demedir ángulos por medio de grados, con 360� en un círculo,data de los antiguos babilonios, quienes usaron un sistemanumérico basado en grupos de 60. Otro sistema de mediciónde ángulos divide el círculo en 400 unidades, llamadas gra-

V1u 2 �9

p2 u224p2 � u2, 0 � u � 2p

dianes. En este sistema un ángulo recto mide 100 gradianes,de modo que se ajusta en el sistema numérico de base 10.

Escriba un ensayo corto que compare las ventajas y des-ventajas de estos dos sistemas y el sistema de radianes paramedir ángulos. ¿Cuál sistema preferiría?

88. Relojes y ángulos En una hora, el minutero de un relojrecorre un círculo completo y la manecilla que marca lashoras se mueve de un círculo. ¿Cuántos radianes se mue-ven el minutero y el horario entre la 1:00 P.M. y las 6.45 P.M.(en el mismo día)?

112

Relaciones trigonométricas

sen u �cateto opuesto

hipotenusa cos u �

cateto adyacente

hipotenusa tan u �

cateto opuesto

cateto adyacente

cateto adyacente

catetoopuesto

hipotenusa

¨

Figura 1

Los símbolos que se usan para estas relaciones son abreviaturas para sus nombrescompletos: seno, coseno, tangente, cosecante, secante, cotangente. Puesto que dostriángulos rectángulos con ángulo u son similares, estas relaciones son las mismas,

csc u �hipotenusa

cateto opuesto sec u �

hipotenusa

cateto adyacente cot u �

cateto adyacente

cateto opuesto


1–6 ■ Encuentre los valores exactos de las seis relaciones trigo-nométricas del ángulo u en el triángulo.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7–8 ■ Encuentre a) sen a, cos b, b) tan a y cot b y c) sec a ycsc b.

7. 8.

9–14 ■ Encuentre el lado marcado con x. En los ejercicios 13 y14 exprese su respuesta correcta hasta cinco decimales.

9. 10.

11. 12.

30*

4

x

13

x

60*

12

x45*

30*

25x

7

4

∫

å∫

5

3

å

8

7

¨

3 2

¨

¨

15

8

41¨

40

24¨

257

4

¨53

13. 14.

15–16 ■ Exprese x y y en términos de relaciones trigonomé-tricas de u.

15. 16.

17–22 ■ Bosqueje el triángulo que tiene ángulo agudo u, y en-cuentre las otras cinco relaciones trigonométricas de u.

17. 18.

19. cot u � 1 20.

21. 22.

23–28 ■ Evalúe la expresión sin usar una calculadora.

23.

24. sen 30� csc 30�

25.

26.

27.

28.

29–36 ■ Resuelva el triángulo.

29. 30.

10075*

1645*

a sen p

3 cos p

4� sen

p

4 cos p

3b 2

1cos 30° 2 2 � 1sen 30° 2 2

1sen 60° 2 2 � 1cos 60° 2 2

sen 30° cos 60° � sen 60° cos 30°

sen p

6� cos

p

6

csc u � 1312sec u � 7

2

tan u � 13

cos u � 940sen u � 3

5

¨

4

xy

¨

28

x

y

53*25

x

36*

12

x

6.2 Ejercicios

SECCIÓN 6.2 Trigonometría de ángulos rectos 485

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. Use una regla para medir de manera cuidadosa los lados deltriángulo, y después use sus mediciones para estimar las seisrelaciones trigonométricas de u.

38. Con un transportador, bosqueje el triángulo rectángulo quetiene el ángulo agudo 40�. Mida los lados con cuidado y usesus resultados para estimar las seis relaciones trigonométri-cas de 40�.

39–42 ■ Encuentre x correcta hasta un decimal.

39.

40.

60* 30*

85

x

60* 30*

100

x

¨

425 3π8

106

π5

72.3

π6

33.5π8

1000

68°35

52*41. 42.

43. Exprese la longitud x en términos de las relaciones trigono-métricas de u.

44. Exprese la longitud a, b, c y d en la figura en términos de lasrelaciones trigonométricas de u.

Aplicaciones

45. Altura de un edificio Se encuentra que el ángulo de ele-vación hasta la parte superior del Empire State en NuevaYork es 11� desde el suelo a una distancia de 1 milla a partirde la base del edificio. Use esta información para hallar laaltura del edificio Empire State.

1

¨

ab

dd

c

10

¨

x

30*

5

x

60*

65*

50

x


46. Gateway Arch Un avión está volando dentro de la vistadel Gateway Arch en St. Louis, Missouri, a una altura de35 000 pies. Al piloto le gustaría estimar su distanciadesde el Gateway Arch. Encuentra que el ángulo de depresiónrespecto a un punto sobre el suelo debajo del arco es 22�.

a) ¿Cuál es la distancia entre el plano y el arco?

b) ¿Cuál es la distancia entre un punto sobre el suelodirectamente abajo del avión y el arco?

47. Desviación de un rayo láser Un rayo láser se dirigiráhacia el centro de la Luna, pero se desvía 0.5� de su trayec-toria deseada.

a) ¿Cuánto se ha desviado el rayo de su objetivo asignadocuando llega a la Luna? (La distancia de la Tierra a laLuna es de 240 000 millas).

b) El radio de la Luna mide alrededor de 1000 millas. ¿Elrayo choca con la Luna?

48. Distancia al mar Desde la parte superior de un faro de 200pies, el ángulo de depresión respecto a un barco en el océanoes de 23�. ¿Qué tan lejos está el barco desde la base del faro?

49. Escalera apoyada Una escalera de 20 pies se apoya contraun edificio de modo que el ángulo entre el suelo y la escaleraes de 72�. ¿A qué altura llega la escalera sobre el edificio?

