Presentado por: Liaara VillarrealAbel Álvarez

Ajustes de CurvaAnálisis de Regresión y Correlación

Existen dos métodos generales para el ajuste de curvas que se distinguen entre sí al considerar la cantidad de error asociado con los datos. Primero, si los datos exhiben un grado significativo de error o “ruido”, la estrategia será obtener una sola curva que represente la tendencia general de los datos. Como cualquier dato individual puede ser incorrecto, no se busca intersecar todos los puntos. En lugar de esto, se construye una curva que siga la tendencia de los puntos tomados como un grupo. Un procedimiento de este tipo se llama regresión por mínimos cuadrados. Segundo, si se sabe que los datos son muy precisos, el procedimiento básico será colocar una curva o una serie de curvas que pasen por cada uno de los puntos en forma directa. Usualmente tales datos provienen de tablas. Como ejemplos se tienen los valores de la densidad del agua o la capacidad calorífica de los gases en función de la temperatura. La estimación de valores entre puntos discretos bien conocidos se llama interpolación.

La regresión por mínimos cuadrados requiere la información en el campo de la estadística tales como los conceptos de la media, desviación estándar, suma residual de los cuadrados, distribución normal e intervalos de confianza.

Regresión Lineal: El ejemplo más simple de una aproximación por mínimos cuadrados es ajustar una línea recta a un conjunto de observaciones definidas por puntos: (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn). La expresión matemática para la línea recta es

y = a0 + a1x + e

Una estrategia para ajustar una “mejor” línea a través de los datos será minimizar la suma de los errores residuales de todos los datos disponibles, como sigue:

Donde n = número total de puntos. Sin embargo, éste es un criterio inadecuado, la cual presenta el ajuste de una línea

recta de dos puntos. Obviamente, el mejor ajuste es la línea que une los puntos.

Ajuste de una línea recta por el método de los mínimos cuadrados

La estrategia que supera las deficiencias de los procedimientos mencionados consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los residuos entre la y medida y la y calculada con el modelo lineal:

Presentado por: Liaara VillarrealAbel Álvarez

Para determinar los valores de a0 y a1, la ecuación (17.3) se deriva con respecto a cada uno de los coeficientes:

Al igualar estas derivadas a cero, se dará como resultado un Sr mínimo. Si se hace esto, las ecuaciones se expresan como:

Ahora, si observamos que Σa0 = na0, expresamos las ecuaciones como un conjunto de dos ecuaciones lineales simultáneas, con dos incógnitas:

Donde podemos simplificar de la siguiente manera:

Y,

Se conoce r2 como el coeficiente de determinación y r es el coeficiente de correlación. En un ajuste perfecto, Sr = 0 y r = r2 = 1, significa que la línea explica el 100% de la variabilidad de los datos. Si r = r2 = 0, Sr = St el ajuste no representa alguna mejora. Una representación alternativa para r que es más conveniente para implementarse en una computadora es:

De esta manera r= 0.932 y r2 = 0.868

Presentado por: Liaara VillarrealAbel Álvarez

Linealización de relaciones no lineales:

Para obtener r y r2 de manera más fácil usamos la forma linealizada para basarnos en la fórmula vista en la regresión lineal.

Regresión Polinomial:

El procedimiento de mínimos cuadrados se puede extender fácilmente al ajuste de datos con un polinomio de grado superior. Por ejemplo, suponga que ajustamos un polinomio de segundo grado o cuadrático:

En este caso, la suma de los cuadrados de los residuos es:

Al seguir el procedimiento de la sección anterior, obtenemos la derivada de la ecuación con respecto a cada uno de los coeficientes desconocidos del polinomio,

Modelo Expresión Linealización ConsiderandoExponencial Se puede volver a

expresar como un exponencial solo al multiplicar por Euler.

Potencial Para expresar en su forma potencial β2 conserva el mismo valor que en su forma linealizada, y α2 se obtiene con la formula :

α 2=10α 2(linealizado)

Presentado por: Liaara VillarrealAbel Álvarez

Estas ecuaciones se igualan a cero y se reordenan para desarrollar el siguiente conjunto de ecuaciones normales:

Estas ecuaciones son fácilmente resueltas por algunos métodos numéricos ya antes vistos.