Cálculo Vectorial Capitulo 5: Trayectorias en R3

8/14/2019 Clculo Vectorial Capitulo 5: Trayectorias en R3

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CAPITULO 5 _______________________________

TRAYECTORIAS EN R 3

5.1 Interpretacin de una curva como una funcin vectorial devariable escalar.

5.2 Definiciones de velocidad, rapidez, aceleracin y longitud decurva.

5.3 Vectores unitarios elementales, curvatura y componentes de laaceleracin para una curva en R 3.

5.4 Frmulas prcticas para calcular las componentes tangencial,normal de la aceleracin y curvatura.

5.5 Funciones vectoriales de variable vectorial.5.6 Rotacional y divergencia de un campo vectorial.5.7 Campos vectoriales gradientes.

La geometra es una ciencia del conocimiento del ser, pero no de lo que esta sujeto a la generacin o a la muerte. La geometra es una ciencia de lo que siempre es

Platn.


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5.1 INTERPRETACION DE UNA CURVA COMO UNA FUNCIONVECTORIAL DE VARIABLE ESCALAR.

Cuando estudiamos las ecuaciones paramtricas de una curva plana en el cursode clculo elemental para funciones de variable real, vimos que una forma de

parametrizar una funcin de variable real )( x f y = es de la forma:

==

))((

)(

t g f yt g x

; esto es, expresar tanto la variable independiente x como la

variable dependiente en funcin de un tercer parmetro t .

De igual forma, en el captulo 2, estudiamos la forma paramtrica de expresar una recta en R 3. Sin temor a equivocarnos podemos expresar una curva cualquiera en

R 3 en forma paramtrica de la forma:

=

=

=

))(),((

)(

)(

t yt x f z

t y y

t x x

, este razonamiento lo

podemos generalizar a la representacin paramtrica de una curva en R n, de la forma:

=

=

=

=

))(),.......,(),((

)(

)(

)(

21

22

11

t xt xt x f z

t x x

t x x

t x x

n

nn

, estas parametrizaciones son funciones

vectoriales; de 2 R R para una curva plana, de 3 R R para una curva en el

espacio tridimensional y den

R R para una curva en el espacio n dimensional;estas parametrizaciones de trayectorias son funciones vectoriales de la forma:

))(),........(),(()( 21 t xt xt xt n=

Esta funcin, lo que hacen es transformar un nmero real del dominio en unvector del espacio n dimensional en el rango o imagen de la funcin; as:

nn RU t xt xt x Rbat ))(),........(),((),( 21 , a estas se las

conoce como trayectorias en n R y son funciones vectorialesn R Rbat ),(:)( .


3/28

Entonces, 3),(:)( R Rbat , es una trayectoria en R 3 como lo indica lafigura 5-1.

Definicin:

Una trayectoria en R n es una funcin vectorial de la forma:

nn Rt xt xt x Rbat t ))(),........(),((),(:)( 21

Donde )(,),........(),( 21 t xt xt x n son sus componentes. Esta trayectoria es detipo C 1 (diferenciable, hasta sus derivadas contnuas) en su dominio (a, b) si cadauna de sus componentes son tambin de tipo C 1 en (a, b); )(),( ba son losextremos de la trayectoria y su imagen es una curva en R n

Entonces para una trayectoria en R 3: ))(),(),(()( t z t yt xt = ; )(t x , )(t y y )(t z son las componentes de la trayectoria y esta es diferenciable en (a, b) si y slosi cada una de sus componentes son diferenciables en (a, b).

Ejemplo 5-1 Analizar el grfico de la funcin: )cos1,()( t sent t t = ,que es una curva plana conocida como la cicloide, formada por latrayectoria que describe un punto de un crculo rodante de radio 1.

Y

Z

X

)(a

)(b

( )a b

)(t

Figura 5-1


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Solucin: El crculo esta en el plano X,Y y rueda sobre el eje X, de talforma que su centro se mueve hacia la derecha sobre la recta

1= y con rapidez constante de 1 radin por unidad de tiempo. El punto del crculo rodante tiene un movimiento ms complicado yes la imagen de )(t , la curva que va describiendo se conocecomo la cicloide, la misma que se representa en la figura 5-2

Ejemplo 5-2 Representar una circunferencia de radio r como una trayectoria enR 2 y discutir su grfico.

