ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

DOCENTE:Cumanda Del Rocio Vasconez Espinoza

APLICACIONES DE LAS ECUACIONESDIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

APLICACIONES DE FISICA

AUTORES:

Ricardo AriasDaniel GallardoSantiago GarcıaJhonatan Lechon

Luis LemaKaren Naula

NRC: 2106

24 de Junio del 2016Sangolquı, Ecuador

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Contenido

1. Tema

2. Objetivos

3. Introduccion

4. Ejercicios

5. Conclusiones

6. Referencias Bibliograficas.

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1. Tema

Aplicaciones fısicas de las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

2. Objetivos

1. Conocer las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en el ambitode la fısica.

2. Solucionar problemas fısicos utilizando ecuaciones diferenciales de se-gundo orden.

3. Afianzar los conocimientos adquiridos en clase sobre la resolucion deecuaciones diferenciales en segundo orden y aplicarlos en problemasreales.

3. Introduccion

Las Ecuaciones Diferenciales tiene gran importancia especialmente enla Ingenierıa como tal. Como futuros ingenieros es algo necesario que de-bemos conocer ya que a partir de situaciones fısicas que se presentan envarios problemas caen en conceptos que involucran a todas las Ingenierasy ramas de la ciencia, obteniendo un sinnumero de aplicaciones donde sepresentan ecuaciones diferenciales. Las Ecuaciones Diferenciales tienen unaimportancia fundamental en las matematicas y sobre todo en la ingenierıadebido a que muchos problemas se presentan a traves de leyes y relacionesfısicas matematicamente por este tipo de ecuaciones. Las leyes cientıficas,que por supuesto estan basadas en experimentos u observaciones, se tradu-cen en ecuaciones matematicas. En cada caso las ecuaciones diferencialesrepresentan una simplificacion idealizada del problema fısico con el que nosencontramos.

4. El Movimiento Armonico Simple

Una particula o sistema tiene Movimiento Armonico simple (m.a.s) cuan-do vibra bajo la accion de fuerzas restauradoras que son proporcionales a

4.1 Solucion: 3

la distancia respecto a la posicion de equilibrio. En general dichas fuerzasrestauradoras siguen la ley de Hooke:

−→F = −k . −→x (1)

1. Vibratorio : El cuerpo oscila en torno a una posicion de equilibriosiempre en el mismo plano

Periodico : El movimiento se repite cada cierto tiempo denominado pe-riodo(T)

4.1. Solucion:

El peso viene dado por:w = m.g

la condicion de equilibrio esta dada por

mg = ksmg − ks = 0 (2)

si la masa se desplaza en una posicion de equilibrio en una magnitud xydespues se suelta, la fuerza neta correspondiente esta dada por la segundaley de Newton

F = m.aa : aceleracion (3)

entonces podemos igualar F a la resultante del peso y la fuerza de restitucion

md2x

dt2= −k(s+ x) +mg

= −kx+mg − ks = −kx (4)

Dividiendo la ecuacion para la masa m

m

m

d2x

dt2= −kx 1

m

d2x

dt2+k

mx = 0

d2x

dt2+ w2x = 0 (5)

Se dice que la ecuacion describe el movimiento armonico simple o movi-miento vibratorio La solucion general a la ecuacion diferencial es:

x(t) = C1cos(ωt) + C2Sen(ωt) (6)

4.2 Ejemplo 4

4.2. Ejemplo

Una fuerza de 400 N estira un resorte 2m. Una masa de 50kg se sujetaal extremo del resorte y se suelta desde la posicion de equilibrio con unavelocidad dirigida hacia arriba de 10m/s. Hallar la ecuacion de movimiento.

1. Datos:F = 400N ;

ω = 2m;

m = 50kg;

dx

dt= 10m/s;

k = 200

ω2 = 4

ω = 2

2. Aplicamos la formula:

50x′′

+ 200x = 0

x′′

+ 4x = 0

3. Resolvemos la EDO:

(m2 + 4) = 0, m = ±2i

4. Aplicamos el tercer caso de coeficientes constantes

x(t) = C1cos(2t) + C2sen(2t)

5. Aplicamos la condicion Inicial x(0)=2

C1 = 2

6. Aplicamos la condicion inicial x’(0)=-10

x′(0) = −10 = −2C1sen(2t) + 2C2cos(2t)

−10 = 2C2C2 = −5

x(t) = 2cos(2t)− 5sen(2t)

5

5. Trayectoria de un Proyectil

Consideremos un proyectil de peso p lanzado con un angulo α sobre elplano vertical. Estudiaremos la forma de una trayectoria, despreciando laresistencia del aire.

