Derivadas-hiperbolicas e Inversas - Ecuaciones Parametricas

8/18/2019 Derivadas-hiperbolicas e Inversas - Ecuaciones Parametricas

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DERIVADA DE FUNCIONES HIPERBOLICAS

E INVERSAS

ECUACIONES PARAMETRICAS

CURSO: CALCULO 2

INTEGRANTES: FLORES MATUTE SAMUEL

ESPEJO APAZA JEAN PIERRE


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LIMA 22 DE FEBREO 2016

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS

Derivada de la función seno hiperbólico

LA DERIVADA DEL SENO HIPERBLI!O DE " es i#ual al coseno hiperbólico de "$

LA DERIVADA DEL SENO HIPERBLI!O DE una función de " es i#ual a la derivada de

dicha función por el coseno hiperbólico de la función

Derivada de la función coseno hiperbólico

LA DERIVADA DEL !OSENO HIPERBLI!O DE " es i#ual al seno hiperbólico de "

LA DERIVADA DEL !OSENO HIPERBLI!O DE una función de " es i#ual a la derivadade dicha función por el seno hiperbólico de la función

Derivada de la función %an#en%e hiperbólico


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LA DERIVADA DE LA &AN'EN&E HIPERBLI!A DE " es i#ual a la secan%e hiperbólicaal cuadrado de "

LA DERIVADA DE LA &AN'EN&E HIPERBLI!A DE una función de " es i#ual a laderivada de dicha función por la secan%e hiperbólica al cuadrado de la función

Derivada de la función co%an#en%e hiperbólico

LA DERIVADA DE LA !O&AN'EN&E HIPERBLI!A DE " es i#ual a (enos lacosecan%e hiperbólica al cuadrado de "

LA

DERIVADA DE LA !O&AN'EN&E HIPERBLI!A DE una función de " es i#ual a (enosla derivada de dicha función por la cosecan%e hiperbólica al cuadrado de la función

Derivada de la función secan%e hiperbólico

LA DERIVADA DE LA SE!AN&E HIPERBLI!A DE " es i#ual a (enos la secan%ehiperbólica de " por la %an#en%e hiperbólica de "


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LA DERIVADA DE LA SE!AN&E HIPERBLI!A DE una función de " es i#ual a (enos laderivada de dicha función por la secan%e hiperbólica de la función ) por la %an#en%ehiperbólica de la (is(a

Derivada de la función cosecan%e hiperbólico

LADERIVADA DE LA !OSE!AN&E HIPERBLI!A DE " es i#ual a (enos la cosecan%ehiperbólica de " por la co%an#en%e hiperbólica de "

LA DERIVADA DE LA !OSE!AN&E HIPERBLI!A DE una función de " es i#ual a(enos la derivada de dicha función por la cosecan%e hiperbólica de la función ) por laco%an#en%e hiperbólica de la (is(a

DERIVADAS DE LAS FUNCIONESHIPERBOLICAS INVERSAS

Derivada de la función seno hiperbólico inverso

LA DERIVADA DEL AR'*+EN&O SENO HIPERBLI!O DE " es i#ual al lo#ari%(o

neperiano de " (,s la ra-. cuadrada de la unidad (,s " al cuadrado


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LA DERIVADA DEL AR'*+EN&O SENO HIPERBLI!O DE una función de " es i#ual ala derivada de la función por el lo#ari%(o neperiano de la función de " (,s la ra-.cuadrada de la unidad (,s la función al cuadrado

Derivada de la función coseno hiperbólico

inverso

LA DERIVADA DEL AR'*+EN&O !OSENO HIPERBLI!O DE " es i#ual al lo#ari%(oneperiano de " (,s la ra-. cuadrada de " al cuadrado (enos la unidad

LA DERIVADA DEL AR'*+EN&O !OSENO HIPERBLI!O DE una función de " esi#ual a la derivada de la función por el lo#ari%(o neperiano de la función de " (,s la ra-.cuadrada de la función al cuadrado (enos la unidad

Derivada de la función %an#en%e hiperbólicoinverso

LA DERIVADA DEL AR'*+EN&O &AN'EN&E HIPERBLI!A DE " es i#ual a un (ediodel lo#ari%(o neperiano de uno (,s " dividido en%re uno (enos la variable "


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LA DERIVADA DEL AR'*+EN&O &AN'EN&E HIPERBLI!A DE una función de " esi#ual a la derivada de la función por un (edio del lo#ari%(o neperiano de uno (,s lafunción dividido en%re uno (enos la función de "

Derivada de la función co%an#en%e hiperbólicoinverso

LA DERIVADA DEL AR'*+EN&O !O&AN'EN&E HIPERBLI!A DE " es i#ual a un(edio del lo#ari%(o neperiano de " (,s uno dividido en%re " (enos uno

LA DERIVADA DEL AR'*+EN&O !O&AN'EN&E HIPERBLI!A DE una función de "es i#ual a la derivada de la función por un (edio del lo#ari%(o

Derivada de la función secan%e hiperbólicoinverso

LA DERIVADA DEL AR'*+EN&O SE!AN&E HIPERBLI!A DE " es i#ual al lo#ari%(oneperiano del cocien%e de uno (,s la ra-. cuadrada de uno (enos " al cuadrado divididoen%re "


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LA DERIVADA DEL AR'*+EN&O SE!AN&E HIPERBLI!A DE una función de " esi#ual a la derivada de la función por el lo#ari%(o neperiano del cocien%e de uno (,s lara-. cuadrada de uno (enos la función al cuadrado dividido en%re la función

Derivada de la función cosecan%e hiperbólico

inverso

LA DERIVADA D DEL AR'*+EN&O !OSE!AN&E HIPERBLI!A DE " es i#ual allo#ari%(o neperiano de la e"presión uno par%ido por " (,s la ra-. cuadrada de uno (,s" al cuadrado par%ido por valor absolu%o de "

LA DERIVADA DEL AR'*+EN&O !OSE!AN&E HIPERBLI!A DE una función de " esi#ual a la derivada de la función por el lo#ari%(o neperiano de la e"presión uno par%idopor la función (,s la ra-. cuadrada de uno (,s la función al cuadrado par%ido por valor absolu%o de la función


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BIBLIOGRAFIA

/ h%%ps011es$2i3ipedia$or#12i3i14unci5!65B6n7hiperb5!65B6lica

/ h%%p011c(ap$upb$edu$co1rid899:9;999:?9@7>=?91&RI'ONO+E&R5!65


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Curvas con historia

Es%a no va a ser una conferencia al uso$ +,s bien pre%endo reali.ar unae"cursión audiovisual a un (undo un poco olvidado en las clases de(a%e(,%icas de %odos los niveles0 el (undo de las curvas$

uiero e(pe.ar es%a e"cursión por la his%oria de es%os obFe%os (a%e(,%icosGes%a especie de viaFe #uiadoG %ra)endo unas palabras de nues%ro uerido+i#uel de 'u.(,nG diri#idas sobre %odo a los profesores ue ho) nosaco(paan0

!E"ist#n const#$acion#s %# h#chos &at#&'ticos (u# s# )r#stan)ara hac#r %# #$$os una nov#$a *i#n int#r#sant#+

Me pregunto si el tiempo malgastado en muchos de nuestros rollosmagistrales en los que tanto abundamos los profesores de matemáticasde todos los niveles no podría invertirse con gran provecho en contar pausadamente alguna de estas historias apasionantes del pensamientohumano”

Mat#&'ticas , Natura$#-a

La his%oria de las curvas es uno de esos hechos (a%e(,%icos ue dan (a%erialpara (,s de una novelaG aunue ho) sólo cons%ruire(os un rela%o breve$ Jpara e(pe.ar uiero invocar la au%oridad ue sobre es%os obFe%os (a%e(,%icosnos apor%an dos #randes #enios0