Solucin: El crculo de radio r es una trayectoria en R 2 y esta dada por lafuncin vectorial: ),cos()( rsent t r t = que es la

parametrizacin de la circunferencia de radio r, usandocoordenadas polares, su grfico se aprecia en la figura 5-3.

)(t

Figura 5-3

r

x

y

Figura 5-2

1


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Ejemplo 5-3 Analizar el grfico de la funcin: ),,cos()( bt asent t at = ,que es una curva en R 3, conocida con el nombre de hlice circular recta.

Solucin: Esta curva representa una espiral circular donde a es el radio de laespira y b es el espaciamiento entre espiras, su grfico se lo puedeapreciar en la figura 5-4.

5.2 DEFINICIONES DE VELOCIDAD, RAPIDEZ, ACELERACION YLONGITUD DE CURVA.

Si consideramos una partcula de masa desplazndose por una trayectoria )(t ,la forma vectorial de la trayectoria representa el desplazamiento de la partcula enfuncin del tiempo t, si la trayectoria es diferenciable, su diferencial como lo vimos enel captulo 3 seccin 3-5, tiene una singular importancia en el estudio deldesplazamiento de dicha partcula.

Definicin:

Sea nn Rt xt xt x Rbat t ))(),.......(),((),(:)( 21 , una trayectoriade tipo 1C en (a, b) el diferencial de )(t es la matriz columna

[ ]

=

)('

)('

)('

)(2

1

t x

t x

t x

t D

n

, que expresada como vector representa la velocidadde una

partcula que se desplaza por la trayectoria en el tiempo t y es tangente a la mismaen cualquier punto.

(t

0,0,(a

a b

x Figura 5-4


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Si la trayectoria esta en R 3 es de la forma ))(),(),(()( t z t yt xt = , suvelocidad es el vector k t z jt yit xt )(')(')(')(' ++= , que expresado comomatriz columna es el diferencial de la funcin vectorial, y es tangente a latrayectoria en cualquier punto.

Definicin:

Sea nn Rt xt xt x Rbat t ))(),.......(),((),(:)( 21 , una trayectoria

de tipo 1C en (a, b) la norma del vector velocidad es la rapidez; representada por:

)(')( t t S =

Para una trayectoria en R 3 la rapidez ser:

222

))('())('())('()( t z t yt xt S ++=

Definicin:

Sea 3))(),(),((),(:)( Rt z t yt x Rbat t , una trayectoria de tipo1C en R 3, la recta tangente a la curvaen )( 0t , en forma vectorial y en

funcin del parmetro esta dada por:

)(')()( 00 t t l +=

La recta tangente a la curva )(t en R 3, en forma paramtrica y en cualquier punto ser:

)(')()(

)(')()(

)(')()(

00

00

00

t z t z z

t yt y y

t xt x x

+=

+=

+=


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Ejemplo 5-4 Calcular el vector velocidad y la rapidez de la hlice),,(cos)( t sent t t = en R 3

Solucin:

==

1

cos)(' t

sent

t v ; k jt i sent v ++= )(cos)('

21)(cos)()( 22 =++== t sent vt S

Ejemplo 5-5 Considere una partcula que se mueve sobre la hlice),,(cos)( t sent t t = en 3 R ; inicia su movimiento en el punto

)0( . En el tiempo t = la partcula deja la trayectoria y vuelahacia fuera por latangente, encontrar la

posicin de la partcula en

el tiempo t = 2 suponiendo que ningunafuerza externa acta sobreella despus de abandonar la trayectoria.

