Ecuaciones de 1 y 2º grado · Ecuaciones de 2º grado Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: x2 = 25 x2 = 0 x2 = 49 5x2 = 0 x2 – 1 = 0 Resuelve las siguientes ecuaciones:

1. Ecuaciones de 1er grado

Resuelve mentalmente:

a) x + 2 = 5 b) x – 3 = 4 c) 4x = 12 d) (x – 3)(x + 5) = 0

Solución:a) x = 3 b) x = 7 c) x = 3 d) x = 3, x = – 5

P I E N S A Y C A L C U L A

168 SOLUCIONARIO

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Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 4x + 12 = 6x – 8

b) 6 + 3x = 4 + 7x – 2x

c) 8x – 2x + 4 = 2x

d) 4x + 3x – 4 = 3x + 8


a) 3(x + 2) + 2x = 5x – 2(x – 4)

b) 4 – 3(2x + 5) = 5 – (x –3)

c) 2(x – 3) + 5(x + 2) = 4(x – 1) + 3

d) 5 – (2x + 4) = 3 – (3x + 2)

Resuelve mentalmente:

a) (x – 2)(x + 3) = 0

b) (2x + 1)( x – 4)(3x + 5) = 0


a) = +

b) = +

c) + 3x – = + x

d) – + = 0

Solución:

a) x = 7 b) x = – 5/12c) x = – 3/25 d) x = 5

10 – 3x5

x – 23

x – 12

14

x – 24

x3

7x – 510

92

7 – x2

x – 19

x – 56

x – 34

4

Solución:

a) x1 = 2, x2 = – 3b) x1 = –1/2, x2 = 4, x3 = – 5/3

3

Solución:

a) x = 1 b) x = –19/5c) x = – 5/3 d) x = 0

2

Solución:

a) x = 10 b) x = 1c) x = –1 d) x = 3

1

A P L I C A L A T E O R Í A

6 Ecuaciones de 1er y 2º grado

UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2º GRADO 169

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2. Ecuaciones de 2º grado

Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:

x2 = 25

x2 = 0

x2 = 49

5x2 = 0

x2 – 1 = 0


x2 – 6x = 0

x2 – 16 = 0

7x2 = 0

x2 – 5x + 6 = 0

x2 + 5x = 0

x2 – 25 = 0

x2 – 9x = 0

x2 = 81

Solución:

x1 = – 9, x2 = 9

17

Solución:

x1 = 0, x2 = 9

16

Solución:

x1 = – 5, x2 = 5

15

Solución:

x1 = 0, x2 = – 5

14

Solución:

x1 = 3, x2 = 2

13

Solución:

x1 = x2 = 0

12

Solución:

x1 = – 4, x2 = 4

11

Solución:

x1 = 0, x2 = 6

10

Solución:

x1 = 1, x2 = – 1

9

Solución:

x1 = x2 = 0

8

Solución:

x1 = 7, x2 = – 7

7

Solución:

x1 = x2 = 0

6

Solución:

x1 = 5, x2 = – 5

5


Resuelve mentalmente si es posible:

a) x2 = 0 b) x(x – 3) = 0 c) x2 = 16 d) x2 = –25

Solución:a) x = 0 b) x = 0, x = 3 c) x = – 4, x = 4 d) No tiene solución.


170 SOLUCIONARIO

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x2 – 9 = 0

x2 – 4x + 4 = 0

x2 + 8x = 0

4x2 – 81 = 0

2x2 – 3x – 20 = 0

4x2 – 3x = 0

x2 = 4

8x2 – 2x – 3 = 0

x(x – 3) = 10

(x + 2)(x + 3) = 6

(2x – 3)2 = 8x

2x(x – 3) = 3x(x – 1)

– =

– x + = 1

Solución:

x1 = – 5, x2 = 8

x2 + 230

9x – 410

31

Solución:

x1 = 1/2, x2 = 3/2

38

x2 + x2

3x2

30

Solución:

x1 = – 3, x2 = 0

29

Solución:

x1 = 1/2, x2 = 9/2

28

Solución:

x1 = – 5, x2 = 0

27

Solución:

x1 = – 2, x2 = 5

26

Solución:

x1 = –1/2, x2 = 3/4

25

Solución:

x1 = – 2, x2 = 2

24

Solución:

x1 = 0, x2 = 3/4

23

Solución:

x1 = – 5/2, x2 = 4

22

Solución:

x1 = – 9/2, x2 = 9/2

21

Solución:

x1 = 0, x2 = – 8

20

Solución:

x1 = x2 = 2

19

Solución:

x1 = – 3, x2 = 3

18

3. Número de soluciones. Factorización

Calcula mentalmente las siguientes raíces cuadradas y da todas las soluciones reales:

a) b) c)

Solución:a) ± 1 b) 0 c) No tiene solución real.

√22 – 4 · 2√62 – 4 · 9√52 – 4 · 6



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Sin resolverlas y sin hallar el discriminante, calculamentalmente cuántas soluciones tienen las ecuaciones:

5x2 – 12x = 0

x2 + 25 = 0

2x2 = 0

x2 – 81 = 0

Sin resolver las siguientes ecuaciones, determina cuán-tas soluciones tienen:

x2 – 6x + 7 = 0

x2 – 8x + 16 = 0

2x2 – 3x + 5 = 0

3x2 – 9x – 3 = 0

Halla mentalmente la descomposición factorial de lossiguientes polinomios:

x2 + 4x + 4

x2 – 6x + 9

x2 – 25

4x2 + 4x + 1

Halla la descomposición factorial de los siguientes poli-nomios:

2x2 + 9x – 5

8x2 + 14x – 15

x2 – 16

5x2 + 3x

Solución:

5x(x + 3/5)

47

Solución:

(x + 4)(x – 4)

46

Solución:

8(x + 5/2)(x – 3/4)

45

Solución:

2(x + 5)(x – 1/2)

44

Solución:

(2x + 1)2

43

Solución:

(x + 5)(x – 5)

42

Solución:

(x – 3)2

41

Solución:

(x + 2)2

40

Solución:

∆ = 81 + 36 = 117 > 0 ⇒ Tiene dos soluciones.