50. Escalera apoyada Una escalera de 20 pies se apoyasobre un edificio. Si la base de la escalera está a 6 pies de labase del edificio, ¿cuál es el ángulo de elevación de la esca-lera? ¿Qué altura alcanza la escalera sobre el edificio?

51. Ángulo del Sol Un árbol de 96 pies proyecta una sombrade 120 pies de largo. ¿Cuál es el ángulo de elevación del Sol?

52. Altura de una torre Un cable de sujeción de 600 pies seune a la parte superior de una torre de comunicaciones. Si elalambre forma un ángulo de 65� con el suelo, ¿cuál es la al-tura de la torre de comunicaciones?

53. Elevación de una cometa Una persona yace sobre la pla-ya, volando una cometa. Mantiene el extremo de la cuerda dela cometa al nivel del suelo, y estima que el ángulo de eleva-ción de la cometa es de 50�. Si la cuerda mide 450 pies de lar-go, ¿cuál es la altura de la cometa arriba del nivel del suelo?

54. Cálculo de una distancia Una mujer parada sobre una co-lina ve un asta de bandera que sabe tiene 60 pies de altura. Elángulo de depresión respecto de la parte inferior del asta es14� y el ángulo de elevación respecto de la parte superior delasta es de 18�. Encuentre la distancia x desde el asta.

xxx

55. Altura de una torre Una torre de agua se localiza a 325pies de un edificio (véase la figura). Desde una ventana en eledificio, un observador nota que el ángulo de elevación de laparte superior de la torre es de 39� y que el ángulo de depre-sión respecto a la base de la torre es de 25�. ¿Qué tan alta esla torre? ¿A qué altura está la ventana?

56. Cálculo de una distancia Un aeroplano vuela a una altu-ra de 5150 pies directamente arriba de una carretera recta.Dos automovilistas conducen en la carretera en lados opues-tos del avión, y el ángulo de depresión respecto a un auto-móvil es 35� y respecto al otro es 52�. ¿Cuál es la distanciaque separa a los automóviles?

57. Cálculo de una distancia Si ambos automóviles delejercicio 56 están en un lado del avión y si el ángulo de depresión respecto a un automóvil es de 38� y respecto alotro es de 52�, ¿qué tan apartados están los automóviles?

58. Altura de un globo Un globo de aire caliente flota arribade una carretera recta. Para estimar su altura respecto al ni-vel del suelo, los aeronautas miden de manera simultánea elángulo de depresión respecto a dos postes de kilometrajeconsecutivos sobre la carretera del mismo lado del globo. Seencuentra que los ángulos de depresión son 20� y 22�. ¿Cuáles la altitud del globo?

59. Altura de una montaña Para estimar la altura de unamontaña arriba de una llanura plana, el ángulo de elevaciónhasta la parte superior de la montaña es 32�. Mil pies más cer-ca de la montaña a lo largo de la llanura, se encuentra que elángulo de elevación es 35�. Estime la altura de la montaña.

60. Altura de una cubierta de nubes Para medir la alturade la cubierta de nubes en un aeropuerto, un trabajador di-rige un reflector hacia arriba a un ángulo de 75� desde la ho-rizontal. Un observador a 600 m mide el ángulo deelevación hasta el punto de luz y encuentra que es de 45�.Determine la altura h de la cubierta de nubes.

5*5*5

600 m

hhh

39*

25*

325 pies

AGUA

SECCIÓN 6.2 Trigonometría de ángulos rectos 487

61. Distancia al Sol Cuando la Luna se encuentra exacta-mente en la fase de media luna, la Tierra, la Luna y el Solforman un ángulo recto (véase la figura). En ese momento elángulo que forman el Sol, la Tierra y la Luna es de 89.85�.Si la distancia de la Tierra a la Luna es de 240 000 millas,estime la distancia de la Tierra al Sol.

62. Distancia a la Luna Para hallar la distancia al Sol comoen el ejercicio 61, se necesita conocer la distancia a la Luna.A continuación se da una manera para estimar esa distancia:cuando se ve que la Luna está en su cenit en un punto Asobre la Tierra, se observa que está en el horizonte desde elpunto B (véase la figura). Los puntos A y B están separados6155 millas, y el radio de la Tierra mide 3960 millas.

a) Encuentre el ángulo u en grados.

b) Estime la distancia del punto A a la Luna.

63. Radio de la Tierra En el ejercicio 72 de la sección 6.1se dio un método para determinar el radio de la Tierra.A continuación se describe un método más moderno: desdeun satélite a 600 millas arriba de la Tierra, se observa que elángulo formado por la vertical y la línea de visión al hori-zonte es 60.276�. Use esta información para hallar el radiode la Tierra.

°

6155 mi

Tierra Luna

SolTierra

Luna

64. Paralaje Para hallar la distancia a estrellas cercanas, seusa el método de paralaje. La idea es hallar un triángulocon la estrella en un vértice y con una base tan grande comosea posible. Para esto, se observa a la estrella en dos tiemposdistintos separados exactamente seis meses, y se registra sucambio de posición aparente. De estas dos observaciones,se puede calcular �E1SE2 (Los tiempos se eligen de modoque �E1SE2 sea lo más grande posible, lo que garantiza que�E1OS sea 90�.) El ángulo E1SO se denomina paralajede la estrella. Alpha Centauri, la estrella más cercana a laTierra, tiene un paralaje de 0.000211�. Estime la distanciaa esta estrella. (Tome la distancia de la Tierra al Sol como9.3 � 107 millas.)