A causa de la direccion de la velocidad inicial v0, el proyectil tiende aelevarse pero como concecuencia de la fuerza vertical de la gravedad p = mg.,la trayectoria se curva hacia el suelo, ubiquemonos en el punto M de latayectoria, al cabo del tiempo t despues del lanzamiento, y sean x e y lascoordenadas de ese punto. Como se muestra en la figura. Como la unicafuerza aplicada al proyectil es la gravedad, proyectamos este sobre los dosejes aplicando la formula fundamental F = m.a :

Sobre el eje horizontal md2xdt2

= 0

Sobre el eje vertical md2ydt2

= −p = −mg.Con el signo −,puesto que la fuerza p actua en sentido contrario al po-

sitivo de y, resulta.d2xdt2

= 0, de donde dxdt = c = vo cos(a) =⇒ x = vo cos(a).t+ c

entonces, para t = 0, x = 0 de donde c = 0Obteniendo: x = vot cos(a) ...(1)

Tambien: d2ydt2

= −g =⇒ dydt = −gt+ c

para t = 0, y como dydt que es la proyeccion vertical de la velocidad vo es

igual a vo esigual a vo sean α de donde: vosen(α) = 0+c =⇒ dy

dt = −gt+vosen(α)....(2)

para que al integrar se tiene −g t22 + vosen(α) +K

para t = 0, y = 0 se tiene k = 0 de donde y = −g t22 + vosen(α)de la ecuacion (1) y (2) se elimina el parametro t

y = −12

gx2

v2o cos2(α)+ xtg(α) = −ax2 + bx

que representa una parabola de eje paralelo al eje de y, pasando por unmaximo.

6. Vibraciones Mecanicas

Comenzamos el estudio de los fenomenos oscilatorios presentando algu-nos ejemplos en que estos feno- menos ocurren ademas del que se mencionoen la introduccion.En condiciones normales el avion permanece estable engran parte del recorrido; sin embargo, una turbulencia puede provocar laperdida momentanea de la estabilidad y el equilibrio; cuando esto ocurre,el avion empieza a vibrar intentando regresar a su posicion de equilibrio.Afortunadamente el avion cuenta con diversos aparatos que permiten la di-sipacion de la vibracion de forma rapida y segura.

6

7. Onda Mecanica

ONDAS SONORASUna onda sonora es un caso particular de onda elastica, concretamente unaonda elastica longitudinal. Los fluidos son medios continuos que se caracte-rizan por no tener rigidez y por tanto no pueden transmitir ondas elasticastransversales solo longitudinales de presion.ONDAS ELASTICASEn un medio elastico no sometido a fuerzas volumetricas la ecuacion de mo-vimiento de una onda elastica que relaciona la velocidad de propagacion conlas tensiones existentes en el medio elastico vienen dadas, usando el conveniode sumacion de Einstein, por:

σijxj

= ρ

(vit

+ vjvixj

)E

2(1 + ν)

uix2k

+E

2(1 + ν)(1− 2ν)

ukxkxi

= ρui

E

2(1 + ν)∆u +

E

2(1 + ν)(1− 2ν)∇(∇ · u) = ρu

ONDAS PLANASEn general una onda elastica puede ser una combinacion de ondas longitu-dinales y de ondas transversales. Una manera simple de demostrar esto esconsiderar la propagacion de ondas planas en las que el vector de desplaza-mientos provocados por el paso de la onda tiene la forma u = u(x, t). Eneste caso la ecuacion (2b) se reduce para una onda plana a:

σ22uxt2

=σ21

v2L

σ22uxx2

,σ22uyt2

=1

v2T

σ22uyx2

,σ2uzt2

=1

v2T

σ22uzx2

vL =

√λ+ 2µ

ρ=

√E(1− ν)

ρ(1 + ν)(1− 2ν), vT =

õ

ρ=

√E

2ρ(1 + ν)

8. Masa resorte amortiguado

EjercicioUn peso de 16 lb se adhiere a un resorte de 5 ft de largo, en equilibrio elresorte mide 8,2 ft; si el peso impulsa y se libera del reposo en un puntosituada a 2 ft sobre la posicion de equilibrio encontrar: Su ecuacion si ofreceuna resistencia igual ala de la velocidad instantanea.Datos:

7

mg = 16lb

lo = 5ft

lop = 8, 2ft

x = 2ft

FormulasSegun Hooke

F = k.s

Segun Ecuacion Masa - Resorte

md2x

dt2= −kx− βdx

dtd2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ w2x = 0

Solucion

F = k.s

k =16lb

3, 2ft

k = 5lb

ft

Como el problema nos entrega el peso tenemos que transformar a masa

P = m.g

m(32) = 16

m =1

2lb

Se plantea la ecuacion masa - resorte, se asume β = 1

md2x

dt2= −kx− βdx

dt1

2

d2x

dt2= −5x− 1

dx

dtd2x

dt2+ 2

dx

dt+ 10x = 0

8

Ecuacion caracterıstica

m2 + 2m+ 10 = 0

−2±√

4− 40

2m(1)(2) = −1± 3i

Se escribe la solucion particular

x(t) = e−t[C1cos(3t) + C2sen(3t)]