39

Solución:

∆ = 9 – 40 = – 31 < 0 ⇒ No tiene solución real.

38

Solución:

∆ = 64 – 64 = 0 ⇒ Tiene una solución doble.

37

Solución:

∆ = 36 – 28 = 8 > 0 ⇒ Tiene dos soluciones.

36

Solución:

Tiene dos soluciones.

35

Solución:

Tiene una solución doble.

34

Solución:

No tiene solución real.

33

Solución:

Tiene dos soluciones.

32


4. Problemas de ecuaciones

Calcula mentalmente:

a) El lado de un cuadrado cuya área es 16 m2

b) Tres números enteros consecutivos cuya suma sea 12

Solución:a) 4 m b) 3, 4, 5


172 SOLUCIONARIO

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Halla, en cada caso, una ecuación de 2º grado cuyassoluciones son:

x1 = 5, x2 = – 7

x1 = 2/5, x2 = – 3

x1 = – 4, x2 = – 2/3

x1 = 3/5, x2 = – 1/2

Calcula la suma y el producto de las soluciones de lassiguientes ecuaciones, sin resolver éstas:

5x2 – 15x + 9 = 0

x2 – 6x + 12 = 0

2x2 – 5 = 0

3x2 – 14x = 0

Solución:

14S = —, P = 0

3

55

Solución:

5S = 0, P = – —

2

54

Solución:

S = 6, P = 12

53

Solución:

15 9S = — = 3, P = —

5 5

52

Solución:

(x – 3/5)(x + 1/2) = 0x2 – x/10 – 3/10 = 010x2 – x – 3 = 0

51

Solución:

(x + 4)(x + 2/3) = 0x2 + 14x/3 + 8/3 = 03x2 + 14x + 8 = 0

50

Solución:

(x – 2/5)(x + 3) = 0x2 + 13x/5 – 6/5 = 05x2 + 13x – 6 = 0

49

Solución:

(x – 5)(x + 7) = 0 ⇒ x2 + 2x – 35 = 0

48

La suma de dos números es 36, y uno es el dobledel otro. Calcula dichos números.

Solución:

x + 2x = 36 ⇒ x = 12Los números son: 12 y 24

56



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La base de un rectángulo mide 8 cm más que laaltura. Si su perímetro mide 64 cm, calcula lasdimensiones del rectángulo.

Se mezcla café de 4,8 €/kg con café de 7,2 €/kg. Sise desea obtener 60 kg de mezcla a 6,5 €/kg,¿cuántos kilos de cada clase se deben mezclar?

Una madre tiene 26 años más que su hijo, y dentrode 10 años la edad de la madre será el doble de ladel hijo. ¿Cuántos años tienen en la actualidad?

Una moto sale de una ciudad A hacia otra B conuna velocidad de 70 km/h.Tres horas más tarde, uncoche sale de la misma ciudad y en el mismo senti-do con una velocidad de 100 km/h. ¿Cuánto tiem-po tardará el coche en alcanzar a la moto?

Halla dos números cuya diferencia sea 5 y la sumade sus cuadrados sea 73

La suma de los cuadrados de dos números conse-cutivos es 181. Halla dichos números.

Calcula las dimensiones de una finca rectangularsabiendo que tiene 3 dam de larga más que deancha y su superficie es de 40 dam2

Solución:

x(x + 3) = 40 ⇒ x = 5, x = – 8La solución negativa no tiene sentido.Ancho = 5 damLargo = 8 dam

63

Solución:

Los números son x y x + 1x2 + (x + 1)2 = 181 ⇒ x = 9, x = –10Hay dos soluciones:Nº menor = 9 ⇒ Nº mayor = 10Nº menor = –10 ⇒ Nº mayor = – 9

62

Solución:

Un número x y el otro x – 5x2 + (x – 5)2 = 73 ⇒ x = 8, x = – 3Hay dos soluciones:Nº mayor = 8 ⇒ Nº menor = 3Nº mayor = – 3 ⇒ Nº menor = – 8

61

Solución:

El espacio que recorre la moto es igual que el querecorre el coche y la fórmula es e = v · t70t = 100(t – 3) ⇒ t = 10El coche tarda 7 horas en alcanzar a la moto.

60

Solución:

x + 36 = 2(x + 10) ⇒ x = 16Edad del hijo = 16 años.Edad de la madre = 42 años.

59

Solución:

4,8x + 7,2(60 – x) = 6,5 · 60 ⇒ x = 17,5Café A: 17,5 kgCafé B: 42,5 kg

58

Solución:

2(x + 8) + 2x = 64 ⇒ x = 12Las dimensiones son: Altura = 12 cm, Base = 20 cm

57

x

x + 8

Café A

4,8

x

4,8x + 7,2(60 – x) = 6,50 · 60

Café B

7,2

60 – x

Mezcla

6,5

60

Precio (€/kg)

Peso (kg)

Dinero (€)

Actualmente Dentro de 10 años

Hijo x x + 10

Madre x + 26 x + 36

A B

100 km/h

70 km/h

x

x + 3

Área = 40 dam2

174 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas

1. Ecuaciones de 1er grado


x + 2 = 9

x – 2 = 3

3x = 15

= 7

4x = 3

x – 5 = 0

5x + 7 = 0

(x – 4)(x + 5) = 0

(3x + 2)(5x – 6)(x + 5) = 0


7x + 2 = 4x – 10

5 + 3x – 2x = 7 + 4x – x

6x – 3x + 5 = 2x + 1

6 – 4x + 2x – 6 = 2x + 5

4(x + 5) + 3x = 4x – 3(x – 4)

9 – 2(3x + 4) = 5 – 3(x – 4)

12 – (7x + 5) = 4 – (5x + 2)

5(x – 2) + 3(x + 2) = 6(x – 1)