Solucin: ),,(cos)( t sent t t =

)1,cos,()(' t sent t =

)0,0,1()0( =

),0,1()( == )1,1,0()(' =t

Como se aprecia en la figura 5-5 el recorrido total lo realiza la partcula por dos trayectorias; la primera es sobre la hlice )(t ,durante un tiempo =t y la segunda sobre la recta tangente a lahlice en el punto )( y durante un tiempo =t , tambin, por cuanto el tiempo total del recorrido es 2 ; por lo tanto al cabo deltiempo 2=t la partcula estar sobre la recta tangente y paraesto es necesario encontrar la ecuacin de la recta tangente a lahlice en el punto )( :

=)0( )0,0,1(

z

x

)(

)( l

)( l )(' = y

Figura 5-5


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)1,1,0(),0,1()( += l

Luego la posicin final de la partcula ser en el punto )( l

)2,,1()( =l ; por lo tanto en el tiempo 2=t la

partcula se encuentra en el punto )2,,1(

Como la rapidez, representa el tamao del vector velocidad en un punto dado, esrazonable pensar que la longitud del recorrido de una partcula desde at = , hasta

bt = sea el limite de la longitud total de la poligonal que se formara por los vectoresentre cada dos puntos, hasta cubrir el total del recorrido, cuando se toman infinitosvectores desde at = hasta bt = . Esta observacin se la resume en la siguientedefinicin.

Definicin:

Sea 3))(),(),((),(:)( Rt z t yt x Rbat t , una trayectoria de tipo1C en R 3, la longitud de curvadesde at = hasta bt = , esta dada por:

= ba dt t l )(')(

Otra forma de expresar la longitud de curva ser:

++= ba dt t z t yt xl 222 ))('())('())('()(

Si la curva esta en R 2

, la longitud de curva ser:

+= ba dt t yt xl 22 ))('())('()( Definicin:


de tipo 2C en (a, b) la aceleracinde una partcula de masa que se desplaza por la trayectoria esta dada por: ))(''),(''),(''()('' t z t yt xt a ==


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Entonces resumiendo las definiciones que hemos estudiado hasta este punto para una curva en R 3 son:

Definiciones:

( ) ))(),(),(( t z t yt xt = Vector posicin del punto

))('),('),('()(' t z t yt xt v == Vector velocidad del punto

))(''),(''),(''()('' t z t yt xt a == Vector aceleracin del punto

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]222 '''')( t z t yt xt t S ++== Rapidez (escalar)

[ ] [ ] [ ] ++= ba dt t z t yt xl 222 )(')(')(')( Longitud de arco

Ejemplo 5-6 Encontrar la longitud de una circunferencia de radio r:),cos()( rsenr =

Solucin:

Ejemplo 5-7 Encontrar la longitud de curva de la hipocicloide:),(cos)( 33 t sent t = , de 0=t a 2=t

Solucin: Como podemos ver en la figura 5-6, la hipocicloide no es unacurva diferenciable en [ ] 2,0 ; por lo tanto, para encontrar sulongitud total lo podemos hacer calculando la longitud de una desus ramas; del punto )1,0()0,1( puntoal y por ser simtricaesta longitud la multiplicamos por 4, as:

r dr dr L

dCosr Senr L

d Cosr Senr L

2

( (

2

0

2

0

2

2

0

222 2

2

0

22

= = =

+ =

+ =


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+= 20 2222 )cos3()cos3(4

dt t t sen sent t L

+= 20 2424 coscos12

dt t t sent sent L

22

0

2

0 212cos12

== t sendt t t sent L

6= L

Ejemplo 5-8 Encontrar la longitud de trayectoria ( )0|,||,|)( 21= t t t de[ ]1,1 .

Solucin: Este recorrido se lo puede apreciar en la figura 5-7 y por tratarse deuna curva con la presencia de valor absoluto tampoco esdiferenciable de [ ]1,1 y la podemos tomar por fragmentos de lasiguiente manera:

[ ][ ][ ]1,)0,,()(

,0)0,,()(

0,1)0,,()(

21

21

3

21

21

2

21

1

det t t

det t t

det t t

=

+=

+=

)(t (' t

1

1

1

1Imagen de ),(cos)( 33 t sent t =

Fi ura 5-6


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321 L L L L ++=

+++++=0

1 0

121

21

111111 dt dt dt L

222 22

22 =++= L

Ejemplo 5-9 Dada la hlice ( )t t sent t 5,2,2cos)( = en [ ] 4,0 ,calcular:a.- La velocidad en 2=t .

b.- La aceleracin en 2=t .c.- La rapidez en 2=t .d.- la longitud de curva desde 0=t a 4=t .

