DISEOS EXPERIMENTALESBreve historia de diseo de experimentos El diseo estadstico de experimentos fue introducido por Ronald A. Fisher. En 1935 public su obra titulada TheDesing of Experiments, esta influy de una manera decisiva en la investigacin agrcola, forestal, pecuaria y otras ciencias ya que aport mtodos y modelos para evaluar los resultados de experimentos con muestras pequeas. Definiciones bsicas en el diseo de experimentos El diseo de experimentoses la aplicacin del mtodo cientfico para generar conocimientos acerca de un sistema o proceso, por medio de pruebas planeadas adecuadamente. Esta metodologa se ha ido consolidando como un conjunto de tcni as estadsticas, que permiten c entender mejor situaciones complejas de relacin causa efecto. Experimento Un experimento es un cambio en las condiciones de operacin de un sistema o proceso, que se hace con el objetivo de medir el efecto del cambio sobre una o varias propiedades del producto o resultado. Asimismo el experimento permite aumentar el conocimiento acerca del sistema. Por ejemplo en un proceso de crecimiento de plantas se pueden probar diferentes dosis de abono orgnico y medir el cambio observado en el rendimiento (fruto) de la planta. Planificacin de un experimento. La experimentacin forma parte natural de la mayora de las investigaciones cientficas e industriales, en muchas de las cuales, los resultados del proceso de inters se ven afect dos por a la presencia de distintos factores, cuya influencia puede estar oculta por la variabilidad de los resultados muestrales. Es fundamental conocer los factores que influyen realmente y estimar esta influencia. Para conseguir esto es necesario experimentar, variar las condiciones que afectan a las unidades experimentales y observar la variable respuesta. Del anlisis y estudio de la informacin recogida se obtienen las conclusiones. La forma tradicional que se utilizaba en la experimentacin, para el estudio de estos problemas

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se basaba en estudiar los factores uno a uno, esto es, variar los niveles de un factor permaneciendo fijos los dems. Esta metodologa presenta grandes inconvenientes: y y y y Es necesario un gran nmero de pruebas. Las conclusiones obtenidas en el estudio de cada factor tiene un campo de validez muy restringido. No es posible estudiar la existencia de interaccin entre los factores. Es inviable, en muchos casos, por problemas de tiempo o costo.

Las tcnicas de diseo de experimentos se basan en estudiar simultneamente los efectos de todos los factores de inters, son ms eficaces y proporcionan mejores resultados con un menor costo. A continuacin se enumeran las etapas que deben seguirse para una correcta planificacin de un diseo experimental, etapas que deben ser ejecutadas de forma secuencial. Tambin se introducen algunos conceptos bsicos en el estudio de los modelos de diseo de experimentos. Las etapas a seguir en el desarrollo de un problema de diseo de experimentos son las siguientes: 1. Definir los objetivos del experimento 2. Identificar todas las posibles fuentes de variacin, incluyendo: Factores tratamiento y sus niveles, Unidades experimentales, Factores nuisance (molestos): factores bloque, factores ruido y covariables. 3. Elegir una regla de asignacin de las unidades experimentales a las condiciones de estudio (tratamientos). 4. Especificar las medidas con que se trabajar (la respuesta), el procedimiento experimental y anticiparse a las posibles dificultades. 5. Ejecutar un experimento piloto. 6. Especificar el modelo. 7. Esquematizar los pasos del anlisis. 8. Determinar el tamao muestral. 9. Revisar las decisiones anteriores. Modificarlas si se considera necesario. Los pasos del listado anterior no son independientes y en un determinado mome puede ser nto necesario volver atrs y modificar decisiones tomadas en algn paso previo. A continuacin se hace una breve descripcin de las decisiones que hay que tomar en cada uno de los pasos enumerados. Slo despus de haber tomado estas decisiones se proceder a realizar el experimento.

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1.- Definir los objetivos del experimento.Se debe hacer una lista completa de las preguntas concretas a las que debe dar respuesta el experimento. Es importante indicar solamente cuestiones fundamentales ya que tra de abordar tar problemas colaterales puede complicar innecesariamente el experimento. Una vez elaborada la lista de objetivos, puede ser til esquematizar el tipo de conclusiones que se espera obtener en el posterior anlisis de datos. Normalmente la lista de objetivos es refinada a medida que se van ejecutando las etapas del diseo de experimentos.

2.- Identificar todas las posibles fuentes de variacin.Una fuente de variacin es cualquier cosa que pueda generar variabilidad en la respuesta. Es recomendable hacer una lista de todas las posibles fuentes de variacin del problema, distinguiendo aquellas que, a priori, generarn una mayor variabilidad. Se distinguen dos tipos: Factores tratamiento: son aquellas fuentes cuyo efecto sobre la respuesta es de particular inters para el experimentador. Factores nuisance: son aquellas fuentes que no son de inters directo pero que se contemplan en el diseo para reducir la variabilidad no planificada. A continuacin se precisan ms estos importantes conceptos. (i) Factores y sus niveles. Se denomina factor tratamiento a cualquier variable de inters para el experimentador cuyo posible efecto sobre la respuesta se quiere estudiar. Los niveles de un factor tratamiento son los tipos o grados especficos del factor que se tendrn en cuenta en la realizacin del experimento. Los factores tratamiento pueden ser cualitativos o cuantitativos. Ejemplos de factores cualitativos y sus niveles respectivos son los siguientes: y y y Sustrato (diferentes tipos de sustratos para plantas), Densidad de siembra (diferentes tipos de densidad de siembra o plantacin), Trabajador (los trabajadores encargados de hacer una tarea),

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y y

Tiempo (horas, das, semanas de almacenamiento de semillas), Un aditivo qumico (niveles de nitrgeno), el sexo (hombre y mujer),

Ejemplos de factores cuantitativos son los siguientes: y y y Tamao de plantas (diferentes tamaos de plantas para plantar en campo) Dosis (distintas cantidades de abonamiento con NPK), Temperatura (conjuntos de temperaturas seleccionadas en unos rangos de inters).

Debe tenerse en cuenta que en el tratamiento matemtico de los modelos de diseo de experimento los factores cuantitativos son tratados como cualitativos y sus niveles son elegidos equiespaciados o se codifican. Por lo general, un factor no suele tener ms de cuatro niveles. Cuando en un experimento se trabaja con ms de un factor, se denomina: Tratamiento a cada una de las combinaciones de niveles de los distintos factores. Observacin es una medida en las condiciones determinadas por uno de los tratamientos. Experimento factorial es el diseo de experimentos en que existen observaciones de todos los posibles tratamientos. (ii) Unidades experimentales. Son el material donde evaluar la variable respuesta y al que se le aplican los distintos niveles de los factores tratamiento. Ejemplos de unidades experimentales son: Semillas, plantas, parcelas de tierra, fertilizantes (Agricultura y Forestales) Individuos o animales, parcelas con pasto, (Zootecnia) Lotes de material, trabajadores, mquinas (Industrias) Cuando un experimento se ejecuta sobre un perodo de tiempo de modo que las observaciones se recogen secuencialmente en instantes de tiempo determinados, entonces los propios instantes de tiempo pueden considerarse unidades experimentales. Es muy importante que las unidades experimentales sean representativas de la poblacin sobre la que se han fijado los objetivos del estudio. Por ejemplo, si se utilizan los estudiantes universitarios de un pas como unidades experimentales, las conclusiones del experimento no son extrapolables a toda la poblacin adulta del pas.

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(iii) Factores nuisance: bloques, factores ruido y co-variables. En cualquier experimento, adems de los factores tratamiento cuyo efecto sobre la respuesta se quiere evaluar, tambin influyen otros factores, de escaso inters en el estudio, pero cuya influencia sobre la respuesta puede aumentar significativamente la variabilidad no planificada. Con el fin de controlar esta influencia pueden incluirse en el diseo nuevos factores que, atendiendo a su naturaleza, pueden ser de diversos tipos. Factor bloque. En algunos casos el factor nuisance puede ser fijado en distintos niveles, de modo que es posible controlar su efecto a esos niveles. Entonces la forma de actuar es mantener constante el nivel del factor para un grupo de unidades experimentales, se cambia a otro nivel para otro grupo y as sucesivamente. Estos factores se denominan factores debloqueo (factoresbloque) y las unidades experimentales evaluadas en un mismo nivel del bloqueo se dice que pertenecen al mismo bloque. Incluso cuando el factor nuisance no es medible, a veces es posible agrupar las unidades experimentales en bloques de unidades similares: parcelas de tierra contiguas o perodos de tiempo prximos probablemente conduzcan a unidades experimentales ms parecidas que parcelas o perodos distantes. Desde un punto de vista matemtico el tratamiento que se hace de los factores -bloque es el mismo que el de los factores-tratamiento en los que no hay interaccin, pero su concepto dentro del modelo de diseo de experimentos es diferente. Un factor-tratamiento es un factor en el que se est interesado en conocer su influencia en la variable respuesta y un factor bloque es un factor en el que no se est interesado en conocer su influencia pero se incorpora al diseo del experimento para disminuir la variabilidad residual del modelo. Covariable. Si el factor nuisance es una propiedad cuantitativa de las unidades experimentales que puede ser medida antes de realizar el experimento (el tamao de un fichero informtico, la presin sangunea de un paciente en un experimento mdico o la aci ez de una parcela de tierra d en un experimento agrcola). El factor se denomina covariabley juega un papel importante en el anlisis estadstico. Ruido. Si el experimentador est interesado en la variabilidad de la respuesta cuando se modifican las condiciones experimentales, entonces los factores nuisance son incluidos deliberadamente en el experimento y no se asla su efecto por medio de bloques. Se habla entonces de factores ruido.

En resumen, las posibles fuentes de variacin de un experimento son:

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FUENTE Debida a las condiciones de inters (Factores tratamiento) Debida al resto de condiciones controladas (Factores nuisance ) Debida a condiciones no controladas (Error de medida, material experimental..)

TIPO Planificada y sistemtica Planificada y sistemtica No planificada, pero sistemtica?

3.- Elegir una regla de asignacin de las unidades experimentales a las condicionesde estudio (tratamientos).La regla de asignacin o diseo experimental especifica que unidades experimentales se observarn bajo cada tratamiento. Hay diferentes posibilidades: y y y y y Diseo factorial o no, Anidamiento, Asignacin al azar en determinados niveles de observacin, El orden de asignacin, etc. En la prctica, existen una serie de diseos estndar que se utilizan en la mayora de los casos.

4.- Especificar las medidas que se realizarn (la respuesta), el procedimientoexperimental y anticiparse a las posibles dificultades.Variable respuesta o variable de inters. Los datos que se recogen en un experimento son medidas de una variable denominada variable respuesta o variable de inters. Es importante precisar de antemano cul es la variable respuesta y en qu unidades se mide. Naturalmente, la respuesta est condicionada por los objetivos del experimento. Por ejemplo, si se desea detectar una diferencia de 0.05 gramos en la respuesta de dos tratamientos no es apropiado tomar medidas con una precisin prxima al gramo. A menudo aparecen dificultades imprevistas en la toma de datos. Es conveniente anticiparse a estos imprevistos pensando detenidamente en los problemas que se pueden presentar o ejecutando un pequeo experimento piloto (etapa 5). Enumerar estos problemas permite en ocasiones descubrir nuevas fuentes de variacin o simplificar el procedimiento experimental antes de comenzar.

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Tambin se debe especificar con claridad la forma en que se realizarn las mediciones: instrumentos de medida, tiempo en el que se harn las mediciones, etc.

5.- Ejecutar un experimento piloto.Un experimento piloto es un experimento que utiliza un nmero pequeo de observaciones. El objetivo de su ejecucin es ayudar a completar y chequear la lista de acciones a realizar. Las ventajas que proporciona la realizacin de un pequeo experimento piloto son las siguientes: y y y Permite practicar la tcnica experimental elegida e identificar problemas no esperados en el proceso de recogida de datos, Si el experimento piloto tiene un tamao suficientemente grande puede ayuda a r seleccionar un modelo adecuado al experimento principal, Los errores experimentales observados en el experimento piloto pueden ayudar a calcular el nmero de observaciones que se precisan en el experimento principal.