65. Distancia de Venus al Sol La elongación a de un planetaes el ángulo que forman el planeta, la Tierra y el Sol (véasela figura). Cuando Venus alcanza su elongación máxima de46.3�, la Tierra, Venus y el Sol forman un triángulo con unángulo recto en Venus. Encuentre la distancia entre Venusy el Sol en unidades astronómicas (UA). (Por definición, ladistancia entre la Tierra y el Sol es 1 UA.)

Descubrimiento • Discusión

66. Triángulos semejantes Si dos triángulos son similares,¿qué propiedades comparten? Explique cómo estas propie-dades hacen posible definir relaciones trigonométricas sinconsiderar el tamaño del triángulo.

Venuså

Tierra

1 UA

Sol

0.000211°O S

E2

E1


1–6 ■ Use la ley de los senos para hallar el lado indicado x o elángulo u.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7–10 ■ Resuelva el triángulo por medio de la ley de los senos.

7. 8.

9. 10.

11–16 ■ Bosqueje cada triángulo y después resuélvalo por me-dio de la ley de los senos.

11. �A � 50�, �B � 68�, c � 230

12. �A � 23�, �B � 110�, c � 50

13. �A � 30�, �C � 65�, b � 10

14. �A � 22�, �B � 95�, a � 420

15. �B � 29�, �C � 51�, b � 44

16. �B � 10�, �C � 100�, c � 115

A

C

B

80*

6.53.4

A

C

B

68*

12

12

2

30*

C

B

A

100*65

46*

C

BA20*

185102*

C

BA

28*

x

45

36

120*

C

BA

¨

56.367*

80.2

C

B

A

¨

26.7

52* 70*

C

BA

x

17

28.1*

37.5*

C

B

A

x98.4*

376C

B

Ax

24.6*

17–26 ■ Use la ley de los senos para resolver los posiblestriángulos que satisfacen las condiciones dadas.

17. a � 28, b � 15, �A � 110�

18. a � 30, c � 40, �A � 37�

19. a � 20, c � 45, �A � 125�

20. b � 45, c � 42, �C � 38�

21. b � 25, c � 30, �B � 25�

22. a � 75, b � 100, �A � 30�

23. a � 50, b � 100, �A � 50�

24. a � 100, b � 80, �A � 135�

25. a � 26, c � 15, �C � 29�

26. b � 73, c � 82, �B � 58�

27. Para el triángulo mostrado, hallar

a) �BCD y

b) �DCA.

28. Para el triángulo mostrado, halle la longitud AD.

29. En el triángulo ABC, �A � 40�, a � 15 y b � 20.

a) Muestre que hay dos triángulos, ABC y A�B�C�, que sa-tisfacen estas condiciones.

b) Muestre que las áreas de los triángulos del inciso a) sonproporcionales a los senos de los ángulos C y C�, es decir,

30. Muestre que, dados los tres ángulos A, B, C de un triánguloy un lado, por ejemplo a, el área del triángulo es

Aplicaciones

31. Rastreo de un satélite La trayectoria de un satélite queorbita la Tierra ocasiona que pase directamente sobre dosestaciones de rastreo A y B separadas 50 millas. Cuando el

área �a2 sen B sen C

2 sen A

área de ^ABC

área de ^A¿B¿C¿�

sen C

sen C¿

AD

C

B25*

25*12

12

B A

C

20

30*

2028

D

6.4 Ejercicios

SECCIÓN 6.4 Ley de los senos 507

satélite está sobre una de las dos estaciones, los ángulos deelevación en A y B son 87.0� y 84.2�, respectivamente.a) ¿Qué tan lejos está el satélite de la estación A?b) ¿A qué altura respecto del suelo está el satélite?

32. Vuelo de un avión Un piloto vuela sobre una carreterarecta. Determina los ángulos de depresión hasta dos postesde medición de millaje apartados 5 millas, como 32� y 48�,según se ilustra en la figura.a) Encuentre la distancia del avión al punto A.b) Encuentre la elevación del avión.

33. Distancia a través de un río Para hallar la distancia através de un río, una topógrafa elige los puntos A y B, queestán separados 200 pies sobre un lado del río (véase lafigura). La topógrafa elige entonces un punto de referenciaC sobre el lado opuesto del río y encuentra que �BAC � 82�y �ABC � 52�. Aproxime la distancia de A a C.

34. Distancia a través de un lago Los puntos A y B estánseparados por un lago. Para hallar la distancia entre ellos,un topógrafo localiza un punto C sobre el suelo tal que�CAB � 48.6�. También mide CA como 312 pies y CBcomo 527 pies. Encuentre la distancia entre A y B.

35. La torre inclinada de Pisa El campanario de la catedralen Pisa, Italia, se inclina 5.6� desde la vertical. Una turistase para a 105 m de su base, con la inclinación de la torre direc-tamente hacia ella. Ella mide el ángulo de elevación hasta laparte superior de la torre como 29.2�. Encuentre la longitudde la torre hasta el metro más próximo.

A B

C

200 pies

82* 52*

5 millasA B

32*48*

84.2*87.0*

A B

36. Antena de radio Una antena de radio de onda cortaestá apoyada por dos cables cuyas longitudes son 165 y180 pies. Cada alambre está fijo a la parte superior de laantena y anclado al suelo, en dos puntos de anclaje en ladosopuestos de la antena. El cable más corto forma un ángulode 67� con el suelo. ¿Qué tan apartados están los puntos deanclaje?

37. Altura de un árbol Un árbol en una ladera proyecta unasombra de 215 pies colina abajo. Si el ángulo de inclinaciónde la ladera es 22� respecto a la horizontal y el ángulo deelevación del Sol es de 52�, encuentre la altura del árbol.