Solucin: a.- )5,2cos2,22()(' t t sent =

)5,2,0()2(')2( == v

b.- )0,24,2cos4()('' t sent t = )0,0,4()2('')2( == a

c.- 352cos424)( 22 =++= t t sent S 3)2( = S ; constante, independiente de t.

d.- == 40 123dt L

X

Y

1

1

( )21 )0(

1 2

1

Figura 5-7


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5.3 VECTORES UNITARIOS ELEMENTALES CURVATURA YCOMPONENTES DE LA ACELARACION PARA UNA CURVA EN R 3.

Ahora aplicaremos los conceptos bsicos estudiados en la seccin anterior almovimiento de una partcula sobre la trayectoria y a la interpretacin geomtrica de lamisma. Cuando una partcula se desplaza sobre una trayectoria C, su velocidad puede

cambiar lenta o rpidamente dependiendo de si la curva se dobla en forma gradual o brusca, respectivamente. Para medir la rapidez con que se encorva, o cambia de formauna curva, se usa el concepto de curvatura , que en otras palabras seria la mediad de larapidez con que la curva se tuerce o se dobla en un punto dado.

Comencemos con los conceptos bsicos que son; los de Vector TangenteUnitario y Vector Normal Unitario.

Definicin:


de tipo2

C en (a, b), se conoce como vector tangente unitario, denotado por )(t T , a:

)(')('

)(t t

t T

= ; de igual forma se conoce como vector normal unitario,

denotado por )(t N , a:)(')('

)(t T t T

t N = .

Como se puede apreciar en lafigura 5-8 )(t T y )(t N son vectoresortogonales y el primero es tangente a lacurva y el segundo normal a la misma;adems es fcil demostrar que )(t T y

)(t N son ortogonales.

Ejemplo 5-10 Demostrar que losvectores tangente ynormal unitariosson perpendicularesen cualquier puntode la curva.

X

Y

Z

Figura 5-8

C )(t N

)(t T P

)(t


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Solucin: 1)( =t T ; por ser un vector unitario

1)()( = t T t T ; propiedad del producto interno, seccin 1-5[ ] [ ]1)()( Dt T t T D = ; aplicando la regla de la cadena

0)(')()()(' =+ t T t T t T t T

0)(')(2 = t T t T lo que demuestra que )(t T y )(' t T sonortogonales.

Ejemplo 5-11 Dada la hlice )3,4,cos4()( t sent t t = para 0t , encontrar los vectores )(t T y )(t N en cualquier punto.

Solucin: )3,cos4,4()(' t sent t =

),cos,(5

)3,cos4,4()( 5

354

54 t sent

t sent t T =

=

)0,,cos()(' 54

54 sent t t T =

)0,,cos()0,,cos(

)(54

54

54

sent t sent t

t N =

=

A continuacin; primero definamos curvatura para una curva plana, para luegohacerlo para una curva en R 3.

Como lo dijimos anteriormente,una curva plana puede parametrizarce demuchas maneras; supongamos que la

paramatrizamos en funcin de la longitudde arco s , como lo vemos en la figura 5-9 cualquier punto de la curva plana Cestar dado por: ))(),(()( s y s x sr = ,donde s , en este caso, es la longitud decurva de los puntos A a P, derivando conrespecto a s se obtiene el vector tangente

jdsdy

idsdx

sr +=)('

y su norma es:

X

Y

Figura 5-9

CA

P

s

)( sr

)(' sr


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1)('222

=

=

+

=dsds

dsdy

dsdx

sr ; por cuanto, como se vio en el

curso de clculo elemental para funciones de variable real, el diferencial de longitud de

arco es: dt dt dy

dt dx

dydxds

2222

)()(

+

=+= .