6.- Especificar el modelo.El modelo matemtico especificado debe indicar la relacin que se supone que existe entre la variable respuesta y las principales fuentes de variacin identificadas en el paso 2. Es fundamental que el modelo elegido se ajuste a la realidad con la mayor precisin posible.k

El modelo ms habitual es el modelo lineal:

Y ! Ei Ii !1

En este modelo la respuesta viene dada por una combinacin lineal de trminos que representan las principales fuentes de variacin planificada ms un trmino residual debido a las fuentes de variacin no planificada. Los modelos que se estudian en este tex se ajustan a esta forma to general. El experimento piloto puede ayudar a comprobar si el modelo se ajusta razonablemente bien a la realidad. Los modelos de diseo de experimentos, segn sean los factores incluidos en el mismo, se pueden clasificar en: modelo de efectos fijos, modelo de efectos aleatorios y modelos mixtos. A continuacin se precisan estas definiciones. Factor de efectos fijos es un factor en el que los niveles han sido seleccionados por el experimentador. Es apropiado cuando el inters se centra en comparar el efecto sobre la respuesta de esos niveles especficos.

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Ejemplo: un empresario est interesado en comparar el rendimiento de tres mquinas del mismo tipo que tiene en su empresa. Factor de efectos aleatorios es un factor del que slo se incluyen en el experimento una muestra aleatoria simple de todos los posibles niveles del mismo. Evidentemente se utilizan estos factores cuando tienen un nmero muy grande de niveles y no es razonable o posible trabajar con todos ellos. En este caso se est interesado en examinar la variabilidad de la respuesta debida a la poblacin entera de niveles del factor. Ejemplo: una cadena de hipermercados que tiene en planilla 300 trabajadores de caja est interesada en estudiar la influencia del factor trabajador en la variable tiempo en el cobro a un cliente. Modelo de efectos fijos es un modelo en el que todos los factores son factores de efectos fijos. Modelo de efectos aleatorios es un modelo en el que todos los factores son factores de efectos aleatorios. Modelo mixto es un modelo en el que hay factores de efectos fijos y factores de efectos aleatorios.

7.- Esquematizar los pasos del a nlisis estadstico.El anlisis estadstico a realizar depende de: Los objetivos indicados en el paso1, Del diseo seleccionado en el paso3, El modelo asociado que se especific en el paso 5. Se deben esquematizar los pasos del anlisis a realizar que deben incluir: Estimaciones que hay que calcular, Contrastes a realizar, Intervalos de confianza que se calcularn Diagnosis y crtica del grado de ajuste del modelo a la realidad.

8.- Determinar el tamao muestral.Calcular el nmero de observaciones que se deben tomar para alcanzar los objetivos del experimento. Existen, dependiendo del modelo, algunas frmulas para determinar este tamao. Todas ellas sin embargo requieren el conocimiento del tamao de la variabilidad no planificada (no sistemtca y i

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sistemtica, si es el caso) y estimarlo a priori no es fcil, siendo aconsejable sobreestimarla. Normalmente se estima a partir del experimento piloto y en base a experiencias previas en trabajos con diseos experimentales semejantes.

9.- Revisar las decisiones anteriores. Modificar si es necesario.De todas las etapas enumeradas, el proceso de recogida de datos suele ser la tarea que mayor tiempo consume, pero es importante realizar una planificacin previa, detallando los pasos anteriores, lo que garantizar que los datos sean utilizados de la forma ms eficiente posible. Es fundamental tener en cuenta que Ningn mtodo de anlisis estadstico, por sofisticado que sea, permite extraer conclusiones correctas en un diseo deexperimentos mal planifi cado. Recprocamente, debe quedar claro que el anlisis estadstico es una etapa ms que est completamente integrado en el proceso de planificacin. El anlisis estadstico no es un segundo paso independiente de la tarea de planificacin. Es necesario comprender la totalidad de objetivos propuestos antes de comenzar con el anlisis. Si no se hace as, tratar que el experimento responda a otras cuestiones a posteriori puede ser (lo ser casi siempre) imposible. Pero no slo los objetivos estn presentes al inicio del anlisis sino tambin la tcnica experimental empleada. Una regla de oro en la experimentacin y que debe utilizarse es la siguiente: No invertir nunca todo el presupuesto en un primer conjunto de experimentos y utilizar en su diseo toda la informacin previa disponible. Finalmente indicar que todas las personas que trabajan en el experimento se deben implicar en el mismo, esto es: Toda persona implicada en la ejecucin del experimento y en la recoleccin de los datos debe ser informada con precisin de la estrategia experimental diseada. Son modelos experimentales matemticos diseados para disminuir al mximo el error experimental y posibilitar el anlisis estadstico que lleve a conclusiones a cerca de los datos o resultados obtenidos y sobre la aceptacin o rechazo de la hiptesis. Los siguientes diseos experimentales son de uso comn en los experimentos forestales agrcolas, y afines:

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Diseo Completamente Aleatorizado (DCA)Eldiseose utiliza cuando el material de estudio es suficientemente homogneo. Todas las unidades experimentales renen prcticamente las mismas caractersticas, de modo que el efecto de un tratamiento sobre la variable bajo estudio, es el mismo, independientemente de la unidad experimental donde se mida, salvo por variaciones aleatorias debidas a las fuentes del error en la investigacin. La condicin de homogeneidad en el material experimental, permite que cada tratamiento pueda ensayarse con el nmero de repeticiones que se desee. Se denomina tambin clasificacin a un criterio, consiste en comprobar la igualdad de un nmero determinado m promedios poblacionales (X) de tambin n muestras aleatorias extradas de estas poblaciones. El modelo lineal para interpretar los experimentos completamente aleatorios est dado por la relacin

xij ! Q X i \ ijQ Xi \ij

Es un efecto comn a todas las unidades experimentales, Es el efecto del tratamiento i, Es el trmino de error y Es el valor de la caracterstica en estudio.

xi

Ho : x1 ! x2 ! x3 ...... xmHIPTESIS NULA ( Ho) HIPTESIS ALTERNA (Ha) Ha: Por lo menos dos medias son diferentes Ya se mencion que, el diseo es til cuando las unidades experimentales son homogneas. Este es el caso en muchos tipos de experimentos de laboratorio, invernadero, viveros. El diseo es flexible en cuanto a que el nmero de tratamientos y repeticiones, slo est limitado por el nmero de unidades experimentales disponibles. El nmero de repeticiones puede variar de un tratamiento a otro. El anlisis estadstico es simple. Sin embargo la prueba de significacin y la construccin del intervalo de confianza requieren atencin especial cuando hay heterogeneidad de la varianza. La desventaja principal es su frecuente ineficiencia. Como la aleatorizacin no tiene

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restricciones, el error experimental incluye toda la variacin entre las unidades experimentales excepto la variacin debida a los tratamientos. Ejemplo de una distribucin de tratamientos com pletamente al azar Estudio de 04 variedades de maz para grano tratadas con hormona comn para estudiar el efecto sobre la plntula bajo condiciones de invernadero. Tratamientos A, B, C, D (variedades de maz) Repeticiones I, II, III, IV, V Usando cualquier sistema de sorteo, se puede tener la siguiente distribucin de tratamientos C 20 A 11 D 10 A 1 B 19 B 12 C 9 B 2 D 18 C 13 A 8 D 3 A 17 B 14 D 7 C 4 B 16 C 15 A 6 D 5

Repeticin Tratamiento A B C D I 1 2 4 3 II 6 12 9 5 III 8 14 13 7 IV 11 16 15 10 V 17 19 20 18

Ejemplo distribuir los tratamientos A B y C en Diseo Completamente Aleatorio.Si los tratamientos A B y C son tipos de sustratos, una de las tantas formas de distribucin ser como indica la siguiente tabla.

Repeticin I A C B

Repeticin II B B A

Repeticin III C A C

Repeticin IV C B B

Repeticin V A C A

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Supongamos que una especie agrcola o forestal requiere de un sustrato adecuado para su crecimiento inicial en vivero recientemente instalado; para conocer qu tipo de sustrato es mejor, se prepar tres tipos como son: Al sustrato preparado con tierra agrcola + turba + arena en proporcin de 3 : 2: 1 denominamos tratamientoA Tierra agrcola + turba + guano de corral en una proporcin 2: 2: 1 denominamos tratamiento B Tierra agrcola del lugar sin incremento de turba y arena: denominamos tratamiento C Despus de su aplicacin los resultados de altura de las plantas es el siguiente:

Repeticin I A =29 C =36 B =53

Repeticin II B = 55 B = 60 A = 32

Repeticin III C =42 A = 36 C = 29

Repeticin IV C =31 B =49 B = 50

Repeticin V A = 27 C =21 A = 38

Ordenando los resultados del experimento

Repeticin A I II III IV V TOTAL MEDIA 29 32 36 27 38 162 32.4

Tratamientos B 53 55 60 49 50 267 53.4 C 36 42 29 31 21 159 31.8

Los resultados del experimento no son iguales, existe variacin dentro de los tratamientos y variacin entre los tratamientos, en consecuencia se debe realizar el anlisis de varianza para conocer si esta variacin es significativa estadsticamente.

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El mtodo de anlisis de varianza se debe a Ronald Fisher el resumen de anlisis de datos , muestra el cuadro siguiente. CUADRO DE ANLISIS DE VARIANZA PARA UNA DISTRIBUCIN EN DISEO COMPLETAMENTE AL AZAR Fuentes de Variacin Tratamiento error Total Grados de libertad (g.l) t1 t(r-1) rt 1 Suma de cuadrados (S.C) S.C.Trat S.c. Error S.C. Tot Cuadrado Medio (C.M) C.M.Trat C.M.Error =s2

F, calculado

F 0.05

C.M.Trat/s

2

t = nmero de tratamientos r = nmero de repeticiones PROCEDIMIENTO DE CLCULO 1 Factor de correccin (FC)

X FC !ij

2

rt

FC !

29 32 ......31 21215

! 23049.60

2

Suma Cuadrado Tratamientos (S.C.Trat)

S .C.Trat. !

r

C

S .C.Trat. !

1622 2672 1592 23049.60 ! 1513.2 5

3

Suma Cuadrado Total (S.C.Tot)

S : C. Tot ! X i2j FC13

X

2 j.

S . C. Tot ! (29 2 32 2 .......312 212 ) FC ! 1922.404 Suma Cuadrado Error (S.C. Error) Suma Cuadrado Total Suma Cuadrado Tratamiento 1922.4 - 1513.2 = 409.2

5

Cuadrado Medio Tratamientos (C.M.Trat)

C. M . Trat !

S . C. Trat 1513.20 ! ! 756.60 g. l Trat 2

6

Cuadrado Medio Error (C.M.Error)

C. M . Error !

S . C. Error 409.20 ! ! 34.10 g. l Error 12

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F, calculado, se lee como F calculado. Se refiere a la distribucin de probabilidad de F de Snedecor.

Fc !

756.60 C. M . Trat ! ! 22.188 34.10 C. M . Error

Una vez calculado las sumas de cuadrados y los cuadrados medios, los valores de cada uno de ellos trasladamos al siguiente cuadro de anlisis de varianza Cuadro de anlisis de varianza Fuentes de Variacin Tratamiento error Total Suma de Cuadrados 1513.20 409.2 1922.40 Grados de libertad 2 12 14 Cuadrado Medio 756.00 34.10 22.188 3.89 F, calculado F 0.05

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El valor deF

0.05 se busca en la tabla de distribucin de probabilidades de F con el nivel de

significacin escogido y los grados de libertad del tratamiento y grados de libertad del Error, (2, 12) siendo este valor 3.89 Finalmente se interpreta Fc, 22.188 es mayor que tabulado F 0.05 (3.89), en consecuencia se dice que existe

diferencia estadstica significativa entre los promedios de los tratamientos Esto nos conduce rechazar la hiptesis planteada y se aceptar la hiptesis alterna, en otras palabras los promedios de los tratamientos no son iguales como se ha supuesto al inicio del experimento. La prueba de F significativa indica que la variabilidad entre los tratamientos no se debe al azar, sino a un efecto distinto de dichos tratamientos, lo cual es equivalente a indicar que las diferencias son significativas entre las medias de las poblaciones, estimadas por las medias de las muestras; sin embargo, la prueba de F no indica cules medias son iguales o cules son diferentes. Con los datos del cuadro de anlisis de varianza se hacen las pruebas de significacin de las diferencias, para ello existen varios mtodos o pruebas como son: Tukey, Duncan, Comparaciones Ortogonales Dunnet, Diferencia Mnima Significativa (DMS) etc. El paquete estadstico SPSS ofrece 18 modelos de pruebas de comparacin de promedios. PRUEBA DE COMPARACIN DE TUKEY El procedimiento consiste en calcular un valor terico comn o diferencia mnima significativa mediante la siguiente frmula:

W ! qE (t , g .l.e) S xqE= Nivel de significacin de la tabla Tukey, en Ciencias Agrarias se considera 0.05 o 0.01 t = nmero de tratamientos r = nmero de repeticiones g.l.e = grados de libertad del error

S x = error estndar de la mediaPara el ejemplo la prueba de Tukey es como sigue

E ! 0.0515

t=3

r=5

g.l.e = 12

Sx !