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“El Universo es un libro escrito en el lenguaje de las matemáticas, siendosus caracteres triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin lascuales es humanamente imposible comprender una sola palabra; sin ellossolo se conseguirá vagar por un oscuro laberinto"

alileo

alilei

“!a mente humana, previa y libremente, tiene ue construir formasantes de encontrarlas en las cosas#

AlbertEinstein

Aunue a un nivel (,s do(Ks%ico pero %a(biKn (,s poK%ico ui.,s sea (,sconvenien%e es%a ci%a de un profesor as%uriano0

“!as curvas son los paréntesis de las ideas# $osé %anuel &lvare' (ére'


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La Na%urale.a es poco pródi#a a la hora de (os%rar rec%asG planos ) cuerposre#ularesG sin e(bra#o nos ofrece un a(plio (ues%rario de %oda clase de

curvas0 c-rculosG espiralesG elipsesG par,bolasG hipKrbolasG ca%enariasGbrauis%ócrona$ cardiodesG cicloidesG concoides$$$

De %odas ellasG con (a)or o (enor de%alle nos ocupare(os un

poco (,s adelan%e$ Pero co(o en %oda buena novelaG ha) ue

e(pe.ar por el principio$

J en el principio fueron los puntos, las rectas, los ángulos y los círculos…La

'eo(e%r-a de los Ele(en%os de Euclides$

Es curioso ue en los Ele(en%os no apare.ca ni una sola curva dis%in%a de losc-rculos$

Pero %a(biKn en el principioG incluso an%es de EuclidesG hab-a dos proble(ascl,sicosG ue sorprenden%e(en%e %iene (ucho ue ver con es%a his%oria decurvas0

La duplicación del cubo el (anda%o del or,culo de DelosG para acabar conla pes%e en A%enas0 !ons%ruir en el %e(plo de Apolo un al%ar se(eFan%e ale"is%en%e pero ue fuese el doble de #randeMEl al%ar %en-a for(a cbica La %risección de un ,n#ulo cualuiera u%ili.ando sólo re#la ) co(p,s$

P$at.n+ Las so&*ras #n $a cav#rna

Aunue Pla%ón es un heredero de las (a%e(,%icas pi%a#óricas su concepción

filosófica #lobal afec%a al papel reservado a las (a%e(,%icas en su relación conla na%urale.a0


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• Las (a%e(,%icas cons%i%u)en un universo de ideas independien%es del(undo de los fenó(enos$

• 4or(an un len#uaFe in%er(edio ue per(i%e a par%ir de lo sensible apun%ar al(undo de las ideas$

Pla%ón considera a las (a%e(,%icas co(o ciencia liberal y desinteresadaGindependi.a las (a%e(,%icas del pra#(a%is(o e(p-rico ) de la u%ilidadin(edia%aG liber,ndola in%elec%ual(en%e de ins%ru(en%os (a%erialesG porque«tienen la misin pedaggica de formar mentes bien hechas, cumpliendo con el fin proped!utico de servir de introduccin al estudio de la "ilosofía Pla%ónC$

#$a esfera y el círculo, las formas geom!tricas perfectas, la armonía de la lira,las matemáticas y la m%sica de la mano en la primera victoria del orden sobreel caos&

'latn el famoso filsofo griego fue más allá, llegando a afirmar que (ios, elcreador del )niverso, utili*a siempre procedimientos geom!tricos&

Pla%ónG en efec%o es el au%or de una de las pri(eras %en%a%ivas de buscar un(odelo #eo(K%rico para e"plicar la es%ruc%ura del *niverso$ J si los pi%a#óricoshab-an colocado en el principio de %odo el n(ero co(o principio de %odo lo%an#ibleG Pla%ón va a colocar al %ri,n#ulo ) los cinco sólidos pla%ónicos en el(odelo cos(oló#ico (,s poK%ico de la his%oria de la ciencia$

Arist.t#$#s+ E$ r#ino %# $as #s/#ras , $os c0rcu$os

Para Aris%ó%elesG un poco (,s realis%aG el obFe%o de las (a%e(,%icas son lasfor(as e"%ra-das de la na%urale.aG es la (odeli.ación de las re#ularidadese(p-ricas ue se producen en la realidad$ Es%a visión va a do(inar la his%oriade las (a%e(,%icas has%a bien en%rado el si#lo QQ$

Desde en%oncesG ) %ras la aparición de los Ele(en%os de EuclidesG los pun%osGlas rec%asG los ,n#ulosG los c-rculos ) las esferas$$$ las for(as perfec%asG lospoliedros re#ulares van a cons%i%uirse en las ar(as casi e"clusivas parain%erpre%ar la Na%urale.a$ Las for(as i(perfec%asG las curvas e"%raasG lospol-#onos no re#ularesG los sólidos dis%in%os de los conosG los cilindros ) lasesferas$$$uedan e"pulsados del universo (a%e(,%ico$ Sólo Aru-(edes )al#n o%ro con%es%a%ario se preocupar, de (irar con oFos (a%e(,%icos esaso%ras for(as ue se rebelan con%ra Pla%ón ) Aris%ó%eles$

#(esde 'latn la historia de la +iencia serála b%squeda de ese modelo geom!trico, deesas leyes que controlan el funcionamientodel +osmos, la b%squeda de ese orden


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inmutable capa* de eplicar todos losfenmenos naturales& $a comprensin y el dominio de la -aturale*a al alcance del ser humano& Aristteles situará la .ierra en el centro del )niverso y el frente de batalla

entre el orden y el caos en la esfera de larbita lunar& 'or encima de ella el mundoceleste, perfecto inmutable y perpetuo, el reino del orden&

'or deba/o el mundo terrestre, constituido por los cuatro elementos .ierra, Agua, Aire y "uego intercambiándose entre sí0 un mundo imperfecto,cambiante e impredecible& El reino del caos& 'ero algo viene a romper esaarmonía perfecta del mundo ideal por encima de la $una& $os planetasconocidos describen rbitas erráticas sobre el fondo de estrellas fi/as& (ehecho el t!rmino planeta significa 1errático1 o via/ero& A veces, incluso parecenretroceder en sus rbitas&

2+mo enca/ar estos hechos con un modelo geom!trico ideal3 Aristtelesrecurre a un modelo físico basado en esferas de !ter en las que se mueven los planetas& Estas esferas se van acelerando y frenando unas con otras& El comple/o mecanismo necesitaría de 45 esferas distintas para poder eplicar losmovimientos aparentes de los planetas&”

Pto$oo+ C0rcu$os , &'s c0rcu$os

Por des#racia para la !iencia es%e (odeloG basado en la esfera ) el c-rculoG

per(anecer, in%ocable duran%e dos (il aos$Los (a%e(,%icos ) as%róno(os %endr,n ue crear au%Kn%icas fili#ranas(a%e(,%icas para hacer encaFar las observaciones del (ovi(ien%o de losas%ros con el (odelo aris%o%Klico$

J al fren%e de es%a %area (onu(en%al se coloca !laudio P%olo(eo en el si#lo IId$ de !$ Su obra S-n%esis +a%e(,%ica pasar, a la his%oria con el no(bre de la%raducción ,rabe0 EL Al(a#es%oG ue si#nifica el (u) #rande$

Para e"plicar el (ovi(ien%o de los plane%as respe%ando la idea de ue sólo sepueden (over en órbi%as circulares P%olo(eo va a inven%ar un in#enioso(odelo #eo(K%rico0 loe epiciclos ) los deferen%es$

A cada plane%aG incluidos el Sol ) la LunaG les asi#na un c-rculo i(a#inariolla(ado deferen%e$ La &ierra es%, en in%erior de es%e c-rculoG aunue nonecesaria(en%e en el cen%ro$ El plane%a #irar, en un nuevo c-rculo lla(adoepiciclo cu)o cen%ro ser, un pun%o del c-rculo deferen%e$ A (overse el cen%ro delepiciclo a lo lar#o de la deferen%eG al plane%a se acerca o se aleFa de la &ierra lo

ue e"plicaba a la perfección los ca(bios de brillo de un (is(o plane%aobservados en dis%in%os (o(en%os del ao$ P%olo(eo pensaba ue en realidad


