Capitulo v Flujo Bidimensional-1

CURSO: MECANICA DE FLUIDOS I CAPITULO: V FLUJO BIDIMENSIONAL DEL LIQUIDO IDEAL

Msc Ing. Abel A. Muñiz Paucarmayta Página 1

CAPITULO V

FLUJO BIDIMENSIONAL DEL LÍQUIDO IDEAL

5.1. INTRODUCCIÓN.

La mayoría de problemas sobre conducción de agua en tuberías y canales se resuelven con la

hipótesis de flujo unidimensional. Pero también hay un grupo importante de problemas en los que se

hace imprescindible considerar el flujo en dos dimensiones (flujo plano), asumiendo que la

descripción del flujo en planos paralelos es idéntica a la estudiada.

Parecería que solamente el líquido ideal (sin viscosidad y por ello irrotacional) puede ser objetivo de

estudio en lo que refiere a movimiento plano, pero no es así. Como regla general, se puede producir

un flujo casi irrotacional es de poca importancia.

Un caso singular lo constituye el movimiento del agua en un medio poroso, como es el subsuelo o

una presa de tierra, pues dicho movimiento se produce con predominio de la viscosidad (flujo laminar

pero resulta casi irrotacional. Esto hace que el estudio del flujo plano alcance también a este

importante caso de flujo.

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.- En coordenadas cartesianas se considera el volumen de control

elemental dx, dy dz, con centro en el punto P (X, Y, Z).

En el punto P ocurren los valores y γ como funciones de punto y del tiempo.

FIGURA No 5.1

Se puede aplicar la (Ec. 4.17):

AdVdZdYdXt

SC

El segundo miembro, en la dirección X:

dZdYdXVX

dZdYdX

VX

VdZdYdX

VX

V

X

XXXX

)(

22)(

En las otras dos direcciones se obtienen expresiones análogas, por lo que el caudal neto de masa

que sale es:

dZdYdXvZ

vY

vX

ZYX

Reemplazando y simplificando:



)37(.. t

Vdiv

tv

Zv

Yv

XZYX

tvdiv

. (Ec. 5.1)

Que es la expresión de la ecuación de continuidad para flujo comprensible e incomprensible,

permanente y no permanente.

Para fluidos incomprensibles, como es el caso del líquido ideal:

0.

vdiv (Ec. 5.2)

5.2. LA FUNCIÓN DE CORRIENTE.

Como cuestión previa recordamos la definición del gradiente en el plano y sus propiedades.

Dada una función escalar en el plano X, Y, tal como ),( YX , se llama gradiente de la misma el

vector cuyas componentes son las derivadas parciales de :

jY

iX

grad

Sus propiedades son:

a) El grad es normal a las líneas = constante.

b) El módulo de grad. es la derivada de según la normal a las líneas = constante.

ngrad

c) El sentido de grad. es el que corresponde a las crecientes.

Se puede suponer un líquido incompresible en movimiento bidimensional permanente, que se

desarrolla en planos perpendiculares al eje Z, de modo que su estudio puede hacerse en el plano

XY.

Se puede considerar luego una familia de l.c, las que no cambiarán con el tiempo por tratarse de un

movimiento permanente.

La ecuación de estas l.c. también podemos expresar como:

zYX v

dz

v

dy

v

dx

Y se puede considerar que la familia de l.c. viene definida por una cierta función escalar ),( YX

que se denomina función de corriente, con un valor constante diferente para cada 1.c.

En el punto P, sobre una l.c, los vectores indicados en la figura son normales entre sí, de modo que

se cumple:

FIG. No 5.2



kxgradv (Ec. 5.3)

Siendo las componentes de V ;

XV

YV

jX

iYZYX

kji

V

Y

X

100 (Ec. 5.4)

Y en coordenadas polares:

FIG. No 5.3

'´,r vectores unitarios.

rV

rr

ddV

rr

Zr

kr

V

nnn

r

n

1

´´

100

'´

(Ec. 5.5)

Por otra parte, si n es la dirección normal a la l.c, genérica ,

ngrad

.