En base a lo anterior )(' sr es un vector unitario tangente a la curva C en el punto P, como se aprecia enla figura 5-9, a este vector lodenotamos por )( sT . En lafigura 5-10 observamos que es el ngulo que forma

)( sT con el vector unitarioi , la rapidez de variacin de con respecto a s esta

medida por dsd

y en el

mismo grfico podemosapreciar que esta rapidez devariacin es pequea en los

puntos Q y V, donde lacurva se dobla levemente;mientras que en los puntos R y W esta rapidez devariacin es grande y aqu lacurva se dobla en forma abrupta. Estas observaciones se concretan en la siguientedefinicin.

Definicin:

Sea C una curva plana regular, dada por: ))(),(()( s y s x sr = , donde el parmetro s es la longitud de curva y sea el ngulo que forma el vector tangente unitario

)( sT con el vector unitario i , la curvatura k de la curva C en el punto P(x, y) estadada por:

dsd

k =

X

Y

Figura 5-10

R

V

WC

P

Q

i

)( sT


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Ejemplo 5-12 Demostrar que la curvatura de una recta es cero en todos sus puntos.

Solucin: Como se aprecia en la

figura 5-11, en todos los puntos de la recta l elngulo es constante;

por lo tanto 0=dsd

y

por lo tanto 0=k entodos sus puntos.

Ejemplo 5-13 Demostrar que la curvatura en todos los puntos de una

circunferencia de radio R es R1

.

Solucin: En la figura 5-12hemos graficado unacircunferencia deradio R y con centroen el origen; P es un

punto de lacircunferencia en el

primer cuadrante es el ngulo AOPmedido en radianes y s es la longitud dearco AP, por lo tanto:

R s = ; R s= ;

en la figura 5-12 podemos ver:

22

+=+= R s

; derivando con respecto a s:

X

Y

Figura 5-11

Pi

)( sT

cte=

l

X

Y

Fi ura 5-12

0

P

)( sT

)0,(k A


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01 +=

Rdsd

Rds

d k

1==

Como mensaje del ejemplo 5-13 podemos definir radio de curvatura , denotado

por , como el radio de una circunferencia imaginaria a la que pertenecera el arco decurva C; con esto es fcil interpretar que el radio de curvatura de un recta es infinito yel de cualquier otra curva regular que no sea recta es un valor finito definido por:

k 1= ; el inverso de la curvatura. 5-1

Si la curva plana esta como )( x f y = :

'tan y= de donde, 'tan 1 y= 5-2

Derivando con respecto a x y aplicando la regla de la cadena se tiene:

dxds

dsd

dxd = ,

dxds

dxd

dsd = 5-3

Como la curvatura es el valor absoluto de la variacin de con respecto a s ,de la ecuacin 5-3:

dxds

dxd

k

= ; De la ecuacin 5-2;

'')'(1

12 y ydx

d +

= y por otro lado 2)'(1 yds += ; entonces:

[ ]232)'(1''

y

yk

+= 5-4

La ecuacin 5-4 servira para calcular la curvatura de una curva plana cuando setiene a la curva de la forma normal de expresar una funcin de variable real

)( x f y = .


17/28

Si la curva esta dada en forma paramtrica ))(),(()( t yt xt = tenemos:

)(')('

tant xt y= ;

=

)(')('

tan 1t xt y , derivando esta ltima:

( ) 22 ))('()(')('')('')('

)(')('1

1t x

t yt xt yt x

t xt ydt d

+=

, adems:

22 ))('())('( t yt xdt ds += , entonces:

[ ]2322 ))('())('()(')('')('')('

t yt x

t yt xt yt x

dt dsdt d

dsd

k +

===

5-5

La ecuacin 5-5 sirve para calcular la curvatura de una curva plana cuando estaest dada en forma paramtrica.

Sea C una curva regular en el espacio tridimensional, el anlisis de la curvaturano puede hacerse en forma anloga al que acabamos de hacer para una curva plana por cuanto el ngulo no es nico; por lo tanto el anlisis lo vamos hacer desde otroenfoque que es similar al usado para curvas en dos dimensiones.

En dos dimensiones, el vector tangente unitario )( sT se lo puede, tambin,escribir:

j seni sT += cos)( , donde es el mismo ngulo del que hablamosanteriormente, derivando esta ltima con respecto a s tenemos:

)cos(cos)(' ji sendsd j

dsd i

dsd sen sT +=+= , su norma ser:

k dsd

ji sendsd

sT ==+=

cos)(' .