34.10 C.M .Error ! ! 2.61 5 r

El valor q se encuentra en la tabla de tukey, se busca con el nmero de tratamientos a = t y los grados de libertad del error experimental (g.l.e) en este caso 12y para alfa 0.05

W ! qE 0.05(3,12) S x ! 3.77(2.61) ! 9.84

W ! 9.84Para realizar las comparaciones mltiples, primero se ordenan las medias de los tratamientos en forma ascendente o descendente C 31.8 A 32.4 B 53.4

Luego,las medias se comparan por diferencia, empezando del lado derecho como sigue: La primera comparacin es entre las medias de los tratamientos B y A 53.4 32.4 = 21 21supera al valor de W = 9.84 por tanto se dice que existe diferencia significativa entre estos tratamientos A y B. La segunda comparacin es entre las medias o promedios de los tratamiento B y C siendo el resultado 53.4 31.8 = 21.6 la interpretacin es similar a la primera comparacin. La tercera comparacin es entre los tratamientos A y C, 32.4 31.8 = 0.6 este valor no supera al valor de W = 9.84, entonces se dice que la diferencia de medias de tratamientos no son significativos. Estos valores no significativos iguales se pueden unir con una barra C 31.8 A 32.4 B 53.4

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3.2

ANLISIS DE VARIANZA CON DIFERENTE NMERO DE REPETICIONES POR TRATAMIENTO

En los experimentos a veces se presentan casos en los que dos o ms muestras o tratamientos tienen diferente nmero de repeticiones. La metodologa de anlisis con diferente nmero de repeticiones es la misma que para el ANVA en diseo con igual nmero de repeticiones con , ligeras modificaciones en las frmulas. Ejemplo: Si en el experimento de secado de las probetas de madera de 04 especies se hubiera perdido datos como muestra el siguiente cuadro 3

Cuadro 04. Peso seco de probetas de o4 especies maderables Repeticin (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total Media A 40 36 38 37 29 37 36 35 31 26 30 28 403 33.58 152 19 283 25.73 B 18 15 18 19 16 20 27 19 C 29 25 27 24 27 33 28 24 25 20 21 D 23 30 28 28 24 34 20 18 24 28 22 21 300 25

El nmero de repeticiones para los tratamientos: A = 12, B = 8, C = 11 D = 12 Para utilizar las frmulas de ANVA del ejemplo anterior se da valores a: n1= 12 n2 = 8 n 3= 11 n4 = 12

El siguiente cuadro 05 se debe rellenar con los valores calculados con las frmulas propuestas para el proceso de anlisis de varianza donde: F de V = Fuentes de variacin, S.C = Suma de cuadrados g.l. = Grados de libertad, C.M = , Cuadrado medio, Fc = F calculado y F .0,05 = nivel de significacin se halla en la tabla de F.

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Cuadro 05. F de V Tratamientos Error Total

Anlisis de varianza tendr la siguiente estructura. S.C t1 g.l C. M Fc F .0,05

n 1 t 1i

ni 1

Hallar el Factor de Correccin (F.C)

F .C !

( X i ) 2

n

ni ! Sumatoria del nmero de repeticiones

i

F .C !

(40 36 ....22 21)2 1295044 ! ! 30117.3023 12 8 11 12 43

Suma Cuadrado Total (S.C.T)

S .C.T ! X i 2 FC S : C : T ! (40 2 36 2.....22 2 212 ) 30117.3023 ! 1776.698 S .C .T ! 31894.00 30117.3023 !1776.698Suma Cuadrado Tratamientos

S .C.Tr !

ti . 2 FC ni

4032 1522 2832 3002 S .C.Tr ! 30117.3023 ! 1085.599 8 11 12 12

S .C.Tr ! 31202.9015 30117.3023 !1085.599Suma Cuadrado Error(S.C.E) Por diferencia

S .C.E ! 1776.698 1085.599 ! 691.09818

Cuadrado Medio Tratamientos (C.M.Tr)

C.M .Tr !

S .C .Tr g .l de t 1085.599 ! 361.866 3

C.M .Tr !

Cuadrado Medio Error (C:M:E)

C.M .E . !

S .C .Error g .l Error 691.098 ! 17.72 39 Fc ! 361.866 ! 20.42 17.72

C.M .E !

F calculado

Cuadro 06. Anlisis de varianza de peso seco (g) de probetas de 4 especies maderables Fuentes de variacin Tratamientos Error Total Suma de Cuadrados 1292.167 773.833 2066.000 Grados de Libertad 3 39 42 Cuadrado Medio 361.866 17.72 F. C 20.42 F 0.05 2.76 *

NOTA: Se rechaza la hiptesis planteada de que las medias de peso seco de las probetas son igualesCOMPARACIN MLTIPLE DE TUKEY Como en el ejemplo anterior

W ! qE (t , g .l )

C.M .E 1 1 2 n1 n2 t!4 g .l. ! 39

qE ! 0.05

En la columna (grados de libertad del error) de la tabla de Tukeyno existe 39, por lo que tomamos el valor ms prximo que es 40. Siendo el valor igual a 3,79

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Ordenando los promedios de los tratamientos de menor a mayor

Tratamientos Promedios Primera comparacin

B 19

D 25

C 25.73

A 33.58

A C ! 33.58 25.73 ! 7.8517.72 1 1 ! 4.71 2 12 11 (Existe diferencia significativa) se pone un asterisco

W ! 3.79

7.85 > 4.71 * Segunda comparacin

C D ! 25.73 25 ! 0.73

W ! 3.79

17.72 1 1 ! 5.85 2 11 12

0.73 < 5.85 NS. (No hay diferencia significativa) se designa como NS Tercera comparacin

D B ! 25 19 ! 6

W ! 3.79

17.72 1 1 ! 5.15 2 12 8

6 5.15 en consecuencia existe diferencia significativa Una de las formas de representar los tratamientos no significativos es uniendo con una lnea horizontal a los promedios de tratamientos no significativos como C y D: Tratamientos Promedios B 19 D C A 33.58

25 25.73 ________________

20

Realizando el anlisis de varianza del ejercicio con el software SPSS el resultado es el siguiente:

ANVA Suma de Fuente de variacin Inter-grupos Intra-grupos Total cuadrados 1085,599 691,098 1776,698 g.l 3 39 42 Media cuadrtica 361,866 17,720 F 20,421 Sig. ,000

Inter-grupos es igual a tratamientos e Intra-grupos es igual a error. La ltima columna del cuadro est como Sig. (Significancia) su correspondiente valor es 0, 000. Cuando este valor es menor que 0,05 se dice que los tratamientos son significativosComparaciones mltiples HSD de Tukey Diferencia de (I) TRATAM T1 (J) TRATAM T2 T3 T4 T2 T1 T3 T4 T3 T1 T2 T4 T4 T1 T2 T3 medias (I-J) 14,58333*

Intervalo de confianza al 95% Error tpico 1,92140 1,75717 1,71855 1,92140 1,95602 1,92140 1,75717 1,95602 1,75717 1,71855 1,92140 1,75717 Sig. ,000 ,000 ,000 ,000 ,007 ,017 ,000 ,007 ,976 ,000 ,017 ,976 Lmite inferior 9,4275 3,1409 3,9718 -19,7391 -11,9760 -11,1558 -12,5712 1,4786 -3,9879 -13,1948 ,8442 -5,4424 Lmite superior 19,7391 12,5712 13,1948 -9,4275 -1,4786 -,8442 -3,1409 11,9760 5,4424 -3,9718 11,1558 3,9879

7,85606* 8,58333 -14,58333*

* * * * *

-6,72727 -6,00000 -7,85606

6,72727

,72727 -8,58333* *

6,00000

-,72727

*. La diferencia de medias es significativa al nivel 0.05. En este cuadro se compara cada tratamiento con el resto por ejemplo el T1 con T2, T3 y T4

HSD de Tukey Subconjunto para alfa = .05 Tratamientos B D C A N 8 12 11 12 2 19,0000 25,0000 25,7273 33,5833 3 1

Se muestran las medias para los grupos en los subconjuntos homogneos.

21

INTERPRETACIN: El tratamiento A es significativamente mayor que los tratamientos B, D, A.No existe diferencia significativa entre los tratamientos C y D. Finalmente el tratamiento B es significativamente menor que los otros tratamientos.Esta afirmacin es con 95% de seguridad y 5% de estar equivocado EJERCICIO CON DIFERENTE NMERO DE REPETICIONES POR TRATAMIENTO En una prueba de comparacin de 05 tratamientos en diseo completamente al azar (DCA) la distribucin y los resultados cuantitativos de una variable fue la siguiente. T5 = 41 T4 = 25 T4 = 28 T1 = 30 T5 = 50 T1 = 23 T2 = 21 T1 = 20 T3 = 71 T1 = 24 T5 = 48 T2 = 23 T1 = 29 T2 = 19 T3 = 69 T2 = 18 T4 = 30 T4 = 21 T5 = 46 T2 = 23 T4 = 32 T3 = 81 T3 = 73 T2 = 20 T4 = 19 T3 = 59 T5 = 46 T1 = 22 T5 = 47 T5 = 46

Segn la prueba de Tukey, Hay diferencia significativa entre los tratamiento?, demuestre paso a paso el procedimiento TRATAMIENTOS REPETICIN 1 2 3 4 5 6 7 TOTAL MEDIA 148 24.67 124 20.67 353 70.60 155 25.83 T1 30 23 20 24 29 22 T2 21 23 19 18 23 20 T3 71 69 81 73 59 T4 25 28 30 21 32 19 T5 41 50 48 46 46 47 46 324 46.29 1104 TOTAL

Hallar el Factor de Correccin (F.C)

F .C !

( X i ) 2

n

!

( X i ) 2 n1 n2 n3 n4 n5

i

n1 n2 n3 n4 n5 ! Nmero de repeticiones de cada tratamiento

22

F .C !

(30 23 ....47 46)2 (1104)2 ! ! 40627.2 6 65 6 7 30

Suma Cuadrado Total (SC.T)

SC .T ! X i 2 FCSC .T ! (30 2 232 .....47 2 46 2 ) 40627.2 ! 50664 - 40627.2 !10 036.8

S .C.T ! 50664 - 40627.2 ! 10036.8Suma Cuadrado Tratamientos

S .C.Tr !

t j .2 ni

FC

148 2 124 2 353 2 155 2 324 2 S .C.Tr ! 40627.2 ! 9508.6714 6 5 6 7 6

S .C.Tr ! 50135.8714 40627.2 ! 9508.6714Suma Cuadrado Error(SC.E) Por diferencia

S .C.E ! 10036.8 9508.6714 ! 528.1286Cuadrado Medio Tratamientos (C.M.Tr)

C.M .Tr !

S .C .Tr g .l de t 9508.6714 ! 2377.1679 4

C.M .Tr !

Cuadrado Medio Error (CM.E)

23

CM .E . !

S .C.Error g .l Error 528.1286 ! 21.1251 25 Fc ! 2377.1679 ! 112.5281 21.1251451

CM .E !