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los plane%as no se (ov-an as-G pero su (odelo #eo(K%rico e"plicaba a laperfección lo ue cualuier as%róno(o ve-a en el cielo$

Los as%róno(os ue vinieron %ras Kl %o(aron su (odelo co(o un do#(a )aplicaron penosos c,lculos (a%e(,%icos para reali.ar %ablas ue prediFesen laposición de %odos los plane%as conocidos$ *no de las (,s co(ple%as fueron lasdel re) cas%ellano Alfonso Q el sabio$ Las fa(osas %ablas alfons-es$ Suelaboración era %an co(pleFa ue le hicieron e"cla(ar al sensa%o re) Alfonso016i el 6e7or .odopoderoso me hubiera consultado antes de embarcarse en la+reacin, le habría recomendado algo más simple1&

Aunue ho) nos pare.ca in#enuo el (odelo #eo(K%rico de P%olo(eoG desde unpun%o de vis%a e"clusiva(en%e (a%e(,%ico resul%a de una riue.a incre-ble$ Laidea de hacer rodar c-rculos sobre c-rculosG nos abre las puer%as a unsu#eren%e (undo de curvas (ec,nicas #eneradas (edian%e el (ovi(ien%o

unifor(e ) ue nos in%roduce en un para-so de curvas$ As%roidesG cardiodes$$$ )has%a elipses$ S-G aunue pare.ca incre-ble los epiciclos ) deferen%es deP%olo(eo pueden #enerar órbi%as el-p%icas$

La herencia aris%o%Klicop%ole(aica ha lle#ado aunue con cier%as(odificaciones i(pues%as por la %enacidad de los hechos en la his%oriaG has%anues%ras aulas ac%uales de (a%e(,%icasG sobre %odo en secundariaG donde unes%udian%e puede acabar el bachillera%o sin conocer (,s curvas ue losc-rculos ) las cónicas$


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Astroide& Animacin generada con +abri8eb

E$ R#naci&i#nto

El (odelo (a%e(,%ico de P%olo(eo es de(asiado co(pleFo ) poco %il a lahora de hacer predicciones a lar#o pla.o$ !opKrnico pone en (archa un nuevo(odelo (a%e(,%ico ue (eFora las predicciones ) sobre %odo ue es (,s

sencillo a la hora de calcular$ !oloca al sol en el cen%ro del sis%e(a ) hace #irar a %odos los plane%as a su alrededor$ No abandona las órbi%as circulares ni losepiciclosG pero sie(bra el #er(en de un ca(bio de paradi#(a cien%-fico uelle#ar, a la cu(bre con 'alileo0 la e"peri(en%ación ) la observación de larealidad co(o cri%erio de validación de la %eor-a cien%-fica$

A finales del si#lo QVIG un Foven %oscano va a hacer %e(blar los principios de lain%erpre%ación del universo f-sicoG %an%o por debaFo co(o por enci(a de lafron%era de la esfera lunar0 'alileo 'alilei$

En el (undo %erres%reG in%en%ando descubrir las le)es ue ri#en el (ovi(ien%ode los cuerpos$ En una Kpoca en ue las dispu%as pol-%icas se arre#laban cone"cesiva frecuencia a caona.osG nadie se hab-a parado a inves%i#ar cu,l erala %ra)ec%oria real de un pro)ec%il$ 'alileo descubrir, ue cualuier bala decaón describe un arco de par,bola an%es de i(pac%ar en el blanco$ Pero%a(biKn descubrir, ue %odos los cuerpos caen al suelo con la (is(aaceleración$

'alileo ser, el fundador de una nueva cienciaG la cine(,%ica e in%en%ar, e"plicar %odos los (ovi(ien%os (edian%e le)es (a%e(,%icas$ Los eFKrci%os del orden


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(a%e(,%ico si%an el fren%e de ba%alla con%ra el caos en la (is(a superficie%erres%re$

Pero un e"%rao ins%ru(en%o inven%ado por los holandeses va a hacer

%a(balear %oda la doc%rina oficial de la I#lesia basada en las ideas aris%o%Klicas0el %elescopio$ 'racias a KlG 'alileo va a des%ro.ar una visión del universo uehab-a prevalecido (,s de dos (il aos


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e"peri(en%ación en el (o%or funda(en%al de la ciencia$ La I#lesia le condenóGpero la .ierra se mueve$$$$

1#)$#r2 M#n#c&o2 A)o$onio+ E$ &un%o %# $as c.nicas

epler cons%ruir, %oda su %eor-a ) descubrir, las le)es del (ovi(ien%o de losplane%as bas,ndose en las precisas observaciones de &)cho Brahe$ La ba%allade +ar%eG la lucha de los c,lculos de epler con%ra las observaciones de &)chova a suponer la derro%a del c-rculo aris%o%Klico ) la vic%oria de las cónicas de+enec(o ) Apolonio$ La pri(era de sus fa(osas le)es va a %raer a la elipse alpri(er plano de la ciencia0

(rimera !ey $os planetas describen rbitas elípticas en uno de cuyos focosestá el 6ol&

Repasando las e"cen%ricidades de las órbi%as de los plane%as del sis%e(a solar nos si#ue pareciendo un (ila#ro ue epler saliese %riunfador de es%a ba%alla$La e"cen%ricidad de la órbi%a de +ar%eG la (a)orG %ras la de +ercurioG de losplane%as conocidos en la KpocaG no lle#a a una dKci(a$ Ni el oFo del pin%or (,se"per%o dis%in#uir-a una elipse con esa e"cen%ricidad de una circunferencia$Pero epler era sobre %odo %ena. ) (e%iculoso$

erc en err ar p a u ran ep u=G?= =G== =G=9 =G= =G=> =G=: =G=> =G== =G?:

Las cónicasG esas a%rac%ivas curvas (a%e(,%icas es%udiadas por +enec(o ) Apolonio hace %an%os si#los van a cons%i%uir una i(prescindible herra(ien%a(a%e(,%ica para e"plicar el (ecanis(o celes%e$ La eficacia de las (a%e(,%icasen el pri(ero de los (o(en%os es%elares de la his%oria$

Los albores de es%as curvas en%roncan direc%a(en%e con los dioses #rie#osG al

(enos con Apolo$ Se#n la his%oriaG aunue un poco adornada de le)endaG una(or%-fera pes%e asoló A%enas all, por el ao >6= a$ de !$ Incluso Pericles perdióla vida$ Los a%enienses se diri#ieron al or,culo de Delos para pre#un%ar uK%en-an ue hacer para acabar con la (aldición ue a(ena.aba con acabar conla ciudad$ El or,culo les diFo ue para con%en%ar a los dioses %en-an ue duplicar el al%ar de ApoloG ue %en-a for(a cbica$ Nace as-G en%re la his%oria ) lale)endaG uno de los %res proble(as cl,sicos0 la duplicación del cubo$

+enec(o es uno de los (uchos ue van a in%en%ar resolver el proble(a0 dado

un cubo de aris%a aG encon%rar aris%a de o%ro cu)o volu(en sea el doble$


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El pri(ero en abordar la cues%ión fue Hipócra%es de u-osG uien reduFo elproble(a al de in%ercalar dos (edias #eo(K%ricas o proporcionales en%re la(a#ni%ud ue represen%a la aris%a del cubo pri(i%ivo ) la correspondien%e aldoble de la (is(a$

+enec(o se dio cuen%a de ue #eo(K%rica(en%eG el proble(a consis%e enencon%rar el pun%o de cor%e de dos cónicasG de dos par,bolasG co(o en el casode arribaG o de una par,bola ) una hipKrbola$

ULas cónicas hacen su pri(era aparición en la his%oria$$$para resolver elproble(a de la duplicación del cubo Por des#racia para +enec(oG encon%rar elpun%o de cor%e de esas dos cónicas es un proble(a ue no se puede resolver con re#la ) co(p,sG co(o de(os%ró en 9


