Análisis Procesos 2012 GChacónV

7/17/2019 Análisis Procesos 2012 GChacónV

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S S E E C V C V t

VC

d

d

C C V t

C V E E

d

d

/

0

t

E

E eC C

C C

ANÁLISIS DE PROCESOS(CASO DE LA INGENIERÍA QUÍMICA)

GERARDO CHACÓN VALLE

2da Ed. Revisada

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA

E V

C E

S V

C S

V

C

Tiempo, t/

C o n c e n t r a c i ó n ,

( C

C E ) ( C 0

C E )

0,0

0,5

1,0

0 1 2 3 4 5 6

V

C

E V

C E

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C S





T t rU xt cm 2

d d ; T t rU

xT C M 2

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x

Lcm

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exp1

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0


m

M

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T

x x x

R

r

qs

M T L

m t 0

T e m p e

r a t u r a .

K

Distancia , x / L

200

300

400

500

0,0 0,5 1,0

Tubo, interno

Carcaza, externo





A N Á L I S I S D E P R O C

E S O S ( C A S O

D E L A

I N G E N I E R Í A Q U Í M I C

A )

G . C h a c ó n V .

2 0 1 2







Universidad de Costa RicaCiudad Universitaria “Rodrigo Facio”, San José, Costa Rica

2012



Análisis de procesos ii G. Chacón V.

660.281.5Ch431a Chacón Valle, Gerardo

Análisis de procesos (caso de la In-geniería Química) Gerardo Chacón Va-lle. 2. ed. San José, C. R. : G.Chacón V. , 2004-2012.

384 p. ; 22 cm

ISBN 9977-12-755-7

1. Procesos químicos. 2. Modelos ma-temáticos. 3. Ingeniería Química. I. Título.



Análisis de procesos iii G. Chacón V.

INTRODUCCIÓN

El contenido de este documento se ha establecido sobre la base de que el IngenieroQuímico, tanto en su formación como en su práctica profesional, requiere del análi-sis de sistemas en los que se llevan a cabo transformaciones regidas por fenómenosfísicos, químicos y biológicos; aspecto que junto con el análisis económico, social yambiental, representa la etapa básica para poder realizar el cálculo, diseño y desa-rrollo de equipos y procesos, es decir, la síntesis de la Ciencia y de la Ingeniería enlos sistemas de interés práctico y académico.

La orientación con que se presenta el material pretende formar ingenieros quetomen decisiones cuantitativas, no sólo en su desenvolvimiento en investigación y

desarrollo, sino también en su labor cotidiana de análisis, evaluación, estable-cimiento de relaciones de causalidad y control de procesos reales.

La actitud con que se maneja la información, intenta convencer al lector de que sulabor como ingeniero es racionalizar sus actividades, investigando, tomando encuenta el origen o causas de los efectos, determinando el sentido físico de losresultados y definiendo las limitaciones y alcances. Así como, basándose en lacapacidad de los sistemas para adaptarse a las transformaciones, escogiendo entrelo importante y lo superfluo y ofreciendo resultados confiables y realistas. Por loque se hace énfasis en el procedimiento o metodología para alcanzar el resultado.

Los principios y métodos estudiados en este tema, forman el pilar para desarrollarlas Ciencias y Métodos de la Ingeniería, como: Procesos y Operaciones Unitarias,Cinética y Dinámica de Procesos, Análisis y Simulación del comportamiento de los

procesos individuales y de los sistemas productivos, Investigación en IngenieríaQuímica, Evaluación y Control de variables y productos en procesos etc.

Las unidades están ordenadas de tal forma que puedan ser estudiados en paralelo o posteriormente de cursos clásicos de Ecuaciones diferenciales, Matemática Apli-

cada, Matemática superior o Métodos matemáticos. Los conocimientos previosnecesarios, son los de Física General, Química General y Cálculo y GeometríaAnalítica.

Los casos presentados, tanto en el texto como en los ejercicios, son tomados de losdesarrollos de los cursos en la carrera de la Ingeniería Química, para un primergrado académico, de tal forma que sirvan como apoyo para los mismos.



Análisis de procesos iv G. Chacón V.

“En todo asunto la precipitación engendra errores, delos cuales suelen nacer grandes daños, mientras eldetenimiento contiene mil bienes que aunque no se nosaparezcan en el mismo instante los hallamos a sutiempo”.

Herodoto (Artabano) 7-10

“Cuando los hombres forman planes razonables, suelencumplirse; pero cuando no forman planes razonables,no se suelen favorecer las decisiones humanas”.

Herodoto (Temístocles) 8-60

“La calidad se hace; y bien desde la primera vez”.

Sociedad Japonesa de Control de la Calidad

“La respuesta no está en que cada uno haga lo mejorque pueda, primero es necesario que las personasconozcan lo que deben hacer”.

W. E. Deming (1986)



Análisis de procesos v G. Chacón V.

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN iii

1 PRINCIPIOS CIENTÍFICOS PARA EL ANÁLISIS DE PROCESOSIntroducción 1

1.1 Diferencial 11.2 Dinámica 41.3 Difusión 71.4 Equilibrio másico 131.5 Ley de conservación 15

2 PRINCIPIOS METDODLÓGICOS EN EL ANÁLISIS DE PROCESOSIntroducción 16

2.1 Definición del sistema 162.2 Observación 182.3 Definición de las variables del sistema 182.4 Formulación del modelo o hipótesis 202.5 Estandarización y conclusión 212.6 Comprobación del modelo 222.7 Presentación del modelo y análisis 232.8 Asignaciones 24

3 ANÁLISIS MACROSCÓPICO DE PROCESOSIntroducción 25

3.1 Balance de masa 253.2 Balance de energía 363.3 Balance de masa con reacción química (discontinuo) 413.4 Balance de masa con reacción química (continuo) 453.5 Balance de masa con difusión 52

3.6 Balance de masa con equilibrio de fases 563.7 Ejercicios 62

4 ANÁLISIS MICROSCÓPICO DE PROCESOSIntroducción 72

4.1 Balance de masa total 724.2 Balance de energía térmica 754.3 Balance de masa de una sustancia 814.4 Balance de cantidad de movimiento 86



Análisis de procesos vi G. Chacón V.

4.5 Reactor continuo tipo flujo de pistón 934.6 Aleta recta 984.7 Absorción de la masa de una sustancia 1034.8 Aplicación de la Ecuación de Bessel 1084.9 Ejercicios 112

5 ANÁLISIS DE PROCESOS CON MÁS DE UNA VARIABLEIntroducción 118

5.1 Formulación del modelo 1185.2 Solución por Transformadas de Laplace 1225.3 Solución por el método de Separación de variables 1245.4 Solución para una longitud infinita 1315.5 Solución por métodos numéricos 134

5.6 Ejercicios 140

6 ANÁLISIS DE PROCESOS EN ETAPASIntroducción 143

6.1 Extracción o absorción 1446.2 Reactores en serie 147

7 COMPROBACIÓN DE UN MODELOIntroducción 152

7.1 Variables y regresión 1527.2 Modelo 1547.3 Ajuste 1587.4 Comprobación del modelo 1617.5 Parámetros para la evaluación de un modelo

con los datos observados 1637.6 Técnicas de análisis de datos 1677.7 Análisis de un caso sin repetición 1787.8 Análisis de un caso con repetición 1847.9 Análisis de tendencias 193

Referencias del capítulo 7 195

BIBLIOGRAFÍA 198

APÉNDICE: SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOSAnálisis macroscópico de procesos, Cap.3 201Análisis microscópico de procesos, Cap.4 284Análisis de procesos con más de una variable, Cap.5 341



Análisis de procesos vii G. Chacón V.

ANEXO: COMPLEMENTOS MATEMÁTICOSEcuación de Bessel, generalizada 386Ecuación en diferencias finitas 386Inversión de transformadas de Laplace, por medio deldesarrollo de los residuos 387Ejercicios con la Ecuación de Bessel 388Ejercicios con la ecuación de Euler o de Cauchy 398Ejercicios sobre transformadas inversa de Laplace,con el método de los residuos 400Proporciones usuales 413



Análisis de procesos viii G. Chacón V.



Análisis de procesos 1 G. Chacón V

CAPÍTULO 1

PRINCIPIOS CIENTÍFICOS PARA EL ANÁLISIS DE PROCESOS

INTRODUCCIÓN

El propósito de este capítulo es presentar las leyes científicas que describen losfenómenos físicos de interés en Ingeniería Química; empleados para el análisis,formulación de modelos y resolución de problemas.

Solamente se enuncian las definiciones, conceptos, principios, propiedades y pára-metros que se relacionan con ellas, para que sirva como manual de referencias, yaque su estudio pertenece a cursos básicos en Física, Química y Matemática.

1.1 DIFERENCIAL

1.1.1 Conceptos de derivada y diferencial

Sea una función continua f( x) de una variable independiente x y de valores y, de lacual se conoce su derivada en cualquier punto (Fig. 1.1):

δ 0 δ 0

d f f δ f δ df lím lím

δ d δ d x x

x x x x y y x

x x x x

En la expresión, significa un incremento finito de la variable x o de la y.El límite cuando x, y, etc., tiende a cero, un incremento infinitesimal, sedenomina diferencial de la variable x, y, etc., según corresponda y se expresa como:

δ 0lím δ d 0 x

x x

,δ 0lím δ d 0 y

y y

, etc.

La diferencial de la variable una dependiente, y, en términos de la variable indepen-diente, x, está dado por

x x y df d

Establece el efecto que se produce al incrementar una cantidad diferencial de lavariable independiente o causa d x, sobre la variable dependiente d y.



2

Principios científicos G. Chacón V.

1.1.2 Fórmula o teorema de Taylor

Para una función continua f( x), derivable indefinidamente (Fig. 1.1), el valor de

dicha función, en un punto x0 más un incremento finito x, se puede calcular a partir de la función y sus derivadas evaluadas en el punto x0 por:

0

3

0

2

000 f !3

δf

!2

δf

!1

δf δf x

x x

x x

x x x x

En forma reducida

4( ) ( )

0 0 00 0

(δ ) (δ )f( δ ) f ( ) f ( )

! !

n nn nn n

n n

x x x x x x

n n

Notas:

-

El valor entre paréntesis (n) indica el orden de la derivación.

- La relación es válida, si la serie es convergente hacia un valor límite.

- Este resultado se puede generalizar para más de una variable.

- En la práctica se emplea cuando0

0,005f( δ ) x x

x

f’( x) = tan

y x x

y x

y

x

f( x)

y

x

x x

Figura 1.1. Efecto que produce aumentar en x, la variable independiente ocausa x, sobre la dependiente o efecto y.



3

Análisis de procesos G. Chacón V.

1.1.3 Áreas infinitesimales

Con la ayuda de la figura 1.2 se establecen las áreas y el volumen infinitesimales:

Coordenadas rectangulares Coordenadas cilíndricasCoordenada Arco Área Coordenada Arco Área

Cambio perpendicular Cambio perpendicular x x x A x = y z r r r Ar = r z y y y A y = x z r A = r z z z z A z = x y z z z A z = r r

Volumen V = x y z Volumen V = r r z

Coordenadas esféricasCoordenada Arco Área perpendicular

Cambior r r Ar = r 2 sen r A = r sen r r sen A = r r

Volumen V = r 2 sen r

P x A x

x

y

z

x

y

z

r r

z

r

z

r

Ar

Pr

r

r Ar

Pr r sen

Figura 1.2. Áreas infinitesimales expresadas en diferentes coordenadas.

r sen



4


1.2 DINÁMICA

1.2.1 Dinámica de la partícula y del flujo de masa

Para una masa, m, en movimiento con una velocidad dada se le asocian las propie-dades siguientes:

Propiedad Partícula Flujo de fluidos

Velocidadt

xv x

d

d

t

xv x

d

d

Masa m x x Avm

Masa de una sustancia A M A Ax x Ax x

A Ax J vC

A

M N

Cantidad de movimiento M = mv x x x x x v Av M

Fuerza

t

mvF x

x d

d x x x x x v Av M F

Energía cinética 220

2

vvmE C

220

2

vvvAE C

Energía potencial 0 z zmgE P 0 z zgvAE P

Energía interna 0uumE U 0uuvAE U

Trabajo xF W x dδ x x vF W dδ (Potencia)

Nota: El punto sobre la propiedad indica el flujo o tasa, de cambio respecto al tiempo, dedicha propiedad

Figura 1.3. Movimiento de una partícula y de un conjunto o flujo de partículas.

F x v x m

x x x x

x x x x

F x v x m A x

Partícula Flujo de masa



5


1.2.2 Acumulación

Cuando una masa contenida en un recipiente cambia, se dice que se acumula o des-acumula, su variación con el tiempo hace que las propiedades dentro del volumen

varíen proporcionalmente, acumulándose o desacumulándose también.

Rapidez de la acumulación de una propiedad

Volument

V

d

d

Masat

m

d

d Energía cinética

t

vvm

d

d

2

120

2

Masa de unasustancia A t

M Ad

d Energía potencial

t

z zmg

d

d 0

Cantidad demovimiento

t

mv x

d

d Energía interna

t

uum

d

d 0

1.2.3 Cinética de reacciones químicas

La rapidez con que una sustancia (reactivo) se descompone o consume para formarotras sustancias (productos), es proporcional a la cantidad de moléculas reactivas

presentes. Los modelos cinéticos básicos son:

m mt t mt

t

m

t

mt d

d

δ

δlím

0δ

t

t t mt t = mm

mt = m

Figura 1.4. Análisis de la acumulación.



6


Primer orden (poblacional)

Segundo orden (acción de masas)

Segundo orden monomolecular (-r A) k ’ M A2 k C A

2 V

Orden cero (regida por la difusión o por la concentración del catalizador)

Figura 1.5. Modelos de la cinética de las reacciones químicas.

En las reacciones reversibles del tipo

N n M m Bb Aak

k

1

2

Se consideran de acuerdo con su naturaleza, se cumple que la constante de equi-

librio, termodinámico, de reacción es K = k 1/k 2.

La nomenclatura usada es:

k o k ’ : coeficiente de rapidez de reacción o tasa de consumo(-r A) : rapidez o tasa de consumo o producción kmol/s

M A : masa molar (moles) de A presentes kmolV : volumen del sistema m3 C A : concentración de la sustancia A kmol/m3

reactivos productos

Sistemacatalítico

(-r A) k ’ k V k = kmol/m3 s

(-r A) k ’ M A M B k C A C B V

A + B productos

k = m3/kmol s

A productos

(-r A) k ’ M A k C A V k = 1/s



7


1.3 DIFUSIÓN

1.3.1 Difusión de la cantidad de una sustancia (masa)

El fenómeno que se manifiesta cuando un flujo de una sustancia A, componente deuna mezcla, atraviesa una masa en una dirección dada, mientras el resto de la masano se traslada en la dirección del flujo de A, se denomina difusión de masa. Secumple que: el flujo de la masa de A es directamente proporcional al área trans-versal al flujo y a la diferencia de concentración de la sustancia A (o al potencialquímico) e inversamente proporcional al camino recorrido.

Se puede generalizar como: que la intensidad del flujo (flux) de la cantidad de unasustancia A es proporcional al gradiente de concentración de dicha sustancia

A AB A C D J

Cuando J Ax y D AB son constantes, se simplifica así

A AC A C C K J 0

Las cuales emplean la siguiente nomenclatura:

m A : masa de A dentro del sistema, kmolV : volumen del sistema, m3

Figura 1.6. Movimiento de un componente por difusión.

y

z

x

J Ax A x

x 0 x

Las moléculas de A se mueven de lazona de mayor concentración, de la masa

de A, hacia la de menor concentración.

C A0

C A

x

C

D A

j

J A

AB x

Ax

Ax d

d

(Ley de Fick)



8


C A : concentración de A (m A/V ), kmol/m3 A x : área perpendicular a la dirección del flujo, m2 j Ax : flujo de la masa de A, en la dirección dada, kmol/s J Ax : intensidad del flujo de la masa de A, kmol/s m2

: longitud o espesor característico, m D AB : difusividad másica, de A en otra sustancia B, m2/sK C : coeficiente global de transferencia de masa, m/s

1.3.2 Difusión de la cantidad de carga o electricidad

El fenómeno que se presenta cuando un flujo de carga eléctrica atraviesa una masaen una dirección dada, mientras la masa no se traslada en la dirección del flujo de

carga, se define como difusión de carga o corriente eléctrica. Se cumple que: elflujo de carga es directamente proporcional al área transversal al flujo y a la dife-rencia de concentración de carga eléctrica (o al potencial eléctrico) e inversamente

proporcional al camino recorrido.

Se puede generalizar de la forma siguiente: que la intensidad del flujo (flux) de lacantidad de carga o que la corriente eléctrica, es proporcional al gradiente deconcentración de la carga eléctrica.

QC J

x 0 x

y

z

x

J x A x

La corriente se traslada de la zona demayor concentración, de carga eléctrica,hacia la de menor concentración.

x

C

A

i J Q

x

x x d

d

C Q0

C Q

Figura 1.7. Difusión de carga eléctrica.



9


Cuando J x y son constantes, se simplifica como

QQC C C K J 0

Con la siguiente nomenclatura:Q : carga eléctrica en el sistema, A s = CoulombV : volumen del sistema, m3 C Q : concentración de carga (Q/V ) , A s/m3

A x : área perpendicular a la dirección del flujo, m2 i x : flujo de carga, corriente, eléctrica, en la

dirección dada, A = Amperio J x : Intensidad de flujo de carga A/m2 : longitud o espesor característico, m

: difusividad eléctrica, m2/sK C : coeficiente global de transferencia de electricidad, m/s

Como la carga eléctrica no se puede medir, pero si el potencial eléctrico, entoncesse usa la ley de Coulomb,

E C Q

Al introducirla en la relación para el flujo de carga, anterior

x

E

A

i

J x

x x d

d

y en la forma integrada, con J x y constantes,

12

1E E

Ri (Ley de Ohm)

Donde:E : potencial eléctrico, V = VoltioC : capacidad, capacitancia, eléctrica, A s/V = Faraday

: conductibilidad eléctrica ( C V ) , A/m Vi : corriente eléctrica, A

R : resistencia eléctrica, V/A = Ohmio

1.3.3 Difusión de calor (Calor por conducción)

El fenómeno en el cual un flujo de energía térmica, o calor, atraviesa una masa enuna dirección dada, mientras la masa no se traslada en la dirección del calor, se



10


denomina difusión de energía térmica o calor por conducción. Se cumple que: elflujo calor es directamente proporcional al área transversal al flujo y a la diferenciade concentración de energía interna (o al potencial térmico) e inversamente propor-cional al camino recorrido.

Se puede generalizar así: la intensidad del flujo (flux) de la energía en forma de

calor es proporcional al gradiente de concentración de la energía interna

U C q

Cuando q x y son constantes, se simplifica como

U U C C C K q 0

En las cuales se usa la siguiente nomenclatura:

U : energía interna dentro del sistema, J = JouleV : volumen del sistema, m3 C U : concentración de energía (U /V ), J/m3

A x : área perpendicular a la dirección del flujo, m2

xQ : flujo de calor, en la dirección dada, W = Wattq x : intensidad de flujo de calor, W/m2 : longitud o espesor característico, m : difusividad térmica, m2/sK C : coeficiente global de transferencia de calor, m/s

z

x 0 x

y

x

q x A x

La energía se traslada de la zona en que lasmoléculas poseen mayor concentración, deenergía, hacia las de menor concentración.

x

C

A

Qq U

x

x x d

d

C U 0

C U

Figura 1.8. Difusión de energía en forma de calor.



11


Como la energía interna no se puede medir, pero si la temperatura, entonces se usala relación termodinámica

T C V U V

Al introducirla en la relación de calor, aproximando con y C V como constantes,

x

T k

A

Qq

x

x x d

d

(Ley de Fourier)

En la forma integrada con q x y k constantes,

T T hq 0 (Ley de Enfriamiento de Newton)

Donde:T : temperatura, K = KelvinC V : capacidad calorífica (calor específico), J/kg Kk : conductibilidad (conductividad) térmica ( C V ), W/m Kh : coeficiente de película o de transferencia de

calor, W/m2 K

1.3.4 Difusión de cantidad de movimiento

Figura 1.9. Difusión de cantidad de movimiento.

x 0 x F y

y

z

x

A x

En régimen de flujo laminar, la fuerza defricción crece de la zona en que las moléculas

poseen mayor concentración de cantidad demovimiento, hacia la de menor concentración.

x

C

A

F My

x

y yx d

d

C My0

yx

v y

C My



12


El fenómeno producido por la fuerza de fricción que actúa sobre una masa, quefluye, en régimen de flujo laminar en una dirección dada, mientras la masa no setraslada en la dirección de la fuerza de fricción, se denomina difusión de cantidadde movimiento, pérdidas por fricción o debido a fuerzas viscosas. Se cumple que:

la fuerza de fricción es directamente proporcional al área transversal al flujo demasa (velocidad) y a la diferencia de concentración de la cantidad de movimiento(o al potencial mecánico) e inversamente proporcional al camino recorrido.

Se generaliza estableciendo: que el esfuerzo, que es la intensidad del flujo (flux) dela cantidad de movimiento, es proporcional al “gradiente tensorial”, de concen-tración de la cantidad de movimiento.

M C

Cuando yx y son constantes, se simplifica como

My MyC x C C K 0

Las cuales emplean la siguiente nomenclatura:

M y : cantidad de movimiento dentro del sistema, kg m/sV : volumen del sistema, m3 C My : concent. de cantidad de movimiento ( M y/V ), kg/m2 s

A x : área perpendicular a la dirección del flujo, m2 F y : fuerza viscosa o de fricción, N = Newton yx : esfuerzo cortante, intensidad de flujo de la Pa = Pascal

cantidad de movimiento : longitud o espesor característico, m : difusividad mecánica o viscosidad cinemática, m2/sK C : coeficiente global de transferencia de la can-

tidad de movimiento m/s

Expresando la cantidad de movimiento en términos de la velocidad,

y y vV M

Al introducirla en la relación de esfuerzo cantidad de movimiento, se tiene

x

v

A

F y

x

y yx d

d (Ley de Viscosidad de Newton)

Y en la forma integrada, con yx y constantes



13


0 0 0 x F f K v v C v v v v

Donde:

v : velocidad, m/sC f : coeficiente de fricción adim.K F : C f v v , conductancia mecánica, kg/m2 s Pa s/m : viscosidad -dinámica- ( ) o conducti-

bilidad mecánica, kg/m s Pa s

1.4 EQUILIBRIO MÁSICO

1.4.1 Equilibrio de reacciones químicas

Para las reacciones químicas del tipo:

a A + b B + · · · m M + n N + · · ·

En el equilibro las actividades se relacionan por

b B

a A

n N

m M

aa

aa

K

En la práctica se emplean, los coeficientes empíricos:

Para líquidos Para gases

b

Ba

A

n N

m M

x x x

x xK n

b B

a A

n N

m M

P P y y

y yK

En las cuales los términos significan:

K : coeficiente o “constante” de equilibrio de la reacción químicaK = K(temperatura, naturaleza de las sustancias)

a : actividad de una sustancia componente en la mezclaP : presión del sistema

x : composición molar de la sustancia en la fase líquida y : composición molar de la sustancia en la fase gaseosan : m + n + . . . - a b ...



14


1.4.1 Equilibrio entre fases

Cuando un sistema constituido por varias sustancias (especies químicas), que seencuentran, como componentes, distribuidos entre varias fases, está en equilibrio, la

actividad de cada una de ellas, ai, es igual en todas las fases.ai

I = ai II

Para efectos de cálculo se usan las siguientes relaciones

Para líquidos Para gases

iii xa 0ˆ iii f f a

Solución diluida( xi 0)

iii H (Ley de Henry)

iii yK f ˆ

Solución concentrada( xi 1 o yi 1)

10 ii iii y f f ˆ

Solución ideal( xi 1 o yi 1)

1i (Ley de Roult)

iii y f f ˆ (Regla de Lewis

y Randall)

Gases perfectos o ideales(P 0 y f i P) iii PyP f ˆ (Ley de Dalton)

En la práctica se usa yi = mi xi

Ejemplos:Solución gaseosa Lewis y Randall y la líquida normal m = i f i

0/ f i Solución ideal de gases ideales y la líquida ideal m = Pi

0/P

interfase

i f

i

yi 0 1

ase II

xi

ase I

i

Figura 1.10. Equilibrio entre fases.



15


En las cuales se emplea la siguiente nomenclatura:

ai : actividad de la sustancia i componente de la mezcla.a = a(temperatura, naturaleza de las sustancias, concentración)

i : coeficiente de actividad de la sustancia i en la mezclai f : fugacidad de la sustancia i en la mezcla

f i : fugacidad de la sustancia i pura a las condiciones de la mezcla f i

0 : fugacidad de la sustancia i pura, a la temperaturay presión estándar o de referencia

K i, i0: parámetros

P : presión del sistema xi : composición molar de la sustancia i en la fase líquida yi : composición molar de la sustancia i en la fase gaseosa0 : (supraíndice) indica estado de referencia o estándar.

1.5 LEY DE CONSERVACIÓN

Cuando un sistema (masa de control) realiza un proceso, en que se presentan losfenómenos de transferencia, se cumple que las propiedades extensivas queintervienen no se crean ni se destruyen, solo se transforman. Esto se expresa como:

cantidad cantidad cantidad cantidad cantidadde de de de de

ACUMULACIÓN ENTRADA SALIDA PRODUCCIÓN CONSUMOde la de la de la de la de la

propiedad propiedad propiedad propiedad propiedadextensiva extensiva extensiva extensiva extensiva

Se aplica a propiedades tales como:masa o cantidad de materia de una sustanciacantidad de movimiento

energía (térmica, mecánica, etc.)cantidad de piezascantidad de dineroetc.

En el caso de la masa total, no se transforma, entonces:

Acumulación

Entrada

Salidade la masa total de la masa total de la masa total



Análisis de procesos 16 G. Chacón V.

CAPÍTULO 2

PRINCIPIOS METODOLÓGICOS EN EL ANÁLISIS DE PROCESOS

INTRODUCCIÓN

Se dice que se lleva a cabo un análisis de procesos cuando se realizan una serie deactividades que conllevan a la descripción o caracterización de los procesos queintervienen en un sistema dado; y que se emplea en la evaluación, categorización,control, predicción o diseño de procedimientos de manufactura, equipos o líneas de

producción y en la resolución de problemas en general.

Al efectuar el análisis, se debe seguir una secuencia lógica de etapas y actividades.Para ello, se deben desarrollar los conceptos, principios y metodologías adecuadas

para lograr las metas planteadas y comunicar los resultados. Como en toda laborhumana, pueden existir diferentes criterios y aún los métodos más rígidos pueden ircambiando con el tiempo y la madurez que se va adquiriendo. En esta unidad se

presentan los principios de la metodología empleada, normalmente, en Ingeniería Química, para el análisis de sistemas con procesos regidos por fenómenos físicos,

principalmente: mecánicos, químicos y de transporte.

2.1 DEFINICIÓN DEL SISTEMA

La primera etapa del análisis, consiste en distinguir, con claridad, su propósito y elsistema a que se refiere. Se debe mostrar la importancia del caso, el contexto(físico, económico, social, legal, etc.) y sus antecedentes. El análisis, debe ser

expresado en términos concretos. Las siguientes definiciones son útiles paradesarrollar esta etapa:

Propósito: Definición del uso que se le va a dar al análisis.

Ejemplos:Caracterizar el comportamiento de un fenómeno o proceso, comparar resultadoscon otro proceso similar, predecirlo, simularlo, etc. Comparar el producto que salede un sistema al variar sus condiciones, evaluarlo, controlarlo, predecir su calidad,certificar su calidad, etc. Diseñar un proceso o equipo, simularlo o proyectar sufuncionamiento, controlarlo, etc. Etc.



17


Estado: Conceptualización que se establece por la intuición y que permite definirla condición en que se encuentra un ente.

Equilibrio: es un estado en el cual no se denota cambio. Nota: En Ciencia e Ingeniería se evalúan las propiedades en el equilibrio. En Ingeniería se

utiliza para modelar procesos en estado estacionario, como un estado en pseudoequilibrio y para efectuar procesos que aprovechan ciertas características del mismo.

Fenómeno: Una o más transformaciones o cambios de estado, que se llevan a caboen una masa, debido a fuerzas naturales.

Proceso: Una o más transformaciones o cambios de estado, que se llevan a cabo enun ente o mecanismo, natural o artificial, debido a fuerzas inducidas por elmedio, natural o artificialmente.

Sistema: Es el conjunto de elementos, delimitado física o imaginariamente, esco-gido en forma arbitraria, para realizar un análisis. El sistema describe total o

parcialmente un ente o mecanismo, en el cual se lleva a cabo un proceso. Loselementos del sistema pueden interaccionar entre sí y con el medio oalrededores. La definición de sistema genera tres conceptos más:

Masa de control: es el sistema cuya delimitación se hace con base enuna masa fija (cantidad de materia).

Volumen de control: es el sistema que se delimita mediante un volumen

fijo (cantidad de espacio que contiene una cantidad de materia dada,aunque ésta cambie durante el proceso).

Prototipo: es el ente real, puede ser ideal o imaginario también, del cualse está definiendo el sistema o se está haciendo el análisis.

Producto: Beneficio u objeto útil, material o abstracto, generado por un proceso.

Insumos: Son los elementos materiales, recursos económicos, tecnología, materias primas, personal, etc., con los que se cuenta, para que el prototipo obtenga un

producto dado.

Recursos para el análisis: Son los instrumentos de medición, herramientas detrabajo, tecnología de la información y de cálculo, tiempo, dinero, etc., conque se cuenta, para desarrollar el análisis, para un propósito dado.

Medio: Es el ambiente o medio que rodea (alrededor) el sistema y con el cual puede interactuar, del cual recibe los insumos y al que aporta los productos.



18

Principios metodológicos G. Chacón V.

2.2 OBSERVACIÓN (Aprendizaje)

El concepto de análisis se refiere a un examen. Lo cual, consiste en la investi-

gación de las características específicas del caso desde una amplia gama de puntosde vista, en prototipos existentes y en condiciones reales de su medio. Es de notarque, para las situaciones en las que se involucran la Ciencia y la Ingeniería físicas,sólo se consideran observaciones que partan de la realidad.

Paralelamente, se realiza una investigación de los principios científicos que rigenlos procesos, los criterios de diseño, la tecnología y los procedimientos de la opera-ción del ente, equipo o mecanismo; así como, de la experiencia cotidiana de todaslas personas que interaccionan con el prototipo, con sus insumos o sus productos.

En la práctica, se ocupa gran cantidad de tiempo en las pacientes y rutinariaslabores de recolección de muestras, evaluación de propiedades y análisis de losdatos y otros resultados; asimismo, en la investigación bibliográfica y de experien-cias previas. En muchos casos se requiere, también, de una labor de ensayo yverificación de modelos para clasificar la información.

En esta etapa el ingeniero debe adquirir toda la información posible y familiarizarsemuy bien con todos los detalles, pues nada sustituye al conocimiento, escogiendolos factores más importantes y desechando los menos importantes. De tal manera,

que se pueda identificar los aspectos más significativos y definir un sistema real yconcreto.

2.3 DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES DEL SISTEMA

El acto del análisis, también se refiere a la identificación y separación de las partesde un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos; en el contexto de laformulación de modelos y la resolución de problemas, corresponde a definir lasvariables que describen un sistema y rigen el comportamiento de los procesos involucrados. Por lo que, se deben plantear las principales variables, que han sidodescubiertas. Deben ser clara, cuidadosa y objetivamente establecidas; también, sedeben definir, sí existen, las relaciones entre ellas. La siguiente clasificación, esmuy útil para el análisis de procesos.



19


Variables del sistema: Son las propiedades, características o atributos que definenuno y sólo un estado, del sistema.

Variable o factor independiente, causa o estímulo: es aquella variable que está determinada por el medio o alrededor y puede ser cambiada

por influencias del mismo o por el usuario.Ejemplos: Temperatura, presión, volumen, flujo de entrada, concentración dela materia prima, tipo de materia prima, casa fabricante, tipo de reactor, etc.

Variable dependiente, efecto o respuesta: es aquella variable que estádelimitada por el proceso que se realiza en el sistema y la gobiernael principio o ley de conservación. Este tipo de variable debe sermedible o evaluable por la cuenta o proporción de un atributo, esdecir cuantitativa.Ejemplos: Densidad, concentración, rendimiento, color, porcentaje de

defectuosos, fracción de elementos aceptados, cantidad tolerada, etc.

Relaciones constitutivas: Son las relaciones funcionales, o modelos, entre dos omás de las variables involucradas en el proceso, que suelen encontrase en elanálisis (son diferentes a las leyes de conservación), formuladas en formamecanicistas o empírica. También, se refieren a las relaciones entre los

parámetros con las variables de interés.Ejemplos: Las que relacionan propiedades energéticas con propiedadesmensurables: energía interna con la temperatura, potencial químico con laconcentración, cantidad de movimiento con la velocidad, etc.; las leyes

fenomenológicas: de Newton, Fourier, Fick, etc., la capacidad calorífica con latemperatura, el volumen de exceso con la concentración, etc.

Parámetros: Son los factores o coeficientes que ayudan a formar las funcionesentre las variables, de las relaciones constitutivas. Los parámetros puedenestar afectados por las mismas variables o por otras causas externas alsistema, formando a su vez relaciones constitutivas (situación que lasdiferencia de las constantes).Ejemplos: Capacidad calorífica, conductividad térmica, porosidad, viscosidad, parámetros empíricos de una relación constitutiva o de un modelo, etc.

Condición de contorno, frontera, límite o cota: Es el valor que adquiere unavariable dependiente para una magnitud específica de una variable inde-

pendiente. Es el valor que toma una función (o variable dependiente), suderivada, su integral, etc. en un punto o valor fijo de una de las variablesindependientes, par ordenado, durante el proceso, que realiza el sistema; suconocimiento se intuye de las condiciones físicas del sistema estudiado.



20


2.4 FORMULACIÓN DEL MODELO O HIPÓTESIS

El análisis se concluye con la explicación, descripción o caracterización cuantitati-

va o cualitativa del comportamiento y de las cualidades del fenómeno o proceso queel sistema lleva a cabo, que se denomina hipótesis o modelo. Establece, también, larelación con los insumos, los productos y el medio del sistema que representa un

prototipo dado y cuyas características queremos conocer.

Modelo: Es la descripción de los fenómenos o procesos que se llevan a cabo en unsistema dado, utilizando las variables que se consideran que lo afectan mássignificativamente y las interacciones entre ellas. Se expresa en forma desímbolos: verbales, escritos, imágenes, esquemas, relaciones funcionalesmatemáticas (gráficos, cuadros o funciones analíticas) o un ente similar al

prototipo pero en otra escala o tamaño, denominado piloto.La formulación generalizada de una realidad física, mediante el modelo, para unsistema, es una percepción humana desarrollada a partir de hechos imaginarios,conceptos, definiciones y procedimientos abstractos, el cual, no es exactamente unaréplica de esa realidad. Se debe, entonces, definir aquellas condiciones del sistema,en cada una de las etapas de su formulación, que ayudan a simplificar el modelo, sucomunicación, su utilización y, en el caso de modelos matemáticos, facilitar lasolución de la ecuación obtenida. Aunque, esta actividad restrinja el uso delmodelo.

Condiciones del modelo: Es el conjunto de consideraciones y aproximaciones, quecomplementan y simplifican la descripción del prototipo, para facilitar ladescripción de los procesos del sistema.

Para que un modelo sea útil debe de tomarse en cuenta que:

- sea eficaz en su propósito u objetivo- tenga sentido físico- sea eficiente en la exactitud deseada, para describir el comporta-

miento del prototipo - sea matemáticamente consistente- sea dimensionalmente consistente- sea sencillo y de fácil empleo- sea físicamente completo y consistente- cumpla las condiciones de contorno - represente adecuadamente el proceso y el sistema

En este documento se trata el desarrollo de modelos matemáticos de procesos físicos. Aunque en principio, se podría obtener una descripción matemática de



21


cualquier fenómeno o proceso de un sistema, no siempre es posible o se tiene unsistema muy complejo para ser tratado matemáticamente.

La formulación de un modelo matemático para el proceso efectuado por un sistema

dado, consiste en el resultado de su análisis, realizado por medio del Principio oLey de conservación, expresado en forma de símbolos matemáticos. El principio dela conservación se relaciona con fenómenos de transferencia y de generación demasa, cantidad de movimiento, energía, dinero, elementos y otras propiedadesextensivas, físicas o no. La que utiliza ecuaciones en términos de potenciales y devariables del sistema; algunas no son mensurable, para las cuales, se debenestablecer las relaciones constitutivas necesarias, entre las variables de interés.

Modelo matemático: Es el grupo de ecuaciones, que bajo ciertas condiciones y paraun propósito dado, provee una descripción adecuada de los fenómenos o

procesos de un sistema físico, para el producto de interés. La formulación del modelo es un procedimiento inherentemente sencillo, pero esnecesario un "entrenamiento" para acostumbrarse a expresar la realidad física ensímbolos matemáticos.

El modelo matemático se representa, por lo general, con ecuaciones diferenciales,algebraicas, en diferencias, etc. cuya complejidad aumenta al complicar y refinar elmodelo. La cual, deben resolverse en forma de relaciones operativas: funcionesanalíticas, cuadros, gráficos, etc.

Nota: En este documento, se analizan procesos en sistemas de una etapa, equipo o ente;los cuales se representan, generalmente, mediante ecuaciones diferenciales y sussoluciones. En otros tipos de análisis, como en el de redes de elementos eléc-tricos, tuberías, sistemas energéticos, procesos en varias etapas, plantas químicas,sistemas de producción, etc., se obtienen ecuaciones matriciales y grafos; loscuales forman el campo de la modelización llamado Simulación y se utilizan lasecuaciones finales o modelos obtenidos en cada etapa.

2.5 ESTANDARIZACIÓN Y CONCLUSIÓN

El modelo debe ser generalizado y verificado teóricamente, asegurando su con-gruencia con el prototipo. Además, debe ser dimensionalmente consistente ycumplir las condiciones de contorno.

En el caso de un modelo matemático, el resultado debe ser propuesto agrupando susvariables, parámetros y constantes, en variables adimensionales o normalizadas, de



22


tal forma que se represente por medio de ecuaciones algebraicas, gráficos ocuadros. Para tal efecto, la forma de la ecuación, modelo matemático, obtenida,normalmente indica el camino a seguir. Esto tiene como objetivo:

- generalizar los resultados, más fácilmente- proponer relaciones de “escalamiento” para sistemas análogos y para el

diseño.- formular modelos con base en el principio de analogía de fenómenos y

procesos - proponer refinamientos empíricos del modelo teórico o mecanicista- obtener variables normalizadas del orden de uno; para que, según los

expertos, se facilite la evaluación o ajuste de los coeficientes o parámetros del modelo a partir de datos experimentales.

Por último, debe informarse los resultados, adecuadamente, e indicarse los datos yámbitos de aplicación de las variables y resultados. Deben ser tan explícitos yclaros como sea posible para poder ser usado sin equívocos. Luego, plantear situa-ciones sin analizar, problemas sin resolver y planear el trabajo futuro para elinvestigador mismo o un posible usuario del modelo.

2.6 COMPROBACIÓN DEL MODELO

Una vez propuesto el modelo, se procede a verificarlo o compararlo con la realidad, para evaluar su reproducibilidad. Con tal propósito se utilizan los datos obtenidosen el prototipo original o en uno piloto. Éste, es un proceso de prueba, compa-ración, verificación y refinamiento del modelo, en forma sistemática, hasta alcanzarla satisfacción proyectada. Cuando este proceso de investigación, se repite paraotras escalas de equipos o procesos reales, en diferentes épocas, se denominavalidación.

No existe una estrategia general para desarrollar la experimentación, pero se debe

planificar siguiendo criterios similares a las etapas y metodología del análisis oformulación de modelos indicada en este capítulo. Para lo cual, la filosofía delMétodo científico, el Diseño estadístico para experimentos y las obras sobreExperimentación, presentan los criterios y métodos para organizar y evaluar lainformación. La parte experimental, además, debe reflejar las circunstancias,condiciones y variables, del sistema de interés.

Las propiedades medidas deben identificarse cuidadosamente, tener relación con el propósito y las variables del modelo definido. Su valoración debe apegarse a los



23


procedimientos, normas y sistemas de medición basados en la Ciencia, la Metro-logía y el campo de su disciplina profesional o científica. El tratamiento de losresultados experimentales, datos, su análisis y comparación, así como la evaluaciónde los parámetros, deben ser matemática y estadísticamente válidos

Decidir en qué grado se satisface el modelo y la aptitud para el uso del mismodepende, como actividad propia del ejecutante, de los criterios que establezca paratomar sus decisiones sobre:

- el propósito (del análisis), eficacia - la reproducibilidad, del prototipo, que se pretende, eficiencia - la exactitud para reproducir los variables - la precisión con que se desean los resultados - la disponibilidad de recursos con que se cuente.

2.7 PRESENTACIÓN DEL MODELO O ANÁLISIS

En este curso y en general en la carrera, el estudiante no va a completar todas lasetapas, específicamente la etapa experimental de toma de datos y comprobación delmodelo; pues éstas, requieren de mucho tiempo y recursos físicos. Por lo que, losejercicios, en los diferentes cursos, son para ejemplarizar, familiarizar y entrenar alestudiante en los conceptos y metodologías.

En la práctica profesional, el ingeniero, debe usar los fundamentos aprendidos en launiversidad, para resolver problemas que le son poco familiares, de un mayoralcance e incompletamente conocidos. Razón por la cual, el estudiante de

ANÁLISIS

MODELO PROTOTIPOS APLICACIÓN

CONSIDERACIONES

APROXIMACIONES

COMPROBACIÓN

USO

Figura 2.1. Ciclo de la comprobación de un modelo.



24


Ingeniería, debe adquirir hábitos correctos en la solución de problemas y en la presentación de los mismos. Para ello, se le recomienda:

- Conocer todo lo posible sobre el proceso y equipos- Seguir cuidadosamente las etapas planeadas, según una metodología eficaz- Desarrollar una secuencia lógica de pasos- Presentar nítidamente el desarrollo del modelo o problema, según los

métodos y normas de su disciplina- Definir cada variable, con sus dimensiones- Indicar cada etapa claramente- Verificar, revisar y cerciorarse, cuidadosamente, de la correcta ejecución

de cada paso.

2.8 ASIGNACIONES

Lecturas:

2.1 Capítulo 1; Kessler, D. P. and Greenkorn, R. A. Momentum, Heat and Mass

Transfer . Marcel Dekker Inc., New York, 1999.

2.2 Capítulo 2; Himmelblua, D. M. Principios básicos y cálculos en Ingeniería

Química. Prentice Hall Hispanoamericana., México, l997.

2.3 Capítulo B; Jones, J. B y Dugan, R. E. Ingeniería Termodinámica. Prentice

Hall Hispanoamericana., México, l997.2.4 Capítulo 4; Baird, D. C. Experimentación. Prentice Hall Hispanoamericana.,

México, l988.

2.5 Capítulo 2; Russell, T. W. F y Denn, M. M. C. Introducción al análisis en

Ingeniería Química. Limusa, México, l976.

2.6 Capítulo 10; Kume, H. Herramientas Estadísticas básicas para el mejora-

miento de la calidad . Norma, Bogotá, l992.

2.7 Aris, R. “Mathematical Modeling Techniques” en Research Notes in Mathe-

matics. Pitrman, Londres, 1978.

Ensayos:

2.8 Teoría, experimento, experiencia y práctica.

2.9 Ciencia, Tecnología e Ingeniería.

2.10 Análisis, diagnóstico, evaluación, control, diseño.

2.11 Trabajo: técnico, profesional, académico.




CAPÍTULO 3

ANÁLISIS MACROSCÓPICO DE PROCESOS

EN ESTADO UNIFORME TRANSITORIO

una variable independiente

INTRODUCCIÓN

En la presente unidad se desarrolla el procedimiento para formular modelos desistemas en los que se lleva a cabo un proceso, cuyas propiedades de estado varíancon el tiempo, estado transitorio, pero se considera que en cada instante, éstas, no

varían con la posición,estado uniforme

. Por ello, se denominaanálisis

macros-

cópico o poblacional. En algunos casos, el estado estacionario, permanente oestable del proceso, es el límite cuando ha transcurrido un tiempo relativamentegrande.

Los modelos matemáticos que describen los sistemas estudiados en esta unidad,usualmente, generan una ecuación diferencial de primer orden.

3.1 BALANCE DE MASA

OBJETIVO

En esta unidad se muestra la técnica del balance de masa, que consiste en aplicar laLey de conservación de la masa al sistema en estudio. Esta primera sección seaprovecha, como ejemplo, para mostrar en detalle el desarrollo de:

- los aspectos que se presentaron en el capítulo dos y que se usarán en elresto del documento

- las técnicas de análisis, que luego se aplicarán en forma resumida- la forma en que la ley de conservación, que científicamente está for-

mulada para un sistema de masa constante e independiente del tiempo,se pueden convertir para razones de propiedades con respecto al tiem-

po, con el objeto de ser aplicadas a volúmenes de control- el concepto de infinito- el concepto de comprobación del modelo- el concepto de analogías entre los procesos de interés en Ingeniería

Química



26

Análisis macroscópico G. Chacón V.

SISTEMA

DescripciónUn recipiente se emplea para acondicionar una solución de sulfato de

amonio. Encuentre una relación entre la cantidad de la sal, existente en eltanque, y el tiempo. Considere que el flujo volumétrico de entrada esigual al de salida y que la solución en el tanque se mantiene agitada.

DatosVolumen de solución en el tanque 0,4 m3 Cantidad de sal al inicio en el tanque 80 kgFlujo de entrada (y salida) 0,3 m3/ksConcentración de sal en la entrada 100 kgde sal/m

3

Volumen de control

DEFINICIÓN DE VARIABLES

Variable independientet : tiempo, ks

Variables dependientes

C : concentración instantánea de sulfato de amonio (A), en el tanque,kg de A/m3

C S : concentración de A en la salida, kg de A/m3

Variables fijasV : volumen de la solución en el tanque, m3

E V : flujo volumétrico a la entrada, m3/ks

S V : flujo volumétrico a la salida, m3/ksC E : concentración de A a la entrada, kg de A/m3

E V

C E

S V

C S

V

C

Como volumen de control, se considerael líquido contenido en el recipiente.

S V

C S

E V

C E

V

C



27


RELACIÓN CONSTITUTIVA

= (C , T )

La densidad es función de la concentración y la temperatura.

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN (FORMULACIÓN DEL MODELO)

A partir de la Ley de conservación para la masa de una sustancia A, que está cien-tificamente planteada en forma independiente del tiempo, se establece el balance demasa.

ACUMULACIÓN MASA MASA ENTRADA SALIDA DE = ACTUAL - ANTERIOR = DE - DE

MASA DE A DE A DE A MASA DE A MASA DE A

Primero, se describe la "historia" de la masa dentro del sistema o volumen decontrol, al transcurrir un periodo t . Para lo que se sigue una de las dos técnicas deanálisis diferencial de procesos, a saber: la de Euler o riguroso o, bien, la deLagrange o de Ingeniería, (en Ingeniería se suele usar más frecuentemente la segun-da, de allí su nombre):

Método de Lagrange,La función en t + t , se evalúa con el teorema o fórmula de Taylor.

Tiempo t t + t anterior actual

Masa dentro del sistema VC

2

δ

d

dδ

d

d 2

2

2 t

t

VC t

t

VC VC

6

δ

d

d 3

3

3 t

t

VC

(m3) (kgA/m3) kgA

Flujo de masa que entra E E C V

E E C V

(m3/ks) (kgA/m3) kgA/ks

Flujo de masa que sale S S C V

2

δ

d

dδ

d

d 2

2

2 t

t

C V t

t

C V C V S S S S

S S

6

δ

d

d 3

3

3 t

t

C V S S

(m3/ks) (kgA/m3) kgA/ks



28


Segundo, se aplica la ley de conservación para la masa de la sustancia A,

VC

t

t

VC t

t

VC t

t

VC VC

6

δ

d

d

2

δ

d

dδ

d

d 3

3

32

2

2

2

δ

6

δ

d

d

2

δ

d

dδ

d

dδ

3

3

32

2

2 t t

t

C V t

t

C V t

t

C V C V C V t C V S S S S S S

S S S S E E

Efectuando las operaciones y dividiendo por t

6

δ

d

d

2

δ

d

d

d

d 2

3

3

2

2 t

t

VC t

t

VC

t

VC

12

δ

d

d

4

δ

d

d

2

δ

d

d 3

3

32

2

2 t

t

C V t

t

C V t

t

C V C V C V S S S S S S

S S E E

Calculado el límite cuando t tiende a 0, se obtiene

S S E E C V C V

t

VC

d

d (3.1.1)

Nótese, que al plantear el análisis con el método de Lagrange, los términos con

derivadas de orden dos o superior se cancelan al hacer esta operación, por lo cual,tradicionalmente, no se incluyen.

Método de Euler 1 (Indicando la variable independiente)

Balance de masa en un periodo t ,

Tiempo t , anterior t + t , actual Dimensiones

Masa dentro del sistema t VC t t VC δ kgA

Flujo de masa que entra E E C V E E C V kgA/ksFlujo de masa que sale

t S S C V t t S S C V δ

kgA/ks

Aplicando la ley de conservación para la masa de la sustancia A,

2δδδδ

t C V C V t C V VC VC t S S t t S S E E t t t



29



2δ

δδ t S S t t S S E E

t t t C V C V C V

t

VC VC

Obteniendo el límite cuando t tiende a 0, se llega a la ecuación 3.1.1

Método de Euler 2 (En términos de la variable dependiente)

Balance de masa en un periodo t ,

Tiempo t , anterior t + t , actual Dimensiones

Masa dentro del sistema VC VC VC δ

kgA Flujo de masa que entra E E C V E E C V kgA/ks

Flujo de masa que sale S S C V S S S S C V C V δ kgA/ks

Aplicando la ley de conservación para la masa de la sustancia A,

2δδδδ t C V C V C V t C V VC VC VC S S S S S S E E


2

δ

δ

δ S S S S E E

C V C V C V

t

VC

Evaluando el límite cuando t tiende a 0, se obtiene, de nuevo, la ecuación 3.1.1

En la ecuación del balance de masa se observa cómo, la forma de la Ley de con-servación se convirtió de relaciones entre propiedades independientes del tiempo,en relaciones con razones de propiedades con respecto al tiempo, que se puedeaplicar a un volumen de control, acción denominada Teorema del transporte.

VELOCIDAD FLUJO FLUJO DE DE DE

ACUMULACIÓN ENTRADA SALIDA DE DE DE

MASA MASA MASA

En forma resumida:

VAmasa FE masa FS masa



30


Se puede generalizar, este procedimiento, al balance de energía, cantidad de movi-miento, etc. También, se puede aplicar a los términos de producción y consumo dela ley de conservación.

Vale recordar, que sin los conocimientos empleados en este desarrollo, al ejecutantedel análisis no le sería tan fácil comprender la razón de la forma matemática decada término; como se puede apreciar en el hecho, de que aunque la masa de salidavaría, se usa el valor de una función y no su derivada con respecto al tiempo.También, con este caso, es importante que se observe la diferencia conceptual ymatemática entre acumulación y flujo.

Para el caso del análisis macroscópico, como la velocidad de acumulación, el flujode entrada y salida y la velocidad de producción y consumo, siempre se expresan dela misma manera, esta relación se puede aplicar directamente, sin todo el desarrollo

efectuado; el cual se hizo, para efectos de demostrar que el método está correcto. No así, para el análisis microscópico, que se estudia en el siguiente capítulo, en elque si hay que detallar un poco el análisis.

CONDICIONES DEL MODELO

1.- Agitación perfecta. Se supone que la masa es uniforme.

C S = C

Esto propone, como aproximación, que la concentración de la saldentro del tanque es igual que la de su salida, en cualquier instante.

2.- El volumen del tanque es mucho mayor que el flujo de masa.

V >> E V

Lo que supone que el tiempo de residencia, de una partícula en eltanque, es lo suficientemente largo para que se haya logrado lahomogeneización y que la masa salga con una concentración diferente ala que entró.

3.- La densidad es constante.

= cte. con lo que V = V 0 = cte.

Indica que las variaciones en la densidad debido a la concentración y latemperatura se pueden considerar despreciables para efectos de cálculo.



31


4.- El flujo de salida es constante y es igual al de entrada.

E V = S V = cte.

Lo que considera que el flujo de masa total está en estadoestacionario que la densidad es constante y que el flujo desalida no depende de la altura del líquido en el tanque.

0d

d t V

Entonces, la ecuación del modelo, simplificada con estas condiciones es:

C C V t

C V E E

d

d (3.1.2)

AGRUPAMIENTO DE CONSTANTES

Acción que se emplea para simplificar el tratamiento matemático. Se debe tenercuidado de que:

- Los valores sean constantes durante el proceso, es decir, no dependande las variables independientes, ni de las dependientes.

- Que el grupo de constantes sea positivo.

Se define tiempo de residencia o retención como

E V V = 1,33 ks

y la ecuación queda

C C

t

C E d

d (3.1.3)

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN

Arreglando la ecuación 3.1.3, en forma canónica,

E C C

t

C

d

d (3.1.4)

Integrando, esta ecuación diferencial ordinaria lineal, queda

t C C C TE E exp (3.1.5)



32


CONDICIONES DE CONTORNO

Para evaluar las constantes de integración se utilizan condiciones físicas intuidasdel proceso mismo, llamadas condiciones de contorno, límites o cotas, en este caso

un valor o punto de una función,cuando t 0 entonces C C 0 200 kg de A/m3 (Condición inicial)

Con las que se evalúa la C TE C 0 C E

Sustituyendo la constante y arreglando, se obtiene la relación operacional

/exp0

t C C

C C

E

E

(3.1.6)

Otra forma de expresarla es

t

C C

C C

E

E

0

ln (3.1.6)

NORMALIZACIÓN, VARIABLES ADIMENSIONALES.

Para convertirla en una ecuación con variables adimensionales, se sigue la forma dela ecuación obtenida, 3.1.6, así:

0

*C C

C C C

E

E

* E t V t t

V

Con lo que se obtiene la ecuación en variables adimensionales,

*exp* t C (3.1.7)

VERIFICACIÓN

En las ecuaciones 3.1.6 y 3.1.7 se puede observar que:

- El modelo es dimensionalmente consistente (Análisis dimensional).- En el estado inicial: cuando t 0 entonces C C 0 - En el estado estacionario: cuando t entonces C C E



33


COMPROBACIÓN DEL MODELO

La comprobación del modelo no se desarrolla, para cada caso, en este documento, pues los sistemas más complejos e interesantes requieren arduas labores de inves-

tigación en planta o planta piloto, los prototipos no siempre son asequibles y lareproducción física del sistema requiere de recursos económicos altos. En loscursos de laboratorio de la carrera, en los proyectos, en los trabajos de graduación einvestigación y en la práctica profesional, se presentarán casos en los cuales seefectúa esta etapa del proceso de análisis. Sin embargo, en este capítulo semuestran sistemas sencillos, de los cuales algunos son fáciles de reproducir en

planta o en el laboratorio, por lo que se pueden desarrollar como proyecto tutorialdel curso.

Para lo que, en el capítulo 7, se presentan la teoría y casos, a manera de ejemplos,sobre la comprobación del modelo. Del cual se reproduce la figura 7.14 modificadacomo Fig. 3.1, con datos correspondientes al caso discutido en esta sección.

Figura 3.1 Variación de concentración del sulfato de amonio en un tanque agitado conflujo constante de 0,3 m3/kg, con una concentración de 100 kg/m3 y unacapacidad efectiva de 0,4 m3.

Se observa que los datos experimentales se distribuyen en forma exponencial, comose espera por el modelo. Al inicio se presenta una curvatura y la condición inicialse cumple pasados 0,38 ks, que se podría interpretar con un retardo o “una especiede inercia” del proceso; lo cual, se describe matemáticamente como undesplazamiento del tiempo o “tiempo de retardo”. En este periodo se manifiesta unmecanismo diferente al propuesto y que no se contempló en las condiciones delmodelo. El estado estacionario coincide con el comportamiento asintótico delmodelo, aunque los datos experimentales son ligeramente mayores que los queofrece el modelo.

75

100

125

150

175

200

225

0 1 2 3 4 5 6 7 8Tiempo, ks

C o n

c e n t r a c i ó n ,

k g / m 3

Ensayo 1Ensayo 2Modelo 1Modelo 2 : Ec 3.1.6

Modelo 1: 38,075.01100 t eC

Modelo 2: t eC 75.01100



34


CONCEPTO DE INFINITO

Aunque matemáticamente se represente una condición límite como infinito, en la práctica significa un valor relativamente grande. En el caso del problema de esta

sección, es muy importante porque representa el estado estacionario del proceso.De la misma forma, cuando una cantidad es pequeña comparada con otra, alsumarse o restarse se considera 0 o infinitamente pequeña.

Para el análisis del concepto de infinito, se usa la ecuación 3.1.6 con los valoresnuméricos sustituidos y despejando el tiempo.

1,333 ln /100 1t C (3.1.8)

Los valores para diferentes grados de aproximación a la concentración correspon-

diente al infinito, C E , son:Aproximación C t t

% C E kg/m3 ks horas min. seg.

10 110 3,07 51 10

1 101 6,14 1 42 20

0,1 100,1 9,21 2 34 30

0,01 100,01 12,28 3 25 40

0,001 100,001 15,35 4 16 51

Como se muestra en los resultados, el tiempo infinito en realidad corresponde a unamagnitud relativamente grande, entonces, se puede asegurar, con el 1% deaproximación, que el estado estacionario se alcanza en 6 ks (1 hora: 40 minutos).La decisión de cuándo se alcanza un estado dado, depende de la precisión oincertidumbre de las variables experimentales o reales. En los casos de ingeniería

práctica, normalmente es entre 1 y 5 % de error, en otras actividades puede sermejor la aproximación.

ANALOGÍAS ENTRE LOS MODELOS DE LOS SISTEMAS

Se puede observar, que los modelos de los procesos de interés, para un sistemasimilar en su forma y condiciones, presentan características en común, como:

- Descripción física del sistema- Forma del modelo matemático- Naturaleza dimensional del resultado.



35


Lo cual es muy útil en Ingeniería para la simulación, tanto física como matemáticade los procesos, la evaluación de propiedades y para el control y el diseño de pro-cesos.

En el caso de un sistema tipo recipiente en el cual entra o sale masa, energía o cargaeléctrica se puede comprobar este hecho, al realizar el balance de conservaciónrespectivo, como se ilustra a continuación.

Masa Energía Carga eléctrica

C C

t

C E d

d

T T

t

T E d

d

QQ

t

Q E d

d

E V V / PE V C V VC / RC

0

*C C

C C C

E

E

0

*T T

T T T

E

E

0

*QQ

QQQ

E

E

t V

V t t E

* t VC

C V t t

V

PE

* t RC

t t

1*

*exp* t C *exp* t T *exp* t Q

Donde:t : tiempo, sC : concentración de la

sustancia A, kmol/m3 C E : conc. a la entradaV : volumen de la masa

en el recipiente, m3

E V : flujo volumétricoen la entrada, m3/s

t : tiempo, sT : temperatura, K

T E : temp. a la entrada,V : volumen de la masa

en el recipiente, m3 C v: y C P: capacidad

calorífica, J/kg K

E V : flujo volumétricoen la entrada, m3/s

t : tiempo, sQ: carga, A s

QE : carga a la entradaC : capacidad eléctrica,

A s/V R: resistencia eléctrica,

V/A

QE Q

E V T E

S V

T S

V

T

E V

C E

S V

C S

V

C



36


3.2 BALANCE DE ENERGÍA

OBJETIVO

Se muestra la técnica para efectuar el balance de energía, mediante la ley de conser-vación, al sistema en estudio.

SISTEMA

DescripciónEn un sistema de tanque agitado sin flujo se calienta una solución, me-diante vapor condensante que fluye externamente dentro de la chaqueta,que rodea al tanque metálico. Se desea encontrar el periodo en que lasolución alcanza una temperatura dada.

Datos:Temperatura inicial de la masa en el tanque 25 CTemperatura del vapor condensante 100 CDensidad de la solución a 30 C 1012 kg/m3 Capacidad calorífica de la solución a 25 C 4,3 kJ/kg KCoeficiente global de transferencia de calor, sobre la base

del diámetro del tanque, para todo el sistema, a 50 C. 0,5 kW/m2 KAltura del líquido en el tanque 2 mRadio del tanque 1,2 m

Volumen de control

Ts1

Ts2

T T V

q

Vapor

MTq

T V

As

As2·



37



Variable independientet : tiempo, s.

Variable dependienteT : temperatura instantánea de la solución en el tanque, K

Variables fijasT V : temperatura del vapor condensante en la “chaqueta”, K

M : masa de la solución en el tanque, kg AS : área de transferencia de calor, m2.

Variables intermediasE : Contenido energético de la solución, kJ

T S1-2 : temperaturas de la pared del recipiente, CQ : flujo de energía o calor del vapor hacia la solución, kW.

ParámetrosC : capacidad calorífica de la solución, kJ/kg KhS : coeficiente de transferencia de calor de la solución, kW/m2 KhV : coeficiente de transferencia de calor del vapor, kW/m2 KhP : conductancia (k / ) térmica del material de la pared, kW/m2 KU : coeficiente global de transferencia de calor del sistema, kW/m2 K.


Aplicando el principio de conservación a la energía y usando la forma resumida, setiene:

VAenergía FE energía FS energía RPenergía RC energía

Velocidad de acumulación de energía, VAenergía = t E dd (1/s)(kJ)

Flujo de energía a la entrada, FE energía

= Q kW

Flujo de energía a la salida, FS energía = S Q kWRapidez de producción de energía, RPenergía = no hay

Rapidez de consumo de energía, RC energía = no hay

En términos algebraicos, el balance de energía queda:

S QQt

E

d

d (3.2.1)



38


Para poder resolver esta ecuación, las variables energéticas deben ser transformadasen variables medibles, mediante relaciones constitutivas. También, debenestablecerse las condiciones de contorno y del modelo del sistema.

