E4-AnÃ¡lisis DinÃ¡mico de Estructuras

ESTRUCTURAS IV – FAC. ING. – UNLP 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA - FACULTAD DE INGENIERÍA

ÁREA DEPARTAMENTAL CONSTRUCCIONES

Carrera: INGENIERÍA CIVIL

Cátedra: ESTRUCTURAS III, IV y V – Asignatura: Estructuras IV E4

Análisis Dinámico de Estructuras

Curso 2008 Elaboró: Ing. Marcos De Virgiliis Rev: Fecha: noviembre de 2007

ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS

1 INTRODUCCIÓN 1.1 GENERALIDADES

En este capítulo de la asignatura analizaremos el comportamiento de las estructuras sometidas a cargas dependientes del tiempo; es decir, las solicitaciones no serán aplicadas en forma estática sino que nos interesará la distribución en el tiempo de las acciones y de los efectos dinámicos que éstas producen en las estructuras.

Gran parte de las estructuras reales están sometidas a distintos tipos de acciones dinámicas como las derivadas de las actividades humanas, los motores de maquinarias, el tránsito de vehículos, el viento, el oleaje, los sismos, los choques o impactos, las explosiones, etc. Estas acciones, cuya magnitud, posición, dirección y sentido pueden ser variables en el tiempo, provocan una respuesta de la estructura también variable en el tiempo y que puede ocasionar efectos de distinta importancia: desde vibraciones no perceptibles por los sentidos hasta grandes desplazamientos, fisuras, ruidos molestos, daños parciales o el colapso total de la estructura.

El análisis dinámico se ocupa de establecer una relación entre las variables intervinientes en un sistema sometido a la acción de cargas que varían con el tiempo, por ejemplo movimientos de vínculo y fuerzas externas (causas); con desplazamientos y esfuerzos internos (efectos).

Dos características esenciales distinguen al análisis dinámico del estático: en primer lugar la variación de las acciones con el tiempo y en segundo lugar la aparición de fuerzas de inercia en las ecuaciones de equilibrio. Es decir, una estructura se encuentra bajo una acción dinámica si la variación de la carga en el tiempo es tal que produce la aparición de fuerzas de inercia de una magnitud comparable a las fuerzas estáticas. Por ejemplo, el desplazamiento de vínculo en una estructura producido por la consolidación del terreno, si bien es variable en el tiempo, se produce a lo largo de un tiempo suficientemente largo (meses o años) que no provoca efectos dinámicos (fuerzas de inercia) apreciables en la estructura, por lo que se puede considerar como una acción estática. En cambio, el movimiento de las fundaciones de una estructura por la brusca acción de un sismo podrá provocar aceleraciones en la masa de la estructura (fuerzas de inercia) comparables en módulo a las fuerzas estáticas, caracterizando como dinámica dicha solicitación.

Si bien el análisis estático se puede considerar como un caso particular del análisis dinámico, los métodos de cálculo difieren sensiblemente, siendo el análisis dinámico considerablemente más costoso. Por esto en la práctica, en el caso de estructuras de comportamiento lineal, se procede a un análisis estático (considerando las solicitaciones de fuerzas, desplazamiento de vínculos y temperatura aplicados en forma estática) y separadamente a un análisis dinámico (con las cargas dinámicas) para finalmente superponer ambas soluciones. La complejidad de los cálculos hace imprescindible la aplicación de la computadora en el análisis dinámico, aún para la resolución de estructuras de pocos grados de libertad. El costo computacional es significativamente mayor que el caso estático.

Saberes previos:

Para poder abordar sin mayores dificultades los conceptos y procedimientos contenidos en esta unidad temática, son necesarios conocimientos previos en:

• Métodos matriciales de cálculo de estructuras.



• Análisis matemático: ecuaciones diferenciales. • Cálculo numérico. • Física: dinámica del cuerpo rígido.

1.2 VIBRACIONES

La aplicación de cargas dinámicas sobre una estructura produce como respuesta una vibración, que es un movimiento cíclico donde existe una transferencia de energía cinética en energía potencial en forma alternada. En las estructuras reales hay una disipación de la energía total del movimiento, por lo cual en un tiempo más o menos prolongado, la vibración se detiene.

Podemos clasificar las vibraciones de distintas maneras según las variables intervinientes.

• Si una estructura, después de una perturbación inicial, es dejada vibrar libremente sin fuerzas externas que actúen sobre ella, se obtendrá un movimiento vibratorio libre. Si, en cambio, existe una fuerza externa que interviene en el movimiento, éste se denomina forzado. El péndulo simple es un ejemplo de vibración libre, mientras que la acción de masas no balanceadas rotando (por Ej. un motor) es un movimiento forzado.

• Desde el punto de vista de la conservación de la energía, si la energía total del sistema no se disipa por fuerzas friccionales, la vibración será no amortiguada y continúa indefinidamente. Si, en cambio, parte de la energía se pierde en cada ciclo (en calor o en sonido) provocando una disminución del movimiento, se trata de vibraciones amortiguadas.

• Cuando los elementos que componen una estructura (la masa, la rigidez, etc.) tienen un comportamiento lineal y los desplazamientos producidos son pequeños, se tendrán vibraciones lineales. En el caso de existir un comportamiento no lineal en la estructura las vibraciones serán no lineales. En este último caso no será válido el principio de superposición de efectos.

• Una distinción importante se debe hacer en cuanto a la variación de las acciones en el tiempo. Cuando esta variación es conocida en cada instante de tiempo, la respuesta del sistema estructural se obtendrá mediante un análisis de tipo determinista y estará derivada del proceso de cálculo (por ejemplo cargas de motores). En el caso que las cargas no sean conocidas exactamente, sino acotadas por métodos probabilísticos y estadísticos (el caso de viento y sismo por ejemplo) se obtendrán como respuesta vibraciones aleatorias o no deterministas y los efectos resultantes también tendrán carácter estadístico.

En el siguiente cuadro se ordena la clasificación propuesta:

Según Clasificación Características principales

Libre No actúan causas externas. Debe existir una perturbación inicial para que exista movimiento. Fuerzas

Actuantes Forzada Actúa una causa externa. No es necesaria una perturbación inicial para que exista movimiento.

No amortiguada La energía permanece constante. Conservación de

la energía Amortiguada Hay una disipación de energía en cada ciclo del movimiento. Si la vibración es libre, llega un momento en que se detiene.

Lineal Es válido el principio de superposición de efectos. Es posible calcular separadamente cargas estáticas y dinámicas. Comportamiento

estructural No lineal Los métodos de cálculo son más complejos y la totalidad de las

cargas debe tenerse en cuenta en cada instante.

Determinista Se conoce en cada instante la variación de la carga. Se puede obtener la variación de los efectos en cada instante.

Tipo de acción Aleatoria

La acción dinámica está dada por valores estadísticos y los efectos en la estructura estarán acotados por valores característicos.



2 MODELIZACIÓN

La mayoría de las estructuras reales presentan cierta complejidad si se pretende realizar un modelo mecánico ajustado y con suficiente detalle, por lo cual, para analizar estructuras desde el punto de vista dinámico plantearemos modelos simplificados de tal forma que justifiquen el alejamiento de la realidad por el beneficio en el planteo, resolución y manejo de datos numéricos. Las características a tener en cuenta en un modelo dinámico son la rigidez, la masa y el amortiguamiento de la estructura.

La rigidez (k): es el mecanismo por el cual el sistema responde con una fuerza proporcional al desplazamiento y en el cual se almacena energía potencial.

La masa (m): este elemento del sistema vibratorio produce una fuerza proporcional a la aceleración y desde el punto de vista energético, almacena energía cinética.

El amortiguamiento (c): es un mecanismo disipador de energía ( en calor o sonido) que responde con una fuerza opuesta al movimiento. El amortiguamiento de tipo viscoso, que desarrolla una fuerza proporcional a la velocidad (mecanismo de Newton) es el más común en los modelos matemáticos. Otro modelo de amortiguamiento es el de tipo friccional (o de Coulomb), que proporciona una fuerza constante opuesta al movimiento.

Si bien es deseable conocer los efectos en la estructura en todas sus secciones y para cada instante de tiempo, en la práctica resulta extremadamente laborioso, por lo que se analizan solamente algunos puntos de la estructura (discretización espacial) y algunos instantes de tiempo (discretización temporal). Las estructuras reales presentan cierta continuidad y una distribución más o menos compleja de su masa. Una forma de discretizar en el espacio es suponer la masa concentrada en ciertos puntos de la estructura, de manera de tener finitos puntos con masa asignada y no los infinitos puntos de una distribución continua en toda la estructura. De este modo sólo existirán fuerzas de inercia en las direcciones en que estas masas concentradas puedan tener aceleración, y el equilibrio dinámico se limitará al análisis de estas direcciones a las que se denominan “grados de libertad dinámicos”.

En general se define grado de libertad de un sistema al número mínimo de coordenadas independientes que permite determinar la posición de todas las partes de ese sistema. En el caso del problema dinámico bastará conocer la respuesta de la estructura u(t) en los grados de libertad dinámicos para poder determinar la solución en todos los puntos de la estructura. Se puede decir, entonces, que el grado de libertad dinámico es aquella dirección en donde es posible que se desarrollen fuerzas de inercia no despreciables cuando actúan cargas dinámicas.En el siguiente diagrama se presenta una secuencia típica del cálculo dinámico.

Acción dinámica P(t)

Modelo dinámico E, J, A, L, c, m características mecánicas del sistema

Resolución desplazamiento u(t), velocidad, aceleración

Respuesta del sistema esfuerzos M(t), N(t), Q(t), reacciones R(t), etc.

Una vez obtenidos del análisis dinámico los desplazamientos u(t), el resto de los efectos se calcula en función de u por los métodos estáticos conocidos, y serán variables con el tiempo.



Ejemplo 1.1- Determinar el grado de libertad dinámico de las siguientes estructuras planas.

u2 u3

m m u1 m m/2 m/2

estructura real modelo dinámico estructura real modelo dinámico

Fig. 1.1 Fig.1.2 Fig.1.3 Fig.1.4

En el caso de la estructura de la Fig.1.1, que se ha simplificado con una sola masa concentrada, los grados de libertad corresponden con los del nudo libre, es decir, son dos desplazamientos y una rotación. Si se consideran despreciables las deformaciones axiales (respecto de las flexionales), los desplazamientos verticales, y por lo tanto las aceleraciones no serán significativas en dicha dirección, y u2 no se considerará como grado de libertad. En algunos casos también es posible despreciar la inercia rotacional de la masa (que multiplicada por una aceleración angular produce un momento) por lo que u3 puede no considerarse un grado de libertad. Entonces, el modelo dinámico puede consistir en un sistema de un grado de libertad con las hipótesis propuestas, significando que, de todas las fuerzas de inercia que pueden actuar en la estructura, las correspondientes con la dirección u1 tienen preponderancia y estarán en el orden de magnitud de las fuerzas elásticas.