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#los puntos de interseccin de los pares de lados opuestos de unheágono inscrito en una cnica están en línea recta”

El c,lculo diferencial per(i%ió a Ne2%on a%acar el es%udio ) la clasificación deo%ras curvas de #rado (a)or ue dos$ En su Enumeratio linearum tertti ordinisde 9;@; nos describe has%a @? curvas de %ercer #radoG aunue al#una se leescapó$


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Ar(u0%#s2 B#rnou$$i+ E$ &un%o &'3ico %# $as #s)ira$#s

1$a espiral es un círculo espirituali*ado& En la forma espiral, el círculo,

desenrollado, devanado, ha de/ado de ser vicioso&&& $a vuelta sigue a la vuelta,y toda síntesis es la tesis de la nueva serie&&&1

)ladimir*abo+ov

Nin#una curva ha fascinado %an%o alser hu(anoG desde los %ie(pos(,s re(o%osG co(o la espiral$ Supresencia en los obFe%os vivosG

%an%o ani(ales co(o ve#e%alesG%uvo ue lla(ar la a%ención denues%ros an%epasados desde losalbores de la hu(anidad$

No e"is%e nin#una cul%ura ue no laha)a u%ili.ado co(o ele(en%osi(bólicoG (,#ico o si(ple(en%eorna(en%al$ La espiral ha

aco(paado al ser hu(ano en%odo %ie(po ) en %odo lu#ar$$$ salvoen las clases de (a%e(,%icas desecundaria ) de universidad$

An%e las innu(erables(anifes%aciones na%urales de lasespiralesG %an%o de car,c%er

or#,nico co(o (ec,nicoG es%as curvas no pod-an deFar de lla(ar la a%ención de

los (a%e(,%icos ) ser obFe%o de su inves%i#ación$ Sin e(bar#oG co(o su propiafor(a su#iere son curvas esuivas$ No son curvas #eo(K%ricas es%,%icas co(ola circunferenciaG las cónicas o las lnulas$ Para cons%ruirlas se necesi%anrecursos (ec,nicosG al#o ue crece o ue se (ueve$

Ar(u0%#s+ La #s)ira$ uni/or 9 8a$ θ


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Sin dudaG al (enos desde un pun%o de vis%a (a%e(,%icoG la espiral (,s si(plees auella en ue el radio var-a de for(a proporcional al ,n#ulo #irado$ J a es%aes a la ue dedicó su a%ención Aru-(edesG a la espiral unifor(eG ue desde

en%onces lleva su no(bre$ La espiral arui(ediana$

De Aru-(edes se conocen dos libros sobre la #eo(e%r-a planaG uno dedicadoa la circunferenciaG (e la medida del círculoG donde nos proporciona el sal%o a lafa(a del n(ero π ) una de sus apro"i(aciones (,s usadas has%a nues%rosd-as ) o%ro dedicado a la espiral unifor(eG (e las espirales$ *n libroco(plicado ) de lec%ura dif-cilG donde Aru-(edes hace un profundo es%udioe"haus%ivo de la espiral unifor(e$

punto que se mueve a lo largo de la línea con velocidad lineal constante: ese

punto describirá una espiral1 El in%erKs del sabio de Siracusa por es%a curva es%aba (o%ivado por unproble(a (u) aleFado del (undo de las curvas0 la %risección del ,n#ulo$ Aru-(edesG #racias a la espiral unifor(eG descubrió un (K%odo para dividir un,n#ulo en %res par%es i#ualesG ) en #eneral en n par%es i#uales$

Bas%a hacer coincidir el vKr%ice del,n#ulo con el ori#en de la espiralGdividir el se#(en%o ue va desde el

ori#en al pun%o de cor%e de la espiralcon el se#undo lado del ,n#ulo en%res par%es i#uales ) %ra.ar por esospun%os arcos de circunferencia has%aue cor%en a la espiral$

Si uni(os el ori#en con esos pun%osde cor%e %endre(os los %res ,n#ulosue dividen al ori#inal en %res par%es

i#uales$

Por des#racia para las (a%e(,%icas laespiral unifor(e no se puede dibuFar con re#la ) co(p,s$

6obre las espirales es una obracar#ada de sorpresasG ue colocan a Aru-(edes en la ci(a de la his%oria delas (a%e(,%icas$ En ella de(ues%ra propiedades de las ,reas de las diferen%esespirasG %an sorprenden%esG pensando ue fal%an casi dos (il aos para ue se

inven%e el !,lculo diferencialG co(o es%as01El área barrida por el radio de la espiral en su primera revolucin es la tercera parte del área del círculo cuyo radio es el radio final de esta revolucin&&&”


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11

1El área barrida por el radio en la segunda vuelta es 5 veces el área de la primera vuelta1&

1El área barrida en la segunda revolucin está en ra*n ; con el círculo

cuyo radio es la posicin final del radio vector1

Decidida(en%eG Aru-(edes era un #enioG uno de los %res #randes de las+a%e(,%icas de %odos los %ie(pos ) sin e(bar#o nues%ros Fóvenes sólo lerecordar,n al acabar sus aos escolares co(o el sabio de la baeraG el deUEure3aG oG a lo su(oG co(o el descubridor de las le)es de la palanca$$$InFus%icias de los planes de es%udio de (a%e(,%icas$

La cua%ratri- %# Din.strato

?


23/59

r= 2. t

π .sin t Aunue he(os dicho ue Aru-(edes es el pri(ero ue define con

precisión una curva (ec,nicaG basada en el (ovi(ien%o de un pun%oG es%o no esdel %odo cier%o$ Ni %a(poco fue el pri(ero en u%ili.ar curvas e"%raas pararesolver uno de los %res proble(as cl,sicos$ En a(bos casos se le adelan%arondos co(pa%rio%asG Hipias de Elis ) sobre %odoG all, por el ao 6= a$ de !$G unher(ano de +enec(oG el padre de las cónicasG lla(ado Dinós%ra%oG ueinven%aron una e"%raa curva #enerada por el (ovi(ien%o unifor(e de dosrec%asG ) ue %a(biKn serv-a para %risecar el ,n#ulo$ Desde en%onces se laconoce co(o cuadra%i. o %risec%ri. de Dinós%ra%o$

La curva se ob%iene (edian%e los pun%os de in%ersección de dos rec%as en(ovi(ien%oG AB ) B'$ La pri(era ABG #ira con velocidad an#ular unifor(e

sobre el pun%o A has%a lle#ar a ADG la se#unda B' se despla.ahori.on%al(en%eG %a(biKn con velocidad unifor(eG ) de %al (anera ue lle#a a AD al (is(o %ie(po ue la rec%a AB$ Los pun%os de in%ersección de a(basdibuFan una curva BZZ[Z[[H ue es la %risec%ri.$

Para %risecar el ,n#ulo & bas%a (arcar el pun%o Z de cor%e del lado del ,n#ulocon la curva ) %ra.ar una paralela al o%ro lado AD del ,n#ulo para encon%rar elpun%o P$ Si dividi(os el se#(en%o AP en %res par%es i#uales (edian%e los pun%os


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P[) P[[G los pun%os de cor%e de las paralelas a AD por dichos pun%os de%er(inanen la curva los pun%os Z[ ) Z[[$ Las rec%as ue se ob%ienen al unirlos con Adividen al ,n#ulo en %res par%es i#uales$Por des#raciaG al i#ual ue ocurre con la espiral de Aru-(edes es%a curva no sepuede %ra.ar u%ili.ando sólo re#la ) co(p,s$


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\Por uK el Nau%ilus %iene es%a e"%raa ) ele#an%efor(a]