RELACIONES CONSTITUTIVAS

Las relaciones para los fenómenos involucrados en este sistema son:

La definición de capacidad calorífica REF T T MC E

La definición de coeficiente de transferencia f S S S T T AhQ

de calor o Ley de enfriamiento de Newton

La densidad es función de la temperatura = (T )

La capacidad calorífica es función de la temperatura C = C(T )

Variación del coeficiente de transferencia de calor h = h(T, , Agitación, etc.)

Sustituyendo las relaciones constitutivas en el modelo, Ec. 3.2.1, se tiene:

S S S S

REF QT T Aht

T T MC

1d

d (3.2.2)

Pero la energía que entra al tanque es igual a la que sale del vapor y la que atraviesa

la pared, entonces

1 1 1 2 2 2S S S P S S S V S S V V h A T T h A T T h A T T U A T T (3.2.3)

Resolviendo este sistema de ecuaciones para U , el coeficiente global de transfe-rencia de calor, se tiene

1 2

1

S S P S V S

U A A A

h A h A h A

(3.2.4)


1.- Agitación perfecta. Se supone que la masa es uniformeT = es homogénea.

2.- Las propiedades de la materia no dependen de la temperatura = es constanteC = es constante



39


3.- Los coeficientes de transferencia de calor no varían con las variables del proceso,

U = es constante, lo mismo hS , hV y hP.

4.- Los efectos energéticos entre el sistema y el medio son despreciables

S Q = Transferencia de calor con el medio, es despreciable

S W = Potencia del eje, es despreciable.

5.- No hay evaporación

Entonces, la ecuación simplificada del modelo es:

T T UAt

T MC V

d

d (3.2.5)


Sea: UA MC , s.

y la ecuación del modelo se modifica como:

T T

t

T V d

d (3.2.6)


Separando variables

t

T T

T

V

dd

(3.2.7)

Integrando

TE V C t T T

ln (3.2.8)

CONDICIÓN DE CONTORNO

Cuando t = 0 T = T 0: (condición inicial)La temperatura inicial de la masa, en el tanque, K



40


Con las que se evalúa la 0ln T T C V TE

Y se obtiene la relación operacional

t

T T

T T

V

V

0

ln (3.2.9)

Otra forma, más común, de expresarla es

t

T T

T T

V

V exp

0

(3.2.10)

NORMALIZACIÓN, VARIABLES ADIMENSIONALES

Se definen las siguientes variables adimensionales, siguiendo la forma de laecuación obtenida, así:

0

*T T

T T T

V

V

t t

UA

MC t *

Con lo que se obtiene la ecuación en variables adimensionales

*exp* t T (3.2.11)

VERIFICACIÓN

1.- Análisis dimensional: en las ecuaciones 3.2.9 y 3.2.10 y 3.2.11 se

observa que el modelo es dimensionalmente consistente.2.- El estado inicial: cuando t = 0 entonces T = T 0.

3.- Cuando t entonces T = T V ; que es la condición de equilibriotérmico.



41


3.3 BALANCE DE MASA CON REACCIÓN QUÍMICAReactor transitorio

OBJETIVO

Se muestra la técnica para efectuar el balance de masa de las sustancias compo-nentes de una mezcla, cuando existe reacción química. Se muestra el reactor tipotransitorio o “batch”, que es utilizado en el laboratorio y en la industria.

SISTEMA

DescripciónEn un reactor “por tandas”, que consiste en un recipiente o tanque, se co-loca una cantidad de un reactivo A junto a otra de reactivo B, este últimoen exceso. Entre ambas sustancia ocurre una reacción irreversible desegundo orden. Se necesita encontrar la variación de la cantidad de A conel tiempo, durante la reacción.

Volumen de control



Variables dependientes M A : cantidad de masa de A presente, kmol de A M B : cantidad de masa de B presente, kmol de B.

Variables fijas M : masa total en el tanque de reacción, kmol.

M A

M B



42


Parámetro : parámetro cinético o coeficiente de rapidez de la reacción,

(kmol ks)-1.


Aplicando el principio de conservación a la masa de cada sustancia, A y B, se tiene:

VAmasa de A FE masa de A FS masa de A RPmasa de A RC masa de A

Para A Para BVelocidad de acumulación de masa, VAmasa t M A dd t M B dd

(kmol) (1/s)

Flujo de entrada de masa, FE masa 0 0Flujo de salida de masa, FS masa 0 0Rapidez de producción de masa, RPmasa no hay no hayRapidez de consumo de masa, RC masa Ar Ar

(kmol/s)

El balance de masa queda:

Para A Para B

A

A

r t

M

d

d

A

B

r t

M

d

d

(3.3.1)


Las relaciones para los fenómenos involucrados en este sistema y que se emplean para resolver el sistema de ecuaciones, anterior, son:

La reacción es del tipo A + B productos

La cinética es de segundo orden (-r A) = M A M B El parámetro cinético depende de la temperatura = (T )

Restando las ecuaciones del modelo 3.3.1, se tiene:

0d

d

d

d

t

M

t

M B A (3.3.2)

Que es la aplicación de la Ley de la Estequiometría.



43



1.- Agitación perfecta. Se supone que la masa es uniforme M A y M B están distribuidas en forma homogénea

2.- La reacción es irreversible y con cinética de segundo orden.

3.- El coeficiente de rapidez de reacción no varía con las variablesdel proceso.

= es constante

Sustituyendo las relaciones constitutivas en la ecuación del modelo 3.3.1, seestablece la relación para A,

B A A M M t M dd (3.3.3)


No es útil en este caso.


Integrando la ecuación estequiómétrica, 3.3.2

1C M M A B (3.3.4)

Entonces, la ecuación para el balance de la sustancia A es:

1d

dC M M

t

M A A

A (3.3.5)

Separando variables e integrando

211

ln1

C t C M

M

C A

A

(3.3.6)



44



Cuando t = 0 M A = M A0 ; M B = M B0 ; tal que M B0 > M A0 M A0 : masa molar de la sustancia A en el tanque al inicio, kmolA. M

B0 : masa molar de la sustancia B en el tanque al inicio, kmol

B.

Se sustituyen en la Ec. 3.3.4 para evaluar la C 1 y se obtiene,

001 A B M M C

Evaluando C 2, se tiene

000

0

002 ln

1

A B A

A

A B M M M

M

M M C

Sustituyendo en la Ec. 3.3.4, se obtiene la estequimetría de la reacción,

00 B A A B M M M M (3.3.7)

Aplicando C 1 y C 2, en la Ec. 3.3.6 y arreglando, se tiene

t

M M

M

M

M M M

M

A B

A

B

B A A

A

00

0

0

00

ln

(3.3.8)

VERIFICACIÓN

1.- Análisis dimensional: en la ecuación 3.3.8 se observa que el mo-delo es dimensionalmente consistente.

2.- El estado inicial, cuando t = 0 entonces

10

0

00

A

B

B A A

A

M

M

M M M

M M

A M

A0

3.- Cuando t entonces, se agota el reactivo limitante,

00

0

00

A

B

B A A

A

M

M

M M M

M M A 0

Lo cual es concordante.



45


3.4 BALANCE DE MASA CON REACCIÓN QUÍMICAReactor continuo tipo tanque agitado

OBJETIVO

Mostrar el balance de masa de una sustancia para el reactor continuo tipo “tanqueagitado”, RCTA.

SISTEMA

DescripciónUna reacción irreversible de primer orden de una sustancia A, con unavelocidad específica de ks-1, se lleva cabo en un reactor continuo tipo“tanque agitado” (RCTA), de V m

3 de capacidad. La sustancia entra conuna concentración dada, C E kmol de A/m3, y se requiere obtener un 80%de conversión en el estado estable. Determine la variación de la concen-tración con el tiempo durante el “arranque”; esto es, el tiempo necesario

para que se alcance el estado estacionario, considerando para ello, elsiguiente procedimiento o protocolo:

i) Comenzar cuando el tanque se encuentra vacíoii) Llenarlo hasta que se alcance el nivel adecuado dentro del tanque,

con el flujo igual al del estado estacionarioiii) En el momento que se llena, se deja salir la masa, también con el

flujo igual al del estado estacionarioiv) La reacción da inicio en el momento en que A cae en el tanque.

Volumen de control

V

C

E V C E

S V

C S



46



Variable independientet : tiempo, ks.

Variables dependientesV : volumen de la masa en el tanque, m3 C : concentración de A en el tanque, kmolA/m3 C S : concentración de A en la salida del tanque, kmolA/m3.

Variables fijas

V : Capacidad efectiva del tanque, m3

E V : flujo de entrada, m3/ks

S V : flujo de salida, m3/ks

E C : concentración de A en la entrada, kmolA/m3 : conversión en el estado estacionario.

Parámetros : coeficiente de rapidez de reacción, ks-1

: densidad de la solución, kg/m3.


Aplicando el principio de conservación a la masa de la sustancia A.


Velocidad de acumulación de masa, VAmasa t CV /dd (kmolA/m3) (m3) (1/ks) kmolA/ks

Flujo de entrada de masa, FE masa E E C V (m3/ks) (kmolA/m3) kmolA/ks

Flujo de salida de masa, FS masa S S C V

(m3/ks) (kmolA/m3) kmolA/ksRapidez de producción de masa, RPmasa no hayRapidez de consumo de masa, RC masa V R A

(1/ks) (kmolA/m3) (m3) kmolA/ks

El balance de masa de la sustancia A es:

V RC V C V

t

CV AS S E E

d

d (3.4.1)



47


En este caso, el volumen y la concentración varían con el tiempo, por lo que senecesita plantear un balance de masa total.


Velocidad de acumulación de masa, VAmasa t V /dd (kg/m3) (m3) (1/ks) kg/ks

Flujo de entrada de masa, FE masa E E V (m3/ks) (kg/m3) kg/ks

Flujo de salida de masa, FS masa S S V

(m3/ks) (kg/m3) kg/ks

El balance de masa total queda:

S S E E V V

t V

dd (3.4.2)


Las relaciones para los fenómenos involucrados en este sistema, que se emplean para resolver el sistema de ecuaciones anterior, son:

La reacción es del tipo A productos La relación cinética es de primer orden (-R A) = C A

El coeficiente depende de la temperatura = (T )La variación de la densidad = (T , C )

Sustituyendo las relaciones constitutivas en el modelo, se tiene:

CV C V C V

t

CV S S E E

d

d (3.4.3)


1.- Agitación perfecta. Se supone que la masa es uniforme, C S = C

2.- La reacción es de primer orden e irreversible.

3.- El coeficiente de rapidez reacción y la densidad no cambian conlas variables del proceso.

constante constante



48


4.- C E constante E V constante

5.- Se cumple el procedimiento o protocolo de “arranque” establecido.

Con lo que la ecuación del balance de masa total, Ec. 3.4.2, queda:

S E V V t

V

d

d (3.4.4)

Al sustituir esta ecuación en la del balance de A, Ec. 3.4.3, se tiene

CV C C V t

C V E E

d

d (3.4.5)

NOTA: Curiosamente, el balance de masa queda independiente del flujo de salida.Debe evitarse el error de creer que el volumen, en este caso general, es constante, pues aparece fuera del operador derivada.

AGRUPAMIENTO CONSTANTES

C I : concentración de A a la salida del tanque,en el estado estacionario, kmolA/m3

E V V

/ : tiempo de residencia o retención, ks

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN EN EL ESTADO ESTACIONARIO( t )

En este caso particular, no se enuncia el flujo de entrada, pues en el estado estacio-nario se tiene un grado de libertad fijo por la reacción química, lo que permitecalcular el flujo en términos de otras variables de diseño, como la conversión y el

volumen de la masa en el tanque, para esta situación. Por lo que, como preámbulo,se realiza el balance de masa en estado estacionario, a partir de la Ec. 3.4.5.

CONDICIONES DE OPERACIÓN (en estado estacionario)

constanteV E I C C constanteV V

Entonces la Ec. 3.4.4 y la Ec. 3.4.5 quedan, respectivamente



49


0d

d S E V V

t

V (3.4.6)

y

d

0d I

E E I I

C V V C C C V t

(3.4.7)

Resolviendo la ecuación 3.4.7 y despejando C I ,

11E E

I

C

V V

C C (3.4.8)

Nota: La conversión en el estado estacionario es

11 1E

I E

C C C

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DURANTE EL LLENADO

0 < V < V ; 0 < t < E V V /

Durante este periodo no sale masa, 0S V , la ecuación 3.4.4 es

E V t

V

dd

(3.4.9)

Separando variables e integrando, la Ec. 3.4.9

1TE E C t V V (3.4.10)

La Ec. 3.4.5, para el balance de A queda igual

CV C C V

t

C V

E E

d

d

(3.4.5)

Sustituyendo el valor del volumen de la ecuación de llenado, 3.4.10, y efectuandooperaciones

11d

d

TE E

E E

TE E

E

C t V

C V C

C t V

V

t

C

(3.4.11)

Resolviendo esta ecuación diferencial lineal y acomodando términos



50


1

2

1

exp

TE E

TE

TE E

E E

C t V

t C

C t V

C V C

(3.4.12)


Cuando t = 0; V = 0

Al inicio el tanque está vacío, con estos valores se determinan la constantes.

Con la Ec. 3.4.10 01 TE C y con la Ec. 3.4.12

E E TE

C V C

2

Sustituyendo las constantes en las ecuaciones 3.4.10 y 3.4.12 quedan respecti-vamente

t V V E (3.4.13)

y

t t

C C E

exp1 (3.4.14)

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUANDO EL TANQUE SE HA LLENADO

E V V t / ; V V (constante) ; E S V V

En este caso la ecuación 3.4.5 queda

CV C C V t

C V E E

d

d (3.4.15)

Arreglando y sustituyendo las constantes, y C I de la Ec. 3.4.8,

I

E E E E

C C C C

V V

V C V

t C 1

dd

(3.4.16)


3ln TE I

E I C t

C

C C C

(3.4.17)



51



Cuando E V V t /

exp1E C C C

El tanque se ha llenado y con la ecuación 3.4.14, se obtiene la concentración en eseinstante, con la cual se evalúa la constante C TE 3,

I

E I TE C

C C C C ln3

Con la cual, la relación de operación, de la Ec 3.4.17, es

t

C

C

C C

C C

I

E

I

I ln (3.4.18)

RESUMEN DE RESULTADOS

Periodo Volumen Concentración de A Masa de A

0 < t < t V V E t

t C

C

E

exp11

t C V

M E E A

exp1

t V V

1exp

t

C

C

C C

C C

I

E

I

I C V M A

t V V

1

1

E

I

C

C

1E

A

C V M

VERIFICACIÓN

1.- Análisis dimensional: en la ecuación 3.4.18 y en la Ec. 3.4.19, seobserva que el modelo es dimensionalmente consistente.

2.- El estado inicial: cuando t = 0 entonces C = 0

3.- El estado intermedio: cuando t = entonces C = C

4.- En el estado estacionario: Cuando t entonces E I C C C 1



52


3.5 BALANCE DE MASA CON DIFUSIÓN(En la interfase)

OBJETIVO

Se muestra la técnica para efectuar el balance de masa de sustancias componentesde una mezcla y distribuidas en dos fases, cuando existe difusión entre las fases.

SISTEMA

DescripciónEncuentre la relación entre la masa de solvente, perdida en el aire, y eltiempo, para N recipientes de diámetro interno D m, abiertos a la atmós-fera. La composición de saturación del solvente en el aire es Ye fracciónmol de solvente y el coeficiente de transferencia de masa es K m/s(obtenidas en el laboratorio).

Considérese que la presión es de P kPa y la temperatura de T K , las cualesse mantienen constantes durante el proceso y que el área de transferenciade masa se aproxima a la de la “boca” del recipiente.

Volumen de control



Ye

VY



53


Variable dependienteY : composición del solvente, A, en el aire, fracción molar.

Variables fijasT : temperatura del medio, KP : presión en el medio, kPaV : volumen de aire en el medio, m3

N : número de recipientes A : área de contacto aire-líquido, de cada recipiente, m2.

Parámetros : coeficiente global de transferencia de masa, entre el solvente y el

aire, m/ksYe : composición al equilibrio o de saturación del solvente en el aire,

fracción mol de solvente A : densidad molar del aire, kmol/m3


Aplicando el principio de conservación a la masa de la sustancia A, en la fasegaseosa, se tiene:


Velocidad de acumulación de masa, VAmasa t M A /dd kmolA/ks

Flujo de entrada de masa, FE masa A M kmolA/ks

Flujo de salida de masa, FS masa 0Rapidez de producción de masa, RPmasa no hayRapidez de consumo de masa, RC masa no hay

En términos algebraicos, el balance de masa queda:

A A M

t M d

d (3.5.1)


Las relaciones para los fenómenos involucrados en este sistema y que se emplean para resolver la ecuación del modelo, son:



54


La relación de transferencia de masa Y YeKN A

M N A

A

El coeficiente global de transferencia de masa K = (T , P)

La composición al equilibrio o de saturacióndel solvente en el aire, Ye = Ye(T , P)

Densidad molar del aire P R T R : Constante universal de los gases, 8,31... kJ/kmol K

Por lo que M A V Y

Sustituyendo las relaciones constitutivas en la ecuación del modelo 3.5.1

Y YeKAN t

VY

d

d

(3.5.2)


1.- La concentración del solvente en el aire, en la interfase, es igual a lasolubilidad del solvente en el aire: Ye

2.- Las condiciones dentro del sistema son homogéneas

3.- La temperatura y la presión del sistema son constantes4.- El coeficiente de transferencia de masa es constante y representa

todos los efectos difusivos del solvente en el aire

5.- El volumen, V , del aire en el cuarto es constante

6.- La mezcla aire solvente se comporta como gas perfecto o ideal

7.- El coeficiente de transferencia de masa en el sistema es igual al obte-nido en el laboratorio.

Por lo que la Ec. 3.5.2 se transforma en

V

Y YeKAN

t

Y

d

d (3.5.3)


V (K A N ), ks



55


Quedando la ecuación 3.5.3 así:

Y Yet

Y

1

d

d (3.5.4)


Separando variables e integrando la ecuación 3.5.4

TE C t Y Ye ln (3.5.5)


cuando t = 0 ; Y = 0

Se evalúa la C TE , con la Ec. 3.5.5 YeC TE ln

Que se sustituye en la Ec. 3.5.5 y se obtiene,

t

YeY Ye

ln (3.5.6)

O bien

t

Ye

Y exp1 (3.5.7)

La masa de solvente A en el aire, se expresa como

t V

KAN

RT

PVYe M A exp1 (3.5.8)


Siguiendo la forma de la ecuación obtenida, se tiene:



56


Ye

Y YeY

* y t

V

KAN t *


*exp* t Y (3.5.9)

VERIFICACIÓN

1.- Análisis dimensional: en la ecuación 3.5.7 y 3.5.9 se observa queel modelo es dimensionalmente consistente.

2.- El estado inicial, cuando t = 0 entonces Y = 0

3.- En el estado: Cuando t entonces Y = Ye, se saturaría el airede solvente, que es el equilibrio de fases.

Lo cual es concordante.

3.6 BALANCE DE MASA CON EQUILIBRIO DE FASES

OBJETIVO

Se muestra la técnica para efectuar el balance de masa de las sustancias de unamezcla binaria, en aquellos procesos en los cuales se alcanza el equilibrio de fases.Las composiciones de una especie química en cada una de las fases presentes esdiferente, pero están relacionadas entre sí (su potencial químico es igual).

SISTEMA

DescripciónEn una columna de destilación, para separar benceno del tolueno, se deseaobtener la variación de la composición del benceno con respecto al tiem-

po, durante el periodo de “arranque” (es decir el periodo necesario paraque se alcancen las composiciones del estado estacionario).

El procedimiento de “arranque” es el siguiente:i) El flujo másico, F kmoles/s, a la entrada es igual al de la salida por el

destilado. El cual, corresponde al del estado estacionario



57


ii) No se retira nada por el fondoiii) La composición a la entrada, X F fracción molar de benceno, se man-

tiene constante durante el proceso.iv) La composición al inicio, en el recipiente, es igual a la de la entrada

v) Al inicio la columna está llena de la mezcla, de M kmol, en estadolíquido

vi) Por el destilado, solamente, sale vapor (que luego, fuera de la colum-na, se condensa totalmente)

vii) La volatilidad relativa, , se puede aproximar como constante.

Volumen de control



Variable dependiente X : composición del benceno (B) en la fase líquida, en un instante da-

do, fracción molar de B.

Variable intermediaY : composición del benceno (B) en la fase vapor, en equilibrio con su

respectiva composición en la fase líquida X , en un instante dado,fracción molar de B.

VY V

D X D

W X W

F X F



58


Variables fijasF : flujo de entrada, total, kmol/ks

D : flujo de destilado, total, kmol/ksW : flujo de vapor de salida o “fondos”, kmol/ks

M : masa total en la columna, kmol. X F : composición de benceno a la entrada, fracción molar X D : comp. de benceno a la salida por el destilado, fracción molar X W : comp. de benceno a la salida por el fondo, fracción molar

Parámetros B : coeficiente de distribución en el equilibrio para el benceno, adim. T : coeficiente de distribución en el equilibrio para el tolueno, adim. : volatilidad relativa, adim.


Aplicando el principio de conservación a la masa de benceno, se tiene:

VAmasa de B FE masa de B FS masa de B RPmasa de B RC masa de B

Velocidad de acumulación de masa, VAmasa t MX /dd (kmol) (kmolB/kmol) (1/ks) = kmolB/ks

Flujo de entrada de masa, FE masa F X F kmol/ks

(kmol/ks) (kmolB/kmol) = kmolB/ksFlujo de salida de masa, FS masa D Y

W X W (kmol/ks) (kmolB/kmol) = kmolB/ks

Rapidez de producción de masa, RPmasa no hay

Rapidez de consumo de masa, RC masa no hay

El balance de masa de B, queda:

W F WX DY FX

t

MX

d

d (3.6.1)

Debido a que los flujos de masa totales se relacionan entre sí, se necesita plantearun balance total de masa.




59


Velocidad de acumulación de masa, VAmasa t M /dd kg/ks

Flujo de entrada de masa, FE masa F kg/ks

Flujo de salida de masa, FS masa D kg/ks

W kg/ks

El balance de masa total es:

W DF t

M

d

d (3.6.2)


Las relaciones para el fenómeno de equilibrio, en este caso, son:

Para el benceno Y = B X

Para el tolueno 1 Y = T (1 X )

Los coeficientes de distribución al equilibrio B = B(T , P o X ) T = T(T, P o X )

La volatilidad relativa para este caso está definida por

Y X X Y T

B 11

Expresándola en términos de la composición en el vapor Y o del líquido X

X X

X Y

1

Y Y

Y X

Sustituyendo las relaciones constitutivas en la ecuación del modelo 3.6.1

W F WX

X X

X DFX

t

MX

1d

d (3.6.3)


1.- Las composiciones en cada fase del sistema son homogéneas

2.- La volatilidad relativa , se aproxima como constante

3.- La salida de la torre, antes del condensador, está en condiciones deequilibrio líquido vapor



60


4.- No se presenta arrastre del líquido en el vapor

5.- La masa dentro de la torre M , es constante

6.- No se retira nada por el fondo, W = 0

7.- El flujo de masa total está en estado estacionario 0d

d

t

M

Con los cuales, la ecuación 3.6.2 del balance total, queda:

0 DF (3.6.4)

Por lo que la ecuación para el balance de B, 3.6.3 se transforma en

X X

X F FX

t

X M F

1d

d

Arreglando

X X

X X X X X X

t

X

F

M F F F

1d

d (3.6.5)


a = 1 ; b = 1 ; q = X F ; p = X F X F

Todos adimensionales y = M /F , ks

Los cuales se sustituyen en la ecuación 3.6.5 y una vez separadas las variablesresulta:

t X q pX

baX d

1d

(3.6.6)


Integrando la ecuación 3.6.6, con ayuda de un cuadro de integrales, se tiene

TE C t q pX

p

aqbp X

p

a

1ln

2 (3.6.7)




61


Cuando t = 0; X = X F y la C TE , con la Ec. 3.6.7, es

q pX

p

aqbp X

p

aC F F TE

ln

2

Que se sustituye en la Ec. 3.6.7 obtiene,

t q pX

q pX

p

aqbp X X

p

a

F F

1ln

2

(3.6.8)

O bien, sustituyendo valores, con

F F X X

t X X

X

X F

F

1

/1ln11

2 (3.6.9)

VERIFICACIÓN

1.- Análisis dimensional: en la ecuación 3.6.9 se observa que el modeloes dimensionalmente consistente

2.- El estado inicial, cuando t = 0 entonces( X / X F 1) = 0 y (1 X / X F )/(1 ) = 1

por lo que X = X 0 = X F

3.- En el estado estacionario: cuando t , se cumple que

1 X / X F = 0queda un valor de

X = X = X F / = X F /( + X F X F )

Por lo que la composición en el vapor a un tiempo largo, o en el estadoestacionario, esY = X / (1 X + X ) = X F

Lo que indica que en estado estacionario, si no se saca nada por el fondo, se evaporiza completamente



62


3.7 EJERCICIOS

3.1. Determine el tiempo que dura en vaciarse un recipiente lleno de agua, de 3 m

de diámetro y 3 m de altura; por medio de un orificio de 25 mm de diámetro, practicado en el fondo; si el tanque es:

a) cilíndrico, con el eje vertical. b) cilíndrico, con el eje horizontal.c) cónico, con el vértice hacia abajo.d) esférico, de 3 m de diámetro.

Nota: La velocidad de paso de un fluido a través de un orificio estáregida por la ecuación de Torricelli

ghmv 2

Donde:h: diferencia entre las alturas del nivel del líquido en el

recipiente y del orificiov: velocidad linealm: coeficiente ( 0,61)g: aceleración de la gravedad.

3.2. Dos tanques A y B están conectados por medio de una tubería corta. Origi-nalmente, el tanque A está lleno con una solución coagulante y el otro está vacío.

Determine el tiempo transcurrido hasta que el nivel del líquido sea el mismo enambos tanques. Los dos tanques son cilíndricos y están abiertos a la atmósfera, susfondos se encuentran al mismo nivel y se comunican sólo por gravedad (para lavelocidad de salida rige la relación de Torricelli, use nota del problema 3.1).

Los datos son:Radio de A 3 mRadio de B 4 mAltura original en A 6 mDensidad del líquido 1050 kg/m3 Área transversal de la tubería 2165 mm2.

3.3. Calcule el tiempo en que un cuerpo, que desciende en paracaídas, alcanza 1/5de la velocidad inicial. Considere que la fuerza de resistencia del aire es propor-cional al cuadrado de la velocidad, del paracaídas.

Datos:Masa total 75 kgVelocidad inicial 30 m/sCoeficiente de la fuerza de resistencia 18 kg/m.



63


3.4. (*) Una cinta de elastómero está sometida a una fuerza oscilante. Si elmaterial tiene una fuerza reactiva proporcional al desplazamiento, calcule lafrecuencia de resonancia. Desprecie las fuerzas por fricción.

Datos:Masa total 2 kgCoeficiente del resorte 2 kN/mlongitud de la cinta 0,5 mPosición inicial libreFuerza externa 50 cos( t/ 60) kN

3.5. (*) Un cilindro conteniendo un gas licuado A, se desea transportar desde elfondo de un depósito, lleno de líquido de enfriamiento, hacia su superficie, propul-sado por la misma sustancia. Para lo cual, éste se le deja escapar, en forma de gas,

en sentido contrario, con velocidad constante. Calcule la velocidad de salida míni-ma, para que el cilindro llegue a la superficie en 15 s.

a) considerando el flujo de masa a la salida apreciable. b) considerando el flujo de masa a la salida despreciable.

Datos:Masa inicial total 1,5 tVolumen del cilindro 0,5 m3 Densidad del líquido externo 1012 kg/m3

Profundidad del depósito 20 mdensidad de A, como gas 1,32 kg/m3

Área de salida del gas 300 mm2

Velocidad del gas 10 m/s.

3.6. Una bola de acero, que se encuentra a una temperatura alta T A0, se sumerge enun líquido cuya temperatura inicial es T L0. Encuentre la relación entre la tempera-tura de la bola y el tiempo. Considere que el proceso de transmisión de calor estácontrolado por el coeficiente de película del agua y la variación de la temperaturade la bola, a lo largo de su radio, es despreciable.

3.7. En un tanque agitado, en proceso “batch”, se calienta una solución medianteun fluido térmico, que fluye dentro de un serpentín interno, con temperatura cons-tante T V . Encuentre la relación entre la temperatura y el tiempo, hasta alcanzar unatemperatura TC, si la temperatura inicial es T 0. Considere que el aislamiento deltanque es perfecto y que se cumple la siguiente relación empírica, para el coefi-ciente global de transferencia de calor:

U (T V T )n

(*) Nota: los problemas marcados con (*) son de un nivel más complejo, que el resto.



64


Donde:U = coeficiente global de transferencia de calor, kW/m2 C = constante, (kW/m2) C -n-1 n = constante, adimensionalT = temperatura del sistema, CT V = temperatura del fluido térmico, C.

3.8 Un tanque cilíndrico de altura L m y diámetro D m, al inicio está lleno delíquido a una temperatura T 0. De pronto, comienza a fluir una corriente, de dichasustancia, a la misma temperatura, con un flujo de G kg/s y, también, a calentarse

por medio de vapor que condensa en una "chaqueta", el cual mantiene una tempera-tura T V en las paredes del tanque (El vapor no se mezcla con el líquido). Encuentrela variación de la temperatura del líquido con el tiempo, antes de llegar al estadoestacionario.

3.9. Se tiene una solución que se debe esterilizar, llevándola a una temperaturaT M . Para ello se cuenta con un tanque de diámetro D y de altura L, al cual debeentrar un flujo de masa G, con una temperatura T 0. Halle una relación entre latemperatura y el tiempo, hasta que se llene el tanque; si para llevarlo al estadoestacionario:

i) Se inicia cuando el tanque está vacíoii) Se hace fluir la solución, a T 0, con un flujo de G, hasta llenar el tanque

(con la válvula de salida cerrada)iii) Mientras tanto, se transfiere calor por medio de un serpentín, que

mantiene la superficie en contacto con el líquido a una temperatura T V ,constante. Durante el llenado, el área de transferencia de calor A, varíaen forma directamente proporcional a la altura del líquido contenido enel tanque

iv) Una vez que se llena, se abren las válvulas y se mantiene el flujo en suestado permanente y la temperatura del serpentín en T V .

3.10. En un tanque de M kg de capacidad se lleva a cabo una reacción química, quegenera H kW/kg de energía. Para poner en marcha el reactor:

i) Se colocan los reactivos en él (al inicio), a una temperatura T 0, hastallenarloii) Se ponen en contacto con el catalizador, con lo que se inicia la reaccióniii) A su vez, se hace pasar una corriente a razón de G kg/s con una tempe-

ratura, a la entrada, de T 0 iv) Mientras la temperatura esté variando, se genera calor en forma propor-

cional al tiempo.Considere que el aislamiento del tanque es perfecto. Primero, determine el flujo demasa G, a una temperatura T 0, necesario para mantener la temperatura, en T R, en el



65


estado estacionario. Luego, evalúe el tiempo requerido para alcanzar la temperaturaT R, durante el arranque, para:

a) H = H 0. b) H = H 0 ( B A t).

c) H = H 0 [1 + B exp(- A t)] .

3.11. A un tanque que contiene agua, se le suministra una corriente de salmuera, permitiendo un flujo de salida tal que, sea la mitad que el de entrada. Si el tanqueestá agitado, determine la concentración de la salmuera en él, cuando contiene eldoble del volumen inicial.

Datos:Volumen inicial en el tanque 100 m3 Caudal de entrada 20 m3/ksConcentración de sal a la entrada 5 kg/m3 Flujo de salida 10 m3/ks.

3.12. (*) En un tanque se lleva a cabo una precipitación por medio de doscorrientes A y B, que forman una tercera C. Para asegurar la precipitación, se debemantener, en él, una acidez de N 0 ± P kmol/m3. La cual, se logra adicionando ácidoal tanque, en una cantidad despreciable, en la corriente A. Esto se efectúa, Auto-máticamente, de una sola vez y cuando la concentración en el tanque es N 0 P.Determine el periodo de reposición del ácido.

3.13. Se necesita mezclar dos soluciones, almacenadas en sendos tanques A y B.Al inicio, ambos contienen una misma cantidad de una solución, la solución del primero está con una concentración alta de soluto, mientras que la del segundo estácon una concentración baja. La bomba que traslada la masa del tanque B al A,tiene el doble de capacidad de flujo, que la que la envía en sentido contrario. Si seconsidera que en todo momento la mezcla es homogénea, determine la cantidad desoluto que tendrá el tanque A al cabo de una hora y el tiempo en que lasconcentraciones en ambos tanques llegan a ser iguales.

Datos:

Volumen de solución al inicio, en cada tanque 10 m

3

Capacidad de la bomba del tanque A al B 3 m3/ksCapacidad de la bomba del tanque B al A 6 m3/ksConcentración inicial en A 200 kg/m3 Concentración inicial en B 50 kg/m3.

3.14. Un producto fluye hacia un tanque de depósito con agitación, de allí se bom- bea a otro proceso. Debido a un error en la planta, el material que fluye se mezclacon un contaminante. Si la corriente de entrada al tanque, se mantiene contaminada



66


durante una hora, establezca la concentración máxima en la descarga y el tiempoque transcurre antes de que la concentración alcance el valor permitido.

Datos:Flujo hacia el tanque 1 kg/s

Capacidad del tanque 10 tConcentración de contaminante en el flujo 1 %Concentración tolerable de contaminante 0,05 %.

3.15. Una solución de almidón rectificado se enriquece al fluir a través de dos tan-ques, con una solución concentrada. Encuentre una relación entre la concentracióninstantánea de almidón, a la salida del sistema, y el tiempo; considerando el flujovolumétrico de salida es igual al de entrada y si:

a) las capacidades de los tanques son diferentes. b) las capacidades de los tanques son iguales.

Datos:Flujo de entrada (y de salida) 1,5 m3/ksConcentración de almidón, a la entrada despreciableCapacidad del primer tanque 6 m3 Concentración inicial de almidón en el primer tanque 10 %Capacidad del segundo tanque 8 m3 Concentración inicial de A. en el segundo tanque 15 %.

3.16. En la separación de sal por evaporación, los tanques (evapo-cristalizadores)reciben en forma continua, durante el día, energía solar equivalente a A W/m2. Par-

te de la energía recibida, evapora W kg/s m2 de agua, y el resto, consecuentemente,aumenta la temperatura de la solución. Determine la relación entre la temperaturade la salmuera y el tiempo. Aproxime la capacidad calorífica como constante, asícomo, el calor latente de evaporación y desprecie el calor de disolución y las perdí-das de calor al ambiente.

3.17. (*) Un evaporador, que normalmente trabaja en estado permanente, paraconcentrar una solución de sulfato de sodio, hasta X W , se desea "arrancar". Para locual:

i) Se llena con la solución, con una concentración X F y una temperatura T

F

ii) Se hace pasar vapor, dentro de los tubos de la "calandria", que se man-tienen a una temperatura T V .

Establezca la relación entre la temperatura y el tiempo, a partir del momento en quela solución hierve por primera vez, hasta alcanzar la concentración del estado esta-cionario; considerando las siguientes aproximaciones:

Capacidad calorífica C P a b X c X 2 kJ/kg KTemperatura de ebullición T k m X C

X concentración en fracción peso



67


El calor latente de evaporación y los parámetros a, b, c. k y m, con unavariación despreciable con la temperatura.

3.18. (*) Para preparar una solución de ácido sulfúrico al 45 por ciento en peso, se

agrega una solución concentrada, de 95 por ciento de ácido sulfúrico, a un tanqueque contiene originalmente 1000 kg de agua pura. La masa se enfría mediante laextracción de calor con un flujo, constante y continuo, de 100 kW. Para podermantener la temperatura constante en 30 C, el flujo de entrada debe ser variable.Encuentre la variación de la concentración del ácido sulfúrico con el tiempo si latemperatura inicial en el agua es de 30 C y la entalpía de la solución de ácido sulfú-rico a 30 C se puede expresar por:

H = 750 x (1 x2)(1 0,5 x) 0,5, kJ/kg, x : fracción peso

3.19. Calcule el tiempo de residencia, para descomponer el 99% de una cantidaddada de almidón en un reactor "por tandas". El almidón se descompone con unavelocidad proporcional a la cantidad presente, usando un ácido inorgánico comocatalítico.

Datos:Coeficiente de velocidad de reacción 5,07 ks-1

(en 0,5 kg HCl/m3 a l50 C)Concentración inicial de almidón 20 % pesoDensidad de la masa 1150 kg/m3 Volumen del reactor 10 m3.

3.20. Un reactor "por tandas" contiene V 0 m3 de un reactante A, con una concen-tración C A0 kg/m3. Esta solución se lleva hasta una temperatura tal que se inicia lareacción. Dicha reacción es irreversible y de segundo orden para A. Encuentre unaexpresión que relacione la concentración de A con el tiempo, si el volumenespecífico de la solución posee una variación lineal con la concentración, que no

puede despreciarse, = 0/(1 + C A). El coeficiente de velocidad de reacción, seconsidera constante.

3.21. (*) Encuentre una relación entre la concentración de una sustancia A y eltiempo, si ésta se descompone en un reactor “batch” de volumen constante, con unacantidad inicial de N A0 kmol de A, mediante las siguientes reacciones consecutivas,de primer orden,

k 1 k 3 A B C

k 2 k 4

3.22. Un esterilizador con agitación, de M kg de capacidad, contiene una cantidad N 0 de microorganismos (o) por kilogramo. Si la solución se lleva a la temperatura



68


en que se inicia la destrucción, halle una expresión que relacione la concentraciónde microorganismos con el tiempo, hasta alcanzar 10-9 o/kg, si el proceso es:

a) “Batch”. b) Continuo, con una entrada a razón de G kg/s con N 0 o/kg, saliendo

el mismo flujo.DatosSe acepta técnicamente, que la velocidad de destrucción térmica de los microorga-nismos (o) es proporcional al número presente de ellos, a temperatura constante.

Coeficiente de velocidad destrucción de o (pH 7,0 y l21,1 C) 0,19 s-1 Masa inicial 0.3 Mg.

3.23. Un reactor continuo con agitación (RCTA), contiene una solución de unasustancia orgánica A con una concentración dada. Cuando la temperatura alcanzacierto valor, se inicia la inversión en medio ácido, la cual es irreversible y de pseu-do primer orden. Al comenzar la reacción, se suministra al mismo, continuamente,una solución de A con una concentración dada; saliendo, el mismo flujo volumétri-co. Si el coeficiente de velocidad de reacción se considera constante, desarrolle unaexpresión que relacione la concentración de A a la salida del reactor, en función deltiempo; para una concentración a la entrada de:

a) C AE (constante). b) C AE (1 + sen t ).c) (*) C AE [1 + 0(t )]

0 (t) es la función impulso unitaria, de Dirac.

Datos:Capacidad del reactor 200 m3 Concentración inicial en el reactor 50 kg A/m3 Flujo de masa a la entrada 20 m3/ksConcentración a la entrada del reactor 50 kg A/m3 Coeficiente de velocidad de reacción 5.32 ks-1.

3.24. En un auditorio con N personas, se introduce un flujo de aire fresco (que con-tiene CO2). Si se considera que la respiración de las personas, que se encuentran

presentes, es constante (y su generación de anhídrido carbónico y calor puedenrepresentarse por sus valores promedios); determinar, en el auditorio, la variacióncon el tiempo, de:

a) La concentración de CO2. b) La temperatura.

Datos:Temperatura inicial en el auditorio 25 C Número de personas 1000 pers.Flujo de aire 10 m3/sTemperatura del aire a la entrada 25 C



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Concentración de CO2, del aire a la entrada 0,04 %Volumen del auditorio 50 30 10 m3.

3.25. Una reacción química, irreversible y de segundo orden, entre dos sustancias

A y B, tiene lugar en un reactor tipo tanque agitado, según el siguiente mecanismo, A + B ProductosDurante el proceso, entran dos corrientes al tanque, ambas con un caudal de R kmol/ks. Una, contiene 4 X 0 fracción molar de A y la otra 2 X 0 fracción molar de B.El material abandona el tanque continuamente, con un caudal 2 R kmol/ks, de modoque el tanque siempre contiene M kmol de material. El coeficiente específico dereacción es k m3/kmol ks. Durante la "parada" del reactor, se cierra (entrada y sali-da) y se deja lleno, completándose la reacción, por lo que queda X 0 fracción molarde A sin reaccionar. Al arrancar, nuevamente, el reactor empieza con las corrientesen estado estacionario. Determine, la variación de la concentración de B con eltiempo, al arrancarlo.

3.26. Una corriente de flujo Q m3/s, constante, y de concentración C A0 kmol A/m3,se suministra a un reactor continuo, tipo tanque agitado de V 0 m

3 de capacidad. Lasustancia A se descompone según la reacción reversible, de primer orden en ambasdirecciones:

k 1 A B

k 2

Si, el tanque, inicialmente está vacío, formule la relación entre la concentración deA y el tiempo hasta que se llene.

3.27. (*) Para producir una sustancia B a partir de una materia prima A, se ocupaun reactor continuo del tipo tanque agitado (RCTA), el cual tiene una capacidadefectiva de V m3. El mecanismo del proceso se basa en las siguientes reacciones,todas de primer orden,

k 1 k 3 A B C

k 2

Se desea encontrar la relación entre el número de moles de B y el tiempo durante el"arranque", hasta alcanzar el estado estacionario, si se logra de la siguiente manera:

i) Se inicia lleno de la solución con una concentración C 0 de A y nada deB ni de C

ii) Se suministran, al reactor, Q m3/ks de una solución de A, con unaconcentración C 0, manteniendo un volumen V m3 de la solución en eltanque.



70


3.28. Una sustancia A reacciona con otra B, mediante una reacción de pseudo primer orden. El sistema consiste en una batería de dos reactores en serie, con el propósito de obtener el 90% de conversión. Las dos sustancias entran por líneasseparadas al primer tanque (B en exceso). Si los dos tanques se inician llenos de la

solución, con la misma concentración que la de la entrada y con el flujo igual a delestado estacionario, describa la relación entre la concentración a la salida del sis-tema y el tiempo hasta alcanzar el estado estable, si los dos tanques tienen:

a) diferente volumen y diferente temperatura. b) el mismo volumen y la misma temperatura.

3.29. Un tanque rectangular se encuentra lleno de un solvente A y abierto a laatmósfera, con fuerte ventilación. Se desea encontrar la relación entre la masa desolvente, perdida en el aire, y el tiempo, considerando que la presión P y latemperatura T se mantienen constantes y la composición de solvente en el aire esdespreciable.

Datos:Temperatura del sistema 30 CPresión del medio 90 kPaProfundidad del recipiente 5,2 mAncho del recipiente 4,5 m.Para el solvente en el aire

Concentración al equilibrio, 0,29 frc.molCoeficiente global de trasnf. de masa 0.354 m/s.

3.30. Se deja dializar una solución de un soluto A, colocada en bolsitas cerradas dematerial semipermeable, en un tanque lleno de solvente. La membrana permite el

paso de la sustancia A, de la solución en la bolsa hacia el solvente en el tanque.Considerando que el paso del soluto A, a través de ambos medios y de la membranase explica por el coeficiente global de transferencia de masa, que se aproxima comoconstante, encuentre una relación entre la concentración de A en la bolsa y el tiem-

po, si el proceso es:a) “batch”, no entra ni sale masa al tanque.

b) continuo, con un flujo de entrada al tanque, a razón de

0,01 m3

/ks de solvente puro, saliendo el mismo flujo.En este caso, se puede despreciar la concentración del solutoen el solvente fuera de la bolsa, con respecto a la correspon-diente dentro de ella.

Datos:Sistema:

Soluto (A) sulfato de amoniosolvente agua

Coeficiente global de transferencia de masa 1,2 mm/ksConcentración inicial de la sal en las bolsitas 200 kg/m3 Capacidad de solvente en el tanque 1 m3



71


Número de bolsitas 500Diámetro de las bolsitas 20 mmLargo de las bolsitas 1 m.

3.31. Sobre la base de la ley de la transferencia de masa, se puede establecer que lavelocidad de disolución de una sustancia sólida es proporcional a la cantidad nodisuelta y a la diferencia entre: la concentración del soluto en el solvente cuandoestá saturado de él y la concentración en un momento dado en la solución. Expresela relación entre la masa de azúcar que no está disuelta en el agua y el tiempo, paracantidades iniciales dadas de ambas sustancias.

Datos:Cantidad inicial de azúcar 10 kgCantidad inicial de agua 50 kg

Solubilidad del azúcar en agua, (25 oC) 70 %peso

Coeficiente de velocidad de disolución 0,1 s-1.

3.32. En un sistema de destilación "flash", para una mezcla binaria (donde A es elcomponente más volátil), el suministro es de F kmol/ks, con una concentración X F de A, se precalienta hasta su temperatura de ebullición, entrando al separador. Enel dispositivo se separa el líquido (que sale por el fondo) del vapor, en equilibriocon éste (que sale por la parte superior). Durante el estado estacionario se mantieneun flujo de vapor a la salida (o destilado) D, con una composición y D fracción molde A, un flujo de líquido (fondos) W y una cantidad M kmol de líquido en el sepa-rador. Determine el tiempo de arranque, si:

i) Al inicio la masa en el separador es de M kmol, con una concentraciónigual que la del suministro en el estado permanente

ii) El flujo másico en la entrada, durante el arranque, se mantienen igualque en el estado estable

iii) La concentración a la entrada es igual que la del estado permanenteiv) No sale líquido por el fondov) La volatilidad relativa se puede considerar constante.




CAPÍTULO 4

ANÁLISIS MICROSCÓPICO DE PROCESOS EN ESTADO

ESTACIONARIO O ESTABLE

unidimensional

INTRODUCCIÓN

Esta unidad se dedica al análisis de sistemas en los que se lleva a cabo un proceso,cuyas propiedades de estado varían con la posición, estado continuo, pero seconsidera que en cada punto éstas no varían con el tiempo, estado estable. Para lo

cual, se emplea un volumen de control diferencial o microscópico, en el que seconsidera que la masa se comporta como un continuo; el resultado, una ecuacióndiferencial, se integra para obtener el modelo para todo el volumen de control .

Los modelos matemáticos que describen los sistemas estudiados en esta unidad yque presentan el fenómeno de difusión, usualmente generan una ecuación diferen-cial de segundo orden.

4.1 BALANCE DE MASA TOTAL

OBJETIVO

Aplicar la ley de conservación de toda la masa al sistema en estudio. Se utiliza elmétodo riguroso como técnica de análisis, desarrollado en la sección 3.1.

SISTEMA

DescripciónPara un fluido que atraviesa un conducto cerrado, en estado estacionario,determine la relación de la velocidad, en dirección del flujo, con la densi-dad del fluido y el área, del conducto, transversal al flujo.

DatosDensidad a una distancia z, kg/m3 Velocidad en dirección z v z m/sÁrea transversal a z A z ( A z v z) m2



73


Volumen de control


Variable independiente z : posición a partir de la entrada del conducto, m

Variables dependientes : densidad a una distancia z, kg/m3

vz: velocidad (intensidad de flujo volumétrico) en dirección z, m/s Az : área transversal al flujo de masa, m2

zm : flujo de masa en la dirección z, kg/s

Relaciones constitutivasDensidad = (T , r , z)Área A z = A(r , , z)Velocidad v z = v(r , , Z )


Aplicando el principio de conservación de la masa, en forma resumida, al volumende control diferencial, a una distancia z de la entrada al tubo,


Utilizando la técnica de análisis rigurosa o de Euler (Sec. 3.1).

z + z

z

v z A z

VOLUMEN DE CONTROL TOTAL

Volumen de control diferencial

Líneas de flu o



74

Análisis microscópico G. Chacón V.

Acumulación de masa VAmasa 0 (Estado estacionario)

Flujo de entrada de masa FE masa en z z z z Avm kg/sFlujo de salida de masa FS masa en z + d z z z mm d

z z z z Av Av d

kg/s

El balance de masa queda:

0dd z z z z z z z z z Av Av Avmmm (4.1.1)

En términos de v z A z (kg/m3) (m/s) (m2) kg/s

0d z z Av (4.1.2)

Efectuando la operación diferencial

0ddd

z

z

z

z

A

A

v

v

(4.1.3)


1.- Estado estacionario o permanente

2.- Las variaciones de la velocidad, con el ángulo y con el radio del tubo,son despreciables.


Integrado la ecuación 4.1.2,

TE z z C Av (4.1.4)


Cuando z = 0 entonces = 0 ; v z = v z0 ; A z = A z0

Quedando, la solución, luego de evaluar la constante,

000 z z z z Av Av (4.1.5)

Esta relación es conocida como la ecuación de continuidad , unidireccional y para elestado estacionario (unidimensional).



75


4.2 BALANCE DE ENERGÍA TÉRMICAConducción de calor

OBJETIVO

Aplicar la ley de conservación de la energía, en su manifestación como calor, a unsistema en estudio. En este apartado se muestra el método de análisis, desarrolladoen la sección 3.1, con la técnica denominada de Lagrange, de Ingeniería o apro-ximada. Asimismo, se muestra el uso de coordenadas cilíndricas y dos tipos decondiciones de contorno, la del valor de una función y la de la derivada de unafunción.

SISTEMA

DescripciónUn conducto, cuyo material es de conductividad térmica k kW/m K,transmite electricidad por el espacio anular entre dos cilindros coaxiales ygenera energía, uniformemente, a razón de S kW/m3. Describa el perfil detemperaturas en la masa sólida, con la posición radial, para el estadoestacionario, considerando que se conoce la temperatura en la cara inte-rior del conducto y la del medio externo (al mismo).

Volumen de control


·T f

·T R1


r

r+ r

r

R1

·T 0

R0



76



Variable independienter : posición radial a partir del centro, m

Variable dependienteT : temperatura, en cualquier posición radial de la varilla, K

Variable intermediaqr : intensidad de flujo de calor en la dirección radial, kW/m2

Variables fijas R0 : radio interno del anillo ( D0/2), m R1 : radio externo del anillo ( D1/2), mT 0: temperatura en la pared interna del anillo, K

T f : temperatura en el medio externo al anillo, K L : longitud de los anillos anulares, m

Parámetros : densidad del material, kg/m3 k : conductividad térmica del material, kW/m KS : generación, volumétrica, de energía en el material, kW/m3 h : coeficiente de transferencia de calor del medio que lo rodea,

kW/m3 K


Ley de Fourier r T k qr dd

Ley de enfriamiento de Newton qS h (T S - T f )

Densidad = (T , r )

Conductividad térmica k = k(T , r )

Generación de energía S = S(T , r )Coeficente de transferencia de calor del medio h = h(T , r , v)


Aplicando el principio o ley de conservación para la energía,

VAenergía FE energía FS energía RP energía RC energía



77


Para lo cual, se establece la descripción respecto a la posición dentro del sistema ovolumen de control, utilizando, a su vez, un volumen diferencial de control a unadistancia r del centro. En este caso, se aplica la técnica de análisis de Lagrange ode Ingeniería, por medio del teorema o fórmula de Taylor, con dos términos, para

evaluar la función en r + r y cuyos principios se establecieron en la sección 3.1Velocidad de acumulación de energía VAenergíar 0 (estado estacionario)

Flujo de entrada de energía FE energíar zr qr δδ (kW/m2) (m) (m) kW

Flujo de salida de energía FS energíar +r zqr δδ

r r

zr qr δ

d

δδd

(kW/m2) (m) (m) kWRapidez de producción de energía RP energíar r zSr δδδ

(kW/m3) (m) (m) (m) kWRapidez de consumo de energía, RC ener ía no hay

Aplicando la ley de conservación de la energía:

0δδδδd

δδdδδδδ

r zSr r

r

zr q zr q zr q r

r r

Simplificando

0d

d Sr r r qr

(4.2.1a)

Efectuando la operación diferencial

01

d

d S q

r r

qr

r (4.2.1b)


1.- Estado estacionario

2.- Masa como un continuo

3.- Geometría cilíndrica perfecta

4- Material homogéneo, isótropo

5.- Variación despreciable de los parámetros ( , k , S ) con la temperatura



78


6.- La variación de la temperatura con el ángulo (simetría geométrica) ycon el largo del cilindro ( L) son insignificantes

0

r

T k q 0

z

T k q z

7.- Efectos de contacto entre materiales (varilla-ambiente) despreciables.


Para este sistema, por su naturaleza, se deja para el final.

Aplicando la ley de Fourier y la relación para el área a la ecuación del modelo, asícomo, las condiciones del mismo; luego de simplificar, queda,

0d

d1

d

d2

2

k

S

r

T

r r

T (4.2.2)


Se puede resolver la ecuación 4.2.1 o bien la Ec. 4.2.2.

Sr r r qr

dd

(4.2.1)

Quedando

12 2 TE r C Sr r q (4.2.3)

Aplicando la ley de Fourier y despejando

kr

C

k

Sr

r

T TE 1

2d

d (4.2.4)

Integrando, de nuevo

212 ln

4 TE TE C r k

C r

k

S T (4.2.5)



79



Para evaluar las constantes de integración se utilizan condiciones físicas del proce-so o condiciones de contorno

Cuando r R0, T T 0 (Condición esencial )

Que es la condición evaluada por la función (variable dependiente) paraun valor fijo de la variable independiente o punto.

Se evalúa la C TE2. con la Ec. 4.25, en términos de la C TE1.

012

002 ln4

Rk

C R

k

S T C TE

TE (4.2.6)

Como es una ecuación diferencial de segundo orden (y posee dos constantes), senecesita otra condición de contorno.

Cuando r R1, f Rr Rr

Rr r R T T hr

T k qq

11

11 d

d (Condición natural )

Que es la condición evaluada en la interfase por la derivada de la función,con respecto a la variable independiente, la cual es proporcional al mismovalor de la función, para un valor fijo de la variable independiente o

punto.

Aplicando las ecuaciones 4.2.3 y 4.2.5 en esta condición de contorno

f TE

TE TE

Rr Rr r T C R

k

C R

k

S h

R

C R

S

r

T k q 21

121

1

11

11

ln42d

d (4.2.7)

Resolviendo el sistema de ecuaciones 4.2.6 y 4.2.7, se evalúan las constantes.

k

R R

hR

T T k

SR

k

SR

h

SR

C m f

TE 01

1

0

20

211

1 /ln1442

(4.2.8)

Sustituyendo, para dejar la Ec. 4.2.5 en términos de m (C TE1)

0020

2 /ln4

T Rr k

m Rr

k

S T (4.2.9)

Siendo útil también, el valor del flujo de calor, de la ecuación 4.2.3



80


r

mSr qr

2 (4.2.10)


Para tal efecto, se sigue la forma de la ecuación obtenida, así:

0

0*T T

T T T

f

1

* R

r r

1

00*

R

R R

Las constantes se emplean más fácilmente, si son adimensionales,

k

hR B

21 0

1

2 T T h

SRG

f 0

21

4 T T k

SR BG

f


0

0

202

02

*

*ln

*

1ln

2

1

*11***

R

r

R B

R BGG Rr BGT (4.2.11)

El flujo de calor por unidad de área

*1

*/1ln21*11*

0

20

0 r R B R BGGGr T T hq f r (4.2.12)

y el flujo de calor total, a la salida1

2 Rr r rLqQ

0

20

01 */1ln21

*112

R B

R BGGGT T Lh RQ f (4.2.13)

VERIFICACIÓN

1.- Análisis dimensional: En la ecuación 4.2.11, se puede observar queel modelo es dimensionalmente consistente.

2.- Cuando r = R0 entonces T = T 0

3.- En la pared externa: cuando r = R 1 entoncesq R1 h (T 1 - T f ) h (T 1* 1) (T f T 0 )



81


4.3 BALANCE DE MASA DE UNA SUSTANCIADifusión de masa

OBJETIVO

Aplicar la ley de conservación de la masa de una sustancia que se difunde a travésde otra dentro de un sistema. Se utiliza el método riguroso como técnica deanálisis, se usan coordenadas esféricas y se observa una condición límite en un

punto de simetría.

SISTEMA

DescripciónUna reacción química, de un compuesto A, ocurre en una cama catalíticaformada por partículas bastante esféricas. La reacción ocurre al ponersela sustancia A en contacto con el material, tanto en la superficie, como enel interior de dichas partículas. La rapidez de la reacción está regida porla concentración de catalizador presente, esto es, se lleva a cabo unareacción de orden cero. Determine el perfil de concentraciones del reac-tivo con la distancia radial de la partícula, en estado estable; considerandoque se conoce la concentración en la superficie externa de la misma.

Volumen de control


·C AR


r sen

r+ r

r

R



82



Variable independienter : posición radial a partir del centro, m.

Variable dependienteC A : concentración del A en una posición radial dada, kmol/m3.

Variables intermedias N Ar : intensidad del flujo de masa de A en la dirección radial,

kmol/ks m2 ar : área transversal al flujo de masa, m2.

Variables fijas R : radio, ( D/2) de la esfera, m

C AR: concentración de A en la pared externa, kmol/m3

. Parámetros

: coeficiente de velocidad de reacción, kmol/m3 ks

Relaciones constitutivas

Reacción química A Productos

Cinética de la reacción, generación (- R A) =

Difusión, Ley de Fick r C D J A AB Ar dd Coeficiente de reacción, = (T , r , sust .)

Difusividad másica D AB = D(T , r , sust .)


Aplicando el principio de conservación a la masa a la sustancia A, mediante elmétodo de análisis riguroso o de Euler (Sec. 3.2), se tiene:

VAmasa de A FE masa de A FS masa de A RP masa de A RC masa de A

Velocidad de acumulación de masa VAmasar 0 (estado estacionario) Flujo de entrada de masa FE masa r N Ar r sen r r

(kmolA/m2 ks) (m2) (kmolA/ks) Flujo de salida de masa FS masa r +r N Ar r sen r r +r

(kmolA/m2 ks) (m2) (kmolA/ks) Rapidez de producción de masa RP masar no hay



83


Rapidez de consumo de masa RC masar ( R A) r sen r r (kmolA/m3 ks) (m3) (kmolA/ks)

En términos matemáticos, el balance de masa queda:

0δδδsenδδsenδδsenδ

r r r Rr r N r r N Ar r Ar r Ar

Efectuando operaciones

0δ

2

2

δ

2

r Rr

r N r N A

r Ar r r Ar

Evaluando el límite cuando r 0,

0d

d2

2

r Rr

r N A Ar (4.3.1)

O bien, efectuando la derivación del producto y haciendo N A N Ar

02

d

d A A

A R N r r

N (4.3.2)


1.- Flujo de masa en estado estacionario2.- Masa como un continuo


4.- Material homogéneo, isotrópico

5.- Variación de los parámetros, con C A y r , despreciable

6.- No existe variación de la concentración con el ángulo (simetría)

0sen

r

C

D N A

AB A 0

r

C

D N A

AB A

7.- Efectos de contacto con el ambiente no significativos

8.- La reacción se comporta como de orden cero

9.- El flujo de masa ( N A = J A + vr C A) lo rige la difusión. Esto es, nohay convección apreciable de masa (vr = 0).



84


AGRUPAMIENTO CONSTANTES

Por ser tan pocas, se deja para el final

Aplicando las relaciones constitutivas y las condiciones del modelo, la ecuación4.3.2 se convierte en:

0d

d2

d

d2

2

AB

A A

Dr

C

r r

C (4.3.3)


Se puede resolver primero la Ec. 4.3.1, en lugar de la Ec. 4.3.3, 2

2

d

dr

r

r N A (4.3.1)

Integrando

132 3/ TE A C r r N (4.3.4)

Aplicando la ley de Fick y despejando

2 13d

d

r

C r

r

C D N TE A AB A

(4.3.5)


21

26TE

TE AB AB

C r C C

D D r

(4.3.6)


Las condiciones de contorno para evaluar las constantes de integración, son:

a: r = 0 ; N A = N A0 = 0 (Condición de simetría)

Sustituyendo estos valores en la Ec. 4.3.5, se evalúa la 01 TE C

Y a: r = R ; C A = C AR (Condición de esencial )

Con la Ec. 4.3.6, se evalúa la



85


2

2 6TE AR AB

RC C

D

Sustituyendo estos valores en la Ec. 4.3.6, se obtiene22

16 A AR

AB

R r C C

D R

(4.3.7)

NORMALIZACIÓN, VARIABLES ADIMENSIONALES


AR

AR A A C

C C C

*

R

r r *

AR ABC D

RG

6

2


1** 2 r GC A (4.3.8)

La intensidad del flujo de masa de la sustancia A

r r R

C GD N

AR AB A 3*

2

(4.3.9)

El flujo de masa total que sale por la esfera, Rr Ar A r N M

24 ,

3

3

48 RC RGD M AR AB A (4.3.10)

VERIFICACIÓN

1. Análisis dimensional: En la ecuación 4.3.80 se muestra que el modeloes dimensionalmente consistente.

2.- En el centro, cuando r = 0 N A = 03.- En la pared externa: en r = R AR A C C

4.- Decreciendo hasta que r = 0 AB

AR A D

RC C

6

2



86


4.4 BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTODifusión de cantidad de movimiento

OBJETIVOAplicar la ley de conservación de la cantidad de movimiento (momentum) para elflujo, incompresible, de un fluido.

SISTEMA

DescripciónUn fluido se traslada, incompresiblemente y en estado estacionario, cum-

pliendo la Ley de viscosidad de Newton, por un tubo, "muy largo". Lalongitud del tubo es L y su radio R. El fluido, está sometido a una presión

P 0 en la entrada y a una P L en la salida. Determine el perfil de velocidadcon respecto a la distancia radial.