En la estructura de la Fig.1.3, que representa un pórtico doblemente empotrado, se ha supuesto concentrada toda la masa de la estructura a nivel del dintel y en dos puntos. Si cada punto tiene tres movimientos posibles, se tendrán entonces seis grados de libertad. ¿Es posible plantear hipótesis simplificativas como las supuestas más arriba, y llegar a un modelo de un grado de libertad?

Problema 1.1- Determinar el grado de libertad dinámico de las estructuras del ejercicio 1.1 considerando que se encuentran en el espacio.

Problema 2.1- Determinar el grado de libertad dinámico de la estructura espacial, explicando las hipótesis simplificativas en el caso de proponerlas.

3 DELIMITACIONES

Excepto que se indique otra variante, es estas notas se estudiarán estructuras de comportamiento lineal y con masas discretas. El amortiguamiento a considerar será de tipo proporcional por su simple inclusión en el modelo matemático.

Aunque la mayoría de los desarrollos y ejemplos se presentan en estructuras de barras en el plano, los conceptos y procedimientos son trasladables a estructuras espaciales.

Los capítulos siguientes describen los conceptos básicos relativos a la dinámica de estructuras que forman parte del contenido del curso y tienen el carácter de guía de clase. Un estudio completo de la temática se puede seguir a partir de la bibliografía recomendada en Cap. 4.



2 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

El modelo dinámico más simple y con el que se pueden analizar gran cantidad de estructuras reales, es el modelo de un grado de libertad. La configuración del sistema queda definida para cada instante conociendo sólo una coordenada.

Sea un sistema como el de la figura 2.1, donde se representan los elementos característicos de un modelo dinámico de un grado de libertad. El esquema muestra un bloque rígido que sólo puede deslizarse sin roce en la dirección horizontal, grado de libertad del sistema. La rigidez se representa con un resorte de constante k. La masa m se considera concentrada en el bloque y el amortiguador tiene una constante c.

u(t) k fe P(t) fi P(t) c fa Fig. 2.1 Fig.2.2

En la figura 2.2 se presenta un diagrama de cuerpo libre, en donde se indican las siguientes fuerzas: - fa: fuerza de amortiguamiento. Es la fuerza opuesta al movimiento y proporcional a la

velocidad. - fe: fuerza elástica. Es proporcional al desplazamiento. - fi: fuerza de inercia, igual a la masa por la aceleración. - P(t): acción dinámica externa.

Aplicaremos el Teorema de los Trabajos Virtuales para cuerpos rígidos con el objetivo de determinar la ecuación de equilibrio dinámico. El teorema dice: “si a un cuerpo rígido que se halla bajo un sistema de fuerzas en equilibrio, se le aplica un desplazamiento virtual, el trabajo externo resultante es nulo.” Aplicamos un desplazamiento virtual δ:

δ fe fi P(t) Fig.2.3 fa

El trabajo externo estará dado por: ( ) 0=⋅+⋅−⋅−⋅−= δδδδ tPfafifeTe

( )( ) 0=⋅+−−− δtPfafife

La ecuación de equilibrio queda: ( )tPfefafi =++

al reemplazar queda ( )tPukucum =⋅+⋅+⋅ &&& (2.1)

que es la ecuación de equilibrio dinámico de un sistema de un grado de libertad. En este caso el movimiento vibratorio es de tipo forzado con amortiguamiento.

2.1 VIBRACIONES LIBRES

En este tipo de vibraciones no existen fuerzas exteriores actuando sobre la estructura, es decir que no se agrega energía al sistema. Para que este movimiento se produzca deben existir condiciones iniciales no nulas (desplazamiento y/o velocidad inicial).

m



m

2.1.1 VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS

Estas vibraciones se dan como respuesta a una perturbación inicial que la aparta de la posición de equilibrio estático y provoca un movimiento en el que no actúan fuerzas externas ni hay disipación de energía por lo que la amplitud del movimiento se mantiene constante en el tiempo (es un sistema conservativo). La energía inicial está compuesta por energía potencial (un desplazamiento inicial) y/o por energía cinética (acumulada en la masa debido a una velocidad inicial).

El estudio de este movimiento particular es relevante para determinar características importantes en las estructuras como la frecuencia natural y el periodo.

Sea un cuero de masa m que únicamente se puede deslizar en la dirección u: u(t) fe k fi Fig. 2.4 Fig.2.5 En el diagrama de cuerpo libre de la figura 2.5 se observan las fuerzas actuantes: las fuerzas de inercia y las fuerzas elásticas. Planteando el TTV se tiene la ecuación de equilibrio dinámico:

0=⋅−⋅−= δδ fifeTe

0)( =⋅−− δfife y reemplazando por fi y fe

0=⋅+⋅ ukum && (2.2)

Es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, homogénea y con coeficientes constantes y la solución es del tipo (ver Anexo 1) y corresponde con la ecuación del movimiento armónico simple:

( ) tsenututu nn

n ωω

ω 00 cos

&+⋅= (2.3)

siendo ( )00 uu = el desplazamiento inicial en t=0 y ( )00 uu && = la velocidad inicial en t=0.

mk

n =ω se denomina la frecuencia natural de la estructura. Es la frecuencia a la que vibra la estructura

si no hay cargas externas aplicadas. Se mide en [radianes/segundo].

El tiempo requerido para completar un ciclo del movimiento libre no amortiguado se denomina período natural y es inversamente proporcional a la frecuencia natural:

n

2Tω

π⋅= [segundos] (2.4)

La frecuencia de oscilación es el número de oscilaciones por unidad de tiempo, es decir la inversa del período:

π

ω⋅

==2T

1f n [ciclos/seg] o [Hertz] (2.5)

Observación: la frecuencia natural, como el período y la frecuencia de oscilación, dependen únicamente de las características de la estructura (la rigidez y la masa) y no dependen de las condiciones iniciales del movimiento.

La amplitud del movimiento es el máximo apartamiento desde su posición de equilibrio estático. Se

mide en unidades de longitud. 2

020 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+==

nmáx

uuuA

ω&

(2.6)



depende de las condiciones iniciales.

En la siguiente figura se represente la gráfica del movimiento vibratorio libre sin amortiguamiento. Fig. 2.6.

Problema 2.1- ¿Es posible hallar la ecuación 2.2 si el modelo dinámico de la figura 2.4 se desliza en dirección vertical actuando la aceleración de la gravedad? Justificar la respuesta.

Ejemplo 2.1- Dada la estructura de un tanque de reserva de agua como se indica en la figura, calcular: a) la frecuencia natural y el período b) si se aplica una velocidad inicial, hallar la respuesta en desplazamiento y esfuerzos de corte y momento flector en la base de la columna.

Datos: mL 0.15=

45.5 mJ = M

22000000mKNE =

msKNm

270 ⋅

= m L

msKNM

2260 ⋅

= (tanque lleno con 100000 litros)

smu 2.00 =&

Hipótesis:

- No se tendrá en cuenta en un primer análisis la masa de la columna. Solamente se considera la masa del tanque lleno concentrada en un punto

- Se desprecia la deformación axial de la columna y la inercia rotacional del tanque.

Solución:

con las hipótesis planteadas el modelo dinámico consistirá en un sistema de un grado de libertad, correspondiente con la dirección horizontal.

U1

a) la rigidez en la dirección del grado de libertad m

KNLEJk 97783

3 ==

la frecuencia natural s

mKNs

mKN

Mk

n113.6

260

9778

2 ===ω

tiempo

u(t) T

Uo

Uo

Amplitud

.



el período, de Ec. 2.4 s

s

T 02.1113.6

2==

π

la frecuencia en ciclos por segundo, de Ec.2.5 Hertzf 98.0=

b)la respuesta del sistema, de Ec.2.3 ( )tsentu 13.6033.0)( =

la amplitud del movimiento muA máx 033.0==

el esfuerzo de corte en la base )13.6(7.322)(3)( 3 tsentuLEJtQ =⋅=

el corte máximo KNQmáx 7.322±=

el momento flector en la base )13.6(4840)(3)( 2 tsentuLEJtM =⋅=

el momento máximo KNM máx 4840±=

Problema 2.2- ¿Cambiará la solución del ejemplo 2.1 si el tanque estuviera vacío? Si cambia, ¿en qué porcentaje? Justificar.

Problema 2.3- ¿De qué manera se puede incluir la masa de la columna en el ejemplo 2.1? Justificar la respuesta.

Problema 2.4- En el pórtico triarticulado de la figura, calcular: a)el período b) los esfuerzos internos en un movimiento libre originado por un desplazamiento y una velocidad inicial.

Dastos: L=2.5 m Sección : PNI 240

Masa distribuida por metro: mm

sKNm 115.02

⋅⋅

=

Condiciones iniciales: mu 02.00 = y smu 10 =&

Hipótesis: rigidez axial infinita en barras y masas concentradas en los nudos superiores extremos.

MODO DE VIBRACIÓN

Una estructura en movimiento libre sin amortiguamiento presenta una forma característica de vibrar en la cual toda la masa de la misma se mueve con la misma frecuencia, además de estar definida la posición relativa de todas las masas de la estructura.

En general existirán tantos modos de vibración como grados de libertad dinámicos tiene la estructura. En el caso de estructuras de un grado de libertad, el modo de vibración quedad definido por la frecuencia natural (o el período) y por el desplazamiento relativo de las masas, que al ser una sola se adopta unitario. Gráficamente, para el caso de una ménsula se representa el modo de vibración (Modo 1).

U1=1

w1n

Modelo dinámico Modo de vibración

2L

L



Problema 2.5- Expresar el modo de vibración de las estructura del ejemplo 2.1 y del pórtico del problema 2.4.

2.1.2 VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS

En las estructuras reales existen fuerzas de rozamiento interno que se oponen al movimiento, provocando una disipación de la energía en cada ciclo de la vibración y por lo tanto una disminución de la amplitud en el movimiento libre.

El amortiguamiento en las estructuras reales es difícil de medir y se debe en general a un conjunto de causas. Por ejemplo: efectos térmicos debido a las características cíclicas de los esfuerzos (tracción y compresión alternadas), fricción en las conexiones de las estructuras de acero, la apertura y cierre de fisuras en las estructuras de hormigón armado, la fricción entre elementos de la estructura y elementos no estructurales como mampostería y cerramientos, la fricción entre los planos del material debidos a una elasticidad no perfecta (se denomina amortiguamiento estructural), etc.