El ori#en del es%udio de es%a espiral %iene ue ver con la nave#ación$ A lo lar#o de los si#los QVI )QVII (iles de barcos surcan los ocKanos$ Losnave#an%es sab-an ue sobre la superficie%erres%re la dis%ancia (,s cor%a en%re dos pun%oses un arco de c-rculo (,"i(o$ Pero para se#uir un ru(bo ue encaFe con es%e arco esnecesario reali.ar

con%inuos ca(bios de ru(bo$ Por ello sus%i%u-an es%e ru(bo óp%i(o por o%ro enel ,n#ulo ue for(aba la %ra)ec%oria del barco con %odos los (eridianos uea%ravesaba se (an%en-a cons%an%e$ El ru(bo se (an%en-a cons%an%e$ Losru(bos de es%e %ipo dibuFan en la esfera %erres%re una curva lla(adalo"odró(ica$ Pero los nave#an%es no %rabaFaban sobre una esferaG sus (apaseran planosG pro)ecciones de la esfera$ Pues bien la pro)ección de la esferasobre un plano convier%e a la lo"odró(ica en una$$$ #s)ira$ #(uian3u$ar+

El pri(ero en describirla co(o una curva

(ec,nicaG en con%raposición a las curvasal#ebraicasG es Descar%es uiKn en 9;6<escribe al padre +ersenne los resul%adosde sus inves%i#aciones$ Descar%es es%ababuscando una curva crecien%e con unapropiedad si(ilar a la de lacircunferenciaG ue la %an#en%e en cadapun%o for(e con el radio vec%or en cadapun%o sie(pre el (is(o ,n#ulo$ De ah-

el no(bre de euian#ular$ &a(biKnde(os%ró ue es%a condición eseuivalen%e al hecho de ue los ,n#ulosalrededor del polo son proporcionales al

lo#ari%(o del radio vec%or$ De ah- su se#undo no(bre0 espiral lo#ar-%(ica$

La separación de las espiras au(en%a al crecer el ,n#uloG es decirG el radiovec%or crece de for(a e"ponencial respec%o del ,n#ulo de #iro$ Por eso recibeun %ercer no(breG espiral #eo(K%rica$


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El padre de es%a espiralG con %oda Fus%iciaG es Tacob BernoulliG uienreali.a un profundo es%udio de la

La espiral lo#ar-%(ica es sin duda la espiralue (,s se prodi#a en la na%urale.a$ El reinoani(al nos proporciona unos eFe(plospreciosos en las conchas de los caracoles )los (oluscos$ De%r,s de %odas es%as for(asha) un fenó(eno na%ural0 un proceso deenrolla(ien%o vinculado al proceso decreci(ien%o$ De hecho la concha de uncaracol no es ni (,s ni (enos ue un conoenrollado sobre s- (is(o$

El cuerno de un ru(ian%e %a(biKnG aunueade(,s es%, re%orcido$ J aunue las le)esf-sicas del creci(ien%o de

especies %an dispares no son las (is(asG las le)es (a%e(,%icas ue lo ri#en s-0%odas es%,n basadas en la espiral #eo(K%ricaG la curva de si(ili%ud con%inua$ Sinos fiFa(os bien el creci(ien%o de las conchas ) de los cuernos%iene o%ra curiosa propiedad se

produce sólo por un e"%re(o$ J es%apropiedad de creci(ien%o %er(inalconservando la fi#ura co(ple%a ese"clusivaG den%ro de las curvas(a%e(,%icasG de la espiral euian#ular o lo#ar-%(ica$

Las #ala"iasG las borrascas )huracanes nos brindan (ues%ras

espec%aculares de espiraleslo#ar-%(icas$ Al fin ) al cabo encualuier fenó(eno na%ural dondeha)a una co(binación de e"pansióno con%racción ) ro%ación aparecer, por fuer.a es%a espiral$

En el (undo ve#e%al los eFe(plos son si caben

(,s lla(a%ivos )a ue en%re las plan%as aparecenun sinf-n de espirales ) no precisa(en%e de unaen una$ La dis%ribución de las pipas en cualuier#irasolG las esca(as de cualuier piaG no


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i(por%a de uK variedadG una si(ple (ar#ari%a$$$nos ofrecen una au%Kn%ico desfile de espiralesen%rela.adas$

En cualuier pia de los pinosG si la observa(osdesde arribaG descubrire(os ue los piones sedis%ribu)en for(ando un buen n(ero deespirales$ J no precisa(en%e de for(a alea%oria$No es nin#una casualidad$ Los piones han dedis%ribuirse de for(a óp%i(aG es decirG

aprovechando el espacio al (,"i(o ) esaop%i(i.ación del espacio se consi#ue (edian%euna dis%ribución en espiral$


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La concoi%# %# Nico%#s

ρ= acos θ

+b

El no(bre de concoide se debe a su parecido con las conchas ue %an%oabundaban en las pla)as #rie#as$ Aunue su creador es Nico(edesG un#eó(e%ra #rie#o ?


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AleF,ndonos de las espiralesG e"is%e una fa(ilia de curvasG inves%i#ada en elsi#lo QVIII por Abbo% 'uido 'randiG ue parece haber nacido para iden%ificarsecon al#unas de las flores (,s habi%uales en el ca(po o en las floris%er-as$ Se%ra%a de la concoi%# %# ros#t.n2 %a(biKn conocida co(o )4ta$o 3#o&4trico$

Para inves%i#arla u%ili.are(os una herra(ien%a infor(,%ica apropiada0 unpro#ra(a infor(,%ico ue va)a (,s all, de las curvas en coordenadascar%esianas ) per(i%a %rabaFar direc%a(en%e en coordenadas polares )para(K%ricasG por eFe(plo 2inplo%G sof%2are desarrollado por el profesor Richard Parris de la *niversidad de E"e%erG ue se puede ob%ener de for(a#ra%ui%a en es%a dirección0 h%%p011(a%h$e"e%er$edu1rparris

Ideas para encon%rar su ecuación$ Necesi%a(os0

una for(a ue ro%a ) se repi%e periódica(en%e$$$

una curva ue se aleFa ) se acerca al cen%ro$$$

Solución0 UUfunciones %ri#ono(K%ricas ) coordenadas polares

Para in%erpre%ar el creci(ien%o de hoFas ) flores las coordenadas rec%an#ulareso car%esianas no son las (,s apropiadasG (,s bien son co(ple%a(en%einapropiadas$ Recurrire(os a las coordenadas polaresG o%ro re#alo a la his%oriadel #enial EulerG en las ue las dos variables son el ,n#ulo #irado respec%o a lahori.on%al ) la dis%ancia al ori#en$

Es%as coordenadas son especial(en%e aplicables a %odos auellos casos enue den%ro de la fi#ura e"is%e al#n pun%o invarian%eG es decirG al#n pun%o ueno sufre nin#una defor(ación al crecer$ En el caso de las plan%as suele ser la

http://math.exeter.edu/rparrishttp://math.exeter.edu/rparris


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base de la hoFaG el XnodoY alrededor del cual se desarrolla %oda la hoFa o elcen%ro de si(e%r-a circular en el caso de las flores$

En es%as coordenadasG %odas las concoides de rose%ón o de ros,ceasG co(o

dicen los francesesG %ienen es%a ecuación #eneral

Ob%enerG a par%ir de es%a escasa infor(aciónG for(as apro"i(adas a las silue%asde al#unas de las flores (,s populares no va a ser (u) co(plicado$


31/59

Si lo uere(os con un c-rculo cen%ralG al#o por o%ra par%e (u) frecuen%e en lana%urale.aG bas%a con %o(ar el valor absolu%o del coseno$