Volumen de control

Variables independientes s: posición en dirección del flujo, mr : posición, radial, perpendicular al flujo, m

rs

r

r

r

z

s s

P

v s

g

g sen

r

rs



87


Variables dependientesv s: velocidad en dirección axial, en s, m/s

intensidad de flujo de volumen P : presión en el fluido, Pa

rs: esfuerzo viscoso, PaVariables fijas

R: radio del conducto, m L: longitud del conducto, m : ángulo de inclinación,

Parámetros : densidad del fluido, kg/m3 : viscosidad del fluido, kg/m s

Condiciones de contornoa s 0 P P 0

s L P P L

r 0

0

r

v s (Condición de simetría)

r R v s 0 (Condición de esencial )


Ley de viscosidad de Newtonr v s

yx

Flujo de masa r r vm s s δδδ

Principio de continuidad entre fases 0 Rr sv

o de no deslizamientoDensidad = (T )Viscosidad = (T )

Balance de masa

Ecuación de continuidad o balance de masa en estado estacionario, Ec,4.1.2, Sec. 4.1

0δδd r r v s

Simplificando 0d sv (4.4.1)



88



Aplicando el principio de conservación a la cantidad de movimiento, mediante elmétodo aproximado o de Ingeniería (Sec. 3.1), se tiene:

VA s cantidad movimiento FE s cantidad movimiento FS s cantidad movimiento F s

Velocidad de acumulación decan-tidad de movimiento VA s cant. mov. s r 0 (estado estacionario)

Flujo de entrada de cantidad demovimiento convectivo

FE s cant. mov. s s s rvr v δδ

(kg/s) (m/s) NFuerza debido a la fricción,cantidad de movimiento difusivo

FE s cant. mov.r sr rs δδ

(Pa) (m2) N

Flujo de salida de cantidad demovimiento convectivo

FS s cant. mov. s s srvr vrvr v s s s s δδδδδ

(kg/s) (m/s) N

Fuerza de fricción, cantidad demovimiento difusivo

FS s cant. mov.r r

r r

sr sr rs

rs δδδ

δδ

(Pa) (m2) NFuerzas que actúan sobre el sistema Fx

Fuerza en la entrada F s1 s r Pr δδ

(Pa) (m2) N

Fuerza en la salida F s2 s s sr Pr r Pr δ

δδδδ

(Pa) (m2) N

Fuerza sobre la masa F s3 s r senδδδ g sr r

(kg/m3) (m3) (m/s2) N Notas:

δ21

00 sr r sr r límlím

r r r r límr lím sr r sr r

δ21

00

El operador derivada actúa sobre lo que está a la derecha

δ sδr r

r r r

r

sr sr rs

rsrs

rs

δδ

δδδδ

Efectuando las sumas correspondientes

0senδδδ

δδδ

δδδ

δδ

g sr r δ s s

r Pr r

r

sr s

s

vrvr v rs s s s



89


0δδδsenδδδδδδδδδ

2

sr r g sr r s

P sr

r

r sr r

s

v rs s

Simplificando

0sen

12

g s

P

r

r

r s

v rs s (4.4.2)


1.- Flujo del fluido en estado estacionario

2.- Flujo del fluido en régimen laminar

3.- Masa, fluida, como un continuo4.- Fluido newtoniano (cumple la Ley de viscosidad de Newton en

régimen laminar)

5.- Geometría perfecta

6- Masa homogénea

7.- Variación despreciable de los parámetros densidad ( ) y viscosidad( ) con la temperatura y la posición (flujo incompresible)

8.- El fluido sólo se desplaza en la dirección s. La velocidad en otrasdirecciones (y el esfuerzo de fricción) son despreciables

vr 0, v 0

9.- Efectos de contacto entre fases están regidos por el principio demasa continua o no deslizamiento, la velocidad del fluido encontacto con el sólido es igual al del sólido.Interfase líquido sólido v sr =R = 0

10.- Se considera que la caída de presión es aproximadamente lineal:

0 L P P P s L

11.- Flujo desarrollado y efectos de entrada y salida despreciables.

Con la ecuación de continuidad, Ec. 4.4.1, y las condiciones del modelo, laecuación del modelo, Ec. 4.4.2, queda (con una variable independiente).

sen

d

d1 0 g L

P P

r

r

r Lrs

(4.4.3)



90


Aplicando la ley de viscosidad de Newton, se obtiene

sen

d

d

d

d1 0 g L

P P

r

vr

r r L s

(4.4.4)

Considerando la viscosidad constante

L

L g P P

r

vr

r r L s

sen

d

d

d

d1 0

(4.4.5)


Se agrupan los parámetros:

L

R L g P P v L

Máx

20

4

sen

m/s

Con lo cual la ecuación 4.4.3 queda

r

R

v

r

vr

r r

r Máx srs2

4

d

d

d

d

d

d

(4.4.6)

Y la ecuación 4.4.5, así

22

2 4

d

d1

d

d

R

v

r

v

r r

v Máx s s (4.4.7)


Resolviendo la 4.4.6, se obtiene

1

22

2d

d Cter R

vr vr r Máx s

rs (4.4.8)

Sustituyendo en términos de la Ley de viscosidad de Newton

rs

Máx s

r

Cter

R

v

r

v

112

d

d 12

Integrando, con constante



91


212

2ln

1Cter Cter

R

vv Máx

s

(4.4.9)


Las condiciones de contorno, para evaluar las constantes de integración, son:

a: r 0 ;

0d

d

0

r

s

r

v (Condición de simetría)

De la ecuación 4.4.80

10

20 1

2

Cte

R

v Máx 01 Cte

ya r R 0

Rr sv (Condición de esencial )

De la ecuación 4.4.9 212

2ln

10 Cte RCte R

R

v Máx

MáxvCte 2

Sustituyendo las constantes, y arreglando

r Rv Máx

rs 22 (4.4.10)

2

1

R

r

v

v

Máx

s (4.4.11)

L

R L g P P v L

Máx

20

4

sen

(4.4.12)


Para tal efecto, se sigue la forma de la ecuación obtenida; nótese que cuando r = 0 setiene la máxima velocidad

Así que, si se definen los números adimensionales:



92


Rr s MAX

Rr s s s vv

vvv *

R

r r *

Con lo que se obtiene la ecuación de la velocidad en variables adimensionales

2*1* r v s (4.4.13)

El esfuerzo de fricción

*2

r R

v Máxrs (4.4.14)

El flujo total de masa es

R

s r r vm 0

2

0 dd

r r R

r v

R

Máx d12 0

2

L

L g P P R R

vm L Máx

8

sen

2042

( Ecuación de Hagen Poiseille)

Y la fuerza total en la pared del conducto, fuerza de fricción o de piel

L

Rr rs s sr F 0

2

0 dd

L Máx

s R R

v0

2

2 d

2

2

L

Máx sv0 d22

L g P P R Lv F L Máx s sen4 02 (4.4.16)

VERIFICACIÓN

1.- Análisis dimensional: En las ecuaciones 4.4.13 y 4.4.13 se muestraque el modelo es dimensionalmente consistente.

2.- Cuando r 0 entonces 0d

d r

v srs , Máx s vv

3.- Cuando r R entonces 0 sv



93


4.5 REACTOR CONTINUO TIPO FLUJO DE PISTÓNAnálisis semidiferencial

OBJETIVOAplicar la ley de conservación de la masa de una sustancia reactiva en un sistema,formado por un reactor tubular, cuyo flujo se considera con perfil de velocidad yconcentración constantes con el radio, denominado flujo de pistón o “plug flow”.

SISTEMA

DescripciónUna sustancia gaseosa A se descompone generando dos tipos de productos, tambiéngaseosos en un reactor tubular. La reacción química es irreversible y de segundoorden. Encuentre una relación entre las concentraciones de A y la distancia en elreactor a partir de la entrada, en el estado permanente. Considérese que A entra

pura, el reactor es isotérmico e isobárico, la difusión es despreciable y los gases secomportan como “perfectos” o “ideales”.

Volumen de control


Variable independiente z : posición a partir de la entrada, m

Variable dependienteC A : concentración de la sustancia A en una posición z, kmol/m3.

Variables intermedias N A: intensidad flujo de masa de A en la dirección z, kmol/s m2

V

z+ z

z


a

C A v

z

D



94


N : intensidad de flujo de masa total en la dirección z, kmol/s m2 V : flujo volumétrico total en la dirección z, m3/s

Variables fijas

R : radio ( D/2) del conducto, mL : largo del conducto, ma : área transversal al flujo de masa, m2

Parámetro : coeficiente de rapidez de reacción, m3/kmol ks.


Reacción química A B + C Cinética de la reacción, generación (- R A) = C A

2 Coeficiente de reacción, = (T , r , sust .)Ley de los gases “perfectos” o “ideales” M = P V /( R T )Área a = D2

4Flujo de masa de A A A A C V a N M

Estequiometría (que es el balance total de masa, como un flujo)

Masa de A en z a N M A A kmol/s

Masa de B en z a N a N M A A B 0 kmol/s

Masa de C en z a N a N M A AC 0 kmol/s

Masa total en z a N a N Na M A ATotal 02 kmol/s (4.5.1)


Las condiciones de contorno para evaluar las constantes de integración, son:

cuando: z = 0 ; C A = C A0 = P /( R T ) y 0V V

C A0: concentración de A a la entrada, kmol/m3

0V : flujo volumétrico total a la entrada, m3/s


Aplicando el principio de conservación a la masa de la sustancia A, mediante elmétodo aproximado o de Ingeniería (Sec. 3.1), se tiene:




95


Velocidad de acumulación de masa VAmasa z 0 (estado estacionario) Flujo de entrada de masa FE masa z a N A

(kmolA/m2 ks) (m2) kmolA/ks

Flujo de salida de masa FS masa z z

z z

a N a N

A A δd

d

(kmolA/m2 ks) (m2) kmolA/ks

Rapidez de producción de masa RP masa z no hay

Rapidez de consumo de masa RC masa z za R A δ (kmolA/m3 ks) (m2) (m) kmolA/ks

Efectuando las operaciones correspondientes, el balance de masa queda:

0d

d a R z

a N A A (4.5.2)


1.- Flujo de masa en estado estacionario



4- Material homogéneo

5.- Los parámetros no varían apreciablemente

6.- La variación de la concentración con el radio (longitud infinita) y conel ángulo (simetría geométrica) es despreciable, flujo tipo pistón

0

r

v z 0

r

C A 0

r

v z 0

r

C A

7.- Efectos de entrada y salida no significativos

8.- La reacción se comporta como de orden dos unimolecular para A eirreversible

9. El flujo de masa ( N Az = J Az + v z C A) lo rige la convección. Esto es,no hay difusión apreciable de masa ( J Az 0 )

10.- Sistema isotérmico

11.- Caída de presión despreciable, isobárica, P / P 0,1

12.- Comportamiento “ideal” o “perfecto” de los gases.



96


Aplicando las relaciones constitutivas y las condiciones del modelo en la ecuación4.5.2, en términos de la concentración, se convierte en:

Con A A A C V a N M

0d

d 2 A A aC

zC V

(4.5.3)

Aunque el área, a, es constante, la velocidad varía, porque los moles varían. Escri- biendo la ecuación 4.5.1, en términos de la concentración y el flujo,

A A ATotal C V C V C V V RT

P Na M 000 2

Con lo que se obtiene que

A A

A

C C

C V V

0

002 (4.5.4)

Y la derivada del flujo volumétrico

z

C

C C

C V

z

V A

A A

A

d

d2

d

d2

0

00


Sea:0

0

AaC

V

, m

Realizando operaciones en 4.5.3, se obtiene

30

20

2 2

1

d

d1

A

A

A A A C z

C

C C C

(4.5.5)


Resolviendo la ecuación 4.5.5

TE

A

A A

A A A

A A A C z

C

C C

C C C

C C C

2ln2

2 0

0

00 (4.5.6)



97



Con las condición de contorno,

a: z = 0 ; C A

= C A0

(Condición esencial )

Se evalúa la constante de integración, con la ecuación 4.5.6,

2ln22

3TE C

Sustituyendo en la ecuación 4.5.6 se obtiene

0 0

0 0 0

1 2 / 1 / 32 ln

/ 1 / 2 / 2 2

A A A A

A A A A A A

C C C C z

C C C C C C

(4.5.7)



0

* A

A

C

C C

0

0

* AaC z z z

V

Con lo que se obtiene la ecuación en variables adimensionales es

1 2 * 1 * 3 *2 ln

* 1 * 2 * 2 2

C C z

C C C

(4.5.8)

El flujo de la sustancia A, como C A no se puede expresar en forma explícita de z,queda en términos de ésta:

00 11

2 A A

A A A C C

C V a N M

(4.5.9)

VERIFICACIÓN

1.- Análisis dimensional: En la ecuación 4.5.8 se muestra que elmodelo es dimensionalmente consistente.

2.- A la entrada: cuando z = 0 entonces C A = C A0



98


4.6 LA ALETA RECTAAnálisis semidiferencial

OBJETIVOConsiderar el caso del análisis de un sistema de transferencia de calor que se lleva acabo en mediante la técnica del elemento semidiferencial, y que produce resultadosaceptables para las necesidades de la Ingeniería.

SISTEMA

DescripciónEstablezca el perfil de temperaturas en una aleta rectangular de largo L, espesor Wy ancho B, hecha de un material cuya conductividad térmica es k . Por dicha aleta sedisipa calor, desde una pared plana que está a T 0, con la ayuda del fluido que larodea, el cual tiene un coeficiente de película h y mantiene una temperatura T f ensu seno.

Volumen de control


Variable independiente x : posición a partir de la pared, dentro de la aleta, m

VOLUMEN DE CONTROLTOTAL

W

B

T 0

T f

L

x+ x

x

Volumen de control

semidiferencial

x+ x

q h

·T f

T x

q x q x+

x

x

A x

W

T x+

x

q h

A



99


Variable dependienteT : temperatura, en cualquier posición a lo largo de x, K

Variables intermediasq x: intensidad de flujo de calor en la dirección x, W/m2

qh: intensidad de flujo de calor de la placa hacia el ambiente, W/m2

Variables fijas

T f : temperatura en el medio (que rodea la aleta), KT 0: temperatura en la pared o base de la aleta, KW : espesor de la aleta, m

B : ancho de la aleta, m L : largo de la aleta, m

Parámetros

: densidad del material, kg/m

3

k : conductividad térmica del material, W/m Kh : coeficiente de transferencia de calor del medio, W/m2 K

Relaciones constitutivasLey de Fourier qr = k (d T /d x)Ley de enfriamiento de Newton qh h (T S T f )

Área a x = B W Perímetro p x = 2( B + W )

Coeficiente de transferencia de calor h = h(T , r , v)Conductividad térmica k = k(T , r )Densidad = (T , r )


Aplicando el principio de conservación a la de energía, mediante el método aproxi-mado o de Ingeniería (Sec. 3.1), se tiene:


Velocidad de acumulación de energía VAenergía x 0 (estado estacionario)

Flujo de entrada de energía FE energía x x xaq

(W/m2) (m2) W

Flujo de salida de energía FS energía x x

x x

aqaq x x

x x δd

d

(W/m2) (m2) W



100


Flujo de salida de energía FS energía x x pq hh δ

(W/m2) (m) (m) WRapidez de producción de energía RP ener ía x no hay

Rapidez de consumo de energía RC energía x no hay

El balance de energía queda:

0

d

d xh

x x pq x

aq (4.6.1)

Efectuando la operación diferencial, con a x constante

0

d

d h

x

x x q

a

p

x

q


1.- Estado estacionario

2.- Energía como un continuo


4- Material homogéneo, isótropo5.- Variación despreciable de los parámetros ( , k ) con la temperatura

6.- La variación de la temperatura con y y z son insignificantes

0

y

T k q y 0

z

T k q z

En este caso se desprende calor de la aleta al medio, por las caras WB y WL.Esta aproximación, considera que la temperatura se toma como constante entodo el espesor, generándose un volumen de control semidiferencial.

7.- Efectos de contacto entre materiales (pared-aleta-ambiente) despre-ciables.

Aplicando la ley de Fourier , la de enfriamiento de Newton y las relaciones para el perímetro y el área, a la ecuación del modelo queda:

02

d

d2

2

f T T k

h

BW

W B

x

T (4.6.2)



101



m = 2 ( B W ) h / ( B W k )1/2 m-1; = (T T f ) K

La ecuación 4.6.2 se transforma en

0d

d 22

2

m x

(4.6.3)


Resolviendo la ecuación 4.6.3,

mxC mxC TE TE

coshsenh21

(4.6.4)


Con las siguientes condiciones físicas del proceso o condiciones de contorno,

a x = 0 T = T 0 y 0 = (T 0 T f ) (condición esencial )

Evaluando con la Ec. 4.6.4 la 02 TE C

a x = L q x = q x x= L = h x= L (T x= L T f ); h x= L h L

L x L L x L x

L x x h x x

T k q

d

d

d

d (condición natural )

La derivada de la temperatura, Ec. 4.6.4

mxmC mxmC x x

T TE TE senhcosh

d

d

d

d21

(4.6.5)

Evaluando con la ecuaciones 4.6.4 y 4.6.5 la C TE 1 mLC mLC hmLC mLC km TE TE LTE TE coshsenhsenhcosh 2121

Despejando

mLkm

hmL

mLkm

hmL

C L

L

TE

senhcosh

coshsenh

01



102


Sustituyendo las constantes de integración, se obtiene el resultado:

Si

2/12

BWk

hW Bm 1/m (4.6.6)

mLkm

hmL

x Lmkm

h x Lm

T T

T T

L

L

f

f

senhcosh

senhcosh

0

(4.6.7)



f

f

T T

T T T

0

* mx x * mL L * km

h L


*senh*cosh

**senh**cosh*

L L

x L x LT

(4.6.8)

El valor del flujo de calor, con la Ley de Fourier y la ecuación 4.6.6

*senh*cosh

**cosh**senh0 L L

x L x LT T kmq f x

(4.6.9)

El calor total transferido, se calcula en la base de la aleta,0

x x x aqQ

mL

mLT T kBWmQ f x tanh1

tanh0

(4.6.10)

VERIFICACIÓN

1.- Análisis dimensional: En la ecuación 4.6.6, se puede observar queel modelo es dimensionalmente consistente.

2.- Cuando x = 0 entonces T = T 0

3.- En el extremo de la aleta cuando x = L entonces q L = h L (T L T f )



103


4.7 ABSORCIÓN DE LA MASA DE UNA SUSTANCIAAnálisis semidiferencial

OBJETIVOAplicar la ley de conservación de la masa de una sustancia para el flujo,incompresible, de un fluido, usando la técnica del análisis semidiferencial. Con el

propósito de proponer un modelo simplificado del caso.

SISTEMA

DescripciónUn líquido, solvente, con una sustancia B en disolución, fluye por uncanal abierto, de área constante, La cara abierta está en contacto con ungas, del cual absorbe otra sustancia A. Dentro del fluido, la sustanciamencionada reacciona con la sustancia B, en proporción de un mol por unmol de A, con una rapidez de reacción de primer orden, para B.Determine el perfil de concentraciones de A a lo largo del conducto,considerando que ni la velocidad ni la concentración varían con el anchoni el espesor del canal y que el flujo de masa está en estado estacionario.La tasa de rapidez de reacción es de k , 1/s, y el coeficiente detransferencia de masa de la sustancia A en el fluido es K L, m/s. Considere

que la concentración de la sustancia A, la temperatura y la presión total enel gas son constantes, con lo que la concentración de A en la interfaselíquido gas, del lado del líquido, es su saturación (solubilidad) y, también,es constante.

Volumen de control

h v C C C

C S N As

A

A

N Ax

x x x

h

b

w



104



Variable independiente x : posición a partir de la entrada, m

Variables dependientesC A: concentración de la sustancia A en el líquido, kmolA/m3 C B: concentración de la sustancia B en el líquido, kmolB/m3

Variables intermedias N Ax: intensidad de flujo de masa convectivo de la sustancia A, en la

dirección del flujo del líquido, kmolA/s m2 N As: intensidad de flujo de masa de la sustancia A, en la interfase

líquido gas, kmolA/s m2

Variables fijasv x: velocidad en la dirección del flujo, m/sw : ancho del conducto, longitud en contacto con el gas, mb : ancho del fondo del conducto, m

L : longitud del conducto, mh : profundidad del líquido en el conducto, m

Parámetros : densidad del fluido, kg/m3 k : coeficiente de velocidad de reacción, 1/s.

K L : Coeficiente global de transferencia de masa, entre el solvente y elaire, m/s

C As : Composición al equilibrio o de saturación de A en el solvente,fracción mol de solvente A, kmolA/m3

Relaciones constitutivasReacción química Productos B A k

Cinética de la reacción, B B kC R sust xT k ,,k

Área 2bwhaa x Ancho en contacto con el gas w

Flujo de masa de A A A A C V a N M

Flujo de masa de B B B B C V a N M

Relación de la transferencia A AS L As C C K N sust T K L ,K de masa en la interfase



105


Balance de masa total

Ecuación de continuidad en estado estacionario

0ddd x x x x x avavm (4.7.1)

(Se obtiene por el balance de masa, Sec. 4.1)


Aplicando el principio de conservación a la masa de la sustancia A, mediante elmétodo aproximado o de Ingeniería (Sec. 3.1), se tiene:


Velocidad de acumulación de masa VAmasa x 0 (estado estacionario)Flujo de entrada de masa FE masa x a N Ax kmolA/s

Flujo de salida de masa, FS masa x x

x x

a N a N Ax

Ax δd

d

Flujo de entrada de masa, FE masa x xw N As δ kmolA/sRapidez de producción de masa RP masa x no hayRapidez de consumo de masa RC masa x xa R A δ kmolA/s


0

d

d a Rw N

x

a N A As

Ax (4.7.2)

Para la masa de la sustancia B:

Velocidad de acumulación de masa VAmasa x 0 (estado estacionario) Flujo de entrada de masa FE masa x a N Bx kmolB/s

Flujo de salida de masa FS masa x x x z a N a N Bx Bx δdd kmolB/s

Rapidez de producción de masa, VP masa x no hayRapidez de consumo de masa VC masa x xa R B δ kmolB/s


0

d

d a R

x

a N B

Bx (4.7.3)



106






4- Material homogéneo

5.- Los parámetros no varían apreciablemente

6.- La variación de la concentración y la velocidad con y y z son despre-ciable, los efectos de fricción y convección por fuerza boyante sondespreciables, flujo tipo pistón

0

y

C A ;

0

y

C B ;

0

y

v x

0

z

C A ;

0

z

C B ;

0

z

v x

7.- Efectos de entrada y salida no significativos

8.- La reacción se comporta como de orden uno para B e irreversible

9.- La rapidez de consumo de A, es igual a la rapidez de consumo de B. (-R A) = (-R B) = k C B.

10.- El flujo de masa ( N Ax = J Ax + v x C A) lo rige la convección. Esto es,no hay difusión apreciable de masa ( J Ax 0 ), lo mismo para B.

11.- Sistema isotérmico, C As constante

Aplicando las relaciones constitutivas y las condiciones del modelo en las ecua-ciones 4.7.1-3, en términos de la concentración, se convierten en:

0d xv aV vv x (4.7.4)

Con A A x Ax A C V aC va N M y B B x Bx B C V aC va N M

0

d

d B

B kaC x

C V (4.7.5)

0

d

d wC C K kaC

x

C V A As L B

A

(4.7.6)



107



ka

V

w K

V

L

m

Con lo cual las ecuaciones quedan

0

1

d

d B

B C x

C

(4.7.7)

B

As A

A C C

C x

C

11

d

d (4.7.8)

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES

Resolviendo las ecuaciones 4.7.7-8, se obtiene

xCteC B exp1 (4.7.9)

xCte

xCteC C As A

exp1

exp21 (4.7.10)


Las condiciones de contorno, para evaluar las constantes de integración, son:

a: x = 0: C B = C B0 ; C A = C A0

Con la Ec. 4.7.9 01 BC Cte

Con la Ec. 4.7.101

1002

B As A C C C Cte

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones 4.7.9 y 4.7.10, se obtienen:

x

C

C

B

B exp0

(4.7.13)

x x

C C

C

C C

C C

As A

B

As A

As A exp111

exp10

0

0

(4.7.14)



108


VERIFICACIÓN

1.- Análisis dimensional: En las ecuaciones 4.4.13-14 se muestra queel modelo es dimensionalmente consistente.

2.- Cuando x 0 entonces C A C A0 y C B C B0

3.- Cuando x entonces C A C As y C B 0

4.8 APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE BESSEL

OBJETIVO

El propósito de esta sección es analizar y desarrollar casos en que aparecen lasecuaciones y funciones de Bessel.

ECUACIÓN DE BESSEL, GENERALIZADA

Es una ecuación del tipo

0

2

d

d221

d

d2

2222

2

2

y x

pqxqa pqxcn+abcx

x

y

x

pqxa+

x

y qqcq

b 0 , c 0 y q 0

Cuya solución es c

nTE c

nTE qa bxC bxC px x y ΩΘexp 21

CASO n(b xc

) n(b xc

)n entero o cero b real Jn(b xc) J-n(b xc)n = entero o cero b real Jn(b xc) Yn(b xc)n entero o cero b imaginario In(-i b xc) I-n(-i b xc)n = entero o cero b imaginario In(-i b xc) K n(-i b xc)



109


EJEMPLO 4.8-1

Considérese el caso de la reacción química, de primer orden para un compuesto A,en una partícula por la cual se difunde. Con la descripción del sistema propuesto enel problema de la Sec. 4.3.; con la diferencia de que la reacción es de primer orden.

La ecuación del modelo de la Sec. 4.3

02d

d A A A R N

r r N (4.3.2)

Con la relación constitutiva dada por laCinética de la reacción, (- R A) = C A

Se convierte mediante la relación para la difusión de la sustancia A, de Fick , y lacinética de la reacción establecidas, en

0d

d2

d

d2

2

A AB

A A

C Dr

C

r r

C

(4.8.1)

La cual es, probablemente, una ecuación de Bessel, comparándola con la ecuacióngeneralizada:

1 2 a 2 p 0 a 1/2

b2 c2 r 2c-2 - /DAB c 1 b i (/ D AB)1/2

a2 n2 c2 0 n2 a2/c2 1/4 n = 1/2


·C AR


r sen

r+ r

r

R



110


Seam ( /DAB)1/2

Con lo que se obtiene

mr C mr C r C TE TE A 2/122/112/1 II (4.8.2)

Sustituyendo las relaciones para las funciones de Bessel de orden ½

mr Bmr Ar C A coshsenh1 (4.8.3)

Con las condición de contorno

a: r = 0; N A = N A0 = 0 (condición de simetría)

Por lo que C Ar 0 y con la Ec. 4.8.3 se obtiene la constante 0coshsenh

000

r r r A mr mr ArC B

Con las condición de contorno

a: r = R; C A = C AR (condición esencial )

y la Ec. 4.8.3 Se obtiene la constante

mR RC A AR senh

Sustituyendo las constantes se obtiene la relación final

r

R

mR

mr

C

C

AR

A

senh

senh (4.8.4)

EJEMPLO 4.8-2

Utilizando el problema de una aleta recta, de la Sec. 4.6, pero con sección trans-versal circular y decreciente, en forma de cono; cuyas dimensiones son R, el radiode la base, que está unida a la pared, y L el largo.

Con las relaciones constitutivas dadas para:Distancias (Thales) r = ( R/ L) ( L x)Área a x = r 2 Perímetro p x = 2 r



111


La ecuación del modelo de la Sec. 4.6

0

d

d xh

x x pq x

aq (4.6.1)

Se convierte, mediante la Ley de Fourier , las relaciones para el área y el perímetro,en

02d

d

d

d2d

d2

22

f T T k

hr x

T

x

r r x

T r (4.8.5)

Agrupando los siguientes parámetros y variables:

= L x mm = 2 h L/(k R)1/2 m-1

y = (T T f ) K

Se transforma en

0d

d2

d

d 2

2

2

m (4.8.6)

La cual es, probablemente, una ecuación de Bessel , comparándola con la ecuacióngeneralizada:

1 + 2 a = 2 p = 0 a = 1/2

b2 c2 2c-2 = - m2 -1 c = 1/2 b = 2 m i

a2 n2 c2 = 0 n2 = a2/c2 = 1 n = 1

VOLUMEN DE CONTROLSEMIDIFERENCIAL

T x

q x q x+ x

x+ x

qh

qh

·Tf

A A

R T x+ x

x

r x r x+ x


R

T 0 T f

L

x

x+ x



112



2/112

2/111

2/1 2K 2I mC mC TE TE (4.8.7)

Con la condición de contornocuando x = L ; = 0 q x = q x x= L = h L (T L T f ) = h L L

T x= L = T L T = finito y = finito

Y la Ec. 4.8.7 Se obtiene la constante

02K 2I0

2/110

2/1110

2/12

mmC C TE TE

cuando x = 0; = L T = T 0; = (T0 T f )

2/1

10

2/1

1 2I mLT T LC f TE

Se obtiene la relación final

2/1

2/1

2/11

2/11

0 2I

2I

x L

L

Lm

x Lm

T T

T T

f

f

(4.8.8)

4.9 EJERCICIOS

4.1. Para un recipiente de diámetro D y profundidad L, conteniendo un fluido dedensidad , describa la distribución de la fuerzas que soporta su pared lateral.

4.2. Encuentre una relación entre la presión atmosférica y la altura sobre lasuperficie terrestre, para cada uno de los siguientes modelos del comportamiento dela atmósfera (considerando que el gas se comporta como Gas perfecto o ideal):

a) la temperatura es constante: T T 0. b) comportamiento adiabático del proceso: T T 0 ( P / P 0)

.c) la temperatura varía linealmente con la altura: T T 0 (1 h).

T = temperatura, P = presión, h = altitudT 0, P 0, ( 2,25 10-5 m-1) y ( 2/7) constantes

4.3. Una sustancia de densidad , fluye, unidireccional e incompresiblemente, enestado estable, por un conducto cerrado debido a una diferencia de presión. Pormedio de un balance de fuerza-cantidad de movimiento, formule una relación entre:



113


la densidad, la posición, la velocidad y la presión, evaluadas en dos puntos dados.Considere que la velocidad promedio no varía con la distancia perpendicular al tuboy que la resistencia a la fricción es despreciable.

4.4. Entre dos placas paralelas y horizontales, de longitud L, se encuentra unacapa de fluido, newtoniano, de espesor 2 W . La placa superior se desplaza con unavelocidad U y la inferior V en sentido contrario. Si el flujo se puede considerarincompresible, en régimen laminar y en estado estacionario, determinar el perfil develocidad y la caída de presión que provoca.

4.5. Una película de líquido de espesor W , constante, desciende por una placainclinada, con un ángulo , con la horizontal. Determine el perfil de velocidadesdel fluido con respecto al eje perpendicular al plano de la placa, en flujo de régimen

laminar y en estado estacionario.4.6. Una masa fluye incompresiblemente, en estado permanente y en régimenlaminar, dentro de la región comprendida entre dos tubos cilíndricos coaxiales. Losradios de los tubos son R0 y R y su longitud L (para ambos tubos). Si el conductoestá colocado horizontalmente y el fluido está sometido a presiones P 0, en la entra-da y P L a la salida, determine la variación de velocidad con respecto a la distanciaradial.

4.7. Determine el espesor de una pared plana de arcilla refractaria, que sirve como

aislante, para una carga de calor dada; si se conoce la temperatura de la paredinterior y la del fluido que rodea la cara externa (coeficiente de película h W/m2 K).

4.8. Determine el perfil de temperaturas, a lo largo del radio, en estado estable, para un cilindro hueco, con el radio externo R y el interno A. El cual, posee unafuente de energía en el núcleo que genera Q kW de energía. Considere que seconoce la temperatura de la circunferencia o cara externa T R.

4.9. En una esfera sólida, se produce un flujo de calor debido a una fuente que

genera energía a razón de S W/m

3

, en todo su volumen. El radio de la esfera es R,su conductividad térmica k y la superficie de la esfera se mantiene a una tempe-ratura T R. Derive una expresión entre la temperatura y la distancia desde el centro,en el estado permanente, para:

a) k = k 0, constante. b) k = k 0 (1 + T ). (T = temperatura, k 0 y = constantes)



114


4.10. Desarrolle una relación que represente la distribución de temperaturas con elradio, en estado permanente, para una varilla sólida de longitud "infinita", con unafuente de energía que produce calor a razón de S kW/m3. Considere que su radio es

R, su longitud L, su conductividad térmica k y que el sistema está rodeado por un

fluido con temperatura T f . Para cuando:a) S = S 0, constante.

b) S = S 0 (1 - T ) kW/m3 (T = temperatura, S 0 y constantes)

4.11. El espacio anular, que queda entre dos cilindros coaxiales, está relleno de unmaterial de conductividad térmica k . En él se lleva a cabo una reacción químicaque genera calor uniformemente, a razón de S kW/m3. Evalúe el perfil de tempera-tura en la masa reaccionante, si el proceso se efectúa en estado estacionario. Latemperatura de la pared externa, de radio R1, se mantiene a T 1 y la pared interna se

puede considerar que está perfectamente aislada. Desprecie la transmisión de caloren sentido axial.

4.12. Un tanque esférico se emplea para almacenar oxígeno líquido en su punto deebullición. El tanque está cubierto por una capa de material aislante de conduc-tividad térmica k , con radio interior R0 y radio exterior R1. La temperatura en lasuperficie exterior de la capa aislante es de T 1. Si se considera la conductividad delmetal "infinita", determine la distribución de temperaturas en el aislamiento y lacantidad de oxígeno que se evapora por unidad de tiempo, cuando se trabaja enestado estable.

Propiedades del oxígeno a la presión de 3,0 MPaCoeficiente de transmisión de calor (de película) 5,2 kW/m2 KDensidad como líquido 0,79 Mg/m3 Temperatura de ebullición 132 KCalor latente de evaporación 118 kJ/kg

4.13. Dos fluidos se desplazan, en contra-corriente, por el espacio interno y el anu-lar, respectivamente, de dos tubos concéntricos. Considerando que el fenómeno detransferencia de calor se puede explicar mediante el coeficiente global de transfe-rencia de calor (U ), basado en el radio del tubo interior, y que las velocidades de losflujos son lo suficientemente grandes para no desarrollar gradientes radiales detemperatura; desarrolle una relación entre la temperatura de la corriente interior y ladistancia.

Características del sistema: tubo interior tubo exteriorMaterial cobre termoplásticoRadio interno 19,9 mm 38,1 mmRadio exterior 25,4 mm 48,3 mmFlujo de masa 0,50 kg/s -- kg/sTemperatura de entrada 225 C 25 C



115


Temperatura de salida 45 C 35 CLongitud del tubo 5,3 m

4.14. Una alambre eléctrico de longitud L y diámetro D, está unido a dos compo-

nentes de un equipo; los cuales, se hallan, respectivamente, a T 0 y T L C, en cadaextremo del mismo. La corriente que pasa, genera calor a razón de S W/m3 (= I 2 R con: I corriente, R resistencia por unidad de volumen y factor de conversión deunidades). El calor generado se disipa en parte por los extremos del cable y en

parte por al aire que lo rodea; siendo el coeficiente de película del aire h y su temperatura T f . Despreciando la transferencia de calor en sentido radial, determine ladistribución de temperatura, en las condiciones de estado estacionario, si el alambrees:

a) recto. b) curvo, con un radio de curvatura R.

4.15. En un intercambiador de tubo y carcaza de un solo paso, se desea enfriar unaceite comestible, que pasa por el tubo (interno), de 20 a 5 C. Considerando: que

por su lentitud y viscosidad la transferencia de calor se lleva a cabo, tanto por con-vección, como por conducción en sentido axial; que la salmuera de enfriamiento,mantiene su temperatura constante (a todo lo largo) en -5 C y que el tubo es losuficientemente delgado, para que no se desarrolle perfil de temperaturas en sentidoradial, encuentre la relación de la temperatura con la posición a lo largo del tubo.

4.16. A un reactor tubular (flujo de pistón) entra una sustancia a razón de G conuna temperatura T 0, saliendo a T L. La longitud del reactor es L y su diámetro D. Enla reacción se produce calor a razón de

S = H 0 exp(- x) x = posición, H 0 y = constantes.La capacidad calorífica de la masa reaccionante, es c y su densidad . Considéreque la conducción de calor a lo largo del reactor no es despreciable, pero sí lo es enla dirección radial; que la variación de las propiedades de la sustancia con latemperatura y con la concentración es despreciable. Describa la distribución detemperatura a lo largo del reactor si:

a) está rodeado por un fluido de coeficiente de película h ytemperatura T f .

b) se desprecia la transferencia de calor al medio.

4.17. Determine la distribución de temperaturas a lo largo de una aleta, de áreatransversal recta, con espesor 2W y longitud L, anular a un tubo de radio R0. Si, seconoce la temperatura en la base (en el tubo) y la del fluido que lo rodea.



116


4.18. Calcule el flujo de un electrolito a través de una membrana plana y semiper-meable (al electrolito). De la cual, se conocen las respectivas concentraciones (dela sustancia), en su superficie interna y en el medio externo.

4.19. Un producto A fluye, en solución con una concentración dada, dentro de untubo de material celulósico; cuyo radio interno es R0 y el radio externo R . El solu-to genera una concentración C 0 en la cara interna del tubo, se difunde a través de su

pared, hacia otro medio con concentración C f , en el cual está inmerso. Encuentreuna relación entre la concentración de A y la distancia radial del tubo, considerandoque ambas concentraciones (C 0 y C f ) no varían con el tiempo ni con la longitud.

4.20. Una sustancia aromatizante se desea esparcir por medio de un tubo (aleta)cilíndrico, de largo L, unido en un extremo a la fuente y tapado en el otro. La

sustancia se difunde a través del cilindro y sale a la atmósfera a través de la caralateral del mismo. Halle la variación de la concentración de la sustancia, en estadoestacionario, a lo largo, z, del cilindro, despreciando la difusión en dirección delradio, si el coeficiente de transferencia de masa, hacia el ambiente, es

a) K = K 0 (constante). b)(*) K = K 0/(1 z/ L).

4.21. (*) Una sustancia A, gaseosa, desprendida como residuo, se descarga a laatmósfera por medio de una chimenea. Encuentre la relación entre la concentraciónde A y la distancia vertical del conducto. Considere que el proceso se lleva a cabo

por convección natural, sólo A (y no el aire) se traslada, la concentración en la basees la solubilidad de A en el aire, la de la salida se conoce y ambas se mantienenconstantes.

4.22. (*) Un conducto de área rectangular, de A m2 y largo L mantiene un extremocerrado por una pared catalítica y el otro abierto a un medio con un gas A. La sus-tancia A se transfiere a lo largo del conducto y cuando alcanza la pared catalítica seconvierte en B, también gaseoso, mediante la reacción del tipo 2 A B. En-cuentre la variación de la concentración de A con la distancia a partir de la entrada

de A, en el estado estable. Se conocen la concentración de A en la entrada, C 0 kmol/m3 y la difusividad efectiva de la sustancia A en la mezcla gaseosa, D m2/s.Considere que: sólo se transfiere masa por difusión, la reacción se lleva a caboinstantáneamente, el calor de reacción es despreciable, la temperatura se mantieneconstante y la difusión de A en dirección perpendicular al flujo es nula.

4.23. (*) Una corriente líquida de una sustancia A, en forma de película, entra auna torre de absorción en contracorriente con un flujo de un gas inerte, en el cual sedifunde A; considere que el gas es insoluble en la fase líquida. Formule unarelación que exprese la variación de la concentración de A, en la fase gaseosa, con



117


relación a la distancia vertical. Considere que A entra pura a razón de L0 kmol/s, elflujo del gas, en la entrada, es de G0 kmol/s, la altura de la torre es de H m, laconcentración de A en el gas de entrada es despreciable, la difusión sólo se realizaen dirección perpendicular a la interfase y se puede expresar por el mecanismo de

coeficientes globales de transferencia de masa.

4.24. Un reactor químico, tubular, de longitud L m y de radio R m, relleno con unacama catalítica porosa; se emplea para llevar a cabo una reacción en la que unmaterial A en solución, se convierte en otro B, mediante una reacción irreversiblecon una cinética de primer orden, en fase líquida. Si la carga lleva una velocidadde v m/s, con una concentración de C A0 kmol/m3 a la entrada y sale con 60% deconversión, determine la variación de la concentración de A con la distancia, en elestado estacionario. Suponga que la difusión de la sustancia A en el catalizador yla masa en sí, es de D m2/s y que ni el perfil de velocidad ni el de concentraciónvarían con el radio.

4.25. Un gas puro, A, entra a un reactor tubular, empacado con un materialcatalítico. En el cual se filtra A, reaccionando irreversiblemente con una cinéticade primer orden para A y un mecanismo del tipo A B. Obtenga la relaciónentre la concentración de A y la distancia a lo largo del conducto, en el estadoestable. Suponga que el flujo de gas se debe solamente a la difusión en sentidoaxial.




CAPÍTULO 5

ANÁLISIS DE PROCESOS

CON MÁS DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

INTRODUCCIÓN

Esta unidad se dedica al estudio de los sistemas en los que se involucran más de unavariable independiente y las soluciones de las ecuaciones diferenciales parciales,del modelo, generadas. Las variables independientes más usadas en Ingeniería son

el tiempo y las coordenadas de la posición.Para formular el modelo se procede de manera análoga que en los casos con unasola variable. Para lo cual, se suman los efectos parciales de cada una de las varia-

bles, partiendo del supuesto de independencia de los efectos. Este método se puededesarrollar para el caso general, sin embargo se prefiere dejar esa forma para cursosespecíficos de procesos con Fenómenos de transferencia. Al igual que los otroscasos, cada tema, se desarrolla sobre la base de un ejemplo.

Se emplean, en esta unidad, dos de los métodos de solución analíticos de lasecuaciones diferenciales parciales, a saber: empleando transformadas de Laplace y

por separación de variables. Los métodos analíticos se aplican a pocos casos, pero permite la descripción física en forma más clara, de allí su interés académico.

Por otro lado, se presenta una introducción a los métodos numéricos de solución,que usan diferencias finitas. Estos métodos son más generales, pero requieren másdetalle y las soluciones son específicas para cada tipo de ecuación y condiciones decontorno, lo cual requiere de profundización en el tema.

5.1 FORMULACIÓN DEL MODELODifusión o conducción de calor

OBJETIVO

Aplicar la ley de conservación, en este caso específico de la energía, a un sistemadado, afectado por el tiempo y la posición.



119


SISTEMA

DescripciónDesarrolle una relación de la temperatura con el tiempo y la posición en una placa,

extendida indefinidamente a lo largo y lo ancho, con un espesor 2 W . Inicialmentela placa se encuentra a una temperatura T 0, de pronto, la temperatura en ambascaras cambia a T W , manteniéndose por un tiempo dado.

Volumen de control


Variables independientest : tiempo, s

x : posición, m.Variable dependiente

T : Temperatura, en cualquier posición a lo largo de x, K.

Variable intermediaq x: intensidad del flujo de calor en la dirección x, W/m2.

Variables fijasT 0: temperatura inicial en la placa, K

T W

Tx

T x+ x y z

x

VOLUMEN DE CONTROLDIFERENCIAL


q x+ x q x

2 W

x

q s T f



120

Análisis de procesos con más de una variable G. Chacón V.

T W : temperatura en las caras de la placa, K2 W : espesor de la placa, m

B : ancho, m L : largo. m.

Parámetros : densidad del material, kg/m3 C P : capacidad calorífica del material, J/kg Kk : conductividad térmica del material, W/m K.

Relaciones constitutivasLey de Fourier q x = - k (T / x)energía de la masa e = C V T

Densidad = (T , r )Capacidad calorífica C P = CP(T , r )Conductividad térmica k = k(T , r )


Aplicando el principio de conservación a la de energía, en la dirección x, medianteel método aproximado o de Ingeniería (Sec. 3.1), se tiene:


Velocidad de acumulación de energía VAenergía x z y xt

eδδδ

(J/m3) (1/s) (m m m) WFlujo de entrada de energía FE energía x z yq x δδ

(W/m2) (m m) W

Flujo de salida de energía FS energía x x

x x

z yq z yq x

x δδδ

δδ

(W/m2

) (m m) WRapidez de producción de energía RP ener ía x no hay

Rapidez de consumo de energía RC energía x no hay

El balance de energía, en un volumen x y z queda:

x z y x

q z y x

t

e x δδδδδδ

Sustituyendo las relaciones constitutivas y simplificando



121


x

x

T k

t

T C V

(5.1.1)




3- Material homogéneo, isotrópico

4.- Material sólido, C V C P

5.- Variación despreciable de los parámetros ( , k , C P )6.- La variación de la temperatura con y y z son insignificantes

0

y

T k q y 0

z

T k q z

7.- Efectos de contacto entre los materiales (pared-ambiente) despre-ciables

8.- El sistema no presenta cambio de fase.

Considerando las aproximaciones del modelo, se llega a:

2

2

x

T k

t

T C V

(5.1.2)

AGRUPAMIENTO DE PARÁMETROS Y CONSTANTES

Se agrupan los parámetros: = k/ C P m2/s

se denomina difusividad térmica


2

2

x

T

t

T

(5.1.3)



122


5.2 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIALUSANDO TRANSFORMADAS DE LAPLACE

ECUACIÓN DEL MODELO

Para el caso de la placa, del problema anterior (Sec. 5.1)

2

2

x

T

t

T

con = k/ C P m2/s (5.1.3)

Se escoge el método de resolución usando las trasformadas de Laplace, dado que seconocen las condiciones iniciales, en este caso para la variable tiempo.

Se hace un cambio de variable para simplificar la solución, con base en el valor della temperatura al inicio (tiempo 0).

0

0

T T

T T

W


a t = 0 T = T 0 x = 0 (Condición inicial )

a x = 0 T = T W t = 1 (Condición esencial )

a x = 2 W T = T W t = 1 (Condición esencial )

a t T = T W x = 1 (Condición de estabilidad )

La ecuación. 5.1.3, se transforma en

2

2

xt

(5.2.1)

Aplicando las Trasformadas de Laplace, en la variable tiempo

L t

t =

L t

2

2

x

Si se define L t = ~

Entonces, aplicando los teoremas sobre transformadas de Laplace

2

2

0

~~

x s

t

Reordenando, se convierte en una ecuación diferencial ordinaria



123


0~d

~d2

2

s

x (5.2.2)

Resolviendo esta ecuación, por los métodos convencionales

x

sC x

sC TE TE

coshsenh~

21 (5.2.3)


Con las siguientes condiciones de contorno, se evalúan las constantes:

Cuando x = 0 = 1 s1~ sC TE 12

cuando x = 2W = 1 s1~

W

s

W s

sW s

s

C TE 2cosh

2senh

1

2senh

11

Sustituyendo las constantes y arreglando el resultado, se tiene

W s

s

xW s

W s

s

x s

2senh

2senh

2senh

senh~

(5.2.4)

la transformada inversa, con ayuda de un cuadro de transformadas, es

xW

W

n x

W

nt

W

n

nn

n

2

2

sen

2

sen

4

exp)1(-2

+1=

1=

2

22

(5.2.5)

Efectuado operaciones, se obtiene el resultado final:

xW

nt

W

n

nT T

T T

nW

W

2

12sen

4

12exp

1-2

14=

1=2

22

0

(5.2.6)



124


5.3 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIALPOR EL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES

INTRODUCCIÓN

El método de separación de variables, permite aplicarse a casos en los que por laslimitaciones de las transformadas de Laplace no es posible, aunque el métodoanterior es de más fácil aplicación.

Este método consiste en expresar la variable dependiente como un producto defunciones, cada una dependiendo de una sola de las variables independientesinvolucradas, de tal forma que se convierta en ecuaciones diferenciales ordinarias,de manera análoga al método anterior. Se limita, a las ecuaciones diferenciales

parciales lineales y cuyas soluciones, para las variables de interés, son funcionesortogonales.

FUNCIONES ORTOGONALES

Funciones ortogonales, son aquellas dos relaciones de la variable de interés, quetienen la misma forma, pero que difieren entre sí en un índice, n o m.

m( x) y n( x) en un intervalo de valores de x a,b, dado.

Las cuales, y con respecto a una función de peso ( x), cumplen que

0d)(φ)(φ)ρ( b

a mn x x x x para n m y ( x) 0

Ejemplo: la función n( x) = sen(nx), en el intervalo x 0, con ( x) = 1

0d)sen()sen(1 xmxnx

SERIES DE FUNCIONES ORTOGONALES

Usualmente las funciones ortogonales se presentan en series, para un conjunto devalores f( x).

0

221100 φφφφφf n

nnnn x A x A x A x A x A x

n( x) se manifiesta en un intervalo de valores de x a,b, dado.

Ejemplo: la serie de funciones de Bessel

1

k k 0 YJ

2f

nnnnn x B x A

A x

= 0 para n m= ara n = m



125


Ejemplo: la serie de Fourier 0

1

f cos sen2 n n

n

A n n A x B x

b a b a

De la definición de funciones ortogonales, se puede demostrar que los coeficientesde dichas series se evalúan por:

b

a n

b

a n

n

x x x

x x x x A

d)(φ)ρ(

d)f()(φ)ρ(

2

Ejemplo de ellas, es en la serie de Fourier :

1f cos d

b

n a

n x A x x

b a b a

1

f sen db

n a

n x B x x

b a b a

ECUACIÓN ( PROBLEMA) DE STURM-LIUOVILLE

Es una ecuación diferencial ordinaria, del tipo

0ρQd

dP

d

d 2

y x x x

y x

x n

Donde:P( x), Q( x) y R( x) son funciones exclusivamente de la variable independiente

x, es decir es una ecuación diferencial lineal.n ( 1, 2, 3, ... n, ...): valores “eigen”: fijos, característicos, esenciales,intrínsecos.

Cuyas soluciones, m( x) y n( x), son funciones ortogonales en un intervalo devalores de x a,b, si cumple con algún juego de las siguientes condiciones decontorno:

i) x = a x = b y = 0 (Condición esencial )

ii) x = a x = b 0d

d

x

y (Condición de simetría)

iii) x = a x = b y x y

dd

: constante (Condición natural )

iv) combinaciones de i, ii y iii.

v) P(a) =P(b) = 0 con y x=a = y x=b vi) y x=a = y´ x=a = 0 con y x=b = y´ x=b = 0



126


NOTA: Para convertir la ecuación diferencial lineal típica en la forma de la ecuación de Sturm- Liouville , se transforman las funciones, así:

0GGd

dG

d

dG 3

2212

2

0 y x x x

y x

x

y x n

x

x x x d

GGexpP

0

1

x x x x P

GGQ

0

2

x x x x P

GGρ

0

3



2

2

x

T

t

T

con = k/ C P m2/s (5.1.3)

Se escoge el método que usa separación de variables, cuando, al separarlas, una delas funciones genera una ecuación de Sturm-Liouville, es decir, con solucionesortogonales. En este caso se escoge la función con variable x.


Se varía una de las condiciones de contorno, para x, con respecto al ejercicio ante-rior (Sec. 5.2); con el propósito de observar la aplicabilidad del método y observarel análisis de este tipo de condición límite.

Con T W > T f

a t = 0 T = T 0 x Condición inicial

a x = 0 T = T W t Condición esencial

a x = 2 W f W xW x

W x x T T h x

T k q

2

22 t Condición natural

a t Estado estacionario x Condición deestabilidad

CAMBIO DE VARIABLE

Para poder resolver la ecuación diferencial parcial, normalmente se debe hacer uncambio de la variable, para asegurar que las condiciones de contorno, satisfagan lasnecesidades de la ecuación de Strum- Liouville, de la siguiente forma.

, , x t x t xT Θ V



127


En este caso, para que la variable V sólo dependa de x, deberá resolverse la ecua-ción, en el estado estacionario (t )

0

d

d2

2

2

2

x

V

x

V (5.3.1)

Resolviendo dicha ecuación,bxaV

Con las condiciones de contorno, en el estado estacionario, se evalúan a y b.

a x = 0 V = T W t a x = 2 W q x x=2W = k dV /d x x=2W = h (V x=2W T ) t

La función queda xT V W

DondeWhk

T T h f W

2

(5.3.2)

La nueva variable se define por

xT T Θ W (5.3.3)

Y la ecuación diferencial, 5.1.3, en términos de es

2

2

x

Θ

t

Θ

(5.3.4)

Con las condiciones de contorno para , con la ecuación 5.3.3:

x = 0 T = T W = 0

x = 2W f W xW x

T T h x

T k

2

2

W x

W x

Θk

h

x

Θ

22

Nota : En el extremo de la placa el flujo de calor es

a W x 2 f W xW x

W x x T T h x

T k q

2

22

Sustituyendo el valor de T en función de , con la ecuación 5.3.3

f W W xW x

T W T Θhk x

Θk

22

2

Sustituyendo el valor de de la Ec.5.3.2, se obtiene W x

W x

Θh x

Θk

22



128


SEPARACIÓN DE VARIABLES

El método consiste en separar la variable dependiente, , mediante el producto dedos variables una, , sólo dependiente de x y la otra, , sólo de t , bajo el supuesto

de que son independientes, es decir no hay efectos combinados con las dosvariables independientes. El procedimiento se puede generalizar para más variablesindependientes. Se hace

, x t x t Θ (5.3.5)

La ecuación del modelo, 5.3.4, se convierte en:

2

2

xt

(5.3.6)

Separando variables

22

211na

xt

(5.3.7)

El primer miembro de esta ecuación sólo depende de t y el segundo sólo de x, por loque se igualan en una serie de puntos, an, que se denominan valores “eigen” o

propios.


Resolviendo la ecuación que depende de x,

0d

d 22

2

na x

(5.3.8)

para an 0 = C 1 sen(an x) + C 2 cos(an x)

para an = 0 = C 3 x + C 4

Resolviendo la ecuación que depende de t ,

2

d

dna

t (5.3.9)

para an 0 = C 5 exp(-an2 t )

para an = 0 = C 6



129


La solución de la ecuación, por el Principio de superposición, es la suma de todaslas soluciones posibles,

62

54321 expcossen C t aC C xC xaC xaC Θ nnn

EVALUACIÓN DE LAS CONSTANTES

Primero, se evalúan los coeficientes de la ecuación 5.3.8, del tipo de Sturm- Liouville; que en este caso, es la que sólo depende de x, comparándola:

P( x) = 1 Q( x) = 0 ( x) = 1

Con las condiciones de contorno:

a: x = 0 = 0a: x = 2W d /d x = (h/k )

Que son las condiciones combinadas i) y iii) de la Ecuación de Sturm-Liuoville, loque comprueba lo afirmado.

Se necesita la derivada de respecto a x:

62

5321 expsencos C t aC C xaaC xaaC x

Θ

nnnnn

Evaluando la función en las condiciones de contorno ( t ):

Cuando x = 0 = 0 = C 4 + C 2

cuando x = 2W 321 2sen2cos C W aaC W aaC nnnn

4321 22cos2sen C W C W aC W aC k h nn

Para an = 0 4323 2 C W C C k hC

0213

W

k hC

Por lo tanto C 3 0 y en consecuencia C 4 y C 6 son también nulos, lo queindica que sólo hay solución para

an 0 (5.3.9)

Resultado que se puede generalizar para toda ecuación del tipo Sturm-Liouville.

Entonces por la condición de contorno a x 0, C 2 = 0



130


Con lo que la relación evaluada en 2W queda

an cos(an 2W ) = (h/k ) sen(an 2W )

Y las an, se determinan, si se define n = 2 W an, como

n ctg( n) = 2 W h/k (5.3.10)

La solución, con el Principio de superposición, para todos los valores de n, con An = C 1 C 5 es

22

=1

= sen exp2 4n n n

n

t Θ A

W W

(5.3.11)

Con la condición de contorno para t , se evalúan las An,

Cuando t = 0 entonces T = T 0

W

x A xT T xΘ

n

nnW t t 2

senf 1

000

La función sen( n x/2W ) es una función ortogonal en el intervalo x = 0, 2W , confunción de peso ( x) = 1, por lo que

nnn

n f W

W

n

W

nW

n T T T T

xW

x

x

W

x xT T

A

cossencos2

d2

sen

d

2

sen00

2

0

2

2

0

0

Con lo que el resultado final queda:

xW

t W

T T T T

T T k hW

xh

T T

T T nn

nnn

n f W

W f W f

W

2sen

4exp

cossen

cos+-2

2=

1=n2

200

En la cual, los n, son las raíces de k

Whnn

2ctg (5.3.10)



131


5.4 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIALPARA UNA LONGITUD INFINITA

INTRODUCCIÓN

En este problema, la solución por separación de variables no es posible porque nose puede transformar en una ecuación de Sturm-Liouville, puesto que la solucióntiende a un valor asintótico para x grande; por lo que se intenta otro tipo de solu-ción, con la idea de que se convierta en una ecuación diferencial ordinaria:

ENGLOBANDO LAS DOS VARIABLES INDEPENDIENTES EN UNA SOLA

Este método solamente ofrece soluciones particulares, por lo que no se generaliza para la solución de ecuaciones diferenciales parciales.



2

2

x

T

t

T

(5.1.3)

con = k/ C P m2/s


Se varía una de las condiciones de contorno, para x, con respecto al ejercicio ante-rior (Sec. 5.2); con el propósito de observar la aplicabilidad del método.

con T W >> T

a t = 0 T = T 0 x Condición inicial

a x = 0 T = T W t Condición esencial

a x T = T : Finito t Condición asintóticaa t Estado estacionario x Condición de estabilidad

UNIÓN DE LAS VARIABLES

Luego, se intenta la solución del tipo:

, x t T

Con



132


m xt En la que, es la variable globalizada, que representa a T por medio de una varia-

ble y de un parámetro m, a evaluar.

Para sustituirla se debe derivar implícitamente:

x x

T

d

d

d

dmt

2

22

2

2

2

2

d

d

d

d

x x x

T

2

22

d

d

mt

d

d

d

d 1

mmxt

t t

T

d

d1 t m

Al sustituirlas en la ecuación del modelo, 5.1.3

2

221

d

d

d

d

mt t m

Se define la solución para el caso en que m -1/2

d

d

2d

d2

2

(5.4.1)


Resolviendo la ecuación, por sustitución

4exp

d

d 2

1TE C (5.4.2)

Integrando otra vez

20

21 d)4/exp( TE CTE C C

(5.4.3)

Nota: La función error se define como

x

uu x0

2 d)exp(2

)fer(

confer(0) = 0 y fer() = 1



133


Por lo que, sustituyendo las relaciones para y , la ecuación queda

212

fer TE TE C t

xC T

Con las condiciones de contorno

Para x = 0 T W = C TE1 ( )1/2 fer 0 + CTE2

para t = 0 T 0 = CTE1 ( )1/2 fer + CTE2

La solución, final de la ecuación es :

t

x

T T

T T

W

W

2fer 0 (5.4.4)

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CON TRANSFORMADAS DE LAPLACE

También se puede emplear transformadas de Laplace, lo cual sería más sencillo.Aplicando las Trasformadas de Laplace en la variable tiempo, de la ecuación 5.1.3

t T = 2

2

xT

Si T T ~

Entonces

2

2

0

~~

x

T T T s

t

Reordenando, se convierte en una ecuación ordinaria

02

2 ~

d

~d T T

s

x

T (5.4.5)

Resolviendo esta ecuación, por métodos convencionales

s

T x

sC x

sC T TE TE

021 expexp

~

(5.4.6)

(NOTA: Mejor en términos de la función exponencial y no de funciones hiperbólicas)

Lt

Lt

L t



134


Con las condiciones de contorno, se evalúan las constantes:

x T = Existe Existe~

T 01 TE C

x = 0 T = T W

s

T T W ~

s

T

s

T C W

TE 0

2

La ecuación queda

s

T x

s

s

T T T W 00 exp~

(5.4.7)

La transformada inversa, con ayuda de un cuadro de transformadas, es,

t xT T T T W 2fer 1

0

0 (5.4.8)

Que es la misma ecuación 5.4.3

5.5 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL

POR MÉTODOS NUMÉRICOS

INTRODUCCIÓN

Cuando no es posible obtener la solución analítica se emplean varios métodosnuméricos o gráficos. El uso de cálculo automático facilita la resolución de

problemas por este método.

En uno de los métodos se emplean diferencias finitas para aproximar las derivadas;

y cuanto más pequeña sea esta diferencia, mejor será la estimación de la solución.Existen otros métodos para usar exclusivamente con ordenadores digitales, comolos métodos con elemento y con volumen finito.

A manera de introducción a estos métodos, se estudia el método de diferencias finitas, en forma simplificada y su versión grafica, con la esperanza de que el lector prosiga con este tema en un curso de Métodos numéricos.



135




2

2

xT t T (5.1.3)

con = k/ C P m2/s

Si la pared es de arcilla diatomeas y cemento refractario, de 50 mm de espesor,inicialmente se encuentra a 300 K y de pronto una de sus caras se pone en contactocon un medio a 1000 K, mientras que la otra se mantiene en 300 K. Determine eltiempo en que un punto situado a 40 mm de la cara caliente, alcanza los 330 K.

DatosDifusividad térmica del material = 2,1 10-7 m2/sCapacidad calorífica del material C P = 0,952 kJ/kgDensidad del material = 1250 kg/m3 Coeficiente de película del ambiente h = 20 W/m2 K


Los datos numéricos de las condiciones de contorno, para el ejercicio anterior (Sec.

5.1 y 5.3), sonCon Tf = 1000 K

a t = 0 T = 300 K x a x = 0 q x x=0 = h (T x=0 T ) t a x = 0,05 m T = 300 K t a t Estado estacionario x

APLICACIÓN DE LAS DIFERENCIAS FINITAS A LA ECUACIÓN

Para establecer las diferencias finitas, dentro del material de la placa, se escogen n puntos o divisiones para el espesor, espaciadas x, y m intervalos de tiempo, t ; conayuda de su representación gráfica.

2

,1,,1,1,

δ

2

δ x

T T T

t

T T ji ji ji ji ji

(5.5.1)



136


Con el propósito de resolver la ecuación diferencial, se formula un sistema deecuaciones lineales, que genera una matriz tridiagonal para los n m puntos, con lasiguiente relación de recurrencia, para los valores de la temperatura, T ,

ji ji ji ji T x

t T T x

t T ,2,1,121,δ

δ21δ

δ

(5.5.2)

La solución es estable, termodinámica y matemáticamente, para:

2

1

δ

δ2

x

t (5.5.3)

Escogiendo,

t / x2 = 1/2 (5.5.4)

La ecuación 5.5.2 queda

2,1,1

1, ji ji

ji

T T T

(5.5.5)

El valor para un tiempo t + t , representa el promedio alrededor de los puntosnodales, en un tiempo t .

t

x

i, j1 i1, j1

i1, j

i1, j1

i1, j1

i1, j

i, j1 i1, j1

i, j

x

t

El punto de i corresponde al valor en x y el j para el de t .Lo que genera un nodo i, j centrado.