38. Longitud de un cable de sujeción

Una torre de comunicaciones se localizaen la cima de una colina elevada, comose ilustra. El ángulo de inclinación dela colina es de 58�. Se fijará un cablede sujeción a la parte superior de latorre y al suelo, 100 m colina abajo dela base de la torre. El ángulo en la fi-gura se determina como 12�. Encuentrela longitud del cable requerido.

39. Cálculo de una distancia Observadores en P y Q estánlocalizados en el lado de una colina que está inclinada 32�respecto de la horizontal, como se muestra. El observadoren P determina el ángulo de elevación hasta un globo de airecaliente como 62�. Al mismo tiempo, el observador en Q mideel ángulo de elevación hasta el globo como 71�. Si P está 60 mcolina abajo desde Q, encuentre la distancia de Q al globo.

58°

å

215 pies

22°52°


40. Cálculo de un ángulo Una torre de agua de 30 m de altose localiza en la cima de una colina. Desde una distancia de120 m colina abajo, se observa que el ángulo entre la partesuperior y la base de la torre es de 8�. Encuentre el ángulode inclinación de la colina.

41. Distancias a Venus La elongación de un planeta esel ángulo que forman el planeta, la Tierra y el Sol (véasela figura). Se sabe que la distancia del Sol a Venus es de0.723 UA (véase el ejercicio 65 de la sección 6.2). Encierto momento se encuentra que la elongación de Venuses de 39.4�. Encuentre las distancias posibles de la Tierra aVenus en ese momento en unidades astronómicas (UA).

42. Burbujas de jabón Cuando dos burbujas se adhieren enel aire, su superficie común es parte de una esfera cuyo centroD yace sobre una línea que pasa por los centros de las

Venus

Venus

å

Tierra

1 UA

Sol

8*

30 m

120 m

AGUA

burbujas (véase la figura). También, los ángulos ACB y ACDmiden cada uno 60�.

a) Muestre que el radio r de la cara común está dado por

[Sugerencia: use la ley de los senos junto con el hechode que un ángulo u y su complemento 180� � u tienen elmismo seno.]

b) Encuentre el radio de la cara común si los radios de lasburbujas son 4 y 3 cm.

c) ¿Qué forma toma la cara común si las dos burbujastienen radios iguales?


43. Número de soluciones en el caso ambiguo Se ha vis-to que al usar la ley de los senos para resolver un triánguloen el caso LLA, puede haber dos soluciones, una o ninguna.Bosqueje triángulos como los de la figura 6 para comprobarlos criterios de la tabla para varias soluciones si se tiene�A y los lados a y b.

D

C

r

r �ab

a � b

6.5 Ley de los cosenos

La ley de los senos no se puede usar de manera directa para resolver triángulos sise conocen dos lados y el ángulo entre ellos o si se conocen los tres lados (éstosson los casos 3 y 4 de la sección anterior). En estos dos casos, se aplica la ley delos cosenos.

Criterio Número de soluciones

a b 1

b � a � b sen A 2

a � b sen A 1

a � b sen A 0

Si �A � 30� y b � 100, use estos criterios para hallar elintervalo de valores de a para los cuales el triángulo ABCtiene dos soluciones, una solución o ninguna.

SECCIÓN 6.5 Ley de los cosenos 513

9–18 ■ Resuelva el triángulo ABC.

9. 10.

11. a � 3.0, b � 4.0, �C � 53�

12. b � 60, c � 30, �A � 70�

13. a � 20, b � 25, c � 22

14. a � 10, b � 12, c � 16

15. b � 125, c � 162, �B � 40�

16. a � 65, c � 50, �C � 52�

17. a � 50, b � 65, �A � 55�

18. a � 73.5, �B � 61�, �C � 83�

19–26 ■ Encuentre el lado indicado x o el ángulo u. (Use la leyde los senos o la ley de los cosenos, según convenga.)

19. 20.

21. 22.

40*

C

BA

x10

18

35*

C

BA

x385*

40

C

B

A

12

44

18120*

C

BA

10

Ejemplo 5 Área de un lote

Un hombre de negocios desea comprar un lote triangular en un transitado lugar dela ciudad (véase la figura 9). Los frentes del lote en las tres calles adyacentes son125, 280 y 315 pies. Encuentre el área del lote.

Solución El semiperímetro del lote es

Por la fórmula de Heron el área es

Así, el área es aproximadamente 17 452 pies2. ■

6.5 Ejercicios

� � 13601360 � 125 2 1360 � 280 2 1360 � 315 2 � 17 451.6

s �125 � 280 � 315

2� 360

315

pies

125 pies

280

pies

Figura 9

30*

C

BA

x50

100*

C

BA

4

11

10

¨

1–8 ■ Use la ley de los cosenos para determinar el lado indica-do x o el ángulo u.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

20

10

C

B

A

12

¨

30

24

30*C B

A

x

42.15

68.01

C

B

A

¨

37.83

8

88*

2

x

A

C

B

39*

42

C

BA

x21

15108*

18

C

BA

x

140*25

x

25

A

C

B

¨ 122.560.1

154.6

C

BA


23. 24.

25. 26.

27–30 ■ Encuentre el área del triángulo cuyos lados tiene laslongitudes dadas.

27. a � 9, b � 12, c � 15 28. a � 1, b � 2, c � 2

29. a � 7, b � 8, c � 9

30. a � 11, b � 100, c � 101

31–34 ■ Encuentre el área de la figura sombreada, correctahasta dos decimales.

31. 32.

33. 34.

35. Tres círculos de radios 4, 5 y 6 cm son mutuamente tangentes.Encuentre el área sombreada encerrada entre los tres círculos.