Y por la (Ec. 5.3): vgrad

De modo que: vn

(Ec. 5.6)

dnvd gasto que pasa entre dos l.c. y d , por unidad de ancho

perpendicular al papel.



Es decir:

FIG. No 5.3

22

2

1 q (Ec. 5.7)

5.3. LA FUNCIÓN POTENCIAL.

El estudio del flujo plano es posible sólo si se cumple que el campo de velocidades es potencial es

decir un campo en el que existe una función escalar φ, llamada función potencia, tal que:

V = - grad φ

Se puede mostrar con facilidad que rot v = 0, es decir que si el campo de velocidades es potencial es

irrotacional, lo cual justifica que se pueda decir indistintamente campo potencial o campo irrotacional.

De la definición de función potencial se desprende que las componentes de

v son:

Yv

Xv

Y

X

(Ec. 5.8)

Y en coordenadas polares:

r

V

rVr

1(Ec. 5.9)

FIG. No 5.4

Y también que se cumple: v

(Ec. 5.10)



Siendo s la dirección normal a las líneas .cte , llamadas líneas equipotenciales.

Puesto que las direcciones s y n son normales entre sí, las líneas de corriente y las líneas

equipotenciales son ortogonales entre sí.

5.4. LA RED DE CORRIENTE:

Agrupamos las Ec. 5.6 y Ec. 5.10 prescindiendo del signo.

Vs

Vn

De aquí: ns

O bien: dn

d

ds

d

Como se puede ver, si se escogen incrementos iguales para y resulta ds = dn. Es decir, que

l.c. y las l.e. además de ser ortogonales formarían una malla de cuadrados. A esta malla se

denomina red de flujo o red de corriente.

FIG. No 5.5

En última instancia, el estudio del flujo plano en un cierto contorno se refiere a la obtención de la red

de corriente para ese contorno, y a partir de la RC, que es única en cada contorno, deducir la

distribución de velocidades o la distribución de presiones en las zonas de interés.

El líquido ideal es incompresible por lo que satisface la ecuación de continuidad:

0

0

0

0)(

0

2

2

2

2

2

2

2

2

YX

YX

XYXX

graddiv

Vdiv

Es decir, cumple la ecuación de Laplace, indicando con ello que es una función armónica.

El líquido ideal es irrotacional, por lo que la componente según Z del vector rot V es nula:



0

Y

v

X

v XY (Item 3.3)

Reemplazando según (Ec. 5.3)

0

0

2

2

2

2

2

2

2

2

YX

YX

Es decir, también cumple la ecuación de Laplace, indicando con ellos que es una función

armónica.

De los desarrollos anteriores se desprende que las funciones y no son independientes sino

que están relacionados entre sí a través de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, en coordenadas

cartesianas:

YXv

YXv

Y

X

(Ec. 5.11)

En coordinadas polares:

rv

rrv r

1

(Ec. 5.11’)

Otras propiedades de la función potencial ( ) son:

a) Si 1 y 2 son dos funciones potenciales que satisfacen la ecuación de Laplace, las funciones

( 1 - 2) ó ( 1 - 2) también cumplen con la ecuación de Laplace.

b) Una función potencial que satisface la ecuación de Laplace en un flujo determinado en un cierto

contorno, representa la solución única del problema de dicho flujo.

c) Considerando una curva AB cualquiera dentro de un flujo, la integral de línea a lo largo de esa

curva desde A hasta B es:

dYvdXvdsv YX

B

A

B

A .

Donde ds es el vector diferencial de arco sobre la curva AB.

En el caso presente:

BA

B

A

B

A

B

AdddY

YdX

X

De modo que si la curva es cerrada, la integral de línea que ahora recibe el nombre de circulación (r),

vale:

0. ddsvrB

A

B

A

Es decir, en el flujo plano del líquido ideal la circulación vale cero.