Cuantificar cada una de estas causas en estructuras realaes es prácticamente imposible y adaptar un modelo matemático riguroso presenta una elevada complejidad. Es por esto que usualmente se adopta un mecanismo de amortiguamiento, de tipo viscoso, que responde con una fuerza proporcional a la velocidad del movimiento y supone englobar todos los mecanismos reales que disipan energía en la estructura. La proporcionalidad está dada por el coeficiente de amortiguamiento c, que se aproxima experimentalmente según el tipo de estructura y material que la constituye. Las unidades de c son [Fuerza tiempo/distancia].

Analizaremos por lo tanto el caso de amortiguamiento viscoso que produce una fuerza proporcional a la velocidad y desde el punto de vista matemático es simple su inclusión.

El modelo dinámico a utilizar para plantear la ecuación de equilibrio dinámico es el mismo que en el caso no amortiguado, sólo que se agrega el amortiguador: u(t) fe k fi

c fa Fig. 2.7 Fig.2.8

En el diagrama de cuerpo libre de la figura 2.8 se observan las fuerzas actuantes: las fuerzas de inercia, las fuerzas elásticas y las fuerzas de amortiguamiento. Planteando el TTV para cuerpos rígidos se tiene la ecuación de equilibrio dinámico: 0=⋅−⋅−⋅−= δδδ fefafiTe

0)( =⋅−−− δfefafi y reemplazando por fi, fa y fe 0=⋅+⋅+⋅ ukucum &&& (2.7)

Es una ecuación diferencial de equilibrio dinámico de una estructura de un grado de libertad en movimiento libre amortiguado. La solución de esta ecuación es de la forma (ver Anexo 2): ( ) tsts eAeAtu 21 21 ⋅+⋅= (2.8)

donde A1 y A2 son constantes a determinar según las condiciones iniciales y s1,2 dependen del tipo de amortiguamiento,

n2

2,1 1s ωξξ ⋅⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −±−= (2.9)

con el valor ccc

=ξ denominado razón o factor de amortiguamiento crítico. El amortiguamiento crítico

se define como nc mc ω2= y es el amortiguamiento mínimo para que la masa regrese a la posición de equilibrio sin sobrepasarla.

m



Según el signo del radicando en Ec. (2.4) se tendrán distintos tipos de movimiento:

1 - movimiento sub-amortiguado: 12 −ξ < 0.

En este caso c < cc , o ξ <1, y las raíces s1,2 son complejas. Es el movimiento de mayor interés en las estructuras civiles, ya que éstas poseen una razón de amortiguamiento que difícilmente supera el 10% (ξ <0.1). La respuesta del sistema está dada por:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅= +− tsen

utuetu d

d

ud

t nn ωω

ω ξωξω 000 cos

& (2.10)

con n2

d 1 ωξω ⋅−= la frecuencia del movimiento amortiguado. (2.11)

Por tratarse de un movimiento libre, dependerá de la existencia de condiciones iniciales para que se produzca alguna respuesta. El movimiento es oscilatorio con una disminución de la amplitud en cada ciclo, que decae exponencialmente. En el siguiente gráfico se representa este movimiento (con un amortiguamiento de 10%) en comparación con el movimiento no amortiguado.

La amplitud inicial del movimiento tiene la expresión: 2

0020 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

d

nuuuA

ωξω&

(2.12)

y disminuye exponencialmente formando la envolvente de las oscilaciones: tneAEnv ξω−⋅=

El período del movimiento amortiguado se define: 21

2

ξωπ

−==

TTd

d (2.12)

y la relación entre los períodos con y sin amortiguamiento depende del factor de amortiguamiento,

21 ξωω

−==n

d

dTT

(2.13)

que en la gráfica se puede observar la pequeña variación en el período (o en la frecuencia) que producen amortiguamientos menores al 20%, frecuentes en la mayoría de las construcciones por lo que muchas veces se desprecia su incidencia en el cálculo del período. Por ejemplo, si ξ =0.2, resulta

nd ωω 98.0= .

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2Amortiguamiento

T/Td

tiempo

u(t)

T

Uo

Uo. Td

tneA ξω−⋅−



DECREMENTO LOGARITMICO

Debido a la imposibilidad de acotar en forma analítica el valor del amortiguamiento en las estructuras reales, se utiliza una procedimiento experimental aplicado a modelos físicos en laboratorio y también en algunos casos a estructuras reales. El método consiste en provocar una vibración en la estructura y medir la amplitud del movimiento en dos ciclos cualesquiera (sucesivos o no), de manera de estimar el factor de amortiguamiento.

El decremento logarítmico se define como el logaritmo natural de la relación de dos amplitudes sucesivas en un movimiento libre amortiguado. Sean t1 y t2 dos instantes cualesquiera separados un ciclo; de la Ec. (2.10) se tiene:

( )( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

=+−

+−

20

20

10

10

2

1

02

01

cos

cos

tsenu

tue

tsenu

tue

tutu

dd

ud

t

dd

ud

t

nn

nn

ωω

ω

ωω

ω

ξωξω

ξωξω

&

&

y como t t T tdd

2 1 12

= + = +π

ω

( ) ( ) ( )112 2 tsentsentsen ddd ⋅=⋅+=⋅ ωωπω

entonces ( )dn

d1n

1tnT

Tt2

1 ee

euu ⋅⋅

+⋅⋅− ==⋅⋅−

ωξωξ

ωξ

aplicando logaritmo 22

1

1

2lnξ

πξξωδ−

=== dn Tuu

para pequeño amortiguamiento ξ < < 1 se puede aproximar

πξδ 2≅

En el caso de estructuras con muy pequeño amortiguamiento, será conveniente la medición de amplitudes con una separación de varios ciclos para poder apreciar una diferencia significativa. Si las mediciones son llevadas a cabo en instantes separados m ciclos, las expresiones anteriores resultan:

( )mT

m

m

m

dneuu

uu

uu

uu

uu ⋅⋅

++=⋅⋅⋅⋅= ωξ

14

3

3

2

2

1

1

1 ....

mTu

udn

mξω=

+1

1ln

πξδ 2ln1

1

1 ≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+muu

m

2 - movimiento con amortiguamiento crítico: 12 −ξ = 0.

En este caso c = cc , o ξ =1, y las raíces s1,2 son iguales. En este movimiento la estructura retorna a la posición de equilibrio estático sin sobrepasarla, es decir, no es un movimiento oscilatorio.

La respuesta del sistema está dada por:

( ) ( )[ ]tuuuetu ntn ⋅++⋅= −

000 ωω & (2.10)

El amortiguamiento crítico es el mínimo amortiguamiento requerido para obtener un movimiento no oscilatorio.



3 - movimiento sobre-amortiguado: 12 −ξ > 0.

En este caso c > cc , o ξ >1, y las raíces s1,2 son ambas reales. En este movimiento la estructura retorna a la posición de equilibrio estático sin sobrepasarla y en un tiempo mayor que en el caso del amortiguamiento crítico. No es usual encontrar este tipo de amortiguamiento en las estructuras civiles, aunque sí son frecuentes en maquinarias, puertas con cierre automático o en puentes o estructuras bajo tránsito de vehículos (trenes de alta velocidad, por ejemplo) donde amortiguar el movimiento es prioritario para evitar problemas de resonancia.

En este caso las raíces de la ecuación característica serán:

n2

2

n2

1

1s

1s

ωξξ

ωξξ

⋅⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−=

⋅⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−=

y la solución del movimiento:

( ) tsts eAeAtu 2121 +=

con A 1 y A2 constantes dependientes de las condiciones iniciales.

En el siguiente gráfico se presentan los tipos de movimiento amortiguado crítico y sobreamortiguamiento.

Ejemplo 2.2- Calcular el período de la estructura del Ejemplo 2.1 si se considera que tiene un factor de amortiguamiento de 0.2.

Datos: 2.0=ξ

Solución: de la Ec. (2.13) =−⋅= 21 ξnd TT 1 s

El período disminuyó aproximadamente 2%.

Problema 2.6- ¿Es posible que el movimiento con amortiguamiento crítico supere la posición de equilibrio estático? Justificar la respuesta.

Problema 2.7- ¿Qué factor de amortiguamiento debería tener la estructura del ejemplo 2.1 para que la frecuencia natural se modifique en un 10%?

tiempo

u(t)

ζ=1

Uo

Uo.

ζ>1



Problema 2.8- El ensayo de una estructura de un grado de libertad que vibra libremente, arrojó el siguiente gráfico de respuesta. Aproximar el amortiguamiento de la estructura.

2.2 VIBRACIONES FORZADAS

El estudio de vibraciones libres tiene su importancia fundamentalmente porque permite el conocimiento de características dinámicas del sistema que resultan de utilidad en el análisis de la estructura bajo la acción de cargas dinámicas. Estas cargas incorporan energía durante la vibración y el movimiento vibratorio se denomina forzado. La variación en el tiempo de la acción se puede deber a una o más razones: variación de magnitud, dirección, sentido o punto de aplicación. En cuanto al origen de la acción dinámica se pueden mencionar las derivadas de las actividades humanas, como maquinarias, vehículos, explosiones, etc., que en muchos casos es conocida su variación en cada instante de tiempo, dando al análisis un carácter determinista. Otras acciones tienen origen en fenómenos naturales como el oleaje y el sismo, y en general son acotadas por métodos estadísticos, por lo que resulta un movimiento vibratorio de tipo aleatorio o no-determinista.

Se presentan en adelante distintos tipos de acciones dinámicas y los métodos de resolución usuales en cada caso. Las acciones a considerar serán periódicas y no-periódicas, incluyendo la acción sísmica. No se tendrán en cuenta las cargas estáticas pues, como se mencionó al comienzo, por tratarse de estructuras de comportamiento lineal, el análisis estático se puede realizar separado del dinámico y superponer los efectos posteriormente.

2.2.1 CARGAS DE VARIACIÓN ARMÓNICA

Distintos tipos de acciones dinámicas pueden ser representados matemáticamente por cargas de variación armónica, siendo su resolución elemental utilizada para abordar otras solicitaciones más complejas.

2.2.1.1 FUERZAS

La solicitación periódica más frecuente es la producida por masas rotantes no balanceadas como por ejemplo los motores o sectores de maquinarias.

La fuerza externa será de la forma:

( ) tsenPtP ω⋅= 0

con Po la amplitud y ω la frecuencia de la fuerza.