F calculado

Cuadro 06. Anlisis de varianza de peso seco (g) de probetas de 4 especies maderables Fuentes variacin Tratamientos Error Total de Suma Cuadrados 9508.6714 528.1286 10036.8 de Grados de Cuadrado Libertad 4 25 29 Medio 2377.1679 21.1251 F. C 112.5281 F 0.05 2.76 *

NOTA: De acuerdo al anlisis de varianza de los datos existe diferencia estadstica altamente significativa entre los tratamientos por lo que es necesario realizar la prueba de comparacin mltiple de Tukey o cualquier otra prueba, para saber qu tratamientos son iguales o diferentes COMPARACIN MLTIPLE DE TUKEY Como en el ejemplo anterior (nivel alfa 0.05)

W ! qE (t , gl , e)

C.M .E 1 1 2 n1 n2

El valor de qE (t g .l .e ) en la tabla de Tukey con alfa 0.05 es 4.17 NOTA: En la tabla Tukey no existe el valor para 25 grados de libertad, pero se puede optar por el valor ms prximo en este caso el nmero ms prximo es 24, Para realizar las comparaciones se ordenan los promedios de los tratamientos en forma ascendente o descendente.

24

Promedios ordenados en forma ascendente.

T2 20.67 6

T1 24.67 6

T4 25.83 6

T5 46.29 7

T3 70.6 5

Para la primera comparacin se procede hallando el valor de W como sigue

W ! 4.17

21.1251 1 1 ! 7.94 2 5 7

Realizando la resta entre la media de los tratamientos T3 Y T5 70.6 46.29 =24.31, esta diferencia es mayor que 7.94 por tanto existe diferencia estadstica significativa entre estos dos promedios. No es necesario comparar T3 con los otros promedios porque automticamente sern significativos (estn ordenados de menor a mayor) Pasamos a la segunda comparacin hallando W

W ! W ! 4.17

21.1251 1 1 ! 7.54 2 7 6

Realizando la resta entre la media de los tratamientos T5 Y T4 46.29 25.83 = 20.46 Este valor supera a 7.54 por tanto es significativo Pasamos a la tercera comparacin de T4 con T1. Hallando el valor de W

W ! W ! 4.17

21.1251 1 1 ! 7.82 2 6 6

Realizando la resta 25.83- 24.67 = 1.16 el resultado es menor que 7.82 por tanto no existe diferencia significativa entre estos promedios. Cuarta comparacin hallando W

25

W ! 4.17

21.1251 1 1 ! 7.82 2 6 6

Haciendo la resta 25.83 20.67 = 5.16 No existe diferencia significativa Finalmente queda as las comparaciones

T2 20.67

T1 24.67

T4 25.83

T5 46.29

T3 70.6

Esto indica que existen dos grupos de datos estadsticamente diferentes, el segundo subconjunto es estadsticamente mayor que el primero, se acompaa el cuadro de ANVA procesado con SPSS

26

DISEO EN BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS (DBCA)Como su nombre lo indica, esta clase de diseos experimentales se caracterizan porque todos los tratamientos aparecen representados una vez en cada uno de los bloques. Los tratamientos se asignan al azar sobre las unidades experimentales, sorteando los tratamientos independientemente, cada bloque Las unidades experimentales deben ser homogneas dentro de cada bloque, salvo por variaciones aleatorias. Dos unidades experimentales de bloques diferentes pueden exhibir heterogeneidad, siendo de hecho el propsito de los bloques, absorber en mximo grado la variabilidad del material experimental. En la prctica forestal los bloques se colocan perpendicularmente al gradiente de fertilidad del suelo. Tambin se dice clasificacin a dos criterios, entonces, es aquel modelo en cuyas unidades experimentales existe una variable que puede modificar los efectos a generarse con los tratamientos y afectar los resultados. La diferencia entre las unidades experimentales debe eliminarse con el fin de que, como en el caso del Diseo Completamente al Azar, (DCA), cada unidad experimental reciba un solo tratamientos. Para el efecto es necesario formar bloques o grupos de unidades experimentales (individuos) que presenten caractersticas similares entre si an cuando las caractersticas del primer bloque no sean las mismas del segundo. Se conforman entonces bloques homogneos cada uno integrado por igual nmero de unidades experimentales donde se aplicarn los tratamientos. Al interior de cada bloque la asignacin de los tratamientos es hecha al azar, con el mismo objetivo que la clasificacin a un solo criterio: buscar una prueba para la hiptesis, de igualdad de efectos de los tratamientos. El rechazo de la hiptesis conduce a especificar cul de los tratamientos es mejor al haberse eliminado con la formacin de bloques, una variable en la cul no hay inters.Para comprender el significado del Diseo Bloques Completos Aleatorizado, es necesarialainformacin de los siguientes conceptos:

BLOQUES ALEATORIOSLos bloques de unidades con frecuencia constituyen una muestra aleatoria de los bloques disponibles para el investigador. Los sitios usados como bloques en estudios ecolgicos, forestales o de vida silvestre pueden ser muestras aleatorias de muchos sitios disponibles para el estudio, es posible establecer parcelas en cada uno de los sitios para el tratamiento. Los lotes de material fabricado (producto qumico) usados como bloque de tratamientos experimentales son lotes aleatorios, el lote se divide en unidades experimentales ms pequeas a las que se

27

administra el tratamiento. En experimentos sobre el terreno, usualmente cada bloque consiste en un grupo de compacto de parcelas aproximadamente cuadradas. De igual manera, en experimentos con animales, los animales se colocan en grupos de resultados o bloques con base en caractersticas tales como el peso inicia condicin del animal, raza sexo, edad, o como etapa de lactancia y produccin de lecha en el ganado, y como camadas en cerdos.

ALEATORIZACINCuando se han asignado las unidades experimentales a los bloques, se numeran en cierto orden conveniente. Los tratamientos tambin se numeran y luego se asignan aleatoriamente (al azar) los tratamientos a las unidades dentro de cada bloque. Una nueva aleatorizacin se efecta en cada bloque. Por, ejemplo si tenemos seis tratamientos (A, B, C, D, E, F ) y queremos di sponer estos tratamientos en cuatro bloques, el procedimiento ms sencillo es numerar boletas de A al F, luego stas se colocan en una caja, despus de remover bien se saca de la caja las boletas de uno en uno hasta la ltima boleta. Una de las formas del resultado del sorteo o aleatorizacin puede ser A, C, B, D, F, E. Estos tratamientos sorteados se distribuyen en cualquiera de los bloques, el procedimiento es similar para los dems bloques. Como se observa en el cuadro de distribucin que a continuacin figura. Arreglo de las parcelas experimentales para instalar el experimento de los tratamientos: A, B C, D, E y F en 4 bloques completos aleatorizado llamado tambin amarizado Bloque I A C B D F E Bloque III C E F B A D Bloque II D A F E C B Bloque IV F D A C E B

Esta clase de diseos experimentales se caracterizan porque todos los tratamientos aparecen representados una vez en cada uno de los bloques. Los tratamientos se asignan al azar sobre las unidades experimentales, sorteando los tratamientos independientemente, en cada bloque Las unidades experimentales (plantas, animales, objetos) deben ser homogneas dentro de cada bloque, salvo por variaciones aleatorias. Dos unidades experimentales de bloques diferentes pueden exhibir heterogeneidad, siendo de hecho el propsito de los bloques, absorber en mximo grado la variabilidad del material experimental. En la prctica forestal los bloques se colocan perpendicularmente al gradiente de fertilidad del suelo.

28

Tambin se dice clasificacin a dos criterios, entonces, es aquel modelo en cuyas unidades experimentales existe una variable que puede modificar los efectos a generarse con los tratamientos y afectar los resultados. La diferencia entre las unidades experimentales debe eliminarse con el fin de que, como en el caso del Diseo Completamente al Azar, (DCA), cada unidad experimental reciba un solo tratamientos. Mediante este diseo se logra que la variacin entre bloque pueda eliminarse por medio del anlisis estadstico reduciendo el error experimental y aumentndose la precisin del ensayo. Los bloques deben disponerse de manera tal que se absorba una mxima variacin entre bloques, mientras que se procure mantener la variacin dentro de bloques a un nivel tan bajo como sea posible. Este diseo puede emplearse para la prueba de un nmero aleatorio de tratamientos, pero en la prctica surgirn problemas al comps del aumento del tamao de los bloques junto con el aumento del nmero de tratamientos. Aumentando el tamao de los bloques, la variacin d entro de bloques aumenta tambin y el objetivo del establecimiento de bloques no podr lograrse de manera satisfactoria. En tales casos se podr optar por la utilizacin de un diseo incompleto, o optar por una reduccin del nmero de unidades experimentales.

Mtodo estadstico

xij ! Q X i F j \ i ji =1 , 2, ......r, y j = 1, 2, .........t,

promedio de las unidades en el bloque j a partir de la media general, y\ij es el error experimental Cuadro de resultados ordenado segn bloques y tratamientos de la distribucin de un experimento para probar el efecto de 05 dosis nitrgeno, y un testigo, evaluando la cantidad de nitrgeno en las hojas de ciertas plantas.

Dnde:

Q

es la media general,

Xi

es el efecto del tratamiento,

i representa la desviacin

29

TRATAMIENTO I A B C D E F TOTAL MEDIA 34.98 40.89 42.07 37.18 37.99 34.89 228 38.00 II

BLOQUES III 36.94 46.65 52.68 40.23 37.61 44.57 258.68 43.11 IV 39.97 41.90 42.91 39.20 40.45 43.29 TOTAL 153.11 176.13 187.08 162.46 158.04 172.9 MEDIA 38.28 44.03 46.77 40.62 39.51 43.23

41.22 46.69 49.42 45.85 41.99 50.15 275.32 45.89

247.72 1009.72 41.29

Para la interpretacin de los resultados obtenidos debemos llenar el siguiente cuadro CUADRO DE ANLISIS DE VARIANZA Fuentes de Variacin (F de V) Bloques Tratamientos Error Total Dnde: grados libertad (g.l) r-1 t-1 (r-1)(t-1) (r . t)-1 r = repeticiones o bloques, t = nmero de tratamientos Suma de Cuadrado Cuadrados (SC) Medio (CM) F.c. F 0.05

PROCEDIMIENTO DE CLCULO 1. Hallar el Factor de correccin (FC) Teniendo 04 repeticiones o bloques y 06 tratamientos (r =4; t = 6)

X FC !ij

2

rt

!

(34.98 40.89 ..... 40.45 43.29) 2 (1009.72) 2 ! ! 42, 480.6033 24 24

2.

Suma Cuadro Total (SCTot.)

S .C.Tot. ! X i j 2 FC !34.982 40.892 ... 40.452 43.292 42, 480.6033! 506 .3342986,932-42,480.6033=506.33

30

3.

Suma Cuadrado Tratamientos (S.C.Trat.)

S .C.Trat. !

X FC ! (153.112 i.

2

r

... 172.92 ) 42, 480.6033 ! 201.32 4

4.

Suma Cuadrado Bloques2

(S.C. Bloq.)

X FC ! (228 S .C.Bloq. !j.

2

t

... 247.72 2 ) 42, 480.6033 ! 197.00 6(S.C.Error)

5.

Suma Cuadrado Error

S .C.Error ! S .C .Tot . S .C .Trat S .C .Bloq . ! 506.33 201.32 197.00 !108.016. Cuadrado Medio Bloque (C.M.Bloq.)

C.M .Bloq. !

S .C.Bloq. 197 ! ! 65.67 g .l.Bloq. 3(C.M.Trat.)

7.

Cuadrado Medio Tratamientos

C.M .Trat . !

S .C.Trat. 201.32 ! ! 40.26 g .l.Trat . 5(C.M.Error)

8.

Cuadrado Medio Error

C.M .Error !

S .C.Error 108.01 ! ! 7.20 g .l.Error 15(Fc.)

9.

F. Calculado

Fc !