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Otras curvas con historia

El naci(ien%o ) pos%erior desarrollo del c,lculo diferencial brindó a los(a%e(,%icos del si#lo QVIII una po%en%e herra(ien%a para (irar con o%ros oFos

curvas ue la na%urale.a hab-a pues%o an%e nues%ros oFos ) cu)o (is%erio seescapaba en%re los dedos$ Los (K%odos desarrollados en el si#lo an%eriorGfunda(en%al(en%e por Descar%es ) 4er(a%G per(i%-an el es%udio de las curvasal#ebraicasG es%o es auellas donde la relación en%re las variables e y se daba(edian%e un polino(io$ Descar%es eli(ina de su ?eometría %oda consideraciónal#ebraica de las curvas no al#ebraicasG ue deno(inó mecánicas$ Pero el(is(o Descar%es consideró i(por%an%e desarrollar %Kcnicas no al#ebraicaspara el es%udio de las curvas (ec,nicas$ De es%a (anera se i(pon-a lanecesidad de poseer una for(a (,s #eneral de es%udiar las curvasG cualuiera

ue fuese su clasificación$

La car%io%#

ρ=a+acosθ Su ecuación no deFa deser un

caso (u) especial de la concoide de

rose%ón en el caso en ue a@b ) n@=

Aunue en apariencia poco parecida conlas rosasG e"is%e o%ra curva ue ve(os%odos los d-as en nues%ros vasos cuandonos %o(a(os el cafK o la leche baFo unal,(para en cualuier cafe%er-a$ Se %ra%a dela cardiodeG esa curva ue se for(a en elvaso o la %a.a al refleFarse la lu. de la

l,(para del %echoG una curva con for(a decora.ón$

El no(bre se lo debe(os a 4rancesco de!as%illon ue la deno(inó de es%a for(a enun %rabaFo %i%ulado (e curva cardiode en9@>9G aunue previa(en%e )a hab-a sidoes%udiada an%es por as%róno(os )(a%e(,%icos$


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Es %a(biKn una epicicloide ) se puedeob%ener al hacer #irar un c-rculo sobre o%rodel (is(o radio con velocidad unifor(e

!o(o cas%ica del c-rculo )a fue es%udiadapor Leonardo Da Vinci en su códi#o ArundelGfechado en%re 9:9= ) 9:9:G en un in%en%o dee(ular a Aru-(edes en la cons%rucción deespeFos us%orios$


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20

Ga$i$#o , $a cic$oi%#

En%re las curvas (ec,nicas ue (,s a%raFeron la a%ención de los (a%e(,%icosse encuen%ra la cicloideG ue fue in%roducida con el fin de cuadrar el c-rculo(edian%e el uso de la in%e#ración$

'alileo fue uno de los pri(eros en es%udiar las propiedades de es%a curvaG a laue dice haber dedicado (,s de cuaren%a aos$ Se plan%eó el proble(a deco(parar el ,rea baFo un arco de cicloide con el ,rea del c-rculo ue la #enera$!o(o no consi#uió resolver el proble(a (edian%e (K%odos (a%e(,%icosGrecurrió a recor%ar ) pesar pie.as de (e%al con la for(a de la cicloide$ De es%a(anera encon%ró ue la relación en%re el ,rea baFo un arco de cicloide ) la delc-rculo ue la #enera es apro"i(ada(en%e de 6 a 9G pero decidió ue no deb-aser e"ac%a(en%e 6G )a ue in%u-a errónea(en%eC ue deb-a ser no racional$

!o(o vere(os (,s adelan%e la cicloide es una au%Kn%ica caFa de sorpresas$

E$ r#to %# 5aco* B#rnou$$i+ La cat#naria

En 9;=G Tacob Bernoulli publicó un ar%-culo en las Acta Eruditorum de Leibni.en el ue se u%ili.a por pri(era ve. el %Kr(ino In%e#ral$ Al final del ar%-culo )para de(os%rar la po%encia del nuevo c,lculo Tacob lan.a un re%o a laco(unidad (a%e(,%ica de la Kpoca$ Descubrir la ecuación de la curva ue sefor(a al suspender de dos pun%os una cuerda de peso unifor(e0 la ca%enaria$

'alileo )a hab-a abordado el proble(a co(e%iendo de nuevo un errorG al

concluir ue se %ra%aba de una arco de par,bola$ Hu)#ens de(os%rar-a (,s%arde ue no se %ra%aba de una par,bola pero no pudo decidir de uK curva se%ra%aba$ Precisa(en%e el no(bre de ca%enaria se debe a Hu)#ens


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21

Lan.ado el re%oG Tacob ob%uvo %res respues%as0 de Hu)#ensG de Leibni. ) de suher(ano Tohann$

Taut.crona , Bra(uist.crona+ E$ %#sa/0o %# 5ohann B#rnou$$i

La bsueda del (eFor de los pKndulos posibles para la cons%rucción de

reloFes precisos hab-a pues%o de (oda a principios del si#lo QVIII las curvasrelacionadas con los %ie(pos de ca-da de cuerpos si#uiendo %ra)ec%orias concondiciones de%er(inadas$ As- se es%udia la %au%ócronaG curva cu)o perfil


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22

hace ue un cuerpo %arde desde cualuier pun%o el (is(o %ie(po en lle#ar alpun%o (,s baFo$

Pero sin duda la curva es%rella ser, la brauis%ócronaG la curva ue une dospun%os A ) B de %al for(a ue un cuerpo ue cae por ella %arda el (-ni(o%ie(po posible$ Tohann Bernoulli propuso el proble(a de la brauis%ócronaen Funio de 9;; ) re%ó a la co(unidad (a%e(,%ica a resolverlo an%es del findel aoG aadiendo con sarcas(o ue Xla curva era una bien conocida de los(a%e(,%icosY$

En la ac%ualidad es la curva ue se u%ili.a en los %obo#anes de pa%inaFe paraconse#uir lle#ar abaFo en el (enor %ie(po$

El ao si#uien%e aparecieron en %o%al cinco soluciones0 ade(,s de TohannBernoulliG resolvieron el proble(a Leibni.G Tacob BernoulliG L_H`pi%al ) unau%or in#lKs anóni(o$ Tohann no %uvo


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dificul%ad en reconocer ue el au%or era Isaac Ne2%on ) lo e"presó con una frasehis%órica0 #'or las garras se conoce al len”&

La ecuación diferencial no era nada ele(en%al

Pero Tohann lo hab-a avisado la lan.ar su re%o$ Era una curva (u) conocidapor los (a%e(,%icosG efec%iva(en%e se %ra%a de un arco de cicloideG una curvaconocida desde hac-a (,s de un si#lo$

E$ )asa%o r#ci#nt#2 #$ /uturo in%iato+ Fracta$#s , Caos

&odo parece indicar ue el es%udio de las curvas de la Na%urale.a es cosa delpasado$ Sin e(bar#o hace unos (eses el f-sico(a%e(,%ico An%onio Brsorprendió a la clase (Kdica ) a los propios (a%e(,%icos con undescubri(ien%o ue le (ereció las pri(eras p,#inas de la prensa nacional0 sueuipo hab-a descubier%o un %ra%a(ien%o efica. para de%er(inados casos dec,ncer de h-#ado par%iendo del es%udio del perfil del %u(or$ Es decirG es%udiando

(edian%e ecuaciones su silue%a$ La fron%era era una curva frac%al$

En 9;= Ed2ard Loren%. desarrolló un (odelo (a%e(,%ico para reali.ar previsiones del %ie(po$ Es%e (odelo era bas%an%e si(ple ) con%e(plaba sólo%res variables ue ri#en el (ovi(ien%o de convecciónG relacionadas en%re s-(edian%e %res ecuaciones diferenciales ho) (u) populares$

Loren%. puso a %rabaFar su ordenadorG cada (inu%o si(ulaba el paso de un d-a$!on sorpresa co(probó ue una diferencia de (enos de una (ilKsi(a en una

de las variablesG al cabo de pocos (inu%os unos d-as si(uladosC produc-a unes%ado cli(,%ico %o%al(en%e dis%in%o$Hab-a descubier%o la se#unda #ran carac%er-s%ica de los fenó(enos caó%icos0*na peuea variación de las condiciones iniciales produce #randes ca(biosen el sis%e(a a lo lar#o del %ie(po$ Es lo ue se conoce co(o efec%o (ariposa$El ba%ir de las alas de una (ariposa en una selva africana puede producir den%ro de unos (eses un hurac,n en el Pac-fico$La pri(era carac%er-s%ica del caos es por supues%o ue el sis%e(a esi(predecible a lar#o pla.o$ Pero incluso en los fenó(enos caó%icos aparecencier%as re#ularidadesG un cier%o orden$


