APLICACIN DE ELEMENTOS FINITOS
APLICACIN DE ELEMENTOS FINITOSAutorIng. William W. Chauca
NolascoIng. William Chauca NolascoEn la Figura 1 se muestra el
flujo confinado alrededor de un cilindro en dos dimensiones.
Estudiar mediante la teora de elementos finitos la distribucin de
velocidades del eje longitudinal lnea CD, suponiendo que la
componente de velocidad en x(u) es igual a 1 m/s en la entrada de
la regin y suponiendo adems que este flujo es laminar e
incompresible, la viscosidad y densidad del fluido tienen un valor
de 1.7e-5 kg/(ms) y 1.10 kg/m3 respectivamente. Todas las
dimensiones necesarias estn dadas en metros y se encuentran
enunciadas en la Figura 1
Figura 1Grfico del flujo confinado alrededor de un cilindro para
el problema a seranalizado mediante elementos finitosIng. William
Chauca NolascoDEFINICIN DEL PROBLEMA Y CONDICIONES DE
BORDEDEFINICIN DEL PROBLEMAEl problema se enmarca en la dinmica de
fluidos bidimensional, tratndose de un problema de flujo potencial
bidimensional, inherentemente no viscoso e incompresible por lo que
se tiene como base de estudio la teora de funcin de corriente y
funcin de potencial. Adems como se considera un flujo incompresible
se ignoran efectos de la gravedad, trmicos (al no tener alguna
fuente trmica cercana o un sumidero) y de tensin superficial, por
lo que el parmetro de flujo primordial que influye en el flujo es
el nmero de Reynolds.Estas afirmaciones son realizadas en
consideracin de los siguientes puntos:Se dice que el flujo es
incompresible puesto que la velocidad de movimiento del fluido no
alcanza valores grandes como para considerar los cambios de
densidad presentes (es decir no se alcanzan valores de velocidad
semejantes a la velocidad del sonido Mach 1). Adems el valor de la
densidad es prcticamente cercano a la unidad, por lo que este valor
puede ser omitido.Ing. William Chauca NolascoSe considera como
flujo no viscoso, en primer lugar porque se tiene un flujo externo
con una viscosidad muy pequea y no afecta en gran medida los
efectos buscados, adems el anlisis realizado se encuentra fuera de
la capa lmite. Con base en flujo con fuerzas viscosas
insignificantes (viscosidad muy pequea) se tiene un nmero de
Reynolds muy alto.Por lo tanto no se consideran efectos viscosos ni
de densidad, pero se reafirma que son efectos que influencian en la
solucin del problema cuando se busca soluciones cercanas a la pared
del cilindro, es decir en la capa lmite.Ing. William Chauca
NolascoCONDICIONES DE BORDELa nica condicin de contorno que rige a
este problema es la consideracin referente a que mtodo de
formulacin, que se utiliza para la solucin del problema.Formulacin
Funcin PotencialCuando se recurre a esta formulacin, solo basta con
recordar que en la regin o seccin en la cual se requiera conocer la
velocidad deber considerarse, que ah, no existe flujo para
disminuir los grados de libertad del sistema.
Esto es
donde: i es el nodo en coordenada globales en el cual se
requiere la solucin dentro del sistema a analizar.Ing. William
Chauca NolascoFormulacin Funcin de CorrienteCuando se toma este
camino como solucin se deber elegir correctamente lneas en el
interior del sistema que correspondern a lneas de corriente, a fin
de conocer, sea un valor dado o un valor nulo de estas funciones,
que ser el mismo a lo largo de estas lneas de corriente y que
simplifica en gran medida esta formulacin.Ing. William Chauca
NolascoRESOLUCIN DEL PROBLEMA SELECCIONADO MEDIANTE EL MTODO DE LOS
ELEMENTOS FINITOSUna vez establecidos los parmetros del sistema y
reconociendo el tipo de problema en el cual se enmarca, se procede
a realizar la solucin en elementos finitos del problema planteado,
considerando los siguientes pasos y que sern un algoritmo para la
solucin de problemas de esta ndole.DISCRETIZACIN DEL DOMINIOEste es
un proceso vital dentro del anlisis por elementos finitos, puesto
que de aqu depende la complejidad de las ecuaciones de gobierno as
como de los grados de libertad. Antes de continuar con el proceso
de solucin conviene observar el siguiente punto:La Figura 2
presenta simetra en toda la regin solucin, por lo que a efectos de
simplificacin, solo se toma una porcin, identificada como ABCDE
mostrada en la Figura 3 para el anlisis.Ing. William Chauca
Nolasco
Figura 2 Regin a ser considerada en la solucin.