40.26 C.M .Trat ! ! 5.59 7.20 C .M .Error

31

Cuadro de Anlisis de Varianza (ANVA) con los resultados del proceso F de V Bloques Tratamientos Error Total g.l 3 5 15 23 S.C 197.00 201.32 108.01 506.33 C.M 65.67 40.26 7.20 F.c. 9.12 5.59 2.90 F 0.05

Interpretacin: Prueba de Hiptesis El estadstico Fces 5.59excede al valor crtico deF0.05, 5,15tabulado igual a 2.90 cuando esto sucede se rechaza la hiptesis planteada El nivel de significacin observado es la probabilidad mayor que F=0.05 (ver tabla) por lo que en esta etapa de desarrollo de la planta, hay diferencia significativa entre los tratamientos de nitrgeno y la nitrogenacin de las hojas. PRUEBA DE COMPARACIN DE TUKEY El procedimiento consiste en calcular un valor terico comn (W)o diferencia mnima significativa mediante la siguiente frmula:

W ! qE (t , g .l.e) S xqE= Nivel de significacin de la tabla Tukey, en Ciencias Agrarias se considera 0.05 o 0.01 t = nmero de tratamientos, r = nmero de repeticiones, g.l.e = grados de libertad del error

S x = error estndar de la mediaPara el ejemplo la prueba de Tukey es como sigue

E ! 0.05t=6 r=4 g.l.e = 15

Sx !

C .M .E 7.20 ! ! 1.34 r 4

El valor de

E ! 0.05 se busca en la tabla de Tukey con 15 grados de libertad y 6 tratamientos, en

este caso el valor es 4.60 Multiplicando esta cantidad con 1.34 se tiene W = (4.60 )1.34 = 6.16 El valor q se encuentra en la tabla de tukey con el nmero de tratamientos a = t y los grados de

32

libertad del error experimental (g.l.e) y para alfa 0.05 El procedimiento de la prueba de Tukeyse realiz manualmente en clase, pero se muestra el proceso ejecutado con software SPSS ver el siguiente cuadro PRUEBA DE COMPARACIN DE TUKEY

Subconjunto TRATAMIENTOS A E D F B C Significacin 1 38.2775 39.5100 40.6150 43.2250 44.0325 ,074 2

40.6150 43.2250 44.0325 46.7700 ,050

INTERPRETACIN: Los efectos de los tratamientos C B F y D son estadsticamente similares pero significativamente mayor que los tratamientos E y A.

33

0

7

7

4

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6

" 5

2

4

i

Comparaciones mltiples e los promedios

t :

Variabl

Inter al de confianza al . Lmite mite inferi r superi r - . . - . - . - . . - . . - . . -. . - . . - . . - . . - . . . . - . . -. . . . - . . - . . - . . - . . - . . - . . - . . - . . - . - . - . . - . . - . . - . . - . . - . . - . .

3

7

if r ia entre medias (I- ) - . - . * - . - . - . . - . . . . . * . . . * . . - . - . . - . . - . - . * - . - . . -. - . . .

8!

2

(I)

asado en las medias obser adas. *. La diferencia de medias es si nificati a al ni el .

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0

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3

*. e a detectado el smbolo . subcomando .

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donde se esperaba un par ntesis de cierre en el

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9

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aplicados le alcanza la hoja de campo para realizar su interpretacin de los tratamientos que fueron 4. Suponiendo que usted es experto en anlisis de datos en diseos experimentales. Un agricultor

rr r t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i nifi aci n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

34(

BLOQUE I T4 = 105 BLOQUE II T3 = 79 BLOQUE III T5 = 105 BLOQUE IV T1 = 53 T5 = 117 T2 = 69 T4 = 99 T3 = 69 T4 = 100 T1 = 52 T3 = 76 T2 = 77 T1 = 45 T4 = 107 T2 = 83 T5 = 120 T5 = 115 T1 = 49 T2 = 79 T3 = 80

ORDENANDO LOS TRATAMIENTOS Y BLOQUES DEL EXAMEN TRATAMIENTOS BLOQUES I II III IV TOTAL MEDIA T1 49 45 52 53 199 49.75 T2 79 83 77 69 308 77 T3 80 79 76 69 304 76 T4 105 107 100 99 411 102.75 T5 115 120 105 117 457 114.25 TOTAL 428 434 410 407 1679

Cuadro de Anlisis de Varianza (ANVA)

Fuentes de variacin grados libertad Suma de (gl) (F de V) Cuadrados (SC) Bloques Tratamientos Error Total r-1 = 3 t-1 = 4 (r-1)(t-1) = 12 (r . t)-1 = 19

Cuadrado Medio (CM)

F.c.

F 0.05

Factor de correccin (FC) Teniendo 04 repeticiones o bloques y 05 tratamientos (r =4; t = 5)

X FC !ij

2

rt

!

(49 45..... 105 117) 2 (1679) 2 ! ! 140952.05 20 20

35

Suma Cuadro Total (SC.T)

SC .T . ! X i j 2 FC ! (492 452 ... 1052 117 2 ) 140952.05 S .C.tot ! 51551 140952.05 ! 10598.95168270 -163081.80=5188.2 Suma Cuadrado Tratamientos (S.C.Trat.)

S .C.Trat. !

X FC ! (1992 i.

2

r

3082 3042 4112 4572 ) 140952.05 ! 10210.7 4

Suma Cuadrado Bloques2

(S.C. Bloq.)

X FC ! (428 S .C.Bloq. !j.

2

t

434 2 410 2 407 2 ) 140952.05 ! 105.75 5

Suma Cuadrado Error

(S.C.Error) se calcula por diferencia

S .C.Error ! S .C .Tot . S .C .Trat S .C .Bloq . ! 10598.9 10210.7 105.75 ! 282.5Cuadrado Medio Bloque (C.M.Bloq.)

C.M .Bloq. !

S .C.Bloq. 105.75 ! ! 35.25 g .l.Bloq. 3(C.M.Trat.)

Cuadrado Medio Tratamientos

C.M .Trat . !

S .C.Trat . 10210.7 ! ! 2552.675 g .l.Trat . 4(C.M.Error)

Cuadrado Medio Error

C.M .Error !

S .C.Error 282.5 ! ! 23.542 g .l.Error 12(Fc.)

F. Calculado

36

Fc !

2552.675 C .M .Trat ! ! 108.43 23.542 C .M .Error

Cuadro de Anlisis de Varianza (ANVA) con los resultados del proceso

F de V Bloques Tratamientos Error Total

g.l 3 4 12 19

S.C 105.75 10210.700 282.50 151551.00

C.M 35.25 2552.675 23.542

F.c. 0.93 108.43

F 0.05

2.90

Interpretacin: Prueba de Hiptesis para tratamientos El estadstico Fces 108.43 excede al valor crtico deF 0.05, 4, sucede se rechaza la hiptesis planteada PRUEBA DE COMPARACIN DE TUKEY El procedimiento consiste en calcular un valor terico comn (W) o diferencia mnima significativa mediante la siguiente frmula: tabulado igual a 2.90 cuando esto

12

W ! qE (t , g .l.e) S xPara el ejemplo la prueba de Tukey es como sigue

E ! 0.05t=5 r=4 g.l.e = 12

Sx !

C .M .E ! r

23.542 ! 2.426 4

El valor de E ! 0.05 se busca en la tabla de Tukey con 12 grados de libertad y 5 tratamientos, en este caso el valor es 4.51 Multiplicando esta cantidad por 2.426 se tiene W = ( 4.51 ) 2.426 = 10.94 El valor q se encuentra en la tabla de tukey con el nmero de tratamientos a = t y los grados de libertad del error experimental (g.l.e) y para alfa 0.05

37

ORDENANDO LOS TRATAMIENTOS T1 49.75 T3 76 T2 77 T4 102.75 T5 114.25

Primera comparacin, T5 con T4 114.25 102.75 = 11.50 este valor supera al valor de W = 10.94, en consecuencia las medias son estadsticamente diferentes, y automticamente son diferentes los dems promedios. Segunda comparacin entre T4 y T2 102.75 - 77 = 25.75 este valor es significativo, ya no comparamos con T3 y T1 por que tambin sern significativos Tercera comparacin T2 y T3 77 76 = 1.0 El valor no es significativo, entonces se unen con una lnea horizontal estas medias Cuarta comparacin T3 con T1 76 49.75 = 26.25 Existe significacin estadstica, por lo que no podemos unir estos promedios con una barra o lnea T1 49.75 T3 76 T2 77 T4 102.75 T5 114.25

Interpretacin: El promedio de T5 es significativamente mayor que T4 esto a su vez es mayor que los otros tratamientos, Se recomienda el T5

38

DISEO EN CUADRADO LATINOCuando los tratamientos se agrupan en bloques homogneos con dos direcciones, formand un o arreglo en hileras y columnas, con la particularidad de que cada hilera o columna constituya una repeticin completa de los tratamientos, se genera un diseo experimental que se conoce como cuadrado latino. El nmero total de tratamientos, t, es igual al nmero de hileras o de columnas, y es un entero igual o mayor que 2, siendo el total de unidades experimentales, un cuadrado perfecto. Este diseo es caracterstico porque un tratamiento cualquiera aparece representado exactamente una vez en la misma hilera, o en la misma columna El Diseo Bloques Completos Aleatorizado, se ha empleado para reducir el error experimental por eliminacin de una fuente de variacin, una variable que no interesa en el experimento. Pero si en vez de una, hay dos fuentes de variacin para ser controlados, entonces un Diseo en Cuadrado Latino (DCL) puede convertirse en el modelo ms adecuado. Consiste en distribuir en dos direcciones perpendiculares un mismo nmero de condiciones en las filas y las columnas, para un igual nmero de tratamientos. Obtenemos as un cuadrado en el cual se dan las mismas oportunidades para todos los tratamientos, anulando diferencias gracias a su ubicacin y seleccin al azar. Este diseo es muy eficaz en los casos en que ocurren variaciones en do direcciones, pero al s mismo tiempo existen ciertas restricciones con respecto al nmero de tratamientos distintos que pueden investigarse, ya que el nmero de por ejemplo 10 requerir el establecimiento de 100 parcelas y un nmero 4 y por debajo dar un nmero demasiado reducido de grados de libertad para permitir una prueba segura de los tratamientos. Ejemplo cosecha de grano de una variedad de trigo par cinco tasas de siembra en un diseo a cuadrado latino. La etiqueta de tratamiento (A, B, ,C, D, E) aparece en los parntesis en seguida del valor de la cosechaEjemplo de Diseo en Cuadrado Latino con 5 tratamientos (ABCDE) distribuidos al azar E C B A D A D C B E C B D E A B E A D C D A E C B

Modelo estadstico:

xij ! Q V j K i X k ei j39

i, j , k ! 1, 2,.....tDonde:Xij

es la observacin de la unidad experimental en el i - simo rengln y la j-sima

columna del diseo. Los efectos respectivos de rengln y columna son Vi y cj ;Xk es el efecto del K - simo tratamiento, y las eijson errores experimentales independientes aleatorios con media igual cero (0) y varianza W. Se supone que no hay interaccin entre los tratamientos y las columnas y filas o renglones. Cuadro del diseo en cuadrado latino con resultados al final del experimento HILERAS 1 1 2 3 4 5 Total Media 59.45 (E) 55.16 (C) 44.41 (B) 42.26 (A) 60.89 (D) 262.17 52.434 2 47.28 (A) 60.89 (D) 53.72 (C) 50.14 (B) 59.45 (E) 271.48 54.296 COLUMNAS 3 54.44(C) 56.59 (B) 55.87 (D) 55.87 (E) 49.43 (A) 272.20 54.44 4 50.14 (B) 60.17 (E) 47.99 (A) 58.74 (D) 59.45(C ) 276.49 55.298 5 59.45 (D) 48.71 (A) 59.45 (E) 55.87 (C ) 57.31 (B) 280.79 56.158 54.53 Total 270.76 281.52 261.44 262.88 286.53 Media 54.152 56.304 52.288 52.576 57.306

ORDENANDO TRATAMIENTOS EN COLUMNAS

TRATAMIENTOS A 42.26 47.28 49.43 47.99 48.71 Total Media 235.67 52.43 B 44.41 50.14 56.59 50.14 57.31 258.59 54.30 C 55.16 53.72 54.44 59.45 55.87 278.64 54.44 D 60.89 60.89 55.87 58.74 59.45 295.84 55.30 E 59.45 59.45 55.87 60.17 59.45 294.39 56.16

40

ANLISIS DE VARIANZA EN CUADRADO LATINO PROCEDIMIENTO DE CLCULO 1. Factor de correccin (FC) Teniendo 05 repeticiones o bloques, 05 filas y 05 tratamientos (r =5; f=5 t = 5)

X FC !ij

2

rt

!

