INTRODUCCIÓN TEORIA DE LOGICA DIFUSA

Prof. Francisco J. Arias S.2013

Teoría de Conjuntos Clásica

En la teoría de conjuntos clásica (lógica bi-valuada), un conjunto es una colección de objetos o de elementos que existen dentro de un universo. Un elemento seleccionado puede pertenecer o no al conjunto.

En la Lógica bi-valuada: la pertenencia de un elemento a un conjunto determinado, se expresa mediante un calificativo binario, de sólo dos posibles valores:

Si pertenece (1)

No pertenece (0)

En la Lógica bi-valuada No hay pertenencias parciales. Todo es exacto, sin incertidumbre, sin vaguedad.

Teoría de Conjuntos Clásica

Evolución del Pensamiento Matemático

“Con frecuencia las clases de objetos del mundo físico real no poseen criterios de pertenencia definidos con precisión” (Zadeh, 1965).

El lenguaje natural esta plagado de conceptos ambiguos y mal definidos. Por ejemplo

-La temperatura está caliente

-Alejandro es alto pero Ana no es bajita

- IBM es una compañía grande y agresiva

Evolución del Pensamiento Matemático

•Lofti A. Zadeh, profesor del Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de California en Berkeley, a mediados de los 60’s, publicó el artículo " Fuzzy Sets “.

•En el, propuso una “nueva” lógica multi-valuada, retomando los conceptos expuestos de tiempo atrás por lógicos como Lukasiewicz, Russell y Max Black.

•¿Hacía falta una “nueva lógica”?

Teoría de Conjuntos Difusos

Conjuntos Difusos: colección de objetos o de elementos que pueden pertenecer total o parcialmente al conjunto.

Un elemento tiene una cota de pertenencia o grado de membrecía en el conjunto total.

Por lo tanto, en el razonamiento intervienen los conceptos de vaguedad e incertidumbre.

Teoría de Conjuntos Difusos

Ejemplo: Temperatura.

Sean los elementos del Universo {0º,10º,20º,...,90º,100º}

=>

Conjuntos difusos

Fría = {1/0º, 0.7/10º, 0.5/20º, 0.2/30º}

Tibia = {0.1/20º, 0.6/30º, 1/40º, 0.6/50º, 0.2/60º}

Caliente = {0.4/50º, 0.8/60º, 1/70º , 1/80º , 1/90º, 1/100º}

Teoría de Conjuntos Difusos Vs

Teoría de Conjuntos Clásica

Variables Difusas

Edad

Altura

Temperatura

Velocidad

Consistencia de la materia

Corriente del motor

El precio de las acciones

Diferencias con la Probabilidad

La lógica borrosa y la probabilidad operan sobre el mismo rango numérico [0,1] pero son semánticamente diferentes.

Las probabilidades dicen si algo va a ocurrir o no.Los niveles difusos miden el grado en el cual algo ocurre o alguna condición existe.

Ej:Hay 60% de probabilidad que las utilidades sean bajasVs.Las utilidades son 60% bajas

Definiciones

Vaguedad: Nace del concepto lingüístico mismo, se refiere al significado diferente que toma para cada persona una misma etiqueta lingüística: ¿Cómo es su concepto de estatura Baja? 1.60? 1.50 m? 1.40 m? 1.30?

Incertidumbre: Hace referencia al desconocimiento sobre eventos

futuros.

Los Humanos usualmente utilizan lenguaje natural en el proceso de razonamiento y sacan conclusiones.

Terminología

• Variable Lingüística

• Universo de Discurso

• Conjunto Difuso

• Valor Lingüístico

• Función de Pertenencia

Universo de Discurso yFactor de Pertenencia

Este número se denomina Factor de Pertenencia y se simboliza por la letra griega μ.

La función de pertenencia μF (.) de un conjunto Borroso F asigna a cada elemento u del conjunto el factor de pertenencia μF (u).

Por lo tanto, cada elemento u de U tiene un grado de pertenencia al conjunto Borroso F.

Ejemplo Terminología

• Variable Lingüística

• Universo de Discurso

• Conjunto Difuso

• Valor Lingüístico

• Función de PertenenciaFría = {1/0º, 0.7/10º, 0.5/20º, 0.2/30º}Tibia = {0.1/20º, 0.6/30º, 1/40º, 0.6/50º, 0.2/60º}Caliente = {0.4/50º, 0.8/60º, 1/70º , 1/80º , 1/90º , 1/100º}

Pertenencia

El número que determina el grado de pertenencia de un elemento a un conjunto se denomina Factor de Pertenencia y se simboliza por la letra griega µ.

La función de pertenencia µF () de un conjunto Borroso F asigna a cada elemento u del conjunto el factor de pertenencia µF (u).

Por lo tanto, cada elemento u deU tiene un grado de pertenencia al conjunto Borroso F.

Ejemplo:

Funciones de Pertenencia

•Función de incremento lineal.

•Función de decremento lineal.

•Función Triangular (lineal a tramos).

•Función Trapezoidal (lineal a tramos).

•Función de incremento No lineal ó Tipo S.

•Función Campana de Gauss.

Funciones de Pertenencia

•Función de incremento lineal.

f(u;α,β)= 0, u< α(α - u )/(β - α ) α≤u≤ β1, u> β

Funciones de Pertenencia

•Función de decremento lineal.

f(u;α,β)= 1, u< α(u - α)/(β - α ) α≤u≤ β0, u> β

Funciones de Pertenencia

•Función Triangular (lineal a tramos).

f(u;α,β,γ)= 0, u< α(u- α )/(β - α ) , α ≤u≤ β(γ - u )/(β - α ), β ≤u≤ γ0, u> γ

Funciones de Pertenencia

•Función Trapezoidal (lineal a tramos).

f(u;α,β,γ,δ)= 0, u < α(u- α )/(β - α ), α ≤u< β1, β ≤ u< γ(γ - u )/(δ - γ ), γ< u ≤ δ0, u > δ

Funciones de Pertenencia

•Función de incremento No lineal ó Tipo S.

S(u;α,β,γ)= 0, u ≤ α2((u- α )/(γ - α ))2, α <u≤ β1 - ((u- γ )/(γ - α ))2 , β<u≤ γ1, u > γ

Funciones de Pertenencia

•Función Campana de Gauss.

La asignación de una función de pertenencia de un conjunto difuso es de naturaleza subjetiva, sin embargo no se puede asignar arbitrariamente.

Los grados de pertenencia básicamente reflejan un ordenamiento de los objetos en un conjunto difuso.

La suma de los grados de pertenencia de un conjunto difusono necesariamente es igual a 1.

Consideraciones Funciones de Pertenencia

Un conjunto difuso vacío tiene un soporte vacío, es decir, la función de pertenencia asigna cero a todos los elementos del conjunto universal U.

Un conjunto difuso cuyo soporte es un solo punto en U con μA(x) =1 se conoce como Fuzzy Singleton “Unico o Solo”.

Para un universo de discurso discreto U={X1 , X2 , . . ., X n} un conjunto difuso A se puede representar usando el conjunto de pares ordenados, como:

A ={(x1, μA(x1)), (x2, μA(x2)), (x3, μA(x3)),...., (xn, μA(xn))}

Consideraciones Conjuntos Difusos

Ejemplo

Conjuntos difusos en el universo de la edad