137


Y las condiciones de contorno definen, finalmente, la solución. Las dos cotas proveen los valores extremos, con las que se forma un sistema de ecuaciones tri-diagonal.

En este caso, considérese que la pared en contacto con el ambiente, es la condiciónlímite cuando, x = 0, entonces

f x x

xT T h

t

T k q

0

00

en diferencias finitas

f j j j T T h

x

T T k

,0

,1,0

δ (5.5.6)

Despejando T 0, j

k xh

T k xhT T f j

j /δ1

/δ,1,0

(5.5.7)

En la otra cara x = W = 0,05 m , entonces T = T W = 300 K y

T W , j = T W (5.5.8)

Ambas condiciones se cumplen para todo valor de t .

SOLUCIÓN NUMÉRICA

Con el propósito de ilustrar el método se toma

n = 5 x = 0,01 m

En la práctica se usa un valor grande, con el propósito de que el espaciado sea pequeño y así aumentar la precisión, para usar ordenadores digitales.

Para el primer valor se usa, la ecuación 5.5.6, con los datos suministrados

J/kg952kg/m1250/sm102,1

m0,01 K W/m20δδ327-

2

P C

xh

k

xh

80,0δ

k

xh



138


La recurrencia se muestra en el siguiente cuadro

80,01

K 1000080,1,0

j

j

T T K

2,1,1

1, ji ji

ji

T T T

T 5, j = 300 K

i( x) j(t )

0 1 2 3 4 5

0 300 300 300 300 300 3001 611 300 300 300 300 3002 698 456 300 300 300 3003 722 499 378 300 300 3004 750 550 399 339 300 3005 764 575 444 350 319 3006 780 604 462 382 325 300

7 790 621 493 394 341 3008 801 641 507 417 347 3009 808 654 529 427 358 300

En el cuadro se observa que la posición n = i = 4, (0,04 m), alcanza 330 K en elintervalo, j = 6 (6,3 interpolando).

/sm102,12

m0,016,3

2

δδ

27-

22

xnt nt

Con lo que la respuesta es

t = 1,5 ks = 42 min

SOLUCIÓN GRÁFICA O DE SCHMIDT

La forma gráfica de resolver esta ecuación se conoce como “ Método gráfico de

Schmidt ”.

Usando cinco divisiones de x = 0,01 m

Y la condición de contorno, de la ecuación 5.5.6, despejada de la siguiente manera:

x

T T

hk

T T f

δ/1,11,01,0

(5.5.8)



139


De tal forma que k /h, es una especie de longitud o un tramo antes de la pared.

K W/m20

J/kg952kg/m1250/sm102,12

32-7

h

C

h

k P

k /h = 0,0125 m (5.5.9)

Para los puntos intermedios,

K 2

,1,11,

ji ji ji

T T T

Con lo que se construye el gráfico. Obteniéndose los mismos resultado numéricosque con el método anterior.

x, mT 0=300

T =1000

100

0,01

T , K

T 1,1

T 1,2

(0) (1) (2) (3) (4) (5)

k /h

T 2,1

x=0 =0,05

T 0,2

T 0,1



140


5.6 EJERCICIOS

5. 1. Resuelva la ecuación de onda para una banda fija en sus extremos, que parte

del reposo estirada en forma de semicírculo.a) Usando exclusivamente trasformadas de Laplace.

b) Usando exclusivamente el método de separación de variables.

2

2

2

2

t

ya

x

y

y(0, t ) = 0 y( L,t ) = 0 y/t ( x,0) = 0 y( x,0) = h sen( x/ L)

5.2. Encuentre la variación de la temperatura con el tiempo y la longitud, axial, enuna barra de largo L, cuyas superficies laterales están aisladas. Inicialmente latemperatura es T 1 y de pronto, uno de sus extremos no aislados, se cambia a T 0,manteniéndose así indefinidamente, y el otro extremo está a una

a) temperatura T 0. b) longitud "infinita".

5.3. Defina la distribución de temperaturas con la posición, en estado estable, parauna placa rectangular, plana y homogénea. La longitud de ella es A, su ancho B, suespesor C y está aislada por las caras superior e inferior. La temperatura de uno desus bordes se cambia a T

0( x), mientras que los otros tres se mantienen en T

1.

5.4. Obtenga la variación de la temperatura con el tiempo y la posición, radial, enun material de forma cilíndrica y de longitud "infinita", con conductividad térmicaconstante. Si, la temperatura inicial en toda la masa es T 0 y

a) la superficie curva cambia, de pronto, a una temperatura T 1, que semantiene constante.

b) de pronto se sumerge en un medio con temperatura T f y coeficientede película h.

5.5. Encuentre la variación, con el tiempo y la posición, de la concentración deuna sustancia A que se difunde a lo largo de una barra de longitud L y radio R.Considere que la masa sólo se mueve por difusión, que no tiene flujo radial y que lasuperficie lateral de ella, está impermeabilizada. En el tiempo cero, se tiene unaconcentración de A de C 0; de pronto, una cara se pone en un medio que genera unaconcentración de C 1 y la otra está a una

a) concentración C 2. b) longitud "infinita.



141


5.6. Una sustancia A se difunde dentro de otro material, con forma de esfera deradio R. Encuentre la variación de la concentración de A con el tiempo y la distan-cia desde el centro. La sustancia se encuentra a una concentración inicial de C 0,dentro de toda la esfera; luego, se coloca en un medio que mantiene la concen-

tración en su superficie exterior en una cantidad despreciable.

5.7. Una de las soluciones propuestas al problema de impermeabilizar un tubo"sólido" de material poroso, de longitud, L, "infinita" y radio R, consiste en ponerloen contacto con un barniz (resina), A, durante un tiempo dado, extraerlo y luegosecarlo. Para realizar estudios económicos se necesita conocer la absorción de laresina con el tiempo y el radio Considérese que al inicio el tubo no contiene resina,durante el tiempo de contacto, siempre habrá resina en el exterior y su densidad es

, el coeficiente global de difusión efectivo es D, la porosidad es (razón entre el

volumen del espacio libre al volumen total) y se conoce la concentración de Aa) en la pared externa, . b) en el medio que lo rodea, el cual posee un coeficiente de transfe-

rencia de masa, para A, de k C .

5.8. Una película de líquido, de longitud L "infinita" y espesor constante W , ori-ginalmente reposa sobre un plano horizontal. De pronto, se pone en movimientodebido a una diferencia de presión, P L P 0. Determine el perfil de velocidad delfluido, respecto al eje perpendicular al plano, con el tiempo, si éste se desplaza conrégimen de flujo laminar.

5.9. Un fluido está almacenado en un tubo "muy largo" en posición vertical, conlongitud L y radio R. De pronto, el fluido, se somete a una presión P 0 a la entrada ya una P L a la salida. Determine el perfil de velocidad con respecto a la distanciaradial y el tiempo. Considere que el flujo es incompresible y cumple la Ley deViscosidad de Newton.

5.10. Determine la relación de la temperatura con el tiempo y la posición, dentro deuna placa de espesor W , extendida indefinidamente a lo largo y a lo ancho. La cual

tiene, inicialmente, una temperatura T 0. De pronto, se enciende una fuente quegenera energía a razón de S kW/kg, en toda la masa, mientras las temperaturas ensus dos caras se mantienen en T 1.

5.11. Una sustancia A, lleva a cabo una reacción del tipo A B dentro de una esferade material catalítico, de radio R. Al inicio, no hay masa de A dentro de la esfera y de

pronto, se sumerge en un fluido, de tal forma que la concentración, de A, en la super-ficie se mantiene indefinidamente en C R. Obtenga el perfil de concentraciones con elradio, en estado transitorio, si la velocidad de reacción se puede aproximar como de

a) orden cero. b) primer orden para A.



142


5.12. Encuentre el perfil de temperatura con respecto al tiempo, a lo largo de unaaleta recta; con un espesor W , un largo L y un ancho, "infinito", A. La aleta estásumergida en un fluido y al inicio, posee una temperatura igual que la del medio, T f .De pronto la temperatura de su base cambia a T 1, permaneciendo constante por un

tiempo dado. Considere que las propiedades del material de la aleta: su conduc-tividad térmica k , su capacidad calorífica c y su densidad , así como, el coeficientede película del medio, h, se mantienen prácticamente constante.




CAPÍTULO 6

ANÁLISIS DE PROCESOS EN ETAPAS

con parámetros constantes

INTRODUCCIÓN

En Ingeniería Química se utilizan frecuentemente procesos en etapas, que son objeto de estudio en esta unidad. Se utilizan para aprovechar diversas circunstancias,en especial el equilibrio termodinámico, para realizar operaciones químicas y deseparación. Los modelos matemáticos que describen los sistemas en etapas generan

ecuaciones, algebraicas o diferenciales, en diferencias finitas. En este capítulo seestudian procesos en etapas que producen ecuaciones en diferencias finitas, linealesy de coeficientes constantes.

ECUACIÓN EN DIFERENCIAS FINITAS, LINEAL Y DE COEFICIENTES CONSTANTES

Ecuación complementaria 012 nnn qy py y

usando el operador E : 02 n yq pE E

factorizando 021 n yE E

la solución es nTE

nTE n C C y 2211

Casos:raíces repetidas: 1 = 2 = n

TE TE n nC C y 21

primer orden: 1 = , 2 = 0 nTE n C y

raíces imaginarias,si ir i exp nC nC r y TE TE

nn sencos 21

donde: 2122 r arctan

Es válida para orden superior.

La solución particular se calcula por medio de coeficientes indetermi-nados, operadores inversos o prueba y rectificación.



144

Análisis de procesos en etapas G. Chacón V.

6.1 EXTRACCIÓN O ABSORCIÓN

SISTEMA

DescripciónSea un sistema de N separadores en serie para una sustancia A, que sedistribuye entre dos fases inmiscibles, con los flujos respectivos en con-tracorriente. La fase aceitosa fluye a razón de E kmol/s, rico en el soluto,con una concentración a la entrada de Y 0 kmol de A/kmol de aceite y laacuosa entra con un flujo de R con una concentración de X N +1 kmol deA/kmol de agua. Encuentre una relación entre la concentración de solutoy el número de la etapa.

Volumen de control


Variable independienten: número de la etapa

Variable dependiente X n : concentración de soluto en la fase recuperadora, en la etapa n,

kmol de A/kmol de solvente recuperador.

Variable intermedia

Y n : concentración de soluto en la fase extractora, en la etapa n,kmol de A/kmol de solvente extractor.

Variables fijasE : flujo de la fase extractora, sobre la base libre de soluto, kmol/s.

R : flujo de la fase recuperadora, en la base libre de soluto, kmol/s.

Parámetrom : coeficiente de distribución o reparto entre fases.

E Y 0

1 n N

E Y 1 E Y n-1 E Y N -1 E Y N

R X 2 R X n R X 1 R X n+1 R X N R X N +1

E Y n

· · ·· · ·· · ·

· · ·

NOTA: Lo que sale, lleva el número de la etapa y lo que entra, el de la anterior.Las entradas a todo el sistema lleva el número 0 o X N +1, que son etapas ficticias.



145



Relación de equilibrio entre fases Y * = m X

El coeficiente de distribución es función

de la concentración y la temperatura m = m( X , T )



2.- Fluidos perfectamente inmiscibles

3.- Variación despreciable de los parámetros con la concentración y latemperatura, m = constante

4.- Agitación perfecta, la masa es uniforme

5.- El valor del volumen del recipiente es mucho mayor que el del flujode masa

6.- Razones de flujo constantes

7.- Los flujos de salida, en cada etapa, están en equilibrio de fases.


Aplicando el principio de conservación a la de masa de la sustancia A, en la etapa n del proceso, se tiene:


Velocidad de acumulación de masa VAmasa 0 (estado estacionario) Flujo de entrada de masa FE masa E Y n-1 + R X n+1

(kmol/s) (kmolA/kmol) kmolA/s Flujo de salida de masa FS masa E Y n + R X n

(kmol/s) (kmolA/kmol) kmolA/s Rapidez de producción de masa RPmasa no hay Rapidez de consumo de masa RC masa no hay

En términos de diferencias finitas, el balance de masa queda:

011 nnnn RX EY RX EY

Aplicando las relaciones constitutivas, las condiciones del modelo y ordenando



146


011 nnnn X R

Em X X

R

Em X (6.1.1)

Agrupando factores constantes,

Factor de absorción = m E / R (Factor de recuperación o extracción = R m/E )

Con lo que 01 11 nnn X X X (6.1.2)

Trasladando las etapas para facilitar la solución

01 12 nnn X X X (6.1.3)


La ecuación 6.1.3 en diferencias finitas, es del tipo lineal de coeficientes cons-tantes. Aplicando el operador .

012 n X E E

Las raíces de la ecuación 012 E E son:

1 = y 2 = 1

La solución es

21 TE n

TE n C C X (6.1.4)

Para evaluar las constantes de integración se emplean las siguientes condiciones decontorno:

Cuando n = 0 entonces X = Y 0/m

cuando n = N +1 entonces X = X N +1

Y se obtiene la relación operacional

1

1

/

/1

01

0

N

n

N

n

mY X

mY X

(6.1.5)



147


6.2 REACTORES EN SERIE

SISTEMA

DescripciónPara un conjunto de N reactores continuos, tipo tanque agitado (RCTA),dispuestos en serie, se desea determinar la relación entre la concentracióndel reactivo A y el número de la etapa. Considere que se lleva a cabo unareacción irreversible con una cinética de primer orden para la sustancia Ay que el flujo de entrada es de Q m3/s.

Volumen de control


Variable independienten: número de la etapa.

Variable dependienteC n : concentración del reactivo A en cada etapa, kmol de A/m3.

Variables fijasQ : flujo de entrada al sistema, m3/sV : volumen de cada reactor, m3 T : temperatura, K.

Parámetrosk : coeficiente de la cinética de reacción, s-1 : densidad de la solución, kg/m3.

· · · · · ·

Q C 0 Q C n-1

Q C 1

Q C N -1

Q C n Q C N

(n) N1



148



Cinética de la reacción (- R A) = k C

Coeficiente de velocidad de reacción k = k(T , C0)

Densidad = (C , T )


1.- Variación despreciable de los parámetros con la concentración y latemperatura, k y , constantes

2.- Agitación perfecta, masa uniforme

3.- El valor del volumen del recipiente es mucho mayor que el del flujo

de masa4.- Razón de flujo constante

5.- Los parámetros, variables fijas y condiciones de operación soniguales en todos los N reactores.


Aplicando el principio de conservación a la masa de la sustancia A, en la etapa n del proceso, se tiene:


Velocidad de acumulación de masa VAmasa d (V C n)/d t (m3) (kmolA/m3)(1/s) kmolA/s

Flujo de entrada de masa FEmasa Q C n-1 (m3/s) (kmolA/m3) kmolA/s

Flujo de salida de masa FS masa Q C n (m3/s) (kmolA/m3) kmolA/s

Rapidez de producción de masa RPmasa no hay

Rapidez de consumo de masa RC masa (- R A) V (kmolA/m3 s) (m3) kmolA/s

En términos de diferencias finitas, el balance de masa queda:

V kC QC QC

t

VC nnn

n 1d

d (6.2.1)



149


Con las condiciones del modelo, se tiene

nnn C k

V

QC

V

Q

t

C

1d

d

Para resolverla, es más práctico trasladarla a n 1

11

d

d

nnn C k

V

QC

V

Q

t

C (6.2.2)

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA EL ESTADO ESTACIONARIO

La acumulación, en este caso es nula y la ecuación 6.2.2 queda:

01

nn C V

QC k

V

Q (6.2.3)

Agrupando constantes = 1 + k V /Q, adim

La ecuación 6.2.3 en diferencias finitas, es del tipo lineal de coeficientes constan-tes. Aplicando el operador .

01

nC E

(6.2.4)

La raíz de la ecuación 01 E es: = 1/

La solución queda:n

TE n C C

1 (6.2.5)

La constante de integración se evalúa con la siguiente condición de contorno

Cuando n = 0 entonces C = C0

y el resultado es:

n

0

n

Q

kV1

C

C

(6.2.6)



150


SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA EL ESTADO TRANSITORIO(ARRANQUE DE LOS REACTORES)

El proceso es representado, entonces, por la ecuación 6.2.2.

0d

d1

1

nnn C

V

QC k

V

Q

t

C (6.2.2)

Para resolverla se reduce la expresión diferencial a una ecuación en diferencias,mediante las transformadas de Laplace.

Si C C ~

Entonces

0~~~ 1011

nnt nn C

V QC k

V QC C s

Considerando la condición de contorno,

Cuando t = 0 Cn = 0 n

Y agrupando constantes = V /Q s

= 1 + k V /Q = 1 + k s, Adim.

Se tiene 0

~~1 nn C C s

Que es una ecuación en diferencias finitas, del tipo lineal de coeficientes constan-tes. Aplicando el operador .

0~1

nC s

E

La raíz de la ecuación es: = 1/( + s)

Por lo que la solución es

nTE

ns

C C

~

La constante de integración se evalúa con la siguiente condición de contorno

L t



151


Cuando n = 0 entonces C = C 0 ys

C C n

0~ con lo que

s

C C TE

0

Obteniéndose

nnssC

C

0

~

(6.2.7)

Efectuando la trasformada inversa de Laplace, con ayuda de un manual de fórmulasmatemáticas

t n

t t

C

C t n

nn d!)1(

)/(exp0

1

0

Calculando la integral, también con ayuda de un cuadro de integralest

n

mmn

mmnnn

m

nt t

nC

C

0

1

01

1

0 !)(

!)1(

)/(

)1(

)/(

)/(exp

!)1(

Efectuando operaciones y simplificando

1

00 !

//exp1

/1

1 n

m

m

nn

m

t k V Qt k V Q

QV k C

C (6.2.8)

6.3 EJERCICIO

Estudiar y analizar las secciones “Balance de materia” y ”Etapas”, capítulo 5,

del libro: Treybal, R. E. Operaciones de Transferencia de Masa. Libros McGraw Hill, México, l988.




CAPÍTULO 7

COMPROBACIÓN DE UN MODELO

INTRODUCCIÓN

El propósito de esta sección es mostrar las técnicas del análisis para la compro- bación de un modelo para la regresión, al comparar los valores con los datosobservados, experimentales o empíricos. Se consideran aquí solamente los modelos matemáticos.

Este análisis, es la etapa en que se apoyan las actividades del proceso de obtener unmodelo, curva o función para regresión, con el propósito de juzgar lareproducibilidad del modelo, su bondad del ajuste, eficacia y utilidad . Con ello se

pretende acumular criterios cuantitativos, que puedan usarse para tomar decisionescuando se verifica, evalúa, clasifica, controla, mejora, etc. el modelo; de acuerdocon las necesidades que el usuario tenga como meta.

Los otros temas o actividades del modelado de procesos o fenómenos de sistemas físicosy de regresión, no se cubren en este capítulo. Pero, para ubicar el tema, expuesto aquí,

en su contexto, se presentan las definiciones siguientes.

7.1

VARIABLES Y REGRESIÓN

Debido a que los diferentes autores usan diferente nomenclatura, se escoge aquí una y,cuando se considere necesario, se usan otros nombres, de seguido, aunque searedundante.

Variable

Es una propiedad, característica o atributo que define uno y sólo un estado, de lamateria que compone un sistema.

Variable cuantitativa

Es la variable mensurable. Es decir, que se obtiene por comparación con un patróncalibrado para tal efecto; o bien, evaluable por la cuenta o proporción de unatributo, es un número.



153


Variable cualitativa

Es la variable que describe un atributo.

Variable independiente, causa o estímulo

Es aquella variable que está determinada por el medio o alrededor y puede sercambiada por influencias del mismo. Puede ser cualitativa o cuantitativa.Ejemplos

Variables cuantitativas: temperatura, presión, volumen, flujo de entrada, concentración,velocidad, etc.

Variables cualitativas: clase de materia prima, casa fabricante, parcela, zona, tipo dereactor, operario, etc.

Variable dependiente, efecto o respuestaEs aquella variable que está delimitada por las interrelaciones que se dan en un

proceso o fenómeno. Para la formulación de modelos debe ser cuantitativa.EjemplosDensidad, concentración, resistencia a la ruptura, dureza, rendimiento, color,viscosidad, porcentaje de defectuosos, fracción de elementos aceptados, cantidadtolerada, elementos producidos por unidad (hora, parcela, lote, metro, etc.).

Coeficientes o parámetros

Son los factores que se encuentran en las relaciones constitutivas o en los modelos yque forman la función entre las variables. Pueden afectarse con las variables del sistema.

Regresión

La regresión es la acción con la cual se obtiene el valor de una variable depen-

diente, a partir de otras variables independientes. De acuerdo con su empleo, tomadiferentes nombres: estimación, interpolación, predicción, proyección, diseño,función de control, etc. Las cuales, presentan diferentes necesidades de exactitud y

precisión para representar la información en estudio.

Dependencia

La dependencia es la declaración de que existe una relación entre la causa definida,variable independiente, y el efecto obtenido, variable dependiente. Se establece

por razones o demostraciones científicas, tecnológicas, intuitivas, etc.

Correlación

La correlación es la afirmación de que al variar una variable, otra varía. Noestablece que la relación o correlación entre las variables sea aceptable o no,simplemente que “covarían”. Tampoco indica que, necesariamente, existe depen-

dencia entre ellas.



154

Comprobación de un modelo G. Chacón V.

7.2 MODELO

Modelo

Es la descripción de la relación entre la variable dependiente y las variables independientes, que se consideran que lo afectan más significativamente. Se expresa enforma de símbolos: verbales, escritos, imágenes, esquemas, relaciones funcionalesmatemáticas (gráficos, cuadros o funciones analíticas), etc.

La función analítica, f( x) , , ,, propuesta para la regresión, por medio de unavariable independiente, x, se conoce como modelo matemático, o bien, función ocurva de regresión. En la cual, , , , · · ·, son los coeficientes o parámetros de laregresión

Se considera que el valor real, y, es el calculado con el modelo y un residuo .

,,,f x y (7.1)

El residuo , se espera que posea las siguientes características:

-

Distribución de probabilidad aproximadamente normal, con media 0 ydesviación estándar

,0, NPr (7.2)

-

Es independiente de (o no existe covarianza con) cualquier variable, depen-diente o independiente o con ella misma, autocovarianza.

0,Cov (7.3)Donde: x, y, , etc.

-

Representa la desviación natural, al azar, no explicada o no conocida, del proceso o fenómeno

-

No incluye la desviación del modelo con respecto a los datos observados.

Formulación del modelo

Esta es una actividad en la cual el investigador propone un modelo, con el propósitode describir un proceso, que se lleva a cabo en un sistema, un fenómeno o un casodado, de acuerdo con los objetivos propuestos, Box et all (2005), Russell y Denn(1976), Mickley et all (1957), Davis (1965).

El modelo es el producto del esfuerzo por describir el sistema en estudio medianteun conjunto de hipótesis, descripciones y aproximaciones que generan la relaciónentre las variables; la cual, es útil para resolver el problema. Puede ser satisfactorio



155


o no, según sirva para hacer las predicciones o realizar las tomas de decisionesesperadas.

Por otro lado, la formulación del modelo, es el resultado de un proceso iterativo deformulaciones, análisis, comprobaciones, aplicaciones, diagnósticos y verifica-ciones, hasta satisfacer las necesidades para un uso dado (calidad ).

Tipos de modelo

Las formas que se suelen emplear para plantear el modelo, que a su vez puedeservir de clasificación para los mismos, Bogarín, (1994), Box et all (2005), son

Modelo mecanicista o teórico

El modelo mecanicista está formulado sobre la base de fundamentos científi-cos, tecnológicos y en paradigmas que permiten establecer en forma intuitiva ylógica las relaciones de causa efecto entre las variables y los mecanismos queintervienen un proceso o fenómeno de interés.

Se utiliza cuando el caso que se estudia, se conoce lo suficiente como paradescribirlo por medio de una función entre sus principales variables.

Presenta las siguientes características, algunas son desventajas como:-

Normalmente, son ecuaciones diferenciales, algunas veces de difícilsolución o sólo con soluciones numéricas

-

En muchos casos, las soluciones, presentan funciones que requieren detécnicas complejas o iterativas, para obtener los coeficientes

- En algunas soluciones, la variable dependiente no queda en formaexplicita

- En la formulación se pueden cometer errores de concepto, aprecia-ciones físicas y otros razonamientos que generan modelos falsos, quecompensan errores o son ineficaces.

Pero también, ofrece ventajas como:- Facilita la comprensión de los procesos y las relaciones de causalidad

entre las variables que intervienen en un proceso -

Permite describir el fenómeno o proceso en una gama más completa devalores, incluyendo las condiciones de frontera

- Como consecuencia de lo anterior, permite la posibilidad de realizarextrapolaciones confiables

- Permite realizar generalizaciones, para otros casos y sistemas análogos- Permite una representación del modelo, en forma más compacta, es

decir, sólo con las variables y coeficientes estrictamente necesarios



156


- Permite una representación cercana a la realidad, si el modelo es bienfundado y verificado

- En muchos casos, se pueden obtener los coeficientes del modelo porconsideraciones teóricas, al menos su orden de magnitud.

Ejemplos:

Ecuación de Van Hoff para la presión de vapor o saturaciónT P

PSat

Sat

0

ln

Fórmula para el desalojo de un fluido en un tanque cilíndrico, por gravedad t h

h 1

0

Modelo empírico o curva de ajuste

Consiste en proponer un modelo, basado en el comportamiento de los datos

observados, al compararlo con la “forma” de alguna función conocida o unaserie polinomial. Para las técnicas y un conjunto útil de “formas” defunciones, véase las obras de Bronshtein, I. y Semendiaev, K Sexta parte(1982), Hoerl (1954), Ingels, R. M. (1980), Davis (1965), Lipka (1961), Box et

all (1978) y Hyames (2010). Se utiliza cuando:

-

No se conoce el comportamiento (“forma” de la función) de las varia-

bles de interés que describen el sistema- Usar un modelo mecanicista es muy complicado, es costoso o lleva

mucho tiempo

-

El usuario requiere estimaciones poco precisas, aunque con una exacti-tud apropiada- Se desea interpolar o predecir en un subintervalo pequeño o región

inmediata, al valor de la variable de interés.

EjemplosFórmula para el cálculo de la capacidad calorífica de los gases perfectos o ideales conla temperatura

2

2'

T T T C P

Relación entre la viscosidad, V , de la materia prima y la dureza, D, de una pieza

plástica moldeada (con esa materia prima). V D El porcentaje de elongación a la ruptura, E , como función de la proporción de azufre,S , en una pieza de hule vulcanizado.

S E ln

Es práctica común usar polinomios, por la facilidad de obtener sus coeficientes y su familiaridad con la Fórmula de Taylor . Como regla de la experiencia, serecomienda:



157


- Que el polinomio no sea mayor de cuarto grado-

Que no presente oscilaciones (máximos, mínimos y puntos deinflexión) no deseadas, en el intervalo de interés

- Como los modelos empíricos, por lo general, no reproducen bien los datos

fuera de la zona donde se obtuvo los datos experimentales; no usarlos paraextrapolar; a no ser que se pruebe lo contrario.

- No se pueden comparar los coeficientes, aunque el polinomio sea delmismo grado, cuando se usa un método diferente de ajuste o cuando seajustan grupos de datos diferentes, aunque sea unos cuantos.

Tendencias

Establecer una tendencia, consiste en proponer un modelo para la regresión,hacer un análisis grafico del comportamiento y evaluar el coeficiente de co-

rrelación para dicho modelo; por ello se suele llamar análisis de correlación.Se utiliza cuando

- Los datos presentan una dispersión tal que, no se puede intuir una función de regresión que los ajuste satisfactoriamente

- También es muy útil, en las secuencias de investigación con muchasvariables, para “tamizar” aquellas que tienen importancia, de las que no

presentan un efecto significativo- Se trabaja en un intervalo relativamente pequeño, de las variables, de

tal forma que su relación se aproxima bien con un modelo simple.Ejemplos:

Gráficos de control con variación de la media, pronósticos de ventas, respuestas deequipos industriales, análisis de desviaciones, efectos pequeños de la temperatura(T 10 K) sobre la capacidad calorífica, la presión de vapor, la viscosidad, etc.

Los modelos para formular tendencias, más populares son con dos coeficien-

tes: el lineal, el de la potencia, el logarítmico y el exponencial.

Modelos cualitativos

Es el que se utiliza para predecir el valor de una variable respuesta con varia-bles independientes cualitativas. Se establece como la suma de la media (estadística) y los efectos de los componentes asociados con las fuentes devariación, provocadas por las variables independientes.Ejemplos:Para una variable independiente y Para dos variables independientes , y

Donde : media de las observaciones , : efectos provocado por cada variable independiente sobre la dependiente ( ,): efecto combinado producido por dos variables.



158


La obtención de este tipo de modelo y el análisis de comprobación, forma partede la disciplina Modelos y superficies de respuesta, empleado en el Diseño

estadístico de experimentos y se puede encontrar en obras como Box et all (2005), Spiegel et all (2001), Chacin (1998), Box y Draper (1987).

Modelo semi-empírico

Consiste en utilizar un modelo teórico, que no ajusta como se desea a los datosy hacerle modificaciones, ajustándolo para mejorarlo.

Ejemplos:Ecuación para la presión de vapor(Van Hoff-Cox-Antoine-Kirchof-Miller-Willsak-Thodos)

T T

T P

PSat

Sat

lnln

0

Fórmula para el desalojo de un fluido en

un tanque cilíndrico, por gravedad

32

0

t t t

h

h

También, se puede obtener un modelo de este tipo, utilizando la técnica degrupos adimensionales de las variables o del análisis dimensional de modelosmecanicistas.

Ejemplos:Ecuación de Stokes (1850) y Osen (1910) para la velocidad de caída de una partículaesférica dentro de un fluido viscoso.

1f 1

Re ReFr B

212

3118

v Dg Dv B

Ecuación de Seider y Tate (1936) para el coeficiente de transferencia de calor de unflujo de fluidos en régimen laminar, dentro de un conducto.

14,031

86,1

w

b

L

DPr Re Nu

14,031

86,1

w

b

b

bPb

b

bb

b L

D

k

cv D

k

Dh

7.3

AJUSTE

Ajuste

Una vez que se ha propuesto un modelo para el estudio en cuestión, la etapasiguiente es el cálculo de los coeficientes que conforman la función, a partir dedatos observados; acción que se suele llamar, obtener la curva de ajuste o deaproximación, o bien estimación de los parámetros.



159


Entre los métodos que se pueden utilizar en esta actividad se encuentran:Polinomios de Newton, de Lagrange, prueba y rectificación, valores promedios,mínimos cuadrados, análisis gráfico, etc.

El método más utilizado para obtener los parámetros de la curva de regresión es elde mínimos cuadrados. Este tema es tratado en Miller y Freund (1993), Daniel(1980), Russell y Denn (1976), Spiegel et all (2001), Chacin (1998), Box y Draper.(1987); adelante se presenta un resumen de la teoría de mínimos cuadrados.

En los modelos mecanicistas, los coeficientes pueden obtenerse por consideracionesteóricas, en cuyo caso, esta etapa se ocupa para hacer comparaciones, dar apoyo yfortalecer posiciones respecto al modelo, verificarlo, graduar, calibrar o controlar loscoeficientes y, así, proponer una representación más cercana a la realidad.

Ajuste con transformación de variables

Cuando:- se tienen variables que, presentan un comportamiento o naturaleza cono-

cida- se necesita obtener una variable con varianza estable, estadísticamente- se desea mejorar la reproducibilidad del modelo-

se desea obtener una variación lineal, para facilitar el ajuste de la curva; locual, se denomina “linearización” de funciones

Se suele transformar alguna variable, dependiente o independiente. Esto facilita elanálisis para tomar decisiones o para el cálculo de los coeficientes de la curva parala regresión. En general, lo que se pretende, es que las desviaciones de lasvariables trasformadas se comporten con una distribución de probabilidad lo másnormal posible.

Ejemplos:Temperatura

T w 1

Viscosidad lnw

Altura del líquido en el desalojo de un tanque hw Proporción de casos conformes o favorables pw 100arcosen

0 p 1; 0 w 100

Los criterios para realizar las transformaciones, se pueden encontrar en Hald(1952), Lipka (1961), Mickley (1957), Hoerl (1954) y Bronshtein y Semendiaev(1982), cuatro ejemplos típicos, son:



160


Forma de la función Transformación Resultado

Exponencial y = ·exp( ·x) w = ln( y) w = ln( ) + ·x

Potencia y = ·x w = ln( y); u = ln( x) w = ln( ) + ·u

Recíproca y = + (1/ x) u = 1/ x y = + ·u Hiperbólica y = x/( + · x) w = 1/ y; u = 1/ x w = ·u +

Ajuste por medio de mínimos cuadrados

Debido al uso de esta técnica, se presenta aquí la teoría, sin los detalles y uso, quese pueden encontrar en cualquier obra de Estadística, también en Bogarín (1992),Hirata y Ohe (1975), Russell y Denn (1976). Draper y Smith (1981). Por otro lado,se encuentra ya instalada en hojas de cálculo electrónico y programas especia-lizados y de métodos estadísticos.

Este método se emplea para calcular los coeficientes de una función dada, que seajusta a los datos de un conjunto de pares ordenados, ( y, x) de la forma

,,,

f

x y Modelo

Utiliza las distancias “verticales” entre la curva y los datos experimentales (de lavariable dependiente), llamadas diferencias o residuos.

,,,, )f( iiObsi x ye Considera que el mejor un grupo de coeficientes, de la función, es la que se hacemínima la suma de los cuadrados de dichos residuos (de allí el nombre).

0)f(2

1,,,,

1

2

n

i

iiObs

k

n

i

i

k

x ye

Para todo coeficiente k : k = 1, 2, ··.·,

Que es un sistema de ecuaciones no lineales, que se resuelve por métodos

iterativos, tipo Newton Raphson.

Para el caso de una función del tipo lineal o “linearizada”, la solución es más fácil,definiendo

1

332211 ggggghk

k k x x x x x y

Donde h( y) es una función o una trasformada de la variable dependiente y las gk ( x)son funciones o transformadas de la variable independiente. Con lo que se generaun sistema de ecuaciones lineales



161


,1

j k k j

k

A B

Para cada coeficiente j : j = 1, 2, ···,

Con

ik

n

i

i jk j x x A gg1

,

j = 1, 2, ···,

,1

g hn

j k i Obs i

i

B x y

k = 1, 2, ···,

El sistema se resuelve por los métodos clásicos. Como se mencionó, la solución seencuentra instalada en varios programas de ordenador.

Las características del método de mínimos cuadrados, y que limitan su uso, son:-

Considera que la variable independiente posee un error o desviaciónestándar despreciable (comparado con el de la independiente); en otras

palabras, sólo establece estadígrafos para la variable dependiente; conel propósito de obtener relaciones y realizar evaluaciones

- La dispersión o “error”, debido al modelo, es menor en el “centro” delos datos y mayor en los “extremos” y produce oscilaciones en lavariable que atraviesan un número de veces y = 0, según el número de

parámetros.

7.4 COMPROBACIÓN DEL MODELO

Comprobación del modelo

Cuando se ha escogido el modelo y se han evaluado sus parámetros, en forma meca-nicista, arbitraria o por ajuste con los datos observados, el paso siguiente es confrontar

el modelo con la realidad y establecer criterios para evaluarlo, actividad denominadacomprobación, bondad o idoneidad del ajuste.

La definición de residuo, , establecida en la ecuación 7.1, permite realizar análisisestadísticos, Cook y Weisberg (1982), Chatterjee y Price. (1977), Daniel y Woods(1980), Chacín (1998), y tiene las siguientes características:

- Es un instrumento para cuantificar la diferencia con respecto a un patrón(pre) fijado arbitrariamente

-

Permite evaluar cuantitativamente, si la diferencia entre el modelo y losdatos observados (los desviaciones) es significativa o no; si se tiene un



162


valor veraz y eficaz, de la desviación estándar de la población, . Conanálisis tipo prueba de hipótesis, F, 2, etc.

- Utiliza los desviaciones, que “amplifican” el efecto de la regresión, lo que permite realizar análisis gráfica o tabularmente, con mayor facilidad, tanto,

cualitativa, como cuantitativamente- Permite evaluar el riesgo de la decisión tomada, hipótesis-

No establece la relación de causalidad o dependencia, esto lo hace elinvestigador por consideraciones físicas del caso

- Las decisiones son congruentes, si los datos e información, suminis-trados, son representativos

- Se debe tener suficientes puntos, observados, y distribuidos homo-géneamente. Cuando la función presente curvaturas se debe aumentarel número de puntos para esa “zona”

-

Si las desviaciones tienen un valor, absoluto, menor que el especificadoo considerado como “error” experimental, se considera que el modelo es aceptable; lo cual se emplea para comprobar, verificar, etc., elmodelo

- No formula modelos, eso lo hace el investigador-

Genera parámetros que pueden usarse para categorizar y juzgar losmodelos, pero no escoge los modelos, eso lo hace el usuario.

Existen otras pruebas desarrolladas para analizar la bondad de ajuste, especialmente para regresión lineal y multilineal, Draper y Smith (1981), Daniel y Woods (1980),

Chacín (1998). Por otro lado, se pueden hacer análisis cualitativos o gráficos ocualquier otra forma razonable de análisis.

La propuesta de la Estadística a los requerimientos de criterios o parámetroscuantitativos, para que el usuario pueda efectuar pruebas de comprobación delmodelo se muestran en la sección siguiente.

Diagnóstico.

La aptitud para el uso y la satisfacción del usuario (calidad ) del modelo en estudio,se establece evaluando el grado de aproximación de los resultados de la regresión (de las desviaciones) con la variabilidad natural o experimental del proceso o

fenómeno. Para que un modelo sea útil debe de tomarse en cuenta que:- sea eficaz en su propósito u objetivo- tenga sentido físico- sea eficiente en la exactitud deseada, para describir el comportamiento

estudiado- sea matemática y dimensionalmente consistente- sea sencillo y de fácil de empleo



163


- sea completo y consistente- cumpla las condiciones de contorno - represente adecuadamente el proceso y el sistema.

La decisión de si un modelo es aceptable o no, para ciertas condiciones y para un propósito dado, es función del investigador, el usuario y sus pares académicos. Porlo que, deben establecerse metas concretas sobre la precisión, la exactitud y lareproducibilidad, que el modelo debe poseer para representar aceptablemente la realidady satisfacer las necesidades del usuario.

La labor del evaluador es aportar evidencias o pruebas que permitan juzgar, al proponente y al usuario, si el modelo o función de regresión satisface las necesidades para un uso dado y que apoye las estrategias y metodologías empleadas por el proponente, del modelo, para la toma de decisiones, Box et all (2005), Bowker yLieberman (1981), Ingels (1980), Kume (l992). Para ello:

- establece el “error” experimental o natural, para tomar decisiones- somete a prueba los modelos, confrontándolos con los datos observados- critica la competencia del modelo con el sistema, en las diferentes

etapas de su formulación- prueba, compara y verifica diferentes modelos, para que el usuario

pueda escoger-

realiza análisis gráficos de los datos y desviaciones y otros formasvisuales, inspeccionando la información detalladamente

-

aporta y evalúa parámetros cuantitativos: estadísticos, físicos,matemáticos y económicos para comparar, escoger y juzgar la bondad

de ajuste del modelo con los datos observados- intenta, cada vez, de asegurar que los desviaciones se deben al azar y

no a una variable del proceso o fenómeno o a otras causas asignables- verifica los modelos, repetidas veces, analizando nuevos datos.

7.5 PARÁMETROS PARA LA EVALUACIÓN DEL AJUSTE DE UN MODELOCON LOS DATOS OBSERVADOS

Desviación de la estima o precisión

Con la desviación de la estima se pretende evaluar la cercanía entre los valoresobservados y la regresión, hecha con el modelo estudiado o desviación del modelo. Ladesviación, eij, es el valor que se obtiene de efectuar las diferencia entre el valor



164


observado, de la variable dependiente y la regresión, para un valor, correspondiente, de

la variable independiente.

La desviación se relaciona con el residuo del modelo, , Ec. 7.1, y la desviación del

modelo, , propiamente dicha.

ji ji jie ,,,E (7.4)

ji jie ,

2

, VV (7.5)

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Aditivo, kg/m

3

C o n s i s t e n c i a , a d i m

.

Ensayo 1Ensayo 2Modelo

Variación de la estimae j ji ji

s y ye ~,,

nk esk

j

n

i

jie /1 1

2

,

2

Variación de la réplicad j ji ji s y yd ,,

1/1

2

,

2

nk d sk

j

n

i

jid

Variación de las observaciones

y ji ji s y yb ,,

1/1 1

2

,

2

nk bsk

j

n

i

ji y

Media y

j ym j

c j

ei,j

d i,j bi,j

F gura 7.1 Conceptos en e aná s s e a uste e un mo e o a os atosobservados

Variación del modelo Variación de la correlación

m j j j s y ym ~ c j j s y yc ~

222

d em sss

222

e yc sss



165


Sea: j: cada uno de los datos correspondiente a cada variable independiente x j: variable independiente correspondiente a un datok : número, total, de datos ( j)

i: cada una de las repeticiones (ensayos, “corridas”) para cada x j n: número repeticiones (i), para cada x j

yi,j = yObs i, j: variable dependiente observada o experimental

j y~ : regresión, para cada x j

,,,

f j x : modelo

: número de coeficientes o parámetros del modelo.

Se define desviación

,,,,,, f ~

j ji j ji ji x y y ye (7.6)

La desviación de la estima, se, se define, figura 1, como:

nk

e

nk

y y

s

k

j

n

i

ji

k

j

n

i

j ji

e

! 1

2,

1 1

2,

2

~

(7.7)

Las desviaciones, se usan como criterio de comparación de la regresión con los datosobservados, para diferentes análisis y evaluaciones. La definición de desviación de la

estima posee las siguientes características:-

Sólo está definida para la variable dependiente. En su uso se considera quela variable independiente posee un error despreciable

- Amplifica el efecto de la regresión, lo que permite realizar análisis gráficao tabularmente, con mayor facilidad

-

Es una medida del ajuste (precisión): de la regresión, esto es, lavariabilidad aleatoria, o no explicada, más la desviación con respecto almodelo, Ec. 7.5

- Permite usarse para comparaciones y evaluaciones estadísticas

-

Permite intuir comportamientos o definir tendencias con el objeto de proponer modificaciones o “mejoras” al modelo - Se limita su interpretación, física, matemática y estadística, para cuando las

desviaciones tienen el mismo orden de magnitud entre sí.- Cada repetición ( yi,j), de una observación, debe tener un mismo valor de la

variable independiente ( x j)



166


Desviación de la réplica o control

Para obtener un criterio de control, es decir de comparación con la varianza naturalo de la “muestra”, referencia interna, se hacen réplicas de la medición, del proceso

o fenómeno, y con los valores de la variable dependiente observados se estableceun parámetro denominado la desviación de la réplica.

La desviación de la réplica, sd , figura 1, se interpreta como la de una muestra tomada alazar, de una población con varianza,

2; que se considera, aproximadamente, lavariabilidad o desviación de la variable dependiente, de los desviaciones, natural o noexplicada.

22 VE d s (7.8)

La media (de las replicas), para el dato j, es

n

y

y

n

i

ji

j

1

,

(7.9)

La distancia, de la réplica, respecto a la media es

j ji ji y yd ,, (7.10)

para la que se debe tomar en cuenta que, cada observación de yi,j, debe tener un mismovalor de la variable independiente x j,La varianza de cada dato, j, es

111

2,

1

2,

2

n

d

n

y y

s

n

i

ji

n

i

j ji

j (7.11)

Y la desviación de la réplica, sd se define como

k

s

nk

d

nk

y y

s

k

j

j

k

j

n

i

ji

k

j

n

i

j ji

d

1

2

1 1

2,

1 1

2,

2

11 (7.12)

Se puede interpretar, que la desviación de la estima, se, incluye la desviación de la

réplica, sd , más la desviación del modelo, sm2 (Fig. 1).

j j j y ym ~ (7.13)

Con lo que la desviación del modelo es

222d em sss (7.14)



167


Desviación estándar, de las observaciones

La media de todas las observaciones o gran promedio es

nk

y

y

k

j

n

i

ji

1 1,

(7.15)

La variación total es la diferencia entre el valor observado y la media de todas lasobservaciones, como se muestra en la fig. 1.

y yb ji ji ,, (7.16)

Expresada como una varianza es la desviación estándar, s y

111 1

2,

1 1

2

,2

nk

b

nk

y y

s

k

j

n

i

ji

k

j

n

i

ji

y (7.17)

La variación de la correlación, sc, se considera como la diferencia entre el valorestimado y la media de todas las observaciones, fig. 1.

y yc j j ~ (7.18)

Con lo que222

e yc sss (7.19)

7.6 TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE LOS DATOS

Análisis de la dispersión y las tendencias de las desviaciones

Un análisis de desviaciones (Ec. 7.6) o de residuos (Ec. 7.1), que en la práctica produceel mismo efecto, se realiza con el objetivo de inspeccionar el comportamiento de lasdiferencias en cuestión, para juzgar la calidad o bondad de la regresión. Se utiliza,además, para intuir términos que sirvan para mejorar, agregándolos para formular unmodelo, de acuerdo con la tendencia de los desviaciones. Las técnicas para el análisisestán desarrolladas, en detalle, en Ingels (1980), Cook y Weisberg (1982), Chatterjeey Price. (1977), Daniel y Woods (1980), Chacín (1998), Draper y Smith (1981),Hoerl (1954), Gallant (1987).



168


El análisis de desviaciones, consiste en graficar los valores de las mismas en función delas magnitudes de la variable dependiente, las independientes o en cualquier formarazonable. Luego, analizar su comportamiento, basado en los conocimientos que sobreel caso tenga el investigador, y proceder a tomar decisiones con base en ello. En el caso

de que el modelo se comporte adecuadamente, para un propósito dado, el gráfico nodebe mostrar ningún patrón de comportamiento.

En las figuras 7.2 a 7.5, se muestran cuatro casos de la distribución de desviaciones que presentan comportamientos con alguna tendencia de la dispersión de las desviaciones.

La distribución de desviaciones que se muestra en la figura 7.2, representa unadispersión que aumenta al incrementarse el valor de la abscisa. Esto sugiere que lavariable dependiente puede manifestar un comportamiento logarítmico.

En el caso de la figura 7.3, es lo contrario a la anterior, en la que los valores de lasdesviaciones disminuyen, al aumentar los valores de la variable independiente, y tiendea un valor fijo (que puede ser asintótico), lo que podría ser un comportamientoexponencial.

Fig. 7.4. Ejemplo de distribución linealde las desviaciones.

-7

-5

-3

-1

1

3

5

7

0 2 4 6 8

Variable independiente

R e s i d u o

Fig. 7.5. Ejemplo de distribución en formade U o parabólica.

-7

-5

-3

-1

1

3

5

7

0 2 4 6 8


R e s i d u o

Fig. 7.2. Ejemplo de distribución cre-ciete de las desviaciones.

-7

-5

-3

-1

1

3

5

7

0 2 4 6 8


r e s i d u o

Fig. 7.3. Ejemplo de distribución decre-ciente de las desviaciones.

-7

-5

-3

-1

1

3

5

7

0 2 4 6 8


r e s

i d u o



169


En la situación de la figura 7.4, las desviaciones muestran una tendencia lineal. En elcaso de la figura 7.5, se ilustra un análisis que presenta una distribución con forma de U,que sugiere un comportamiento parabólico.

En la figura 7.6, se muestra un comportamiento típico de distribución al azar de lasdesviaciones.

Se debe recordar, que cuando se usa mínimos cuadrados para calcular los coeficientes deun modelo, Sec. 7.3, los desviaciones tienden a ser menores en el “centro” y mayores enlos “extremos”, en valor absoluto o presentar oscilaciones, cuyos “cero” dependen delnúmero de parámetros empleados en la regresión.

Análisis de desviaciones ordenadas

El principio establece que si se tienen una serie de observaciones al azar, n, y se ordenansegún su magnitud, presentan intervalos de probabilidad (fractiles) iguales, Daniel yWood (l980), Miller y Freund (1993). Lo que permite realizar una prueba, en formagráfica, de que los datos están distribuidos, aproximadamente, con una probabilidad

normal. En el tema que se trata aquí, es la distribución de las desviaciones o residuos.

Para realizar esta prueba, lo primero que se hace es ordenar los datos, de las desvia-ciones, de menor a mayor y se procede a asignarle una probabilidad a cada uno; la cual,se obtiene dividiendo el área bajo la curva de la distribución normal estándar en n 1

intervalos o fractiles de igual probabilidad. La probabilidad acumulada para cada dato(intervalo), i, es

1

n

iP ó

n

iP 2

1 (7.20)

y la calificación normal, que representa el valor de la variable de una muestra idealizadacon distribución normal, es

1,0, N 1n

i INV P z ó 1,0, N 5,0

n

i INV P z (7.21)

Este principio tiene las siguientes limitaciones:

-

Es recomendable que el número de datos sea mayor de quince, en la práctica se usan más de cinco.

La probabilidad de tener cinco datos, tomados al azar, en un orden dado esP = 1/5! 0,0014

La probabilidad de que un dato de diez, no forme parte del resto, por casualidades P = 1 - B(9;0,5,10) 0.0010

- Para muchos datos, más de ciento cincuenta, es mejor usar otras pruebas denormalidad, en la práctica se usa para menos de 30.

-

La distribución de los datos (de las desviaciones en este caso), no debemostrar relación o correlación con ninguna de las variables. Pues, en los



170


casos en que se presente una tendencia, la prueba no tiene sentido físico nimatemático.

El paso siguiente, consiste en graficar los pares ordenados formados por la calificación

normal, colocado en el eje horizontal (a manera de abscisa) y en el eje vertical losvalores de los datos (como ordenada). También, se puede usar escala (papel) de proba-

bilidad para hacer esta operación, quedando los ejes al contrario. En este gráfico, los puntos que pertenecen a una misma población y que se comportan con distribución de probabilidad normal, se agrupan con una tendencia de línea recta. Como se muestra enla figura 7.7, con los datos de la figura 7. 6.

El procedimiento permite realizar análisis, a manera de prueba de hipótesis, con lassiguientes características:- Si el conjunto de datos sigue una tendencia en forma de línea recta, indica

que el comportamiento de la variable es, aproximadamente, normal.-

Si uno o más valores de los datos, se separan de los que predice la línearecta, indican un comportamiento significativo o anormal (para una abscisadada la ordenada es de mayor valor absoluto que la que predice la recta deajuste).

- Por lo general, en la práctica, los primeros y últimos datos (5 al 10%) hacenque el comportamiento tenga forma de S , lo cual es de esperar.

-

Para datos de las desviaciones, con un comportamiento normal, su mediacoincide con el intercepto al origen de la recta de ajuste, y su desviación dela estima, se, con la pendiente de dicha recta, ambas aproximadamente. Nose deben usar como sustituto de los, respectivos, valores calculados.

-

Cuando no se tiene un estimado aceptable de la variabilidad, , (si lavariable es el residuo o la desviación sirve como un criterio (entre otros),

para comparar la calidad del modelo propuesto, su bondad de ajuste a losdatos observados; aunque es un análisis es subjetivo y no robusto.

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

Calificación normal

R e s i d u

Pen. = 1,29

Fig. 7.7. Análisis de normalidad de des-viaciones ordenadas

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8


R e s i d u

Se = 1.33

Fig. 7.6. Distribución de desviacionestípica



171


Análisis de varianza, con referencia interna ( desconocida)

Cuando se tiene un conjunto de datos referidos a una misma característica y que fueronobtenidos de tal modo que sean representativos de la población y que se pueden

comparar, se cuenta, entonces, con una muestra. La cual, se puede evaluar o analizarcon alguna herramienta estadística, acción conocida como análisis estadístico. El

propósito de ello, es comparar diferencias o variabilidades y evaluar si son significativaso no, con un riesgo establecido para la decisión o hipótesis propuesta.

La Estadística establece una prueba formal para comparar si dos muestras provienen deuna misma población o que tengan la misma varianza, 2. Los criterios establecidos acontinuación son adaptados de los usados en diseños estadísticos de experimentos conrepeticiones, Box, Hunter y Hunter (1978), Miller y Freund (1993) y de los gráficos de

control estadístico con variación de la media o de pendientes, Cowden (1957).El principio es el siguiente:

Los cocientes de las varianzas de dos muestras, s22/s1

2, que provienen de unamisma población de individuos, que poseen distribución de probabilidad normalcon varianza 2, presentan distribución de probabilidad F (Fisher) con n1 1 yn2 1 grados de libertad.

1,1,F 2121

22

21

22 nnF F P

S

S

S

S (7.22)

Comparación entre las desviaciones de dos modelos

Este teorema se puede aplicar a las desviaciones de dos modelos, considerando que sondos poblaciones con la misma varianza

2 y distribución normal de probabilidad de susindividuos, con el propósito de comparar las respectivas desviaciones de la estima, se,Ec. 7.7, con una prueba de hipótesis.

Para comparar dos modelos, 1 y 2Prueba de hipótesis H0: e1

2 = e22

Con el criterio de comparación F = se22/se1

2

Comparación de las desviaciones con una referencia interna (repetición)

Con el propósito de obtener una valoración del ajuste de un modelo de la regresión, conlos datos observados, se pueden realizar réplicas del proceso, fenómeno o caso, paradeterminar la varianza natural del mismo, desviación de la réplica, sd , Ec 7.12,denominada referencia interna. La medición de la desviación del modelo con respectoa los datos observados, se establece mediante la variación de la estima, se, Ec 7.7.



172


Para comparar la variabilidad de las desviaciones con la réplica:Prueba de hipótesis H0: e

2 = d 2

Con el criterio de comparación F = se2/sd

2

Para comparar la variabilidad del modelo con la réplica:Prueba de hipótesis H0 : m

2 = d 2

Con el criterio de comparación F = sm2/sd

2 = se2/sd

2 1

Análisis de varianza, con referencia externa ( conocida) o inspección

Se trata de evaluar la cercanía de los valores de la regresión, con los de una población patrón. Para lo que se plantea una prueba formal para comparar si una muestra provienede una población con varianza, 2, dada, llamada varianza de una población patrón;siguiendo la forma clásica de la prueba de hipótesis, que se basa en el siguiente

principio de la Estadística:Las varianzas de las muestras tienen distribución de probabilidad 2 ( ji cuadrada),con n 1 grados de libertad, si la distribución de probabilidad de los individuosde la población es normal; por lo que se estandariza el cociente

1,Χ

12

212

2

22

n

sn

P

sni

(7.23)

Como criterio de evaluación de la variancia del ajuste del modelo, a los datos obser-vados, se establece la variación de la estima, se, Ec 7.7, que tiene k·n , grados delibertad.

Comparación de las desviaciones con una referencia externa, conocida

Tiene como objetivo evaluar la bondad de ajuste de un modelo de regresión con lavarianza,

2, de los datos reales de una población, considerada representativa del proceso, fenómeno o caso, denominada referencia externa.

El valor, de 2, se obtiene de experiencias anteriores con una cantidad suficiente de

muestras (más de 150 individuos).Ejemplo: los datos de los Gráficos de control estadístico, usados en la industria y en

otras actividades.



173


Para comparar con la población de referencia:Prueba de hipótesis H0 : e

2 = 2

Con el criterio de comparación 2 = (k·n )se

2/ 2

En la práctica, este procedimiento es poco usual, debido a la dificultad, sobre todoeconómica, de obtener suficiente cantidad de datos para tener un buen estimado de 2.

Comparación de las desviaciones con una referencia arbitraria, 0 conocida

Por lo general, entre las partes interesada, se suelen establecer criterios de calidad o dediseño, para definir la aptitud para el uso o para aceptación de un modelo. Se puedeutilizar, una variabilidad permitida o tolerancia, T , en forma arbitraria, como sirepresentara la varianza de la población de referencia, 0.

Tolerancia: T 2 0 (7.24)En este caso, el valor de una medida, de las observaciones, se puede interpretar comoque pertenece a una población teórica con distribución de probabilidad normal, conmedia, 0, y desviación estándar, 0, ambas arbitrarias. El subíndice 0, indica que serefiere a parámetros estadísticos arbitrarios: de referencia, teóricos, ideales, etc.

El valor de representa el número de veces que cabe la desviación estándar de una población, de una propiedad o variable, dentro de un margen permitido o especificado,es decir la tolerancia. La probabilidad, , de encontrar un valor fuera de un intervalo,

0 0, es llamada proporción de resultados significativos (casos favorables, noconformes, etc.).

11,0, N

0

0

0

0 x xP (7.25)

Es práctica común usar 2 3 con 0,02275 0,00135

Ejemplo: Las tolerancias se usan en la Industria, Metrología y en otras actividades:La tolerancia; T , se especifica como los parámetros para el diseño de piezas yequipos, junto con el valor nominal o central, VN

VN T 2

También se define en normas y especificaciones de productos, como un límite supe-rior de especificaciones, valor máximo permitido o tolerable, LSE , y uno mínimo, LIE .

T LSE LIE y VN LSE LIE 2

En los patrones para la calibración de equipos para medición o para procesos, senorma con un valor patrón (esperado), m0, y una incertidumbre, T 2.

medida m0 T 2



174


El procedimiento con una variabilidad arbitraria o patrón es

Para comparar tolerancia:Prueba de hipótesis H0 : e

2 = 02

Con el criterio de comparación 2

= (k·n – )se2

/ 02

Análisis de correlación

Análisis de la varianza de correlación

Se suele llamar análisis de correlación al empleo de la variación de la correlación, sc Ec. 7.19, como variación explicada y la variación no explicada se establece por mediode la variación de la estima, se, Ec 7.7.

Para comparar con la varianza de correlaciónPrueba de hipótesis H0: c

2 = e2

Con el criterio de comparación F = sc2/se

2 = (s y2 1)/se

2

Como se puede apreciar en la figura 1, si existe correlación, el valor de F siempre esmuy grande (se es pequeño, por naturaleza, mientras que s y es grande, puesto queaumenta al alejarse del promedio), lo que puede dar una idea falsa del ajuste del modelocon los datos observados. Pese a esta limitación, es empleado como mucha frecuencia.

Coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación, r , se suele emplear para cuantificar la calidad de modelo(la efectividad o bondad del ajuste), con referencia a los datos observados. Queinterpreta la desviación de la correlación como un coeficiente y se define.

1

~

1

1 1

2,

1 1

2,

2

22

2

22

nk

y y

nk

y y

s

ss

s

sr

k

j

n

i

ji

k

j

n

i

j ji

y

e y

y

c

(7.26)

y 222 1 r ss ye (7.27)

El coeficiente de correlación es un número entre 0, ausencia de correlación, y 1, corre-lación perfecta.

10 r (7.28)



175


Aunque el coeficiente de correlación es impreciso como parámetro de criterio paraevaluar la bondad del ajuste de un modelo de regresión, es muy popular; sobre todocuando no se dispone de información suficiente para definir la varianza natural delcaso, , y tiene las siguientes limitaciones

-

Si existe dependencia implica una correlación alta. Pero, una correlación alta no implica, necesariamente, dependencia entre las variables.

- La variabilidad explicada, sc, generalmente, es muy grande con respecto ala variabilidad de la estima, se. Con lo que resultan coeficiente de corre-

lación altos, aun cuando el modelo presente desviaciones, que el usuarioconsidere no aceptables. Sólo son del mismo orden de magnitud cuando lacorrelación es nula.

- En su uso, se considera, puesto que se basa en se, que la variableindependiente, x, no posee variabilidad significativa.

-

Se puede hacer la prueba de hipótesis para el coeficiente de correlación,H0: r = = 0,desarrollada para la línea recta, a otros casos de curva o modelo deregresión, como aproximación aceptable Esta prueba indica si no haycorrelación, pero no que la correlación es aceptable.

Correlación simple o de Pearson

Se llama coeficiente de correlación simple o de Pearson al coeficiente de correlación para la regresión con la función de línea recta.

x y (7.29)

: coeficiente de la variable dependiente o pendiente : ordenada o intercepto al origen

Se define con base en la covarianza, Moreno y Jauffred (1969), Miller y Freund (1993),Spiegel et all (2001) como.

k

j

n

i

ji

k

j

i

k

j

n

i

jii

y y x x

y y x x

r

1 1

2

,1

2

1 1

2

,2

(7.30)

Posee las siguientes características- Se pueden formular interpretaciones físicas y matemáticas de los datos o

del sistema original- Puede ser aplicado cuando la variable independiente, x, también presenta

variabilidad



176


- Cuando se emplea el método de mínimos cuadrados para evaluar los coefi-cientes, los datos observados y la regresión proveen el mismo valor de susrespectivas medias, exactamente.

x y MinCua MinCua ˆˆ

Lo que provoca que la desviación sea cero en la media y máximo en losextremos de los datos.

-

Se pueden establecer pruebas de hipótesis para el coeficiente de corre-lación, para no correlación

Prueba para el coeficiente de correlación de Pearson

Prueba de hipótesis H0: r = = 0

Con el criterio

21

2

2

1

2

r

k r

t

El estadístico t posee distribución de probabilidad que tiende a la T deStudent, con k 2 grados de libertad.

También, con la trasformación de Fisher

r

r k z

1

1ln

2

3

Prueba para el coeficiente de correlación de Pearson

Prueba de hipótesis H0: r = = 0

Con el criterio

r

r k z

1

1ln

2

3

La distribución de probabilidad del estadístico z, tiende a la normal

Los valores de t de Student y de z normal, aumentan con el número deobservaciones k .

-

Se encuentran relaciones para los intervalos de confianza de los coeficien-

tes de la recta ( , y r ) y para los valores predichos o regresión y.