(59.45 55.16 ... 55.87 57.31) 2 (1363.13) 2 ! ! 74,324.9359 25 25

2.

Suma Cuadro Total (S.C.Tot.)2 S .C.Tot. ! X i j 2 FC !59.452 55.162 ... 55.872 57.31 74,324.9359! 716 .61

3.

Suma Cuadrado Tratamientos (S:C:Trat.)

X FC ! (235.67 S .C.Trat. !2 j.

2

r

... 294.392 ) 74,324.9359 ! 522.30 5(S.C. Bloq.)

4.

Suma Cuadrado Bloques o columnas

S .C.Bloq. !

X FC ! (262.172 j.

2

t

... 280.792 ) 74,324.9359 ! 38.48 5(S:C:Hi)

5.

Suma cuadradoHileras o Filas2

X FC ! (270.76 ... 286.53) 74324.9359 ! 99.20 S .C.Hi !i.

r

5

6.

Suma Cuadrado Error

(S.C.Error)

S .C.Error ! S .C .Tot . S .C .Trat S .C .Bloq . S .C .Hi ! 716.61 522.30 38.48 99.20 ! 56.63

7.

Cuadrado Medio Bloque

(C.M.Bloq.)

41

C.M .Bloq. !

S .C .Bloq. 38.48 ! ! 9.62 g .l.Bloq. 4(C.M.Hi.)

8.

Cuadrado Medio Hilera

C.M .Hi !

S .C.Hi. 99.20 ! ! 24.80 g .l.Hi. 4(C.M.Trat.)

9.

Cuadrado Medio Tratamientos

C.M .Trat . !

S .C.Trat. 522.30 ! ! 27.67 g .l.Trat . 4(C.M.Error)

10.

Cuadrado Medio Error

C.M .Error !

S .C.Error 56.63 ! ! 4.72 g .l.Error 12(Fc.)

9.

F. Calculado

Fc !

130.57 C .M .Trat ! ! 27.67 4.72 C .M .Error

Cuadro de Anlisis de Varianza (ANVA)

Fuentes de variacin Bloques Hileras Tratamientos Error Total

grados libertad 4 4 4 12 24

Suma de Cuadrados 38.48 99.20 522.30 56.63

Cuadrado Medio 9.62 24.80 130.57 4.72

F.c.

Probabilidad Mayor que F

2.04 5.25 27.67 0.000

42

Prueba de Hiptesis sobre medias de tratamientos El estadstico Fc para probar la hiptesis nula de que no hay diferencia entre tratamientos igual a 27.67 que excede al valor crtico deF0.05, 4,12 igual a 3.26 con un nivel de significacin observado de Pr "= 0.000 ver la tabla. Existe diferencia estadstica altamente significativa entre tratamientos en estudio, conduce realizar la prueba de comparacin mltiple de Tukey, Ducan, ortogonal. etc. el proceso, es similar a la prueba de comparacin en bloques completos aleatorizados, el resultado siguiente Peso en kilogramos de materia seca de trigo por unidad experimental Sub conjuntos homogneos 1 47.1340 51.7180 55.7280 55.7280 58.8780 59.1680 2 3

TRATAMIENTO S A B C E D INTERPRETACIN:

Los tratamientos D, E y C

tuvieron una influencia similar en el peso de grano, pero son

significativamente mayor que los tratamientos A y B. El tratamiento A, es significativamente menor que los otros tratamientos en estudio.

43

EXPERIMENTOS FACTORIALES

Se llaman Experimentos Factoriales a aquellos experimentos en los que se estudia simultneamente dos o ms factores, y donde los tratamientos se forman por la combinacin de los diferentes niveles de cada uno de los factores. Los experimentos factoriales en si no constituyen un diseo experimental si no que ellos deben ser llevados en cualquiera de los diseos tal como D.C.A ; D.B.C.A; D.C.L. Los experimentos factoriales se emplean en todos los campos de la investigacin, son muy tiles en investigaciones exploratorias en las que poco se sabe acerca de muchos factores.VENTAJAS:1.-

Permite estudiar los efectos principales, efectos de interaccin de factores, efectos simples y efectos cruzados.

2.- Todas las unidades experimentales intervienen en la determinacin de los efectos principales y de los efectos de interaccin de los factores, por lo queel nmero de repeticiones es elevado para estos casos. 44

3.-

El nmero de grados de libertad para el err or experimental es alto, comparndolo con los grados de libertad de los experimentos simples de los mismos factores, lo que contribuye a disminuir la variancia del error experimental, aumentando por este motivo la precisin del experimento.

DESVENTAJA 1.Se requiere un mayor nmero de unidades experimentales que los experimentos simples y por lo tanto se tendr un mayor costo y trabajo en la ejecucin del experimento. 2.Como en los experimentos factoriales c/u de los niveles de un factor se combinan con los niveles de los otros factores; a fin de que exista un balance en el anlisis estadstico se tendr que algunas de las combinaciones no tiene inters prctico pero deben incluirse para mantener el balance. 3.El anlisis estadstico es ms complicado que en los experimentos simples y la interpretacin de los resultados se hace ms difcil a medida de que aumenta el nmero de factores y niveles por factor en el experimento.CONCEPTOS GENERALES: FACTOR Es un conjunto de tratamientos de una misma clase o caracterstica. Ejemplo: tipos de riego, dosis de fertilizacin, variedades de cultivo, manejo de crianzas, etc. FACTORIAL Es una combinacin de factores para formar tratamientos. NIVELES DE UN FACTOR. Son los diferentes tratamientos que pertenecen a un determinado factor. Se acostumbra simbolizar algn elemento "i" por la letra minscula que representa al factor y el valor del respectivo subndice. Ejemplo:

45

A: Tipos de riego: Secano Goteo Aspersin Niveles: a0 a1 a2 TIPOS DE FACTORES: 1.- Factores Cuantitativos. 2.- Factores Cualitativos. 1.- FACTORES CUANTITATIVOS. Son aquellos factores cuyos niveles son cantidades numricas. Ejemplo: Factor A: Dosis de fertilizacin Niveles: 10 Kg/Ha (ao), 20Kg/Ha (a1 ), 30Kg/Ha (a2). 2.- FACTORES CUALITATIVOS Son aquellos factores cuyos niveles son procedimientos o cualidades. Ejemplo: Factor A: Variedades de cultivo Niveles: Variedad 1, Variedad 2. Ejemplo de formacin de factoriales: Sea los factores A y B con sus respectivos niveles: Factor A: a0 a1 a2 Factor B: b 0 b1 La combinacin de los niveles de los factores ser: a0 b 0 b1 a0 b 0 a0 b1 a 1 b0 a1 b0 b 1 a1 b 1 a2 b 0 b1 a2b 0 a2 b1 } tratamientos

46

Al combinar ambos factores (A y B) se tiene: 3 x 2 = 6 tratamientos para ser evaluados Niveles de A multiplicado por niveles de B Si cada tratamiento se aplica a 4 unidades experimentales, se requiere 24 unidades experimentales, para realizar el experimento:

Repeticiones 1 2 3 4

a0 b0

a0 b1

a1 b0

a1 b1

a1b0

a2 b1

FORMACIN DE FACTORIALES: En la informacin de factoriales, se debe tener presente lo siguiente: 1.- Que factores deben incluirse. 2.- Que factores son fijos (modelo I) y que factores son al azar (modelo II). 3.- Cuantos niveles se tiene por factor. 4.- Si son factores cuantitativos, cual debe ser el espaciamiento entre los niveles del factor. Por ejemplo: 0%, 5% y 10% de nitrgeno, significa igual espaciamiento. TIPOS DE EXPERIMENTOS FACTORIALES: Los experimentos factoriales para un determinado diseo se diferencian entre si, por el nmero de factores y por la cantidad de niveles de estos factores que intervienen en el experimento. Para simbolizar se usa la letra del factor: 4A 4B = 4A x 4B 4 x 4 42p

Nmero de niveles (16 tratamientos).

pAxqB dos factores "A y "B", con "p" niveles para "A" y "q" niveles para "B" 2A 2B = 2A x 2B 2 x 2 2 p Nmero de niveles de c/factor (4 tratamientos).2

47

3A 3B = 3A x 3B 3 x 3 32p Nmero de niveles (9 tratamientos). 4A 4B = 4A x 4B 4 x 4 42p

Nmero de niveles (16 tratamientos).

EFECTOS DE LOS EXPERIMENTOS FACTORIALES: 1.EFECTO PRINCIPAL Es una medida del cambio en el promedio entre los niveles de un factor, promediado sobre los diferentes niveles del otro factor. Ejemplo: Dosis de Nitrgeno en las U.E. 2.EFECTO INTERACCIN Es una medida de cambio que expresa el efecto adicional resultante de la influencia combinada de dos o ms factores. Ejemplo: Efecto conjunto de nitrgeno y fsforo. 3.EFECTO SIMPLE Es una medida de cambio en los promedios de los niveles de un factor, manteniendo constante, uno de los niveles del otro factor. Ejemplo: Efecto de nitrgeno ante la presencia de 5% de fsforo.

GRFICO DE LA INTERACCIN:La interaccin de los factores se representa grficamente; la tendencia indica el grado de interaccin entre los factores, la cual aumenta a medida que las lneas tiendan a cruzarse. En los siguientes grficos se muestran los casos posibles de interaccin en dos factores: A con 3 niveles y B con 2 niveles. En el eje "X" se registra los niveles de A y en el eje "Y" los promedios de la interaccin de "A" y "B". Los puntos son unidos por una lnea, para cada nivel de "B". Para tener una idea sobre experimentos factoriales (dos variables) supongamos que se desea determinar los efectos de la temperatura del gas y el ancho del horno sobre el tiempo requerido para fabricar el carbn. Decidimos llamar el ancho del horno como factor A con los siguientes niveles a1 = 10cm a2 = 20cm a3 = 30cm Decidimos llamar factor B a la temperatura del gas con los niveles

48

b1 = 1600 grados Fahrenheit b2 =1900 grados Fahrenheit Cuadro 01. Combinacin de niveles de los factores A y B Niveles del factor B Niveles del factor A a1 a2 a3 b1 a1b1 a2b1 a3b1 b2 a1b2 a2b2 a3b2

Existen 06 combinaciones, a estas combinaciones se denomina tambin tratamientos, cumpliendo el principio de los diseos experimentales cada combinacin o tratamiento se replica 03 veces, la repeticin se denomina tambin bloque. Hiptesis Nula Ho. Las variaciones del ancho del horno y temperatura no afectan el tiempo de carbonizacin

49

Tabla 01. Resultados del experimento Factor A Factor B b1 a1 b2 b1 a2 b2 b1 a3 b2 Total Repeticin I 3.5 2.2 7.1 5.2 10.8 7.6 36.4 Repeticin II 3 2.3 6.9 4.6 10.6 7.1 34.5 Repeticin III 2.7 2.4 7.5 6.8 11 7.3 37.7 Total 9.2 6.9 21.5 16.6 32.4 22 108.6

Ecuacin modelo para un experimento de dos factores

Yi j k ! Q E i F j (EF ) i j V k \Donde: i = 1, 2, . . . .,a, j = 1, 2, . . . . . ,b, es la gran media,k,

i jk

y

k = 1, 2, . . . . .,r y

es el efecto en el nivel i simo del factor A y en el j simo nivel del factor

es el efecto de la k sima repeticin.

Anlisis de varianza del experimento de la tabla 01 No olvide de calcular las sumas y suma de cuadrados

X ! 108.6 X1.

2

! 2403.82

Hallar el factor de correccin ( FC )

FC !

( X i j ) 2 a b r

FC !

108.62 ! 655.22 18

Donde: FC = Factor de correccin denominado tambin trmino de correccin a = niveles del factor A

50

b = niveles del factor B r = nmero de repeticiones o bloques 2. La suma total de los cuadrados est dada por la ecuacin

SCT ! X 2 i j FC

SCT ! 3.5 2.2 ... 7.3 655.22 ! 149.382 2 2

3.

Sumas de los cuadrados de los tratamientos SC.Tra

X SC.Trat !r SC.Trat !4.