44

3 3

60*

56

7

8

100*

5 5 5

22

64

3

98*

C

BAx

1000

25*

30*

C

B

A

38

48x

40*

C

B

A

8

10¨

38*

C

B

A

138

110¨

36. Pruebe que en el triángulo ABC

Éstas se llaman leyes de proyección. [Sugerencia: paraobtener la primera ecuación, sume las ecuaciones segunday tercera en la ley de los cosenos y despeje a.]

Aplicaciones

37. Agrimensura Para hallar la distancia a través de un peque-ño lago, un agrimensor ha tomado las mediciones mostra-das. Encuentre la distancia a través de un lago por medio deesta información.

38. Geometría Un paralelogramo tiene lados de longitudes 3 y 5,y un ángulo es 50�. Encuentre las longitudes de las diagonales.

39. Cálculo de una distancia Dos carreteras rectas divergenen un ángulo de 65�. Dos automóviles salen de la interseccióna las 2:00 P.M., uno viaja a 50 millas/h y el otro a 30 millas/h.¿Qué tan apartados están los automóviles a las 2:30 P.M.?

40. Cálculo de una distancia Un automóvil viaja a lo largode una carretera, con rumbo este durante 1 h, luego viaja du-rante 30 minutos en otra carretera que se dirige al noreste.Si el automóvil ha mantenido una velocidad constante de 40millas/h, ¿qué tan lejos está de su posición de partida?

41. Estimación Un piloto vuela en una trayectoria recta durante1 h 30 minutos. Después hace una corrección de curso, en di-rección 10� a la derecha de su curso original y vuela 2 h en lanueva dirección. Si mantiene una velocidad constante de 625millas/h, ¿qué tan lejos está de su punto de partida?

42. Navegación Dos botes salen del mismo puerto a la mis-ma hora. Uno viaja a una velocidad de 30 millas/h en ladirección N 50� E y el otro viaja a una velocidad de26 millas/h en una dirección S 70� E (véase la figura).¿Qué tan apartados están los botes después de una hora?

N

S

EO

50°

70°

N 50° E

S 70° E

C

B

A

2.82 millas

3.56 millas

40.3*

c � a cos B � b cos A b � c cos A � a cos C a � b cos C � c cos B

SECCIÓN 6.5 Ley de los cosenos 515

43. Navegación Un pescador sale de su puerto de origen yse dirige en la dirección N 70� O. Viaja 30 minutos y llegaa Egg Island. El siguiente día navega en dirección N 10� Edurante 50 millas y llega a Forrest Island.

a) Encuentre la distancia entre el puerto de origen del pes-cador y Forrest Island.

b) Encuentre el rumbo desde Forrest Island de regreso a supuerto de origen.

44. Navegación El aeropuerto B está a 300 millas del aero-puerto A a un rumbo N 50� E (véase la figura). Un pilotoque desea volar de A a B vuela erróneamente al este a 200millas/h durante 30 minutos, cuando nota su error.

a) ¿Qué tan lejos está el piloto de su destino al momentode notar su error?

b) ¿En qué rumbo debe dirigir su avión a fin de llegar alaeropuerto B?

45. Campo triangular Un campo triangular tiene lados de lon-gitudes 22, 36 y 44 yardas. Encuentre el ángulo más grande.

46. Remolque de una barcaza Dos remolcadores separados120 pies jalan una barcaza, según se ilustra. Si la longitudde un cable es 212 pies y la longitud del otro es 230 pies,encuentre el ángulo formado por los dos cables.

212 pies

230 pies

120 pies

50°

300 millas

Aeropuerto B

Aeropuerto A

50 millas10°

30 millasEggIsland

ForrestIsland

70°

Puertode origen

47. Papalotes (cometas) Un niño vuela dos cometas al mismotiempo. Tiene 380 pies de línea hasta una cometa y 420 pieshasta la otra. El niño estima el ángulo entre las dos líneascomo 30�. Aproxime la distancia entre las dos cometas.

48. Aseguramiento de una torre Una torre de 125 pies selocaliza en la ladera de una montaña que tiene una inclina-ción de 32� respecto de la horizontal. Se fijará un alambrede sujeción a la parte superior de la torre y se anclará en unpunto 55 pies colina abajo de la base de la torre. Encuentrela longitud más corta de alambre necesario.

49. Teleférico Una montaña pronunciada tiene una inclinaciónde 74� respecto de la horizontal y se eleva 3400 pies sobre lallanura circundante. Se va a instalar un teleférico desde unpunto a 800 pies de la base hasta la cima de la montaña, co-mo se ilustra. Encuentre la longitud más corta del cable ne-cesario.

50. Torre CN La torre CN en Toronto, Canadá, es la estructu-ra independiente más alta del mundo. Una mujer sobre laplataforma de observación, 1150 pies sobre el suelo, quieredeterminar la distancia entre dos señales sobre el suelo. Ellaobserva que el ángulo que forman las líneas de visión hastaestas dos señales es de 43�. También observa que el ánguloentre la vertical y la línea de visión hasta una de las señales

800 pies

74*

3400 pies

p380 pies380 pies380 i

420 pies420 pies420 pies303030°


1–2 ■ Encuentre la medida en radianes que corresponda a lamedida en grados dada.

1. a) 60� b) 330� c) �135� d) �90�

2. a) 24� b) �330� c) 750� d) 5�

3–4 ■ Encuentre la medida en grados que corresponda a la me-dida en radianes dada.

3. a) b) c) d) 3.19p

4�

p

6

5p

2

1. a) Explique la diferencia entre un ángulo positivo y unángulo negativo.

b) ¿Cómo se forma un ángulo de medida 1 grado?

c) ¿Cómo se forma un ángulo de medida 1 radián?

d) ¿Cómo se define la medida radián de un ángulo u?

e) ¿Cómo convierte de grados a radianes?

f) ¿Cómo convierte de radianes a grados?