Este es el enfoque que usaremos para analizar la curvatura en tres dimensiones,escribiremos el vector tangente unitario )( sT sin hacer referencia al ngulo y luegodefiniremos k como:

)(' sT k = 5-6


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Dada la curva en R 3 de la forma ))(),(),(()( s z s y s x sr = , como lo vimosanteriormente:

1)('2222

=

=

+

+

=dsds

dsdz

dsdy

dsdx

sr

Lo que quiere decir que )(')( sr sT = .

Si la curva esta dada en funcin del parmetro t , de la forma:))(),(),(()( t z t yt xt = , el vector tangente unitario tambin lo podemos escribir de

la forma:

)(')('

)(t t

sT = y por tanto: )(')()(' t sT t = 5-7

En la 5-7 como )(' t es la velocidad )(t v y )(' t es la rapidez conocidacomo la razn de cambio de la longitud de curva con respecto al tiempo, tenemos:

)()( sT dt ds

t v = , derivando esta expresin con respecto al tiempo, tenemos:

dt ds

sT dt ds

sT dt

sd dt

sT d dt ds

sT dt

sd t vt a )`()(

))(()()(')( 2

2

2

2

+=+==

)`()()(')(2

2

2

sT dt

ds sT

dt

sd t vt a

+== 5-8

Como se demostr en el ejemplo 5-10, las vectores )( sT y )(' sT son perpendiculares; entonces el normal unitario en funcin del parmetro s esta dado por:

)`()('

)( sT sT

s N = , remplazando 5-6 en esta ltima tenemos:

k sT

s N )('

)( = , o lo que es lo mismo: )()(' skN sT = 5-9


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Remplazando 5-9 en 5-8, tenemos:

)()()(')(2

2

2

s N dt ds

k sT dt

sd t vt a

+== 5-10

Como la aceleracin se puede escribir de la forma:

)()()( s N a sT at a N T +=

donde T a es la componentetangencial de la aceleracin y N a la componente normal de laaceleracin; podemos deducir de laecuacin 5-10, que:

2

2

dt sd

dt dv

a T == 5-11

22

==dt ds

k kva N 5-12

La figura 5-13 permiteapreciar cada una de estas componentes de la aceleracin.

5.4 FRMULAS PRCTICAS PARA CALCULAR LAS COMPONENTESTANGENCIAL, NORMAL DE LA ACELERACIN Y CURVATURA.

Dada una curva en R 3 como una funcin vectorial de la forma

))(),(),(()( t z t yt xt = , la componente tangencial de la aceleracin es la proyeccin escalar de la aceleracin en la direccin del vector tangente unitario; por lotanto:

)(')('

)('')()(t t

t t T t aa T

== , de aqu:

)(')('')('

t t t

a T = 5-13

X

Y

Z

Figura 5-13

)( sT

)( s N )(t a

2

=dt ds

K a N

2

2

dt sd

aT =


20/28

De igual forma que calculamos la )(t a en funcin de )( sT y )( s N en laecuacin 5-10, tambin podemos expresar )(t v en funcin de )( sT de la siguienteforma:

)()()( sT dt ds

svT t v == , ahora hagamos el producto vectorial )()( t at v :

+

= )()()()()(2

2

2

s N dt ds

k sT dt

sd sT

dt ds

t at v , o lo que es lo mismo:

( ) ( ))()()()()()(3

2

2

s N sT dt ds

k sT sT dt

sd dt ds

t at v

+

= , como:

0)()( = sT sT )()(()()(3

s N sT dt ds

k t at v

= , sacando la

norma en esta ltima igualdad vectorial, y sabiendo que: 1)()( = s N sT , tenemos:

3

)()(

=dt ds

k t at v 5-14

Viendo la ecuacin 5-12, podemos decir que la componente normal de la

aceleracin deducida de la ecuacin 5-14, y sabiendo quedt ds

es la rapidez,es:

)(')('')('

t t t a N

= 5-15

De la 5-14 tambin podemos deducir una expresin prctica para la curvatura:

3)('

)('')('

t

t t k

= 5-16


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Ejemplo 5-14 Dada la trayectoria:)cos,cos1()( t sent sent t t ++= , encontrar:

a.- La velocidad y la rapidez. b.- La aceleracin tangencial, la aceleracin normal, la curvatura yel radio de curvatura

Solucin: a.- jCost Sent iSent Cost t )()1()( +++=

[ ] jSent Cost iCost Sent t t Dv )()()(')( +===

22 )()( Sent Cost Sent Cost vrapidez +==

t sentsent t t sentsent t v 2222 cos2coscos2cos ++++=

2=v

b.- jt sent i sent t t a )cos()cos()('' ++==

2

)cos)((cos)cos)(cos( t sent sent t sent t t sent aT

++=

0=T a

0coscos0coscos)('')('

t sent sent t sent t t sent

k ji

t t +

=

k t t 2)('')(' =

22

2 == N a

222 =+= N T aaa

t t sent t sent tsent t sena 2222 coscos2coscos2 ++++=


22/28

2=a

( ) 22

21

2

23

===k

21 ==k

Ejemplo 5-15 Dada la trayectoria:),,()( 32 t t t t = , encontrar:

a.- La velocidad y la rapidez, para 1=t . b.- La aceleracin tangencial, la aceleracin normal, la curvatura yel radio de curvatura, para 1=t .

Solucin: a.- k t jt tit 32)( ++=

[ ] k t tjit t Dv 232)(')( ++===

k jivt 321 ++==

422222 941)3()2()1( t t t t vrapidez ++=++==

149411 =++==t v

b.- tk jt a 62)('' +==

42

3

941

184

t t

t t a T

++

+=

71411

1422

1==

=t T a


23/28

t

t t

k ji

t t

620

321)('')(' 2=

k tjit t t 266)('')(' 2 +=

42

24

941

43636

t t

t t a N

++

++=

738

1=

=t N a

Para 1=t :

4049

196022 ==+= N T aaa

40364 =+=a

( ) 738

141

14

7631

===t k

387

141

1 === k t

5.5 FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE VECTORIAL.

En el capitulo 2 seccin 2-6, cuando hablamos de las funciones de variasvariables, mencionamos a las funciones vectoriales de variable vectorial como aquellasque transforma un vector del dominio R n en otro vector del rango R m; esto es:

Podemos citar algunos ejemplos prcticos de este tipo de funciones como:


24/28

Imaginmonos un gas comprimido en una cmara; y en el, una funcin vectorialque relaciona un punto cualquiera del interior de la cmara con la velocidad del gas deuna partcula del mismo situada en dicho punto del interior de la cmara; esta funcinvectorial relaciona:

Como se puede ver es una funcin vectorial de R 3 a R 3

5.6 ROTACIONAL Y DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL.

Definicin:

Dado un campo vectorial 33: R RU F , ( )321 ,, F F F F = diferenciable,

definido en el conjunto abierto U en 3 R , el operador

z y x,, ; al

producto vectorial ( ) F se lo llama rotacional del campoy se lo simboliza F rot .

( )

k y F

x F

j x F

z F

i z

F y F

F

F F F

k ji

F F z y x

+

+

=

==

123123

321

rot

rot

Observaciones El rotor del campo es un vector Es aplicable para verificar si un campo vectorial es gradiente o no. Es aplicable para verificar si un campo vectorial es de fuerzas rotacionales o

no.

Ejemplo 5-16 Encontrar el rotacional del campo ( ) k x z j xyz i y x z y x F ++++= 22,,


25/28

Solucin:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )k yz ji xy

k y x y

xyz x

j x z x

y x z

i xyz z

x z y

x z xyz y x z y x

k ji

F

1100

rot

2

222

22

++=

+

+

+

+

+

+

=

++

=

k yz ji xy F )1(rot +=

Teorema 5-1

Demostracin:

( )0,0,0

rot

222222

=

+

+

=

=

k y x f

x y f

j x z f

z x f

i z y f

y z f

k ji

f

z

f

y

f

x

f z y x

0rot =f

Definicin:

Sea R RU f 3: ; una funcin de clase C 2 definida el conjunto abierto U de

R3. S u gradiente 33: R RU f , ( ) z f y f x f f = ,, . Entonces el rotacionaldel gradiente es cero.