La ecuación de equilibrio dinámico, de Ec. (1.2):

tsenPukucum ω⋅=⋅+⋅+⋅ 0&&&

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tiempo

u(t)

t

P(t) 2π/ω

Po



SISTEMAS NO AMORTIGUADOS

Si no se tiene en cuenta el amortiguamiento, la ecuación de equilibrio es de tipo:

tsenPukum ω⋅=⋅+⋅ 0&&

y la solución de esta ecuación de segundo orden incompleta no homogénea estará dada por la suma de la solución homogénea Ec.(2.1) ( ) tsenBtAtu nnh ωω ⋅+⋅= cos

más la solución particular (ver Anexo 4) ( ) tsenkP

tu

n

p ω

ωω

⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅= 20

1

1

la solución total queda: ( ) tsenkP

tBsentAtu

n

nn ω

ωω

ωω ⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅++= 20

1

1cos

con A y B constantes a determinar según las condiciones iniciales. Finalmente,

( ) tsenkP

tsenkPu

tutu

n

n

n

n

nn ω

ωω

ω

ωω

ωω

ωω ⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅+

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+= 20

200

0

1

1

1

cos&

se define nω

ωβ = como la relación entre la frecuencia de la fuerza externa y la frecuencia natural de la

estructura. La Ec. ( ) se reduce a:

( ) tsenkP

tsenkPu

tutu nn

n ωβ

ωβ

βω

ω ⋅−

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−+= 2

02

000 1

11

cos&

( 2.16)

en donde los dos primeros términos dependen de las condiciones iniciales y la carga externa. A esta componente del movimiento se lo denomina transitorio. El último término constituye la parte permanente del movimiento y contribuye con éste siempre y cuando actúe la carga. La parte transitoria vibra con la frecuencia natural de la estructura y en los sistemas reales disminuye con el amortiguamiento, prevaleciendo, con la frecuencia de la carga, la parte permanente por lo que esta última presenta un mayor interés en el análisis. Se presenta la gráfica del movimiento forzado no amortiguado, donde se superpone la respuesta permanente para comparar (esta última tiene la frecuencia de la fuerza externa):

tiempo

P(t)2π/ω

tiempo

U(t)

Up



El valor kP

est0=δ es el desplazamiento producido por una fuerza Po aplicada en forma estática, y se

lo utiliza para relacionar los desplazamientos máximos estáticos y dinámicos, a través del factor de

amplificación del movimiento: ( )

est

máx tuM

δ=

Que indica cuánto mayor o menor es el desplazamiento del grado de libertad si la carga está aplicada en forma dinámica (con una variación en el tiempo, es decir con una frecuencia no nula) o en forma

estática. El valor del factor de amplificación varía con la relación de frecuencias: nω

ωβ =

( )20

20

111

1

ββ

δ −=

−==

kP

kP

tuM

est

máx (2.16a)

si se considera el desplazamiento máximo en módulo

se agregan barras de valor absoluto, quedando:

211β−

=M

teniendo en cuenta que para valores de β < 1 el desplazamiento es positivo, por lo tanto tiene el mismo sentido que la fuerza aplicada y se dice que el movimiento está en fase ; mientras que para valores de β > 1 el desplazamiento tiene signo negativo, en sentido opuesto a la aplicación de la carga y se dice que el movimiento está fuera de fase o con fase de 180º.

Del gráfico anterior se puede observar lo siguiente:

- para valores de β próximos a cero, la magnitud del desplazamiento estático y dinámico son similares (M ≈ 1). La frecuencia de la fuerza externa es tan pequeña que se aproxima a una carga estática.

- En el caso de β<1 el desplazamiento dinámico es mayor que el estático y está en fase.

- En las proximidades de β =1 ( )nωω = el desplazamiento tiende a infinito (teóricamente en las estructuras sin amortiguamiento) y esta condición, cuando la frecuencia de la fuerza externa es igual a la frecuencia natural del sistema se denomina resonancia.

- Cuando β >1 el movimiento está fuera de fase y las amplitudes de la acción dinámica son mayores a las estáticas hasta 2=β , para luego disminuir y tender a cero para valores grandes de β (M 0).

En la situación de resonancia, la Ec. ( ) no está definida por lo que se buscará el límite cuando nωω → .Si reagrupamos los términos en Ec. ( )

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⋅++= 2

000

1

cos

n

nn

nn

tsentsenkPtsenututu

ωω

ωωω

ωω

& (2.17)

y calculamos el límite de u(t) para nωω → (aplicando la regla de L’Hospital), se tiene la respuesta en la condición de resonancia:

( ) tsentk

Ptsen

ututu nnn

nn ωωω

ωω ⋅⋅++=

2cos 00

0&

00,5

11,5

22,5

33,5

4

0 1 2 3 4

β

M



observándose que el último término de la solución se incrementa linealmente con el tiempo. Una gráfica de este movimiento particular (para condiciones iniciales nulas) es la siguiente:

Como se mencionó anteriormente, en las estructuras reales la amplitud no tiende a infinito en el tiempo, pues además de existir algún tipo de amortiguamiento, hay un límite en el comportamiento lineal del material y la geometría (incluye una disipación adicional de energía, daño de magnitud variable y el colapso) que produce un cambio en las condiciones de equilibrio planteadas al comienzo de este análisis.

SISTEMAS CON AMORTIGUAMIENTO

Al incluir el amortiguamiento se agrega en la ecuación de equilibrio el término correspondiente a la fuerza proporcional a la velocidad. De la Ec. ()

tsenPukucum ω⋅=⋅+⋅+⋅ 0&&&

y la solución de esta ecuación de segundo orden completa no homogénea estará dada por la suma de la solución homogénea Ec.( )

( ) ( )tsenBtAetu ddt

hn ωωξω ⋅+⋅⋅= − cos

con A y B dependientes de las condiciones iniciales, más la solución particular (ver Anexo 5)

( ) tsenDtCtu p ωω ⋅+⋅= cos

con C y D constantes dependientes de la carga y el amortiguamiento

( )( ) ( ) ( ) ( )

tkPtsen

kPtu p ω

ξββ

ξβωξββ

β cos21

2

21

1222

0222

20 ⋅

+−

−⋅+⋅

+−

−⋅= (2.18)

La respuesta total contendrá una parte transitoria (la solución de la homogénea) cuyo efecto disminuye en el tiempo debido al amortiguamiento, más una parte permanente (la solución particular) que permanece mientras existe la carga externa y vibra con la misma frecuencia que ésta.

( ) ( ) tDtsenCtsenBtAetu ddt

hn ωωωωξω coscos ⋅+⋅+⋅+⋅⋅= −

respuesta transitoria respuesta permanente

En las figuras siguientes se grafica la solución homogénea, particular y total del movimiento (la solución total está superpuesta a la homogénea para comparar)

tiempo

U(t)

º

tiempo

Uh(t)



El desplazamiento máximo de la respuesta permanente será: ( ) 22 DCtumáx +=

Que reemplazando y agrupando valores queda:

( )( ) ( )222

0

21

1

ξββ +−=

kPtumáx ( 2.19)

Debido al amortiguamiento habrá un ángulo de fase entre la carga y el movimiento, indicado por

211

12tantan

βξβφ

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= −−

CD

(2.20)

la respuesta permanente se puede expresar a partir de Ec. ( ) y Ec. ( )

( )( ) ( )

( )φωξββ

−⋅+−

= tsenkPtu p

222

0

21

1 (2.21)

de Ec. ( ) y Ec. ( ) , el factor de amplificación del movimiento con amortiguamiento queda:

( )

( ) ( )222 21

1

ξββδ+−

==est

máx tuM (2.22)

observando que depende del amortiguamiento y de la relación de frecuencias. Si el amortiguamiento es nulo se obtiene la Ec. (2.16a). Los gráficos siguientes representan la variación del factor de amplificación y del ángulo de fase, con la relación de frecuencias para distintos valores de amortiguamiento.

tiempo

Up(t)

tiempo

U(t)

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3

β

M0,01

0,1

0,3

0,6

12



Del análisis de los gráficos se puede observar lo siguiente:

- para valores de β próximos a cero, la magnitud del desplazamiento estático y dinámico son similares (M ≈ 1). La frecuencia de la fuerza externa es tan pequeña que se aproxima a una carga estática y el amortiguamiento casi no incide, por lo que la rigidez de la estructura será determinante en el desplazamiento. El movimiento está en fase con la carga.

kP

u estmáx0=≈ δ

- En el caso de β<1 el desplazamiento dinámico es mayor que el estático y está en fase.

- En las proximidades de β =1 ( )nωω ≈ el desplazamiento aumenta para valores bajos de amortiguamiento y la condición de resonancia produce amplitudes acotadas en el movimiento vibratorio. En esta situación, el valor del amortiguamiento es decisivo en la respuesta de la estructura. La fase es igual para todo valor del amortiguamiento y es de 90º.

ξδ2est

máxu =

- Cuando β >>>1 las amplitudes de la acción dinámica disminuyen y la respuesta de la estructura depende fundamentalmente de la masa. El movimiento está fuera de fase con un ángulo de fase próximo a 180º.

ωωωω

δβδ

mP

mk

kP

u nest

estmáx

002

2

21

===≈

Si se analiza la respuesta de la estructura en la situación de resonancia, cuando nωω → (sin tener en cuenta la respuesta transitoria para simplificar) se tiene:

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+= − ttsente

kP

tu nddtn ωω

ξ

ξωξ

ξω cos1

cos21

20

donde la envolvente de la respuesta es exponencial (comparar con el movimiento sin amortiguamiento) y

para pequeños valores de amortiguamiento se puede expresar ( ) ( ) tekPtu n

tn ωξ

ξω cos1210 −≈ −

gráficamente:

0

90

180

0 1 2 3

β

φ 0,01

0,1

0,3

0,61

2

tiempo

U(t)



A medida que aumenta t el valor de la respuesta tiende a ξ

δ2est

máxu = .

TRASMISIÓN DE LA CARGA A LOS VÍNCULOS

La fuerza trasmitida a los vínculos de una estructura bajo cargas dinámicas estará compuesta por la fuerza elástica y la fuerza de amortiguamiento.

( ) ( )tuctkuffP aeT &+=+=

si se considera la respuesta permanente del movimiento de Ec. ( )

( )( ) ( )

( )φωξββ

−⋅+−

= tsenkPtu p

222

0

21

1

( )( ) ( )

( )φωξββ

ω −⋅+−

= tkPtu p cos

21

1222

0&

el módulo de la fuerza trasmitida ( )( ) ( )( )22 tuctkuPT &+=

operando con Ec. ( ) Ec. ( ) y Ec. ( ), resulta

( ) ( )222

222

0

21

1 ωξββ

ckkPPT +⋅

+−=

ξωnmc 2= y mk

n =2ω

entonces la fuerza trasmitida a los vínculos ( ) ( )

22

2220 41

21

1 βξξββ

+⋅+−

⋅= PPT

La relación entre la máxima fuerza

trasmitida y la fuerza armónica aplicada

en la estructura se denomina

trasmisibilidad de fuerza PT

( ) ( )222

22

0 21

41

ξββ

βξ

+−

+==

PPT T

p

y depende del amortiguamiento y de la

relación de frecuencias. En el gráfico se

puede observar:

- para valores de β próximos a cero, la trasmisibilidad de fuerza es igual a la unidad, es decir, la fuerza externa Po se trasmite en la misma magnitud a los vínculos, como si se aplicara en forma estática. El amortiguamiento no incide.