2. a) ¿Cuándo un ángulo está en posición estándar?

b) ¿Cuándo dos ángulos son coterminales?

3. a) ¿Cuál es la longitud s de un arco de un círculo con radio rque subtiende un ángulo central de u radianes?

b) ¿Cuál es el área A de un sector de un círculo con radio ry ángulo central u radianes?

4. Si u es un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, definalas seis relaciones trigonométricas en términos de los cate-tos adyacente y opuesto y la hipotenusa.

5. ¿Qué significa resolver un triángulo?

6. Si u es un ángulo en posición estándar, P1x, y2 es un puntoen el lado terminal y r es la distancia del origen a P, escribaexpresiones para las seis funciones trigonométricas de u.

7. ¿Cuáles funciones trigonométricas son positivas en los cua-drantes I, II, III y IV?

8. Si u es un ángulo en posición estándar, ¿cuál es su ángulo dereferencia u?

9. a) Exprese las identidades recíprocas.

b) Exprese las identidades pitagóricas.

10. a) ¿Cuál es el área de un triángulo con lados de longituda y b y con ángulo incluido u?

b) ¿Cuál es el área de un triángulo con lados de longituda, b y c?

11. a) Exprese la ley de los senos.

b) Exprese la ley de los cosenos.

12. Explique el caso ambiguo en la ley de los senos.

6 Repaso

Revisión de conceptos

es de 62� y hasta la otra señal es de 54�. Encuentre la distan-cia entre las dos señales.

54

62°43°

51. Valor del terreno La tierra en el centro de Columbia estávaluada en 20 dólares un pie cuadrado. ¿Cuál es el valor de unlote triangular con lados de longitudes 112, 148 y 190 pies?


52. Determinación de los ángulos de un triángulo Elpárrafo que sigue a la solución del ejemplo 3 en la página510 explica un método alternativo para hallar �B y �C,por medio de las leyes de los senos. Use este método pararesolver el triángulo del ejemplo. Encuentre primero �B yluego �C. Explique cómo elige el valor apropiado para lamedida de �B. ¿Cuál método prefiere para resolver unproblema de triángulo LAL, el que se explicó en elejemplo 3 o el que usó en este ejercicio?

Ejercicios

CAPÍTULO 6 Repaso 517

4. a) 8 b) c) d)

5. Encuentre la longitud de un arco de un círculo de radio 8 msi el arco subtiende un ángulo central de 1 rad.

6. Determine la medida del ángulo central u en un círculo deradio 5 pies si el ángulo es subtendido por un arco de longi-tud 7 pies.

7. Un arco circular de longitud 100 pies subtiende un ángulocentral de 70�. Encuentre el radio del círculo.

8. ¿Cuántas revoluciones dará una rueda de automóvil de diá-metro 28 pulgadas en un periodo de media hora si el auto-móvil viaja a 60 millas/h?

9. Nueva York y Los Ángeles están separadas 2450 millas.Encuentre el ángulo que subtiende el arco entre estas dosciudades en el centro de la Tierra. (El radio de la Tierra esde 3960 millas.)

10. Encuentre el área de un sector con ángulo central de 2 radia-nes en un círculo de radio 5 m.

11. Encuentre el área de un sector con ángulo central de 52� ra-dianes en un círculo de radio de 200 pies.

12. Un sector en un círculo de radio 25 pies tiene un área de 125pies2. Encuentre el ángulo central del sector.

13. Un torno de alfarero con radio de 8 pulgadas gira a 150 rpm.Encuentre las velocidades angular y lineal de un punto en elborde de la rueda.

14. En una transmisión de automóvil una relación de engranajeg es la relación

La velocidad angular del motor se muestra en el tacómetro(en rpm).

Cierto automóvil deportivo tiene ruedas con radio de 11pulg. Sus relaciones de engranaje se muestran en la siguien-te tabla. Suponga que el automóvil está en cuarta y que eltacómetro marca 3500 rpm.

a) Encuentre la velocidad angular del motor.

g �velocidad angular del motor

velocidad angular de las ruedas

8 pulg

3p

5

11p

6�

5

2

15–16 ■ Encuentre los valores de las seis relaciones trigonomé-tricas de u.

15. 16.

17–20 ■ Encuentre los lados marcados con x y y, correctoshasta dos decimales.

17. 18.

19. 20.

21–22 ■ Resuelva el triángulo.

21. 22.

60*

20

20*3

20*x

1

y20*

35*

x

2

y

40*

x

5 y

3

10

¨

¨

7

5

Velocidad Relación

1a. 4.12a. 3.03a. 1.64a. 0.95a. 0.7

b) Encuentre la velocidad angular de las ruedas.

c) ¿A qué velocidad se desplaza el automóvil (en millas/h)?

xy

30*

4


23. Exprese las longitudes a y b de la figura en términos de lasrelaciones trigonométricas de u.

24. La torre autónoma más alta del mundo es la de CN en Toronto, Canadá. A una distancia de 1 km de su base, elángulo de elevación hasta la parte superior de la torre es28.81�. Encuentre la altura de la torre.

25. Encuentre el perímetro de un hexágono regular que estáinscrito en un círculo de radio 8 m.

26. Los pistones de un motor de automóvil suben y bajan enforma repetida para hacer girar el cigüeñal, como se mues-tra. Encuentre la altura del punto P arriba del centro O delcigüeñal en términos del ángulo u.

27. Visto desde la Tierra, el ángulo subtendido por la luna llenaes 0.518�. Use esta información y el hecho de que la distan-cia AB de la Tierra a la Luna es de 236 900 millas para de-terminar el radio de la Luna.