ECUACIONES DEL MOVIMIENTO.- Cuando se estudia la ecuación del movimiento a lo largo de una

l.c., como en el Item 4.3.1, se llega a la expresión:

02

2

g

V

y

pZ

s

Cuya integral conduce a la educación de Bernoulli:

cteHg

vpz

2

2

Válida para todos los puntos del flujo plano, no necesariamente sobre una l.c.

De modo similar, cuando se estudia la ecuación del movimiento a lo largo de una dirección normal a

la l.c, cosa que aquí se ha omitido por simplicidad, se llega a la expresión:

gr

vpz

n

2

en la que r es el radio local de curvatura de la l.c

Agregando a ambos miembros:

n

v

g

v

g

v

n

2

2

n

v

g

v

gr

V

g

vpz

n

22

2

El primer miembro es cero, de modo que:

0

n

v

r

v

Pero dn = dr,

0

0

v

dv

r

dr

v

dv

r

dr

v

dv

r

v

dr

dv

r

v

kLnvLnrLn ... K = cte.

r

kLnvLn

rLnkLnvLn

r

kv (Ec. 5.12)



Ecuación válida sólo para el flujo plano del líquido ideal, irrotacional, y que es distinta de la ecuación.

wrv (Ec. 5.13)

Que rige en el flujo rotacional.

La conclusión es importante: en una curva horizontal la distribución de velocidades es diferente en

uno y otro caso.

FIG. No 5.6

COEFICIENTE DE PRESIÓN.- Ecuación de Bernoulli entre un punto P0 y otro punto genérico P:

2

0

00

22

000

22

0

00

22

00

0

2

1

2

1

2

1

22

22

v

zpz

vvzpz

vz

vpz

g

vpz

g

vpz

(Ec. 5.14)

La utilidad práctica del Cp es la siguiente. Dibujada la red de corriente es posible determinar la

variación del Cp mediante la ecuación:

2

0

1

v

vCp

Y la variación del Cp es una medida de la variación de la presión según la ecuación:

2

0

00

2

1v

zpzpCp

5.5. TRAZADO GRÁFICO DE LA RED DE CORRIENTE

De lo estudiado aquí se desprende que la red de corriente se dibuja para representar la

conformación del flujo en los casos de flujo irrotacional. La red está formada por:

a) Una familia de l.c. espaciadas de tal forma que el caudal es el mismo entre cada dos pares de l.c.

y.

b) Otra familia de curvas ortogonales y espaciadas de tal forma que la separación entre ellas es igual

a la separación entre las l.c., adyacentes.

Para describir completamente un flujo en condiciones de contorno dadas se requiere un número muy

grande de l.c. No obstante el número de l.c. empleadas en la práctica es el mínimo necesario para

obtener la precisión deseada. Cuando se ha obtenido la RC para una forma de los contornos que



limitan el flujo, dicha red puede utilizarse para todos los flujos irrotacionales en tanto que los

contornos sean geométricamente semejantes.

El procedimiento para dibujar la RC entre los contornos de una curva horizontal es el siguiente.

FIG. No 5.7

1. En una sección entre contornos paralelos se divide el flujo en un cierto número de bandas de igual

ancho 0n ;

2. Para determinar la dirección de las l.c. se dibujan las l.e, espaciadas de forma que 00 ns en

la zona de contornos paralelos y nS en el resto.

3. Las l.e. son ortogonales a las l.c. en cada punto de intersección, y a los contornos ya que estos

son l.c. De esta manera se obtiene un diagrama que se asemeja a una malla de cuadrados.

4. Para comprobar la malla obtenida se dibujan las diagonales deben formar también una red

aproximada de cuadrados.

Obtenida la red se puede dibujar la variación de velocidades en los puntos 0, 1, 2, 3, 4, utilizando la

relación:

n

n

v

v

nvnvp

0

0

00

También se puede dibujar la variación de velocidades en los puntos a, b, c, d, e, del contorno,

utilizando la relación:

s

s

v

v

0

0

S ... medido en el contorno.