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Es%aba naciendo la &eor-a del !aos$ J ense#uida una (a%e(,%ica capa. debuscar el orden den%ro del caos0 la #eo(e%r-a frac%alG las (a%e(,%icas de lascurvas frac%ales$ Incluso en auellas re#iones de la na%urale.a leFos de lascó(odas re#ularidades de las ecuaciones diferenciales las (a%e(,%icas serevelan co(o la herra(ien%a i(prescindible para in%erpre%ar la na%urale.a$ J por supues%o si#uen (anifes%ando de (anera ro%unda su incre-ble eficacia$

Es%aban naciendo o%ras curvas ue %an%o nos han sorprendido por su e"%raa ei(pac%an%e apariencia ) ueG #racias a su %ra%a(ien%o infor(,%icoG hacen ue+a%e(,%icas ) Ar%e se den la (ano o%ra ve. ) de una for(a sorprenden%e$

O%ra ve. +a%e(,%icas ) belle.a viaFando Fun%as por la his%oria pues co(o diFoHard)0

$a belle*a es la piedra de toque0 en el mundo no hay un lugar permanente paraunas matemáticas desagradables desde el punto de vista est!tico


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¿A que se debe las ecuacioes !a"a#$%"icas&

T!"!#$% &"' #'()*$%' +&! ,)!"! -' ,('.!/,$()' %)&)!",! . +&!(!#$% !)")( -' ,('.!/,$()'

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41/59

! -'% !/&'/)$"!% *'('#,()/'% E - *'( $(#'$ *$( -'% !/&'/)$"!% *'('#,()/'% . %&

(')/$ (!/)! !- "$#(! ! /&(' *-'"' . %! !"$,' *$( C

E0e#!lo 12

G(')/'( -' /&(' !%/(),' *$( -'% !/&'/)$"!% *'('#,()/'%:

x=t 2

+2 t , y=t +2, t ∈[−3,2] Solución : Tabulamos :% 3 2 1 0 1 2

' 3 0 1 0 3 8

( 1 0 1 2 3 4

t

(¿¿ 2+2, t +2 t )/ t ∈[−3,2]}C ={¿

NOTA2 O/&((! /$" (!/&!"/)' +&!&"' /&(' !" !-*-'"$ *&!! ,!"!( )%,)",'%

*'('#!,()'/)$"!%

P$( !!#*-$ !- /$"&",$ ! !/&'/)$"!% *'('#!,()/'%

x=t 2−4 t +3, y=t −1, t ∈[0,5]% 0 1 2 3 4 5

' 3 0 1 0 3 8


42/59

( 1 0 1 2 3 4

T!"(? -' #)%#' (')/' +&! !- !!#*-$ 1

3 ELIMNACION DEL PARAMETRO 4 RESTRICCION DEL DOMINIO

!#$% )%,$ +&! ''% -'% !/&'/)$"!% *'(' #,()/'% ! &"' /&(' C '- ,(''( %& (')/'

&%'#$% !- #,$$ %)#*-! !- )&$ *&",$ ' *&",$

E%,! *($/!%$ -'$()$%$ *&!! %)#*-))/'(%! ' !/!% >'--'"$ &"' !/&'/)" (!/,'"&-'( !

-' $(#' E)', (+*5 E" ,$$% -$% /'%$% !% "!/!%'()$ (!%,()")( !- $#)")$ ! -' !/&'/)"

(!/,'"&-'( !$(#' +&! %& (')/' %!' )&'- ' -' (?)/' ! -'% !/&'/)$"!% *'('#,()/'%

E0e#!lo 62

E-)#)"! !- *'(?#!,($ *'(' (')/'( -' /&(' *'('#,()/'

1,+∞>¿ x−1=√ t −1 , y=5−t , t ∈¿

S$-&/)":

D!%*!'"$ ;,<

t =5− y x−1=√ 5− y−1 ( x−1 )2=−( y−4 )

E0e#!lo 72G(')/'( -' /&(' (!*(!%!",''

x=2+3cos t , y=4sin t −1, t ∈ [0,2 π ] S$-&/)":D!%*!'"$ ;,


43/59

cos t = x−23

, sin t = y+14

E-!'"$ '- /&'('$ . %'"$

sin t 2+cos t 2=1→

( x−2 )2

32 +

( y+1 )2

42 =1

3 PARAMETRI8ACION DE ECUACIONES

E0e#!lo 92

'--'( &" /$"&",$ ! !/&'/)$"!% *'('#,()/'% *'(' (!*(!%!",'( -' (?)/' !

y=4 x2−8 x+1 &%'"$ -$% *'(?#!,($% %)&)!",!%:

' , -' *!")!",! # .H !" !- *&",$ @ .

S$-&/)":

' , y=4 t 2−8 t +1

# . 8 8

#8@ 1

x=m

8 +1

y=(2 x )2

−2.2.2 x+4−4+1 y=( 2 x−2)2

−3 y=22

(m

8 +1−1)2

−3 y=m

8 +1

∴ x=m

8 +1, y=

m

8 +1


44/59

E0e#!lo :2

P'('#!,()'( -' %)&)!",! !/&'/)" (!/,'"&-'(

x2+ y2=4 Solución : Si x=t y=

{

√ 4−t 2

−√ 4−t 2)No es ;-lido es%a

!a"a#e%"i


45/59

dy

dx=

dy

dt

dx

dt

= g ´ (t )

f ´ ( t ) , f ´ ( t )=0

D!#$%,('/)":

T!"('#$% +&! !#*!'( %')!"$ +&)!" !% -' '()'/)" !" Δ y . !" Δ x $"!

y=g ´ (t ) x=f ´ (t )

L' )!' !%:

E%,! /'#)$ !" ;,< *($$/' +&! '--'#$% ! &" *&",$ ' $,($

Δ y= y (t + t )− y (t ) Δ x= x (t + t )− x (t )

!ntonc"s #od"mos d"finir la d"ri$ada o la #"ndi"nt" d" la r"ctatang"nt"

m= lim x →0 y

x =

dy

dx !ntonc"s #ara%u" la x ,)!"' ' 0 -' t ,!"(? +&! ,!"!( '

0 *$(+&! !%$ +&)!(! !/)( +&! !- *&",$ > %! '/!(/' '- *&",$ P !",$"/!% *$!#$% /'#)'(

-' !)")/)" ! -' *!")!",! ! -' %)&)!",! $(#':


46/59

m= lim t →0

y (t + t )− y ( t ) x (t + t )− x ( t )

1

t

&u"go≤multi#licamos #or¿

'- "!('$( . '-

!"$#)"'$( *'(' +&! "$ %! '-,!(!

m= lim t →0

y (t + t )− y ( t ) t x (t + t )− x (t )

t

=dy t

dx

t

=g ´ (t )

f ´ (t )

m=dy

dx=

g ´ (t )f ´ (t )

E0e#!lo 12

'--'( -' !()'' ! -' /&(' ' *$( x=sin t , y=cos t

S$-&/)":

dy

dx=

g ´ (t )f ´ ( t )

=(cos t )´ (sin t )´

=−sin t cos t

=−tan t E0e#!lo 62

'--'( -'% !/&'/)$"!% ! -' ,'"!",! . "$(#'- ! -' C: x=t 2+1, y=t 2+2 t !" &" *&",$ *'(' !- /&'- ,2

S$-&/)":

SI t =2→ x=4, y=12→ ' ( 4,12 )

m=dy

dx=

g ´ (2 )f ´ (2 )

=3 (2 )+22 (2)

=2 ¿ : y −12 x−4

=2,ln: y−12 x−4

=−12

∴


47/59

D'' -' /&(' C: x=√ t , y=1

4 (t 2−4) , t * 0

'--'(d

2 y

dx2

S$-&/)":

dy

dx=

g ´ (t )f ´ ( t )

=

1

4 (2t )