2

.j

FC2

9.2 6.9

2

... 22.0

2

32 i

655.22 ! 146.05

Suma Cuadrado bloques o repeticiones SC.Bloq

X. SC.Bloq !t SC.Bloq !

FC2 2

36.4 34.5 37.76

2

566.22 ! 0.86

Finalmente Suma Cuadrado Error SC.Error se obtiene por sustraccin

SC .Error ! SCT SCTrat SC .Bloq ! 149.38 146.05 0.86 ! 2.47La sub divisin de la suma de cuadrados de los tratamientos se descompone para los factores A y B y para la interaccin, puede simplificarse construyendo la siguiente tabla bidireccional, donde las entradas son los totales en la columna derecha de la tabla, dando los datos originales:

Factor A ancho del horno cm. a1 a2 a3 Total

Factor B temperatura b1 = 1600 9.2 21.5 32.4 63.1 b2 = 1900 6.9 16.6 22 45.5 Total 16.1 38.1 54.4 108.6

Usando frmulas anlogas a las que usamos para calcular las sumas de los cuadrados para varios efectos, tenemos ahora para los efectos principales 2403.82

SCA !

1 a 2 Ti.. FC b.r i !151

SCA !

16.12 38.12 54.4 2 655.22 ! 123.14 6

SCB !

1 b T. j.2 FC a.r j !163.12 45.5 2 655.22 ! 17.21 9

SCB !

Suma cuadrado de la interaccin AB

SC ( AB ) ! SCTr SCA SCB SC ( AB ) ! 146 .05 123.14 17.21 ! 5.70Finalmente dividiendo las sumas de cuadrados entre sus grados de libertad y dividiendo los cuadrados medios apropiados entre el cuadrado medio del error, obtenemos los resultados que muestra la tabla de anlisis de varianza. Cuadro de anlisis de varianza de los niveles de los factores

Fuente de Variacin Bloques Efectos Principales A B Interaccin A B Error Total

Suma de cuadrados 0.86 123.14 17.21 5.70 2.47 149.38

Grados de Libertad (r-1) = 2 (a-1) = 2 (b-1) =1 (a-1)(b-1) = 2 (ab-1)(r-1) =10 abr-1 =17

Cuadrado Medio 0.43 61.57 17.21 2.85 0.25

F, calculado 1.72 246.28 68.8 11.4

F , 0.05 4.10 4.10 4.96 4.10

Para el efecto principal del factor A, como Fc = 246.28 excede a 4.10 se dice que hay diferencia estadstica significativa, y para el efecto principal del factor B, como Fc = 68.8 excede a 4.96 hay diferencia estadstica significativa y la hiptesis nula deben rechazarse. Para el efecto de interaccin, F c = 11.4 excede a 7.56 debemos rechazar la hiptesis nula.

52

EXPERIMENTOS FACTORIALES GENERALESMuchos experimentos de investigacin toman en cuenta ms de dos factores. En esta parte de la asignatura se presenta el caso donde se tienen aniveles del factor A, bniveles del factor B ycniveles del factor C, acomodando en un experimento factorial, en general se tendr un total de a*b*cniveles y robservaciones (repeticiones), si existe rrepeticiones del experimento completo. EJERCICIO DESARROLLADO DE UN DISEO DCA CON ARREGLO FACTORIAL ABC El Factor A con 3 niveles El factor B con 4 niveles y El Factor C con 3 niveles El clculo de nmero de tratamientos o combinaciones es (3) ((4) (3) = 36 Nmero de repeticiones 6 en (depende la precisin del experimento, ser 2,3, 4, 5, 6 etc.) En total habr 36 (6) = 216 unidades experimentales, que sern distribuidas en forma aleatoria en DCA. Tabla 01. Datos hipotticos para ilustrar el ANVA en un diseo completamente aleatorizado con arreglo factorial de 3 x 4 x 3

a1 b1 3 2 8 1 7 8 29 4 7 7 14 7 7 46 5 9 15 8 7 3 47 b2 10 10 10 6 8 1 45 12 10 9 5 9 6 51 10 10 7 6 17 2 52 b3 9 9 2 8 9 10 47 3 5 2 7 8 12 37 5 27 6 4 3 10 55 b4 8 8 8 14 6 12 56 8 8 7 15 2 3 43 8 8 15 18 10 5 64 b1 24 29 27 14 18 3 115 22 28 27 34 19 3 133 23 28 30 16 17 3 117

c1

Total 0 c2

Total

c3

Total

a2 b2 b3 8 9 16 11 16 15 13 8 10 2 8 8 71 53 7 16 18 10 15 12 11 9 9 12 15 8 75 67 9 17 16 11 14 12 12 13 10 20 7 8 68 81

a3 b4 3 3 8 5 16 4 39 2 6 7 5 12 4 36 3 7 5 15 9 6 45 b1 2 2 2 9 14 11 40 2 6 7 13 13 12 53 2 8 11 17 9 11 58 b2 8 7 15 30 7 2 69 2 6 16 11 6 3 44 8 9 18 8 8 7 58 b3 9 5 7 9 6 2 38 7 5 1 8 6 2 29 6 8 3 7 6 3 33 b4 8 3 14 2 11 9 47 2 9 13 3 12 10 49 3 15 8 16 17 14 73

53

OBSERVACIONES: 1. Los totales de cada combinacin o tratamiento aparecen en negrita, es la suma de las seis repeticiones de la combinacin o tratamiento, estas sumas se utilizarn ms adelante para hallar la suma cuadrado de la interaccin ABC 2. Para realizar el anlisis de varianza (ANVA), se procesa las siguientes tablas, con sus respectivos sumandos Tabla 02. Es una tabla de a x b x c, muestra los totales de cada combinacin o tratamiento en esta se resume la suma de 6 repeticiones y a la vez se suman los totales para hallar las sumas de las combinaciones de los niveles del factor A y B

a1 b1 c1 c2 c3 Total 29 46 47 122 b2 45 51 52 148 b3 47 37 55 139 b4 56 43 64 163 b1 115 133 117 365 b2

a2 b3 53 67 81 201 b4 39 36 45 120 b1 40 53 58 151 b2

a3 b3 38 29 33 100 b4 47 49 73 169

71 75 68 214

69 44 58 171

Tabla 03. Tabla a x b formada a partir de los totales de la tabla 02 a1 b1 b2 b3 b4 Total 122 148 139 163 572 a2 365 214 201 120 900 a3 151 171 100 169 591 TOT 638 533 440 452 2063

Tabla 04. Tabla a x c formada a partir de los datos de la tabla 01 a1 c1 c2 c3 177 177 218 572 a2 278 311 311 900 a3 194 175 222 391 TOTAL 649 663 751 2063

54

Si observamos bien la tabla 01, encontramos los valores de las combinaciones de los niveles de los factores A y C que muestra la siguiente cuadro, los totales de cada combinacin est resumido en la tabla 04 Tabla 05. Tabla b x c formada a partir de los datos de la tabla 01.

b1 c1 c2 c3 Total 184 232 222 638

b2 185 170 178 533

b3 138 133 169 440

b4 142 128 182 452

Total 649 663 751 2063

Asimismo cuando observamos la tabla 01, encontramos los valores de las combinaciones de b x c que muestra el siguiente cuadro. El contenido de la tabla 05, son los totales de las combinaciones de los niveles del factor B y C PASOS DEL ANLISIS DE VARIANZA MODELO MATEMTICO

X i j k l ! Q X i F j K k (X F )i j (X K )i k ( F K ) j k (X F K ) i j k \ i j k lDnde: es el efecto promedio global, i = 1, 2, . . . , a j = 1, 2, . . . , b k = 1, 2, . . . , c l = 1, 2, . . . , r

55

Cuadro 01. De anlisis de varianza de los niveles de los factores Fuente de Variacin A B C AB AC BC ABC Error Total Suma de cuadrados Grados de Libertad a1 b1 c1 (a-1) (b-1) (a-1) (c-1) (b-1) (c-1) (a-1)(b-1)(c-1) (abc-1) (r-1) abcr 12 X 2 .... ( X ) ! abc r abc r

Cuadrado Medio

F, calculado

1. Hallar El factor de correccin

FC !

Cuando ingresamos los 216 datos a la calculadora con estadstico, debemos tener presente y tomar nota de los valores de las sumas y sumas cuadrados de la variable respuesta en este caso es X, para el ejemplo estos valores son:

X ! 2063 X FC !2

X

2

! 27981

(3 2 ... 17 14)2 (2063)2 4255969 ! ! ! ! 19703,56019 abc r (3)(4)(3)(6 ! 216 216

2. Hallar Suma cuadrado total

SC.Total ! X i2j k l FCi !1 j !1 k !1 l !156

a

b

c

r

SC.Total ! X i2j k l FCi !1 j !1 k !1 l !1

3

4

3

6

3RECORDAR

4

3

6= calculadora

!X2 i !1 j !1 k !1 l !1

SC .Tot ! (32 2 2 ... 17 2 14 2 ) 19703,56019= 8277.4398

27981 19703.56019 = 8277.4398

3. Hallar suma cuadrado del factor A

X i2 ... bcr FC i !1a

SCA ! i !1

3

X i2 ... FC bcr

572 2 900 2 5912 SCA ! 19703.5602 ! 941.7870 4.3.6b

4. Hallar suma cuadrado del factor B

bcrj !1

Xj 2.. j

FC

4

SCB ! j !1

X .2j .. acr

FC

57

SCB !

6382 5332 440 2 452 2 19703.5602 ! 463.7917 3.3.6c

5. Hallar suma cuadrado del factor C

abrk !1

Xj..2k .

FC

SCC ! k !1

3

X ..2k . FC abr

SC.C !

6492 6632 751 19703.5602 ! 84.9259 3.4.6 SC . AB ! i !1 j !1 a b 2 X ij ..

6. Hallar suma cuadrado interaccin AB

cr

FC SCA SCB

3

4

SC . AB ! i !1 j !1

2 X ij ..

cr

FC SCA SCB

SC .AB !

122 2 148 2 ... 100 2 169 2 19703.5602 941.787 463.9717 !1507.5114 18

7. Hallar suma cuadrado interaccin ACa c

SC .AC ! i !1 k !1

X i2k . . FC SC .A SC .C br X i2k . . FC SC .A SC .C br

3

3

SC .AC ! i !1 k !1

SC. AC !

177 2 ... 2222 19703.5602 941.787 84.9259! 38.602 24

8. Hallar suma cuadrado interaccin BC

b

c

SC .BC ! j !1 k !1

X .2jk . ar

FC SC .B SC .C

58

4

3

SC .BC ! j !1 k !1

X .2jk . ar

FC SC .B SC .C

SC .BC !

184 2 ... 182 2 19703.5602 463.9717 84.9259 !121.9311 18

9. Hallar suma cuadrado interaccin ABC2 X ijk .

a

b

c

SC . ABC ! i !1 j !1 k !1

r X i2j k . r

FC SC . A SC .B SC .C SC .AB SC .AC SC .BC

SC . ABC ! i !1 j !1 k !1

3

4

3

FC SC . A SC .B SC .C SC .AB SC .AC SC .BC

SC .ABC !