= +

Solución:

x = 5/2

4x + 32

x – 13

6x – 12

81

Solución:

x = –1

80

Solución:

x = 5/2

79

Solución:

x = –16/3

78

Solución:

x = – 4/3

77

Solución:

x = – 5/4

76

Solución:

x = – 4

75

Solución:

x = –1

74

Solución:

x = – 4

73

Solución:

x1 = – 2/3, x2 = 6/5, x3 = – 5

72

Solución:

x1 = 4, x2 = – 5

71

Solución:

x = – 7/5

70

Solución:

x = 5

69

Solución:

x = 3/4

68

Solución:

x = 21

x3

67

Solución:

x = 5

66

Solución:

x = 5

65

Solución:

x = 7

64


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= 2 –

– 2(x – 3) – = 5 + x

– + = 0

2. Ecuaciones de 2º grado


x2 = 81

2x2 = 0

x2 = 36

7x2 = 0

x2 – 64 = 0


x2 – 12x = 0

(x – 2)2 – 16 = 0

x2 – 6x – 7 = 0

(x + 1)2 = 4x

x2 + x – 6 = 0

x2 – 25 = 0

x(x – 4) = 2x(x –3)

3(x – 2)2 – 27 = 0

4x2 – 9 = 0

Solución:

x1 = – 3/2, x2 = 3/2

98

Solución:

x1 = –1, x2 = 5

97

Solución:

x1 = 0, x2 = 2

96

Solución:

x1 = – 5, x2 = 5

95

Solución:

x1 = 2, x2 = – 3

94

Solución:

x1 = x2 = 1

93

Solución:

x1 = –1, x2 = 7

92

Solución:

x1 = – 2, x2 = 6

91

Solución:

x1 = 0, x2 = 12

90

Solución:

x1 = 8, x2 = – 8

89

Solución:

x1 = x2 = 0

88

Solución:

x1 = 6, x2 = – 6

87

Solución:

x1 = x2 = 0

86

Solución:

x1 = 9, x2 = – 9

85

Solución:

x = – 8/3

10 – x12

2x – 33

x – 52

84

Solución:

x = 6/7

x – 24

3x2

83

Solución:

x = 14

3x – 210

4 – x5

82

176 SOLUCIONARIO

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6x2 – 7x – 3 = 0

= 3( – )

5x2 – 4x = 2x2

4x2 – 51x + 36 = 0

– = +

3. Número de soluciones. Factorización

Sin resolver las siguientes ecuaciones, determina cuán-tas soluciones tienen:

x2 + x – 12 = 0

x2 – 4x + 13 = 0

9x2 – 12x + 4 = 0

4x2 – 12x + 13 = 0

Halla la descomposición factorial de los siguientes poli-nomios:

4x2 – 3x

x2 – 144

9x2 + 12x + 4

20x2 – 7x – 6

Halla, en cada caso, una ecuación de 2º grado cuyassoluciones son:

x1 = 4, x2 = –5

x1 = 3/4, x2 = – 2

x1 = – 3, x2 = –1/3

Solución:

(x + 3)(x + 1/3) = 0x2 + 10x/3 + 1 = 0 ⇒ 3x2 + 10x + 3 = 0

114

Solución:

(x – 3/4)(x + 2) = 0x2 + 5x/4 – 3/2 = 0 ⇒ 4x2 + 5x – 6 = 0

113

Solución:

(x – 4)(x + 5) = 0 ⇒ x2 + x – 20 = 0

112

Solución:

20(x + 2/5)(x – 3/4)

111

Solución:

9(x + 2/3)2

110

Solución:

(x + 12)(x – 12)

109

Solución:

4x(x – 3/4)

108

Solución:

∆ = 144 – 208 = –64 < 0 ⇒ No tiene soluciones reales.

107

Solución:

∆ = 144 – 144 = 0 ⇒ Tiene una solución doble.

106

Solución:

∆ = 16 – 52 = – 36 < 0 ⇒ No tiene soluciones reales.

105

Solución:

∆ = 1 + 48= 49 > 0 ⇒ Tiene dos soluciones.

104

Solución:

x1 = – 2/5, x2 = 3

16

5x – 3x2

1213

x2 – 4x6

103

Solución:

x1 = 3/4, x2 = 12

102

Solución:

x1 = 0, x2 = 4/3

101

Solución:

x1 = – 9/2, x2 = 0

x4

x2

25x2

3100

Solución:

x1 = –1/3, x2 = 3/2

99


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x1 = 2/5, x2 = –3/2

Calcula la suma y el producto de las soluciones de lassiguientes ecuaciones, sin resolver éstas:

x2 – 8x + 3 = 0

x2 – 7x + 2 = 0

6x2 + x – 2 = 0

5x2 – 16x + 3 = 0

4. Problemas de ecuaciones

Calcula tres números enteros consecutivos talesque la suma de los tres sea igual al doble delsegundo.

Si se disminuye la altura de un rectángulo en3,5 cm, el área disminuye en 21 cm2. Calcula labase del rectángulo.

Hace siete años, la edad de un padre era cincoveces la del hijo. Si actualmente es solo el triple,¿qué edad tiene cada uno?

Se mezcla azúcar de 1,125 € /kg con azúcarde1,4 € /kg y se obtienen 200 kg de mezcla a1,29 €/kg. ¿Cuántos kilos de cada clase se hanmezclado?

¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a lastres y media?

Solución:

12x = 180 ⇒ x = 15°El ángulo que forman es de 90° – 15° = 75°

124

Solución:

1,125x + 1,4(200 – x) = 1,29 · 200 ⇒ x = 80Azúcar A: 80 kgAzúcar B: 120 kg

123

Solución:

5x + 7 = 3(x + 7) ⇒ x = 7Edad del hijo = 14 años.Edad del padre = 42 años.