1

2√ t

=t 3

2 d2 y

dx2 =

m ´

f ´ (t )=

3

2t 1

2

1

2√ t

=3 t E0e#!lo 92

S!' &"' &"/)" !)")' *'('#,()/'#!",! *$( -'% !/&'/)$"!%

x=sin t −t cos t , y=cos t +t sin t '--'(d

2 y

dx2

S$-&/)":

y ´ =g ´ ( t )=−sint +(sin t + t cos t )=t cos t x ´ =f ´ (t )=cost −( cos t + t (−sint ) )= t sin t dy

dx=

g ´ ( t )f ´ ( t )

=t cos t

t sint =cot t d

2 y

dx2 =

m ´

f ´ ( t )=−csc t 2

t sin t =

−csct 3

t

BIBLIOGRAFIA

lvare. PKre. T$+$ urvas en la historia$ Ed$ Nivola$?==;

Aranda D$ ) 4uen%e +$ +a%e(,%icas$ *aturale'a y -rte$ Tun%a de Andaluc-a$

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5?=Anali%ica19=$5?=Ecuaciones

5?=Para(e%ricas$pdf

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49/59

y- =2 s"c+ ( x3 )+2 x (−s"c+x3 . tan + x3 )3 x2=2 s"c+ ( x3 )−6 x3 s"c+ ( x3 ) . tan +x3

6) ( =cot + (3 x2 )+csc+ (1− x )

y- =(−csc +2 (3 x2 ))6 x+(−csc+ (1− x ) .cot + (1− x ) ) (−1 )

y- =−6 x csc + (3 x2)+csc+(1− x ). cot + (1− x )

7) ( =tan +2 ( 1− x3 )

y- =2 [tan + (1− x3 ) ] .s"c+2 (1− x3 ) .(−3 x2 )

y- =−6 x2 tan + (1− x3 ) .s"c+2 (1− x3 )

8) ( =cos + (2 x+1 ) y

- =2sin + (2 x+1 )

9) ( =ln ( sin+ x3 )

y- =

[sin+ ( x3 ) ] - sin+ ( x3 )

=cos + x

3 ( x3 )- sin+ ( x3 )

y- =cot ( x3 ) .3 x2 y - =3 x2cot ( x3 )

10) ( =[ tanh−1 ( 2 ) ]3

y- =3 [tanh−1 ( /2 ) ]

2

. 2 /

1− /2

y- =

6 / [ tanh−1 ( /2 ) ]2

1− /4

11) ( = x . " x .cosh−1 (1− )

y-

=(" x

+ x ." x

) .cosh−1

(1− x )+ x . " x

.

[ ( x−1) -

√ ( (1− x )2−1 ) ]

y- =" x [ (1+ x )cosh−1 (1− x )− x√ x ( x+2 ) ]

12) ( =sinh ( x+3 )

y- =cosh ( +3 ) . ( +3 )- =cosh ( x+3 )

13) ( =cosh ( 2)

y- =sinh ( x2 ) .( x2 )- =2 x sinh ( x2 )


50/59

14) ( =tanh ( 4 )

y - =s"c+2 ( x4 ) . ( x4 ) - =4 x3 s"c+2 ( x4 )

15) ( =sinh ( 3+3)

y- =cosh ( x3+3 ). ( x3+3)- =3 x2 . cosh ( x3+3 )

G(')+&! -'% /&('% (!*(!%!",''% *$( -'% !/&'/)$"!% *'('#,()/'% .

!%/()! -' !/&'/)" (!/,'"&-'(

1? x=2 s"ct −1, y=3tan t −2S$-&/)":

D!%*'('#!,()'"$

s"ct = x+1

2 , tan t =

y−23

s"c2

t − tan2t =1→( x+1 )2

22 −

( y−2 )2

32 =1


51/59

6? x=√ t , y=3 t −2, t * 0S$-&/)":

D!%*'('#!,()'"$ x

2=t y=3 x2−2 3 x2= y+2


52/59

7? x=2sin t −cos t , y=sint +2cost

S$-&/)":

D!*'('#!,()'"$

x2=4 sin2 t +cos2t −2.2 sint . cost

y2=4cos2 t +sin2t −2.2 cost . sint Sumando ambas "cuacion"s

x2+ y2=5( sin2t +cos2 t ) x2+ y2=5


53/59

9? x=2cos t +2, y=2sin t

S$-&/)":

D!%*'('#!,()'"$

cos t = x−22

, sin t = y

2 sin

2t +cos2t =1→

( x−2 )2

2 +

y2

2 =1


54/59

( x−2)2+ y2=2

: x=2 s"c t −1, y=tan t +2

S$-&/)":

D!%*'('#!,()'"$

s"ct = x+12

, tan t = y−2 tan2t −s"c2t =1→( x−1 )2

22 +

( y−2)2

1 =1


55/59

@? x=2 s"nt −cos t , y=s"nt +2cos t

S$-&/)":

D!%*'('#!,()'"$@E-!'"$ '- /&'('$ → x

2=4sin2 t +cost 2t −2.2sin t .cos t y

2=4cos2 t +sin2t −2.2cos t . sin t @S'"$ '#'% !/&'/)$"!% → x2+ y2=4


56/59

? x=2sin t −3, y=cos t −4

S$-&/)$":

D!%*'('#!,()'"$

sin t = x+3

2 , cos t = y+4 sin2 t +cos2t =1 →

( x+3 )2

22 +( y+4 )2=1


57/59

? x=3cot t +2, y=4 csct +1

S$-&/)":

D!%*'('#!,()'"$

cot t = x−2

3 ,csct =

y−14

csc2

t −cot2t =1→( y−1 )2

22 −

( x−2 )2

32 =1


58/59

'--'( -' *()#!(' !()'' y ´ =dy

dx *'(' -'% !/&'/)$"!% *'('#,()/'% ''%

? x= 2at

1+ t 2, y=a( 1−t

2

1+t 2 )❑

S$-&/)":

dy

dx=

g ´ t

f ´ t =

[

a(−2 t (1+t 2 )−2 t (1−t 2 )

(1+t 2 )2 )

2 a

(

(1+t 2 )−t .2 t

(1+ t 2

)

2

) ] ¿

−2 t −2t 3−2 t +2t 3

2 (1+t 2−2t 2 ) ¿

−2 t

1−t 215

? x=√ 1+ t 2

, y= t −1

√ 1+t 2


59/59

S$-&/)":

dy

dx=

g ´ t

f ´ t =

[

1

√ 1+ t 2

t

√ 1+ t 2

] ¿

1

t 11? x=a cos3t , y=b sin3 t

S$-&/)":

dy

dx=

g ´ t

f ´ t =

3b . sin2

t .cos t

−3a . cos2 t . sint ¿

b.s"nt

−a .cost ¿

−b . tan t a

16?

x=ln (1+t 2 ) , y=t −tan−1 t

S$-&/)":

dydx

=g ´ t f ´ t

=

1− 1

1+t 21

1+t 2.2 t

¿

t 2

1+t 22 t

1+t 2

¿ t 2

− 0allar la s"gunda d"ri$ada d2 y

dx2

!

-$ %)&)!",!% !!(/)/)$%

17? x=acost , y=asint

S$-&/)":

dy

dx=

g ´ t

f ´ t =

a .cos t

a .−sin t ¿−cot t d

2 y

dx2 =

−(−csc2 t )−asint

¿−csc3 t

a14.

x=a cos3t , y=a sin3 t

S$-&/)":

dy

dx=

g ´ t

f ´ t =

3a . sin2

t .cos t

−3a . cos2 t.s"nt ¿−tan t

d2 y

dx2 =

−s"c2t

−3a .cos2t .s"nt ¿

s"c4

t

3 asin t 1:? x="t . cost , y="t . sin t

S$-&/)":

dy

dx=

g ´ t

f ´ t =

"t . sin t +"t .cos t

"t .cos t −"t .−sin t

dy

dx=

g ´ t

f ´ t =1 d

2 y

dx2 =(1 )´

d2 y

dx2 =0

Documents

Derivadas-hiperbolicas e Inversas - Ecuaciones Parametricas