122.5548Figura 3 Idealizacin por elementos finitosIng. William
Chauca NolascoEleccin del tipo de elemento usado en la
DiscretizacinPara este problema se elige elementos triangulares
para idealizar la solucin, debido a la facilidad que presenta en la
geometra seleccionada en la Figura 2. en el caso actual se usan 13
tringulos para modelar la regin como se muestra en la Figura 3. La
eleccin se basa en la precisin esperada para la solucin del
problema.
Figura 3 Idealizacin por elementos finitosIng. William Chauca
NolascoTamao de los elementosLo ideal es tener un tamao de
elementos similar, pero que a medida que la discretizacin avanza
hacia el cilindro, el tamao de elementos sea ms fino, en la medida
que la geometra del problema permita, puesto que es ah en donde se
espera abruptos cambios en la variable de campo que es la
velocidad.En la Figura 3 se muestran las dimensiones y el ngulo
necesarios que hace posible la discretizacin y divisin de la regin
solucin. Esta representacin, aunque algo cruda en la representacin
de la frontera cilndrica, es considerada por simplicidad o
sencillez.
Figura 3 Idealizacin por elementos finitosIng. William Chauca
NolascoEsquema de numeracin nodular globalDebe numerarse los nodos
globalmente, siguiendo el criterio introducido por Singiresu S.
Rao.Entonces, se numera comenzando por la dimensin ms corta de la
regin solucin, de modo que se produzca menos saltos en la
numeracin.Esto se consigue numerando de izquierda a derecha
iniciando en el vrtice superior izquierdo de la Figura 3, para
luego de terminada la numeracin nodular, se numera los elementos en
forma indistinta, y finalmente obtiene la Figura 4 en la cual la
numeracin global esta mostrada con color verde.
Figura 4 Esquema de numeracin nodular global y numeracin de
elementosIng. William Chauca NolascoEsquema de numeracin nodular
localPara continuar con el proceso de solucin, debe numerase los
nodos de manera local, esta numeracin est realizada con color azul
comenzando en 1 y terminando en 3 debido a que se trabaja con
elementos triangulares, como se muestra en la Figura 5. Los nmeros
de las esquinas locales de los elementos triangulares estn
etiquetados de forma arbitraria.
Figura 5 Numeracin nodular localIng. William Chauca NolascoIng.
William Chauca NolascoEs importante ordenar la informacin hasta aqu
obtenida, que se muestra en forma de la Tabla 1
Ing. William Chauca NolascoSOLUCIN POR ELEMENTOS FINITOS USANDO
LA APROXIMACINDE GALERKINModelos de InterpolacinAhora una vez
terminado el proceso de discretizacin (proceso geomtrico), es
conveniente continuar ordenando la informacin necesaria para
clculos posteriores, como se muestra en la Tabla 2. Esta informacin
es de suma importancia en el proceso de Interpolacin.
Tabla 2.Ing. William Chauca NolascoCabe demostrarse el proceso
con el que se obtiene el rea de cada elemento, para ello se ejecuta
el procedimiento solo para el primer elemento, mostrado en la
Figura 6
Figura 6 Esquema del elemento 1Ing. William Chauca Nolasco
donde:Xij es la diferencia de coordenadas en x de los nodos
locales i e j del elemento (e), teniendo como centro de coordenadas
el nodo i [m]
Yjk es la diferencia de coordenadas en y de los nodos locales j
y k del elemento (e), teniendo como centro de coordenadas el nodo j
[m]
Xjk es la diferencia de coordenadas en x de los nodos locales j
y k del elemento (e), teniendo como centro de coordenadas el nodo j
[m]
Yij es la diferencia de coordenadas en y de los nodos locales i
e j del elemento (e), teniendo como centro de coordenadas el nodo i
[m]Ing. William Chauca Nolasco
Ver Tabla 2Ing. William Chauca NolascoFORMA VARIACIONAL DE LA
FUNCIN DE INTERPOLACINAhora se determina una funcin de interpolacin
para la variable de campo en cada elemento, en este caso el
potencial de velocidad F(e), suponiendo que la variacin de F(e)
dentro del elemento e es lineal, as:
(E1)donde[N( x, y)], es la matriz de las funciones de
interpolacin o funcin de forma en cada nodo que es igual a
donde los valores de las constantes ai, aj, bi, bj,. ck. ;. para
cada elemento estn definidas por
Ing. William Chauca Nolascola informacin necesaria para el
clculo de [N(x,y)], se da en la Tabla 2 (los valores de ai, aj, ak
. no se dan en esta tabla, ya que no son necesarios para el
clculo).