Por último, se puede dibujar la variación de la presión en los mismos puntos a, b, c, d, e, del

contorno, utilizando la variación de velocidades recién encontrada:

2

0

0

2

0

2

1

1

v

ppCp

v

vCp



NOTA: La variación de velocidades en el contorno encontrada en la forma que se ha descrito es más

real que la obtenida con la ecuación de continuidad:

b

b

v

v 0

0

b : Ancho medido sobre una l.e.

Igual comentario cabe hacer en torno de la variación de la presión.

A continuación se presenta la RC para una contracción gradual, la variación de velocidades en el

contorno y la verificación de la presión también en el contorno.

FIG. No 5.8

RED DE FLUJO

FIG. No 5.9

VARIACION DE LA VELOCIDAD SOBRE LA PARED



FIG. No 5.10

VARIACION DE LA PRESION SOBRE LA PARED

Los esquemas que siguen tienen por objeto dar una idea de la RC en cada caso y aclarar algunos

conceptos.

CURVA HORIZONTAL:

FIG. No 5.11

Nótese como para el flujo rotacional no es posible dibujar la RC.

PERFIL VERTICAL DE CONTORNOS PARALELOS:

FIG. No 5.12

PERFIL VERTICAL DE CONTORNOS CONVERGENTES:



FIG. No 5.13

RANURA EN LA PARED VERTICAL DE UN DEPÓSITO

FIG. No 5.14

COMPUERTA DE FONDO:

FIG. No 5.15

Zona de estancamiento (ZE) es aquella zona de flujo en el que la separación entre las l.c es grande, indicando con ello que la velocidad del agua es casi cero. El punto P se llama punto de estancamiento. VERTEDERO DE PARED DELGADA:



FIG. No 5.16

EXPANSION BRUSCA:

FIG. No 5.17

Zona de separación (ZS) es aquella zona de flujo en que el líquido por la inercia del movimiento se

separa del contorno. Dentro de ella no se cumple la RC pero fuera de ella si. La línea de separación

(l.s) es una l.c.

TOMA DE FONDO CON ARISTA AGUDA.

FIG. No 5.18

Nota: El fenómeno de separación se presenta en contornos divergentes y en contornos divergentes y

en contornos con arista aguda.

METODO PRASIL:

Es un método para dibujar la RC por encima de un aliviadero de contorno conocido y situaciones

similares como el flujo bajo compuertas. El procedimiento consiste en suponer la l.c superior a la que

se asigna el valor arbitrario Ψ1, trazar la RC siguiendo ciertas pautas y comprobar la l.c inferior con

la forma del contorno. El procedimiento se repite hasta que la l.c inferior coincida con el contorno del

aliviadero.



FIG. No 5.19

Para un punto genérico iM se puede averiguar la velocidad ii ghV 2 siendo ii ZHh 0 ,

donde 0H es la carga en la zona de acercamiento del agua. Se grafica vi versus la distancia sj

medida como indica la figura.

FIG. No 5.20

Como se recordara: s

gradVi

Luego,

dsv

dsVd

i

i

De manera que se puede graficar la curva versus s como consta en la misma figura. En seguida se

toman incrementos iguales y se determinan los valores de s para los puntos ,, 21 MM etc. Estos

puntos pueden ahora ser ubicados sobre la l.c.

Apoyados en los puntos contiguos ,,1 ii MM se trazan dos rectas que formen 045 con la tangente a

la l.c 1 , las cuales se cortan en iP que pertenecerá a la l.c. 2

1

.

Repitiendo el procedimiento con los nuevos puntos encontrados se traza la RC completa.

En la reiteración del procedimiento la iv en una l.c. interior se determina con la ecuación de

continuidad.



ii nvnv 00

ni

nvv i

00

Una vez obtenida la RC definitiva, la presión en un punto cualquiera se determine con la ecuación de

Bernoulli:

g

Vh

Y

P

g

VZH

Y

P

g

V

Y

PZH

j

j

j

j

j

j

j

2

2

2

2

2

10

2

10

La figura siguiente muestra la RC definitiva.