0.518°

A

y

OO 2 x

8 pulg

y

x0 1¨

a

b

28. Un piloto mide los ángulos de depresión hasta dos barcos co-mo 40� y 52� (véase la figura). Si el piloto vuela a una alturade 35 000 pies, encuentre la distancia entre los dos barcos.

29–40 ■ Encuentre el valor exacto.

29. sen 315� 30.

31. 32.

33. 34. sen 405�

35. cos 585� 36.

37. 38.

39. 40.

41. Encuentre los valores de las seis relaciones trigonométricasdel ángulo u en posición estándar si el punto 1�5, 122 estásobre el lado terminal de u.

42. Encuentre sen u si u está en posición estándar y su lado ter-minal interseca el círculo de radio 1 centrado en el origen enel punto .

43. Encuentre el ángulo agudo formado por la líneay el eje x.

44. Encuentre las seis relaciones trigonométricas del ángulo u enposición estándar si su lado terminal está en el cuadrante IIIy es paralelo a la línea 4y � 2x �1 � 0.

45–48 ■ Escriba la primera expresión en términos de la segun-da para u en el cuadrante dado.

45. tan u, cos u; u en el cuadrante II

46. sec u, sen u; u en el cuadrante III

47. tan2u, sen u; u en cualquier cuadrante

48. csc2u cos2u, sen u; u en cualquier cuadrante

y � 13x � 1 � 0

1�13/2, 12 2

tan 23p

4cot1� 390° 2

sec 13p

6csc

8p

3

sec 22p

3

cot a�

22p

3b

cos 5p

6tan1�135° 2

csc 9p

4

40*

52*

49–52 ■ Encuentre los valores de las seis funciones trigonomé-tricas de u a partir de la información dada.

49. , 50. ,

51. , cos u � 0 52. , tan u � 0

53. Si para u en el cuadrante II, encuentre sen u �cos u.

54. Si para u en el cuadrante I, encuentre tan u� sec u.

55. Si tan u� �1, encuentre sen2u � cos2u.

56. Si y p/2 � u � p, encuentre sen 2u.

57–62 ■ Encuentre el lado marcado con x.

57. 58.

59.

61. 62.

63. Dos naves salen de un puerto al mismo tiempo. Una viaja a20 millas/h en dirección N 32� E y la otra viaja a 28 millas/hen dirección S 42� E (véase la figura). ¿Qué tan apartadasestán las dos naves después de dos horas?

N

E

32*

S

O

42*

S 42° E

N 32° E

A

B

6110*

x

4

C

A

B

C

100

40*x

210

45* 105*A

B

C

2

xA B

C

10

30*

80* x

cos u � �13/2

sen u � 12

tan u � � 12

sec u � � 135sen u � 3

5

csc u � � 419sec u � 41

40sec u � 43tan u � 17/3

A

B

C

7060*

x

20

CAPÍTULO 6 Repaso 519

64. De un punto A sobre el suelo, el ángulo de elevación hasta laparte superior de un edificio alto es 24.1�. Desde el punto B,que está 600 pies más cerca del edificio, el ángulo de eleva-ción se mide como 30.2�. Encuentre la altura del edificio.

65. Encuentre la distancia entre los puntos A y B en ladosopuestos de un lago a partir de la información mostrada.

66. Un bote que cruza el océano pasa cerca de una costa recta.Los puntos A y B están apartados 120 millas en la costa, co-mo se ilustra. Se encuentra que �A � 42.3� y �B � 68.9�.Encuentre la distancia más corta del bote a la costa.

67. Encuentre el área de un triángulo con lados de longitud 8y 14 y ángulo incluido de 35�.

68. Encuentre el área de un triángulo con lados de longitud 5,6 y 8.

120 millas

A

B

Costa

68.9*

42.3*

C

C B

A

3.2 millas

5.6 millas

42*

24.1*30.2*

600 pies BA

60. A

B

C

8

120*x2

SECCIÓN 7.1 Identidades trigonométricas 533

1–10 ■ Escriba la expresión trigonométrica en términos de senoy coseno, y después simplifique.

1. cos t tan t 2. cos t csc t

3. sen u sec u 4. tan u csc u

5. tan2x � sec2x 6.

7. sen u � cot u cos u 8.

9. 10.

11–24 ■ Simplifique la expresión trigonométrica.

11. 12. cos3x � sen2x cos x

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20. tan x cos x csc x

21. 22.

23. tan u � cos1�u2 � tan1�u224.

25–88 ■ Verifique la identidad.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. sen B � cos B cot B � csc B

32. cos1�x2 � sen1�x2 � cos x � sen x

33.

34.

35. tan u � cot u � sec u csc u

36. 1sen x � cos x 22 � 1 � 2 sen x cos x

csc x 3csc x � sen1�x 2 4 � cot2x

cot1�a 2 cos1�a 2 � sen1�a 2 � �csc a

cos √

sec √ sen √� csc √ � sen √

tan y

csc y� sec y � cos y

cot x sec x

csc x� 1

cos u sec u

tan u� cot u

tan x

sec x� sen x

sen u

tan u� cos u

cos x

sec x � tan x

1 � cot A

csc A

2 � tan2x

sec2x� 1

1 � sen u

cos u�

cos u

1 � sen u

sen x

csc x�

cos x

sec x

1 � csc x

cos x � cot x

sec x � cos x

tan x

sec2x � 1

sec2x

tan x

sec1�x 21 � cos y

1 � sec y

sen x sec x

tan x

cot u

csc u � sen u

sec u � cos u

sen u

cos2u 11 � tan2u 2sec x

csc x

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43. 44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55. 56

57.

58.

59.

60.

61.