Este proceso enuncia el tipo de interpolacin que se va a
implementar en la solucin, en este caso es una interpolacin
polinomial lineal.Clculo de la matriz de rigidez elementalSe
obtiene las matriz de rigidez para cada elemento triangular de la
regin solucin, utilizando los valores conocidos de A(e). bi, bj,
... ck. La matriz de rigidez est dada por
Ing. William Chauca Nolasco[B] y [D] son las matrices dadas por
las ecuaciones 1.42 y 1.43 respectivamente, mediante diversas
manipulaciones a la matriz anterior se obtiene la expresin general
para la matriz de rigidez elemental mostrada en la ecuacin (E2)
Ahora se calcula K(e) para cada elemento, mediante el programa
Microsoft Excel se puede obtener los trminos de la matriz K(e),
para luego armar las respectivas matrices.Ing. William Chauca
NolascoTABLA 3 ELEMENTOS DE LAS MATRICES DE RIGIDEZ ELEMENTAL
De los valores de la Tabla 3 y tomando la referencia de la
ecuacin (E2) correspondiente se procede a establecer las matrices
K(e) de cada elemento, donde la numeracin que se encuentra fuera de
la matriz, tanto en la fila superior como en la ltima columna
derecha, corresponden a los nmeros de nodos globales, que facilitan
para la posterior conformacin de la matriz de rigidez global del
sistema.Ing. William Chauca Nolasco
Ing. William Chauca Nolasco
Ing. William Chauca NolascoClculo de los vectores caractersticos
elementalesCindose al Mtodo de Galerkin, debe analizarse los
valores de los vectores caractersticos en cada elemento, mediante
el uso de la ecuacin (1.41).
Ing. William Chauca Nolasco
Ing. William Chauca Nolasco
Ing. William Chauca NolascoENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ Y
VECTOR CARACTERSTICO DEL SISTEMA GLOBAL.Una vez obtenido las
matrices y vectores correspondientes para cada elemento particular
del sistema, se procede a ensamblar indistintamente la matriz de
rigidez global as como el vector caracterstico general del
sistema.Haciendo uso del principio del sistema discreto general, se
ensambla la matriz mostrada en la Tabla 5 tomando en cuenta la
numeracin global asignada en las matrices K(e) de cada elemento; de
la misma forma se ensambla el vector caracterstico en la Tabla 4,
tomando en cuenta la numeracin global asignada en los vectores
caractersticos elementales
Tabla 4 Vector caracterstico general del sistemaIng. William
Chauca Nolasco
Tabla 5 Matriz de rigidez global del sistemaIng. William Chauca
NolascoReemplazando los correspondientes valores en las Tablas 4 y
5 se obtiene las siguientes matrices
Ing. William Chauca Nolasco
Ing. William Chauca NolascoEnsamblaje de las ecuaciones
generales del sistemaSe debe resolver las ecuaciones ensambladas,
como se muestran en la ecuacin (E6), despus de incorporar las
condiciones de contorno especificadas anteriormente
Ing. William Chauca Nolasco
Ing. William Chauca Nolasco
Ing. William Chauca NolascoAhora introduciendo estas matrices en
el software computacional Matlab R2009 , se puede obtener fcilmente
los valores de las incgnitas como se muestra a continuacin en las
siguientes figuras. Introduciendo en Matlab, K1 como la primera
matriz del lado izquierdo de la ecuacin matricial anterior, P1 como
el trmino de la derecha de la relacin, como se muestra en la Figura
7 y 8
Figura 7 Matriz K1 introducida en MatlabIng. William Chauca
Nolasco
Figura 8 Matriz P1 introducida en MatlabIng. William Chauca
Nolasco
Figura 9
Figura 9 Obtencin de VIng. William Chauca Nolasco
Ing. William Chauca Nolasco
Ing. William Chauca NolascoClculo de la componente de velocidad
requeridaA fin de completar el proceso de solucin, a partir de los
valores nodales de F, elvalor medio de la componente de la
velocidad u, entre los nodos 7 y 8 y que es elque llega a la lnea
CD, se puede calcular como:
Ing. William Chauca NolascoANEXOSIng. William Chauca
NolascoSolucin por elementos finitos usando la aproximacin de
GalerkinDel estudio profundo del mtodo de Galerkin, se puede decir
que, el procedimiento por elementos finitos utilizando este mtodo
se resume en los siguientes pasos:Paso 1: Dividir la regin S en e
elementos finitos de [ nodos cada uno.Paso 2: Asumir un modelo
adecuado para la interpolacin Fe en el elemento e, como
1.40)Paso 3: Establecer la integral de los residuos ponderados
sobre la regin del elemento igual a cero, tomando los mismos pesos
que las funciones de interpolacin Ni, esto produce
(1.41)Ing. William Chauca Nolascola integral en la ecuacin
anterior se puede escribir usando el Teorema de Green y Gauss
Ing. William Chauca Nolasco
Ing. William Chauca Nolasco
Ing. William Chauca Nolasco
Ing. William Chauca NolascoIng. William Chauca Nolasco