122

Solución:

3,5x = 21 ⇒ x = 6La base mide 6 cm

x

3,5

121

Solución:

1er número: x – 12º número: x3er número: x + 1x – 1 + x + x + 1 = 2x ⇒ x = 0Primer número = –1Segundo número = 0Tercer número = 1

120

Solución:

S = 16/5, P = 3/5

119

Solución:

S = – 1/6, P = – 1/3

118

Solución:

S = 7, P = 2

117

Solución:

S = 8, P = 3

116

Solución:

(x – 2/5)(x + 3/2) = 0x2 + 11x/10 – 3/5 = 0 ⇒ 10x2 + 11x – 6 = 0

115

Hace 7 años Actualmente

Hijo x x + 7

Padre 5x 5x + 7

Azúcar A

1,125

x

1,125x +1,4(200 – x) = 1,29 · 200

Azúcar B

1,4

200 – x

Mezcla

1,29

200

Precio (€/kg)

Peso (kg)

Dinero (€)

121

2

90 – x

x

1110

6

9

87

45

3

178 SOLUCIONARIO

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4x + 2 = 3x + 8 – x

2x + x – 12 + 7x = 9x – 10

2x – 15 + x = 2x – 8

5x + 9 + 3x = 2x + 5 + 7x

3(x – 7) + 1 = 2x – 25

3(x – 2) = 4(x – 1) – 5

2(x – 2) – 3x = 2(x + 4) – 5x

2 – (x + 2) = 2 – (3 – x)

Solución:

x = 1/2

135

Solución:

x = 6

134

Solución:

x = 3

133

Solución:

x = – 5

132

Solución:

x = 4

131

Solución:

x = 7

130

Solución:

x = 2

129

Solución:

x = 3

128

Un vehículo sale de A con dirección a B y lleva unavelocidad constante de 80 km/h. En el mismo ins-tante, otro vehículo sale de B hacia A con unavelocidad de 60 km/h. Si la distancia entre A y B esde 280 km, ¿a qué distancia de A se cruzan los dosvehículos?

Calcula dos números naturales consecutivos talesque su producto sea 132

Un triángulo rectángulo tiene un área de 44 m2.Calcula la longitud de los catetos si uno de ellosmide 3 m más que el otro.

Solución:

x(x + 3)—= 44 ⇒ x = –11 y x = 8

2La solución negativa no tiene sentido.Los catetos miden: 8 m y 11 m

127

Solución:

x(x + 1) = 132 ⇒ x = –12 y x = 11Hay dos soluciones:Número menor = –12, número mayor = –11Número menor = 11, número mayor = 12

126

Solución:

El tiempo que tardan ambos es el mismo y la fórmu-e

la es e = v · t ⇒ t = —v

x 280 – x— = —⇒ x = 16080 60Se encuentran a 160 km de A

280 kmA B

80 km/h 60 km/h

125

Para ampliar

x

x +

3

280 km

x C 280 – xA B

80 km/h 60 km/h


© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

8(2x + 1) = 7 + 3(5x + 1)

x – 3 – 2(2x – 6) = 2(x + 5)

3x – (1 – 2x) – 2x = 4 – x – (5x – 6)

4(3x – 1) – 3(x – 2) = 2(4x – 2)

= 13

=

– 1 =

– = x –

– = + 4

= 2 –

– 2(5x – 4) – = –

– + = – 5x

– = – 3x + 2

– = x + –

– = –

3(x – 1) – + = +

– = +

Solución:

x = 2

3x – 54

20 – x12

1 – 2x4

x + 13

152

Solución:

x = 1

112

7x – 13

116

2x – 34

151

Solución:

x = – 11/3

12x + 136

5x8

x + 28

4x – 112

150

Solución:

x = 1/3

89

1 – x3

x – 25

x – 34

149

Solución:

x = 1/2

11 – x14

1 – 2x7

x + 22

148

Solución:

x = – 4/11

x3

7x + 42

2x – 33

3x4

147

Solución:

x = 2/3

76

x + 32

x + 24

3x – 25

146

Solución:

x = 7

x – 12

2 – x5

145

Solución:

x = 13/2

x – 12

4x + 13

5x – 12

144

Solución:

x = 1/3

2 – 5x6

5x – 22

x3

143

Solución:

x = – 7

2x – 15

x + 32

142

Solución:

x = – 4

7x + 66

5x + 93

141

Solución:

x = 7

5x + 43

140

Solución:

x = – 6

139

Solución:

x = 11/9

138

Solución:

x = – 1/5

137

Solución:

x = 2

136

180 SOLUCIONARIO

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ño, S

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– x = +

– = –

x – – =

– = +

+ = +

– 18 = 4(1 – x) –

– = –

– = –

= – –

5x2 = 0

x2 – 81 = 0

x2 + 2x – 15 = 0

x2 – 144 = 0

2x2 – 5x – 3 = 0

x2 – 4x = 0

x2 – 4x – 12 = 0

4x2 – 25 = 0

Solución:

x1 = – 5/2, x2 = 5/2

169

Solución:

x1 = – 2, x2 = 6

168

Solución:

x1 = 0, x2 = 4

167

Solución:

x1 = – 1/2, x2 = 3

166

Solución:

x1 = – 12, x2 = 12

165

Solución:

x1 = – 5, x2 = 3

164

Solución:

x1 = – 9, x2 = 9

163

Solución:

x1 = x2 = 0

162

Solución:

x = 3/5

13

x + 12

x + 34

x – 26

161

Solución:

x = 1

x + 22

178

x – 46

2x – 18

160

Solución:

x = 3/2

x – 32

78

x – 24

x + 33

159

Solución:

x = 5

x + 13

5 – x2

158

Solución:

x = 14/5

x2

x + 16

116

x – 24

157

Solución:

x = 3

52

2x – 15

x + 26

4x + 13

156

Solución:

x = 3

2x – 13

2x – 15

13

155

Solución:

x = 2

x + 19

16

3x + 16

x + 13

154

Solución:

x = – 5/14

x2

2x – 34

5x – 76

153


© G

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ño, S

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2x2 + x – 6 = 0

5x2 – 7x + 2 = 0

x2 – 169 = 0

3x2 – 11x + 6 = 0

5x2 – 9x = 0

x2 = 4x

25x2 – 25x + 4 = 0

4x2 – 81 = 0

6x2 + 11x – 2 = 0

4x2 + 9x = 0

4x2 – 7x + 3 = 0

9x2 – 1 = 0

4x2 – 8x + 3 = 0

5x2 + x = 0

x2 – 9x + 20 = 0

4x2 + 3x – 10 = 0

25x2 – 1 = 0

9x2 – 18x – 7 = 0

Solución:

x1 = – 1/3, x2 = 7/3

187

Solución:

x1 = – 1/5, x2 = 1/5

186

Solución:

x1 = – 2, x2 = 5/4

185

Solución:

x1 = 5, x2 = 4

184

Solución:

x1 = – 1/5, x2 = 0

183

Solución:

x1 = 3/2, x2 = 1/2

182

Solución:

x1 = – 1/3, x2 = 1/3

181

Solución:

x1 = 3/4, x2 = 1

180

Solución:

x1 = 0, x2 = – 9/4

179

Solución:

x1 = – 2, x2 = 1/6

178

Solución:

x1 = – 9/2, x2 = 9/2

177

Solución:

x1 = 4/5, x2 = 1/5

176

Solución:

x1 = 0, x2 = 4

175

Solución:

x1 = 0, x2 = 9/5

174

Solución:

x1 = 2/3, x2 = 3

173

Solución:

x1 = – 13, x2 = 13

172

Solución:

x1 = 2/5, x2 = 1

171

Solución:

x1 = – 2, x2 = 3/2

170

182 SOLUCIONARIO

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5x2 + 8x – 4 = 0

x + 4x2 = 0

4x2 – 17x + 15 = 0

7x2 – 5x – 2 = 0

(3x – 1)2 = 0

x(x – 3) = 0

(x – 1)(2x – 3) = 0

(x + 2)(x – 2) = 2(x + 3) + 5

2x(x + 1) – (6 + x) = (x + 3)(x – 2)

x2 + – = 0

x2 – – = 0

x2 – =

x2 – – = 0

x2 – 2x – =

6x2 + 5 = 5x2 + 8x – 10

10x2 – 23x = 4x2 – 7

(x – 7)2 – 81 = 0

Solución:

x1 = – 2, x2 = 16

204

Solución:

x1 = 1/3, x2 = 7/2

203

Solución:

x1 = 5, x2 = 3

202

Solución:

x1 = – 1/2, x2 = 3

x2

32

201

Solución:

x1 = – 2/3, x2 = 4

83

10x3

200

Solución:

x1 = 2, x2 = – 4/3

83

2x3

199

Solución:

x1 = – 1/2, x2 = 5/4

58

3x4

198

Solución:

x1 = – 13/5, x2 = 2

265

3x5

197

Solución:

x1 = x2 = 0

196

Solución:

x1 = – 3, x2 = 5

195

Solución:

x1 = 1, x2 = 3/2

194

Solución:

x1 = 0, x2 = 3

193

Solución:

x1 = x2 = 1/3

192

Solución:

x1 = – 2/7, x2 = 1

191

Solución:

x1 = 3, x2 = 5/4

190

Solución:

x1 = – 1/4, x2 = 0

189

Solución:

x1 = – 2, x2 = 2/5

188

11x2 – 6x – 3 = 2x2 – 4

– = 3

+ = +

– =

= +

=

Solución:

x1 = 11, x2 = 1

2x2 – 4x – 35

x2 – 4x + 12

210

Solución:

x1 = 2, x2 = 1

15x9

2(x2 – x)6

7x – 23

209

Solución:

x1 = – 3, x2 = 1/3

3x + 110

x2 + x2

x2 + 25

208

Solución:

x1 = x2 = 2

13

x2

4x3

x2

6207

Solución:

x1 = – 9/4, x2 = 3

x + 32

2x2

3206

Solución:

x1 = x2 = 1/3

205


© G

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Se ha plantado 1/5 de la superficie de una huertacon cebollas; 1/15 con patatas; 2/3 con judías y elresto, que son 240 m2, con tomates. ¿Qué superfi-cie tiene la huerta?

Natalia y Roberto tienen, respectivamente, 8 y 2años. ¿Al cabo de cuántos años la edad de Nataliaserá el doble de la de Roberto?

¿Qué ángulo forman las agujas delreloj a las tres y cuarto?

Los lados de un rectángulo miden 5 m y 3 m. Alaumentar los lados en una misma cantidad, el áreaaumenta en 48 m2. ¿Cuánto se ha ampliado cadalado?

Solución:

(5 + x)(3 + x) = 63x2 + 8x + 15 = 63x2 + 8x – 48 = 0x1 = –12, x2 = 4La solución negativa no tiene sentido.Se aumenta 4 m

214

Solución:

Ángulo que forman las agujas: x12x = 90 ⇒ x = 7,5Formarán un ángulo de 7,5°

213

Solución:

8 + x = 2(2 + x) ⇒ x = 4Dentro de 4 años,Natalia tendrá 12 y Roberto 6 años.

212

Solución:

Superficie de la huerta: xx x 2x— + — + — + 240 = x ⇒ x = 3 6005 15 3La huerta mide 3 600 m2

211

Problemas

Actualmente Dentro de x años

Natalia 8 8 + x

Roberto 2 2 + x

5 m

3 m

5 + x

15 m2

15 + 48 = 63 m2 3 + x

121

211

10

6

9

87

45

3

184 SOLUCIONARIO

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Dos ciudades A y B están a 300 km de distancia. Alas diez de la mañana un coche sale desde A haciaB con una velocidad de 80 km/h. Dos horas mástarde, otro coche sale desde B hacia A con unavelocidad de 120 km/h. ¿A qué hora se encuentrany a qué distancia de A?

La edad de Rubén es la quinta parte de la edad desu padre. Dentro de 3 años, la edad de Rubén serála cuarta parte de la edad de su padre. ¿Qué edadtiene cada uno actualmente?