- En el caso de β < 2 la fuerza trasmitida disminuye al aumentar el amortiguamiento.

- En β = 2 la trasmisibilidad es nuevamente unitaria ( TPP =0 ) y no depende del amortiguamiento.

- Para valores de β > 2 , la fuerza trasmitida a los vínculos es siempre menor a la carga externa y es mayor cuanto más grande es el amortiguamiento.

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3β

T pζ=0,01

0,1

0,2

0,4

12

2



- Se observa que un valor alto de amortiguamiento disminuye la fuerza trasmitida para frecuencias bajas de la carga externa, pero incrementa la fuerza para frecuencias altas. Esto requiere un estudio de las acciones de máquinas cuya frecuencia es variable durante el arranque por un tiempo prolongado.

2.2.1.2 DESPLAZAMIENTO DE VÍNCULO IMPUESTO

Se analizará una solicitación armónica producida por un desplazamiento de vínculo en función del tiempo. Ejemplos de este tipo de carga se presentan en estructuras cuyas fundaciones son afectadas por el paso de vehículos (como trenes y subterráneos) y también el propio vehículo si se considera rodando sobre una superficie ondulada como en el esquema de la figura.

U(t) k c movimiento del vehículo

El desplazamiento de vínculo ( ) tsenyty ω⋅= 0 tiene una variación en el tiempo como se indica en el gráfico siguiente.

Las fuerzas elásticas en la estructura son proporcionales al desplazamiento relativo u-y (en el esquema de la figura es el alargamiento neto o el acortamiento neto del resorte). Las fuerzas de amortiguamiento a su vez son proporcionales a la velocidad relativa yu && − , mientras que las fuerzas de inercia son proporcionales a la aceleración absoluta. Como no existen fuerzas exteriores actuando sobre el sistema, la ecuación de equilibrio dinámico queda de la forma:

( ) ( ) 0=−⋅+−⋅+ yukyucum &&&&

reagrupando y reemplazando por y

tyctsenykyckykuucum ωωω cos00 ⋅⋅+⋅=+=++ &&&&

el último miembro de la ecuación se puede expresar como una carga armónica,

( )αω −⋅=++ tsenAkuucum &&&

con ( )220 ωckyA += y ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= −

kcωα 1tan

si se reemplaza en la Ec. ( ) el valor de A por Po, se tiene la respuesta de la estructura al desplazamiento de vínculo armónico.

c

t

Y(t)��

Yo



( ) ( )

( ) ( )( )αφω

ξββ

ω−−⋅

+−

+= tsen

kcky

tu p222

220

21

1

como ξωnmc 2= y mk

n =2ω

entonces ( )( ) ( )

( )αφωξββ

βξ−−⋅

+−

+⋅= tsenyu t

222

22

021

41

el máximo desplazamiento de la estructura respecto del máximo desplazamiento impuesto del vínculo se denomina trasmisibilidad de desplazamiento, y resulta:

( ) ( )222

22

0 21

41

ξββ

βξ

+−

+==

yu

T máxd que tiene la misma forma que la Ec. ( )

de trasmisibilidad de fuerzas y por lo tanto también una representación gráfica similar.

2.2.2 CARGAS DE VARIACIÓN PERIÓDICA EN GENERAL

Las cargas periódicas son aquellas que se repiten en un intervalo de tiempo determinado denominado período de la carga. Ejemplos de acciones dinámicas que se pueden aproximar como periódicas son el funcionamiento de maquinarias, el oleaje sobre estructuras offshore y el viento en mástiles y estructuras esbeltas.

P(t)

t

To To To

Una función periódica P(t) de período To puede ser expresada a través de las series de Fourier como la sumatoria de funciones armónicas:

( ) ( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

++=11

0 cosn

nn

n tnsenbtnaatP ωω

con la frecuencia de la carga 0

2Tπω =

el valor de los coeficientes ( )dttPT

aTo

∫=00

01

( ) ( )dttntPT

aTo

n ∫=00

cos2 ω .............3,2,1=n



( ) ( )dttnsentPT

bTo

n ∫=00

2 ω .............3,2,1=n

en estructuras de comportamiento lineal, la respuesta final será la superposición de las respuestas de cada término de la serie de Fourier. De esta manera la ecuación de equilibrio será:

( ) ( )tnsenbtnaa

ukucumn n

nn ωω ⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅ ∑ ∑∞

=

∞

=1 1

0 cos2

&&&

el segundo miembro de la ecuación es una suma de funciones armónicas y por el principio de superposición la solución particular será la suma de las soluciones particulares de cada término (no se considera por simplicidad la respuesta transitoria).

El primer término representa una fuerza constante

2

aukucum 0=⋅+⋅+⋅ &&&

con la solución particular ( )k2

atu 0p =

Los términos restantes corresponden a fuerzas armónicas

( )tnaukucum n ωcos⋅=⋅+⋅+⋅ &&&

con solución particular ( )( )

( )n222222

n

p tncosn4n1

ka

tu φωβξβ

−⋅+−

=

y finalmente ( )tnsenbukucum n ω⋅=⋅+⋅+⋅ &&&

con solución particular ( )( )

( )n222222

n

p tnsenn4n1

kb

tu φωβξβ

−⋅+−

=

de esta forma la solución particular queda:

( )( )

( )

( )( )n

222222

n

n222222

n0

p

tnsen1n n4n1

kb

tncos1n n4n1

ka

2atu

φωβξβ

φωβξβ

−⋅= +−

+

−⋅= +−

+=

∑

∑

∞

∞

Para obtener la solución completa se debe agregar la solución homogénea e introducir las condiciones iniciales (régimen transitorio).

Cuando la fuerza periódica externa tiene una forma irregular o se conoce en forma experimental a través de tablas o gráficos se puede utilizar el método de la integración de Fourier con procedimientos numéricos.



P(t)

0 t

P1 P2 P3 PN-1 PN

τ =N Δt

Sean P1, P2, P3, ....PN los valores conocidos de la fuerza P para N puntos equidistantes dentro de un período τ , los valores de los coeficientes serán:

∑=

⋅=N

1ii0 P

N2a

τπ i

N

1iin

tn2cosPN2a ⋅

⋅⋅= ∑=

τπ i

N

1iin

tn2senPN2b ⋅

⋅⋅= ∑=

la respuesta permanente se obtiene con la Ec. ( ) donde la relación de frecuencias es nτω

πβ 2=

2.2.3 CARGAS DE VARIACIÓN ARBITRARIA

Existen muchas ocasiones en la práctica en las cuales las acciones dinámicas no responden a una variación armónica, ni siquiera periódica, sino que la fuerza actuante puede tener una magnitud y una duración variable cualquiera en el tiempo. Ejemplos de acciones de variación arbitraria son los choques, el sismo o la onda de presión debida a una explosión.

Los métodos de cálculo para hallar la respuesta de una estructura a cargas de variación arbitraria difieren de los vistos anteriormente, avanzando en generalidad. En esta sección se analizará el método de la integral de convolución o integral de Duhamel.

2.2.3.1 – IMPULSO – INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN

La forma más simple de carga de variación cualquiera es la de un impulso, que es una fuerza de gran magnitud en un intervalo muy corto de tiempo. Una fuerza arbitraria será considerada una sucesión de impulsos de duración infinitesimal y la respuesta total será la superposición de la respuesta de cada impulso.

De la dinámica del cuerpo rígido, recordamos que el impulso queda determinado por el cambio en la cantidad de movimiento del sistema, causado por tal impulso.

Entonces el impulso I

12 umumtPI && ⋅−⋅=Δ=

con 2um &⋅ : cantidad de movimiento del sistema después de aplicar el impulso

1um &⋅ : cantidad de movimiento del sistema antes de aplicar el impulso

t1 t2



en general dtPItt

t⋅= ∫

⋅Δ+

y el impulso unitario esta dado por 10

=⋅=⋅= ∫⋅Δ+

→ΔdtPdtPlímI

tt

tt

Si bien el impulso unitario no tiene significado físico (pues la fuerza debería tender hacia infinito cuando el tiempo tiende hacia cero), será de utilidad en el desarrollo del siguiente análisis.

Analizaremos la respuesta de un sistema amortiguado de un grado de libertad a la acción de un impulso unitario en el tiempo t=0. El impulso provoca un movimiento libre amortiguado (limitaremos el análisis al movimiento tipo sub-amortiguado).

La ecuación de equilibrio es, de Ec.( ): 0=⋅+⋅+⋅ ukucum &&&

cuya solución, de Ec.( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

++⋅⋅= − tsenuutuetu d

d

nd

tn ωωξωωξω 00

0 cos&

En los gráficos siguientes se observa la acción y la respuesta:

Si el desplazamiento y velocidad iniciales son nulos en el instante inmediato anterior a la aplicación del impulso y denominamos a −=0tu& y +=0tu& la velocidad antes y después de aplicar el impulso, siempre en el tiempo t=0.

El impulso unitario aplicado 1000 =⋅=⋅−⋅= −+ == umumumI tt &&&

De donde se pueden obtener las condiciones iniciales del movimiento libre sub-amortiguado:

( ) 000 == =tuu ( ) muu t

100 == =&& y reemplazando en Ec. ( ) queda

( ) ( ) tsenmetgtu d

d

tn

ωω

ξω⋅

⋅==

−

llamando g(t) a la función respuesta del impulso unitario.