26/28

Dado un campo vectorial 33: R RU F , ( )321 ,, F F F F = diferenciable,

definido en el conjunto abierto U en 3 R , el operador

z y x,, ; al

producto vectorial ( ) F se lo llama divergencia del campoy se lo simboliza F div .

( ) ( ) z

F y

F x F

F F F z y x

F F

+

+

=

== 321321 ,,,,div

Observaciones La divergencia del campo es un escalar La divergencia slo se aplica para funciones vectoriales

Ejemplo 5-17 Encontrar la divergencia del campo ( ) xyz z y xe z y x F xyz ,,,, 222 ++=

Solucin:

( )

( ) ( ) ( )

xy y yze

xyz z

z y x y

e x

xyz z y xe z y x

F

xyz

xyz

xyz

++=

+++

+

=

++

=

2

,,,,div

222

222

xy y yze F xyz

++= 2div

Teorema 5-2

Demostracin:

Sea 33: R RU F ; un campo de clase C 2 definida el conjunto abierto U de R3. Entonces la divergencia del rotacional del campo es cero.


27/28

k y F

x F

j x F

z F

i z

F y F

F

+

+

= 123123rot

( )

0

rotdiv

12

22

12

32

22

32

123123

=

+

+

=

+

+

=

z y F

z x F

y x F

y z F

x z F

x y F

y F

x F

z x F

z F

y z F

y F

x F

( ) 0rotdiv =F

5.7 CAMPOS VECTORIALES GRADIENTES.

Una funcin vectorial en R3,( ) ( ) ( ) ( )( ) z y x f z y x f z y x f z y x F ,,,,,,,,,, 321= puede ser una funcin gradiente;

lo que quiere decir que puede tratarse del gradiente de una cierta funcin escalar ( f ) encuyo caso la funcin f se la llama funcin potencial del campo.

Las funciones gradientes constituyen campos conservativos (en los cuales eltrabajo es independiente de la trayectoria), las funciones que no son gradientesconstituyen campos disipativos o no conservativos (en los cuales el trabajo no esindependiente de la trayectoria).

Averiguamos si un campo vectorial F es o no gradiente con su rotor, si es igual acero es un campo gradiente, si distinto a cero no es gradiente. Cuando un campo esgradiente podemos encontrar su funcin potencial.

Ejemplo 5-18 Investigar si el campo vectorial ( ) xj yi z y x F =,, es o no uncampo gradiente

0rot = F

0rot F

Campo VectorialGradiente

Campo Vectorial No gradiente

CampoVectorial

F

FuncinPotencial

No tieneFuncin Potencial


28/28

Solucin: 02)11(00

0

rot =++=

=

k k ji

x y

k ji

F z y x

( )

k y F

x F

j x F

z F

i z

F y F

F

F F F

k ji

F F z y x

+

+

=

==

123123

321

rot

rot

F no es un campo gradiente

Ejemplo 5-19 Averiguar si el campo vectorial ( ) ( )223 3,,2,, 22 yz e x z xye z y x F y x y x += es o no

conservativo, y en caso de serlo determinar su funcin potencial.

Solucin:

( ) ( )

0

)2222(

0033

32

rot

2222

22

33

22

223

=

++

+=

+

=

k ye x xe ye x xe

ji z z

yz e x z xye

k ji

F

y x y x y x y x

y x y x z y x

F es un campo gradiente

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) y xk y z z yz z y x f yz f

z xk e y z ye x z z y x f e x z y f

z yk e x xye z y x f xye x f

z

y x

y

y x y x

y x

x

y x y x

,3,,3

,,,

,2,,2

322

32323 222

222

+===

++=+=+=

+===

( ) k y z e z y x f y x ++= 32

,,

Documents

Cálculo Vectorial Capitulo 5: Trayectorias en R3