Calcula un número tal que, si se le quita su quintaparte, el resultado sea 60

El cristal rectangular de una puerta mide 120 cmmás de alto que de ancho y su superficie mide10 800 cm2. Calcula cuánto miden los lados delcristal.

El producto de dos números enteros consecutivoses igual al cuádruple del menor menos 2 unidades.Encuentra dichos números.

Ana tiene 12 años, su hermano Pablo tiene 14años y su padre 42. ¿Cuántos años deben pasarpara que la suma de las edades de Ana y Pablo seaigual a la de su padre?

Calcula el área de un círculo sabiendo que siaumentamos el radio en 6 cm, el área se hace nue-ve veces más grande.

Solución:

9πR2 = π(R + 6)2 ⇒ R = 3, R = – 3/2El radio negativo no tiene sentido.El radio vale R = 3 cm y su área es 9π cm2

221

Solución:

12 + x + 14 + x = 42 + x ⇒ x = 16Tienen que pasar 16 años.

220

Solución:

Número menor: xNúmero mayor: x + 1x(x + 1) = 4x – 2 ⇒ x = 1, x = 2Hay dos soluciones:El número menor: 1, el número mayor: 2El número menor: 2 y el número mayor: 3

219

Solución:

x(120 + x) = 10 800 ⇒ x = 60,x = –180La solución negativa no tienesentido.Ancho: 60 cmAlto: 180 cm

218

Solución:

Número: xx – x/5 = 60x = 75

217

Solución:

4(x + 3) = 5x + 3 ⇒ x = 9Edad de Rubén = 9 años.Edad del padre = 45 años.

216

Solución:

80t + 120(t – 2) = 300 ⇒ t = 2,7Se encuentran a 2,7 h = 2 h 42 minutos, es decir, a las12 horas y 42 minutos, y a una distancia x = 216 kmde A

x 300 – x300 kmA B

80 km/h 120 km/h

215

Actualmente Dentro de 3 años

Rubén x x + 3

Padre 5x 5x + 3

120

+ x

x


Ana 12 12 + x

Pablo 14 14 + x

Padre 42 42 + x


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Se mezclan 1 800 kg de harina de 0,42 €/kg con3 500 kg de harina de 0,54 €/kg. ¿Qué precio tieneel kilo de la mezcla?

Sonia se ha comprado un libro y un disco que te-nían el mismo precio, pero que han rebajado un15% y un 10%, respectivamente, cuando ha ido apagar. Si se ha ahorrado 9 €, ¿cuánto costaba cadaproducto?

Halla el lado de un cuadrado tal que, al aumentarloen 5 unidades, el área aumente en 395 unidadescuadradas.

Calcula dos números enteros tales que su di-ferencia sea 2 y la suma de sus cuadrados sea 884.

¿A qué hora coinciden, por primera vez, las mane-cillas del reloj después de las 12 horas?

Ruth tiene 17 años y su madre tiene 47. ¿Cuántoha de transcurrir para que la edad de la hija sea lamitad de la de la madre?

De un tablero de 2 400 cm2 se cortan dos piezascuadradas, una de ellas con 5 cm más de lado quela otra. Si las tiras de madera que sobran miden1 283 cm2, ¿cuánto miden los lados de las piezascuadradas cortadas?

Solución:

x2 + (x + 5)2 + 1 283 = 2 400 ⇒ x = – 26 , x = 21La solución negativa no tiene sentido.Las piezas son de 21 cm de lado y de 21 + 5 = 26 cmde lado respectivamente.

228

Solución:

47 + x = 2(17 + x) ⇒ x = 13A los 13 años.

227

Solución:

Sea x el ángulo que recorre la aguja minutera.12(x – 30) = x ⇒ x = 32,73°Se encontrarán cuando la aguja minutera ha recorridoun ángulo de 32,73°, es decir, 32,73° : 30 = 1,09 h =1 hora 5 minutos 24 segundos.

121

211

10

6

9

87

45

3

226

Solución:

x2 + (x – 2)2 = 884 ⇒ x = – 20, x = 22Hay dos soluciones:Número menor: – 22 ⇒ número mayor: – 20Número menor: 20 ⇒ número mayor: 22

225

Solución:

(x + 5)2 = x2 + 395x = 37El lado del cuadrado mide 37 unidades.

224

Solución:

Precio del libro = precio del disco: x0,15x + 0,1x = 9 ⇒ x = 36Los dos productos valían 36 €

223

Solución:

0,42 · 1 800 + 0,54 · 3 500 = 5 300xx = 0,499 = 0,5

222

Harina A

0,42

1 800

Harina B

0,54

3 500

Mezcla

x

5 300

Precio (€/kg)

Peso (kg)

0,42 · 1 800 + 0,54 · 3 500 = 5 300 · xDinero (€)


Ruth 17 17 + x

Madre 47 47 + x

x

x

x + 5

x +

5

x

x

x + 5

x + 5

186 SOLUCIONARIO

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Halla un ángulo que sea igual a un tercio de suángulo suplementario.

Se desea obtener 8 000 kg de pienso mezclandomaíz a un precio de 0,5 €/kg con cebada a un pre-cio de 0,3 €/kg. Si se desea que el precio de lamezcla sea de 0,45 €/kg, ¿cuántos kilos de maíz yde cebada necesitamos?

Andrés sale a caminar desde su casa a una veloci-dad de 6 km/h. Una hora más tarde, su hermanaVirginia sale a buscarle en bicicleta a una velocidadde 26 km/h. ¿Cuánto tardará en alcanzarlo?

Se desea mezclar 50 kg de azúcar blanca de1,24 € /kg con azúcar morena de 1,48 € /kg.¿Cuántos kilos de azúcar morena se necesitanpara que la mezcla salga a 1,32 €/kg?

Para profundizar

Elvira compra unos zapatos, una camisa y una cha-queta. Si la camisa cuesta la mitad que la chaquetay ésta la mitad que los zapatos, y ha pagado 126 €,¿cuánto cuesta cada cosa?