62.sec x � csc x

tan x � cot x� sen x � cos x

sec x

sec x � tan x� sec x 1sec x � tan x 2

1 � sec2x

1 � tan2x� 1 � cos2x

1 � tan2u

1 � tan2u�

1

cos2u � sen2u

sec t csc t 1tan t � cot t 2 � sec2t � csc2t

1sen t � cos t 2 2

sen t cos t� 2 � sec t csc t

sen „

sen „ � cos „�

tan „

1 � tan „

sen x � 1

sen x � 1�

�cos2x1sen x � 1 2 2

cot2u cos2u � cot2u � cos2u

tan2u � sen2u � tan2u sen2u

sen2a � cos2a � tan2a � sec2a

1 � cos a

sen a�

sen a

1 � cos a

1tan y � cot y 2 sen y cos y � 1

2 cos2x � 1 � 1 � 2 sen2x

cos2x � sen2x � 2 cos2x � 1

11 � cos2x 2 11 � cot2x 2 � 1

sen4u � cos4u � sen2u � cos2u

1cot x � csc x 2 1cos x � 1 2 � �sen x

csc x � sen x � cos x cot x1

1 � sen2y� 1 � tan2y

1 � sen x

1 � sen x� 1sec x � tan x 2 2

sec t � cos t

sec t� sen2t

1sen x � cos x 2 4 � 11 � 2 sen x cos x 2 2

1sen x � cos x 2 2

sen2x � cos2x�

sen2x � cos2x1sen x � cos x 2 2

cos x

sec x�

sen x

csc x� 1

11 � cos b 2 11 � cos b 2 �1

csc2b

7.1 Ejercicios

534 CAPÍTULO 7 Trigonometría analítica

63.

64.

65.

66.

67. 68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81. 82.

83.

84.

85.

86.

87.

88. 1sen a � tan a 2 1cos a � cot a 2 � 1cos a � 1 2 1sen a � 1 21tan x � cot x 24 � csc4x sec4x

tan x � tan y

cot x � cot y� tan x tan y

1 � sen x

1 � sen x� 1tan x � sec x 2 2

tan √ � cot √

tan2√ � cot2√� sen √ cos √

sen3x � cos3x

sen x � cos x� 1 � sen x cos x

cot x � 1

cot x � 1�

1 � tan x

1 � tan x

sec u � 1

sec u � 1�

1 � cos u

1 � cos u

tan2x � cot2x � sec2x � csc2x

1tan x � cot x 2 2 � sec2x � csc2x

1 � sen x

1 � sen x�

1 � sen x

1 � sen x� 4 tan x sec x

1

sec x � tan x�

1

sec x � tan x� 2 sec x

1

1 � sen x�

1

1 � sen x� 2 sec x tan x

cos2t � tan2t � 1

sen2t� tan2t

1 � tan x

1 � tan x�

cos x � sen x

cos x � sen x

cos u

1 � sen u�

sen u � csc u

cos u � cot u

cos u

1 � sen u� sec u � tan u

sec4x � tan4x � sec2x � tan2x

tan √ sen √

tan √ � sen √�

tan √ � sen √

tan √ sen √

tan2u � sen2u � tan2u sen2u

csc2x � cot2x

sec2x� cos2x

csc x � cot x

sec x � 1� cot x

1 � cos x

sen x�

sen x

1 � cos x� 2 csc x

sen x � cos x

sec x � csc x� sen x cos x

sen A

1 � cos A� cot A � csc A

sec √ � tan √ �1

sec √ � tan √89–94 ■ Efectúe la sustitución trigonométrica indicada en laexpresión algebraica que se proporciona y simplifique (véaseejemplo 7). Suponga que 0 � u � p/2.

89. 90.

91. 92.

93. 94.

95–98 ■ Grafique f y g en el mismo rectángulo de visión. ¿Lasgráficas sugieren que la ecuación f 1x2 � g1x2 es una identidad?Demuestre su respuesta.

95.

96.

97.

98.

99. Demuestre que la ecuación no es una identidad.

a) sen 2x � 2 sen x b)

c) sec2x � csc2x � 1

d)


100. Identidades de cofunciones En el triángulo rectánguloque se muestra, explique por qué √ � 1pN22 � u. Expliqueademás cómo puede obtener las seis identidades de cofun-ciones a partir de este triángulo para 0 � u � p/2.

101. Gráficas e identidades Suponga que grafica dosfunciones f y g en una calculadora o en una computadora,y que sus gráficas son idénticas en el rectángulo de visión.¿Esto demuestra que la ecuación f 1x2 � g1x2 es una identi-dad? Explique.

102. Forme su propia identidad Si empieza con una expre-sión trigonométrica y la vuelve a escribir o la simplifica,entonces al hacer la expresión original igual a la quevolvió a escribir obtiene una identidad trigonométrica. Porejemplo, a partir del ejemplo 1 tenemos la identidad:

cos t � tan t sen t � sec t

Aplique esta técnica para formar su propia identidad,luego proporciónela a sus compañeros de clase para que lacomprueben.

u

√

1

sen x � cos x� csc x � sec x

sen1x � y 2 � sen x � sen y

f 1x 2 � cos4x � sen4x, g1x 2 � 2 cos2x � 1

f 1x 2 � 1sen x � cos x 2 2, g1x 2 � 1

f 1x 2 � tan x 11 � sen x 2 , g1x 2 �sen x cos x

1 � sen x

f 1x 2 � cos2x � sen2x, g1x 2 � 1 � 2 sen2x

2x 2 � 25x

, x � 5 sec u29 � x 2, x � 3 sen u

1

x 224 � x

2, x � 2 tan u2x

2 � 1, x � sec u

21 � x 2, x � tan u

x

21 � x 2, x � sen u

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474 CAPÍTULO 6 Funciones trigonométricas de ángulos