FIG. No 5.21

5.6 OTROS MÉTODOS DE ESTUDIO DEL FLUJO PLANO

El contenido de este apartado es un compendio de lo que esta tratado en el libro Hidráulica General,

volumen 1, de Gilberto Sotelo Ávila.

TRAZADO DE RC POR MÉTODOS NUMÉRICOS.

Los métodos numéricos se basan en la solución de la ecuación de Laplace por diferencias finitas. La

descripción se hará para la contracción que se muestra para un gasto de 60 lps.



FIG. No 5.22

1. El campo de flujo, incluyendo las fronteras, se cubren con la malla de cuadrados paralelamente a

un sistema de ejes x, y, con cualquier origen. El tamaño de los cuadrados (h) recibe el nombre de

intervalo de la red y debe ser lo mas pequeño posible para lograr mayor precisión.

2. A un punto genérico o corresponde la estrella regular.

FIG. No 5.23

La función en los puntos 1 y 2 en términos del valor de la función en el punto o se obtiene por

desarrollo de la serie de Taylor:

...!3!2

...!3!2

0

3

33

0

2

22

0

02

0

3

33

0

2

22

0

01

X

h

X

h

Xh

X

h

X

h

Xh

Restando:

0

21 2

Xh

hX 2

21

0

Y sumando:

0

2

22

021 2

Xh

2

021

0

2

2 2

hX

Un desarrollo análogo al anterior pero ahora en la dirección sY conduce a:

2

043

0

2

2

43

0

2

2

hY

hY

3. Para satisfacer la ecuación de Laplace en el punto O se debe cumplir:

0

0

2

2

0

2

2

YX

3

1 2

4

h

h

0



Es decir, 04 04321 (Ec. 5.15)

O bien, 432104

1

Análogamente: 432104

1

4. En general las fronteras son curvas por lo que aparecerán estrellas irregulares de la forma.

h/b

h/a

FIG. No 5.24

Los brazos incompletos tienen las dimensiones indicadas y los valores de en la frontera se

conocen ( B , C).

Se demuestra que en este caso:

0)2(043 baba CB (Ec. 5.16)

O bien, )(2

1430

CB ba

ba

Esta ecuación es igualmente aplicable en el caso de una estrella irregular de solo un abrazo

incompleto.

5. Se sigue un proceso iterativo consistente en asignar valores iniciales de la función en los

diferentes nudos de la malla; dichos valores sustitutos en la (Ec. 5.15) de cada punto debe dar

residuos cero siempre que los valores iniciales sean los correctos. Por relajación se entiende la

técnica que consiste en hacer desaparecer dichos residuos.

En general en la (Ec. 5.15) se tendrá:

043210 4 R (Ec. 5.17)

Si se efectúa un incremento 00 en el nuevo residuo es:

)( 00432100 RR

0

C

a 2

4



De modo que: 00 4 R

Es decir, para liquidar el residuo original la función se debe incrementar en:

004

1R (Ec. 5.18)

Y dicho incremento de la función 0 impone cambios en los residuos de los cuatro puntos

adyacentes de la malla, de valor:

04321 RRRR (Ec. 5.19)

Esto es, si el valor de la función en un punto se relaja una cantidad igual a 1, su residuo cambia en -

4 y el de los cuatro puntos adyacentes en -1.

I

FIG. No 5.25

FIG. No 5.26

6. La relajación debe hacerse en el residuo de mayor absoluto. El valor final de la función en cada

punto será la suma algebraica del valor inicial mas todos los incrementos efectuados en la

misma. El método se repite hasta que los valores finales de la función arrojen residuos cercanos

a cero con la precisión deseada.

Una elección adecuada de los valores iniciales de la función puede reducir considerablemente el

número de etapas de la relajación. Se puede uno ayudar con una construcción grafica

aproximada de la red de flujo.

7. En la contracción del ejemplo, la frontera inferior corresponde a la l.c. =0 y la superior a la l.c.

=60. las fronteras verticales iniciales y final son l.e donde se supone que las perturbaciones

ocasionadas por la contracción ya no tienen influencia por lo que el flujo es informe.