Si el impulso no es unitario, sino de magnitud I, la velocidad inicial luego del impulso será

mIu =0& y la respuesta será: ( ) ( )tgItsen

meItu d

d

tn

⋅=⋅⋅

⋅=

−ω

ω

ξω

Además, si en lugar de aplicar el impulso en el tiempo t=0, se aplica I en un instante de tiempo τ, y suponiendo que el desplazamiento es nulo en ese instante, la respuesta tendrá una traslación en el tiempo

( ) ( ) ( )( )τωω

τξω

−⋅⋅

=−⋅=−

tsenmeItgItu d

d

tn

τ≥t

gráficamente:

P(t)

t t

u(t)

P(t)

t t

u(t)

τ Δτ

P

τ



Ahora consideremos una fuerza cualquiera a la que igualamos a una sucesión de impulsos. El valor de la fuerza P(τ) producirá un impulso en el tiempo Δτ igual a I=P(τ)Δτ y la respuesta a este impulso, según Ec. ( ) es

( ) ( ) ( )τττ −⋅Δ=Δ tgPtu

la respuesta total estará dada por la suma de todas las respuestas a impulsos elementales actuando en distintos instantes de tiempo τ (se aplica superposición)

en el límite cuando Δτ 0 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ττ

τττ

dtgtPtu

tgPtut

⋅−⋅=

Δ⋅−⋅≅

∫∑

0

reemplazando por Ec. ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ττωτω

τξω dtsenePm

tu dtt

d

n ⋅−⋅⋅⋅⋅

= −−∫01

que es la respuesta de una estructuta de un grado de libertad, sub-amortiguada, bajo la acción de una fuerza arbitraria. La integral se llama integral de convolución o integral de Duhamel, y se aplica a cualquier carga en todo sistema de comportamiento lineal. Se observa que esta solución no tiene en cuenta las condiciones iniciales (antes de aplicar cada impulso las condiciones iniciales son nulas).

La secuencia de cálculo se representa gráficamente, donde se observa primeramente la descomposición de la acción dinámica en impulsos de duración infinitesimal, el cálculo de la respuesta a cada uno de esos impulsos y finalmente la respuesta total como superposición de las respuestas anteriores.

En los casos en que la fuerza tiene una expresión sencilla se podrá integrar la Ec. (2.30) por métodos analíticos y obtener la integral exacta, de otra forma se deberá integrar a través de métodos numéricos.

P(τ)

τ

Δu1(t)

t

t

t

Δuk(t)

υ(t) ........

........



Si el sistema vibratorio es no amortiguado, la Ec. (2.30) queda:

( ) ( ) ( ) ττωτω

dtsenPm

tu nt

n⋅−⋅⋅

⋅= ∫0

1

Ejemplo:

Analizaremos una carga constante en el tiempo y aplicada en forma instantánea en una estructura de un grado de libertad sin amortiguamiento.

De Ec. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tnn

nt

nt

mP

dtsenPm

tu 020

0cos1 τω

ωττωτ

ω−⋅

⋅=⋅−⋅

⋅= ∫

( ) [ ] ( )tm

Pt

mP

tu nn

nn

ωω

ωω

cos1cos0cos 20

20 −⋅

⋅=−

⋅=

la respuesta es una función armónica de amplitud constante, por la ausencia de amortiguamiento, de valor

(para π=t ) ( )kP

tumáx02

=

Se observa que el desplazamiento máximo al aplicar una fuerza en forma instantánea es el doble que el mismo efecto al aplicarla en forma estática, oscilando la estructura respecto de una nueva posición de equilibrio estático, como se observa en la figura.

2.2.3.2 – CARGAS DE CORTA DURACIÓN - ESPECTROS DE RESPUESTA

En la sección anterior se analizaron cargas dinámicas de variación arbitraria en el tiempo a través de la integral de Duhamel. Estas cargas se consideraban actuando durante todo el movimiento vibratorio.

Ahora analizaremos aquellas cargas que tienen una duración definida y pequeña en el tiempo, a las que se denominan “pulsos”. Ejemplos típicos de estas acciones se presentan en las siguientes figuras, con una duración de la carga de t1 segundos.

pulso rectangular pulso triangular pulso senoidal

P(t)

t

P(t)

Po

u(t) 2Po/k

Po/k

0 t

P(t)

t t1

P(t)

t1

P(t)

t1 t t



La respuesta a estas acciones puede hallarse utilizando la integral de convolución utilizando superposición de funciones P(t). Por ejemplo en el caso del pulso rectangular de duración t1:

La característica de la respuesta a estas acciones es que está compuesta por dos fases: una que corresponde con el movimiento forzado, mientras dura la aplicación del pulso (to, t1) y una segunda fase de movimiento libre cuyas condiciones iniciales son las que tiene la estructura en el instante en que deja de aplicarse el pulso (t1). La respuesta a un pulso determinado dependerá sólo de la relación entre el tiempo de duración de la carga y el periodo natural de la estructura (u =f (t1/T))

Los espectros de respuesta son gráficos que muestran la máxima respuesta, a una carga dinámica dada, de un sistema de un grado de libertad (máximo desplazamiento, velocidad, aceleración) para cada valor del período (o la frecuencia natural) del sistema. En el caso de cargas de corta duración, el máximo desplazamiento será el mayor que se produzca en ambas fases del movimiento, forzada o libre.

Los espectros de respuesta dependen de las características propias del sistema (período, amortiguamiento) y del tipo de fuerza aplicada (intensidad y duración) y tienen aplicación principalmente en el caso de acciones sísmicas y otro tipo de solicitaciones cuya magnitud y distribución en el tiempo no se corresponda con expresiones matemáticas sencillas.

Los espectros de respuesta típicos representan la relación ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ttftu

máxest

1δ

t1: duración de la carga

T: periodo natural de la estructura

u/δest: factor de amplificación

Ejemplos de espectros de respuesta para carga tipo pulso rectangular y senoidal se presentan a continuación.

Pulso rectangular: ⎩⎨⎧

=+00P

kuum && 1

1

tttt

>≤

Pulso senoidal: ⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=+

0

10 T

tsenPkuumπ

&& 1

1

tttt

>≤

t

P(t)

t t1

P(t)

=

P(t)

t1 t

+ t1 t1

Po Po

-Po

t

P(t)

t1 0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 1 2 3 4

t1/T

u / δ

est



Si la duración de la aplicación de la carga (t1) es menor que aproximadamente la mitad del periodo, es decir t1<T/2, la máxima respuesta tendrá lugar en la fase de movimiento libre (se aproxima a una carga impulsiva como la analizada en la sección anterior con t1 0, y depende del valor del impulso). Si en cambio la duración de la carga es mayor a T/2, la máxima respuesta se dará durante la aplicación de la carga, en la fase forzada del movimiento y dependerá de la variación de la carga en el tiempo (observar que el pulso rectangular es el que aumenta más rápido en el tiempo, por lo que produce una mayor amplificación de la respuesta).

Se han analizado estructuras sin amortiguamiento, pues la influencia de éste es poco significativa en cargas de corta duración.

2.2.4 ACCIÓN SÍSMICA

Una de las aplicaciones más importantes del análisis dinámico de estructuras es la referida a los efectos que los sismos producen en las construcciones. Esta acción dinámica no se manifiesta directamente mediante fuerzas, sino a través de movimiento de los vínculos en los que se funda la estructura.

La mayor dificultad del análisis se presenta en la definición de este movimiento de vínculo, que usualmente se presenta como la aceleración del terreno en donde se apoya la estructura y es definida normalmente por métodos estadísticos. Una vez definida la solicitación sísmica, la respuesta de la estructura se planteará por métodos deterministas de análisis. Si bien el movimiento representante de la acción sísmica puede contener distintas componentes en el espacio, nos limitaremos a la componente horizontal en un primer análisis, siendo generalmente la de mayor incidencia en las construcciones.

Sea una estructura de un grado de libertad a la cual se aplica un movimiento horizontal ug(t) de su base, solidario al movimiento del suelo, provocado por un sismo.

desplazamiento del suelo: ( )tug

desplazamiento relativo: ( )tu

desplazamiento total: ( ) ( ) ( )tututu gT +=

El desplazamiento total en la dirección del grado de libertad estará compuesto por el desplazamiento del suelo (desplazamiento como rígido) más el desplazamiento relativo debido a la deformación propia de la estructura.

La ecuación de equilibrio dinámico sumará fuerzas de inercia, proporcionales a la aceleración absoluta, y fuerzas elásticas y de amortiguamiento proporcionales al desplazamiento y velocidad relativos respectivamente.

t

P(t)

t1 0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 1 2 3 4

t1/T

u / δ

est

ug u ug

uT

k/2 k/2

m



0=⋅+⋅+⋅ ukucum T &&& ( )

( ) 0=⋅+⋅++⋅ ukucuum g &&&&&

( )tpumukucum efg =⋅−=⋅+⋅+⋅ &&&&& ( )

( )tpef es la carga efectiva aplicada en la estructura a causa de un movimiento de su base.

La Ec. ( ) indica que un movimiento en la base de aceleración ( )tug&& es equivalente a aplicar una fuerza en

la estructura de valor ( ) ( )tumtp gef &&⋅−= .

El signo negativo es indistinto ya que la acción sísmica puede tener cualquier sentido alternándose en el tiempo.

Dividiendo Ec. ( ) por la masa, queda

gnn uuuu &&&&& −=⋅+⋅+ 22 ωξω

que es otra forma de expresar la ecuación de equilibrio dinámico de un sistema de un grado de libertad bajo la aceleración del suelo.

2.3 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

2.3.1 CÁLCULO DE LA FRECUENCIA NATURAL - MÉTODO DE RAYLEIGH

Es un método aproximado para hallar la frecuencia natural de una estructura en base al principio de conservación de la energía. En una estructura en donde no existen cargas exteriores ni amortiguamiento (movimiento libre no amortiguado), la energía total permanecerá constante. Si se adopta un modo de vibración (es necesario para el planteo energético del método) para una estructura de un grado de libertad, en movimiento libre no amortiguado, por ejemplo:

( ) tAsentu nω=

La velocidad será: ( ) tAtu nn ωω cos⋅=&

La energía potencial: ( ) tsenkAkutV nω222

21

21

==

La energía potencial máxima: 2

21 kAVmáx =

La energía cinética: ( ) tmAumtT nn ωω 2222 cos21

21

== &

La energía cinética máxima: 22

21

nmáx mAT ω=

En estas condiciones para dos instantes cualquiera se tiene:

T 1 + V 1 = T 2 + V 2 = cte. T: energía cinética

ug

pef

=



V: energía potencial elástica.

Si denominamos 1 a la posición de equilibrio estático de la masa y 2 a la posición de máximo apartamiento de 1:

221 2

1nmáx mATT ω== V1 = 0

T2 = 0 22 k

21 AVV máx ==

Por lo tanto se tiene:

222

21

21 kAmA n =ω

obteniéndose la frecuencia natural de la estructura mk

=ω

expresión ya conocida, a la que se había arribado anteriormente. Este método presentado con una estructura simple, presenta ventajas en sistemas de varios grados de libertad y en estructuras con masa distribuida (con infinitos grados de libertad).