Puntos retirados, “outliers”

Se consideran como puntos retirados, aquellos que no se ajustan a la población de losdatos analizada. Algunas veces se pueden encontrar causas asignables, es decir, razo-namientos que justifiquen su comportamiento, como errores humanos, de calibración, deoperación, cambios inesperados en las variables del proceso, cambios en el ambiente,etc. Por lo general, una inspección visual del análisis grafico del ajuste muestra la



177


discrepancia. Por otro lado, usarlos en el cálculo de los coeficientes del modelo ofunción de ajuste, afectan la toma de decisiones con respecto a las regresiones efec-tuadas.

No existen pruebas formales, para rechazar o no dichos puntos, sin embargo, seacostumbra efectuar la eliminación de ellos para el cálculo de los coeficientes (cuandose ajustan los datos al modelo) con base en algún criterio, Norma ASTM DesignaciónE178-08 (2010), Zanker (1984), Daniel (1980), Chacín (1998), Cook y Weisberg(1982).

Nótese que, el análisis de normalidad de desviaciones ordenadas, figura 7.7, permiteconsiderar aquellos puntos que se retiran mucho de la recta, , como anormales osignificativos.

Como regla de la experiencia, no se deben eliminar más del 10% de los puntosobservados de ninguno de los cálculos.

Si bien es cierto, que se acostumbra eliminarlos del cálculo de los coeficientes de lacurva de regresión, no debe hacerse de ningún análisis, estadístico o de otro tipo.



178


7.7 ANÁLISIS DE UN CASO SIN REPETICIÓN

Definición del caso

Se analiza la viscosidad para solucionesde glicerina al 28 %, medida en unviscosímetro de Oswlald con relación ala temperatura. En el cuadro 7.1, semuestran los datos obtenidos.

Para la medición en cuestión, se estimaque la variabilidad (incertidumbreestadística) es de 0,015 mm2/s. Aunquela variabilidad, se puede evaluar porrepetición, en este caso, queda dentrode la precisión, la tercera cifra, delinstrumento y método de la medición(incertidumbre técnica); por lo que nose puede distinguir entre ambas.Considerándose, entonces, como unamedición única, para cada valor de la

variable independiente.

Cuadro 7.1. Viscosidad, cinemática, dela solución acuosa de glicerina al 28%

Orden Temperatura Viscosidad C K mm2/s

1 20 293 2,0692 25 298 1,7893 30 303 1,5594 35 308 1,373

5 40 313 1,2256 45 318 1,0977 50 323 1,0008 55 328 0,921

9 60 333 0,854

Se decide usar dos modelos meca-nicistas modificados, referidos en laliteratura y un modelo o curva deajuste, con transformación de y, todoscon tres coeficientes para

V : viscosidad, mm2/sT : Temperatura, K

Modelo A

2

6102856,17,60704779,6expT T

V

Modelo B

78,200

98,2722260,2exp

T V

Modelo C

T V 153783,0745,27ln 24101020,2 T

Los coeficientes se obtuvieron, usando elmétodo de mínimos cuadrados.

Análisis gráfico

En las figuras 7.8 y 7.10 se muestranlos gráficos de los valores obtenidos dela viscosidad cinemática, con respecto ala temperatura y en la figura 7.9 semuestran los resultados al transformarla variable dependiente, viscosidad, ensu logaritmo.



179


0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

290 300 310 320 330 340

Temperatura, K

V i s c o s i d a d , m m 2 / s

ExperimentalModelo AModelo B

Modelo C

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5Viscosidad calculada, mm

2/s

V i s c o s i d a d , m m 2 / s

Modelo AModelo B

Modelo C

Figura 7.9. Viscosidad (logaritmo) de una solución acuosa de glicerina al 28% v/v.

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

290 300 310 320 330 340

Temperatura, K

l n ( V i s c o s i d a d )

ExperimentalModelo AModelo BMdoelo C

Figura 7.9. Viscosidad de una solución acuosa de glicerina al 28% v/v.

Figura 7.10. Viscosidad de la una solución acuosa de glicerina al 28% v/v, encomparación de la estimada con tres modelos de regresión.



180


Las figuras sirven como instrumento,cualitativo, para comparar el compor-tamiento de los valores obtenidos conlos tres modelos propuestos, como

primer análisis.

Se observa que, dentro de la precisiónde los gráficos en cuestión, tienen unatendencia suave tipo curva de segundogrado.

Análisis de los residuos

En el cuadro 7.2 y la figura 7.11 semuestran las desviaciones con relación ala variable independiente, la temperatura.En el mismo cuadro 7.2, se presenta ladesviación de la estima, se, la cual seemplea para comparar los modelos entresí, Sec. 7.5.

Prueba de hipótesis

H0: eN 2 = eC 2 Criterio de comparación entre los

modelos:

A con C 5,32

2

eC

eA

s

sF

B con C 9,62

2

eC

eB

s

sF

A con B 4,12

2

eA

eB

s

s

F

Con el análisis de variancia por mediode los valores del estadístico F , semuestra que no existe suficiente eviden-cia para rechazar la hipótesis, nula, deque las desviaciones de la estima de lostres modelos sean iguales.

Cuadro 7.2. Análisis de residuos, de lostres modelos, para la viscosidad de lasolución acuosa de glicerina al 28 %v/v.

Temperatura Desviaciones de la regre-

sión para la viscosidadK mm2/sModelo

AModelo

BModelo

C

293 -0,0047 -0,0046 -0,0008298 0,0047 0,0074 0,0030303 0,0036 0,0054 0,0016308 0,0009 0,0008 0,0005

313 0,0011 -0,0004 0,0028318 -0,0058 -0,0080 -0,0029

323 -0,0031 -0,0048 -0,0004328 0,0006 0,0005 0,0016333 0,0027 0,0050 0,0001

EstadísticosDatos 9 9 9g. l. 6 6 6se

2105 (Ec. 7.7) 1,82457 3,6142 0,52044se 0,00427 0,00601 0.00228F = seN

2/se32 3,51 6,95 1

F INV (0,05,6,6) 4,28

F INV

(0,01,6,6) 8,47Tolerancia, T 0,015 0 T /6 0,0025

2=(n-)se2/ 0

2 16,8 33,4 4,8

2(0,05,6) 12,6

2(0,01,6) 16,8

s y (Ec.7.17) 0,41509r =1-seN

2/s y21/2 0,9999 0,9999 1,0000

F corr = seN 2/s y

2 >100 >100 >100

Correlación de PearsonCor(e, x) -0,0338 -0,0977 -0,1896Cor(e, y) 0,0227 0,1237 0,1618Cor (ei,ei+1) 0,1290 0,2829 -0,2679

Sin embargo, al comparar el modelo Bcon el C, queda en un margen deindecisión; lo cual sugiere que se debeaumentar la información con más datos



181


experimentales, para tener una decisiónsegura.

Como decisión no formal, el estadís-

tico F , permite usarse como parámetro(cuantitativo) para clasificar losmodelos, aunque, como en este caso, ladiferencia no sea muy clara.

El otro análisis que se puede hacer, escomparar la variación de la estima conuna varianza, 0

2, de una poblaciónteórica (puede ser ideal), formulada

sobre la base de una tolerancia o de unaincertidumbre de los datos (Sec. 7.6).

La varianza arbitraria se estima, enton-ces, con la incertidumbre de los datos,sugerida por el autor, que se muestra enel cuadro 7.2, según la Ec. 7.24

0025,06

015,0

60 T

Prueba de hipótesisH0: e

2 = 02

A

1720

22

eAsnk

B

3320

22

eBsnk

C

520

22

eC snk

Con lo que se concluye que no haysuficiente evidencia para rechazar lahipótesis de que el modelo C, tienediferente varianza que la de una

población teórica, con distribución de probabilidad normal y desviaciónestándar, arbitraria, de 0,026. Por otro

lado, no existe evidencia suficiente paraaceptar que el modelo A y el modelo B,

posean esa misma varianza.

Cabe reiterar, que las decisiones lasrealiza el usuario, de acuerdo con susobjetivos, por lo que en este docu-mento, no se toman decisiones, sólo sedesarrolla un procedimiento paraapoyar las evaluaciones, en formacuantitativa, con la información obser-vada.

El análisis grafico de los residuos seefectúa con la ayuda de la figura 7.11. Enella, se muestra una tendencia cúbica, conun punto de inflexión cerca de la media(“centro”) de los datos, lo que sugiere quese puede mejorar los modelos agregandoun término más, como la temperatura a la

potencia cúbica. El modelo C presentamenores valores de los residuos que losotros dos y un comportamiento más esta-

ble de los mismos.

Nótese que, el hecho de que exista mayordiferencia en los extremos, que en elmedio del intervalo de temperaturas yvarios cambios de signo, de las diferen-cias y pasa cerca del centro del intervalode los datos, se puede atribuir, en parte, aque los coeficientes fueron calculadasmediante el ajuste, de los datos, pormedio de los mínimos cuadrados.

En la figura 7.12, se muestra la mismavariación de los residuos, pero expre-sado en forma del porcentaje de ladiferencia (“error”) con respecto a lamedición. La información suministra-da, es muy similar al análisis deresiduos, sin embargo como estableceuna referencia relativa, es muy usada en



182


Ingeniería y en otras actividades huma-nas, para tomar decisiones.

Análisis de los residuos ordenados

En el cuadro 7.3 y en la figura 7.13 semuestran los valores de las desvia-ciones ordenadas, como función de lacalificación normal, para su análisis,Sec.7.6.

Cuadro 7.3. Análisis de residuos, orde-nados de los tres modelos, para laviscosidad de la solución acuosa de

glicerina

n P ZDesviaciones

ordenadasModelo

A B C Ec. 7.20 Ec. 7.21 Ec. 7.6

mm2/s 1000

1 0,0556 -1,59 -5,8 -8,0 -2,92 0,1667 -0,97 -4,7 -4,8 -0,83 0,2778 -0,59 -3,1 -4,6 -0,44 0,3889 -0,28 0,6 -0,4 0,15 0,5000 0,00 0,9 0,5 0,56 0,6111 0,28 1,1 0,8 1,67 0,7222 0,59 2,7 5,0 1,68 0,8333 0,97 3,6 5,4 2,89 0,9444 1,59 4,7 7,4 3,0

Recta de los residuos

r

2

Ec.7.26

0,909 0,932 0,969 r 0,954 0,966 0,984 Intercepto 0,16 0,26 0,77

Pendiente 4,23 5,81 1,84

Dicho análisis, dado que no se tienerepetición (esto es, un estimado repre-sentativo de la variabilidad de lasobservaciones), puede servir a manera

de prueba de hipótesis, subjetiva yaproximada, para valorar la calidad delmodelo o función de ajuste analizada.

Se puede observar que el modelo C posee una tendencia más recta, de losresiduos, que los otros dos modelos.Así como, valores menores de losresiduos que los modelos A y B.

Por otro lado, el modelo A presenta unadistribución de residuos con más formade S que las otras, lo que indica que sudistribución es menos normal que la delos residuos de los otros modelos.

Las pendientes, como es de esperar, presentan valores cercanos a los respec-tivos valores de se. Los interceptos alorigen, tienen magnitudes del orden dela última cifra significativa de los datosobservados.

El coeficiente de correlación de larelación entre los residuos ordenados yla calificación normal, se muestra en elcuadro 7.3, para su análisis.



183


Figura 7.11. Análisis de residuos para el caso de la viscosidad de la soluciónacuosa de glicerina, para los tres modelos.

Figura 7.12. Análisis de la variación porcentual del caso de la viscosidad de launa solución acuosa de glicerina, para los tres modelos.

Figura 7.13 Análisis de normalidad de los residuos ordenados para el caso de la vis-cosidad de la una solución acuosa de glicerina, para los tres modelos.

-0,010

-0,005

0,000

0,005

0,010

290 300 310 320 330 340

Temperatura, K

D e s v i a c i o n e

s , m m 2 / s

Modelo A

Modelo B

Modelo C

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

290 300 310 320 330 340

Temperatura, K

E r r o r , %

Modelo AModelo BModelo C

-0,020

-0,010

0,000

0,010

0,020

-3 -2 -1 0 1 2 3

Calificación normal, Z

D e s

v i a c i o n e s o r d e n a d a s ,

m m

2 / s

Modelo AModelo BModelo C



184


7.8 ANÁLISIS DE UN CASO CON REPETICIÓN

Definición del sistema

Descripción del problema (Ver Sec. 3.1)

Un recipiente se emplea para acondicio-nar una solución de sulfato de amonio.Para el cual se desea encontrar unarelación entre la cantidad de la sal,existente en el tanque, y el tiempo.Considérese que el flujo volumétrico deentrada es igual al de salida y que lasolución en el tanque se mantieneagitada.

Volumen de control


t : tiempo, ks

Variables dependientesC : concentración instantánea de

sulfato de amonio ( A), en eltanque, kg de A/m3

C S : concentración de A en lasalida, kg de A/m3

Variables fijas

V : volumen de la solución en eltanque, m3

E V : flujo volumétrico a la entra-

da, m3/ks

S V : flujo volumétrico a la salida,m3/ks

C E : concentración de A en la en-trada, kg de A/m3

Procedimiento y equipo experimen-

tales

El recipiente usado posee un volumende 0,4 m3 y con una concentracióninicial de 200 kg/m3 y recibe un flujode 0,3 m3/ks con una concentración desulfato de amonio de 100 kg/m3

El diámetro del tanque es de 0,8 m y su

altura 0,8 m, de acero inoxidable 316con 10 mamparas de 0,1 m. El fluido esagitado con un propulsor de 0,03 m, pormedio de un motor de 1,1 kW. El flujoentra por un conducto de diámetronominal 1’’#40, se reguló con unaválvula de globo y se controló con unrotámetro calibrado. La salida es por elfondo, con un tubo de diámetro nominalde 1 1/2’’#40, regulada con una válvula

de globo. Las soluciones fueron prepa-radas con sulfato de amonio calidadcomercial y el agua empleada para ladisolución fue de calidad potable.

La concentración se midió con unrefractómetro de Abbè, con una curvade calibración preparada con soluciones

S V

C S

E V

C E

VC



185


en agua destilada, entre 90 y 210 kg/m3 de sulfato de amonio calidad reactivo.

Formulación del modelo

Los flujos y masa del compuesto A enel sistema sonVelocidad de acumulación

t

VC

d

d kg/ks

Flujo de masa que entra E E C V kg/ks

Flujo de masa que sale S S C V kg/ks

Con Ley de conservación para la masade la sustancia A, se obtiene

S S E E C V C V

t

VC

d

d (7.31)

Condiciones del modelo

- Agitación perfecta. Se supone que lamasa es uniforme C S = C

- El volumen del tanque es mucho ma-yor que el flujo de masa E V V

- La densidad es constante = cte

-

El flujo de salida es constante y esigual al de entrada

3,0S E

V V

m

3

/ksCon lo que el volumen de fluido enel tanque se considera constante

V = 0,4 m3

-

La concentración de la sal a laentrada se considera constante

C E = 100 kg de A/m3

Condición de contorno

Cuando t = 0 entoncesC = C 0 = 200 kg de A/m3

Solución de la ecuación

Entonces, la ecuación del modelo simplificada con esas condiciones es:

C C V t

C V E E

d

d

Se define tiempo de residencia oretención como

33,1/ E V V ks

La solución o integración de la ecua-ción diferencial con las condiciones decontorno indicadas es

/exp0

t C C

C C

E

E

El modelo para el sistema en estudiocon las condiciones normales deoperación, es

t C 75,0exp1100 (7.32)

Resultados experimentales

En el cuadro 7.4 se muestran los datosexperimentales obtenidos durante dosensayos o “corridas” en el prototipo.



186


Cuadro 7.4. Variación de concentra-ción del sulfato de amonio en untanque agitado

Capacidad efectiva 0,4 m

3

Flujo de entrada 0,3 m3/ksConcentración’ entrada 100 kg/m3

No Tiempo Concentraciónmin. ks kg/m3

Ensayo 1 Ensayo 2

1 0 0,0 200,0 200,02 5 0,3 192,8 196,4

3 10 0,6 182,8 189,64 15 0,9 166,4 170,25 20 1,2 155,8 158,4

6 25 1,5 143,2 140,67 30 1,8 133,0 134,48 35 2,1 124,0 122,69 40 2,4 119,8 117,6

10 45 2,7 115,6 116,2

11 50 3,0 114,4 112,812 55 3,3 110,0 111,613 60 3,6 107,6 110,814 70 4,2 108,8 104,215 80 4,8 106,0 102,2

16 90 5,4 103,6 101,817 100 6,0 102,8 101,618 110 6,6 101,6 101,619 120 7,2 101,6 101,6

Estadísticos y Ec. 7.15 131.2s

2 Ec. 7.17 1102,52s 33,2

Análisis grafico

En el gráfico de la figura 7.15, seobserva que los datos se distribuyen en

forma exponencial, como se espera.Durante el primer kilosegundo, se pre-senta una curvatura, que no es descrita

por el modelo teórico, lo cual manifies-ta un mecanismo diferente al propuesto.El efecto producido se interpreta comouna ordenada al origen diferente decero, que se podría acreditar a unaespecie de “inercia” del proceso; locual, se puede describir, matemática-mente, como un desplazamiento deltiempo, a partir del cual se cumple elmodelo, “tiempo de retardo”.

El proceso termina asintóticamente,según la expectativa, pero más rápida-mente y a un valor un poco mayor de lo

predicho por el modelo.

Por consiguiente, se propone modificarla ecuación original de la siguienteforma

38,075,0exp1100 t C (7.33)

para 0,64,0 t ks

En las figuras 7.15 7.16 y 7.17. secomparan los datos observados con elmodelo propuesto.



187


Figura 7.14. Variación de concentración del sulfato de amonio en un tanque agitado conflujo continuo, con 0,4 m3 de capacidad y un flujo de 0,3 m3/ks

-6,0

-5,0

-4,0

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tiempo, ks

l n ( C / 1 0 0 - 1 )

Ensayo 1Ensayo 2Modelo Teórico

75

100

125

150

175

200

225

0 1 2 3 4 5 6 7 8Tiempo, ks

C o n c e n t r a c i ó

n ,

k g / 3

Ensayo 1Ensayo 2Modelo Teórico

38,075,01100 t eC

38,075,01100

ln

t C

75

100

125

150

175

200

225

75 100 125 150 175 200 225 250

Concentracion, de la regresión, kg/m3


k g / 3

Ensayo 1Ensayo 2

Figura 7.15. Variación (logarítmica) de concentración del sulfato de amonio en untanque agitado con flujo continuo.

Figura 7.16. Comparación de la concentración del sulfato de amonio, en un tanqueagitado con flujo continuo, con el modelo propuesto.

38,075,01100 t eC



188


Cálculo de los coeficientes por ajuste, con

mínimos cuadrados

El cálculo de los coeficientes, y , de

la función de regresión, t C exp1100

con los datos observados, en lugar deusar los obtenidos con las variables deloperación del proceso, se muestran enel cuadro 7.5

Cuadro 7.5. Valores de los coefi-

cientes de la curva de regresión t C exp1100 para 0,64,0 t kscon los datos de la concentración delsulfato de amonio en un tanqueagitado, del cuadro 7.4, usandomínimos cuadrados,

Ajustenormal linearizada

0,79 0,70 0,42 0,33

k·n (datos) 30 30se Ec. 7.7 2,19 3,12sd Ec. 7.12 2,0 2,0

F =se2/sd

2 1,20 2,43F INV

(0,05,28,18) 2,08 2,08r Ec. 7.26 0,998 0,996

Nótese que en la evaluación de los parámetros, se presenta una dificultad; pues, al ser una función exponencial, elorden de magnitud de los datos, varía conla variable independiente, en este caso eltiempo. Por lo cual, si se “lineariza”,“pesan” más los valores más pequeños(cuyos logaritmos son más grandes envalor absoluto), Fig. 7.15, y si se usa en

forma normal, influyen más las mag-nitudes grandes (exponenciales negativosmás pequeños en valor absoluto), lo queafecta los resultados, como se aprecia en

el cuadro 7.5 y la Fig. 7.14,. El modelomecanicista predice un valor intermediode los parámetros, de los obtenidos conlos dos métodos de ajuste, por lo que,

para efectos prácticos, se consideraaceptable.

En el cuadro 7.5, también, se muestra ladesviación tipo de la estima, se, paracomparación.

Desviación de la réplica

En el cuadro 7.6 y en la figura 7.17, semuestran las desviaciones estándar alvariar con el tiempo, durante los dosensayos. Al inicio presentan diferen-cias de hasta del doble del promedio.

Posteriormente, un ensayo es ligera-mente más lento que el otro y luego secruzan, para acercarse al final, hastaque la diferencia es casi nula. A pesarde este comportamiento, poco estable,se toma la variancia de la repeticióncomo medida de la variabilidad (“error”o “ruido”) experimental, para efectos deevaluación.

Con las varianzas, del cuadro 7.6, secalcula la variabilidad de la repetición,sd

2, Ec. 7.12, que se indica en el mismocuadro.



189


Cuadro 7.6. Medias y desvia-ciones estándar para los datosexperimentales de la concentracióndel sulfato de amonio en un tanqueagitado

No x j j y s j

Ec. 7.9 Ec. 7.11

ks kg/m3 kg/m3

1 0,0 200,0 0,02 0,3 194,6 2,53 0,6 186,2 4,84 0,9 168,3 2,75 1,2 157,1 1,8

6 1,5 141,9 1,87 1,8 133,7 1,08 2,1 123,3 1,09 2,4 118,7 1,6

10 2,7 115,9 0,4

11 3,0 113,6 1,112 3,3 110,8 1,113 3,6 109,2 2,314 4,2 106,5 3,315 4,8 104,1 2,7

16 5,4 102,7 1,317 6,0 102,2 0,818 6,6 101,6 0,019 7,2 101,6 0,0

Estadísticos y Ec. 7.15 131.2sd

2 Ec. 7.12 4,00sd 2,0

Análisis de los residuos

En el cuadro 7,7 se muestran lasdesviaciones, Ec. 7.6, con respecto amodelo de la regresión, Ec. 7.33, juntoa los datos observados. Los cuales se

muestran en la figura 7.18, graficadoscon la variable independiente, tiempo.En dicha figura, se presenta el mismocomportamiento mencionado en la

sección anterior (“ampliado”), para lavariable dependiente. Nótese que, losdos primeros valores, de cada ensayo,se separan del comportamiento general.Los otros valores, muestran unatendencia oscilatoria, que luego seestabiliza alrededor del valor de 1,0.

Se plantea la siguiente prueba dehipótesis, para comparar la variación dela estima, se

2, con la de la réplica, sd 2,

variación que se supone o postula como el“error experimental”, desviación natural,al azar o no explicada, criterio, que puedeusarse para evaluar el ajuste,

H0: 22d m

Con 2,1712

2

d

e

s

sF

F crítico F INV (0,05,28,18) = 2,08

F INV (0,01,28,18) = 2,86

Esta prueba se muestra en el cuadro 7.7,en forma resumida. El análisis formal es,que no existe suficiente evidencia paraaceptar la hipótesis nula. En la práctica,esto se interpreta, como que la varianzadel modelo no es de la misma magnitud

que la de la repetición y se rechaza elhecho de que el modelo represente losdatos experimentales, dentro del errorobservado.

Como se mencionó anteriormente, seobserva que los datos se pueden repre-sentar adecuadamente con el modelo en elintervalo entre 0,4 y 6,0 ks, por lo que se



190


puede realizar el análisis de varianza, endicho intervalo, como se muestra en elcuadro 7.7. En este caso, no haysuficiente evidencia para rechazar la

hipótesis nula, de que en el ámbito de 0,4a 6,0 ks, la variabilidad de la estima, se

2,es de la misma magnitud que la de larepetición, sd

2.

Se pueden utilizar otros criterios deanálisis, como se indica en la Sec. 7.4 yel de referencia arbitraria Sec. 7.6.

Análisis de la normalidad de la distri-

bución de los residuos

Es conveniente verificar el compor-tamiento normal de la distribución de

probabilidad de los residuos ordenados,Sec. 7.6, , que es un requisito para elanálisis de variancia, prueba F, cuyocomportamiento se muestra en la figura

7.18. La recta para la comparación, sedibujó con pendiente igual a sd , desvia-ción de la réplica y la intersección alorigen de 0.

Considerando que el error permisible,eij, sigue una distribución normal y elcriterio

H0: 22d m

Con 0,63 d ij se ks

z crítico N INV (0,0027) = 3,0

Solo los dos puntos iniciales de cadaensayo no cumplen con esta norma. Elresto de los residuos posen distribución,aproximadamente, normal con desvia-ción estándar, sd , de 2,0 ks.

Cuadro 7.7 Cálculo de los residuos para losdatos de la concentración del sulfato deamonio en un tanque agitado, con el modelo,mecanicista, de regresión

38,075,0exp1100 t C 0,64,0 t ks

Tiempo Estimado Residuosks kg/m3

Ec. 7.33 Ensayo 1 Ensayo 2

0,0 232,98 -32,98 -32,980,3 206,18 -13,38 -9,780,6 184,79 -1,99 4,810,9 167,71 -1,31 2,491,2 154,06 1,74 4,34

1,5 143,17 0,03 -2,57

1,8 134,47 -1,47 -0,072,1 127,53 -3,53 -4,932,4 121,98 -2,18 -4,382,7 117,55 -1,95 -1,35

3,0 114,02 0,38 -1,223,3 111,19 -1,19 0,413,6 108,94 -1,34 1,864,2 105,70 3,10 -1,504,8 103,63 2,37 -1,43

5,4 102,32 1,28 -0,52

6,0 101,48 1,32 0,126,6 100,94 0,66 0,667,2 100,60 1,00 1,00

Estadísticos

No. de datos total Depurados0,4< t< 6,0 ks

k·n (datos) 38 30g. l. de e. 36 28se

2 Ec. 7.7 72,67 5,84g. l. de d .. 18 18

sd

2

Ec. 7.12 4,0 4,0F = se

2/sd 2 18,18 1,46

F = se2/sd

2-1 17,18 ----

F INV (0,05,gle,gld ) 2,95 3,03

F INV (0,01, gle ,gld ) 2,12 2,16r Ec. 7.26 0,9665 0,9975



191


0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8Tiempo, ks


k g / 3

Sd = 2,0

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tiempo, ks

C o n c e n t a c i ó n ,

k g / 3

Ensayo 1Ensayo 2+ 3 Sd

- 3 Sd

-33.98,-13,38

-32,98, -9,78

Figura 7.17. Análisis de las desviaciones estándar de la concentración del sulfato deamonio, en un tanque agitado con flujo continuo, con el modelo propuesto.

-10

-5

0

5

10

-3 -2 -1 0 1 2 3

Calificación normal, Z

R e s i d u o o r d e n a d o ,

k g / m 3

Ensayo 1Ensayo 2

+ 3 Sd

- 3 Sd

33.98,-13,38-32,98, -9,78

Figura 7.19. Análisis de la normalidad de los residuos, al comparar la concentracióndel sulfato de amonio observada, con el modelo propuesto.

Figura 7.18. Análisis de los residuos al comparar la concentración del sulfato de amonio,en un tanque agitado con flujo continuo, con el modelo propuesto.



192


Propuesta de un modelo semi empírico

Usando las estrategias y metodologíassugeridas por diferentes autores,

Bronshtein, I. y Semendiaev, K (1982),Hoerl (1954), Ingels, R. M. (1980),Davis (1965), Lipka (1961), Box et all (1978) y Hyames (2001), Mickley et all (1957), Davis (1965).y con una buena“dosis de paciencia”, se propone elsiguiente modelo para la regresión, conla intención de que represente mejor losdatos, incluyendo el periodo de arran-que (su curvatura) pero que tambiéncumpla con las condiciones decontorno.

t

t t

t C 75,0exp

28,24,18,111100

2

Obteniéndose los resultados resumidosen el cuadro 7.8. Como se puedeobservar, en los resultados el modelo

representa mejor los datos, especial-mente los iniciales; al final, losreproduce con valores similares almodelo mecanicista.

Se deja al lector, realizar los otrosanálisis mencionados en esta sección.

Cuadro 7.8. Análisis de los residuos para los datos de la concentración delsulfato de amonio en un tanque agitado,con el modelo, semi-empírico, deregresión

t

t t

t C 75,0exp

28,24,18,111100

2

k·n (datos) 38g. l. de ei 34se

2 Ec. 7.7 4,03g. l. de d ij 19sd

2Ec. 7.12 4,0

F = se2/sd

2 1,01F = se

2/sd 2-1

F INV (0,05,34,19) 2,09

F INV (0,01,34,19) 2,94

r Ec. 7.26 0,9982

75

100

125

150

175

200

225

0 2 4 6 8Tiempo, ks

C

o n c e n t r a c i ó n ,

k g / 3

Ensayo 1Ensayo 2



193


7.9 ANÁLISIS DE TENDENCIAS

Se establece un modelo de predicción para el porcentaje de elongación a laruptura (variable de calidad) de lasláminas de poliuretano moldeado. Paralo cual, se preparó un molde plano y sesiguió el proceso típico de la produc-ción de suelas con este tipo de material.Los resultados obtenidos en el proceso,en condiciones normales de operación,se presentan en el cuadro 7.9.

El gráfico de los datos observados semuestra en la figura 7.20. Como se

puede apreciar, presentan una tenden-cia, que puede ser de línea recta o

parabólica, que es difícil de establecer,debido a la variabilidad natural de lamedición y/o del proceso. Por lo cual,

se realiza un análisis, mediante laevaluación de la correlación, Sec. 7.6.

Se estima, entonces, su comportamiento por medio de la recta

D E 16,553,441

O usando una parábola

21,1200,3497,754 D D E

E : Elongación a la ruptura, % D: razón masa por área,

“densidad”, kg/cm2.

Los coeficientes se evaluaron por mediode mínimos cuadrados. Y los resulta-dos de la correlación se muestran en elcuadro 7.10.

Cuadro 7.9. Efecto de la densidad de lasmaterias primas en la elongación de una

pieza moldeada de poliuretano.

Orden Ensayo Masa/Área Elongación No. kg/cm2 %

1 23 1,042 5442 5 1,045 5443 17 1,073 490

4 11 1,082 5405 16 1,088 515

6 9 1,102 4977 20 1,158 5208 24 1,163 4849 22 1,201 529

10 4 1,243 506

11 10 1,312 513

12 12 1,335 50313 2 1,365 46214 6 1,373 50515 13 1,619 499

16 18 1,659 47117 14 1,898 55318 15 1,901 54119 3 1,916 540

20 8 1,946 517

21 19 1,952 53822 1 1,979 55523 21 2,116 54524 25 2,467 62825 7 2,508 620



194


Cuadro 7.10. Estadísticos en la evalua-ción de los modelos del efecto de ladensidad de las materias primas en laelongación de una pieza moldeada de

poliuretano.

Modelorecta

Modelo parábola

Datos 25 25g. l. 23 22se

2 (Ec. 7.7) 30,1 20,3s y

2 (Ec.7.17) 38,8r de Pearson 0,6514F corr = se

2/s 2 1,67 3,65

r =1se2 /s y21/2 0,6319 0,8520

zr 3,49 5,79t r 3,91 7,63

Los criterios de comparación con losestadísticos, F corr , t r y zr son:

Prueba de hipótesisH0: e

2 = y2

Criterios de comparación entre losmodelos:

005,27,1 23,25,05,0

2

F s

sF

2

eRecta

y

corr

028,26,3 22,25,05,02

2

F s

sF

eParábola

y

corr

Lo que indica que, en el caso de la recta,la variancia de la estima no es losuficientemente pequeña, para distinguirlade la de las observaciones de laelongación, por lo que no hay evidenciaclara de que exista correlación (rechazarla hipótesis) entre las variables encuestión. Mientras que en el caso de la

parábola, si es suficientemente diferente.

Prueba de hipótesis

H0: = 0

180,19,31

223,05,02

2 21

t r

k r t Recta

182,16,7

1

222,05,02

2 21

t

r

k r t Parábola

960,15,31

1ln

2

305,0

z

r

r k z Recta

960,16,71

1ln

2

305,0

z

r

r k zParábola

Estos valores sugieren que no existeevidencia suficiente para aceptar (lahipótesis de) que no existe correlación,entre la elongación y la razón de la masa

por área de los reactivos en las láminas de poliuretano.

Para comparar los dos modelos entre sí,

Sec. 7.6.Prueba de hipótesis

H0: e Recta2 = e Parábola

2

Criterio de comparación entre losmodelos:

038,22,2 22,23,05,0 F s

sF

2

eParábola

2

eRecta

776,22,2 22,23,01,0 F s

sF 2

eParábola

2

eRecta

No se establece una decisión segura, para aceptar o rechazar la hipótesis deque las respectivas desviaciones de laestima, de los dos modelos comparados,sean iguales.



195


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450

550

650

1,0 1,5 2,0 2,5Masa/Área

%

d e e l o n g a c i ó

ObservacionesRecta

Parábola

Figura 7.20. Efecto de la razón de la masa al área de los reactivos, sobre laelongación a la ruptura de láminas de poliuretano.



196


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- Kessler, D. P. and Greenkorn, R. A. Momentum, Heat and Mass Transfer .

Marcel Dekker Inc., New York, 1999.

- Kume, H. Herramientas estadísticas básicas para el mejoramiento de la

Calidad . Norma, Bogotá, 1992. Capítulo 10.

- Loney N. W. Applied Mathematical Method for Chemical Engineers. CRC press

LLC, Boca Raton, Florida, 2001.

- Mickley, H. S., Sherwood, T. K. and Reed, C.E. Applied Mathematics in

Chemical Engineering. McGraw-Hill, Tokyo, 1957.

- Rice, R. G. and Do, D. D. Applied Mathematical and Modelling for Chemical

Engineers. John Wiley and Sons, New York, 1995.

- Russell, T.W.F. y Denn, M.M. Introducción al análisis en Ingeniería Química.

Wiley-Limusa, México, 1976.

- Sokolnikoff, I. S. and Redheffer, R. M. Mathematics of Physics and

Engineering. McGraw-Hill, New York-Yokyo, 1966.- Spiegel, M. R. Ecuaciones diferenciales aplicadas. 3

ra Ed. Prentice Hall Hispa-

noamericana, México, 1983.

- Spiegel, M. R., Liu, J. y Abellanas, L. Fórmulas y tablas de Matemática

aplicada. 2da

Ed. McGraw-Hill, Madrid, 2000.

- Treybal, R. E. Operaciones de Transferencia de Masa. Libros Mc Graw Hill,

México, l988. . Capítulo 5.

- Walas, S. M. Modelling with Differential Equation in Chemical Engineering.

Butterworth Hinemann, Boston, 1991.

- Welty, J. C., Wicks, C. E. and Wilson, R. E. Fundamentos de Transferencia de

Momento, Calor y Masa. 2da. Ed. Limusa (3rd .Wiley), México, 1999. Capítulos:

14, 15, 16, 17, 24, 25, 26.

- Wylie, C. R. and Barrett, L. C. Advanced Engineering Mathematics. 6th

. Ed.

McGraw-Hill, New York, 1995.



UNIVERSIDAD DE COSTA RICAFACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA QUÍMICA


APÉNDICESOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS


Universidad de Costa RicaCiudad Universitaria “Rodrigo Facio”,

2012



Universidad de Costa Rica Análisis de procesos

Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 201 Escuela de Ingeniería Química Análisis microscópico

3.01 Desalojo de un tanque

Volumen de control

Variable independientet: tiempo, s

Variables dependientesh: altura del líquido, mV: volumen del líquido, m3 vs: velocidad de salida, m/s

Variables fijas As: área de salida, m2 D: diámetro del tanque, mH: altura del tanque, m

Parámetros

: densidad del fluido, kg/m3 m: coeficiente de fricción, adim.


gh2mv s : Ecuación de Torricelli 2

s4s D A


parámetros constantes, y m

Todos las pérdidas de energíadebido a la fricción (en la salida)

se representan por (1/m2

– 1) vs2

.


VA FE FS

t

VVA

d

d (1/s) (m3) (kg/m3)

0FE

ssv AFS (kg/m3) (m2) (m/s)

Sumando los términos

ssv A

t

V

d

d

Sustituyendo vs y As

gh2mD

4t

V 2

s

d

d

3.01 a) Caso del cilindro vertical

Relación constitutiva

El volumen es

hD4

V 2

2D4h

V d

d

Con lo que, representando el mode-

lo en términos de la altura, h, con constante

gh2mD

4t

hD

4

2s

2

d

d

h

D

vs Ds





Solución de la ecuación diferencial,despejando y separando variables

tg2mD

D

h

h2

2

s dd

Integrando

Ctetg2mD

Dh2

2

2

s

Condición de contornoa t 0 h h0 H

Y se obtiene la constante

H2Cte

La solución es

tg2mD

DH2h2

2

2

s

En forma adimensional

tH2

g

D

Dm1

H

h2

2

s

3.01 a)

Verificación

a t 0 h H

a h 0

g

H2

D

D

m

1t

2

s

2

“Constante” de tiempo del sistema

3.01 b) Caso del cilindro horizontal

Nuevo volumen de control


La altura del líquido en el tanque

cos2

D

2

Dh

y

D

h21arcos

send

d

2

Dh

2

22

D

h4

D

h41 cossen

El volumen, es el área del seg-

mento por la altura

H2

D

2

D

4

DV

2

cossen

cossen4

HDV

2

h

D cos

/2

D





22

2

14

HDVcossen

d

d

4

2HD 22

sen

Con respecto a la altura

h

V

h

V

d

d

d

d

d

d

sen

sen

d

d

D

2

2

HD

h

V 22

Sustituyéndola en la ecuación dife-rencial del modelo y simplificándola,con densidad constante

gh2mD4t

hDH 2

s

d

dsen

Reunión de constantes

2

g

H4

mDk

2

s m3/2/s

Sustituyendo las últimas ecuacionesy separando variables

tkhhD dd

Integrando

CtekthD3

22

3


a t 0 h h0 D

y 0Cte

La solución es

3

2

2

s t2g

HmD

23Dh


3

2

2

s tD2

g

DH

mD

2

31

D

h

3.01 b)

3.01 c) Caso del cono

Volumen de control para el caso


La altura del líquido en el tanque

D

r 2

H

h (Thales)

El volumen

3

2

22 h

H

D

12hr

3

1V

2

2

2

hH4

D

h

V

d

d

h

D





Sustituyéndola en la ecuación dife-rencial del modelo, con densidad

constante

2

22

s

2

D

Hg2mD

t

h

h

h

d

d


2

s

D

HDg2mk

m5/2/s

Sustituyendo y separando variables

tkhh2

3

dd

Integrando

Ctekth5

22

5

Condición de contornoa t 0 h h0 H

y2

5

H5

2Cte

La solución es

5

2

2

22

s2

5

t2

g

D

HmD5Hh


5

2

2

2

s tH2

g

D

mD51

H

h

3.01 c)

3.01 d) Caso de la esfera

Volumen de control para el caso d)


El volumen del casquete esféricoes

hD2

3h

3

1V 2

2hDhhV

dd

Sustituyéndola en la ecuación dife-

rencial del modelo, con constante

gh2mD4

1

t

hhDh 2

s

2 d

d


2

g

2

mDk

2

s m5/2/s


tkhhDh 2

3

2

1

dd

D

h





Integrando

Ctekth52Dh

32 2

5

2

3


a t 0 h h0 D

y2

5

D15

4Cte

La solución es

2

5

2

5

2

3

D15

4kth

5

2Dh

3

2

en forma adimensional

2

5

2

3

D

h3

D

h5

tD2

g

D2

Dm152

2

s

3.01 d)

3.02 Tanques conectados

Volumen de control


Variables dependientesh A: altura del líquido, en el

tanque A mhB: altura del líquido, en el

tanque B mvs: velocidad por el conducto,

m/s

Variables intermediasV A: volumen del líquido,

en el tanque A m3 VB: volumen del líquido,

en el tanque B m3

Variables fijasD A: diámetro del tanque A, mDB: diámetro del tanque B, mD0: diámetro del conducto

intermedio, m

Parámetros

: densidad del fluido, kg/m3 m: coeficiente de fricción, adim.

D A

h A

DB

V A VB hB






a t 0 h A h A0 y hB hB0


B As hhg2mv 2

04s D A

A

2

A4 A hDV B

2

B4B hDV


constante

m 1.

Balance de masa total, en el tanque A

VA FE FS

t

VVA A

d

d (1/s) (m3) (kg/m3)

0FE

ssv AFS (kg/m3) (m2) (m/s)

Con lo que

ss

A v At

V

d

d

Sustituyendo las relaciones consti-

tutivas, con constante.

B A

2

0 A2

A hhg2mDt

hD

d

d

Como se tienen dos variablesdependientes se requiere de otraecuación.

Balance de masa total, en el tanqueB

VA FE FS

t

VVA B

d

d (1/s) (m3) (kg/m3)

ssv AFE (kg/m3) (m2) (m/s)

0FS

Con lo que

ssB v At

V d

d


tutivas con constante

B A

2

0B2

B hhg2mDt

hD

d

d

Sumando ambas ecuaciones, paraevaluar hB en términos de h A.

0

t

hD

t

hD A2

AB2

B d

d

d

d

Integrando la ecuación

1 A2 AB

2B CtehDhD

Evaluando la constante con las con-diciones de contorno

0 A2 A0B

2B1 hDhDCte

se tiene

0B A0 A2

B

2

AB hhh

D

Dh






g2mDDk 2

A

2

0 m1/2/s

2

B

2

A

D

D1a adim.

0B0 A2

B

2

A hhD

Db m

Sustituyéndolas en la ecuación dife-

rencial del balance en el tanque A.

bahkt

h A

A d

d

Separando variables

tkbah

h

A

A dd

Integrando

2 A Ctektbaha

2


a t 0 h h A0

y 0B0 A2 hha

2Cte

La solución es

0 A

0B

0 A

A

0 A

A

2

B

2

A

h

h

h

h1

h

h

D

D

th2

g

D

1

D

1mD

0 A

2

B

2

A

2

0

El tiempo, te, en que las alturas delos líquidos, en sendos tanques, son

iguales, con

a

b

1D

D

hhD

D

hh

2

B

2

A

0B0 A2

B

2

A

AB

Es decir, el tiempo en que se al-canza el equilibrio mecánico, es

2

B

2

A

2

0

0B0 A

e

D

1

D

1mD

g

hh2

t

3.02





3.03 Descenso en paracaídas

Volumen de control


Variables dependientesF: fuerza neta, N

v vy: velocidad, m/s

Variable fijam: masa del sistema, kg

Parámetrok: coeficiente de fricción, kg/m


a t 0 v v0

Condición de contorno adicional

a t v v


mgPeso 2kvFricción

Condiciones del modelok constanteTodos los efectos de resistenciase representan por kv2.

Balance de fuerza-cantidad de mo-vimiento

VA FE FS + F

t

mvVA

d

d (1/s) (kg) (m/s)

0FE 0FS

FricciónPesoF (N)

Con lo que

FricciónPeso

t

mv

d

d

Sustituyendo las relaciones consti-tutivas

2kvmgt

mv

d

d

Solución de la ecuación diferencial

Con k constante, separando varia-bles

tm

k

k

mgv

v

2

dd


k

mgv m/s

Quedando

tv

g

vv

v222

dd

F+

Fricción

Peso





Integrando, con v v,

Ctetvg

vvvv

v21 2

ln

Con la condición de contorno a

t 0, se obtiene la constante

vv

vv

v2

1Cte

0

0ln

La solución es

tv

g

vv

vv

vv

vv

v2

12

0

0

ln

tv

g2

1vv

1vv

1vv

1vv

0

0 exp

3.03

Verificación

Cuando

0t 11vv

1vv

1vv

1vv

0

0

y 0vv

Cuando

t 01vv

1vv

1vv

1vv

0

0

yk

mgvv

3.04 Cinta elástica

Volumen de control


Variables dependientesF: fuerza neta, Nv = vy: velocidad, m/sx = desplazamiento, m

Variable fijam: masa del sistema, kg

Parámetrosk: coeficiente del resorte, N/ma: coeficiente de la fuerza, N

: frecuencia de la fuerza, rad/s

Condiciones de contornoa t 0 x 0 v 0


Velocidadt

xv

d

d

Peso mgW

Fuerza reactiva kxR

Fuerza externa taF cos

F+

F reactiva

F peso

F externa

apoyo






k, a y constantes

Efectos de resistencia o friccióndespreciablesSe desprecia el peso de la cinta


VA FE FS + F

t

mvVA

d

d (1/s) (kg) (m/s)

0FE 0FS

RFWF (N)

con lo que

RFW

t

mv

d

d


kxtamgt

xm

t

cos

d

d

d

d


Con los parámetros constantes ydespreciando el peso de la cinta,se arregla la ecuación

tm

ax

m

k

t

x2

2

cosd

d

Reunión de constantesNo es útil en este caso

Resolviendo la ecuación diferenciallineal de segundo orden

t

m

kCtet

m

kCtex 21 cossen

2mk

ta

cos

Con la condiciones de contorno seobtienen las constantes

a t 0 x 0 22mkaCte

a t 0 v 0

t

m

k

m

kCte

t

xv 1 cos

d

d

22

mk

tat

m

k

m

kCte

sensen

0Cte1

La solución es

tt

m

k

mk

ax

2coscos

3.04)

Frecuencia de resonancia

Cuandom

k x

Verificación, cuando

0t 0x y 0v





3.05 Cilindro cohete

Volumen de control


Variables dependientesF: fuerza neta, Nv: velocidad del cilindro, m/s

m: masa del sistema, kgx: desplazamiento, m

Variables fijasu: velocidad del gas a la

salida, m/s As: área del orificio de

salida del gas, m2 V0: capacidad del cilindro, m3

Parámetros: densidad del líquido enel depósito, kg/m3

: densidad del gas quesale, kg/m3


a t 0 v v0 m m0


Velocidad: t

xv

d

d

Masa que sale u Am SS

Peso mgW

Fuerza boyante gVB 0


y constantesFricción o resistencia al movi-

miento, despreciable.


VA FE FS + F

t

mvVA

d

d (1/s) (kg) (m/s)

0FE

umFS S (kg/s) (m/s)

BWF (N)

Con lo que

umBW

t

mvS

d

d


tutivas y arreglando

uu AgVmg

t

mvS0

d

d

u

F+ W

B

v





Caso 3.05 a) Considerando el flujode masa a la salida apreciable.

La masa de la sustancia, entonces,varía y se necesita un balance demasa total.

VA FE FS

t

mVA

d

d (1/s) (kg)

0FE

SmFS (kg/s)

Con lo que

Sm

t

m

d

d

Sustituyendo las relaciones cons-titutivas y arreglando, con u y

parámetros constantes

u A

t

mS

d

d


1S Cteut Am

Con la condición de contorno at = 0, se obtiene la constante

01 mCte

La masa es

ut Amm S0

Sustituyendo la masa en laecuación de fuerza cantidad de

movimiento

uu AgVmg

t

mv

t

vm S0

d

d

d

d

ut Am

u AgVgv

ut Am

u A

t

v

S0

2

S0

S0

S

d

d

Resolviendo

tut Amgut Amv S0S0 d

tu AgV 2

S0 d

Integrando

2

tu Atmgut Amv

2

S0S0

1

2

S0 Ctetu AgV

Con la condición de contorno at = 0, se obtiene la constante

001 mvCte

La solución es

t

xv

d

d

ut Am

tgVu Agm2

tu Agmv

S0

0

2

S0

2

S00

En términos de la distancia x,

22

S

2

0

S

0

S

02

Cteu A4

gm3t

u A2

gm5

u A

gVu

4

gtx





ut Am

u A

mv

u A2

gm

u A

gVm

A

mS0

S

00

2

S

2

0

2

S

00

S

0

ln

Con la condición de contorno

a t 0 x x0 0

2

S

2

02

u A4

gm3Cte

0

S

00

2

S

2

0

2

S

00

S

0 mu A

mv

u A2

gm

u A

gVm

A

mln

Sustituyendo la constante se obtie-ne la solución

tu A2

gm5

u A

gVu

4

gtx

S

0

S

02

u A

mv

u A2

gm

u A

gVm

A

m

S

00

2

S

20

2

S

00

S

0

0

S

m

ut A1ln

3.05 a)

Caso 3.05 b) Considerando el flujode masa a la salida despreciable.

La masa de la sustancia, entonces,es, prácticamente, constante

La masa es

0S0 mut Amm

Sustituyendo la masa en laecuación de fuerza cantidad de

movimiento

uu AgVgm

t

vm S000

d

d

Arreglando

0

0

0

2

S

m

gV

m

u Ag

t

v

d

d

Resolviendo, con la condición decontorno

a t 0 x v0

0

0

0

0

2

S vtm

gV

m

u Ag

t

xv

d

d

En términos de la distancia x, con lacondición de contorno

a t 0 x x0 0

tv2

t

m

gV

m

u Agx 0

2

0

0

0

2

S

3.05 b)





3.06 Enfriamiento de una bola demetal

Volumen de control


Variables dependientesTB: temperatura de la bola, KTL: temperatura del líquido

que rodea la bola, K

Variables fijasmB: masa de la bola, kgmL: masa del líquido, kg

A: área de contacto entrela bola y el líquido, m2

ParámetroscB: capacidad calorífica, a

volumen constante, del

material de la bola, kJ/kg KcL: capacidad calorífica, avolumen constante, dellíquido, kJ/kg K

hL: coeficiente de transferenciade calor del líquido, kW/m2 K


a t 0 TB TB0 TL TL0


Ref

TTmcE

f s TThAQ

Tc c

Condiciones del modelo Agitación perfecta, T homogéneaTB no varía con el radio de la bola

(k o hf Vs(ks As) 0,1)cB y cL constantes

TB > TL Transferencia de calor al medio

despreciable

Balance de energía en la bola, B

VA FE FS + RP RC

t

EVA B

d

d (1/s) (kJ)

0FE QFS kW

Con lo que

Q

t

EB d

d

Balance de energía en el líquido, L

VA FE FS + RP RC

t

EVA L

d

d (1/s) (kJ)

QFE kW0FS

Con lo que

Qt

EL d

d

mB

TB

mL

TL





Sustituyendo las relaciones consti-tutivas,

LBBBB TThA

t

Tcm

d

d

LB

LLL TThAt

Tcm

d

d

Con parámetros constantes

LB

L

LL

B

BB TThAt

T

cmt

T

cm d

d

d

d


Para encontrar una relación entrelas temperaturas de la bola y dellíquido se resuelve las dos primerasecuaciones.

t

Tcm

t

Tcm L

LLB

BBd

d

d

d

Integrando

1LLLBBB CteTcmTcm


a t 0 TB TB0 TL TL0

0LLL0BBB1 TcmTcmCte

Resolviendo para TL

B0B

LL

BB0LL TT

cm

cmTT

Sustituyéndola en el balance deenergía

t

Tcm B

BBd

d

0LB0B

LL

BBB TTT

cm

cmThA


LLBB cm

1

cm

1hA

1/s

LLBB

0LLL0BBB

cmcm

TcmTcmT

K

Con lo que

B

B TTt

T

d

d

Despejando y separando variables

tTT

T

B

B dd

Integrando

2

B Ctet1

TT

ln

Se obtiene la constante con la con-dición de contorno

a t 0 TB TB0

0B2 TTCte ln

El resultado es





t1TT

1TT

0B

B

exp 3.06

Verificación

a t 0 TB TB0

a t TB T (Equilibrio térmico)

3.07 Calentamiento “batch”

Volumen de control


Variables dependientesT: temperatura de la solu-

cuón en el tanque, K

Variables fijas

TV: temperatura del vaporcondensante dentro delserpentín K

m: masa de la solución, kg A0: área de transferencia

de calor, m2

Parámetrosc: capacidad calorífica, a

volumen constante, de la

solución, kJ/kg KU0: coeficiente global de

transferencia de calor delsistema,basado en A0

kW/m2 K


a t 0 T T0

TV

m

T






Ref

TTmcE

2f 1f 00 TT AUQ

n

V0 TTU , empírica

Tc c

Condiciones del modelo Agitación perfecta, T homogéneaTV, la temperatura del fluido

térmico, no varíac constanteTV > T

y n constantes

Balance de energía en la solución

VA FE FS + RP RC

t

EVA

d

d (1/s) (kJ)

QFE kW0FS

Con lo que

Q

t

E d

d


tutivas

1n

V0Ref TT A

t

TTmc

d

d

Con parámetros constantes

1n

V0 TT At

Tmc

d

d



mc

A0 1/Kn s

Arreglando y separando variables

tTT

T1n

V

dd

Integrando

Ctet

n

TTn

BV


a t 0 T T0

n

TTCte

n

0V

Sustituyéndola y arreglando seobtiene la solución

n

0V

n

V TTtnTT


tmc

TT An1TT1TT1

n

0V0

n

V

V0

/

/

3.07

Verificación

a t 0 T T0

a t T TV





3.08 Calentamiento continuo

Volumen de control


Variables dependientesT: temperatura del líquido

en el tanque, K

Variables fijasTV: temperatura del vapor

que rodea el tanque, KM: masa del líquido, kg

A0: área de de transferenciade calor, m2

TE: temperatura del líquido

a la entrada del tanque, KG: flujo de masa a la entradadel tanque, kg/s


volumen constante, dellíquido, kJ/kg K

U0: coeficiente de transferen-cia de calor del sistema,

basado en A0 kW/m2

K


a t 0 T T0 TE


fgRef uTTcu

Ref P TTch

2f 1f 00 TT AUQ

Tc c

PTc PP ,c

sustanciasagitación,P,T,U0 U

Condiciones del modelo Agitación perfecta, T homogénea

T = TS

TV la temperatura del fluidotérmico no varía

c cP,c y U constantesTV > T A Flujo de entrada y salida cons-

tantes e igual a G

0

t

M

d

d

Flujo total de masa en estadoestacionario

No existe evaporación ni conden-sación en el líquido.

Efectos cinéticos y potencialesdespreciables

G

TE

TV M

T

GS

TS





Balance de energía en el líquido

VA FE FS + RP RC

t

MeVA

d

d (1/s) (kg) (kJ/kg)

EEeGQFE

(kW) + (kg/s) (kJ/kg)

SSeGFS (kg/s) (kJ/kg)

Con lo que

SSEE eGeGQ

tMe

dd

Considerando los efectos cinéticosy potenciales despreciables

SSEE hGhGQ

t

Mu

d

d


TT AU

t

TTMcV00

Ref

d

d

Ref SPSSRef EPEE TTcGTTcG

Con parámetros constantes.

TTGcTT AUt

TMc EPV00 d

d



00P AUGc

Mc

s

00P

V00EP

AUGc

T AUTGcT

K

(Que es la temperatura delestado estacionario, térmico)


t

TT

T dd

Integrando

Ctet

1

TT

ln


a t 0 T T0

0TTCte ln

Sustituyéndola y arreglando seobtiene la solución (en formaadimensional)

tTT1

TTTT

0

00 exp/

// 3.08

Verificación

a t 0 T T0

a t T T

Estado estacionario





3.09 Esterilizador “batch”

Volumen de control


Variables dependientesT: temperatura del líquido

en el tanque, K

M: masa del líquido, kg A: área de transferencia

de calor, m2

Variables fijasTV: temperatura del vapor

dentro del serpentín, K AL: área de de transferencia

de calor total, m2 TE: temperatura del líquido

a la entrada del tanque, KG: flujo de masa a la entrada

del tanque, kg/sML: capacidad del recipiente, kg


volumen constante, dellíquido, kJ/kg K

U0: coeficiente de transferen-cia de calor del sistema,

basado en A0 kW/m2

K


a t 0 M 0


fgRef uTTcu

Ref P TTch

2f 1f 00 TT AUQ

Tc c

PTc PP ,c

sustanciasagitación,P,T,U0 U

DL AL


TV la temperatura del fluidotérmico no varía

c cP,c y U0 constantesTV > T A Flujo total de masa en estado

estacionarioNo existe evaporación ni conden-

sación del líquido

El área de transferencia de calores proporcional a la masapresente en un instante dado

LM

M A A

L

L

mientras el tanque se llenaEl área de transferencia de calor

es igual al área geométrica.

G

TE

TV

M

T





Balance de energía en el líquido

VA FE FS + RP RC

t

MeVA

d


EEeGQFE

(kW) + (kg/s) (kJ/kg)0FS

Con lo que

EEeGQ

t

Me

d

d

Como la masa varía durante elllenado, se debe hacer un balancede masa total

VA FE FS

t

M

VA d

d

(1/s) (kg)

EGFE (kg/s)

0FS

Con lo que

GG

t

ME

d

d

Resolviendo las ecuaciones dife-renciales, primera la del balance demasa

1CteGtM

Cuando t 0 M M0 0,

entonces 0Cte1

yGtM

Resolviendo la ecuación del balan-ce de energía

EGhQ

t

Mu

t

uM

d

d

d

d

Con las relaciones constitutivas

t

M

TTct

TTc

M Ref Ref

d

d

d

d

Ref EPV

L

L0 TTGcTT

M

MAU

Considerando las condiciones delmodelo y el balance de masa

TTGcTTGt

M

AU

t

TGtc EV

L

L0 d

d


L0

L

AU

cM s

Sustituyendo y arreglando en forma

canónica

VE T

t

TT

1

t

1

t

T

d

d

Integrando, la ecuación diferenciallineal, con el factor integrante





ttt1

t

1expdexp

Sustituyendo y arreglando

ttTt

expd

d

ttT

tT VE expexp

Integrando

tTttT E expexp

2V CtettT exp


a t 0 T , finito

EV2 TTCte


t

t1

1TT

1TT

VE

V exp

/

/ 3.09

Con GtM

Verificación

a t 0 T y M 0

Cuando se llena el tanque,

a t tL T TL y M ML

G4

LD

G

Mt

2L

L

Gc

AU

Gc

AU1

1T

T

1T

T

L0

L0

V

E

V

L

exp




Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 223 Escuela de Ingeniería Química Cap. 3. Análisis macroscópico

3.10 Generación de calor

Volumen de control


Variables dependientesT: temperatura de la masa

en el tanque, K

Variables fijasM: masa dentro del tanque, kgTE: temperatura de la masa

a la entrada del tanque, KG: flujo de masa a la entrada

del tanque, kg/s

TR: temperatura de la masaen el tanque al estadoestacionario, K

Parámetrosc: capacidad calorífica a

volumen constante, kJ/kg KcP: capacidad calorífica a

presión constante, kJ/kg KH0: generación de energía kW/kg


a t 0 T T0 TE


fgRef uTTcu

Ref P TTch

tHH 0 f

PTc ,c PTc PP ,c


T = TS Pérdidas de de calor al ambiente

despreciables

c cP c y H0 constantesFlujo de entrada y salida cons-

tantes e igual a G

0t

M

d

d


No existe evaporación ni conden-sación en el líquido.

Balance de energía en la masa deltanque.

VA FE FS + RP RC

t

MeVA

d


EEhGFE (kg/s) (kJ/kg)

SShGFS (kg/s) (kJ/kg)

RP MH (kg) (kW/kg)RC 0

GS

TS

G

TE

V

T





Con lo que

MHhGhGt

MeSSEE d

d


tMH

t

TTMc0

Ref f d

d


Considerando las condiciones delmodelo

tMHTTGc

t

TMc 0EP f

d

d


PGc

Mc s;

c

H0 K/s

Sustituyendo y arreglando en formacanónica

t

TT

1

t

T E f d

d

Integrando, la ecuación diferenciallineal, con el factor integrante

tt1

expd exp


tTt

expd

d

tttTE expf exp

Integrando y arreglando

tCteTT E exp

tttt d expf exp

Caso del estado estacionario

0VA

1t f

RS TTT

Con lo que, el balance de energíaqueda

0SSEE MHhGhG0


0MH0



0REP MHTTGc0

El flujo en estado estacionario es

ERP

0

TTc

MHG

kg/s

Nota:

ER

P

0 TTGc

MH K





Caso 3.10 a) f (t) 1

Sustituyendo en la ecuación de latemperatura

tCteTT E exp

ttt d expexp

Efectuando la integral

tCteTT E exp


a t 0 T T0

R0E0 TTTTCte


tTT

TT

R0

R exp 3.10 a)

ER TT

Caso 3.10 b) f (t) = B – A t

Sustituyendo

tCteTT E exp

tt AtBt d expexp


t ABtCteTT E exp


a t 0 T T0

ABTTCte E0

Sustituyéndola y arreglándola seobtiene la solución (en formaadimensional)

t

ABGcTMH1

TT

t ABGcT

MH1

T

T

E

0

E

0

E

0

E exp

0 t 3.10 b)

Caso 3.10 c) f (t) = 1 + B exp(– A t)

Sustituyendo en la ecuación de latemperatura

ttCteTT E expexp

tt AtB1 d expexp


tCteTT E exp

A1

AB

1

exp


a t 0 T T0

A1

B1TTCte E0





Sustituyéndola y arreglando seobtiene la solución (en forma

adimensional)

t

A1

B1

GcT

MH1

T

T

A1

AtB1

GcT

MH1

T

T

E

0

E

0

E

0

E exp

exp

3.10 c)

Verificación

Para los tres casos

a t 0 T T0

Para los casos a) y c)

cuando t 0 T TR

Esta condición no es verificadapara el caso b) y no tiene

sentido físico para t

3.11 Mezclado con acumulación

Volumen de control


Variables dependientesC: concentración de la

sal A, kg A/m3 V: volumen de la salmuera

en el tanque m3

Variables fijas

EV : flujo de salmuera a la entra-

da, m3/ksCE: concentración de la sal

a la entrada, kg A/m3

SV

: flujo de salmuera a la salida,m3/ks

V : capacidad del tanque m3

Parámetro

: densidad de la solución,kg/m3

SV

CS

EV

CE

VC






a t 0 C C0 V V0


VM

CVM A

E21

S VV

CT, ρ


Agitación perfecta, C = CS, homo- génea

constante

EV y SV constantes (el último,

tampoco, varía con la alturadel liquido en el tanque)

Balance de la sal, A, en el sistema

VA FE FS + RP RC

t

VCVA

d

d (1/s) (kg A/m3) (m3)

EECVFE (m3/s) (kg A/m3)

SSCVFS (m3/s) (kg A/m3)

RP RC 0

Con lo que

SSEE CVCV

t

VC

d

d

Nota: como existen dos variablesdependientes, se requierendos ecuaciones.