Los lados de un rectángulo miden 7 cm y 9 cm. Sise amplían los lados en una misma cantidad, la nue-va área es de 143 cm2. ¿Cuánto se ha ampliadocada lado?

¿A qué hora forman las manecillas del reloj unángulo de 120° por primera vez después de las 12?

Solución:

Sea x el ángulo de la aguja horaria.120 + x = 12x ⇒ x = 10,91La aguja horaria recorre un ángulo de 10,91°

La aguja minutera recorre un ángulo de 130,91° quecorresponde a 21,818 minutos, es decir, serán las:12 horas 21 minutos y 49 segundos.

235

Solución:

(7 + x)(9 + x) = 143x = – 20, x = 4La solución negativa no tienesentido.Se ha ampliado 4 cm

234

Solución:

Precio de la camisa: xx + 2x + 4x = 126 ⇒ x = 18La camisa vale 18 €, la chaqueta 36 € y los zapatos72 €

233

Solución:

1,24 · 50 + 1,48 · x = 1,32(50 + x) ⇒ x = 25Se necesitan 25 kg de azúcar morena.

232

Solución:

Tiempo que tarda Virginia en alcanzar a Andrés des-de la salida de Andrés:6t = 26(t – 1) ⇒ t = 13/10 h = 1,3 hTarda en alcanzarlo 3/10 hora = 0,3 h = 18 min

231

Solución:

0,5x + 0,3(8 000 – x) = 0,45 · 8 000x = 6 000Maíz: 6000 kgCebada: 2000 kg

230

Solución:

3x = 180 – x ⇒ x = 45El ángulo es de 45°

180º – xx

229

Maíz

0,5

x

Cebada

0,3

8 000 – x

Mezcla

0,45

8 000

Precio (€/kg)

Peso (kg)

0,5x + 0,3(8 000 – x) = 0,45 · 8 000Dinero (€)

Azúcar blanca

1,24

50

1,24 · 50 + 1,48 · x = 1,32(50 + x)

Azúcar morena

1,48

x

Mezcla

1,32

50 + x

Precio (€/kg)

Peso (kg)

Coste (€)

9 cm

7 cm

7 +

x

9 + x

121

2120°

x

1110

6

9

87

45

3

V A26 km/h 6 km/h


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Calcula un número tal que multiplicado por sumitad sea igual a su cuarta parte más 9

Halla un número cuya mitad más su cuarta partesea igual a 39

Halla un número cuya mitad, más su tercera parte,más una unidad, sea igual que el número.

Las diagonales de un rombo miden 18 cm y 12 cm.¿Qué longitud se debe añadir a las diagonales paraque el área del rombo se duplique?

Halla el valor de k en la siguiente ecuación de for-ma que su solución sea 2:

kx – 3 = 3x – 1

Una solución de la ecuación 10x2 – 11x – 6 = 0 es3/2. Calcula la otra solución sin resolver la ecua-ción.

En la ecuación 8x2 – 18x + k = 0, halla el valor dek de forma que una solución sea el doble de laotra.

Un grifo llena un depósito en 3 horas y otro lohace en 6 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en lle-nar el depósito los dos grifos a la vez?

Solución:

Tiempo que tardan: x(1/3 + 1/6)x = 1 ⇒ x = 2Tardan 2 horas.

243

Solución:

Sean las soluciones x1, x2 = 2x1x1 + x2 = – b/a ⇒ 3x1 = 9/4 ⇒ x1 = 3/4x1 · x2 = c/a ⇒ 2x1

2 = k/89/8 = k/8 k = 9Para k = 9 las soluciones son x1 = 3/4, x2 = 3/2

242

Solución:

3/2 + x2 = – b/a3/2 + x2 = 11/10x2 = 11/10 – 3/2 = – 2/5

241

Solución:

2k – 3 = 6 – 1k = 4

240

Solución:

(18 + x)(12 + x) 18 · 12——= 2—

2 2x1 = – 36, x2 = 6La solución negativa no tiene sentido.Hay que aumentar 6 cm

239

Solución:

Número: xx x— + — + 1 = x ⇒ x = 62 3

238

Solución:

Número: xx x— + — = 39 ⇒ x = 522 4

237

Solución:

Número: xx x

x — = — + 9 ⇒ x = – 4, x = 9/22 4

236

12 cm

— cmx2

— cmx218

cm

188 SOLUCIONARIO

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En un rectángulo, el segmento que une los puntosmedios de dos lados consecutivos mide 50 m. Si larazón de los lados es 4/3, calcula el área del rec-tángulo.

Julio invierte 14 000 € en acciones de dos empre-sas. En una gana el 15% y en otra pierde un 3,5%. Sial venderlas obtiene 14 620 €, ¿cuánto invirtió encada empresa?

Solución:

Dinero invertido en una empresa: x0,15x – 0,035(14 000 – x) = 620 ⇒ x = 6 000En una empresa invierte 6 000 € y en la otra8 000 €

245

Solución:

Sea x la mitad del lado menor.4

x2 + (—x)2 = 502 ⇒ x = – 30, x = 303

La solución negativa no tiene sentido.Para x = 30 m, el área es:A = 80 · 60 = 4 800 m2

50 m

244

¿En cuánto tiempo recorrerá un móvil 4 200 m,si parte con una velocidad de 15 m/s y con unaaceleración de 4,5 m/s2?

Se deja caer una pelota desde 30 m. Si la acelera-ción es de 9,8 m/s2, ¿cuánto tiempo tardará lapelota en llegar al suelo? La fórmula que tienesque aplicar es:

e = gt2

Solución:1— · 9,8 · t2 = 302t = 2,47 segundos.

12

247

Solución:1— · 4,5 · t2 + 15t = 4 2002t = 40 segundos.