Reemplazando los valores iniciales

t = 0; x = −2

x(0) = −2

x′(0) = 0

−2 = C1cos(0) + C2sen(0)

C1 = −2

Derivar una vez

x′(t) = −3e−tC1sen(3t)− C1e−tcos(3t) + 3e−tC2cos(3t)− C2e

−tsen(3t)

0 = −C1e−t + 3C2e

−t

C2 = −2

3

Se escribe Ecuacion singular

x(t) = e−t[−2cos(3t)− 2

3sen(3t)]

9. Movimiento forzado

Supongamos que ahora concideramos ademas de una fuerza exterior f(t)que actua sobre una masa oscilante sujeta a un resorte. Por ejemplo f(t)podria representar uan fuerza impulsora que causa un movimeinto oscilatoriovertical del soporte del resorte. Al incluir f(t) en la formacion de la segundaley de newton resulta.

md2x

dt2= −kx− βdx

dt+ f(t)

d2x

dt2+β

m

dx

dt+k

mx =

f(t)

md2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ w2x = F (t)

9

donde F (t) = f(t)/m y tal como en la seccion tan precendente de 2λ =β/m,w2 = k/m. Para resolver la ultima ecuacion no homogenea podemosusar metodo de coeficientes indeterminados.

EjercicioResolver el siguiente ejercicio de movimiento forzado cuando la masa esm = 1

5 lb y se encuentra 0,5 ft bajo el punto de reposo, en un t = 0. Tambienasuma el valor de k = 2 y un β = 12; la fuerza perturbadora esta en funciondel tiempo y ha sido representada por la siguiente funcion: F (t) = 4cos(4t).Datos

m =1

5lb

k = 2

β = 12

x =1

2ft

t = 0

F (t) = 4cos(4t)

Formulas

md2x

dt2= −kx− βdx

dt+ f(t)

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ w2x = F (t)

SolucionReemplazamos datos:

1

5

d2x

dt2+ 12

dx

dt+ 2x = 4cos(4t)

d2x

dt2+ 60

dx

dt+ 10x = 20cos(4t)

Se asume como una ecuacion homogenea

d2x

dt2+ 60

dx

dt+ 10x = 0

Se obtiene la ecuacion caracterıstica

m2 + 60m+ 10 = 0

−60±√

602 − 40

2

−60±√

3560

2

−30±√

890

10

Se escribe la solucion particular

yc = C1e(−30+

√890)t + C2e

(−30−√890)t

Se asume la forma de la solucion particular (yp)

yp = Asen(4t) +Bcos(4t)

y′p = 4Acos(4t)− 4Bsen(4t)

y′′p = −16Asen(4t)− 16Bcos(4t)

Reemplazar en la y general.

−16Asen(4t)− 16Bcos(4t)+240Acos(4t)− 240Bsen(4t) + 10Asen(4t) + 10Bcos(4t) = 20cos(4t)

sen(4t) : −16A+ 10A− 240B = 0

cos(4t) : −16B + 240A+ 10B = 20

Donde :

A = 0, 084

B = − 120

57636(7)

Reemplazar en la Ecuacion general (particular)y = yc + yp

y = C1e(−30+

√890)t + C2e

(−30−√890)t + 0, 084sen(4t)− 120

57636cos(4t)

Condiciones inicialesx(0) = 1

2x′(0) = 0Derivando

(1)1

2= C1 + C2

y′ = (−30 +√

890)C1e(−30+

√890)t + (−30−

√890)C2e

(−30−√890)t + 0, 336cos(4t) +

480

57636sen(4t)

x′(0) = 0

(2) 0 = −0, 167C1 − 59, 833C2

(8)

Donde:

C1 = 1, 399,10−3

C2 = 0, 998

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Se escribe la solucion singular

y = 1, 399,10−3e(−30+√890)t + 0, 998e(−30−

√890)t + 0, 084sen(4t)− 120

57636cos(4t)

OSCILADOR FORZADO Y CAOS

El oscilador armonico no perturbado en una dimension es un ejemplo desistema integrable, con comportamiento regular. Sin embargo, el osciladorarmonico perturbado puede presentar un comportamiento caotico caracte-rizado por un atractor extrano. Por ejemplo en el caso de una perturbacionde tipo x3; la ecuacion de movimiento es:

d2x

dt2+ a

dx

dt+ ω2x+ εω2x3 = b cos(ωt)

OSCILADOR DE VANDER POL

El oscilador de van der Pol es un caso especial de oscilador con amorti-guamiento no lineal, que responde a la ecuacion:

d2x

dt2− µ(1− x2)dx

dt+ x = 0

Fue descrito por primera vez en 1935 por Balthasar van der Pol5 y pre-senta comportamiento caotico.