2.3.2 SOLUCIÓN DE LA EC. DE EQUILIBRIO DINÁMICO POR MÉTODOS

NUMÉRICOS

En los casos en que la fuerza externa aplicada en la estructura tiene una variación compleja o no hay linealidad en alguna componente de la estructura, no es posible hallar la solución exacta de la ecuación diferencial de equilibrio dinámico, y ésta debe ser integrada en forma numérica.

El problema numérico está en la clasificación de problema de valor inicial (PVI), pues se trata de integrar en el tiempo una ecuación diferencial de segundo orden contando con las condiciones iniciales del problema que permiten iniciar el cálculo (desplazamiento y velocidad en el tiempo inicial).

La variable continua tiempo es discretizada en pasos, de manera que la fuerza exterior se expresará como un conjunto de valores correspondientes con cada tiempo del nuevo dominio discreto. Del mismo modo, la respuesta de la estructura (solución de la integración) estará dada sólo en los puntos del dominio (en lugar de obtener u(t) será ui)

Si se adopta un paso de tiempo ii ttt −=Δ +1

La ecuación de equilibrio del movimiento quedará:

iiii pkuucum =++ &&&

Como en todo procedimiento numérico, debe controlarse:

• la convergencia, tal que a medida que el paso de tiempo sea menor, la solución numérica tiende a la solución exacta.

• La estabilidad, de modo que la solución no se aparte de la exacta por la acumulación de errores.

Si bien existe una gran variedad de métodos de resolución numérica del problema dinámico, mencionaremos como ejemplos:

1) resolución como sistema de ecuaciones de primer orden:

consiste en reemplazar la ecuación diferencial de segundo orden por un sistema de dos ecuaciones de primer orden y resolverlas simultáneamente.

Sea iiii pkuucum =++ &&&

Si uz &= uz &&& =



Quedando el sistema ⎩⎨⎧

=−−=

ii

iiii

zuczkupz

&

& con las condiciones iniciales

( )( )⎩

⎨⎧

====

00

0

0

tuztuu

&

El sistema se puede resolver con distinto métodos como los del tipo de Euler o Runge Kutta.

2) resolución por el método de diferencias finitas: se trata de reemplazar la derivada primera y segunda de u por una aproximación en diferencias finitas.

Si se utilizan diferencias centradas:

tuu

u iii Δ

−= −+

211&

( )211 2

tuuu

u iiii

Δ

+−= −+&&

reemplazando en Ec. ( )

( ) iiiiiii pku

tuu

ct

uuum =+

Δ−

⋅+Δ

+−⋅ −+−+

22 11

211

de esta última ecuación es posible despejar 1+iu en forma explícita en función de los parámetros en un paso de tiempo anterior, por lo que recibe el nombre de método explícito. Sin embargo, estos métodos, que no requieren la resolución de un sistema de ecuaciones, tienen condicionamientos en cuanto a la estabilidad, debiendo cumplirse que el paso de tiempo esté relacionado con el periodo de la estructura en:

Ttπ1

<Δ

además de la condición de estabilidad, el paso de tiempo dependerá de la carga dinámica definida, de modo de poder expresarla en forma discreta de manera representativa (para el caso de aceleración del suelo debido a un sismo, el intervalo de tiempo debe ser suficientemente pequeño para representar lo más aproximado posible la acción dinámica).



3 ESTRUCTURAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

Cuando un sistema requiere mas de una coordenada para describir el movimiento se trata de un sistema de varios grados de libertad. En general un sistema de n grados de libertad requiere de n coordenadas independientes para determinar su movimiento.

Los grados de libertad de un sistema se determinan por el número de masas multiplicado por los desplazamientos posibles de cada masa.

3.1 ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINÁMICO

El análisis realizado para el sistema de un grado de libertad es trasladable a sistemas de múltiples grados de libertad. Existirá una ecuación diferencial del movimiento para cada grado de libertad. Si cada ecuación involucra a mas de una coordenada se dice que es un sistema acoplado, en cambio si cada ecuación contiene solo una coordenada se trata de un sistema desacoplado.

Veamos un sistema de dos grados de libertad como el siguiente.

u1 u2

k1 k2

m1 P1(t) m2 P2(t)

c1 c2

a partir del diagrama de cuerpo libre para cada grado de libertad planteamos las ecuaciones de movimiento

u1 u2

P1(t) P2(t)

k1u1 k2(u2-u1)

c1 u1 m1 c2 (u2-u1) m2

( ) ( )

22212221222

1221212212111

Pukukucucum

Pukukkucuccum

=⋅+⋅−⋅+⋅−⋅

=⋅−⋅++⋅−⋅++⋅

&&&&

&&&&

(3.1)

en la ecuación correspondiente con la coordenada u1 aparece involucrada la coordenada u2, de manera que se trata de un sistema acoplado.

Si expresamos (3.1) en forma matricial:

pukucum =⋅+⋅+⋅ &&&

con ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1m00m

m matriz masa



⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+=

22

221ccccc

c matriz amortiguamiento

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+=

22

221kkkkk

k matriz rigidez

y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1uu

u ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1uu&

&&u ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1uu&&

&&&&u ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1PP

p

son los vectores desplazamiento, velocidad, aceleración y cargas exteriores.

El acoplamiento del sistema se advierte en las matrices k, m y c. Para que exista desacoplamiento total las matrices deben ser diagonales de manera de tener ecuaciones que contengan una sola coordenada. En este ejemplo la matriz m diagonal significa que el sistema es desacoplado dinámicamente. Las matrices k y c no diagonales indican que hay acoplamiento elástico y cinemático respectivamente.

En general es posible encontrar un sistema de coordenadas en el cual cada ecuación contenga sólo una coordenada. Estas coordenadas se denominan principales. De esta forma cada ecuación se soluciona independientemente de las otras y la solución total del movimiento será la combinación de las soluciones para cada coordenada.

Analizaremos primeramente un sistema de dos grados de libertad para luego generalizarlo a n grados de libertad.

3.2 VIBRACIONES LIBRES 3.2.1 FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS DE VIBRACIÓN

Sean dos masas mi conectadas por barras de rigidez ki

m2 u2

k2

m1 u1

k1

Las ecuaciones de equilibrio dinámico para cada coordenada

( )

0ukukum

0ukukkum

221222

2212111

=⋅+⋅−⋅

=⋅−⋅++⋅

&&

&&

en forma matricial

0ukum =⋅+⋅ && (3.2)

Una solución posible esta dada por

( ) ( )( ) ( )θω

θω+⋅⋅=+⋅⋅=

tsenAtutsenAtu

n22

n11

en forma matricial ( ) ( )θω +⋅⋅= tsent nAu

(esta solución supone que las dos masas se mueven con la misma frecuencia y ángulo de fase pero distinta amplitud)



al derivar y reemplazar en(3.2)

( ) ( )θωω +⋅⋅⋅= tcost nn Au&

( ) ( ) ( )ttsent 2nn

2n uAu &&&& ⋅−=+⋅⋅⋅−= ωθωω

( ) 0umk =⋅⋅− 2nω (3.3)

se obtiene la ecuación característica del sistema. Este sistema tiene una solución trivial con u1= u2 =0, y una no trivial cuando el determinante es nulo.

De esta forma 0mk =⋅− 2nω

0m00m

kkkkk

2

12n

22

221 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+ω

( ) 0

mkkkmkk

2n222

22

n121 =⋅−−

−⋅−+ω

ω

( ) ( ){ } 0kmkmkkmm 12

n122214

n21 =+⋅⋅+⋅+−⋅⋅ ωω

al resolver el determinante queda un polinomio de grado dos en wn2, cuyas raíces, llamadas autovalores, serán wn12 y wn2 2 y las raíces reales y positivas de éstas son las frecuencias naturales del sistema: wn1 y wn2. Estas frecuencias son distintas en general y la menor frecuencia se denomina principal.

Sustituyendo cada frecuencia en (3.3) obtenemos un sistema de dos ecuaciones homogéneo por lo cual los valores de las incógnitas son expresados en función de un valor arbitrario de una de ellas.

Para el caso de la frecuencia natural wn1 tendremos

( )

( ) 0umkuk

0ukumkk

222

1n22

2212

1n21

=⋅⋅−+⋅−

=⋅−⋅⋅−+

ω

ω

las soluciones para este sistema son infinitas manteniéndose siempre una relación entre u1 y u2 que

estará dada por: 2

21n2

2

2

12

1n21

1

2mk

kk

mkkuu

⋅−=

⋅−+=

ω

ω

valores de u1 y u2 forman los denominados autovectores y se adopta la siguiente notación, donde el segundo subíndice indica la frecuencia:

212

111uu

φφ

==

para la frecuencia w1 el autovector ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

21

111 φ

φΦr

El mismo procedimiento realizado para la frecuencia wn1 se sigue para la segunda frecuencia, obteniéndose:

222

121uu

φφ

==

con ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

22

122 φ

φΦr

De manera que para cada frecuencia natural (autovalores) existirá un autovector asociado que representa los desplazamientos máximos relativos en cada coordenada cuando el sistema vibra de una



forma sincrónica con esa frecuencia. Esta forma particular de vibración del sistema en el cual todas los grados de libertad vibran en forma sincrónica con una frecuencia dada se denomina modo de vibración.

En forma gráfica:

φ11 φ12

φ21 φ22

modo 1 modo 2

Existirán tantos modos de vibración como grados de libertad tiene el sistema y el movimiento en general será una superposición de todos los modos por lo tanto no armónico.

La matriz modal resulta de ordenar los vectores columna de cada modo.

[ ]212221

1211 ΦΦΦ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

φφφφ

El primer modo de vibración es el que corresponde a la frecuencia natural más baja y se denomina modo fundamental (todas las masas están en fase) y los siguientes se denominan primer, segundo, etc. armónicos. (el movimiento de las masas esta fuera de fase).

3.2.2 – COORDENADAS PRINCIPALES

Una importante propiedad que verifican los modos de vibración es la ortogonalidad.

Sean dos modos i y j cualesquiera de un sistema de n grados de libertad. Según (3.3) se cumple para cada modo:

ii2

in ΦΦ ⋅=⋅⋅ kmω (3.4)

donde el primer miembro de(3.4) representa la fuerza de inercia aplicada en cada masa.

φ1i f1i φ1j f1j

φ2i f2i φ2j f2j

modo i modo j

Por la ley de Betti, se cumple:

jTii

Tj ff ΦΦ ⋅−⋅− =

reemplazando de (3.4)



jTi

2nii

Tj

2nj ΦΦΦΦ ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ mm ωω

( ) 0iTj

2ni

2nj =⋅⋅⋅− ΦΦ mωω

como en general 2nj

2ni ωω ≠ entonces se obtiene la condición de ortogonalidad

0iT

j =⋅⋅ ΦΦ m para i j≠ (3.5)

Si premultiplicamos (3.4) por TjΦ

iTji

Tj

2in ΦΦΦΦ ⋅⋅=⋅⋅⋅ kmω

si aplicamos (3.5) 0iT

j =⋅⋅ ΦΦ k para i j≠ (3.6)

Las ecuaciones (3.5) y (3.6) indican que los vectores modales son ortogonales por lo que son independientes y forman una base de un sistema de coordenadas n-dimensional. De esta forma cualquier vector en este espacio puede ser expresado como combinación lineal de los vectores modales.

