Procesos Industriales Área Manufactura

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Introducción

Conceptos

Lic. G. Edgar Mata Ortiz

Carolin Ramos Galván

2°D

DISTRIBUCIÓN BERNOULLI

Introducción:En esta distribución nos daremos cuenta de como se puede realizar un problema de distribución Bernoulli. Se dice que para esta distribución solo podemos obtener dos posibles resultados.

Concepto:En un ensayo que tenga 2 resultados. Al primero se le llama “éxito” y al otro “fracaso”. La probabilidad de éxito se denota por p. Por consecuencia, la probabilidad de fracaso es 1-p.

Para cualquier ensayo de Bernoulli se define a la variable aleatoria X así: si el experimento proporciona “éxito”, entonces X=1. De lo contrario, X=0. De ahí que X sea una variable aleatoria discreta, con función de masa de probabilidad p(x) definida por:

p (0)=P(X=0)=1-p

p (1)=P(X=1)=p

El ejemplo mas sencillo de este tipo es el lanzamiento de una moneda el cual solo podemos obtener “cara” o “cruz”. Donde cara se define como “éxito” y cruz como “fracaso”.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Introducción:En esta distribución como en la Bernoulli podemos calcular la probabilidad de fallas o defectos de algún material tomado de una muestra, la diferencia es que en la distribución binomial solo podemos realizarla con poblaciones grandes.

Concepto:En la práctica es posible extraer varios componentes de una gran población y contar el número de elementos defectuosos. Esto implica realizar diversos ensayos de Bernoulli independientes y contar el número de éxitos. El número de éxitos es una variable aleatoria, que tiene una distribución binomial.

Suponga que se lleva a cabo una serie de n ensayos de Bernoulli, cada uno con las mismas posibilidades de éxito p. además supongamos que los ensayos son independientes: esto es, que el resultado de un ensayo no influye en el resultado de alguno de los otros ensayos. Sea la variable aleatoria X igual al numero de éxitos en n ensayos, entonces X tiene la distribución binomial con parámetros en n y p. La notación es X Bin ( ͂ n,p). X es una variable aleatoria discreta y sus posibles valores son 0,1…….n.

p (X=x)= n p (1-p)ⁿˣ ⁻ˣ x

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Introducción:La distribución poisson se utiliza con frecuencia en el trabajo científico. Una manera de considerarla es como una aproximación de la distribución binomial cuando n es grande y p es pequeña.

Concepto: La distribución de Poisson también surge cuando un evento o suceso “raro” ocurre aleatoriamente en el espacio o el tiempo. La variable asociada es el número de ocurrencias del evento en un intervalo o espacio continuo, por tanto, es una variable aleatoria discreta que toma valores enteros de 0 en adelante (0, 1, 2,...).

p(x)=P(X=x)= e⁻ʵ λˣ si x es un entero no negativo x! 0 de otro modo

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Introducción:Se dice que la distribución normal es, sin duda, la distribución de probabilidad más importante del Cálculo de probabilidades y de la Estadística.

Concepto:La distribución normal (también conocida como distribución de Gauss) es la distribución mas utilizada en la estadística. Constituye en buen modelo para muchas aunque no para todas las poblaciones continuas.

La distribución normal es continua en vez de discreta. La media de una variable aleatoria normal puede tener cualquier valor y la varianza cualquier valor positivo.La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normal con media y varianza esta dada por:

f ( x )= 1

v√2¶ᵉ−¿ ¿

DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL

Introducción:La distribución lognormal es útil para modelar datos de numerosos estudios médicos tales como el período de incubación de una enfermedad, los títulos de anticuerpo a un virus, el tiempo de supervivencia en pacientes con cáncer o SIDA, el tiempo hasta la seroconversión de VIH+, etc.

Concepto:La distribución lognormal tiene una relación con la distribución normal, es a menudo, buena opción para este conjunto de datos atípicos. La distribución lognormal se deriva de la distribución normal de la siguiente manera: si X es una variable aleatoria normal con media y varianza, entonces la variable aleatoria Y=eˣ tiene distribución lognormal con parámetros y ². Observe siμ ʋ Y tiene una distribución normal con parámetros y ², entoncesμ ʋ X=ln Y tiene una distribución normal con media y varianza ².μ ʋ

Distribución gamma

Introducción:La distribución gama es una extensión de la distribución exponencial. Implica una integral conocida como función gamma. Primero se define la función gama y se establecen alguna de sus propiedades.

Concepto:La distribución gamma es una distribución continua, uno de sus propósitos es ampliar la utilidad de la distribución exponencial en el modelado de tiempo de espera. La función de densidad de probabilidad gamma tiene dos parámetros, r y , que sonλ constantes positivas.

f(x)= x ¹eλʳ ʳ⁻ ⁻ʵˣ x>0(r)Γ

0 x<0

DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL

Introducción:Al igual que la distribución gamma, la distribución Weibull también es una extensión de la distribución exponencial. En la cual también implica una integral.

Concepto:La distribución Weibull constituye una distribución continua que se utiliza en varias situaciones. Una aplicación común es modelar los tiempos de vida de componentes, como cojinetes, cerámica, capacitores y dieléctricos. La función de densidad de probabilidad de Weibull tiene dos parámetros, ambos constantes positivas, que determinan su localización y forma. Estos se representan por y . La función de densidad deα β probabilidad de la distribución de Weibull es:

f(x)= x ¹e x>0αβᵅ ᵅ⁻ ⁻⁽ᵝˣ⁾ᶸ

0 x<0