10. Caıda Libre y Leyes de Movimiento

Se va a considerar la caıda vertical de un cuerpo de masa mque estaafectado por dos fuerzas: la aceleracion de la gravedad y la resistencia del aireproporcional a la velocidad del cuerpo. Suponemos que tanto la gravedadcomo la masa permanecen constantes y que la direccion positiva es haciaabajo.

Por la segunda ley de Newton:

F = ma = mdv

dt.

La fuerza de la gravedad dada por el peso w del cuerpo es: w = mg,donde g = 9, 8 m

seg2.

La fuerza debida a la resistencia del aire es −kv, k ≥ 0 por ser opuesta ala velocidad; k es la constante de proporcionalidad. Entonces, la fuerza netasobre el cuerpo es:

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F = mg − kv

es decir, mdvdt = mg − kv

de donde dvdt + k

mv = g,es la ecuacion del movimiento del cuerpo. Si la resistencia del aire es

despreciable, entonces, k = 0 y la ecuacion es:

dv

dt= g

La velocidad lımite se define ası: v1 = mgk .

Si la resistencia del aire no es proporcional a la velocidad sino al cuadradode la velocidad u otra relacion, entonces las ecuaciones deben modificarse.

Ejemplo:Una partıcula se mueve a lo largo del eje x segun la ecuacion:

d2x

dt2+ 9

dx

dt+ 20x = 0

A partir de un punto a 2 m a la derecha del origen, la partıcula en eltiempo t = 0seg se dispara hacia la izquiera con una velocidad v = 12 m

seg .Hallar:

1. El tiempo en que la partıcula pasa por el origen.

2. El desplazamiento maximo negativo.

3. La velocidad maxima (positiva).

Solucion:La ecuacion auxiliar correspondiente a esta ecuacion diferencial del se-

gundo orden con coeficientes constantes es:

λ2 + 9λ+ 20 = 0

con raıces λ1 = −4, λ2 = −5.Por tanto, las ecuaciones del desplazamiento y de la velocidad, son:

x = c1e−4t + c2e

−5t

v = −4c1e−4t − 5c2e

−5t

Encontramos los valores de c1y c2mediante las condiciones iniciales; ası:para t = 0 entonces x = 2 y tambien para t = 0 entonces v = −12,2 = c1 + c2(1)−12 = −4c1 − 5c2(2)resolviendo el sistema de ecuaciones entre (1) y (2) resulta que:

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c1 = −2c2 = 4entonces:x = −2e−4t + 4e−5t

v = 8e−4t − 20e−5t.1.Cuando la partıcula pasa por el origen: x = 0.Entonces,

4e−5t = 2e−4t

multiplicando por 12e

5t

2 = etentonces t = ln2 = 0, 6931segundos2. El desplazamiento maximo negativo se dara cuando v = 0.Entonces,

8e−4t = 20e−5t → t = ln2,5

x = −2e−4ln2,5 + 4e−5ln2,5 = −2(2,5)−4 + 4(2,5)−5 = −(2,5)−5

x = −0,01024m.

3. La maxima velocidad se tendra para:

dv

dt= −32e−4t + 100e−5t = 0

100e−5t = 32e−4t

de donde t = ln(258 ).

Entonces, v = 8e−4ln(258) − 20e−5ln(

258)

= 8(258 )−4 − 20(258 )−5

= 5(258 )−5

v = 0,01677 mseg

11. Conclusiones

La aplicacion de ecuaciones diferenciales en el ambito de la fısica comolas leyes newtonianas , simplifica la resolucion de problemas.

Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del anali-sis matematico y modelan innumerables procesos de la vida real connumerosas aplicaciones en la ciencia y la ingenierıa.

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Los ejercicios de aplicacion de las Ecuaciones diferenciales de ordensuperior en cuanto a leyes de movimiento son ejercicios donde es in-dispensable tener condiciones iniciales para el calculo de velocidadesde desplazamiento maximo, tambien es necesario tener la ED para en-tender el movimiento de la partıcula. En este tipo de ejercicios comun-mente la ecuacion auxiliar corresponde a una ED de segundo orden,pero en ocasiones se presentan ejercicios de leyes de movimiento comocaıda libre en los cuales se aplica resolucion de ED de primer orden,es por eso que se presento dicha teorıa con el fin de identificar los doscasos.

12. Referencias Bibliograficas

- Ortiz, C. (s.f.). slideshare. Obtenido de http://es.slideshare.net/xiomithaditte/aplicaciones-de-las-ecuaciones-diferencialesde-segundo-orden

- Ramos, E. E. (2008). Analisis Matematico IV. Lima.

- Zill,D.GCullen,M.R.(s.f.).Ecuaciones Diferenciales. McGrawl Hall.