VA FE FS

t

VVA

d

d (1/s) (kg/m3) (m3)

EEVFE (kg/m3) (m3/s)

SSVFS (kg/m3) (m3/s)

Obteniéndose

SSEE VVt

V

d

d


Sustituyendo las relaciones consti-tutivas, con la densidad constante.

SE

VVt

V d

d

Integrando

1SE CtetVVV


a t 0 V V0 Cte1 V0

Resolviendo

0SE VtVVV

Resolviendo la ecuación delbalance de la sal

CVCV

t

VC

t

CV SEE

d

d

d

d





Sustituyendo el volumen

SE0SE VVCt

CVtVV

d

d

CVCV SEE

Simplificando

0SE

E

E VtVV

V

t

C

CC

1

d

d


E

0

V

V

s

2

1

V

V1

E

S

adim


t

tCC

CE

d d

Integrando

E 2

1l n C C l n t Ct e


a t 0 C C0

lnln1

CCCte 0E2


E

E 0

C C 1 tl n l n

C C


1

E

0 E

C C 11 t

C C 1

t1V

V

0

3.11

Verificación

a t 0 C C0 V V0 Solo tiene sentido físico, hasta que

se llene el recipiente V V

aSE

0

VV

VVt

1

E E 0

0

VC C C C C

V





3.12 Control de la acidez

Volumen de control


Variable dependienteN: concentración del ácido,kmol A/m3

Variables fijasV: volumen de la solución m3

B AE VVV : caudal total a la

entrada m3/ksN0: concentración media del

ácido en el tanque kmol A/m3

P: variación permitida, tolerada,del ácido en el tanque

kmol A/m3

Parámetro

: densidad del líquido, kg/m3


VM

NVMäcido

CT, ρ


Agitación perfecta, N NS, homo- génea

constante

AV , BV y EV constantes (el último,

tampoco, varía con la alturadel liquido en el tanque)

SE VV

0t

M

d

d

Flujo total de masa enestado estacionario

El problema se puede plantear dedos formas

Primera forma

Balance del ácido, en el sistema

VA FE FS + RP RC

t

VNVA

d

d

(1/s) (m3) (kmol A/m3)

0FE SSNVFS (m3/s) (kmol A/m3)

RP RC 0

Con lo que

SSNV

t

VN

d

d

AV

BV

Control

2PV

a t 0

VN

SV

NS





Sustituyendo las relaciones consti-tutivas y con las condiciones del

modelo

NV

t

NV E

d

d


EV

V

s


N

1

t

N

d

d

Separando variables

t

N

N d d

Integrando

Ctet

N

ln


a t 0 C N0 P

Se considera que el procesocomienza cuando ya entró todo elácido.

Con la que se evalúa la constante

PNCte 0 ln

El resultado es

t

PN

N

0

exp 3.12

Segunda forma

Como se adicionan 2PV kmol deácido de una sola vez, al inicio delciclo del proceso, la concentraciónse puede representar por la función

impulso unitaria de Dirac, . Lo queexplica mejor el hecho, es decirtiene más sentido físico.

0t para 0

0t para 1

0t para 0

t

La cual puede ser manejada fácil-

mente con trasformadas de Laplace

Balance del ácido, en el sistema

VA FE FS + RP RC

t

VNVA

d

d (1/s) (kmol A/m3) (m3)

tPV2FE (kmol A/m3) (m3) (1/s)

SSNVFS (m3/s) (kmol A/m3)RP RC 0

Con lo que

SSNVtPV2

t

VN

d

d





Sustituyendo las relaciones consti-tutivas y con las condiciones del

modelo

NVtPV2

t

NV E

d

d


EV

V

s


tP2N

1

t

N

d

d

Aplicando trasformadas de Laplace

tP2N

1

t

N

LL

d

d L

Si NsNtNN ~~LL

P2NNNs0t

~~

Condición de inicial

a t 0 N N0 P

Nótese que se considera que elproceso comienza cuando termina

el ciclo anterior y se vierte el ácidoen ese momento.

Sustituyendo

P2NPNNs 0 ~~

Despejando la transformada de La-place de la variable dependiente

1s

PNN 0~

Obteniendo la trasformada inversade Laplace, con ayuda de un ma-nual de fórmulas matemáticas

t

PN

N

0

exp 3.12

Verificación

a t 0 N N0 P

El ciclo se forma hasta que laconcentración del ácido es

N N0 P

a un tiempo, tR, de reposición

PN1PN1t

0

0R ln

que es el nuevo inicio del proceso.





3.13 Mezclado en dos tanques

Volumen de control


Variables dependientesC A: concentración del soluto

en el tanque A kgS/m3

V A: volumen de la soluciónen el tanque A m3

CB: concentración del solutoen el tanque B kgS/m3

VB: volumen de la soluciónen el tanque B m3

Variables fijas

AV : flujo de la solución a la

salida del tanque A, m3/ks

BV : flujo de la solución a la

salida del tanque B, m3/ks

Parámetro


Condiciones de contorno

a t 0

C C A0 V V A0 V0

y C CB0 V VB0 V0


VM

A A A VCM BBB VCM

AB V2V

CT, ρ

Condiciones del modelo Agitación perfecta, C A y CB,

homogéneas

constante

AV > BV y constantes

tampoco, varían con la alturadel líquido en el tanque

Nótese que con cuatro variables depen-

dientes, se necesitan cuatro ecuaciones,debe tenerse en cuenta que no seancombinación lineal ente sí.

Balance del soluto en el sistema

VA FE FS + RP RC

en el tanque A en el tanque B

t

CVVA A A

d

d

t

CV BB

d

d

(1/s) (kg A/m3) (m3)

BBCVFE A ACV

(m3/s) (kg A/m3)

A ACVFS BBCV

(m3/s) (kg A/m3)RP RC 0 RP RC 0

BV

V A C A

AV

VB CB

AB





Con lo que

A ABB A A CVCV

tCV

d d (i)

BB A A

BB CVCVt

CV

d

d (ii)

Balance de masa total en el sistema

VA FE FS

en el tanque A en el tanque B

t

VVA A A

d

d

t

VBB

d

d

(1/s) (kg/m3) (m3)

BBVFE A AV

(m3/s) (kg/m3)

A AVFS BBV

(m3/s) (kg/m3)

Con lo que

A ABB

A A VVt

V

d

d (iii)

BB A A

BB VVt

V

d

d (iv)

Solución del sistema de ecuacionesdiferenciales

Sumando los balances totales (iii yiv), suponiendo densidad constante

0

t

V

t

V B A d

d

d

d

Integrando

1B A

CteVV


a t 0 V A V A0 VB VB0

0B0 A1 VVCte

Con lo que, despejando para VB

A0B0 AB VVVV (v)

Sumando los balances de soluto (i yii),

0

t

CV

t

CV BB A A d

d

d

d

Integrando

2BB A A CteCVCV

Condición de contorno, a t 0

0B0B0 A0 A2 CVCVCte

Sustituyendo y despejando para CB

A0B0 A

A A0B0B0 A0 AB

VVV

CVCVCVC

(vi)

Continuando con la resolución delsistema, ahora con la ecuación delbalance de masa total en el tanque A (iii), considerando la densidadconstante.

AB

A VVt

V

d

d (vii)





Integrando esta ecuación (vii)

3 AB A CtetVVV


a t 0 V V A0 Cte3 V A0

Sustituyendo

0 A AB A VtVVV (viii)

Usando la ecuación del balance desoluto en el tanque A (i)

A ABB

A A

A A CVCV

t

VC

t

CV

d

d

d

d

Sustituyendo las ecuaciones: viii,para V A, vii para d (V A)/d t y vi paraCB, y arreglando, se tiene

t

C A

d

d

tVVVtVVV

CVVCVCVV

AB0 A AB0B

A0B0 A0B0B0 A0 AB


AB

0 A AVV

V

s

AB

0BB

VV

V

s

0B0 A

0B0B0 A0 AM

VV

CVCVC

kgS/m3

2VV

V

AB

B

adim.


AB

B A

M A tt

t

CC

C

d d

Integrando

4

A

BM A Cte

t

tCC lnlnln


a t 0 C C A0

A

BM0 A4 CCCte lnlnln


t

t

CC

CC

A

B

B

A

M0 A

M A lnln

O bien

A

B

M0 A

M A

t1

t1

1CC

1CC 3.13

Verificación

a t 0 C C A0

Para C A CM t B

La mezcla es homogénea y el volumenen el tanque A es, de la ecuación viii

V A VB0 V A0

La concentración llega a ser igual,cuando toda la solución está en eltanque A.





3.14 Flujo contaminado

Volumen de control


Variables dependientesC: concentración del conta-,

minante, C kgC/kgVariables fijas

M: masa total en el tanquekg

CE: concentración del contami-nante a la entrada, duranteun periodo T kgC/kg

m : flujo de masa total a laentrada, kg/s

T: periodo de contaminacións


a t 0 C C0 0


MCMC

Condiciones del modelo Agitación perfecta, C = CS, homo-

géneammE

y Sm constantes (el

último, tampoco, varía conla altura del liquido en el

tanque)Flujo de entrada y salida cons-

tantes e iguales

0

t

M

d

d

flujo total de masa en estadoestacionario

El problema se puede plantear dedos formas

Primera forma

Se considera el proceso en dosetapas, una durante la contamina-ción y otra después, en la que sediluye el contaminante.

Balance del contaminante, C, en elsistema, durante el periodo decontaminación

0 < t < TVA FE FS + RP RC

t

MCVA

d

d (1/s) (kg) (kgC/kg)

EECmFE (kg/s) (kgC/kg)

SSCmFS (kg/s) (kgC/kg)

RP RC 0

m

CC

MC

Sm

CS





Con lo que

SSEE CmCmt

MC d

d

Tomando en cuenta las condicionesdel modelo

CmCm

t

CM E

d

d


mM s


t

CC

C

E

d d

Integrando

1E CtetCC ln


a t 0 C C0 0

E1 CCte ln


t1C

C

E

exp

La concentración al final del periodode contaminación es

a t T

T1CCC ET exp

Que es el inicio de la segunda eta-pa, el proceso de dilución.

T < t <

VA FE FS + RP RC

t

MCVA

d


0FE


RP RC 0

Con lo que

SSCm

t

MC

d

d

Tomando en cuenta las condiciones

del modelo y la definición de , yseparando variables

t

C

C d d

Integrando

2Ctet

C

ln


a t T C CT

T2 CCte ln

Con lo que

tC

C

T

exp





Sustituyendo CT,

t1TCC

E

expexp

para t > T3.14

t1C

C

E

exp

para 0 < t < T

Verificación

a t 0 C C0 0

a t T

T1CC ET exp

a t C 0

Segunda forma

Como se adiciona el contaminantepor un periodo T, se puede expresarla entrada mediante la función esca-lón de Heaviside. Lo que explicamejor el hecho.

0t para 1

0t para 0

tu

y

Tt para 1

Tt para 0Ttu

La cual puede ser manejada fácil-mente con trasformadas de Laplace

Balance del contaminante, en elsistema

VA FE FS + RP RC

t

MCVA

d


TttCmFE EE uu

(kg/s) (kgC/kg)

Nótese que

para 0 t T EECmFE

para t T 0FE


RP RC 0

Con lo que

SSEE CmTttCm

t

MC uu

d

d


CmTttCm

t

CM E

uud

d


mM s


Ttt

CC

1

t

C E

uud

d

Aplicando trasformadas de Laplace

Tt

Ct

CC

1

t

C EE uLuLLd

d L





Si NsNtCC~~

LL

Con la condición de inicial

a t 0 C C0 0

s

Ts

s

s0CC

1CCs E

0t

expexp~~

Simplificando y aplicando la técnica defracciones parciales

1s

Ts

s

Ts

1s

1

s

1

C

C

E

expexp~

Obteniendo la trasformada inversa deLaplace, con ayuda de un ma-nual defórmulas matemáticas.

t

ttC

C

E

expuu

TtTtTt expuu

Factorizando

tt

1C

C

E

uexp

3.14

TtTt

1

uexp

Que es, en otras palabras,

t1TC

C

E

expexp para t > T

t1C

C

E

exp para 0 < t < T

3.15 Dilución de almidón

Volumen de control


Variables dependientesxI: concentración de almidón

en el tanque I kg A/kgxII: concentración de almidón

en el tanque II kg A/kg

Variables fijasVI: volumen de la solución

en el tanque I m3 VII: volumen de la solución

en el tanque II m3

EVV : flujo de la solución

a la entrada al sistemam3/ks

Parámetro



a t 0 x xI0 x xII0

VI xI

V

VII XII

EV

xE

SV

xS

I

II






VM

VCM A A

xT, ρ

Condiciones del modelo Agitación perfecta,

xSI xI y xSII xII homogéneas

constante

EVV Flujo de entrada cons-tante


0

t

V

t

V IIIIII

d

d

d

d

ES VV Flujo de salida

constante e igual al de

entrada; tampoco, varía con laaltura del liquido en el tanque

Balance de almidón en el sistema

VA FE FS + RP RC

en el tanque I en el tanque II

t

VxVA III

d

d

t

Vx IIIIII

d

d

(1/ks) (kg A/kg) (m3) (kg/m3)

0FE SISISIVx

SISISIVxFS SIISIISIIVx

(m3/ks) (kg A/kg) (kg/m3)RP RC 0 RP RC 0

Con lo que

SISISI

III Vxt

Vx

d

d

SIISIISIISISISI

IIIIII VxVxt

Vx

d

d


Tomando en cuenta las condicionesdel modelo y separando variables

Vx

t

xV I

II

d

d

VxVx

t

xV III

IIII

d

d


V

VII

V

VIIII

s

Sustituyendo y arreglando el siste-ma de ecuaciones diferenciales

0x

1

t

xI

I

I

d

d

Resolviendo

t0txII

d expd

Integrando

III Ctetx exp


a t 0 xI xI0 Cte I xI0





Sustituyendo

I0II

txx exp

Resolviendo la otra ecuación

I0I

II

II

II

II tx1

x1

t

x

exp

d

d

tt11x

tx III

II

0IIIII d expexpd

Integrando

II

III

III

II

0IIIII Cte

11

t11xtx

expexp


a t 0 xI xII0

0I

IIIII

0IIII x11

1xCte

Sustituyendo y agrupando

II

0I

II tx

xexp

III

IIIII

0I

0II

1

t11

x

x exp

3.15 a)

I

0I

I txx exp

Caso b)

VI VII V; I II

Se puede obtener con el resultadoanterior y con

III

IIIII

01 1

t11

III

explím

IIIIIII

01tt1t

III

explím

Con lo que se obtiene la ecuación3.15 b). O bien, con el balance dealmidón con las nuevas condicionesdel sistema.

VA FE FS + RP RC

SISISI

III Vxt

Vx

d

d

SIISIISIISISISI

IIIIII VxVxt

Vx

d

d

Tomando en cuenta las condicionesdel modelo y separando variables

Vxt

x

V I

I

d

d

;

VxVxt

x

V III

II

d

d

Resolviendo las ecuaciones en

forma análoga, con IVV

0x

1

t

xI

I

d

d

tx1

x1

t

x0III

II exp

d

d

Entonces

txx 0II exp 3.15 b)

t

t

x

x

x

x

0I

0II

0I

II exp





3.16 Evaporador atmosférico

Volumen de control


Variables dependientesM: masa de la salmuera

en el tanque kgT: temperatura de la salmuera

en el tanque K

Variables fijasS: área de evaporación, m2 r: energía solar absorbida

W/m2 W: intensidad del flujo del

agua evaporada kg/m2 s

Parámetros, para la salmuerac: capacidad calorífica, J/kgK

: entalpía (calor latente)de vaporización, J/kg

: densidad, kg/m3

Condiciones de contornoa t 0 T T0 M M0


Ref TTce K 0TRef

mbiente ATr ,r

ACTc ,c , ACT, λ

Condiciones del modeloTemperatura homogénea en la

salmueraParámetros: r,.c y constantes

no dependen de la tempera-tura ni de la concentración

S, el área de transferencia decalor es igual a la respectivageométrica

Balance de energía en el sistema

VA FE FS + RP RC

t

MeVA

d

d (1/s) (kg) (J/kg)

rSFE (W/m2) (m2) WSFS (kg/m2s) (m2) (J/kg)

RP RC 0

Con lo que

WSrS

t

Me

d

d

Como la masa M varía se efectúaun balance de masa total en elsistema

VA FE FS

tMVA

d d (1/s) (kg)

0FE WSFS (kg/m2s) (m2)

Con lo que

WSt

M

d

d

r w

S

T, M






Comenzando con el balance demasa

WSt

M

d

d

Integrando

1CteWStM


a t 0 M M0 01 MCte

Con lo que

0MWStM

Resolviendo el balance de energía,

WSrSt

MeteM

d d

d d

Sustituyendo el balance de masa

WSet

eWStM0

d

d

WSrS

Con las relaciones constitutivas

cTWSt

cTWStM0d

d

WSrS


WS

M0 s y

W

r

c

1 K


t

t

T

T d d

Integrando

2CtetT lnlnln


a t 0 T T0

lnlnln 02 TCte


t

T

T

0

lnln

O bien

MM

t11

1T1T 0

0

3.16

Verificación

a t 0 T T0

a t M 0





3.17 Arranque de un evaporador

Volumen de control



x: concentración de la sal S,kgS/kgM: masa de la solución, kg

V : flujo de masa evaporada(a la salida), kg/s

T: temperatura de la solución,K

Variables fijasTV: temperatura de calenta-

miento (serpentín) K A: área de transferencia de

calor m2

Parámetros, para la solucióna, b y c: capacidad calorífica,

J/kgKk y m: temperatura de ebullición

K

: entalpía (calor latente)de vaporización del agua,

kJ/kgU: coeficiente global de trans-

ferencia de calor kW/m2 K


a t 0 x xF T T0 M M0


Ref TTCe ; K 0TRef TTUAQ V

xmkT 2xcxbaC

T λ

etc.agitación,x,T,U U

xT, ρ


salmueraParámetros:

a, b, c, , U, constantesno dependen de la tempera-tura ni de la concentración

A, el área de transferencia decalor es igual a la respectiva

geométricaC cV cP El sistema se mantiene en

ebullición durante el proceso


VA FE FS + RP RC

Sm

xS

Em

xE

Mx

V





t

MeVA

d


QFE (kW)

VFS (kg/s) (kJ/kg)RP RC 0

Con lo que

VQ

t

Me

d

d

Aunque la energía, e, o mejor dicho latemperatura, T, y la capacidad calorífica,C, cambia con la concentración, comoforman relaciones constitutivas entre sí,no se necesita otro balance de energía.

Como la concentración de la sal y lamasa M varían, se efectúan balan-ces de masa de la sal y total en el

sistemaVA FE FS + RP RC

t

MxVA

d

d (1/s) (kg) (kgS/m3)

0FE 0FS

RP RC 0

La relación es

0

t

Mx

d

d


VA FE FS

t

MVA

d

d (1/s) (kg)

0FE

VFS (kg/s)

El balance se representa por

V

t

M

d

d

Solución del balance de masa total

V

t

M

d

d

Integrando

1CtetVM d

Condición de contornoa t 0 M M0 01 MCte

t

00 tVMM d

Solución del balance de sal

0

t

Mx

d

d

Integrando

2CtexM


a t 0 x x0 xF M M0

F02 xMCte





Con lo que

xxMM F0

Por otro lado, del balance de masatotal

t

x

x

xM

t

MV

2

F0

d

d

d

d

Solución del balance de energía.Sustituyendo las relaciones consti-tutivas

VTTUA

t

TTMCV

Ref

d

d

Poniendo las variables en términosde la concentración, x

xmkxcxbax

xMt

2F0

d d

t

x

x

xMxmkTUA

2

F0V

d

d


m VTk

ka mbkc

mc2 AUxM F0

Sustituyendo, queda

t

1x

xx

xx2

32

d d

Integrando, con la condición decontorno

a t 0 x xF

F

F

xxx

1

x

1

F

22 x

xln

t

xxF

2ln

3.17





3.18 Concentrador “semibatch”

Volumen de control



x: concentración de ácidoen el tanque kg A/kg

M: masa de la solución kgF: flujo de la solución a

la entrada al sistema kg/s

Variables fijasxF: concentración de ácido

a la entrada, kg A/kg

Q : flujo de calor, kWT: temperatura del sistema,

K

Parámetro0

0H : entalpía de la solución,

estándar kJ/kg


a t 0 x x0 M M0


2x1x1xHh

20

0 TTUAQ S

etc.agitación,x,T,U U


solución

Parámetros: y U constantes0

0H constante

Q constante

e h, es decir cP cV Pérdidas de calor al medio,

despreciablesTrabajo o potencia que entra

al sistema, despreciablesNo hay evaporación

A, el área de transferencia decalor es igual a la respectivageométrica.


VA FE FS

t

MVA

d

d (1/s) (kg)

FFE (kg/s)0FS

Con lo que

F

t

M

d

d

FxE

Mx

Q





Balance de masa del ácido

VA FE FS + RP RC

t

MxVA

d

d (1/s) (kg) (kg A/kg)

FFxFE (kg/s) (kg A/kg)

0FS RP RC 0

Con lo que

FFx

t

Mx

d

d


VA FE FS + RP RC

t

MeVA

d


FFeFE (kg/s) (kJ/kg)

QFS (kW)

RP RC 0

Con lo que

QFe

t

MeF

d

d


El balance de masa total,

F

t

M

d

d

Integrando

1CtetFM d


a t 0 M M0 01 MCte

0

t

0MtFM d

El balance del ácido,

FFx

t

Mx d

d

Sustituyendo la relación para F

Fx

t

M

t

Mx

d

d

d

d

Integrando

2F CteMxMx


a t 0 x x0 M M0

F002 xxMCte

Sustituyendo queda

F

F0

0 xxxx

MM

Y, el balance de energía

QFe

t

MeF

d

d





Con e h y la relación de F

Qht

M

t

MhF

d

d

d

d

Integrando, con el flujo de calorconstante,

3F CtetQMhMh


a t 0 x x0 M M0 F003 hhMCte

Sustituyendo

F00F hhMtQhhM

Arreglando

F

F0

F

F0

0 xxxx

hhtQhh

MM

Sustituyendo la relación par h entérminos de la concentración.

F

F20

0

xx

h2x1x1xH

F0

0

F0

xx

tMQhh

3.13Con

2x1x1xHh F

2

FF

0

0F

2x1x1xHh 0

2

00

0

00

La concentración no queda explícita

Despejando el tiempo

F00 hh

Q

Mt

F

20

0

F

F0 h2x1x1xHxx

xx





3.19 Descomposición de almidón

Volumen de control


Variable dependientex A: concentración del almidón, A

kg A/kgVariable fija

M: masa de la solución, kg

Parámetrok: coeficiente de velocidad

(tasa) de reacción, 1/s


a t 0 x A x A0


Mkxr A A

Condiciones del modelo Agitación perfecta: concentración

homogéneaParámetro: k constante, durante

el proceso

Proceso “batch”, masa M cons-tante

Balance de masa del almidón en elsistema

VA FE FS + RP RC

t

MxVA A

d

d (1/s) (kg) (kg A/kg)

0FE 0FS

RP 0 RC r (kg A/kg s) (kg)

Con lo que

A

A r t

Mx

d

d

Sustituyendo la relación constitu-

tiva, para la cinética de la reacción

A

A kMxt

Mx

d

d

Solución de la ecuación diferencial,considerando la masa, M, constante

0kxt

x A

A

d

d

Con el factor integrante, se tiene

Ctektx A exp


a t 0 x A x A0 Cte x A0

Mx






ktxx

0 A

A exp 3.19

Verificación

a t 0 x A x A0

a t x A 0

3.20 Reacción con densidad varia-ble

Volumen de control



C: concentración de lasustancia A, kmol A/m3

V: volumen de la solución, m3

Variable fijaM: masa de la solución

en el tanque, kg

Parámetrosk: coeficiente de velocidad

de reacción, m3

/kmol A s y 0: densidad, kmol/m3

: parámetro de la densidad,m3/kmol


a t 0 C C0

VC






RXN: A Productos

2

A kCR

Tk k

C10

T0 0 ρ Tα


homogéneaParámetro: k constante, durante

el procesoProceso “batch”, masa M

constanteReacción de segundo orden

mono-molecular para A

k, 0 y , constantes

Balance de masa de A en el sistema

VA FE FS + RP RC

t

VCVA

d

d (1/s) (m3) (kmol/m3)

0FE 0FS

RP 0

ARC R V (m3/kmol A s) (m3)

Con lo que

VR

t

VC A

d

d

Sustituyendo la relación constitutivay desarrollando la derivada del pro-

ducto.

0kC

t

V

V

C

t

C 2 d

d

d

d

Balance de masa de total

0

t

V

t

MVA

d

d

d

d

Como la masa del sistema es cons-tante y la densidad varía, entoncesel volumen debe variar, también.Desarrollando el producto y arre-lando

t

1

t

V

V

1

d

d

d

d

Integrando

MCteV1

Sustituyendo estos resultados en larelación para el balance de A

0kC

t

C

t

C 2

d

d

d

d

Por otro lado

C10

Derivando

t

C

C1t 2

0

d

d

d

d

Sustituyendo en la ecuación anteriory separando variables





tkC

C1C

C212

d d

Integrado

2CtektC1

C

C

1

ln


a t 0 C C0

0

0

0

2C1

C

C

1Cte ln

con lo que

tkCC1

C1

C

CC

C

C1 0

0

0

00

ln

3.20

Verificación

a t 0 C C0

a t C 0

3.21 Reacciones complejas

Volumen de control



N A: masa de A, kmol A NB: masa de B, kmolB NC: masa de C, kmolC

Variables fijasM: masa de la solución en el

tanque kg

Parámetrosk1, k2, k3, k4,: coeficientes respec-

rivos de reacción 1/s


a t 0

N A N A0

NB 0 NC 0

N A NB NC






III Nkr I = A, B, C

Tk k


homogéneaParámetros: kI constantes,

durante el procesoProceso “batch”, masa M

constanteReacciones ,I, de primer orden

Balance de masa de cada sustan-cia, componente, en el sistema

VA FE FS + RP RC

Para A

t

NVA A

d

d (1/s) (kmol A)

BRP r (kmol A/s)

RC r (kmol A/s)

0FE 0FS

Con lo que

AB A r r t

N

d

d (I)

Para B

t

NVA B

d

d (1/s) (kmolB)

CRP r r (kmolB/s)

B BRC r r (kmolB/s)

0FE

0FS

Con lo que

BBC A

B r r r r t

N

d

d

(II)

Para C

t

NVA C

d

d (1/s) (kmolC)

BRP r (kmolC/s)

CRC r (kmolC/s)

0FE 0FS

Con lo que

CB

C r r t

N

d

d (III)

Sumando las tres ecuaciones, I, II,y III

0

t

N

t

N

t

N CB A d

d

d

d

d

d (IV)

Integrando

1CB A CteNNN


a t 0 N A N A0

NB 0 NC 0 0 A2 NCte

0 ACB A NNNN (V)

A B Ck1

k2 k4

k3

RXN :





Solución de las ecuaciones delmodelo, sustituyendo las relacionesconstitutivas

A1B2

A NkNkt

N

d

d (VI)

B3B2C4 A1

B NkNkNkNkt

N

d

d

(VII)

C4B3C NkNkt

N

d

d (VIII)

Para eliminar una variable se derivala ecuación VI

t

Nk

t

Nk

t

N A1

B22

A

2

d

d

d

d

d

d (IX)

Sustituyendo

t

NB

d

d de la ecuación (VII)

NB de la ecuación (VI)

NC de la ecuación (V)

Arreglando con las siguientes cons-tantes

4321 kkkk

4321 kkkk

42 kk

2

41

Se obtiene

0 A A

A

2

A

2

NNt

N

t

N

d

d

d

d (X)

Cuya solución es

2tNN 0 A A exp (XI)

tCtetCte 32 coshsenh


a t 0 0 A0t A NN

0 A1

0t

A Nkt

N

d

d

Con la ecuación XI

0 A30 A NCteN

Derivando la ecuación XI

tCte2t

t

N2

A coshexpd

d

tCtetCte 23 senhsenh

2t2tCte3 expcosh

Evaluando a t 0

2CteCteNk 320 A1

Sustituyendo

1

0 A

A k

222t

N

Nexp

t1t coshsenh

3.21

Verificación

a t 0 N A N A0

a t N A N A0





3.22 Esterilizador

Volumen de control


Variable dependienteNm: concentración de micro-

organismos, μo/kg

Variables fijasM: masa de la solución, kgG: flujo de masa (caso b),

kg/s

Parámetro

k: coeficiente o tasa dedestrucción, 1/s


a t 0 Nm Nm0


m A kNR


homogéneaDestrucción de microorganismos

de primer ordenParámetro k constante, durante

el procesoFlujo de masa total en estado

estacionario, M constante,

G GS

Caso a) proceso “batch”

Balance de microorganismos en elsistema

VA FE FS + RP RC

t

MNVA m

d

d (1/s) (kg) (μo/kg)

0FE 0FS

RP 0

A ARC r R M (μo/kg s) (kg)

Con lo que

MR

t

MN A

m d

d

Sustituyendo la relación cons-titutiva, para la cinética de ladegradación de microorganismos

m

m kMNt

MN

d

d

Solución de la ecuación diferencial,considerando la masa, M constante

MNm

GNm0

GNmS





0kN

t

Nm

m d

d

Integrando queda

CtektNm exp


a t 0 Nm Nm0 Cte Nm0


ktN

N

0m

m exp 3.22 a)

Verificación

a t 0 x A Nm0

a t x A 0

Caso b) proceso continuo

Balance de masa de microorga-nismos en el sistema

VA FE FS + RP RC

t

MNVA m

d

d (1/s) (kg) (μo/kg)

0mGNFE (kg/s) (μo/kg)

mSSNGFS (kg/s) (μo/kg)

RP 0

A ARC r R M (μo/kg s) (kg

Con lo que

MRNGGN

t

MN AmSS0m

m d

d

Sustituyendo la relación constitu-tiva, para la cinética de degradaciónde microorganismos y aplicando lascondiciones del modelo

mm0m

m kMNGNGNt

NM

d

d

Solución de la ecuación diferencial,considerando la masa, M constante,con

GM s

0mm

m NNk

1

t

N

d

d

Integrando queda

tk

1Nm exp

ttk1N 0m d exp

tk1

Nm exp

Cte

k1

tk1N 0m

exp


a t 0 Nm Nm0





k1

NNCte 0m

0m


k1

NN 0m

m

tk1

k1

NN 0m

0m exp

Simplificando

k1

tk1

k1

N

N

0m

m

exp

3.22 b)

Verificación

a t 0 Nm Nm0

a t Nm Nm01 k

3.23 Arranque de un reactor

Volumen de control

Variable independientet: tiempo, ks

Variable dependiente

C = C A: concentración de Ainstantánea en el tanquekmol A/m3

Nota: la concentración a la entrada,también varía, pero mediante unarelación constitutiva con el tiempo.

Variable fija

V: volumen de la soluciónen el tanque, m3

Parámetrosk: coeficiente de velocidad

de reacción, 1/ks

C AE, y : coeficientes parala concentración a la entrada


a t 0 C C0

eV Ce

VC






RXN: Productos A

kCR A

TCk ,k tCCe AE f


Agitación perfecta: concentración

homogénea, C Cs

Reacción de primer ordenParámetros k y constantes,

durante el procesoFlujo total de masa en estado

estacionario, sVeV

V: volumen de la soluciónconstante

Balance de la masa de A, en elsistema

VA FE FS + RP RC

t

CVVA

d

d (1/ks)(m3)

(kmol A/m3)

eCeVFE (m3/ks)(kmol A/m3)

sCsVFS (m3/ks)(kmol A/m3)RP 0

ARC R V (kmol A/m3 ks)(m3)

Con lo que

VRsCsVeCeV

t

CV A

d

d


Sustituyendo la relación constitu-tiva, para la cinética de la reacción,y las condiciones del modelo

kCVsCVeCeV

t

CV

d

d


eV

V

ks

Sustituyendo y acomodando comouna ecuación diferencial lineal

Ce

Ck1

t

C

d

d

Con el factor integrante

tk1

Ct

expd

d

tk1Ce

exp

Integrando

tk1Cexp

ttk1Ce

d exp





a) Caso de Ce C AE constante

Sea eVVk1 eVV

Sustituyendo y arreglando la ecua-ción anterior

ttC

tC AE d expexp

Integrando

CtetCtC AE expexp


a t 0 C C0

AE

0

CCCte

Sustituyendo y arreglando en formaadimensional

tC

C

CC

AE0

AE

exp 3.23 a)

Verificacióna t 0 C C A C0

a t C C A C AE/

b) Caso de Ce C AE 1 sen t

Sea eVVk1 eVV


tCexp

ttt1C AE d expsen

Efectuando la integral, con ayudade un manual de integrales.

tC

tC AE expexp

Cte

ttC

222 AE

cossen


a t 0 C C0

222

AE AE0

CCCCte


222 AE

0

222 AE

1

C

C

tt1

C

C cossen

texp 3.23 b)

Verificación

a t 0 C C0





a t

2

AE

1

tt1

CC

cossen

c) Caso de Ce C AE 1 0 t

Sea eVVk1 eVV


tCexp

ttt1C AE d expδ 0

Es mejor resolver la ecuación diferencialpor medio de trasformadas de Laplace


Tomando en cuenta que para lafunción impulso de Dirac

a t 0 Ce C AE

a t 0 Ce C AE 1 0 t

a t 0 Ce C AE

y 10tttt

0 expd expδ 0

Entonces

tC

tC AE expexp

CteC AE


a t 0 C C0

AE AE

0

CCCCte


t1

C

C

1

C

C

AE

0

AE exp 3.23 b)

Verificación

a t 0 C C0 C AE

a t C C AE





3,24 Auditorio

Volumen de control


Variables dependientesC: concentración de CO2 (A)

en el aire, kmol A/m3

T: temperatura del aire, K

Variables fijas

V: volumen del aire en el cuartom3

Ce: concentración de CO2 en elaire a la entrada, kmol A/m3

Te: temperatura del aire,a la entrada, K

N: número de personas, pers.

Parámetrosk: coeficiente de velocidad de

generación de CO2 m3/kmol A s pers.

G: generación de calor W/pers.

: densidad de la mezclagaseosa, kg/m3

CV: calor especifico de lamezcla gaseosa, J/kg K


a t 0 C C0 T T0


PTkr A ,k

otrosPTG ,,G

REFV TTCe

otrosCPTCV ,,,C V

otrosCPT ,,, ρ

RCCVP


Masa, C y T, homogénea

Cs C, Ts T

Parámetros: k, , CV Y Gconstantes, durante el proceso

Proceso en estado estacionario

se VV

TREF = 0 KGeneración de CO2, por

el modelo propuestoGeneración de calor, por

el modelo propuesto

a) Balance de masa de CO2

VA FE FS + RP RC

t

CVVA

d

d (1/s)(m3)(kmol A/m3)

eeCVFE (m3/s)(kmol A/m3)

ssCVFS (m3/s)(kmol A/m3)

ARP r N (kmol A/pers. s)(pers.)

RC 0

eV CeTe

VCT





Con lo que

NRCVCVtCV

Assee

d d

Solución de la ecuación del balancede masa de A

Sustituyendo la relación constitu-tiva, para la cinética de la reacción,y las condiciones del modelo

kCNCVCV

t

CV eee

d

d

Arreglando con las siguientes cons-tantes

eVV , s

VkN , kmol A/m3 s

eC

1C

1

t

C

d

d


tC1

tCt

e expexpd

d

Integrando

1e CtetC1

tC

expexp


a t 0 C C0

e0 CCCte


tCCCC

e0

e exp

3.24 a)

b) Balance de energía

VA FE FS + RP RC

t

eVVA d

d

(1/s)(kg/m3)(m3)(J/kg)

eee eVFE (kg/m3)(m3/s)(J/kg)

sss eVFS (kg/m3)(m3/s)(J/kg)

RP GN (W/pers.)(pers.)

RC 0

Con lo que

GNeVeV

t

eVssseee

d

d

Solución de la ecuación del balancede energía

Sustituyendo la relación constitu-tiva, para la cinética de la reacción.

GNTVCTVCt

TVCssPeeP

V

d

d

Reuniendo constantes y arreglando

Pe

V

CV

CV

, s

VC

GN

V

, K/s





Con las condiciones del modelo

eT

1T

1

t

T

d

d


tT1

tTt

e expexpd

d

Integrando

2e CtetT1tT

expexp


a t 0 T T0

e0 TTCte

Sustituyendo, arreglando

tTT

TT

e0

e exp

3.24 b)

Verificación

a t 0 C C0 y T T0

a t C = Ce T = Te

3.25 Reactor de segundo orden

Volumen de control


Variables dependientesxB: concentración instantánea

de B, kmolB/kmolx A: concentración instantánea

de A, kmol A/kmol

Variables fijasM: masa de la solución

en el tanque kmolR: flujo de masa a la entrada

del tanque kmol/ksxBe = 2 X0: concentración de B

a la entrada, kmolB/kmolx Ae = 4 X0: concentración de A

a la entrada, kmol A/kmol

Parámetrok: coeficiente de velocidad de

de reacciónkmol2/kmol A kmolB ks

x A xB M

x Ae = 4 X0 R

RxBe = 2 X0

xBs 2 R






a t 0

x A x A0 X0 xB xB0 0


B AB A xkxRR

0B0 A xxTk ,,k


homogénea, xBs = xB Reacción de segundo irreversibleParámetro: k y flujo R constantes,

durante el procesoBalance total de masa en estado

estacionario

Balance de masa de cada sustan-cia, componente, en el sistema

VA FE FS + RP RC

Para B

t

MxVA B

d

d

(1/ks)(kmol)(kmolB/kmol)

0X2RFE

(kmol/ks)(kmolB/kmol)

BxR2FS

(kmol/ks)(kmolB/kmol)RP 0

BRC R M

(kmolB/kmol ks)(kmol)

Con lo que

MRRx2RX2

t

MxBB0

B d

d

Para A

t

MxVA A

d

d

(1/ks)(kmol)(kmol A/kmol)

0X4RFE

(kmol/ks)(kmol A/kmol)

AxR2FS

(kmol/ks)(kmol A/kmol)RP 0

ARC R M

(kmolB/kmol ks)(kmol)

Con lo que

MRRx2RX4

t

Mx A A0

A d

d

Solución del sistema de ecuacionesdiferenciales del modelo, conside-rando sus condiciones y tambiénsustituyendo las relaciones consti-tutivas, con la siguiente constante

R2M , ks

AB0BB xkxXx

1

t

x

d

d

AB0 A

A xkxX2x1

t

x

d

d

Para sustituir x A en términos de xB,se suman ambos balances de masa(Estequiometría)

A B Productosk

RXN :





0 A

A0B

B X2x1

t

xXx

1

t

x

d

d

d

d

Separando variables con ayuda delfactor integrante

tX2xt

tXxt

0 A0B expd

d exp

d

d

Integrando

tXx 0B exp

CtetX2x 0 A exp


a t 0

x A x A0 X0 xB xB0 00Cte

Entonces

0 A0B X2xXx y

0B A Xxx

Sustituyendo en la ecuación delbalance de B

0BB0B

B XxkxXx1

t

x

d

d

Arreglando, para separar variables

tXxkX1kx

x

0B0

2

B

B d d

Integrando, con ayuda de un cuadrode integrales

2

0

2

0

2

0B

2

0

2

0

2

0B

XkkX61kX1kx2

XkkX61kX1kx2ln

CtetXkkX61 2

0

2

0

2

Arreglándola, con los parámetrosadimensionales

k2kXkX61 2

00

2

0

kM2

MXkMRkX12R4 220

20

2

k2kX1 0

02

X

kM

R 0


a t 0 xB xB0 0

lnCte


tk2x

x

B

B

exp

3.25

Verificación

a t 0 xB 0

a t xB





3,26 Reacción reversible

Volumen de control


Variables dependientesC A: concentración de A instan-tánea en el tanque kmol A/m3

CB: concentración de B instan-tánea en el tanque kmolB/m3

V: volumen de la solución, m3

Variables fijasV0: capacidad del tanque, m3 Q: flujo a la entrada, m3/ks

C Ae C A0: concentración de Aa la entrada kmol A/m3

Parámetrosk1: coeficiente de velocidad

de reacción AB, 1/ksk2: coeficiente de velocidad

de reacción AB, 1/ks

: densidad de la soluciónkg/m3


a t 0 V 0


A1 A CkR B2B CkR

TCk ,k CT, ρ


homogéneaLa reacción inicia cuando A cae

al tanqueFlujo total de masa a la entrada

constante Ambas reacciones de primer

orden

Parámetros k1 k2 y constantes,durante el proceso

Otras sustancias inertes

Balance de masa de la sustancia A,en el sistema

VA FE FS + RP RC

t

VCVA A

d d (1/ks)(m3)

(kmol A/m3)

AeQCFE (m3/ks)(kmol A/m3)

0FS

BRP R V (kmol A/m3 s)(m3)

ARC R V (kmol A/m3 s)(m3)

Q

C A0

V

C A CB

RXN : A Bk1

k2





Con lo que

VRVRQCt

VC AB Ae

A d

d

Balance de masa de B

t

VCVA B

d

d (1/ks)(m3)

(kmolB/m3)0FE 0FS

ARP R V (kmolB/m3 s)(m3)

BRC R V (kmolB/m3 s)(m3)

VRVR

t

VCB A

B d

d


t

VVA

d

d (1/ks)(m3)(kg/m3)

QFE (m3/ks)(kg/m3)

0FS

Q

t

V

d

d

Solución de las ecuaciones diferen-

ciales suponiendo constante

Q

t

V

d

d

Integrando esta ecuación

1CteQtV


a t 0 V 0 Cte1 0

El volumen queda

QtV

Sumando el balance de masa de Acon el de B (Estequiometría)

t

VCQCt

VC B Ae

A

d d

d d

Separando variables

B Ae A VCtQCVC d d d

Integrando

2B Ae A CteVCtQCVC


a t 0 V 0 Cte2 0

Sustituyendo esta constante y elvalor del volumen

B Ae A QtCtQCQtC

Con lo que

A AeB CCC

Incluyendo estos dos resultados ylas relaciones constitutivas en elbalance de A

VCkVCkQC

t

VCB2 A1 Ae

A d

d





Derivando el producto y sustituyen-do el valor de C A en términos de CB

A1 Ae A A CkC

V

Q

t

V

V

1C

t

C

d

d

d

d

A Ae2 CCk

Sustituyendo el volumen, arreglan-do y simplificando

Ae2 A21

A Ck

t

1Ckk

t

1

t

C

d

d

Acomodando con factor integrante

t

tkktC 21 A

d

expd

tkkCtk1 21 Ae2 exp

Integrando

21

21 Ae21 A

kktkkCtkktC

expexp

3

21

22 Cte

kk

ktk1

Evaluando la constante cuando t 0

21

2

21

Ae3

kk

k1

kk

CCte

Al sustituirla se obtiene el resultado

21

2

Ae

A

kk

k

C

C

t

tkk1

kk

k 21

2

21

1

exp

3.26

Verificación

a t 0 V 0 C A C Ae

a t V0Q C A C A

21

2 Ae A

kk

kCC

QV

QVkk1

kk

k

0

021

2

21

1 exp





3,27 Reacciones consecutivas

Volumen de control


Variables dependientesCB: concentración de B instan-tánea en el tanque kmolB/m3

C A: concentración de A instan-tánea en el tanque kmol A/m3

Variables fijasV: volumen de la solución

en el tanque, m3 Q: flujo a la entrada, m3/s

C Ae C0: concentración de A a laentrada kmol A/m3

Parámetrosk1, k2, k3: coeficientes de veloci-

dad de reacción, 1/s

: densidad de la mezcla kg/m3


a t 0 C A C0 CB 0


A1 A CkR

B2B CkR B3B CkR

TCk ,k CT, ρ


Agitación perfecta: concentraciónhomogénea, CBs = CB

La reacción inicia cuando A eltanque está lleno

Flujo total de masa a la entradaconstante


V = Cte Qs = Qe = QTodas las reacciones de primer

orden

k1, k2 , k3 y constantes,durante el proceso

constanteOtras sustancias inertes

Balance de masa para la sustanciaB, en el sistema

VA FE FS + RP RC

t

VCVA B

d

d (1/s)(m3) (kmolB/m3)

0FE

BsCQFS (m3/s)(kmol A/m3)

ARP R V (kmolB/m3 s)(m3)

RC R V R V

(kmolB/m3

s)(m3

)

QC Ae

V

C A CB

A B

k2

k1 k3

CRXN :





VRCQ

t

VC ABss

B

d

d

VRVR BB

Balance de masa de A,

t

VCVA A

d

d (1/ks)(m3)

(kmol A/m3)

AeeCQFE (m3/ks)(kmol A/m3)

AssCQFS

BRP R V

(kmol A/m3 s)(m3)

ARC R V (kmol A/m3 s)(m3)

Ass Aee

A CQCQt

VC

d

d

VRVR AB

Sustituyendo las relacionesconstitutiva y la condiciones delmodelo

VCkVCkVCkQC

t

VCB3B2 A1B

B d

d

y

VCkVCkQCQCt

VC A1B2 A Ae

A d

d


Q

V s

Simplificando y arreglando

B32 A1

B Ckk1

Ckt

C

d

d (I)

B2 A1 Ae

A CkCk1

C1

t

C

d

d (II)

Para poder sustituir la variable C A en el balance de B, Ec. I, se debederivar la de este balance Ec. II.

t

Ck

t

C A12

B

2

d

d

d

d

t

Ckk

1 B32

d

d

(III)

Se sustituye la derivada de laconcentración de A, Ec. II, en estaúltima, Ec. III; por otro lado. el valorde la concentración de A sereemplaza con la Ec. I y se tiene

Ae

1B

B

2

B

2

Ck

Ct

C

t

C

d

d

d

d (IV)

Definiendo las siguientes constan-tes

2kkk 321

31321 kk1kkk

31

2

3212

kk2

kkk

4

Se resuelve la ecuación diferencialde segundo orden lineal de coefi-cientes constantes

tCtet

2C 1B senhexp

Ae12

CktCte cosh






a t 0 CB 0

01

0t

B Ckt

C

d

d

Hay que derivar la ecuación paraevaluar la constante Cte1

tCtetCtet

2t

C21

B

senhcoshexp

d

d

tCtetCtet

2221

coshsenhexp

Con lo que

Ae1

2

CkCte

01 Ae11

Ck

2

CkCte

El resultado es

t2Ck

CkC

Ae1

Ae1B

exp

tt

C

C

2 Ae

0 coshsenh

3.27

Verificación

a t 0 CB 0

a t CB k1C Ae

3,28 Reactores en serie

Volumen de control


Variables dependientesC1: concentración de A en el

tanque 1 kmol A/m3 C2: concentración de A en el

tanque 2 kmol A/m3

Variables fijasV1: volumen de la solución

en el tanque 1, m3 V2: volumen de la solución

en el tanque 2, m3

eV : flujo a la entrada, m3/s

Ce: concentración de A a laentrada kmol A/m3

Parámetrosk1, k2,: coeficientes de velocidad

de reacción en los tanques1 y 2 respectivamente, 1/s

V1 C1

eV

Ce

V2 C2

s1V

C1s

s2V

C2s





: densidad de la mezcla kg/m3

Condición de contornoa t 0

C1 C0 Ce; C2 C0 Ce


111 A CkR 222 A CkR

TCk ,k CT, ρ


homogénea,

Cs1 C1 Ce2; Cs2 C2 La reacción inicia cuando el

tanque está lleno

Flujo total de masa a la entradaconstanteFlujo total de masa en estado

estacionario

2s1se VVV

Todas las reacciones de primerorden

Parámetros k1, k2 y constantes,durante el proceso

V1 y V2, respect. constantesOtras sustancias inertes

Balance de masa para la sustancia A, en el sistema

VA FE FS + RP RC

Tanque 1 Tanque 2

t

VCVA 1

d

d

t

VCVA 2

d

d

(1/s)(m3) (kmol A/m3)

1e1e CVFE 2e2e CVFE

(m3/s)(kmol A/m3)

1s1s CVFS 2s2s CVFS

(m3/s)(kmol A/m3)RP 0 RP 0

11RC R V 22RC R V (kmol A/m3 s)(m3)

Quedando los balances de A y B,respectivamente:

11 A1s1s1e1e

11 VRCVCVt

CV

d

d

22 A2s2s2e2e22 VRCVCV

tCV d

d


1e

11

V

V

2e

22

V

V

s

1

1

1e

1

kV

V

1

2

2

2e

2

kV

V

1

s

Sustituyendo estas constantes, lasrelaciones constitutiva y la condi-ciones del modelo.

1

e1

1

1 CC

1

t

C

d

d

RXN : Ak3

Productos





2

12

2

2 CC

1

t

C

d

d

Se resuelve primero la del balancedel tanque 1, puesto que la deltanque 2 queda en función de laprimera, es decir de C1. Arreglandocon el factor integrante

1

1

e11 t

CtC

t

expexp

d

d

Integrando

11

1

e111 Ctet

CtC

expexp


a t 0 C1 Ce

1

e1

e1

C

CCte

Sustituyendo

1

1

e1e

1

e11 t

CC

CC

exp

Simplificando se obtiene el resulta-do

1

1

1

1

1

e

1 t1C

C

exp

Primer tanque 3.28a)

Sustituyéndola en la ecuación delsegundo tanque

2

12

2

2 CC

1

t

C

d

d

1

1

1

1

1

2

e t1C

exp

Arreglándola con el factor integrante

2

1

1

2

e22 t

CtC

texpexp

d

d

12

1

1 tt1 exp

Integrando

2

1

21

2

e22 t

CtC expexp

2

12

12

1

1 Cte11

tt1

exp


a t 0 C2 Ce

1

21

2

ee2

CCCte

12

1

1

11

11






2

21

21

21

21

e

2 t1C

Cexp

21

21

21

11

21 tt expexp

Segundo tanque 3.28a)

Verificación

a t 0 C1 Ce C2 Ce

a t C1 1Ce1 C2 1 2Ce(12

Caso b) cuando los tanques son deigual volumen y velocidad dereacción, se puede obtener con elresultado anterior

2

21

21

21

21

e

2 t1C

C

exp

2

21

21

21

21

21

11 t

1t

exp

exp

Calculando el límite cuando

1 2 0

entonces 1 2

y 1 2

Aplicando L’Hopital

t1C

C2

2

2

2

e

2 exp

tt2

exp

Segundo tanque

t1C

C

e

1 exp

Primer tanque

3.28b)

También se puede obtener la soluciónhaciendo el balance del tanque 2

t1

CCC

1

t

C e2

2 expd

d

Integración

1t

C

tCt

e

2 expexpd

d

Ctet1tC

tC e2

expexp


a t 0 C2 Ce

e

e

CCCte

Resultado

t1tt

C

C2

2

22

2

e

2 expexp





3,29 Difusión de un solvente

Volumen de control


Variables dependientesM A: masa del solvente A instan-

tánea en el tanque kmol A/m3

Variables fijas A: área de transferencia de

masa, m2 T: temperatura, KP: presión, Pa

ParámetrosK: coeficiente de transferencia

de masa, m/sy*: composición de saturación

del solvente en el aire,kmol A/kmol

: densidad del aire kmol/m3


a t 0 M A M A0


yyKAM A * PTy ,y* *

RTP PTK ,K

Condiciones del modeloComposición en el aire

homogéneaSólo se evapora el solventeLa concentración en la interfase

es la solubilidad y*El gas se comporta como gas

ideal o perfectoLa composición del solvente en el

aire es despreciable, y 0

Parámetros k, y* y constantes,durante el proceso

Balance de masa de A, en el tanque

VA FE FS + RP RC

t

MVA A

d

d (1/ks)(kmol A)

AsaleMFS (kmol A/ks)

0FE RP 0 RC 0

Con lo que

Asale

A Mt

M

d

d

Resolviendo la ecuación, sustitu-

yendo las relaciones constitutivas ytomando en consideración lascondiciones del modelo, se tiene

*

d

d yKA

t

M A

Integrando

CtetyKAM A *

y*

M A






a t 0 M A M A0 Cte M A0

Sustituyendo esta constante y arre-glado

tM

ykA

M

MM

0 A0 A

0 A A

*

3.29

Verificación

a t 0 M A M A0

a M A 0 t M A0kAy*

3,30 Dializador

Volumen de control


Variables dependientesC: concentración de A instan-

tánea en la bolsita kg A/m3 CT: concentración de A instan-

tánea en el tanque kg A/m3

Variables fijas

V: volumen de la soluciónen la bolsita, m3

VT: volumen de la soluciónen el tanque, m3

A: área lateral de cadabolsita, m2

Parámetros

KOG: coeficiente global de transfe-rencia de masa de A, m/s

: densidad de la soln. kg/m3


a t 0 C C0 CT 0

VT CT

VC






TOG A CC AKM

flujoagitaciónCTKOG ,,,K OG

CT, ρ

Condiciones del modeloComposición homogénea

Parámetros KOG y constantes,durante el proceso

El flujo de masa de A se rige porla relación constitutiva dada.

El área de transferencia de masade A coincide con el áreageométrica de la bolsita

VT >> V

Balance de masa para el soluto A

en la bolsitaVA FE FS + RP RC

t

VCVA

d

d (1/s)(m3) (kg A/m3)

AMFS (kg A/s)

0FE RP 0 RC 0

Con lo que

AM

t

VC

d

d

Balance de masa de A en el tanque

t

CVVA TT

d

d (1/s)(m3) (kg A/m3)

AMFE (kg A/s)

0FS RP 0 RC 0

A

TT Mt

CV

d

d

Caso a) “Batch”

La concentración en el tanque varía,por lo que, se suman las dos ecua-ciones para obtener la relaciónentre ambas.

0

t

VC

t

CV TT d

d

d

d

Integrando

1TT CteVCCV


a t 0 C C0 CT 0

Cte1 C0V

Quedando

CCV

VC 0

T

T

Sustituyendo este resultado y lasrelaciones constitutiva, en elbalance de A en la bolsita

TOG CC AK

t

VC

d

d

CC

V

VC AK 0

T

OG






AK

V

OG s,

TV

V

adim.

Sustituyendo las constantes y lascondiciones del modelo

0CC1

1

t

C

d

d


20 Ctet

1CC1

1

1

ln


a t 0 C C0

02 C

1

1Cte ln

Sustituyendo

t1

C

CC1

1

1

0

0

ln

Arreglando

1

t1

CC

0

exp

3.30 a)

Verificación

a t 0 C C0

a t C CT

VV1

C

11

CC

T

00

Nota

Si TVV 0V

V

T

entonces

t1

C

C

0

exp

Caso b) Flujo de solvente en el

tanque continuo, C CT C

Sustituyendo las relaciones consti-tutiva, en el balance de A en labolsita

ACK

t

VCOG

d

d


AK

V

OG

s

Sustituyendo la constante y lascondiciones del modelo

C1tC

d d


3Ctet1

C

ln






a t 0 C C0

03

CCte ln

Quedando

t1

C

C

0

ln

Arreglando

t

1

C

C

0 exp

3.30 b)

Verificación

a t 0 C C0

a t C 0

3,31 Disolución de azúcar

Volumen de control


Variables dependientesx: concentración instantánea

del azúcar en el agua,kg A/kgagua

M: masa de azúcar, instantánea,sin disolver, kg A

Variables fijasW: masa de agua kgagua

ParámetrosKOG: coeficiente de transferencia

de masa del azúcar al agua,1/s

x*: concentración del azúcar enel agua a la saturación osolubilidad, kg A/kgagua


a t 0 M M0 x 0

Wx

M A






xxMKM OG A *

agitaciónxTKOG ,,K

Tx x* *


homogénea, en la soluciónParámetros: k y x* constantes,

durante el proceso

La relación constitutiva para elflujo de masa de azúcar, secumple en este proceso

Balance de masa de azúcar en lafase sólida

VA FE FS + RP RC

t

MVAd

d (1/s)(kg A)

AMFS (kg A/s)

0FE RP 0 RC 0

Con lo que

AMt

M

d

d

Balance de masa de azúcar en lafase líquida

VA FE FS + RP RC

t

WxVA

d

d

(1/s)(kgagua)(kg A/kgagua)

AMFE (kg A/s)

0FS RP 0 RC 0

Con lo que

AM

t

Wx

d

d

Solución el sistema de ecuacionesdiferenciales del modelo.

Para evaluar la concentración totalen ambas fases, se suman lasecuaciones de los balances de lasustancia a en las dos fases.

0

t

Wx

t

M

d

d

d

d

Integrando

1CteWxM


a t 0 M M0 x 0

Cte1 = M0

Sustituyendo

WxMM 0

W

MMx 0

Sustituyendo las relaciones consti-tutivas en el balance de azúcar enla fase sólida.





xxMK

t

MOG *

d

d

W

MMxMK 0

OG *


W

KOG , 1/kg s

0MWx * kg A

Sustituyendo

MM

t

M

d

d

Separando variables y resolviendo

tMM

Md

d

Integrando

2CtetM

M1

ln


a t 0 M M0

0

0

2 M

M1

Cte ln


tM

M

M

M

0

0

ln

Sustituyendo constantes y simplifi-cando

1tM

Wx

1M

Wx

M

M

0

0

0

exp*

*

3.31

0MWx * kg A

Verificación

a t 0 M M0

a t

si * xW

M0 0 0M

si * xW

M0 0

* WxMM 0

para * xWM0 0

No se cumple la ecuación anterior.La ecuación diferencial es

t

M

M2

d d

Integrando, con la condición inicialdada.

tM1

1

M

M

00

a t 0 M M0

a t M 0





3,32 Arranque de un destilador

Volumen de control


Variable dependientex: concentración instantánea

de A en la fase líquida,fracción mol kmol A/kmol

Variable intermedia

y: concentración instantáneade A en la fase gaseosa,fracción mol kmol A/kmoldepende de x

Variables fijasM: masa total en el destilador

kmol

F: flujo de masa total a laentrada kmol/ks

xF: concentración de A a laentrada, kmol A/kmol

D: flujo de masa destilado o desalida kmol/ks

Parámetrosm A: coeficiente de distribución

para A, adim.mB: coeficiente de distribución

para B, adim.

m AmB volatilidad relativa


a t 0 x x0 xF


x1

x

y1

y

PT,xα

Despejando y

x11

xy


concentración homogéneaParámetro constante,

durante el procesoFlujo total de masa en estadoestacionario: M constantey y x siempre en equilibrio

de fasesNo sale nada por el fondo: W = 0

DXD

WXW

F

XF





Balance de masa de la sustancia A

VA FE FS + RP RC

t

MxVA

d

d (1/s)(kmol)(kmol A/kmol)

FFxFE (kmol/s)(kmol A/kmol)

WxDyFS (kmol/s)(kmol A/kmol)

RP 0 RC 0

Con lo que

WxDyFx

t

MxF

d

d

Balance de masa total (estadoestacionario)

VA FE FS

0t

MVA d

d (1/s)(kmol)

FFE (kmol/s) WDFS (kmol/s)

Con lo que

0WDF

t

M

d

d

Uniendo los dos balances, con lascondiciones del modelo, la relación

constitutiva y W 0.

yxF

t

xM F

d

d


x11xxF

txM F

d d

Reunión de constante

F

M s,

0x1 F adim.


t1

xxx

x11

F

d d

Integrando

Ctet

1xx

x1x

1F2

F

ln

Condición de contornoa t 0 x x0

0F2

F0 xx

x1x

1Cte

ln


t

xx

xxxx

1

0F

F

20 ln

3.32

Verificación

a t 0 x x0

a t x xF yD se evapora todo




Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 284 Escuela de Ingeniería Química Cap. 4. Análisis microscópico

4.1 Estática de fluidos

Volumen de control


z: profundidad, mVariables dependientes

F: fuerza reactiva sobre lapared en dirección x,perpendicular a la pared

(área) y en la posición z NP: presión en el fluido en la

posición z Pa

Variables fijas

A: diámetro del depósito, mL: profundidad del fluido

Parámetros

: densidad del fluido kg/m3


a z 0 Fx 0 P P0


área 24 D A

perímetro D

volumen zDz AV 2

4

peso VgW d

presión APF d

densidad PT, ρ

Condiciones del modeloFluido en reposoLa fuerza no depende del tiempoDensidad constanteEl lado seco de la pared está

en contacto con la atmósferaLa superficie del fluido está

en contacto con la atmósfera.

Balance de fuerzas en la pared

VA FE FS + FN (fuerza neta)

0VA

xzFFE (N)

xxxzFFFS

(N)

zPPFN 0 (Pa) (m) (m)

Nota:

PPPP21

Con lo que

0zPPF 0x

z 0

z

z z

P

P P

P0 P0

Fx

Fx Fx





Arreglando

0x PPz

F

Obteniendo el límite cuando z 0

0

x PPz

F

d

d

Balance de fuerzas en el fluido


0VA

APFEz

(Pa) (m2)

AP APFSzz

(Pa) (m2)

z AgFNz A

(kg/m3) (m/s2) (m2) (m)

Nota: 21

Con lo que

0z Ag AP

Arreglando

Ag

z

AP

Obteniendo el límite cuando z 0

Ag

z

AP

d

d

Sustituyendo las relaciones consti-tutivas y tomando en consideraciónlas condiciones del modelo, se tieneel siguiente sistema de ecuaciones

0

x PPDz

F

d

d

g

z

P

d

d

Resolviendo el sistema de ecua-ciones,

1CtezgP


a z 0 P P0 Cte1 P0

0PzgP

Sustituyendo la presión, en laecuación de la fuerza sobre la pared

zgD

z

Fx d

d

Integrando

2

2

x Cte2

zgDF


a z 0 Fx 0 Cte2 0

Sustituyendo esta constante y arre-glado

2

zDgF

2

x

4.01





La fuerza total, F, sobre la pared es

APPFF 0x d d

Que se considera que actúa sobre

el centro de fuerza, F

APPzFzF 0xF d d

Sustituyendo el valor de la presión yel área

L

0zzgDF d

L

0

2

F zzgDF d

Integrando y el arreglado

2

LgDF

2

L32

F

A partir de el nivel superior del líquido.

