Anlisis Incremental

Fundamentos de Anlisis Estructural

Segundo Semestre 2009

Anlisis Incremental

Consite en aumentar la carga monotnicamente e ir analizando la estructura a medida que las secciones crticas van fluyendo.

Una manera simple de hacer el anlisis es suponer que la plasticidad se concentra en una seccin. La ley constitutiva ms simple es la elasto plstica, aunque el mtodo permite cualquier ley constitutiva.Si al ley es elastoplstica, se supone que al alcanzarse la fluencia la seccin comienza a rotar sin tomar momento adicional. La relacin momento curvatura no es elastoplstica, an en materiales elastoplsticos. Como simplificacin se puede suponer una relacin bilineal.

En la viga doblemente empotrada de la figura, las secciones crticas estn en los apoyos y en e punto de aplicacin de las cargas. En esas secciones ocurren los mximos de momento y si la resistencia a la fluencia es constante a lo largo de la viga, sern las primeras en fluir.

Al aplicarse una carga se obtiene el diagrama de momentos de la figura, que es vlido hasta que alguna seccin alcance la fluencia. El mximo momento se obtiene en C, igual a -4/9 .

Si la carga aumenta, el diagrama de momento aumenta. Llamando a la carga que produce la primera fluencia, en este caso en (C)

El diagrama de momentos se puede dibujar en funcin de reemplazando por

Esta carga produce el diagrama de momentos de la figura. En el apoyo A el momento alcanza la mitad del valor de fluencia, en el centro llega a 2/3. Si la carga se aumenta, la seccin (C) slo rota sin tomar carga adicional.

Para el incremento de carga la estructura actuara como si hubiera una rtula en C. En esa seccin queda actuando el momento , si se descargara, se devolvera por una recta paralela a la recta inicial. Si se dibuja un diagrama v/s deformacin en algn punto, por ejemplo, en el centro de la viga, el punto (1) representa la primera fluencia en la seccin ( C), con el diagrama de momentos de la figura.

El incremento de carga se calcula con una estructura que tiene una rtula en (C), se le denomina rtula plstica.

Si se elige como base una viga simplemente apoyada:

El resultado de aplicar y el incremento de carga que produce es:

Para que se alcance el momento positivo bajo el punto de aplicacin de la carga es

.

La carga que produce la fluencia en esa seccin se calcula haciendo

Reemplazando el incremento de carga :

A carga produce en la estructura que tiene una rtula a la derecha, un diagrama de momentos igual a:

que al agregarse al diagrama de momentos de la carga 1 en la estructura elstica origina un momento total igual a:

En el diagrama carga desplazamiento, no se debe olvidar sumar los desplazamientos de ambas etapas, error frecuente en los principiantes.

El cambio de pendiente en la curva se debe a la aparicin de la rtula en el apoyo derecho, constituyendo para esa etapa una estructura ms flexible. Se puede ver que la estructura al rotularse se va haciendo cada vez ms flexible.

Al alcanzarse la fluencia en (B), ante un incremento de carga esa seccin deja de tomar momento y solamente gira, formndose una segunda rtula plstica

En esta tercera etapa, la carga produce el diagrama de momentos:

,

Y la carga que produce la plastificacin en el apoyo izquierdo es ahora:

con el diagrama de momentos de la figura derecha. Agregando este diagrama de momentos a los anteriores, se obtiene:

Al formarse la tercera rtula la estructura se transforma en un mecanismo y deja de resistir por flexin. La carga que produce el mecanismo de colapso es

En la figura se ilustra el mecanismo de colapso:

Calculo de Desplazamientos: Como el sistema es no lineal, no se puede aplicar el principio de superposicin, debindose hacer el clculo por etapas.

Incrementos de cargas y diagramas de momentos que producen en cada etapa:

Estado al final de cada etapa.

Al actuar Al fin de la tercera etapa, justo al formarse el mecanismo de colapso

Al formarse el mecanismo todas las secciones crticas quedan en fluencia. Entonces, para cada mecanismo de colapso se puede anticipar el resultado. Aplicando condiciones de equilibrio, se puede calcular la fuerza que provoca ese mecanismo de colapso.

Haciendo un corte a la izquierda de la carga y despus a la derecha, se pueden estudiar los cuerpos libres que resultan::

Por equilibrio se calcula el corte en cada tramo. Se obtienen as las reacciones. Por equilibrio de fuerzas verticales se obtiene la carga ltima que produce ese mecanismo de colapso. Claro que no es posible obtener directamente los desplazamientos para cada etapa, pero s el que se produce justo en el instante de formacin del mecanismo de colapso, llamado como puto de colapso incipiente.

Para calcular los desplazamientos etapa por etapa se procede de la siguiente manera:

En la primera etapa:Se conoce la carga y el diagrama de momentos que produce. El clculo de desplazameintos se puede hacer utilizando cualquier base.

Eligiendo como base una estructura con dos rtulas una en A y otra en B,

Resultando En la segunda etapa, el incremento de carga sobre una estructura que tiene una rtula en (C), produce el diagrama de momentos:

Como el giro en (B) participa en el desplazamiento, hay que considerarlo, siendo entonces:

Como se puede elegir cualquier base, es ms fcil calcular el desplazamiento en (B) debido a eligiendo una base que tenga una rtula en (C), de manera que =0, y as no aparezca el giro en la expresin.

Ntese que es el incremento de deformacin debido a actuando en una estructura que tiene una rtula en C.

Ha sido un error comn el olvidar que es un incremento de la deformacin y no la deformacin total

En la tercera etapa, el incremento de carga produce un incremento de desplazamiento .

y Al formarse el mecanismo de colapso, y

Si en la base elegida se pone el diagrama de momento final

y se calcula , el resultado es el mismo.

en general, El proviene del incremento, el momento calculado para la estructura que proviene de agregar bi acciones en las discontinuidades, de manera que la base tenga exactamente la misma deformada que la estructura original, por lo tanto, el resultado no depende de la base que se elija.

Con el diagrama final se pueden calcular los giros en las secciones crticas debido a la plasticidad, en el instante de formacin del mecanismo de colapso.

es el desplazamiento en el instante de formacin del mecanismo de colapso, en ese instante la rtula en A comienza a abrirse y en B y C las discontinuidades son

de ah en adelante, la estructura queda inestable, cualquier aumento pequeo de carga produce un gran desplazamiento. Se ha formado el mecanismo de colapso.

- QUOTE

Primera Etapa:Segunda Etapa:Tercera Etapa:

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