-4

1

1

1 1

1

1 (2+a+b)

1



Con líneas de puntos se ha trazado a mano un juego de l.c. aproximadas con el objeto de

interpolar los valores iniciales de la función , que en este caso es más adecuada para

integrar.

En cada punto de la malla de cuadrados se anota: en el ángulo correspondiente al segmento

cuadrante los valores inicialmente asignados de la función y en el primer cuadrante los

residuos calculados con la Ec. 5.17. Debajo de cada punto y encerrados en un rectángulo

aparecen los valores finales terminados de acuerdo con la precisión deseada, en este caso

hasta la segundo cifra decimal.

8. En un círculo se indica el punto en el que resulto el residuo de décimo valor absoluto (-2) y que

se obtuvo con la ecuación Ec. 5.17.

0.2)4.42(42.230.604.430.410 R

Según la ecuación (54) el incremento de la función es:

50.04

0.2

Dicho incremento se anota arriba del valor inicial de y el residuo liquidado se tacha, el cual

según la (Ec. 5.19) establece cambios en los residuos de los puntos adyacentes; estos son

idénticos al incremento de la función y sumados algebraicamente con los residuos propios del

punto resultan los valores que se consignan en la figura. Se exceptúa el punto sobre la frontera

porque ahí el valor de es constante.

El proceso se reitera con el punto de máximo residuo, en este caso el inmediato superior al

antes analizado.

9. Con los valores finales de en cada punto es posible determinar los de haciendo uso de las

ecuaciones de Cauchy-Riemann, ecuación (47), las que desarrolladas por incremento finitos

para una estrella regular resultan:

1243

4321

(Ec. 5.20)

Para efectuar el calculo se asigna a todos los puntos de la 1.e. que coincide con el eje y el

mismo valor (cualquiera que se elija) a partir del cual se obtienen los restantes con ayuda de las

ecuaciones ultimas.

10. Para dibujar las l.c. y l.e. definitivas se realiza una interpolación con los valores finales de y

y después se unen los puntos de = cte, y = cte, conservando la condición de

.

Por simplicidad se ha descrito el método de la malla de cuadrados. En la practica existen otros

dos métodos: el matricial y el del elemento finito, basados también en la solución de la ecuación

de Laplace por diferencias finitas. Los tres se resuelven con computadora y de ellos el último de

los nombrados es el de mayor versatilidad.



SOLUCIÓN ANALÍTICA DIRECTA

Este método consiste en obtener las funciones y por integración analítica en aquellos casos

especiales en que es suficiente especificar la forma como varia la velocidad. Por simplicidad se opta

por emplear la representación escalar del vector velocidad.

Los casos de mayor interés se refieren a:

Flujo uniforme rectilíneo.

Fuente.

Sumidero.

Vértice libre y combinado.

SUPERPOSICIÓN DE FLUJOS

Este método se basa en la propiedad de superposición de la función potencial y consiste en

combinar las soluciones conocidas de los flujos – simples antes enumeradas para encontrar

soluciones de otros flujos más complicadas como:

Vértice espiral.

Flujo de una fuente a un sumidero.

Doblete.

Flujo en torno a un cilindro.

MÉTODOS DE TRANSFORMACIÓN CONFORME (o de mapeo en el plano complejo)

Mediante este método las soluciones de flujos conocidas en un plano complejo se transforman en el

flujo deseado en el plano también complejo Z = X + iY. En algunos casos se utilizan

transformaciones conformes sucesivas hasta obtener el flujo deseado.

ANALOGÍA ELECTRICA.

Es posible emplear la analogía eléctrica para obtener la solución aproximada de un problema de

flujo potencial. El método se basa en la semejanza de la función potencial con el potencial

eléctrico (voltaje), que también satisface la ecuación de la Place, de tal manera que el vector

grad E representa la intensidad eléctrica del campo y es proporcional al campo de velocidades de un

flujo potencial.

0

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