29 2 45 2 ... 332 73 2 19703.5602 941.787 463.9717 84.9259 6

1507.5114 38.602 121.9311 !124.54410. Hallar suma cuadrado Error

SC.Error ! SC.Tot SC. A SC.B SC.C SC. AB SC. AC SC.BC SC. ABCSC. Error ! 27981 941.787 463.9717 84.9259 1507.5114 38. 121.9311 124.544 ! 4994.17 602

Cuadro 02 De anlisis de varianza de los niveles de los factores Fuente de Variacin A B C AB AC BC ABC Suma de cuadrados 941.787 463.792 84.926 1507.694 38.602 122.111 124.361 Grados de Libertad 2 3 2 6 4 6 12 Cuadrado Medio 470.894 154.597 42.463 251.282 9.650 20.352 10.363 16.972 5.572 1.530 9.057 0.348 0.734 0.374 1.39 1.37 1.39 1.31 1.35 1.31 1.24 * * * * NS NS NS F, calculado F 0.05 Sig

tabulado

59

Error Total

4994.167 8277.440

180 215

27.745

El cuadro contiene el resumen del anlisis de varianza. Los cocientes Fcpara los tres efectos principales y la interaccin se forman al dividir la media cuadrada del efecto de inters por la media de cuadrados de error. Existe diferencia estadstica significativa para los efectos principales del los factores A, B y C y la interaccin AB. Igual resultado se logra con el paquete estadstico SPSS

g

g

a. R cuadrado

.397 (R cuadrado corregida

.279)

ddd

bdb

35 1 2 3 2 6 4 6 12 180 216 215

e

f

`ca `ba`

T

Fuente Modelo corregido Intersecci n A B C A*B A*C B*C A*B*C Error Total Total corregidae

Suma de cuadrados ti o III a . 19703.560 941.787 463.792 84.926 1507.694 38.602 122.111 124.361 4994.167 27981.000 8277.440

YX

V

R UR SURTRS R

Variabl

W

i

t :

T

gl

Media cuadr tica 93. 19703.560 470.894 154.597 42.463 251.282 9.650 20.352 10.363 27.745

F 3.381 710.157 16.972 5.572 1.530 9.057 .348 .734 .374

AHI

n

Q HG P AH EB

HIH GFC C

CB E

E

ED CB A A

Anli i

ri nz

l j

l

t

i

t ti

Significaci n . .000 .000 .001 .219 .000 .845 .623 .971

60

DATOS DHS de Tukeyh

a,b

Ni eles del factor A a1 a3 a2 Significaci ni

N 72 72 72

Subconjunto 1 2 7.9444 8.2083 12.5000 .951 1.000

Se muestran las medias ara los grupos en subconjuntos omogneos. Basado en la suma de cuadrados tipo III El trmino error es la Media cuadr tica (Error) 27.745. a. Usa el tamao muestral de la media armnica 72.000s

b. Alfa

.05.

s

s

r

p

q

61

EXPERIMENTO DE TRES FACTORES ( 2 X 3 X 4 ) EN BLOQUES AL AZAR. AUMENTO DIARIO PROMEDIO EN CERDOS ALIMENTADO S CON SUPLEMENTOS DE LISINA, METIONINA Y PROTENA A DIFERENTES PORCENTAJES

FACTOR A

FACTOR B b1

FACTOR C c1 c2 I

BLOQUES II 0.97 1.45 0.99 1.22 1.21 1.24 1.00 1.53 1.21 1.34 0.96 1.27 1.13 1.08 1.41 1.21 1.19 1.39 1.03 1.29 1.16 1.39 1.03 1.27 28.97

TRATAMIENTOS TOTAL 2.08 2.97 2.08 2.49 2.06 2.91 2.30 3.08 2.24 2.58 2.08 3.03 2.35 2.46 2.75 2.61 2.53 2.85 2.22 2.09 2.52 2.81 2.49 2.89 60.47

1.11 1.52 1.09 1.27 0.85 1.67 1.30 1.55 1.03 1.24 1.12 1.76 1.22 1.38 1.34 1.40 1.34 1.46 1.19 0.80 1.36 1.42 1.46 1.62 31.50

a1

b2

c1 c2

b3

c1 c2

b1

c1 c2

a2

b2

c1 c2

b3

c1 c2

b1

c1 c2

a3

b2

c1 c2

b3

c1 c2

b1

c1 c2

a4

b2

c1 c2

b3

c1 c2

TOTAL

62

Para este ejemplo los datos provienen un experimento de alimentacin en porcinos. Se analiza el efecto de tres factores principales A, B y C; tres interacciones de dos factores, AB, AC y BC y una interaccin ABC de tres factores. El factor A es la dosis de LISINA los niveles son: a1 = 00 El factor C es la dosis de PROTENA con los niveles a2 = 0.05 a3 = 0.10 a4 = 0.15 b3 = 0.050

El factor B es la dosis de METIONINA los niveles son b1 = 00 b2 = 0.025 c1 = 12 c2 = 24

El experimento se condicion en DBCA, con dos repeticiones por cada combinacin de los niveles de cada factor se denomina tambin tratamiento. En total hay 24 tratamientos, con dos repeticiones suman 48 unidades experimentales. Antes de realizar el anlisis de varianza se debe resumir los totales de las combinaciones de los niveles de los factores ABC como aparece en las siguientes tablas TABLA A DE RESUMEN NIVELES DEL FACTOR B b1 b2 b3 Total a1 5.05 4.57 4.97 14.59 NIVELES DEL FACTOR A a2 5.38 4.82 5.11 15.31 a3 4.81 5.36 5.38 15.55 a4 4.31 5.33 5.38 15.02 19.55 20.08 20.84 60.47 TOTAL

El resultado 5.05 es la suma de los resultados del tratamiento de a1b1 repetido dos veces, o sea la suma de 1.11 + 0.97 + 1.52 + 1.45 = 5.05. Se logra el mismo resultado sumando el total de las repeticiones del tratamiento. 2.08 + 2.97 = 5.05, para el resto de las casillas es igual el procedimiento, solo debe tener en cuenta la combinacin de los niveles. TABLA RESUMEN B NIVELES DEL FACTOR B (METIONINA) b1 b2 b3 Total NIVELES DEL FACTOR C (PROTENA) c1 8.95 9.59 9.16 27.70 c2 10.60 10.49 11.68 32.77 19.55 20.08 20.84 60.47 TOTAL

63

El resultado 8.95 es la suma de resultados del tratamiento b1c1 repetido dos veces de acuerdo al diseo, mejor dicho es 1.11 + 0.97 + 1.30 + 1.00 + 1.22 + 1.13 + 1.19 + 1.03 = 8.95. El mismo resultado se logra sumando los totales de las repeticiones del tratamiento b1c1, esto es 2.08 + 2.30 + 2.35 + 2.22 = 8.95, para las otras casillas es similar el procedimiento TABLA C DE RESUMEN

NIVELES DEL FACTOR C c1 c2 Total a1 6.22 8.37 14.59

NIVELES DEL FACTOR A a2 6.62 8.69 15.31 a3 7.63 7.92 15.55 a4 7.23 7.79 15.02

TOTAL

27.70 32.77 60.47

El resultado 6.22 es la suma de los resultados del tratamiento a1c1 repetido dos veces en el experimento, representando sus sumando es como sigue: 1.11 + 0.97 + 1.09 + 0.99 + 0.85 + 1.21 = 6.22. Tambin se logra el mismo resultado sumando los totales de las repeticiones que aparecen en la ltima columna de la tabla de resultados como sigue.2.08 + 2.08 + 2.06 = 6.22 ANLISIS DE VARIANZA MTODO PRCTICO con calculadora SUMATORIAS DE CALCULADORA

X ! 60.47

X

2

! 78.2205

1.

FACTOR DE CORRECCIN

FC !

(60.47)2 ! 76.1796 48

2.

SUMA CUADRADO TOTAL

SC .TOT ! 11.12 1.532 ... 1.032 1.27 2 FC ! 2.04093. SUMA CUADRADO TRATAMIENTOS

SC.TRAT !

(2.082 2.972 ...2.492 2.892 ) FC ! 1.2756 264

4.

SUMA CUADRADO BLOQUES O REPETICIONES

SC.Bloq !

(31.502 28.972 FC ! 0.1334 24

5.

SUMA CUADRADO ERROR

SC .Error ! SC .Tot SCTrat SC .Bloq

! 2.04909 1.2756 0.1334 ! 0.6319

Las entradas en la tabla son sumas de dos niveles de protena; 5.05 = 2.08 + 2.97, etc.

6.

SC ( A) !

(aj

2 j

) !

rbc2 i

14.592 ... 15.022 FC ! 0.0.0427 2.3.2

7.

SC ( B) !

(b ) 19.55i

2

rac

... 20.84 2 FC ! 0.0526 2.4.2

8.

(a b )j i

2

SC ( AB ) !

ji

rc

FC SC ( A) SC ( B) !

5.05 ...5.382

2

2.2

76.1796 0.0427 0.05226 ! 0.2543

(c )k

2

9.

SC (C ) !

k

rab

!

27.70 2 32.77 2 FC ! 0.5355 2.4.3

10.

SC ( BC ) !11.

b c i k i.k

2

ra

FC SC( B) SC( C) !

8.95 ... 11.682

2

2.4

76.1796 0.0526 0.5355 ! 0.0821

(a c )j k

2

SC ( AC ) !

i.k

rb

FC SC ( A) SC ( C) !

6.22 ... 7.792

2

2.3

76.1796 0.0427 0.5355 ! 0.2399

65

12.

SC ( ABC ) ! SC (Trat ) FC SC ( A ) SC (B ) SC (C ) SC ( AB ) SC ( AC ) SC (BC ) SC ( ABC ) ! 1.2756 0.0427 0.0526 0.5355 0.2543 0.2399 0. 821 ! 0.0685 0ANLISIS DE VARIANZA DE UN EXPERIMENTO DE TRES FACTORES CON PORCINOS. DISEO BLOQUES ALEATORIOS

Fuentes de variacin Bloque A B C AB AC BC ABC Error TOTAL

Suma de cuadrados 0.1334 0.0427 0.0526 0.5355 0.2543 0.2399 0.0821 0.0685 0.6319 2.04089

Grados de libertad 1 3 2 1 6 3 2 6 23 47

Cuadrado medio 0.1334 0.0142 0.0263 0.5355 0.0424 0.0800 0.0410 0.0114 0.0275

Fc

F tab 0.05

4.85 0.52 0.96 19.47** 1.54 2.10 1.49 0.41

4.28 3.03 3.42 4.28 2.53 3.03 3.42 2.53

La suma cuadrado medio del bloque, de los factores e interacciones se logra dividiendo las sumas de cuadrados de cada uno de ellos entre su grado de libertad, por ejemplo, el cuadrado medio del factor A es 0.0427/3= 0.0142 Asimismo el Fc, es la divisin de cada uno de los cuadrados medios entre el cuadrado medio del error, Fc para bloques es igual 0.12334/0.0275 = 4.85 Ninguna de las comparaciones es significativa, excepto el factor C. no se realiza la prueba de comparacin mltiple porque slo son dos datos, el mejor es el que tiene mayor valor en este caso.

66

ANLISIS DE VARIANZA EN DISEO PARCELAS DIVIDIDASLos diseos de parcelas divididas y una variacin de estos, denominados bloques divididos se usan frecuentemente en experimentos factoriales, en los que la naturaleza del m aterial experimental o las operaciones observadas dificultan el manejo de todas las combinaciones de factores en una misma forma. El diseo involucra la asignacin de tratamientos de un factor a parcelas principales dispuestas en un diseo completamente al atorio, de bloques completos e aleatorizados o de cuadrado latino. Los tratamientos del segundo factor se asignan a subparcelas dentro de cada parcela principal. El proyecto suele sacrificar la precisin en la estimacin de los efectos promedio de los tratamientos asignados a las parcelas principales, aunque frecuentemente aumenta la precisin para comparar los efectos promedio de los tratamientos asignados a subparcelas; y cuando existen interacciones, para comparar los efectos de tratamientos de subparcelas en un tratamiento de una parcela principal dada. Esto proviene del hecho de que el error experimental para las parcelas principales suele ser mayor que el error experimental utilizado para comparar tratamientos de subparcelas. El trmino de error para tratamientos de subparcelas es inferior al que se obtendra si todas las combinaciones de tratamientos fuesen dispuestas en un diseo de bloques completos al azar (LITTLE 1965) se utiliza en los siguientes casos: 1. Cuando los tratamientos estn relacionados con los niveles de uno o ms factores y necesitan mayores cantidades de material experimental en una unidad experimental que los tratamientos de otros factores. Esto sucede en los experimentos sobre el campo, lab oratorio, industrial o social. Por ejemplo en un experimento sobre el campo uno de los factores puede ser el mtodo de preparacin de suelo o aplicacin de un fertilizante, factores que necesitan, por lo general parcelas o unidades experimentales grandes. El otro factor puede ser variedades, las cuales se pueden comparar usando parcelas ms pequeas. Otro ejemplo es el experimento diseado para comparar las cualidades de conservacin de la crema de helado hecha a partir de diferentes frmulas y almacenada a diferentes temperaturas. 2. El diseo puede usarse si va a incorporarse en un experimento un factor adicional para aumentar su alcance. Por ejemplo supongamos que el objetivo principal de un experime