∑=

⋅=n

1iiiy Φu (3.7)

u2 φ12 φ22

u1 = φ11 x Y1 φ12 x Y2

2221122

2121111

yyuyyu

⋅+⋅=⋅+⋅=

φφφφ

en forma matricial yu ⋅= Φ (3.8)

representa un cambio de coordenadas a través de la matriz modal. El vector desplazamiento de cada masa en las coordenadas originales (u) es expresado como combinación lineal de un nuevo sistema de coordenadas (y) a través de los coeficientes de la matriz modal.

Cuando i=j las ecuaciones (3.5) y (3.6) serán distintas de cero y constituyen las llamadas matriz masa principal y matriz rigidez principal dadas por,

iT

i

iT

i

ΦΦ

ΦΦ

⋅⋅=

⋅⋅=

kKn

mMn (3.9)

Estas matrices son diagonales por lo tanto no existirá acoplamiento en este nuevo sistema de coordenadas lo que permite resolver las ecuaciones (3.2) en forma independiente para cada coordenada. Estas coordenadas se denominan principales.



Entonces, dado un sistema de varios grados de libertad que se encuentre acoplado en forma dinámica o elástica en sus coordenadas originales, es posible encontrar otro sistema de coordenadas donde cada ecuación sea independiente. Esta transformación se logra por medio de la matriz modal.

Aplicaremos la transformación mencionada al problema anterior de dos grados de libertad. Inicialmente, el planteo de las ecuaciones:

0ukum =⋅+⋅ &&

si reemplazamos yu ⋅= Φ yu && ⋅= Φ yu &&&& ⋅= Φ

0ykym =⋅⋅+⋅⋅ ΦΦ &&

premultiplicamos por TΦ

0kym =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ yTT ΦΦΦΦ &&

de (3.9) 0ykyMn =⋅+⋅ &&

queda de esta forma un sistema de ecuaciones independientes en Y

0yy

K00K

yy

M00M

2

1

2n

1n

2

1

2n

1n =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡&&

&&

que se pueden resolver en forma independiente para cada modo de vibración, como sistemas de un grado de libertad como los ya analizados, siendo las soluciones:

( )( )22n22

11n11tsenAytsenAy

θωθω

+⋅⋅=+⋅⋅=

A y θ dependen de las condiciones iniciales que deben transformarse a coordenadas principales,

( ) ( )00 uy ⋅= −1Φ

( ) ( )00 uy && ⋅= −1Φ

Una vez obtenidas las soluciones en coordenadas principales, para conocer los desplazamientos reales de cada masa se debe aplicar la transformación (3.8) entonces

yu ⋅= Φ

se tienen los desplazamientos reales superponiendo los desplazamientos de cada modo (método de superposición modal).

2221212

2121111yyuyyu

⋅+⋅=⋅+⋅=

φφφφ

3.2.3 - MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO

Si bien el amortiguamiento en las estructuras en general es muy pequeño y de difícil determinación, existen casos como los próximos a la resonancia en los cuales el amortiguamiento tiene gran importancia. La ecuación diferencial de equilibrio dinámico para un sistema de varios grados de libertad en movimiento libre amortiguado es, en expresión matricial: 0ukucum =⋅+⋅+⋅ &&&



donde ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211cccc

c es la matriz de amortiguamiento

La transformación (3.8) que convierte en diagonales la matriz masa y la matriz rigidez, no

transforma en general a la matriz amortiguamiento en diagonal, es decir, no desacopla al sistema cinemáticamente.

Para simplificar el problema se asignará a cada modo un amortiguamiento ζι y se construye una matriz Cn diagonal sin necesidad de hallar la matriz c

ii

i

cr

ii M2

CCC

i⋅⋅

==ω

ξ (para cada modo)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

222

111M20

0M2ωξ

ωξCn

Las ecuaciones de movimiento en coordenadas principales son

0yKnyCnyMn =⋅+⋅+⋅ &&& y se resuelven en forma independiente para cada modo como sistemas de un grado de libertad. Una vez obtenidas las soluciones en cada modo se aplica la transformación (3.8) obteniéndose los desplazamientos reales de cada masa en las coordenadas originales.

para cada modo ( ) ( )idit

ii tseneAty nii θωωξ +⋅⋅⋅= ⋅⋅− con Ai y θi dependientes de las condiciones iniciales

( ) ( )i01

ii0 uy ⋅= −Φ

( ) ( )i01

ii0 uy && ⋅= −Φ

luego ( ) ( )tt yu ⋅= Φ

3.3 VIBRACIONES FORZADAS 3.3.1 FUERZAS

Si en un sistema vibratorio de varios grados de libertad actúa una fuerza externa, las ecuaciones de

equilibrio serán: pukucum =⋅+⋅+⋅ &&& (3.10) un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas acopladas.

Aplicamos la transformación yu ⋅= Φ y premultiplicamos por TΦ

pykycym ⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ TTTT ΦΦΦΦΦΦΦ &&& PnyKnyCnyMn =⋅+⋅+⋅ &&& se obtiene así un sistema de ecuaciones desacoplado. Pn es el vector carga exterior en coordenadas principales.



Las ecuaciones se resuelven en forma independiente para cada modo en coordenadas principales y luego se compone la solución en las coordenadas originales por superposición modal.

La solución particular para el modo i :

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ττωτω

τωξ dtsenePM

1ty dit

t

0i

diii ni ⋅−⋅⋅⋅⋅

⋅= −⋅⋅−∫

luego ( ) ( )tt yu ⋅= Φ

4 ANEXOS 4.1 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DEL MOVIMIENTO

4.1.1 Anexo 1

Solución de la ecuación diferencial de equilibrio dinámico del movimiento libre no amortiguado.

La solución es de la forma steu =

Derivando y reemplazando en Ec.2.2 0)( 2 =⋅+ stekms

Por lo que la expresión entre paréntesis (ecuación característica) debe ser cero, de donde se obtienen las

raíces (valores característicos) nis ω±=2,1

Reemplazando en la solución general: titi nn eAeAtu ωω −⋅+⋅= 21)(

Con A1 y A2 constantes a determinar según las condiciones iniciales

Reemplazando 2

costiti

nnn eet

ωωω

−+= y

2

titi

nnn eetsen

ωωω

−−=

Queda tsenBtAtu nn ωω ⋅+⋅= cos)(

Con A y B constantes a determinar según condiciones iniciales

Si en t=0 ouu =)0( entonces AsenBAuo =⋅+⋅= 00cos 0uA =

Derivando u(t) se tiene la velocidad tBtsenAtu nnnn ωωωω cos)( ⋅+⋅−=&

Si en t=0 ouu && =)0( entonces nnno BBsenAu ωωω =⋅+⋅= 0cos0& n

uB

ω0&=

Por lo tanto la solución queda tsenu

tutu nn

n ωω

ω ⋅+⋅= 00 cos)(

&

4.1.2 Anexo 2

Solución de la ecuación diferencial de equilibrio dinámico del movimiento libre sub-amortiguado.

( ) tseAtu ⋅⋅=



derivando y reemplazando ( ) tseAstu ⋅⋅⋅=&

( ) ts2 eAstu ⋅⋅⋅=&&

( ) 0eAkscsm ts2 =⋅⋅+⋅+⋅ ⋅

quedando 02 =+⋅+⋅ kscsm

y como mk2

n =ω y nc m2c ω⋅⋅= 022 =++ kss nξω

que es la ecuación característica cuyas raíces son:

nis ωξξ ⋅⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −±−= 2

2,1 1

que reemplazadas en la solución

( ) ts2

ts1 21 eAeAtu ⋅⋅ ⋅+⋅=

se puede expresar de la forma ( ) ( )titit ddn eAeAetu ωωξω −− ⋅+⋅⋅= 21

y utilizando las relaciones trigonométricas del Anexo 1, se tiene: ( ) ( )tBsentAetu dd

tn ωωξω +⋅= − cos con A y B constantes a determinar en función de las condiciones iniciales 0u y 0u& .

0uA = y d

nuuB

ωξω 00 +

=&

4.1.3 Anexo 3

Solución de la ecuación diferencial de equilibrio dinámico del movimiento con amortiguamiento crítico.

El amortiguamiento crítico (Cc) se define como nc mc ω2=

En este caso 1==cccξ

Por lo que las raíces de la ecuación característica quedan

nc

21 m2css ω−=⋅

−==

la solución para este caso estará dada por

( ) ( ) t21 netAAtu ⋅−⋅⋅+= ω

donde A1 y A2 son constantes que se obtienen a partir de las condiciones iniciales.

Sean 0u y 0u& la posición y la velocidad inicial para el tiempo t=0 ; las constantes serán:

0n02

01uuA

uA⋅+=

=ω&

finalmente ( ) ( )[ ] t0n00 netuuutu ⋅−⋅⋅⋅++= ωω&



4.1.4 Anexo 4

La solución particular de la ecuación diferencial de equilibrio dinámico de un sistema con carga armónica,

es de la forma:

( ) tGsentu p ω=

derivando dos veces y reemplazando en Ec. ( ):

( ) tsenPtGsenktGsenm ωωωω ⋅=⋅+−⋅ 02

dividiendo por k, se despeja

2

0

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

n

kP

G

ωω

La solución total será la suma de la homogénea más la particular:

( ) tsenkP

tBsentAtu

n

nn ω

ωω

ωω ⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅++= 20

1

1cos

donde las constantes A y B dependerán de las condiciones iniciales 0u y 0u&

Derivando u(t) ( ) tkPtBtAsentu

n

nnnn ω

ωω

ωωωωω cos

1

cos 20 ⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅++−=&

de estas ecuaciones se obtiene

0uA = 200

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

n

n kPu

B

ωω

ωω&

4.2 BIBLIOGRAFÍA

• Clough, R., Penzien, J., DYNAMICS OF STRUCTURES, Mc Graw Hill, 1993. • Chopra, A.K., DYNAMICS OF STRUCTURES, Ed. Prentice Hall, 1995. • Paz, Mario, DINÁMICA ESTRUCTURAL, Ed. Reverté, 1990.

Documents

E4-AnÃ¡lisis DinÃ¡mico de Estructuras