4.2 Presión atmosférica

Volumen de control

Variable independienteh: posición vertical, m

Variables dependientesP: presión, PaT: Temperatura K

Parámetros

: densidad del aire kg/m3

: coeficiente adiabático

R/CP. adim.

: coeficiente de la función detemperatura 1/m

Constantesg: aceleración gravita. m/s2 R: Constante universal de

los gases J/kg K


a h 0 T T0 P P0


RTP

hT

h

h P

P P





Condiciones del modeloPropiedades de la atmósfera

homogéneasSistema en reposo estable

(h) es conocida y realComportamiento ideal operfecto del gas.

Balance de fuerzas

VA FE FS + FN

0VA APFE

h (Pa) (m2)

APPFShh

(Pa) (m2)

h AgFNh A

(kg/m3) (m/s2) (m2) (m)

Con lo que

0h Ag AP

Simplificando, arreglando

gh

P

Obteniendo el límite cuando h 0

g

h

P

d

d

Caso a) T T0 constante

Sustituyendo la densidad con larelación de los gases ideales

g

RT

Pg

h

P

0

d

d

Separando variables

0RT

g

h

P

P

1

d

d

Integrando

a

0

CtehRT

gP ln


a h 0 P P0 Ctea ln(P0)

Sustituyendo

h

RT

g

P

P

00

exp

4.02 a)

Caso b) T T0 (P/P0)

Sustituyendo la temperatura con larelación de la Termodinámica, paraun proceso adiabático para gasesideales

1

0

0 PRT

gP

RT

Pgg

h

P

d

d

Separando variables

hRT

gPPP

0

1 d d





Integrando

b

0

0 CtehRTgPP


a h 0 P P0 Cteb P0

Sustituyendo

1

00

hRT

g1PP

Asimismo 4.02 b)

hRT

g1

T

T

00

Caso c) T T0 (1 h)

Sustituyendo la relación lineal detemperatura con la altura y con laley de los gases ideales,

h1RT

gPg

h

P

0

d

d

Separando variables

h1

h

RT

g

P

P

0

d d

Integrando

c

0

Cteh1RT

gP

lnln


a h 0 P P0 Ctec ln(P0)

Quedando

0RT

g

0

h1P

P

4.02 c)

Nota:

Los dos casos b) y c) proponen unarelación lineal para la temperatura con lavariación de la altura.

0RT

g

Con la temperatura de la base a 25 C es

3,9 10-5 1/m 2,25 10-5 1/m.

Verificacióna h 0 P P0

para los tres casos

Caso a)

a h P 0

Caso b)P tiene sentido físico para

h gRT0

Caso c)P tiene sentido físico para

h 1





4.3 Ecuación de Bernouilli

Volumen de control

Variable independientex: posición en dirección del

flujo, m


v vx: velocidad, m/sP: presión en el fluido en la

posición x Pa

Variable fija

: ángulo de inclinación

Parámetro

: densidad del fluido kg/m3


a x x0 v vx v0

z z0 P P0

Condiciones del modeloFlujo de fluidos en estado

estacionarioDensidad, , constanteEfectos de fricción despreciables

0

Balance de fuerzas cantidad demovimiento en el fluido


0VA

vwyvwyPFEx

(Pa) (m) (m); (kg/m3) (m/s) (m) (m) (m/s)

x

x

wyPwyPFS

xx d

d

x

x

vwyvvwyv

d

d

(Pa) (m) (m); (kg/m3) (m/s) (m) (m) (m/s)

sengxwyFN x (kg/m3) (m) (m) (m) (m/s2)

Nota:

21 vvvv

21

Sumando términos y simplificando

0g

x

vv

x

P sen

d

d

d

d

Obteniendo el límite cuando x 0

0g

x

vv

x

P sen

d

d

d

d

Por otro lado

z

x

xP

v

g

g sen

y

w





send

d

x

z

Sustituyendo, queda

0

x

zg

x

vv

x

P

d

d

d

d

d

d

Arreglando y separando variables

0zgvvP d d d

Integrando

Ctegz2

vP

2


a x x0 v vx v0

z z0 P P0

0

2

00 gz

2

vPCte

El resultado, entonces, es:

0zzg2

vvPP0

2

0

2

0

4.03





4.4 Placas deslizantes

Volumen de control

Variables independientes

x: posición en direccióndel flujo, m

y: posición perpendicularal flujo, m

Variables dependientesvx: velocidad, m/sP: presión en el fluido en la

posición x Pa

xy: esfuerzo viscoso Pa

Variables fijas2W: separación entre placas, mL: longitud de las placas, m

Parámetros

: densidad del fluido, kg/m3

: viscosidad del fluido, kg/m s

Condiciones de contornos

a x 0 P P0 x L P PL

y W vx V

y -W vx -U


y

v xyx

PT, ρ PT, μ


estacionario

y : densidad y viscosidadson constantes

vy 0 vz 0Régimen de flujo laminarFluido newtonianoFlujo desarrollado y efectos de

entrada y salida despreciablesCondición de no deslizamiento

La velocidad del fluido en contactocon la placa es igual al de la placa.

Flujo desarrollado y efectos deentrada y salida despreciables

L

P

L

PP

x

P 0L

Balance de masa (total)(Ecuación de continuidad)

0zy

x

v x

Con la densidad constante

0

x

v x

Balance de fuerzas cantidad demovimiento en el fluido, en ladirección de flujo, x.


U

V

x

yP yx P Px

yvx





0VA

xxxvzyvzyPFE

(Pa) (m) (m); (kg/m3) (m/s) (m) (m) (m/s)

zxFE yxy (N/m2) (m) (m)

zyPzyPFSxx

xxxx vzyvvzyv (Pa) (m) (m); (kg/m3) (m/s) (m) (m) (m/s)

zxzxFS yxyxyy

(N/m2) (m) (m)

00gxzyFN x sen (kg/m3) (m) (m) (m) (m/s2)

Nota:

21 vvvv

21


0yx

vv

x

P yxxx

Obteniendo el límite cuando

x 0 y y 0

0

yx

vv

x

P yxxx

Sustituyendo las relaciones delbalance de masa y de la presión

L

P

y

yx

d

d

Sustituyendo la Ley de viscosidadde Newton.

L

P

y

v2

x

2

d

d

Integrando esta ecuación

21

2

x CteyCteyL2

Pv


L2

PW 2

m/s


a y W v V

21

2

2CteWCteW

WV

a y -W v -U

21

2

2CteWCteW

WU

Resolviendo el sistema de ecua-ciones para evaluar las constantes,sustituyéndolas y arreglando

2

x

W

y1

v

W

y

UV

UV

2

UV

4.04

La ecuación para el esfuerzocortante

W2

UVy

L

Pyx





4.5 Flujo sobre una placa

Volumen de control


x: posición a partir de la entrada,en la dirección del flujo, m

y: posición a partir de la placa,perpendicular al flujo, m

Variables dependientesvx: velocidad, en la dirección

del flujo, m/sP: presión en el fluido, Pa

yx: esfuerzo cortante, debido a la

fricción, en la dirección y(perpendicular a x), Pa

Variables fijas

: ángulo de la placa conla horizontal, rad.

W : espesor de la capa de fluidoa partir de la placa, m

B : ancho de la capa de fluido, mL : largo de la capa de fluido, m

Parámetros




a x 0 P P0

x L P PL

a y = 0 vx = vxy=0 = 0

y = W yx = yxy=W = 0


r v xyx d d

PT, ρ PT, μ


estacionarioMasa, fluida, como un continuo

y : densidad y viscosidad

son constantesvz 0 vy 0Régimen de flujo laminarFluido newtonianoFlujo desarrollado y efectos de


La velocidad del fluido en contactocon el sólido es igual al del sólido.

0v0yx

Interfase líquido gas

yxy =W = 0Geometría perfectaMasa homogénea

Flujo desarrollado y efectos deentrada y salida despreciables

sengL

PP

x

P 0L

Fx W

vx

gg sen

x

x

y

yx

y + yy

x + x






0zyvzyv xx


0

x

v x

Balance de fuerzas cantidad de

movimiento en el fluidoVA FE FS + FN (fuerza neta)

0VA x

xxxx vzyvzyPFE

(Pa) (m) (m); (kg/m3) (m/s) (m) (m) (m/s)

yxFE yxyx

(N/m2) (m) (m)

xx

zyPzyPFS xxx

x

x

vzvyvzvy xx

xx

(Pa) (m) (m); (kg/m3) (m/s) (m) (m) (m/s)

yy

zxzxFS

yx

yxyyx

(N/m2) (m) (m)

sengzyxFNyx

(kg/m3) (m) (m) (m) (m/s2)

Notas:

2

1

0sr r 0sr r límlím

El operador derivada actúa sobrelo que está a la derecha

Sumando términos

zyx

yzyx

x

vv yxxx

0zgyxzyx

x

P

sen

Simplificando

0g

x

P

yx

vv yxxx

sen

Sustituyendo las relaciones del

balance de masa y de la presión

0gL

PP

y0Lyx

sen


2

W

gL

PP

v

20L

MAX sen m/s

sen2

Wg

2

0W

2v

y 2MAX

yx

Sustituyendo la Ley de viscosidad

de Newton

0W

2v

y

v

y 2MAXx

d

d

d

d

Considerando la viscosidad cons-tante





0W

v2

y

v2

MAX

2

x

2

d

d

Integrando la ecuación tras anterior

1TE2MAXyx CyW

2v

1TE

2MAXx

yx

Cy

W

2v

x

v1

d

d

Integrando de nuevo, con cons-tante

2TE1TE2

2

MAXx Cy

Cy

W

vv


a y = W yx = yxy=W= 0

W

2vC MAX1TE

a y = 0 vx = vxy=0 = 0

0Cte2

Sustituyendo las constantes, y arre-glando, con

2

W

gL

PP

v

20L

MAX sen

1W

y

W

v22

MAXyx

4.05

2

MAXxW

y

W

y2vv

Verificación

a y = 0 vx = 0

a y = W yx = 0vx = vMAX


B

0

W

0x ydzvm d

3

BWv2m

MAX

El esfuerzo de fricción y la fuerza totalen la pared de la placa

FS = B L yxy =0

WBLv2F MAXS /





4.6 Conducto anular, horizontal

Volumen de control

Variable independientez: posición en dirección

del flujo, mr: posición, radial, perpen-

dicular al flujo, m

Variables dependientesvz: velocidad en dirección

axial, z, m/sP: presión en el fluido Pa

rz: esfuerzo viscoso Pa

Variables fijasR: radio externo del conducto,

interno m

R + : radio interno del conducto,externo m

L: longitud del conducto, m

Parámetros




a z 0 P P0

z L P PL

r R vz 0

r R + vz 0


r

vzrz

PT, ρ PT, μ


estacionario

y : densidad y viscosidad

son constantesvr 0 v 0Régimen de flujo laminarFluido newtonianoFlujo desarrollado y efectos de


La velocidad del fluido en contactocon el sólido es igual al del sólido.

L

PP

z

P 0L


0r r v z


rz

r

r

R

R

r

z

P vz r

rz

z





0

z

v z

Balance de fuerzas cantidad demovimiento en el fluido


0VA

zzzzzvr r vr r PFE

(Pa) (m) (m); (kg/m3) (m/s) (m) (m) (m/s)

r rzr zr FE (N/m2) (m) (m)

zzzzzzzzvr r vr r PFS

(Pa) (m) (m); (kg/m3) (m/s) (m) (m) (m/s)

r r rzr r zr FS

(N/m

2) (m) (m)

0gzr r FN sen

Notas:

2

1

0sr r 0sr r límlím

r r r límr lím 2

1

0sr r 0sr r

Sumando términos y arreglando

z

vv

z

PPz

2

zzz

2

zzzz

0r r

r r r rzr r rz

Obteniendo el límite cuando r 0

y z 0

0

r

r

r

1

z

v

z

P rz

2

z

Sustituyendo las relaciones delbalance de masa y de la presión

L

PP

r

r

r

1 0Lrz

d

d


0L PP Pa

R

R Adim.

Sustituyendo la Ley de viscosidadde Newton

r

Lr

vr

r r

r zrz

d

d

d

d

d

d

Sustituyendo y desarrollando laderivada del producto, con laviscosidad constante

Lr

v

r

1

r

v z

2

z

2

d

d

d

d

Integrando la ecuación tras anterior

1

2zrz Cter

L2r

vr r

d

d

r

1Cter

L2r

v1 1zrz

d

d

Integrando de nuevo, con cons-tante

21

2

z Cter Cte1

r L4

v

ln






a r R vz 0

21

2 CteRCte1

RL4

0

ln

a r R vz 0

21

2CteRCte

1R

L40

ln

21

2

Cte

R

Cte

1R

L40

ln

Resolviendo el sistema paraobtener las constantes y luegosustituyendo

22

z r R

1R

L4v

lnln r R

1 2

4.06

El esfuerzo cortante de fricción

ln2

1

r

R

R

r

L2

R 2

rz

Verificación

a r R vz 0

a r r R vz 0


R

R

2

0z dr r vm d

ln

224

41

1L8

Rm

La fuerza sobre la pared delconducto, fuerza o fricción o de piel

L

0

2

0 Rr rss dsr F d

L

0

2

0 Rr rs dsr d

22

s 1RF





4.7 Pared aislante

Volumen de control


flujo de calor, m

Variable dependienteT: temperatura, K

Variables fijas

L: espesor de la placa, m-: ancho y largo de la placa

Parámetrok: conductibilidad (conducti-

vidad) térmica, W/m K


a x 0 T T0

a x L qxxL h (TxL Tf )


x

Tkqx

d

d

xTk ,k

Condiciones del modeloFlujo de calor en estado

estacionario

qy 0 y qz 0Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropo

k constante

Balance de energía

VA FE FS RP RC

0VA

zyqFE xx (W/m2) (m2)

xx

zyqzyqFS xxxx

d

d

(W/m2) (m2)RP 0 RC 0


0

x

qx d

d


Sustituyendo la Ley de Fourier conk constante

0

x

T2

2

d

d

x 0

x

x L

T T

T

qx qx qx

x

T T0

Tf





Integrando

21

CtexCteT


a x 0 T T0 Cte2 T0

a x L qxxL h (TxL Tf )

f LxLx

TThx

Tk

d

d

f 211 TCteLCtehCtek

Con lo que

f 01 TThLk

hCte

El resultado es:

Lh

k

x

TT

TT

f 0

f

4.07

k

L

h

1

TTq f 0

x

Verificación

a x 0 T T0

a x L

f Lx

f 0x TTh

k

L

h

1

TTq

4.8 Capa aislante

Volumen de control

Variable independienter: posición radial en dirección

del flujo de calor, m


Variables fijas A: radio del núcleo, mR: radio externo del arreglo

núcleo aislante, mL: longitud del cilindro, m

Parámetro

k: conductibilidad (conducti-vidad) térmica, W/m K


a r A qr Q(2 AL)

a r R T TR


r

rqr

R

A

TR





r

Tkqx

d

d r Tk ,k


estacionario

qz 0 y q 0Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropok constante

Radio interno es igual al radio delnúcleo

Balance de energía, en la capaaislante

VA FE FS RP RC

0VA

zr qFE r r (W/m

2

) (m

2

) zr qzr qFS r r r r

(W/m2) (m2)RP 0 RC 0

Notas:La producción de energía está en elnúcleo, no en la masa del aislanteEl operador derivada actúa sobre loque está a la derecha

zr qr qzr qzr q r r r r

Sumando términos, simplificando y

dividiendo por r

0

r

rqr

Obteniendo el límite cuando r 0,se tiene

0q

r

qr

r

rqr

r r d

d

d

d


Sustituyendo la Ley de Fourier conk constante.

0r

T

r

1

r

T2

2

d

d

d

d

Integrando, la ecuación en términosdel calor

1r Cterq

r

Cteq

r

Tk 1

r d

d

Integrando de nuevo, con k cons-tante.

21 Cter

k

CteT ln


a r A

ACte

r Tk

AL2Qq 1

Ar

r d

d

L2

QCte1

a r R T TR

21

R CteRk

CteT ln





RkL2

QTCte R2 ln

Sustituyendo las constantes

R

r

kL2

QTT R ln 4.08

r

1

L2

Qqr

Verificación

a r R T TR

a r A AL2

Qqr

4.9 Esfera térmica

Volumen de control




Variables fijasR: radio de la esfera, m

Parámetrosk: conductibilidad (conducti-

vidad) térmica, W/m Ks: generación de calor, W/m3


a r 0

0r

Tkq

0r

r d

d

condición de simetría

a r R T TR

r

r

R

qr






r

Tkqr

d

d

r Tk ,k


estacionario

q 0 y q 0Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropo

k constantes constante


VA FE FS RP RC

0VA

senr r qFE r r (W/m2) (m2)

sen2

r r r r qFS

r

r

r q 2

r

d

send

(W/m2) (m2)RP sr r sen r

(W/m3) (m3)RC 0

Efectuando operaciones

0sr

r

qr 2r

2

d

d


Sustituyendo la Ley de Fourier

0sr Tk

r 2

r Tk

r

dd

dd

dd


1

3

r

2 Cte3

r sqr

y

2

1r

r

Cte

3

r sq

r

Tk

d

d

Integrando para

21

2

Cter

Cte

6

r sTk d

Caso a) k k0 constante

21

2

0 Cter

Cte

6

r sTk


a r 0

0

r

Tkq

0r

r d

d

0Cte1

a r R T TR

6

RsTkCte

2

R02

Con lo que





2

0

2

RR

r 1

k6

sRTT

4.09 a)

r 3

sqr

Caso b) k k0 1 T

21

2

0 Cter

Cte

6

r sTT1k d

Integrando

21

22

0 Cter

Cte

6

r sT

2Tk


a r 0 0r Tkq

0r

r d

d

0Cte1

a r R T TR

6

RsT

2TkCte

22

RR02

Sustituyendo

RR TTTT2

1

2

0

2

R

r 1

k6

sR

4.09 b)

r 3

sqr

Notas:

Si 0, se obtiene el mismo casoa), anterior.

Si

R0Prom TT2

1kk

Entonces

2

Prom

2

RR

r 1

k6

sRTT

Verificación

a r 0

0r

Tkq

0r

r d

d

a r R T TR





4.10 Barra con generación de calor

Volumen de control




Variables fijasR: radio de la barra, mL: largo de la barra, m


vidad) térmica, W/m Ks: generación de calor, W/m3 h: coeficiente de Transf. de calor

(película) del aire, W/m2 K


a r 0

0r

Tkq

0r

r d

d

condición de simetría

a r R

f Rr Rr

r TThr

T

kq d

d


r

Tkqr

d

d r Tk ,k

T1ss 0

PvTTh aireW ,,,h


estacionario

q 0 y qz 0Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropok constanteh constante

T1ss 0

Balance de energía, en la barra

VA FE FS RP RC

0VA

zr qFE r r (W/m2) (m2)

zr qzr qFS r r r r (W/m2) (m2)

RP sr r z (W/m3) (m3)RC 0


dividiendo por r

r

r

qr

R





0r s

r

rqr


sq

r

1

r

q

r

rq

r

1r

r r d

d

d

d


Sustituyendo la Ley de Fourier

0s

r

Tk

r

1

r

Tk

r

d

d

d

d

d

d

Caso a) s s0 constante ( 0)

0r s

r rq

r 1 d

d

Con k constante

k

s

r

T

r

1

r

T 0

2

2

d

d

d

d


1

2

0r Cte2r srq

y

r

Cte

2

r sq

r

Tk 1

0r d

d

Integrando, con k y s0 constantes.

2120 Cter

k

Cter

k4

sT ln


a r 0

0r

Tkq

0r

r d

d

0Cte1

a r R

f Rr Rr

r TTh

r

Tkq

d

d

201

0 Rk4

sh

R

Cte

2

Rs

f 21 TCteR

k

Cteln

Con lo que

f

2002 TR

k4s

h2RsCte

Sustituyendo

h2

Rs

R

r 1

k4

RsTT

2

0

22

0f

4.10 a)

r 2

sq 0

r





Caso b) s s01 T

T1sr

rqr 1

0r

dd

Con k y s0 constantes

T1k

s

r

T

r

1

r

T 0

2

2

d

d

d

d

Integrando, la ecuación en términosdel calor. Realizando los siguientes

cambios de variables o constantes,para facilitar las operaciones

1 T adim.

m2 s0k, 1/m

Quedando la ecuación, de la forma

0θmr

θ

r

1

r

θ 2

2

2

d

d

d

d

Que es una ecuación de Bessel,integrando

mr Ctemr CteT1θ 21 00 KI

La derivada, que se usa en lascondiciones de contorno, es

mr mCter

T

r

θ

1 1Id

d

d

d

mr mCte2 1K


a r 0

0r

Tkq

0r

r d

d

0Cte2

a r R

f Rr Rr

r TThr

T

kq d

d

f

Rr Rr

Tθ1

hr

θk

d

d

f 1

1 TmRCte1

hmRCtekm 0

1

II

Despejando

mRhmRkm

T1hCte f

1

01 II

Sustituyendo

mRmRh

km

mr

1T

1T

f 01

0

II

I

4.10 b)

mk

mR

h

mR

mr 1

T

qf

r 01

1

II

I

Verificación

a x 0 0r Tkq

0r

r d

d

a x R

f Rr

f

r TTh

mR

mR

mk

1

h

1

1T

q

1

0

I

I





4.11 Reactor anular

Volumen de control




Variables fijasR0: radio de la pared interna, mR1: radio de la pared externa, mL: longitud del cilindro, m

Parámetrok: conductibilidad (conducti-


S: generación de calor, W/m3


a r R1 T T1

a r R0 qr 0


r

Tkqr

d

d r Tk ,k


estacionario

qz 0 y q 0Efectos de contacto despreciablesGeometría cilíndrica perfectaMaterial isótropok y S constantes


VA FE FS RP RC

0VA


r

r

zr qzr qFS r

r r r

d

d

(W/m2) (m2)

RP Sr r z (W/m3) (m3)RC 0


0Sr

r

r qr d

d


Sustituyendo la Ley de Fourier conk constante

r

S

r

T

r

1

r

T2

2

d

d

d

d

rqr

R1

r

R0





Integrando, la ecuación en términosdel calor.

r Sr r qr dd

12

r Cter 2

Sr q

1r Cter

2

Sq

r

Tk

d

d

Integrando de nuevo, para T

2

12

Cter k

Cte

r k4

S

T ln


a r R0 qr 0

2

01 R2

SCte

a r R1 T T1

1

2

0

2

112 RRk2

SRk4

STCte ln


1

2

1

0

2

12

1

1

R

r

R

R2

R

r 1

k4SR

TTln

4.11

r R

Rr

2SRq 0

0

0r

Verificación

a r R0 qr 0

a r R1 T T1

4.12 Tanque esférico

Volumen de control




T: temperatura, K

Variables fijasR0: radio de la pared interna, mR1: radio de la pared externa, mTb: temperatura de ebullición del

oxígeno, a la presión detrabajo (constante) K

R1

R0

rr

qr T

T

T






vidad) térmica, W/m Kh: coeficiente de transferencia

de calor del oxígeno,W/m2 K

: calor latente de vaporizacióndel oxígeno a la Tb, W/m K


a r R0 qr r=Ro h Tr=Ro Tb

a r R1 T T1


r

Tkqr

d

d r Tk ,k

f ss TThq

.,,,h etcagitaciónTTTh f ss


estacionario

qz 0 y q 0Efectos de contacto despreciablesGeometría esférica perfectaMaterial isótropo

k, h y constantesTanque lleno de líquido, saturadoConductividad térmica del metal

muy grande k o espesor

muy delgado 0

T1, a R1, conocida.


VA FE FS RP RC

senr r qFE r r (W/m2) (m2)

sen

r r qFS r r r senr r qr (W/m2) (m2)

RP 0 RC 0


dividiendo por r

0

r

qr r

2


0rq2

r

qr

r

qr r

r 2r

2

d

d

d

d


Sustituyendo la Ley de Fourier con

k constante

0

r

T

r

2

r

T2

2

d

d

d

d


1r

2 Cteqr

2

1r

r Cteq

r Tk

dd

Integrando de nuevo

21 Cte

kr

CteT






a r R0 qr r=Ro h Tr=Ro Tb

b2

0

1

2

0

1 TCtekR

Cteh

R

Cte

a r R1 T T1

1

112

kR

CteTCte

Despejando las constantes

2

010

1b1

hR

1

kR

1

kR

1

TTCte


k

RR

R

R

h

1

1U

01

1

0

0

Sustituyendo

1

0000

1b

1

R

R

r

R

k

UR

TT

TT

4.12

1b

20

0r TTr

RUq

Consumo de energía evaporación

r

2

0 qR4m

Flujo de masa evaporada

1b0

2

0 TTUR4m , kg/s

Verificación

a r R1 T T1

a r R0

1

000

1b

10

R

R1

k

UR

TT

TT

0b1b0r TThTTUq





4.13 Intercambiador de calor de unpaso

Volumen de control

Variable independientex: posición dirección

del flujo de masa, m

Variable dependientet: temperatura del fluido en el

conducto interno, K

T: temperatura del fluido en elen el espacio anular, K

Variables fijasr: radio del tubo interno, mR: radio del tubo externo, mL: longitud del cilindro, m

m : flujo de masa en el tubointerno, kg/s

M : flujo de masa en el espacio

anular, kg/s

Parámetrosc: capacidad calorífica del

fluido interno J/kg KC: capacidad calorífica del

fluido externo J/kg KU: coeficiente global de trans-

ferencia de calor, basado enel radio interno, W/m2 K


a x 0 t t0

a x L T TL


Ref ttch (entalpía)

Ref TTCH (entalpía)

TtUqs

.,c sustTc .,C sustTC

Condiciones del modeloFlujo de masa y calor en estado

estacionarioFlujo tipo pistón

0

x

v x d

d

0

r

T

d

d

0

r

v x d

d

Pérdidas de calor hacia el medio(conducto externo)despreciables

Flujo de fluidos desarrolladoGeometría perfectaC y c constantesU constante

T t

Balance de energía, en el conductointerior

VA FE FS RP RC0VA

hmFEx

(kg/s) (J/kg)

x

x

hhmFS

xx d

d

(kg/s) (J/kg)

xr 2qFS sx

(W/m2) ((m m)

RP 0 RC 0

m

M

T

T

t t t

T

x xx

R

r

qs





Balance de energía, en el espacioanular

VA FE FS RP RC

0VA

HMFEx

(kg/s) (J/kg)

xr 2qFE sx

(W/m2) ((m m)

x

x

HHMFS

xx d

d

(kg/s) (J/kg)

RP 0 RC 0


dividiendo por x

0rq2

x

hm s

d

d

0rq2

x

HM s

d

d

Solución de las ecuaciones diferen-ciales

Sustituyendo la relación térmicas,con la capacidad calorífica cons-tante

TtrU2

x

tcm

d

d (I)

TtrU2

x

TCM

d

d (II)

Resolviendo el sistema de ecua-ciones diferenciales, sumándolas.

0

x

TCM

x

tcm

d

d

d

d (III)

Integrando esta ecuación (III)

1CteCTMctm

(IV)

Despejando T.

tCM

cm

CM

CteT 1

Sustituyéndola en la ecuación (I)

t

CM

cm

CM

CtetrU2

x

tcm 1

d

d


cmCMrU2

cmCM

, m


1CtecmCM

1

t

1

x

t

d

d

Acomodando variables (factor inte-grante)

xcmCM

Cte

x

xt 1 expd

expd

Integrando

21 Ctex

cmCM

Ctext

expexp

Despejando t

xCte

cmCM

Ctet 2

1 exp






a x 0 t t0

021 tCteCtecmCM

1

(i)

a x L T TL

Lx

1L t

CM

cm

CM

CteT

LCte

cmCM

Ctet 2

1

Lx

exp

1CtecmCM

1

CM

cm

CM

1

L2 TCteLCM

cmexp

(ii)

Resolviendo el sistema de ecua-ciones (i) y (ii) para las constantes

L11cm

CM

LtTcm

CM0L

exp

exp

, K

cmCMCte1

02 tCte

Sustituyendo en las ecuaciones (i) y(ii)

xtt 0 exp

tCM

cm

CM

cm1T

Desarrollando , el resultado enfunción de t, se tiene

xt

t

0

exp

x1

L2cm

CM

Lt

T

cm

CM

0

L

exp

exp

exp

4.13

Verificación

a x 0 t t0

a x L T TL





4.14 Alambre eléctrico

Volumen de control


z: posición en direccióndel flujo de calor, m


Variables fijasTf : temperatura del medio, KD: diámetro del alambre, m

L: largo del alambre, m


vidad) térmica, W/m Kh: coeficiente de Transf. de calor

(película) del medio, W/m2 K


a z 0 T T0

a z L T TL


Sólido:z

Tk

Tkq

d

d

d

d

Medio: f s TThq

Generación: RI 2S

r Tk ,k

PvTTh medioW ,,,h

área:2

z D4

a

perímetro: DPz


estacionario

q 0 y qr 0Efectos de contacto despreciablesGeometría cilíndrica perfectaMaterial isótropoS, k, y h constantes

Balance de energía, en el alambre

VA FE FS RP RC

0VA

zzzaqFE (W/m2) (m2)

zzzzzaqqFS

(W/m2) (m2)

zhz

PqFS (W/m2) (m2)

zRP Sa (W/m3) (m3)

RC 0


dividiendo por r

0s

a

Pq

q

z

zz

z

Obteniendo el límite cuando 0,se tiene

T Tqh

T

qz

D





0s

a

Pq

q

z

zh

z

d

d


Sustituyendo las relaciones consti-tutivas, con k constante

0

k

STT

kD

h4Tf 22

2

d

d

Cambiando variables y reuniendoconstantes

dd z

kD

h4m

h4

DSTT f

0mr

2

2

2

d

d

Integrando, la ecuación diferencialordinaria lineal

mzCtemzCte 21 coshsenh


a z 0 T T0 0

02Cte

a z L T TL L

mL

mLCte 0L

1senh

cosh

Sustituyendo se obtiene la relaciónfinal

2f 0

2f

km

STT

km

STT

mL

mz

km

STT

km

STT

2f 0

2f L

senh

senh

mL

zLm

senh

senh

4.14

El flujo de calor

mL

mz

km

STTkmq 2f Lz

senh

cosh

mL

zLm

km

STT

2f 0senh

cosh

Verificación

a z 0 T T0 0

a z L T TL L

Para el caso a), recto, se sustituyela variable

z z y L L

Para el caso b), curvo, se sustituyela variable

z y L





4.15 Intercambiador de calor confluido lento y viscoso

Volumen de control


flujo de masa, m


Variables fijasD: diametro del tubo interno, m

m flujo de masa, kg/sL: longitud del tubo, mTf : temperatura del medio K


fluido interno J/kg Kk: conductibilidad térmica

del fluido interno, W/m KU: coeficiente global de trans-

ferencia de calor, basado enel radio interno, W/m2 K


a x 0 T T0

a x L T TL


x

Tkqx

d

d

.,k sustTk

Ref ttch .,c sustTc

(entalpía)

TtUqh vsustTU .,,U


estacionario

0xv x

Flujo tipo de pistón

0

r

T

0r

v x

0

θr

T

0θr

v x

Flujo de fluidos desarrolladoGeometría perfecta

, c, k, y U constantesTf constante


VA FE FS RP RC

0VA

4DqhmFE 2xx (kg/s) (J/kg); (W/m2)(m2)

x

x

hhmFS

xx d

d

4Dx

x

qq 2x

x

d

d

(kg/s) (J/kg); (W/m2)(m2)

xDqFS hx

(W/m2)(m2)

m

T T T

r

x

xx

qx

qh

Tf

D





RP 0 RC 0

Sumando términos, simplificando ydividiendo por x

0q

D

4

x

q

x

h

D

m4h

x

2

d

d

d

d


Sustituyendo las relaciones térmi-cas, con parámetros constantes

0TT

kD

U4

x

T

kD

Cm4

x

Tf 22

2

d

d

d

d

Reunión de constantes y variables

f TT

kD

U4m , 1/m

kD

Cm42

, 1/m

Sustituyendo

0m

xx

2

2

2

d

d

d

d

Integrando esta ecuación, con

kD

U4

kD

Cm2m

4

2

2

22

xCte2x 1senhexp

xCte2 cosh


a x 0 T T0 0

02Cte

a x L T TL L

L

L2LCte 0L

1

senh

coshexp

Sustituyendo y haciendo el trabajo

algebraico, se tiene

f 0

f

TT

TT

xL2L

x

TT

TT

f 0

f L expsenh

senh

2

x

L

xLexp

senh

senh

4.15

Verificación

a x 0 T T0

a x L T TL





4.16 Reactor tubular

Volumen de control

Variable independientex: posición en la dirección

del flujo de masa, m


Variables fijasD: diámetro del tubo interno, m

m flujo de masa, kg/s

L: longitud del tubo, mTf : temperatura del medio K


fluido interno J/kg Kk: conductibilidad térmica

del fluido interno, W/m KU: coeficiente global de trans-

ferencia de calor, basado en

el radio interno, W/m2 KS: generación de energía,

W/m3


a x 0 T T0

a x L T TL


x

Tkqx

d

d

.,k sustTk

Ref ttch .,c sustTc

TtUqh vsustTU .,,U

xHS 0 exp .,H sustTH0


estacionario

0

x

v x

Flujo tipo de pistón

0

r

T

0r

v x

0

θr

T

0θr

v x

Flujo de fluidos desarrollado

Geometría perfecta, c, k, y U constantes

H0, T f y constantes


VA FE FS RP RC

0VA

4DqhmFE

2

xx

(kg/s) (J/kg); (W/m2)(m2)

hhmFSxx

4Dqq 2

xx

(kg/s) (J/kg); (W/m2)(m2)

xDqFS hx

(W/m2)(m2)

2RP S D 4 x (W/m3)(m2 m)

RC 0

x xx

m

T T

T

r qx

qh

Tf

D






dividiendo por x.

0Sq

D

4

x

q

x

h

D

m4h

x

2

Obteniendo el límite cuando x 0,se tiene

0Sq

D

4

x

q

x

h

D

m4h

x

2

d

d

d

d


Sustituyendo las relaciones térmi-cas, con parámetros constantes

f 22

2

TTkD

h4

x

T

kD

Cm4

x

T

d

d

d

d

0x

k

H0 exp

Caso a) qh h(T Tf )


f TT

kD

h4m , 1/m

kD

Cm4

2

, 1/m

x

k

Hm

xx02

2

2

expd

d

d

d

Integrando esta ecuación, con

kD

U4

kD

Cm2m

4

2

2

22

xCte2x 1senhexp

xCte2 cosh

xm

kH22

0

exp

Condiciones de contorno, con

22

0

m

kHC

a x 0 T T0 0

22

0f 02

m

kHTTCteB

a x L T TL L

1Cte A

22

0f L

m

LkHTT

exp

L

2L

senh

exp

L

L

m

kHTT

22

0f 0

senh

cosh

Con lo que

x A2xTT f senhexp

xCxB expcosh

4.16 a)

Verificación

a x 0 T T0

a x L T TL





Caso b) qh 0

xk

HxT

xT 0

2

2 exp

dd

dd

Integrando

xCxB AT expexp

4.16 b)

En los cuales:

kD

Cm42

2

0 kHC

a x 0 T T0

a x L T TL

L1

L1kH

TT

B2

0L0

exp

exp

0T A

L1

L1kH

TT2

0L0

exp

exp

2

0 kH

Verificación

a x 0 T T0

a x L T TL

4.17 Aleta anular

Volumen de control




Variables fijasR0: radio de la pared del

conducto, mRL: radio de la aleta, mL: longitud de la aleta, m2W: espesor de la aleta, mT0: temperatura en la base de

la aleta KTf : temperatura en el medio K

RL R0

2W

L

rr

qh

R0 qr

T TT

Tf

T0






vidad) térmica del materialde la aleta, W/m K

h: coeficiente de transferenciade calor del medio, W/m2 K


a r R0 T T0

a r RL qr r=R L he Tr=R L

Tf


r

Tkqr

d

d r Tk ,k

f h TThq

.,,,h etcagitaciónTTTh f

W2r 2 A r 2r 2Pr


estacionarioEfectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropok y h constantes

q 0

qz 0 ,T no varía con z 0

z

T

Balance de energía, en la aleta

VA FE FS RP RC

r r r AqFE (W/m2) (m2)

r

x

Aq AqFS r r

r r r r

d

d

(W/m2) (m2)

r PqFS r hr

(W/m2) (m2)

RP 0 RC 0


dividiendo por r

0Pq

r

Aqr h

r r d

d

Desarrollando el producto

0Pqr

A

qr

q

A r r r

r r

r d

d

d

d

Solución de la ecuación diferencial.

Sustituyendo la Ley de Fourier conk constante, la Ley de enfriamientode Newton y las relaciones geomé-tricas

0TT

kW

h

r

T

r

1

r

Tf 2

2

d

d

d

d


f TT , KkW

hm , 1/m

Sustituyendo

0m

r r

1

r

2

2

2

d

d

d

d

Resolviendo la ecuación de Bessel

mr Ctemr Cte 21 00 KI






a r R0 T T0 0

02010 mRCtemRCte 00 KI

a r RL

L

L

L Rr e

Rr Rr r h

r kq

d

d

Nota: se considera que en el borde

el coeficiente de transferencia decalor es diferente que sobre odebajo de la superficie de la aleta.

hhe

Derivando la ecuación del modelo

mr mCtemr mCte

r 21 11 KI

d

d

Aplicándola a la condición de con-torno en RL

L2L1 mRCtemRCtekm 11 KI

L2L1e mRCtemRCteh 00 KI

Despejando las constantes, con

kW

h

m

Le

L

Le

L

mRkm

hmR

mRkm

hmR

C

01

01

KK

II

00f 0

f

mRCmR

mr Cmr

TT

TT

00

00

KI

KI

4.17

Flujo de calor

00

f 0r mRCmR

mr Cmr TTkmq

00

11

KI

KI

Verificación

a r R0 T T0

a r RL qr r=R L he Tr=R L

Tf





4,18 Membrana semipermeable

Volumen de control


x: posición en la dirección delflujo de soluto, dentro de la

membrana, mVariable dependiente

C A: concentración del soluto,kmolA/m3

Variables fijas A: área de la lámina, m2 L: espesor de la lámina, m

Parámetros

D AB: difusividad másica del solutoen el material, m2/s

kC: coeficiente de transferenciade masa en el medio, m/s


a x 0 C A C A0

a x L N Axx=L kC C Ax=L C Af


x

CDJ A AB Ax

d

d

xTD AB ,D AB

Af AsC As CCkN

..,,,kC etcagitCCCk Af A AC

Condiciones del modeloFlujo de masa de A en estado

estacionario

N Ax J Ax; vx 0;

N Ay 0; N Az 0Geometría perfectaMaterial isótropoD AB y kC constantesC Af constante

Balance de masa del soluto A

VA FE FS RP RC

0VA zyNFE Axx

(kmolA/m2 s)(m2)

zyNzyNFS Ax Axxx

(kmolA/m2 s)(m2)RP 0 RC 0


dividiendo por xyz.

0x

N Ax

Obteniendo el límite cuando x 0,se tiene,

0

x

N Ax d

d

x xx

C A C A C A

N Ax






Sustituyendo la ley de Fick, condifusividad constante.

0

x

C2

A

2

d

d

Resolviendo esta ecuación,

2

A Cte

x

C

d

d

Integrando otra vez.

xCteCteC 21 A


a x 0 C A C A0 0 A1 CCte

a x L

Lx

A ABLx Ax

x

CDN

d

d

Af Lx AC CCk

Af 21C2 AB CLCteCtekCteD

LkD

CCkCte

C AB

Af 0 AC2

Sustituyendo

LkD

x

CC

CC

C AB0 A Af

0 A A

4.18

El flujo de sustancia soluto del A através de la membrana es

ABC

Af 0 A Ax

DLk1

CCN

Verificación

a x 0 C A C0

a x L N Axx=L kC C Ax=L C Af





4.19 Tubo de diálisis

Volumen de control

Variable independienter: posición radial, en dirección

del flujo de A, m

Variable dependienteC A: concentración de A, dentro

de la pared del conductokmolA/m3

Variables fijasR0: radio de la cara interna, m

R: radio de la cara externa, mL: longitud del conducto, m

ParámetrosD AB: difusividad másica de A en el

material del conducto, m2/skC: coeficiente de transferencia

de A en el medio, m/s


a r R0 T C Ao

a r R

qr r=R kC C Ar=R C Af


r

CDJ A

AB Ar d

d r TD AB ,D AB

Af AsC As CCkN

..,,,kC etcagitCCCk Af A AC


estacionario

N Ar J Ar ; vr 0;

N A 0; N Az 0Geometría cilíndrica perfectaMaterial isótropo

D AB y kC constantesC Af constante

Balance de la masa de A, en lapared de tubo.

VA FE FS RP RC

0VA

zr NFE Ar r (kmolA/m

2

s)(m

2

)

r r

zr Nzr NFS Ar

Ar r r

d

d



dividiendo por r.

R

R0

r

r

N Ar

C A C A C A





0rN

r

Nr

r

rN Ar

Ar Ar d

d

d

d


Sustituyendo la Ley de Fick con D AB constante.

0

r

C

r

1

r

C A

2

A

2

d

d

d

d

Integrando, la ecuación en términosdel flujo de masa.

1 Ar CterN

r

CteJ

r

CD 1

Ar A

AB d

d

Integrando esta expresión

2

AB

1 A Cter

DCteC ln


a r R0 C A C Ao

0

AB

10 A2 R

D

CteCCte ln

a r R

Rr

A ABRr Ar

r

CDN

d

d

Af Rr AC CCk

Af 2

AB

1C

1 CCteRD

Ctek

R

Cteln

Despejando la constante

Rk

1

D

R

D

R

CCCte

C AB AB

0

0 A Af 1 lnln

Reunión de constantes.

AB

000

C

0

D

RRR

R

R

k

1

1K

ln

Sustituyendo

0

AB

00

0 A Af

0 A A Rr D

KR

CC

CCln

4.19

r

CCKN Af 0 A

0 Ar

Verificación

a r R0 T C Ao

a r R

qr r=R kC C Ar=R C Af





4.20 Cilindro difusor

Volumen de control

Variable independientez: posición en la dirección del

flujo de masa de A, m

Variable dependienteC A: concentración de A kmolA/m3

Variables fijasR: radio del cilindro, m

L: longitud del cilindro, mC Af : concentración de A en

el medio, kmolA/m3


material del cilindro, m2/sK: coeficiente de transferencia

de A en el medio, m/s


a z 0 C A C A0

a z L N Az 0


z

CDJ A

AB Azd

d zTD AB ,D AB

f A As CCKN

..,,,K etcagitCCCKf A A


estacionario

N Az J Az; vz 0;

N Ar 0; N A 0Geometría perfectaEfectos de borde despreciablesMaterial isótropo

D AB y K constantesC Af constante

Balance de masa de A

VA FE FS RP RC

0VA 2

AzzRNFE (kmolA/m2 s)(m2)

2 Az

2 Azzz

RNRNFS

(kmolA/m2 s)(m2)

zR2NFS Akx

(kmolA/m2 s)(m2)

RP 0 RC 0


dividiendo por R2z.

0NR

2

z

N Ak Az


0N

R

2

x

N Ak

Az d

d

C A C A C A r

z zz

N Az

N Ak

C Af

R






Sustituyendo las relaciones de latransferencia de masa, con difusi-vidad constante.

0CC

RD

K2

z

C Af A

AB2

A

2

d

d

Caso a) K K0, constante


Af A CC AB

0

RD

K2m

Sustituyendo en la ecuación del

modelo general, se tiene que

0m

z

2

2

2

d

d

Resolviendo esta ecuación, diferen-cial ordinaria lineal de coeficientesconstantes

mzCtemzCteC 21 A coshsenh


a z 0 C A C A0

f 0 A02 CCCte

a z L N Ax 0

Derivando la ecuación del modelo

mzmCte

z

C1

A coshd

d

mzmCte2 senh

mLCtemDz

CD 1 AB

Lz

A AB cosh

d

d

0mLCte2 senh

mL

mLCCCte Af 0 A1

cosh

senh

Sustituyendo

mL

zLm

CC

CC

Af 0 A

Af A

cosh

cosh

4.20 a)

El flujo de sustancia A a través de lamembrana es

mL

zLmCCmDN Af 0 A AB Az

cosh

senh

Verificación

a z 0 C A C0

a z L N Az 0





Caso b) K K01zL

Reunión de constantes y variables.

Af A CC , kmolA/m3

Lz1 dd Lz

AB

0

RD

K2L

Sustituyendo en la ecuación delmodelo general, se tiene que

0

2

2

2

d

d

Resolviendo la ecuación, de Bessel

211

21 Af A 2CteCC 1I

212 2Cte 1K

Condiciones de contornoa z L 0

0

Lz

CN

LzLz

A

Lz Az

d

d

d

d

Derivando la ecuación del modelo,con

d

d

21

2

21

1 2Cte2Cte 00 KI

0Cte2

a z 0 1 C A C A0

2

CCCte Af 0 A

1

1I

Sustituyendo

2

Lz12

L

z1

CC

CC 2121

Af 0 A

Af A

1

1

I

I

4.20 b)

El flujo de la sustancia A a través dela membrana es

Af 0 A AB Az CCLDN

2

Lz1221

1

0

I

I

Verificación

a z 0 C A C A0

Verificacióna z L N Az 0

No cumple esta condición decontorno.





4.21 Chimenea

Volumen de control


z: posición dirección del flujode masa de A, m


Variables fijasR: radio de la torre, mL: longitud de la torre, m

Parámetros

D AB: difusividad másica de A enel gas, m2/s

: densidad molar kmol/m3


a z 0 C A C A0

a z L C A C AL


N: intensidad de flujo de masatotal en la torre, kmol/s m2

z

CDJ A

AB Azd

d zTD AB ,D AB

Nv z ACT,

B A NNN

Az Az A JCvN

Condiciones del modeloFlujo de masa de A en estadoestacionario

El aire no se difunde, NB 0

N Ar 0; N A 0, flujo homogéneoGeometría perfectaEfectos de borde despreciables

D AB, , P y T constantes


VA FE FS RP RC

0VA

r r NFE Azz (kmolA/m2 s)(m2)

z

z

r r Nr r NFS Az

Azzz

d

d

(kmolA/m2 s)(m2)

RP 0 RC 0


0

z

N Az d

d

Integrando la ecuación diferencial

1 Az CteN

z

z z

C A

C A C A

N Az






Az Az Az JCvN

z

CDC

N A AB A

Az

d

d

Despejando N Az,

1

A

A AB

Az Cte

C1

z

CD

N

d

d

Integrando esta relación

21

A

AB CtezCte1

C1

D

ln


a z 0 C A C A0

0 A AB2

C1DCte ln

a z L C A C AL

AL0 A AB1

C1

C1

L

DCte lnln

Sustituyendo

L

z

0 A

AL

0 A

A

C1

C1

C1

C1

4.21

El flujo de la sustancia A dentro dela chimenea es

0 A

AL AB Az

C1

C1

L

DN ln

Verificación


a z 0 C A C A0

a z L C A C AL





4,22 Difusión gaseosa

Volumen de control


x: posición dirección del flujode A. m

Variable dependienteC A: concentración de A, kmolA/m3

Variables fijas A: área del conducto, m2

L: longitud del conducto, mParámetros

D AB: difusividad másica de A, m2/s



a x 0 C A C A0

a x L C A 0


RXN: 2 A B

Bx Ax N2N

Ax Ax Ax JCvN

z

CDJ A

AB Azd

d zTD AB ,D AB

N: intensidad de flujo de masatotal en la torre, kmol/s m2

Nv x ACT,

Bx Ax NNN

Condiciones del modeloFlujo de masa de A, en estado

estacionario

N Ax J Ax

N Ay 0; N Az 0, flujo homogéneo

Geometría perfectaEfectos de borde despreciables

D AB y constantesVelocidad de reacción rápida

Caída de presión pequeña


VA FE FS RP RC

0VA

zyNFE Axx (kmolA/m2 s)(m2)

zyNzyNFS Ax Axxx



dividiendo por xyz.

0x

N Ax


0

x

N Ax d

d

x xx

C A C A C A

N Ax NBx






VA FE FS 0

zyNFEx

(kmol/m2 s)(m2)

zyNzyNFSxx

(kmol/m2 s)(m2)


dividiendo por xyz.

0x

N


0

x

N

d

d

Integrando las ecuaciones diferen-ciales

1 Ax CteN 0CteN


x

CDC

NJCvN A

AB A Ax Ax Axd

d

Por otro lado

2N2NNNNN Ax Ax AxBx Ax

Con lo que,

x

CDC

2

NN A

AB A Ax

Axd

d

Despejando N Ax,

1

A

A AB

Ax Cte

2

C1

xCD

N

dd

Integrando esta relación.

21

A

AB CtexCte21

2

C1

D

ln


a x 0 C A C A0

2

C1D2Cte 0 A

AB2 ln

a x L C A 0(velocidad de reacción instantánea)

2

C1

L

D2Cte 0 A AB

1 ln

Sustituyendo

L

z

0 A0 A

A

2C11

2C12C1

4.22

El flujo de la sustancia A dentro delconducto





2

C1

L

D2N 0 A AB

Ax ln

Verificación


a x 0 C A C A0

a x L C A 0

4.23 Torre de absorción

Volumen de control

Variable independientez: posición en la dirección del



Variable intermediaG: flujo total del gas, kmol/s

Variables fijasR: radio de la torre, mH: altura de la torre, mG0: flujo de gas inerte

(“en base seca”), kmol/s

ParámetroskC: coeficiente de transferencia

entre las fases, m/sC As: concentración de A en la

ineterfase kmolA/m3


z

z z

N Az

N Ak C A C A

C A






a z 0 C A 0


A2 Az CG

R

4N

A

0

GCGG ACT,

A AsC Ak CCkN

..,,,kC etcagitCCCk A As AC


estacionario

N Az vz C A; J Az 0;

N Ar 0; N A 0flujo homogéneoEfectos de borde despreciables

kC y constantesLos gases se comportan como

gas ideal o perfectoGeometría perfecta y el espesor

del líquido sobre la pared esdespreciable para los cálculosrequeridos para el gas.

Balance de masa de A, en el gas

VA FE FS RP RC

0VA

4RNFE 2

Azz (kmolA/m2 s)(m2)

4Rz

z

NNFS 2 Az

Azzz

d

d

(kmolA/m2 s)(m2)

zR2NFE Akz

(kmolA/m2 s)(m2)

RP 0 RC 0


0RN2

z

N

4

R Ak

Az2

d

d



tutivas, con constante.

0CCRk2z

GC1 A AsC

A d

d

z

GC

z

CG A

A

d

d

d

d

A AsC CCkR2

Por otro lado, expresando el flujo entérminos de C A.

A

0

C

GG

Derivando

z

C

C

G

z

G A

2

A

0

d

d

d

d

Sustituyendo en la ecuación delbalance de masa.

z

C

C

GC

z

C

C

G A

2

A

0 A

A

A

0

d

d

d

d

A AsC CCkR2





Simplificando

zG

Rk2

CCC

C

0

C

A As

2

A

A dd

Integrando, la ecuación

A As C

1

C

1

A

A As

As C

CC

C

1ln

CtezG

Rk2

0

C


a z 0 C A 0

As

As As

C

C

11

C

1Cte ln

Sustituyéndola

A

As A

As A

A

C1

CC1

C1

1

C1

Cln

zG

CRk2

0

AsC

4.23

4.24 Reacción con difusión

Volumen de control

Variable independientex: posición en la dirección

del flujo de masa de A, m


Variables fijasR: radio del reactor, mL: longitud del reactor, m

vx: velocidad de lamasa, m/s

: conversión a la salida.


material del cilindro, m2/sk: coeficiente de velocidad

(tasa) de reacción, 1/s


a x 0 C A C0

a x L C A C0


x

CDJ A

AB Axd

d zTD AB ,D AB

C A C A C A

x xx

N Ax

R





Ax Ax Ax JCvN xr v x ,v x

RXN: Productos A k

A A kCr

Tk k ACT,


estacionarioTemperatura constante: calor de

reacción y disolución despre-

ciables(RXN 0 y Dis 0)

N Ax vx C A + J Ax

N Ar 0; N A 0flujo homogéneoGeometría perfectaEfectos de borde despreciables

D AB, k y constantesvx constante

vr 0; v 0


VA FE FS RP RC

0VA

r r NFE Axx (kmolA/m2 s)(m2)

r r Nr r NFS Ax Axxx

(kmolA/m2 s)(m2)RP 0

AxRC r r r z


dividiendo por r r z.

0r x

N A

Ax


0r x

N A

Ax d

d


Sustituyendo las relaciones cons-titutivas con vx y parámetrosconstantes

0CD

k

x

C

D

v

x

C A

AB

A

AB

x

2

A2

d

d

d

d


AB

2

AB

x

D

k

D2

vm

1/m

AB

x

D2

v

1/m

0Cmx

C2

x

C A

22 A

2

A2

d

d

d

d

Resolviendo esta ecuación, diferen-cial ordinaria lineal de coeficientesconstantes

mzCtexC 1 A senhexp

mzCte2 cosh


a x 0 C A C0 02 CCte

a x L C A C0





mL

mLC

mL

LCCte 00

1senh

cosh

senh

exp


mL

mx

C

C

0

A

senh

senh

mL

xLmsenx

senh

hexp

4.24

El flujo de la sustancia A dentro dedel reactor

A AB Ax CD2N

mL

mxmCD 0 AB

senh

cosh

mL

xLmxmsenh

coshexp

mL

xLmsenx

senh

hexp

Verificación

a x 0 C A C0

a x L C A C0

4.25 “Filtro” químico

Volumen de control

Variable independientez: posición en dirección del



Variables fijasR: radio del reactor mL: longitud del reactor, m


material del reactor, m2/sk: coeficiente de velocidad

(tasa) de reacción 1/s


a z 0 C A C0

a z L C A C0


RXN: Productos A k

A A kCr Tk k

ACT,

z

CDJ A

AB Azd

d zTD AB ,D AB

C A C A C A

z zz

N Az

R






estacionarioN Az J Az; vz 0;

N Ar 0; N A 0Flujo homogéneoGeometría perfectaEfectos de borde despreciables

D AB, k y constantesEfectos térmicos despreciables

(RXN 0 y (Dis 0)


VA FE FS RP RC

0VA

r r NFE Azz (kmolA/m2 s)(m2)

z

z

r r Nr r NFS Az

Azzz

d

d

(kmolA/m2 s)(m2)

RP 0

AzRC r r r z


0r

z

N A

Az d

d


tutivas, con parámetros constantes.

0C

D

k

z

C A

AB2

A

2

d

d

Reunión de constantes.

ABD

km 1/m

0Cm

z

C A

2

2

A2

d

d

Resolviendo esta ecuación, diferen-cial ordinaria lineal de coeficientesconstantes.

mzCtemzCteC 21 A coshsenh


a z 0 C A C0 02 CCte

a z L C A C0

mL

mLC

mL

CCte 00

1senh

cosh

senh

Sustituyendo

mL

xLmsen

mL

mx

C

C

0

A

senh

h

senh

senh

4.25

El flujo de la sustancia A dentro del“filtro”

mL

mzCmDN 0 AB Az

senh

cosh

mL

zLm

senh

cosh

Verificación

a x 0 C A C0

a x L C A C0




Facultad de Ingeniería Gerardo Chacón Valle 341 Escuela de Ingeniería Química Cap. 5. Análisis varias variables

5.01 Banda vibrante( Ecuación hiperbólica o de onda)

Sea el caso de una banda sopor-tada en dos puntos, sometida a unatensión T.

Volumen de control


x: posición en dirección de lossoportes mt: tiempo s

Variable dependientey: deformación o posición en

la dirección del movimientoo deformación m

Variables fijasA: área trasversal de la

banda, m2 L: longitud de la banda, m

Parámetro: densidad kg/m3


a x 0 y 0 ta x L y 0 t

a t 0 y h sen xL xa t 0 y’ 0 x

Condición adicional de contorno

a t y 0 x


Longitud del arco

2122 yxs

Ángulo

x

yarctg

Masa sAm T ρ

Aceleración 2

2

y t

ya

Condiciones del modeloEfectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropo y constantesA constante, la deformación no

afecta el área.

1x

s

El peso es despreciable con res-pecto a las otras fuerzas

Balance de fuerza, en la dirección y,vertical, (Ley de Newton)


AFExy sen N

AFSxxy sen

x

x

A

sen

N

y

y + y

h

s

x x + x

L





yyxFasAsgAFN

N

Sumando términos y simplificando,despreciando el peso de la banda yotras fuerzas, también dividendo porA, se tiene

0

xx

say

sen

El arco y el ángulo se evalúan con

212

x

y1

x

s

s

x

x

y

s

y

sen

Como el desplazamiento es peque-ño,

1x

y

1x

s

x

s

Sustituyendo estas aproximacionescon las relaciones constitutivas, seobtiene la ecuación del modelo

xx

y

t

y2

2

Considerando el esfuerzo, , y ladensidad, , como constantes yreuniéndolos

a , m/s

2

2

22

2

t

y

a

1

x

y

a) Solución usando transformadasde Laplace

Cambio de variable

L

xhyyy

0tsen

a x 0 0 ta x L 0 t

a t 0 0 x

a t 0 ’ 0 xDerivando

L

x

Lh

x

y

x

2

2

2

2

2

sen

2

2

2

2

t

y

t

Sustituyendo

2

2

2

2

2

2

ta

1

L

x

Lh

x

sen

Aplicando trasformadas de Laplacepara la variable t.

L

x

Ls

h

x

2

2

2

sen

0t

0t

22 t

ssa

1

Condiciones de contorno, para t

a t 0 0 ’ 0

Sustituyendo





Lx

Lsh

as

x

2

2

2

2

2

send

d

Se resuelve esta ecuación diferen-cial, en términos de la trasformadasde Laplace, por medio de losmétodos tradicionales

xa

sCtex

a

sCte 21 coshsenh

L

xh

sL

a

Lash

22

2

sen

Condiciones de contorno, para x

a x 0 0 s0 0Cte2

a x L 0 s0 0Cte1

Con lo que

L

xh

La

Lass

12

22

sen

Obteniendo la transformada inversade Laplace, para st, con ayuda deun cuadro de transformadas deLaplace

t

0

2

t

La

tL

a

L

xh

La d

sen

sen

Integrando

1tLaxLh cossen

Con lo que se obtiene el resultado

tLa

xL

hy cossen

5.01

b) Solución con el método de sepa-ración de variables

Cambio de variable

xVtxy ,

De tal forma que

0

x

V2

2

d

d

Integrando

xV

a x 0 V y 0 0

a x L V y 0 00V

y

Sustituyendo el valor de .

2

2

22

2

ta1

x





Separando variables

tx

2n2

2

22

2

ta

1

x

1

d

d

d

d

Resolviendo, para n 0,

xsCxC n2n1 cosen tasCtaC n4n3 cosen

Condiciones de contorno para x

a x 0 0 00C2

a x L 0 0 0LC n1 sen

Que se cumple para

nLn n 1, 2, 3,

Sustituyendo

tCx n5n sensen

tsC n6 co

Condiciones de contorno para t

a t 0 ’ 0 x

atCxat n5nn cossen

atC n6 sen

0C5

Sustituyendo y aplicando el principiode superpoción.

1n

nnn atsxA cosen

a t 0

L

xhx senf

Comparando la ecuación en térmi-nos de , con la Ecuación de Sturm-Liouville

0x

2n2

2

d

d

Se obtiene la función de peso

1x ρ

L

0

2

L

0

n

xL

xn

xL

xn

L

xh

A

d sen

d sensen

Como son funciones ortogonales,las An son diferentes de cero, sólopara n 1, por lo que A1 1; y lasolución queda

tL

ax

Lhy cossen

5.01





5.02 Barra aislada( Ecuación parabólica o de Fourier )

Volumen de control


z: posición en la dirección delflujo de calor m

t: tiempo s


Variables fijasA: área del conducto, m2 L: longitud del conducto, m


vidad) térmica, W/m KCV: capacidad calorifica a

volumen constante, J/kg K: densidad kg/m3


a t 0 T T1 z

a z 0 T T0 t 0a z L T T0 t 0

Condición adicional de contorno

a t T T0 z


z

Tkqz

d

d

zTk ,k

f V TTCe Re TCV V C

T ρ

Condiciones del modeloqr 0 y q 0Efectos de contacto despreciablesGeometría perfecta

Material isótropo y k constantesCV CP, constante.

Balance de energía

VA FE FS RP RC

zr r t

eVA

z

(J/kg) (1/s) (kg/m3) (m3)r r qFE zz

(W/m2) (m2)

z

z

r r qr r qFS z

zzz

(W/m2) (m2)RP 0 RC 0

Sumando términos, simplificando.

zq

te z


z

z

Tk

t

TTC ref V

z zz

T T T

qx





Suponiendo parámetros constantesy reuniéndolos.

PCk m2/s

2

2

z

T

t

T

5.02a) Caso de la longitud finita

(Se usan transformadas de Laplace)

Cambio de variable

10

1

0t0z

0t

TT

TT

TT

TT

a t 0 0 z

a z 0 1 ta z L 1 t

Sustituyendo

2

2

zt

Aplicando trasformadas de Laplacepara la variable t.

2

2

zs

Arreglando

0s

z2

2

d

d

Se resuelve esta ecuación diferen-cial ordinaria, en términos de la

trasformadas de Laplace, por mediode los métodos convencionales.

z

sCte1senh

z

sCte2 cosh

Condiciones de contorno, para za z 0 1 s1

s1Cte2

a z L 1 s1

L

s

s

Ls

1

Cte1

senh

cosh

Con lo que

zs

Ls

s

Ls

1

senh

senh

cosh

zss1cosh

Arreglando





L

ss

zs

Ls

Ls

s

zs

senh

coshsenh

senh

senh

Ls

s

zs

Ls

senh

senhcosh

Se tiene

Ls

s

zLs

Ls

s

zs

senh

senh

senh

senh

Obteniendo la transformada inversade Laplace, para st, con ayuda de

un cuadro de transformadas deLaplace,

1n

2

22n

tL

n

n

12L

z

exp

Lz

nsen

1n2

22n

tL

n

n

12L

zL

exp

Lzlnsen

Simplificando

1n2

22n

tL

n

n

121 exp

z

L

nnz

L

nsensen

1n

2

22n

tL

n

n

121 exp

z

L

nnz

L

ncossensen

z

Lnn sencos

Entonces queda

1n

2

22n

tL

nn12

1 exp

z

L

n11 n

sen

para n par 011 n

para n impar 211 n

Lo que resulta

1n2

2

01

0 tL

1n24

TT

TTexp

Lz1n2sen

5.02a)





5.02b) Caso de la longitud infinita

(Se usan transformadas de Laplace)

Cambio de variable

10

1

0t0z

0t

TT

TT

TT

TT

a t 0 0 za z 0 1 ta z L 1 t

Sustituyendo

2

2

zt

Aplicando trasformadas de Laplacepara la variable t

2

2

zs

Arreglando

0s

z2

2

d

d

Se resuelve esta ecuación diferen-cial ordinaria, en términos de la

trasformadas de Laplace, por mediode los métodos convencionales

z

sCte1exp

z

sCte2 exp

Condiciones de contorno, para z

a z 1s1

0Cte1

a z 0 1 s1

s

1Cte2

Con lo que

s

ts

exp

Obteniendo la transformada inversade Laplace, para st, con ayuda deun cuadro de transformadas deLaplace,

t2

z

1 fer

t2

z

TT

TT

10

1 fcer

t2

z

t2

z1

0d exp

5.02b)





5.03 Placa térmica en estado esta-cionario

( Ecuación elíptica o de Laplace)

Volumen de control


x: posición horizontal my: posición vertical m


Variables fijas A: longitud horizontal mB: longitud vertical, m




a x 0 T T1 y

a x A T T1 y

a y 0 T T0x x 0

a y B T T1 x 0


x

Tkqx

y

Tkqy

zTk ,k


qz 0Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropok constantes

Balance de energía

VA FE FS RP RC0VA


zxqFE yy

x

x

zyqzyqFS x

xxx

(W/m2) (m2)

yy

zxq

zxqFSy

yyy

RP 0 RC 0

Sumando términos, simplificando,

0y

q

x

q yx

T1

x

xxT

T Tqx

T1

T1

T0x

qy y

y y





Sustituyendo las relaciones consti-tutivas.

0y

y

Tk

x

x

Tk

Suponiendo k constante.

0

y

T

x

T2

2

2

2

Resolviendo la ecuación

(Se usa el método de separación devariables)

Cambio de variable

xVyxT ,

De tal forma que

0

x

V2

2

d

d

Resolviéndola.

baxV

a x 0 V T1 b T1 a x A V T1 a 0

1TV

1TT


2

2

2

2

yx

Separando variables

yx

2

n2

2

2

2

y

1

x

1

d

d

d

d

Resolviendo, para n 0,

xsCxC n2n1 cosen

yCyC n4n3 coshsenh

Con lo que

xsCxC n2n1 cosen

yCyC n4n3 coshsenh


a x 0 0 0

0C2

a x A 0 0

0 AC n1 sen

Que se cumple para

n An n 1, 2, 3,

Sustituyendo

yCx n5n senhsen

yC n6 cosh

Condiciones de contorno para y

a y B 0 x





BCBC0 n6n5 coshsenh

BBCC A

n

n65n

senhcosh

Por el principio de superposición.

1n

nnn yx A senhsen

yB

Bn

n

n

coshcosh

senh

Simplificando

1n n

nnn

B

Byx A

cosh

senhsen

a y 0 10 TxTx f

1n n

nnn

B

Bx A

cosh

senhsen

10 TxT

Con las propiedades de la series defunciones ortogonales y comparan-

do la ecuación en términos de ,con la Ecuación de Sturm-Liouville

0

xn2

2

d

d


1x ρ

B

B A

n

nn

senh

cosh

A

0

2

n

A

0n10

xx

xxTxT

d sen

d sen

Resolviendo y sustituyendo

A

2TT 1

1n

A

010 xx

AnTxT d sen

A

Bn

A

Byn

A

xn

cosh

senh

sen

5.03





5.04 Cilindro térmico

Volumen de control




Variables fijasR: radio del cilindro, mTf : temperatura del medio, K



CV: capacidad calorifica avolumen, J/kg K

: densidad kg/m3


a t 0 T T0 r

a r 0 T’ 0 t 0

a r R t 0

5.04a) T T1

5.04b)Rr

Rr r r Tkq

f Rr TTh


r

Tkqr

r Tk ,k

f V TTCe Re TCV V C

T ρ


qr 0 y q 0Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropo

y k constantes

CV CP, constante.

Balance de energía

VA FE FS RP RC

zr r t

eVA

r


r r

zr qzr qFS r r r r

(W/m2) (m2)RP 0 RC 0

Sumando términos, simplificando

r

r qr

t

e r

r

qr

R

r

T1

Tf

T T T






r

r r Tk

r

1

t

TTC Ref V

Considerando parámetros constan-tes y reuniéndolos

PCk m2/s

r T

r 1

r T

tT

2

2

5.04a) Temperatura en la paredconocida

(Se usa transformada de Laplace)

Cambio de variable

01

0

0tRr

0t

TT

TT

TT

TT

a t 0 0 r

a r 0 ’ 0 t

a r R 1 t

Sustituyendo.

r r

1

r t 2

2

Aplicando la trasformada de La-place, para la variable t,

r r

1

r s

2

2

Arreglando

0s

r r

1

r 2

2

d

d

d

d

Se resuelve esta ecuación de Bes-sel, en términos de la trasformada

de Laplace, por medio de losmétodos convencionales

r

sCter

sCte 21 0 0 K I

Condiciones de contorno, para r

a r 0 ’ 0 s0

La derivada

r s

Cter s

Ctes

r 1211 K I

0Cte2

a r R 1 s1

R

ss

1Cte1

0 I

Con lo que

R

ssr

s0 0 I I





Obteniendo la transformada inversa

de Laplace, para st, con ayuda de

un cuadro de transformadas deLaplace

1TT

TT

01

0

1n n1n

n2

2

n

R

r t

R2

J

J exp 0

5.04a)

Las n, son las raíces positivas de

0n 0 J

5.04b) Temperatura del medioconocida


Cambio de variable

0f

0

0tf

0t

TT

TT

TT

TT

a t 0 0 r

a r 0 0r 0r

t

a r R

1k

h

r Rr Rr

t

Sustituyendo

r r

1

r t 2

2

Aplicando la trasformada de La-place, para la variable t,

r r

1

r s

2

2

Arreglando

0sr r

1r 2

2

d d

d d

Se resuelve esta ecuación de Bes-sel, en términos de la trasformadade Laplace, por medio de losmétodos convencionales.

r s

Cter s

Cte 21 0 0 K I

Condiciones de contorno, para r

a r 0 ’ 0 s0

La derivada

r

sCter

sCte

s

r

1211 K I

0Cte2

a r R

s

1

k

h

r Rr Rr





R

sCteR

sCte

s1211 K I

s

1R

sCteR

sCte

k

h21 0 0 K I

Rss

Rs

k

hs

khCte

10

1

I I

Con lo que

Rss

h

kR

ss

r s

10 I I

I 0

s

s

g

h

Obteniendo la transformada inversa de

Laplace, para st, por el método de losresiduos, para los polos

0sn g

tss

sn

n

n expg

h

Derivando con respecto a s

R

s

s2

Rss 1I g

R

ss

h

k0I

R

ss

h

kR

s10 I I

Sustituyendo

tsr

s

1TT

TTn

n

0f

0

expI 0

R

ss

h

kR

s n1

nn1 I I

R

ss

h

kR

s n1

nn0 I I

Los polos son

0s0

0Rss

h

kR

s n1

nn0

I I

Sea Rsn

n i

Sustituyendo

k

hR21

TT

TT

0f

0

1n

n0

2

n

n2

2

n

1hR

k

R

r t

R

J

J exp 0

5.04b)

Las n, son las raíces positivas de

n0n1nk

hR J J





5.05 Barra difusora

Volumen de control


z: posición dirección del flujo demasa de A, m

t: tiempo, s

Variable dependienteC A: concentración de la sustancia

A, kmol A/m3

Variables fijasR: radio de la barra, mL: longitud de la barra, m

ParámetroD AB: difusividad másica, m2/s


a t 0 C A C0 z

a z 0 C A C1 t 0a z L C A C2 t 0


z

CDJ A

AB Az

zTD AB ,D AB


N Ar 0 y N A 0

N Az J Az Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropoD AB constante


VA FE FS RP RC

zr r t

CVA A

z

r r NFE Azz (W/m2) (m2)

z

z

r r Nr r NFS Az

Azzz

(W/m2) (m2)RP 0 RC 0

Sumando términos, simplificando.

z

N

t

C Az A


z

z

CD

t

C A

AB

A

Suponiendo difusividad constante.

2

A

2

AB A

z

CD

t

C

x xx

C A C A + C A

N Az

C1





5.05a) Caso de la longitud finita


Cambio de variable

zVtzC A ,

De tal forma que

0

z

V

2

2

d

d

Integrando

bazV

a z 0 V C1 b C1

a z L V C2 a C2 C1L

112 Cz

L

CCV

112

A CzL

CCC

Sustituyendo el valor de

2

2

ABz

Dt

Separando variables

tz

2

n

AB2

2

tD

1

z

1

d

d

d

d

Resolviendo para n 0

zczc n2n1 cossen

tDc2

n AB3 exp

zctD n4 AB

2

n senexp

zc n5 cos

Condiciones de contorno para z.

a z 0 0 0

0c5

a z L 0 0

0Lc n4 sen

Que se cumple para

nLn n 1, 2, 3,

Sustituyendo, con el principio desuperposición.

1n

n AB

2

nn ztD A2 senexp

Condiciones de contorno para t.

a t 0 z

zzL

CCCC 12

10 f

Comparando la ecuación en térmi-nos de , con la Ecuación de Sturm-Liouville.

0z

n2

2

d

d


1z ρ





n A

L

0

2

L

0

12

10

zL

zn

zL

z

nzL

CC

CC

d sen

d sen

L

0

10nL

znCC

n

L A cos

n

L

L

CC 12

L

0L

znz

L

zn

n

L

cossen

n

10n 11CCn

L A

n

12 1CCn

L

Con lo que se obtiene la solución

L

z

CC

CC

CC

CC

10

12

10

1 A

1n

2

AB

2

1n2

tL

D1n2

4exp

L

z1n2sen

1n

2

AB

22n

L

zn

n

tL

Dn1

2sen

exp

5.05a)

5.05b) Caso de la longitud infinita

Se usa un método específico paraeste caso englobando las dosvariables independientes en unasola, dado que las funcionesortogonales tienen valor cuando

z

Uniendo las variables

qtzC n

A f f

Conntzq

Derivando para sustituirla:

qt

z

q

qz

C n A

f f

2

2n2

2

22

2

2

2

A

2

qt

z

q

qz

q

qz

C

f f f

qnqt

qznt

t

q

qt

C 11n A

f f f

Sustituyendo en la ecuación delmodelo

2

2n2

AB

1

qtD

qnqt

f f

Considerando n -½, se obtieneuna ecuación diferencial ordinaria

qD2

q

q AB

2

2

d

df

d

f d





Resolviéndola, haciendo

qd

df p

ABD2

q

q

p

d

pd

Separando variables

qqD2

1

AB

d p

dp

Integrando

AB

2

1D4

qCte

qexp

d

f d p

Integrando otra vez

2

q

0 AB

2

1

CteqD4

qCte

d expf

Empleando las definiciones de lafunción error y de la de q

2

AB

21

1 CtetD2

zDCte

fer f


a z 0 C A C1 fer 0 0

12 CCte

a t 0 C A C0 fer 1

D

CCCte 10

1

Sustituyendo

tD2

z

CC

CC

AB10

1 A fer

5.05 b)

Nota:

tD2

z

CC

CC

AB01

0 A cfer





5.06 Difusión en una esfera

Volumen de control


del flujo de A, m


C A: concentración de la sus-tancia A, kmol A/m3


ParámetroD AB: difusividad másica, m2/s


a t 0 C A C0 z

a r 0

0t

C A

t 0

a r R C A CR 0 t 0


r

CDJ A

AB Ar

; zTD AB ,D AB


N A 0 y N A 0

N Ar J Ar Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropoD AB constante

Balance de la sustancia A

VA FE FS RP RC

r r r t

CVA A

r

sen

(kmol A/m3) (1/s) (m3)

r r NFE Ar r sen

(kmol A/m2 s) (m2)

sen2

Ar r r r NFS

r

r

r N 2

Ar

sen

(kmol A/m2 s) (m2)RP 0 RC 0


r

r Nr

t

C 2

Ar 2 A


r

r r

CD

t

Cr

2 A AB

A2

Suponiendo difusividad constante

r

N Ar

R

r

C A C A C A

CR





r

C

r

2

r

CD

t

C A2 A

2

AB A

Solución de la ecuación del modelo


Cambio de variable

0R

0 A

0t ARr A

0t A A

CC

CC

CC

CC

a t 0 0 r

a r 0 ’ 0 t

a r R 1 t

Sustituyendo

r r

2

r

D

t2

2

AB

Aplicando la trasformada de Lapla-ce para la variable t.

r r

2

r Ds

2

2

AB

Arreglando

0D

s

r r

2

r AB2

2

d

d

d

d

Se resuelve esta ecuación de Bes-sel, en términos de la trasformadade Laplace por medio de losmétodos convencionales

r

D

sCter

AB

211

21 I

r

D

sCte

AB

212 I

Con las funciones de Bessel de ½.

r

D

s Ar

AB

1 senh

r

D

sB

AB

cosh

Evaluando las constantes, con lascondiciones de contorno para r.

a r 0 ’ 0 s0

La derivada

r

D

s A

D

sr

r AB AB

1 cosh

r

D

sB

AB

senh

r

D

s Ar

AB

2 senh

r

D

sB

AB

cosh

0B

a r R 1 s1





RD

s

s

R A

ABsenh

Con lo que

RD

s

s

r D

s

r

R

AB

AB

senh

senh


de Laplace, para st, con ayuda deun cuadro de transformadas deLaplace

1n

n

0R

0 A

n

1

r

R21

CC

CC

R

r ntD

R

n AB2

22

senexp

5.06

5.07 Barra porosa

Volumen de control

Variable independienter: posición radial, en dirección


Variable dependienteC A: concentración de A kmol A/m3

Variables fijasR: radio del cilindro, mL: longitud del cilindro, m

ParámetroD AB: difusividad másica, m2/skC: coeficiente de transferencia

de masa en el medio, m/s


a t 0 C A C0 0 z

a r 0

0t

C A

t 0

a r R t 0

Caso a) C A CR

Caso b) N Ar kCCR Cf

r

N Ar

R

r

C AR

C Af

C C A C A






r

CDJ A AB Ar

; zTD AB ,D AB


N Az 0 y N A 0

N Ar J Ar Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótropoD AB constante


VA FE FS RP RC

r zr t

CVA A

r

(kmol A/m3) (1/s) (m3)

zr NFE Ar r

(kmol A/m2 s) (m2)

r

r

zr Nzr NFS Ar

Ar r r

(kmol A/m2 s) (m2)RP 0 RC 0


r

r N

r t

C Ar A

y sustituyendo las relaciones consti-tutivas

r

r r

CD

t

Cr

A AB

A

Suponiendo difusividad constante

r C

r 1

r CD

tC A

2

A2

AB A



Cambio de variable

r Vtr y ,

De tal forma que

0

r

V

r

1

r

V2

2

d

d

d

d

Integrando

br aV ln

5.05a) Caso en que se conoce laconcentración en la pared(cara lateral)


a r 0 V’ 0 a 0a r R V CR b CR

RCV

R

0 R

C C

C C





Sustituyendo el valor de , con

AB

D

2

2

1

r r tr

Separando variables

tr

2

n2

2

at

1

r Ρr

1

r

1

d

d

d

d

d

d

Resolviendo para an 0

r acr ac n2n1 0 0 Y J

tac 2

n3 exp

Efectuando el producto

r acr acta n5n4

2

n 0 0 Y J exp

Condiciones de contorno para r

a r 0 ’ 0 0

r actaar

n14

2

nn J exp

r ac n15 Y

0c5

a r R 0 0

0Rac n4 0 J

Que se cumple para

Rann

n 1, 2, 3,

Sustituyendo, con el principio desuperposición

1n

2

2

nnn t

RR

r A expJ 0

Condición de contorno para t.

a t 0 r 1 f r

Comparando la ecuación en térmi-

nos de , con la Ecuación de Sturm-Liouville

0ar r

1

r

2

n2

2

d

d

d

d


r r ρ

R

0

2

n

R

0n

n

r R

r r

r Rr r 1

A

d J

d J

0

0

Integrando y simplificando

2

n

2

n

n

2

n

2R

R

A

1

1

J

J






R0

R A

CC

CC

1n nn

n2

AB

2

n

R

r t

R

D

21

0

J

J exp

5.07a)

Los n son las raíces positivas de la

ecuación 0n 0 J

5.07b) Caso en que se conoce laconcentración en el medioque lo rodea


a r 0 0

r

V

d

d a 0

a r R f C AB Cbkr

VD

d

d

pero 0r

a

r

V

d

d entonces

f CbV

Haciendo el cambio de variable

f 0

f A

CCCC

Sustituyendo el valor de , con

ABD

tr r

1

r 2

2

Separando variables

tr

2

n2

2

at

1

r r

1

r

1

d

d

d

d

d

d


r acr ac n2n1 0 0 Y J

tac 2

n3 exp

Efectuando el producto

r acr acta n5n42n 0 0 Y J exp

Condiciones de contorno para r,derivando la ecuación del modelo

r actaa

r

n14

2

nn J exp

r ac n15 Y

Por lo tanto

a r 0 0r 0r

0c5

a r R

f Rr

AC

Rr

AB CCkr

D

RactaaD n14

2

nn AB J exp

Ractak n42nC 0 J exp

Simplificando

RakRaDa nCn1 ABn 0 J J

Que se cumple para





Rann n 1, 2, 3,


1n

2

2

nnn t

RR

r A expJ 0

Condición de contorno para t

a t 0 r 1 f r


nos de , con la Ecuación de Sturm-Liouville

0ar r

1

r

2n2

2

d

d

d

d


r r ρ

R

0

2

n

R

0n

n

r R

r r

r R

r r 1

A

d J

d J

0

0

Integrando

2

n0

22

n

2

nn

2

n

2

R

2

R

R

A

J J

J

1

1

Simplificando

n

2

n0nnn

n

1 A

1

1J

J J


f 0

f A

CCCC

1n

n1

2

C

ABnn

n2

AB

2

n

Rk

D

R

r t

R

D

2

J

J exp 0

5.07b)

Los n son las raíces positivas de laecuación

0D

Rkn

AB

Cn1n 0 J J





5.08 Flujo sobre una placa

Volumen de control

Variables independientesy: posición perpendicular a la

dirección del flujo mt: tiempo s

Variable dependientevx: velocidad m/s

Variables fijas

W: espesor de la capa, mL: longitud de la placa, m

Parámetros

: viscosidad, kg/m s

: densidad, kg/m3


a t 0 vx 0 x

a y 0 vx 0 t 0

a y W

0y

v x

t 0


y

v xyz

r T, μ PT, ρ

Condiciones del modelovy 0 y vz 0Geometría perfectaFluido homogéneoFlujo de fluido en régimen laminar

y constante

L

PP

x

P 0L

Balance de fuerza cantidad demovimiento

VA FE FS FN

zyxt

vVA x

(m/s) (1/s) (kg/m3) (m3)

xxxzvyvzyPFE

(Pa) (m2) + (kg/m3) (m/s) (m2) (m/s)

zxFE yxy (Pa) (m2)

xx

zyPzyPFS

xx

x

x

zyvzyv

2

x2

x

(Pa) (m2

) + (kg/m3

) (m/s) (m2

) (m/s)

yy

zxzxFS

yx

yxyy

(Pa) (m2)

0FN


vx0 x xx

vx vx vx

yx

y

y y





0

yx

P

x

v

t

v yx2

xx


y

y

v

L

PP

x

v

t

v

x

0L2

xx

Por otro lado, tomando en cuenta el

balance de masa.

x

v

tx

Para densidad constante

0

x

v x

Considerando parámetros constan-tes y las siguientes definiciones.

0L

PP 0L

m/s2

m2/s

vv x m/s

Se obtiene

2

2

y

v

t

v


Cambio de variable

vvvv x0txx queda igual.

Aplicando la trasformada de Lapla-ce para la variable t

2

2

y

v

svs

Arreglando

s

vs

y

v2

2

d

d

Se resuelve esta ecuación, entérminos de la trasformada deLaplace por medio de los métodosconvencionales.

y

sCtev 1senh

22s

ys

Cte

cosh

La derivada

ysCtes

yv 1cosh

d d

y

sCte2 senh

Con las condiciones de contornopara y.





a y 0 vx 0 s0v

22 sCte

a y W

0y

v x

s0

y

v

Ws

Ws

CteCte 21

cosh

senh

Sustituyendo las constantes.

ys

Ws

s

Ws

v2

senh

cosh

senh

22 sys

s

cosh

Arreglando

Ws

s

yWs

sv

2

2

cosh

senh


de Laplace para st, con ayuda deun cuadro de transformadas deLaplace.

t

WyW

2

1tv

22

1n

3

n

3

2

1n2

1W16

t

W4

1n22

22

exp

W2

yW

2

1n2cos

Simplificando y sustituyendo lasconstantes

22

0L

W

y

2

1

W

y

L

WPPv

1n

3

n

31n2

116

t

W4

1n22

22

exp

W2

yW

2

1n2cos

5.08





5.09 Flujo en conducto cilíndrico

Volumen de control

Variables independientesr: posición radial mt: tiempo s

Variable dependientevz: velocidad m/s

Variables fijasR: radio interno del conducto

(de la capa de fluido), m

L: longitud del conducto, mParámetro

: viscosidad, kg/m s

: densidad, kg/m3


a t 0 vz 0 r

a r 0 0r v z t 0

a r R vr 0 t 0


r vzrz

r zT ,, μ PT, ρ


v 0 y vr 0Fluido homogéneoFlujo de fluido en régimen laminarCondición de no deslizamiento

0vRr z

y constante

L

PP

z

P 0L

Balance de fuerza cantidad demovimiento

VA FE FS FN

zr r t

v

VA

z

(m/s) ) (1/s) (kg/m3) (m3)

zzzzvr r vr Pr FE

(Pa) (m2) +( kg/m3) (m/s) (m2) (m/s)

zr FE rzr (Pa) (m2)

zz

r Pr r Pr FS

zz

zz

r r vr r v2

z2z

(Pa) (m2) + (kg/m3) (m/s) (m2) (m/s)

r r r

r r FS rz

rzr r

(Pa) (m2)zr gr FN


z

vz vz0

r

r

rz

r

z z





g

r

r

z

v

z

P

t

v rz

2

zz


g

r

r

vr

z

v

L

PP

t

vz

2

z0Lz

Por otro lado, tomando en cuenta elbalance de masa,

z

v

tz

Para densidad constante

0

z

v z

Considerando parámetros constan-tes y las siguientes definiciones

0gL

PP 0L m/s2

m2/s

vv z m/s

Se obtiene

y

v

r

1

y

v

t

v2

2


Cambio de variable

r Vtr v ,

De tal forma que

0

r

V

r

1

r

V2

2

d

d

d

d

Integrando

br ar

4

V 2

ln

a r 0 V’ 0 a 0

a r R V 0

2R4

b

Con lo que

22

Rr 1

4RV

y

22

R

r 1

4

Rv


r r 1

r t 2

2

Separando variables

tr

2

n2

2

at

1

r r

1

r

1

d

d

d

d

d

d






r acr acP

n2n1 0 0 Y J

y

tac 2

n3 exp

Sustituyendo

r acr acta n5n4

2

n 0 0 Y J exp

Condiciones de contorno para r.

a r 0 0r r

v r

t 0

La derivada

r acr actaar

n5n4

2

nn 11 Y J exp

0c5

a r R vz 0 t 0

0r ac n4 0 J

Que se cumple para

Rann n 1, 2, 3,

Sustituyendo, con el principio desuperposición,

1n

n2

2

nnR

r

R

t A 0 J exp


a t 0 r

r R

r 1

4

R0

22

f


nos de , con la Ecuación de Sturm-

Liouville

0r ar r

r 2

n2

2

d

d

d

d


r r ρ

R

0

2

n

R

0n

22

n

r R

r r

r

R

r

R

r 1

4

Rr

A

d J

d J

0

0

2

n

2

n

n

n

2

n

2

4

4

R A

1

1

J

J

Con lo que se obtiene la solución

22

R

r 1

4

Rv

1n2

2

n

n

3

n

n

R

tR

r

8 expJ

J

1

0

5.09

Las n, son las raíces 0n 0 J





5.10 Placa Plana caliente

Volumen de control


x: posición en dirección delflujo de calor m

t: tiempo s


Variables fijasW: espesor de la placa m

A: área transversal de la palca,

T: temperatura, KParámetros

k: conductibilidad (conducti-vidad) térmica, W/m K

S: generación de energíaW/kg

CV: capacidad calorifica avolumen constante, J/kg K

: densidad kg/m3


a t 0 T T0 x

a x 0 T T1 t 0

a x W T T1 t 0


x

Tkqx

xTk ,k

f V TTCe Re TCV V C

T ρ


qy 0 y qz 0Geometría perfectaMaterial isótropo

y k constantes

CV CP, constante.

Balance de energía

VA FE FS RP RC

zyxt

eVA

x

(J/kg) (1/s) (kg/m3) (m3)


x

x

zyqzyqFS x

xxx

(W/m2) (m2)

zRP S x y z

RC 0


Sx

q

t

e x

T1

T1

x

xx

T T Tqx






S

x

xTk

t

TTC ref V


PCk m2/s

PCS K/s

2

2

x

T

t

T



Cambio de variable

xVtxT ,

De tal forma que

0

x

V2

2

d

d

Integrando

baxx2

V 2

a x 0 V T1 b T1

a x W V T1 W2

a

1

22

TW

x

W

x

2

WV


1

22

1W

x

W

x

2

WTT

La ecuación del modelo queda.

2

2

xt

Separando variables

tx

2

n2

2

ax

1

t

1

d

d

d

d


xaCxaC n2n1 cossen

tac 2n3 exp

Con lo que

xaCxaC n5n4 cossen

ta

2

nexp


a x 0 0 c5 0

a x W 0

0Wac n4 sen





Que se cumple para

nWann

n 1, 2, 3,


1n2

22

nW

tn A exp

W

xnsen


a t 0 T0 V f (x) x

1n

nW

xn A sen

W

x

W

x

2

WTT

22

10


do la ecuación en términos de ,con la Ecuación de Sturm-Liouville.

0ax

2

n2

2

Se obtiene la función de peso.

1x ρ

n A

W

0

222

10W

x

2

W

W

x

2

WTT

W

0

2

xW

xnx

W

xn d send sen

2

W

11n

W

n

WTT

A

n

33

3

01

n

Resolviendo y sustituyendo.

W

x

W

x

2

WTT

22

1

1n33

201

1n2

W

1n2

TT

W

x1n2sen

2

22

W

t1n2exp

5.10





5.11 Esfera catalítica

Volumen de control

Variable independienter: posición radial en la dirección

del flujo de A, m


C A: concentración de la sustancia A, kmol A/m3


ParámetrosD AB: difusividad másica, m2/sk: coeficiente de velocidad

de reacción,

Caso a) m

3

/kmol AsCaso b) 1/s


a t 0 C A C0 0 z

a r 0

0r

C A

t 0

a r R C A CR t 0


r

CDJ A AB Ar

r TD AB ,D AB

n

A A kCR 0 ACTk ,k


N A 0 y N A 0Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótopo

D AB constanteN Ar J Ar


VA FE FS RP RC

r r r t

CVA A

r

sen

(kmol A/m3) (1/s) (m3) r r NFE Ar r

sen

(kmol A/m2 s) (m2)

sen2

Ar r r r NFS

r r

r N 2

Ar

sen

(kmol A/m2 s) (m2)RP 0

ARC R r sen r r

(kmol A/m3 s) (m3)


r R

r

r N

t

Cr A

2

Ar A2

r

N Ar

R

r

C A C A C A

CR






n

A

2 A AB

A2 kCr

r r

CD

t

Cr

Suponiendo difusividad constante.

n

A A

2

A

2

AB A kC

r

C

r

2

r

CD

t

C



5.11 a) Caso (R A) k, n 0

Cambio de variable

r Vtr C A ,

De tal forma que

0

D

k

r

V

r

2

r

V

AB2

2

d

d

d

d

Resolviéndola

2 AB r

a

r D3

k

r

V

d

d

br

ar

D6

kV 2

AB

Con las condiciones de contorno.

a r 0

0r

V

d

d t 0

0a

a r R V CR t 0

2

AB

R RD6

kCb

Se obtiene el valor de V

1R

r

D6

kRCV

2

AB

2

R


1R

r

D6

kRCC

2

AB

2

R A

Entonces

r r

2

r

D

t2

2

AB

Separando variables

tr

2

n2

2

AB

ar r

2

r

1

tD

1

d

d

d

d

d

d

Resolviendo para an 0 r acr acr n2n1

1 cossen

taDc 2

n AB3 exp

Con lo que

r ascr acr n5n4

1 cosen

taD 2

n ABexp






a r 00

r

La derivada

r acr acr ar

n5n4

1

n sencos

taDr acr acr 2

n ABn5n4

2 expcossen

0c5

a r R 0

0Rac n4 sen

Que se cumple para

nRann n 1, 2, 3,

Sustituyendo, con el principio de

superposición, con c4 An

1n2

AB22

n tRDn A2 exp

r

R

r n

sen


a t 0 C C0 0

r 1R

r

D6

kRCV

2

AB

2

R f

1n

nr

R

r n

A2

sen

R

2

AB

2

CR

r 1

D6

kR



0ar r

2

r

2n2

2

d

d

d

d


2r x ρ

R

0R

3

AB AB

2

n r Cr D6

kr

D6

kR A

R

0

2

r R

r n2r

R

r n d send sen

R

1nD

kRC

n

R

A

n

33 AB

4

R

2

n

Sustituyendo

1R

r

D6

kRCC

2

AB

2

R A

1n

n2

AB

R

2

n

1

n

R

D

kC

r

R2

2

AB22

R

tDn

R

r n expsen

5.11a)





5.11 b) Caso (R A) k C A, n 1

Cambio de variable

r Vkttr C A exp,

De tal forma que

0V

D

k

r

V

r

2

r

V

AB2

2

d

d

d

d

Integrando la ecuación diferencial

r

D

kar V

AB

1 senh

r

D

kb

AB

cosh

a r 0

0

r

V

t 0

La derivada

r

D

kbr

D

kar

D

k

r

V

AB AB

1

AB

senhcoshd

d

r D

kbr

D

kar

AB AB

2 coshsenh

0b

a r R V CR

RD

k

RCa

AB

R

senh

Con lo que

R

D

k

R

1

r D

k

r

1

CV

AB

ABR

senh

senh


kt

RD

kr

r D

kR

CC

AB

AB

R A exp

senh

senh

Al sustituirla en la ecuación diferen-cial se obtiene

r r

2

r D

t 2

2

AB

Separando variables

tr

2n2

2

AB

ar r

2

r

1

tD

1

d

d

d

d

d

d


r ascr acr n2n1

1

cosen

taDc 2

n AB3 exp

Con lo que

r acr acr n5n4

1 cossen

taD 2

n ABexp






a r 00

r

La derivada

r acr acr ar

n5n4

1

n sencos

r acr acr n5n4

2 cossen

taD 2

n ABexp

0c5

a r R 0

0Rac n4 sen

Que se cumple para

nRann n 1, 2, 3,

Sustituyendo, con el principio desuperposición, con c4 An

1n

2

AB22

nR

tDn A2 exp

r

R

r n

sen


a t 0 C C0 0

r

RD

k

R

1

r D

k

r

1

CV

AB

AB

R f

senh

senh

1nn r

R

r n

A2

sen

RD

kr

r D

kR

C

AB

AB

R

senh

senh

Con las propiedades de la series de

funciones ortogonales y comparan-do la ecuación en términos de ,con la Ecuación de Sturm-Liouville.

0ar r

2

r

2n2

2

d

d

d

d


2r x ρ

RD

kr

RC A

AB

Rn

senh

R

0

2

R

0 AB

r

R

r n2

r R

r nr

D

k

d sen

d sensenh

R

R

n

D

k

1R

nRC2

A

2

AB

n

R

n





Sustituyendo

RD

k

r D

k

r

R

C

C

AB

AB

R

A

senh

senh

1n

AB

n

R

r n

R

n

nD

kR

12 sen

tkR

Dn

2 AB22exp

5.11b)

5.12 Aleta recta

Volumen de control

Variables independientesx: posición a lo largo de la

aleta mt: tiempo s


Variables fijasL: largo la aleta, mW: espesor de la aleta mB: ancho la aleta, mTf : temperatura del medio, K


vidad) térmica, W/m KCV: capacidad calorífica a

volumen constante, J/kg K

: densidad kg/m3 h: coeficiente de transferencia

de calor del medio, W/m2 K

Tf

x xx

T T T

qx

qh

W

B L






a t 0 T Tf x

a x 0 T T1 t 0

a x L 0x

Tkqx

t 0


x

Tkqx

xTk ,k

Ref V TTCe TCV V C f h TThq

airev etcCvTh .,,,h T ρ


qy 0 y qz 0Efectos de contacto despreciablesGeometría perfectaMaterial isótopo

, k y h constantes

CV CP, constante.

qxxL 0

Balance de energía

VA FE FS RP RC

xWBt

eVA

z

(J/kg) (kg/m3) (m2)

WBqFE xx (W/m2) (m2)

WBxx

qqFS x

xxx

(W/m2) (m2)

xWBq2FS hx

(W/m2) (m2)

RP 0 RC 0


hx qBW

WB2

x

q

t

e


x

x

Tk

t

TTC ref V

f TTh

BW

WB2


PCk m2/s

BW

WB

C

h2

P

1/s

f 2

2TT

xT

tT



Cambio de variable

xVttxT exp,

Tal que

f 2

2

TVx

V

d

d

Resolviendo





f TxbxaV

coshsenh


a x 0 V T1 b T1 Tf

a x L 0x

Vk

xbxa

x

Vsenhcosh

LLTTa f 1 coshsenh

Con lo que se obtiene el valor de V

xTTTV f 1f cosh

x

L

L

senh

cosh

senh


f TTtexp

xTT f 1 cosh

x

L

L

senh

cosh

senh

Sustituyendo en la ecuación delmodelo

2

2

xt

Separando variables.

tx

2n2

2

ax

1

t

1

d

d

d

d

Resolviendo para an 0.

xaCxaC n2n1 cossen

taC 2

n3 exp

Con lo que

xaCxaC n5n4 cossen

ta2nexp

Condiciones de contorno para x.

a x 0 0 C5 0

a x L 0x

xaCxaCaxn5n4n sencos

ta2

nexp

0LaC n4 cos

Que se cumple para

2

1n2Lann n 1, 2, 3,





Sustituyendo, con el principio de

superposición, con C4 An.

1n

n2

2

nnL

x

L

t A2 senexp


a t 0 Tf V f (x)

f 1

1n

nn TTL

x A2 sen

xcosh

x

L

L

senh

cosh

senh



0ax

2

n2

2

d

d

Se obtiene la función de peso.

1x ρ

L

L

xTT AL

01f n

cosh

senh

cosh

W

0

2

nn xL

xx

L

xx d send sensenh

2

L

1

L

LTT

A

n

2n

n1f

n

Sustituyendo

L

xL

TTTT

f 1

f

cosh

cosh

1n

n2

n

n

n

2 L

x

L

1

L

2sen

tL2

2

nexp

5.12

Con

2

1n2n

PC

k

BW

WB

C

h2

P




UNIVERSIDAD DE COSTA RICAFACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA QUÍMICA


ANEXOCOMPLEMENTOS MATEMÁTICOS


Universidad de Costa RicaCiudad Universitaria “Rodrigo Facio”,

2012



386

Complementos matemáticos G. Chacón V.

SECCIÓN 1ECUACIÓN DE BESSEL, GENERALIZADA

Es una ecuación del tipo

0

2

d

d221

d

d2

2222

2

2

y x

pqxqa pqxcn+abcx

x

y

x

pqxa+

x

y qqcq

b 0 , c 0 y q 0

Cuya solución es c

nTE c

nTE qa bxC bxC px x y ΩΘexp 21

CASO n n

n entero o cero b real Jn(b xc

) J-n(b xc

)n = entero o cero b real Jn(b xc) Yn(b xc)n entero o cero b imaginario In(-i b xc) I-n(-i b xc)n = entero o cero b imaginario In(-i b xc) K n(-i b xc)

SECCIÓN 2ECUACIÓN EN DIFERENCIAS FINITAS,

LINEAL Y DE COEFICIENTES CONSTANTES

Ecuación complementaria 012 nnn qy py y usando el operador E : 02 n yq pE E

factorizando 021 n y E E

la solución es nTE

nTE n C C y 2211

Casos:raíces repetidas: 1 = 2 = n

TE TE n nC C y 21

primer orden: 1 = , 2 = 0n

TE n C y

raíces imaginarias, si ir i exp

Con: 2122 r arctan

nC nC r y TE TE n

n sencos 21

Es válida para orden superior.La solución particular se calcula por medio de coeficientes indetermi-nados, operadores inversos o prueba y rectificación.



387


SECCIÓN 3INVERSIÓN DE TRASFORMADAS DE LAPLACE POR MEDIO DEL

DESARROLLO DE RESIDUOS DE HEAVISIDE

Transformada inversa de Laplace t F = L-1 sf

Si la transformada se puede separar como:

s

s s

Q

Pf

tal que 0f

y presenta n puntos que producen singularidad

o ceros de la función; llamados polos: 0Q s k sf

pero que no sean puntos de ramificación

la función se evalúa con

n

k k

k

k t s s

st

1

expQ

PF

cada sumando se llama residuo

Caso de polinomios

El grado del denominador sQ debe ser mayor que

el del numerador sP y se puede factorizar

n

k k k s s s

1

Q

entonces

k

k k

k

k

s

s s s

s

s

Q

P

Q

P

Caso de polinomios con polos o ceros múltiples

Cuando una raíz o polo sk tiene

multiplicidad m, entonces

!1Q

P 1

1

i

t

A s

s im

ii

k

k

donde

k s s

mk im

im

i s

s s s

dsim A

Q

Pd

!

1



388


SECCIÓN 4EJERCICIOS CON LA ECUACIÓN DE BESSEL

Ejercicio 4.1. 2 2 1 0t y t y t y Con 1 2 y y 0 y

2

2 2

d 1 d 11 0

d d

y y y

t t t t

1 2 1a 0a

2 0q p q x 0 p

21 1cbc x 2 2 0c 1c

1 1J Y y A t B t

2 1bc 1b

2 2 2 1a n c 2 21n a c 1n

@ 0t 0

d

d t

y

t

1 10 0

0 0

1J 1YJ Y

t t

t t A t B t

t t

01

0 0 A B

0 B

@ 1t 0 01 1 1

2 J Yt t t

y A t B t

1 1J 1 Y 1 2 A B

12 J 1 4,544932 A

14,54J y t

(4.1)

1

0Jd J

dt y A t

t t

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

0,0 0,5 1,0

t

1,5

2,0

2,5

'



389


Ejercicio 4.2. 2 2 194 0r z r z r z Con 0 z y 1 1 z

2

2 2

d 1 d 14 0

d d 9

z z z

r r r r

1 2 1a 0a 2 0q p q x 0 p

21 4cbc x 2 2 0c 1c 1 3 1 3J 2 J 2 z B r C r

2

4bc 2b

2 2 2 1 9a n c 2 21 9n a c 1 3n

@ 0r 1 3 1 30 0J 2 J 2

r r z B r C A r

0 B C 0C

@ 1r 1 3 1 31 1 11 J 2 J 2

r A r r z B r C r

1 3 1 3J 2 J 2 1 B C

1 31 J 2 2,257643 B

Ejercicio 4.3. 2 3 1 0 x y x y x y Con 1 1 y y 2 0 y

2

2 2

d 3 d 1 10

d d

y y y

x x x x x

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r

z

1 32,26 J 2 z r (4.2)



390


1 2 3a 1a

2 0q p q x 0 p

21 1cbc x x 2 2 1c 1 2c 1 2 1 2

0 0

1J 2 Y 2 y A x B x

x

2

1bc 2b

2 21n a c 2 2 2 1a n c 0n

@ 1 x 1 2 1 20 01

1 1

1 11 J 2 Y 2

x x x

y A x B x x x

0 0

1 1J 2 Y 2 1

1 1

A B

0

0

1 J 2

Y 2

A B

@ 2 x 1 2 1 20 02

2 2

1 10 J 2 Y 2

x x x

y A x B x x x

0 0

1 1J 2 2 Y 2 2 0

2 2 A B

0

0

J 2 2

Y 2 2 B A

00 0

0

12,1829

J 2 2J 2 Y 2Y 2 2

A

00 0

0

11,0018

Y 2 2Y 2 J 2J 2 2

B

0,0

0,1

0,20,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

x

y

1 2 1 20 02,18J 2 1,00Y 2 x x

y x

(4.3)



391


Ejercicio 4.4

2 4 0t v v t v Con 0v y / 4 1v

t en radianes

2

2

d 2 d

4 0d d

v v

vt t t

1 2 2a 1 2a

2 0q p q x 0 p

21 4cbc x

21 4cbc x 1c 1 2 1 21 2

1J 2 J 2v A t B t

t

2

4bc 2b

2 2 2 0a n c

2 20n a c 1 2n

1 2

1 2

2J 2 sen 2

2t t

t

1 2

1 2

2J 2 cos 2

2t t

t

1

sen 2 cos 2v C t D t t

@ 0t 00

1

sen 2 cos 2t t v C t D t t

0 1

0

C D

0 D

@ / 4t /4

/4

11 sen 2 cos 2

t t

v C t D t t

4

1 0 1C D

/ 4C

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

t

v

sen 2

4

t

v t

(4.4)



392


Ejercicio 4.5. 2 4 0 f rT rT r T T Con 00T T y 0T

Cambio de variable0

T T Θ

T T

2

2

d 2 d4 0

d d

Θ ΘΘ

r r r Con 0 1Θ y 0Θ

1 2 2a 1 2a

2 0q p q x 0 p

21 4cbc x 2 2 0c 1c 1 2 1 21 2

1I 2 I 2Θ A r B r

r

2 4bc 2b i

2 2 2 0a n c 2 20n a c 1 2n

1 2

1 2

2I 2 senh 2

2r r

r

1 2

1 2

2I 2 cosh 2

2r r

r

1

senh 2 cosh 2Θ C r D r r

@ 0r

0

d 2cosh 2 senh 2

d r

ΘC r D r

r r

20

1senh 2 cosh 2

r

C r D r r

2

0

d2 0 1 0 0 1 0

d r

Θr C D C D

r

0 D

@ 1r

1

1

11 senh 2 cosh 2

r r

Θ C r D r r

1

senh 2 cosh 2 11

C D 1 senh 2 0, 275721C



393


Ejercicio 4.6. 2 2 1 4 0r C rC r C Con 0C y 1 1C

2

2 2

d 1 d 11 0

d d 4

C C C

r r r r

1 2 1a 0a 2 0q p q x 0 p

21 1cbc x 2 2 0c 1c

1 2 1 2I IC A r B r

2

1bc b i

2 2 2 1 4a n c 2 21 4n a c 1 2n

1 2

1 2 2 senhr r r

1 2

1 2 2 coshr r r

1

senh coshC D r E r r

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

senh 2

0,275r

Θ

r

(4.5)

2

2 cosh 2 senh 2d

d senh 2

r r r Θ

r r



394


@ 0r 0

0

1senh cosh

r r

C D r E r r

00 1 0

r r C D E

0 E

@ 1r 1

1

11 senh cosh

r r

C D r E r r

1

senh 1 cosh 1 11

D E 1 senh(1) 0,850918 D

Ejercicio 4.7. 44 0t N N t N Con 1 1 N y 1,5 0 N

t en radianes

24

2

d 1 d4 0

d d

N N t N

t t t

1 2 1a 1a

2 0q p q x 0 p

21 44cbc x t 2 2 4c 3c 3 32 2

1 3 1 33 3J J N A t B t

2

4bc 2 3b

2 2 2 0a n c 2 20n a c 1 3n

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r

C

senh0,851

r C

r (4.5)



395


@ 1t 3 32 21 3 1 33 31 1

1 J Jt t

N A t B t

1 3 1 3J 2 3 J 2 3 1 A B

1 3

1 3

1 J 2 3

J 2 3

A B

@ 1,5t 3 32 21 3 1 33 31,5 1,5

0 J Jt t

N A t B t

1 3 1 3J 9 4 J 9 4 0 A B

1 3

1 3

J 9 4

J 9 4

A B

1 3

1 3 1 31 3

1J 9 4

J 2 3 J 2 3J 9 4

A

0,463 884 A 0,748 957 B

Ejercicio 4.8. 2 21 1 0 x y x y x y Con 0,2 0 y y 0,5 1 y

2

2 4 2

d 1 d 1 10

d d

y y y

x x x x x

0,0

0,1

0,2

0,30,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

t

N

3 32 21 3 1 33 30,464 J 0,749J N t t

(4.7)



396


1 2 1a 0a

2 0q p q x 0 p

21 4cbc x x 2 2 4c 1c 1 1

1 1J Y y A B

x

21bc 1b

2 2 2 1a n c 2 21n a c 1n

@ 0,2 x 1 10,20,2

1 10 J Y

x x

y A B x x

1 1J 5 Y 5 0 A B

1

1

J 5

Y 5 B A

@ 0.5 x 1 10,50,5

1 11 J Y

x x

y A B x x

1 1J 2 Y 2 1 A B

1

1

1 J 2

Y 2

A B

11 1

1

12,944 616

J 5J 2 Y 2Y 5

A

11 1

1

16,523 564

Y 5Y 2 J 2J 5

B

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,2 0,3 0,4 0,5

x

y

1 1

1 12,94J 6,52Y y

x x

(4.8)



397


Ejercicio 4.9. 2 2 0r C r C r C Con 1 1C y 0 0C

2

2

d 1 d0

d d

C C C

r r r

1 2 1a 0a

2 0q p q x 0 p

21 1cbc x 2 2 0c 1c

0 0I K C A r B r

2

1bc b i

2 2 2 0a n c 2 20n a c 0n

@ 0r

01

0 0

0Id0 I

d r r

r C A r

r r

0

1

0

0K K

r

r B r

r

1 10 0

0

dI K

d r r r

C A r B r

r

0 0 A B 0 B

@ 1r 0 01 1 1

1 I K t r r

C A r B r

0 0I 1 K 1 1 A B 01 0,289848I 1 A

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

r

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

C C' 00,290IC r

(4.9)

1

d IdC r r



398


SECCIÓN 5

EJERCICIOS CON LA ECUACIÓN DE EULER O DE CAUCHY

Ecuación de Euler o Cauchy Cambio de variable w x e

2

2 2

d dS

d d

y y y x

x x x x

2

2

d d1 S

d dw y y

y ew w

Nota: Por su analogía, con la ecuación de Bessel, se puede confundir.

Ejercicio 5.1.

2 1

9 0r z r z z

expr w lnw r 2

2 2

d 1 d 10

d d 9

z z z

r r r r 1 1 0

1 9

2

2

d 10

d 9

z z

w

2 1

0

9

m 1

3

m

exp 3 exp 3 z A w B w

3 3 z A r B r (6.1)

Ejercicio 5.2. 2 342 0r C r C C

expr w lnw r 2

2 2

d 2 d 30

d d 4

C C C

r r r r 2 1 1

3 4

2

2

d d 30

d d 4

C C C

w w

2 30

4m m

1 3 11 1 4 1

2 4 2m



399


exp 2 exp expC w A w B w 1 1

C Ar Br r

3 21C A r B r (6.2)

Ejercicio 5.3. 2 0r T r T

expr w lnw r 2

2

d 1 d0

d d

T T

r r r

1 1 0

0 0

2

2

d0

d

T

w 2 0m 0m , 0m

exp 0 exp 0T A B w

ln z A B r (5.3)

Ejercicio 5.4.2 2 0r v r v

expr w lnw r 2

2

d 2 d0

d d

v v

r r r 2 2 1 1

0

2

2

d d0

d d

v v

w w 2 0m m 0m , 1m

exp 0 expv A B w

1v A B

r (5.4)



400


SECCIÓN 6EJERCICIOS SOBRE TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE,

POR EL MÉTODO DE LOS RESIDUOS

Ejercicio 6.1.

senhf

cosh s

s

Para averiguar si s pertenece al denominador o al numerador, se expresa lafunción, trasformada, en su serie

3 5 7

2 4 6

3! 5! 7!f

12! 4! 6!

s s s

s s

s s s s

Se cumple que el Lím f 0 s

s

, sin modificarla

Expresándola en términos del teorema de los residuos

senh Pf cosh Q

s s s s

Que dice que

Pρ

Qn

s t n

s s

st e

s

Entonces, por comparación

P senh s Q cosh s s s

Los polos, raíces o puntos singulares de sf son, los que cumplen las ecuaciones,

Q 0n s

cosh 0n s y 0 0 s

En la zona real, de s, no se presentan raíces, pero en la imaginaria sí

cosh cos 0 cosn n n s i s



401


Que se cumple para

2 12n ni s n

; para n -, ···, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ···,

2 12n ni s n y

2 1

2n

n

n s

i i

Derivando el denominador de la función y sustituyéndola en la definición deresiduo.

P senhρ

Q senh coshn n

s t s t n

s s s s

s st e e

s s s s

Para el polo 0 0 s

0

0

senh 0ρ 0

0 senh 0 cosh 0t t e

Para los otros polos nn s

i

senh

ρ

senh cosh

n

n

t i

n

n n n

it e

i i i

Racionalizando en los argumentos de las funciones trascendentales

senh

ρ

senh cosh

n

ni

t

nn n n

i

t ei i

i

Aplicando las relaciones para las funciones de variables complejas

senh senn nii

; cosh cosn ni

sen

ρ

sen cos

n

ni

t

nn n n

it e

i

i



402


Por las propiedades de las funciones trigonométricas de los ángulos negativos ysimplificando.

sen senn n

cos cosn n

senρ

sen cos

n

ni

t

nn n n

it e

Por la definición de los polos

cos cos 2 1 0

2

n n

sen sen 2 1 12

n

n n

senρ

1

n

ni

t

n n

n

it e

Aplicando el teorema de los residuos

1

senL f

1

nt nn i

nn n

i s e

01

1

sen senL f

1 1

n nt t n nn ni i

n nn nn n

i i s e e

Por las propiedades de las sumas (de series), se cambia límites,

1

1 0

sen senL f

1 1

n nt t n nn ni i

n nn nn n

i i s e e

Por las propiedades de las sumas (de series), se cambia negativos por positivos



403


n

n

t i

nn

nn

n

t i

nn

nnn

e

i

e

i

s01

1

1

sen

1

sen

f L

δ 0

δf lím

δ x

y x

x

Por las propiedades de las funciones trigonométricas de los ángulos negativos, ycomo da lo mismo dividir que multiplicar por (1),

sen senn n

1

1 0

sen senL f

1 1

n nt t n nn ni i

n nn nn n

i i s e e

Factorizando, racionalizado y multiplicando y dividiendo por 2

1

0

1 senL f 2

2

n n

n t t i inn

n n

e e s

i

Se tiene, por la definición se la función seno en números complejos, que

sen 2

n nt t

i i

n

t e e

i

1

0

1 sen senL f , 2

n

n nn

n n

t

s f t

Con lo que, sustituyendo el valor de n

0

4 1, sen 2 1 sen 2 1

2 1 2 2

nn

n

t f t n n

n

(6.1)



404


Ejercicio 6.2.

senhf

senh s

s

Para averiguar si s pertenece al denominador o al numerador, y si tiene puntos deramificación, se expresa la función, trasformada, en su serie

3 5 7

3 5 7

3! 5! 7!

f

3! 5! 7!

s s s s

s s s s

s s

Si se divide por s el numerador y el denominador, se eliminan los puntos deramificación

3 5 7

3 5 7

1

3! 5! 7!

f

3! 5! 7!

s s s s

s s

s s s s s

s

3 5 2 7 3

3 5 2 7 3

3! 5! 7!f

3! 5! 7!

s s s

s s s s

s


s

, así modificarla


1senh

Pf

Qsenh

s s s s

s s



405


Que dice que

Pρ

Qn

s t n

s s

st e

s


1

P senh s s

Q senh s s s

Los polos, raíces o puntos singulares de sf son, los que cumplen las ecuaciones,

Q 0n s

Q senh 0n n s s y 0 00 : 0 s s

En la zona real no presenta raíces, pero en la imaginaria sí

senh 0 sen 0 senn n ni s i s

Que se cumple para

n ni s n ; para n 0, 1, 2, 3, ···,

n n y

22 2

2n

nn s

Derivando el denominador de la función y sustituyéndola en la definición deresiduo.

1senh

Pρ

1 1Q cosh senh2 2

n

n

s t s t n

s s

s s

s s st e e s s s s

s s

2 senhρ

cosh senhn

s t n

s s

st e

s s s



406


Para el polo 0 0 s

00

2 senh 0ρ

0 cosh 0 senh 0

t t e

Indeterminado, aplicando el teorema de L’Hopital

2

12 cosh

2ρ

1 1 1senh cosh cosh

2 2 2n

s t n

s s

s st e

s s s s s s s

2

1

2 cosh 2ρ

1 1 1senh cosh cosh

2 2 2n

s t n

s s

s st e s s s s

s s s

0

2

2 cosh 0ρ

0 senh 0 cosh 0 cosh 0

t n t e

Para los otros polos

2

nn s

nn s i

22 senhρ

cosh senh

n

n

t

nn n n

it e

i i i


senh senn nii

; cosh cosn ni

22 senρ

cos sen

n

n

t

nn

n n

it e

i i



407



sen sen 0n n cos cos 1n

n n

22 senρ

1

n

n

t

n n

n

t e


2

1

0

2 senL f

1

n

nn t

n

n n

s e

Nota: sen senn n

n n

y

2 2n n


2

0

2 1, senn nn

t

n

f t n e

(6.2)



408


Ejercicio 6.3.

2

senhf

cosh s

s

Nótese que por el teorema de la división por s, la transformada inversa de estafunción es la integral de la correspondiente a la del ejercicio, anterior, 6.1.

1 12 0

senh senhf ,

cosh cosh

t s st L L dt

s s s s

Por otro lado, parece que tiene un polo con multiplicidad 2, para s 0; paraaveriguarlo (averiguar si s pertenece al denominador o al numerador), se expresa

la función, trasformada, en su serie

3 5 7

2 4 6

2

3! 5! 7!f

12! 4! 6!

s s s s

s s s s

s

3 5 7

2 4 6

1

3! 5! 7!f

12! 4! 6!

s s s

s s s

s s s s

3 2 5 4 7 5

2 4 6

3! 5! 7!f

1 2! 4! 6!

s s s

s s s s

s


s

, así modificarla




409


1senh P

f cosh Q

s s s

s s

Que dice que

Pρ

Qn

s t n

s s

st e

s


1

P senh s s

Q cosh s s

Los polos, raíces o puntos singulares de f son, los que cumplen las ecuaciones,

Q 0n s

cosh 0n s y 0 0 s

En la zona real no presenta raíces, pero en la imaginaria sí

cosh cos 0 cosn n n s i s

Que se cumple para

2 12n ni s n

; para n -, ···, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ···,

2 12n ni s n

con

2 1

2n

n

n s

i i

Derivando el denominador de la función y sustituyéndola en la definición de

residuo.

1senhP

ρQ senh cosh

n

n

s t s t n

s s

s s

s s st e e s s s s

2

P senhρ

Q senh coshn n

s t s t n

s s s s

s st e e

s s s s s



410


Para el polo 0 0 s

0

0

senh 0ρ 0

0 senh 0 0 cosh 0t t e

Indeterminado, aplicando el teorema de L’Hopital

2 2

coshρ

2 senh cosh cosh senhn

s t n

s s

st e

s s s s s s s

2 2

coshρ

3 senh cosh coshn

s t n

s s

st e

s s s s s

2 2

cosh 0ρ

3 0 senh 0 0 cosh 0 cosh 0o t

n t e

Para los otros polos nn s

i

2

senhρ

senh cosh

n

n

n

t i

n

n n n n

s s

it e

i i i i

Racionalizando en los argumentos de las funciones trascendentales

2

senhρ

senh cosh

n

n

ni

t

n

n n n n

s s

i

t ei i i


senh senn nii

; cosh cosn ni



411


2

senρ

sen cos

n

n

ni

t

n

n n n n

s s

it e

ii

Por las propiedades de las funciones trigonométricas de los ángulos negativos ysimplificando.

sen senn n

cos cosn n

2

senρ

sen cos

n

ni

t n

n n n n

i

t ei i


cos cos 2 1 02n n

sen sen 2 1 12

n

n n

2

sen

ρ1

n

ni

t n n

n

t e


1

2

senL f

1

n

nin t

nn n

s e

01

2 21

sen senf 1 1

n n

n n

i in nt t

n nn nn n

s e e

Por las propiedades de las sumas (de series), se cambia límites,

1

2 21 0

sen senL f

1 1

nn

n nit n ni t

n nn nn n

s e e



412


Por las propiedades de las sumas (de series), se cambia negativos por positivos

12

21 0

sen senL f

1 1

nn

n nit n ni t

n nn nn n

s e e

Por las propiedades de las funciones trigonométricas de los ángulos negativos, ycomo da lo mismo dividir que multiplicar por (1),

sen senn n

1

2 21 0

sen senL f 1 1

n nt t n nn ni in n

n nn n

s e e

Factorizando, racionalizado y multiplicando y dividiendo por 2

12

0

1 senL f 2

2

n n

n t t i inn

n n

e e s

Se tiene, por la definición se la función seno en números complejos, que

cos2

n nt t i i

n

t e e

12

0

1 sen cosL f , 2

n

n nn

n n

t

s f t


2 2

0

8 1, sen 2 1 sen 2 1

2 22 1

nn

n

t f t n n

n

(6.3)



413


SECCIÓN 7PROPORCIONES USUALES

7.1 PRESENTACIÓN

Son valores de proporciones, normalmente obtenidas de la Geometría, que se emplean,comúnmente, en la toma de decisiones sobre:

-

Divisiones o secciones- Reparto o distribución- Clasificación o caracterización de las partes, de un todo-

Ponderación o calificación.- Definición de valores de negociación y contractuales- Rendimientos o índices del desempeño-

Etc.

Se aplican en actividades humana, como criterio para:-

Iterar en la resolución ecuaciones por prueba y rectificación- Proyectar en los métodos no analíticos para obtener máximos y mínimos-

Proyectar secuencia de datos usando valores “históricos o estadísticos”-

Compartir o distribuir bienes o actividades- Establecer márgenes o índices de aceptación o rechazo, en característica de

un bien o de una actividad.

-

Escoger dentro de las proporciones de un recurso disponible, físico oabstracto, de acuerdo con su frecuencia o proporción de aparición omanifestación

- Establecer márgenes de ganancia, de pago por castigos, por no cumplircontratos, costos por material rechazado, servicios incompletos, etc.

- Definir valores máximos o tolerables de capacidad u operación de artefactoso dispositivos

-

Establecer dimensiones de un objeto con base en una dimensión dada o yaestablecida, por ejemplo: tarjetas, papelería, paredes, ventanas, recipientes,

equipos electro domésticos, etc.-

Etc.



414


7.2 CUADRILÁTEROS CON NOMBRE PROPIO

7.2.1 cuadrado, 7.2.2 Rectángulo raíz de dos,

1ab

, 12

ad

12

ab

, 13

ad

7.2.3 Rectángulo del valor medio 7.2.4 Rectángulo áureo Sección áurea,

1

2

a

b ,

1

5

a

d

1 5 1

2

a b

b a b

5

2

c

a :

2

5 5

a

d

a

b

d

a a

b

ad

a2 a2 b a

c

b a

a

b

d

a

a

b

a

d



415


7.3 TRIÁNGULOS CON NOMBRE PROPIO

7.3.1 Triángulo egipcio, 7.3.2 Triángulo equilátero,

3

4

a

b ,

4

5

b

d

1 4 2 1

3 3

a a

b d

7.4 SUCESIÓN DE NÚMEROS DE FIBONACCI, F n

1 2n n n F F F

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N n 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 N n 1 2 3 5

1

1 5

2n

nn

F Lím

F

1 1

5

nn

n F

7.5 NÚMERO ÁUREO,

1 1 5

2

b a b

a b

a

b

4 a/3

a

b

d

b2 b2

a

b

d

5



416

El número áureo, , es el valor que se presenta cuando un todo o longitud total, b, sedivide por su segmento mayor o sección, a, y resulta de igual valor que dividir la sumade ambos, a b sobre la totalidad, b.

Conocido desde la antigüedad y su relación con el rectángulo áureo, y la estrella decinco ramas, fue estudiado por los griegos, desde 600 a. C. y se le dio muchaimportancia por los matemáticos, otros científicos, artistas y arquitectos, del siglo XII alXIX. Se descubrieron, en dicha época muchas propiedades matemáticas. También semostró que representa, aproximadamente, algunas proporciones (es el inverso de la

sección áurea, ) de las características de los cuerpos tanto biológicos como minerales.El símbolo , se designó en honor a escultor Fidias (Siglo V a. C) que los usó en las

proporciones de sus esculturas y del matemático Fibonacci (Siglo XII), quien presentólos aspectos matemáticos del número áureo.

Pentágono regular Estrella de cinco ramas o pentagrama,

2º72

a

b

3º54

3º108

1º36

a

b

c

d

Documents

Análisis Procesos 2012 GChacónV