246

Aplica tus competencias


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Comprueba lo que sabes

Explica cómo se factoriza un trinomio de segun-do grado y pon un ejemplo.


a) 2(3x – 5) – 4(x – 2) = 2 – (x – 1)

b) = – (x + 2) –


a) x2 + 4x – 12 = 0

b) = +

Justifica el número de soluciones que tienen lassiguientes ecuaciones, sin resolver éstas:

a) x2 – 5x + 7 = 0b) 3x2 – 12x + 8 = 0

c) x2 – 4x = 0d) 9x2 + 24x +16 = 0

Escribe una ecuación de segundo grado que ten-ga como soluciones: x1 = 3/2, x2 = –5

Encuentra un número tal que multiplicado porsu cuarta parte sea igual al doble del númeromenos 3 unidades.

Los lados de un rectángulo miden 9 cm y 7 cm.Si se amplían los lados en una misma cantidad,la nueva área es de 143 cm2. ¿Cuánto se haampliado cada uno?

Teresa tiene 12 años, su hermano Diego tiene 7años y su padre 44. ¿Cuántos años deben pasarpara que la suma de las edades de Teresa y deDiego sea igual a la del padre?

Solución:

12 + x + 7 + x = 44 + x ⇒ x = 25 años.

8

Solución:

(9 + x)(7 + x) = 143x2 + 16x – 80 = 0x1 = – 20, x2 = 4La solución negativa no tiene sentido.Se ha ampliado 4 cm

7

Solución:Número: x

xx · — = 2x – 3 ⇒ x2 – 8x + 12 = 04

x1 = 2, x2 = 6Hay dos soluciones: El número 2 y el número 6

6

Solución:(x – 3/2)(x + 5) = 0x2 + 7x/2 – 15/2 = 02x2 + 7x – 15 = 0

5

Solución:a) ∆ = 25 – 28 = – 3 < 0 ⇒ No tiene solución real.b) ∆ = 144 – 96 = 48 > 0 ⇒ Tiene dos soluciones.c) ∆ = 16 > 0 ⇒ Tiene dos soluciones.d) ∆ = 576 – 576 = 0 ⇒ Tiene una solución doble.

4

Solución:a) x1 = – 6, x2 = 2 b) x1 = – 2/3, x2 = 3

7x15

4 + 10x10

x2 + 5x5

3

Solución:a) 5/3 b) 2/5

7x – 510

72

7 – x5

2

Solución:Un trinomio de segundo grado ax2 + bx + c conlas soluciones x1 y x2 se descompone factorialmen-te de la siguiente forma:

ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)EjemploHalla la descomposición factorial de4x2 + 8x – 5 4x2 + 8x – 5 = 0 tiene las soluciones

5 1x1 = – —, x2 = —2 2

5 1Luego: 4x2 + 8x – 5 = 4(x + —)(x – —)2 2

1

Edad actual

Teresa 12

Dentro de x años

12 + x

Diego 7 7 + x

Padre 44 44 + x

9 cm

7 cm

9 + x

7 + x

190 SOLUCIONARIO

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Resuelve la siguiente ecuación:

4 + – = x –

Resuelve la siguiente ecuación:

3x2 + x – 4 = 0

Halla la descomposición factorial del polinomiox2 + x – 6

Representa gráficamente la siguiente parábola ycalcula las soluciones de la ecuación correspon-diente observando la gráfica.

y = x2 – 2x – 3

Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda deDERIVE o Wiris:

El lado de un cuadrado mide 3 m más que ellado de otro cuadrado. Si la suma de las dosáreas es 89 m2, calcula las dimensiones de loscuadrados.

Internet. Abre la web: www.editorial-bruno.esy elige Matemáticas, curso y tema.

253

Solución:Resuelto en el libro del alumnado.

x

x

(x + 3)

(x + 3)2 2

252


251


250


249


14

x – 12

x – 23

248

Paso a paso

Windows Derive


6 + 3x = 4 + 7x – 2x

4 – 3(2x + 5) = 5 – (x – 3)

= +

– + = 0

Solución:x = 5

10 – 3x5

x – 23

x – 12

257

Solución:x = – 5/12

7x – 510

92

7 – x2

256

Solución:x = – 19/5

255

Solución:x = 1

254

Practica


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4x2 – 3x = 0

4x2 – 81 = 0

x2 – 5x + 6 = 0

x2 – 4x + 4 = 0

8x2 – 2x – 3 = 0

Representa gráficamente las siguientes parábolasy calcula las soluciones de las ecuaciones corres-pondientes observando las gráficas.

a) y = x2 – 4 b) y = x2 + 4x + 4

c) y = –x2 + x + 2 d) y = x2 + x – 2Halla la descomposición factorial de los si-guientes trinomios de segundo grado:

a) x2 – 9

b) x2 – x – 12

c) x2 – x – 20

d) x2 + 8x + 15

Solución:a) (x – 3)(x + 3)b) (x + 3)(x – 4)c) (x + 4)(x – 5)d) (x + 3)(x + 5)

264

b)

x1 = x2 = – 2

c)

x1 = –1, x2 = 2

d)

x1 = – 4, x2 = 2

Solución:a)

x1 = – 2, x2 = 2

12

14

263

Solución:x1 = – 1/2, x2 = 3/4

262

Solución:x1 = x2 = 2

261

Solución:x1 = 3, x2 = 2

260

Solución:x1 = – 9/2, x2 = 9/2

259

Solución:x1 = 0, x2 = 3/4

258

Linux/Windows

–1–2–3–4–5–6 654321

6

–6

5

–5

4

–4

3

–3

2

–2

1

–1

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6

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4

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3

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2

–2

1

–1

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6

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4

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3

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2

–2

1

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6

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5

–5

4

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3

–3

2

–2

1

–1

192 SOLUCIONARIO

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Halla una ecuación de segundo grado que tengalas raíces:

a) x1 = 5, x2 = –3

b) x1 = 1, x2 = 2

c) x1 = 7, x2 = –9

d) x1 = –6, x2 = 8

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayudade DERIVE o Wiris:

Calcula un número tal que si se le quita su quin-ta parte el resultado sea 60

Halla los lados de un triángulo rectángulo sa-biendo que son números enteros consecutivos.

Halla el lado de un cuadrado tal que, al aumen-tarlo en 5 unidades, el área aumente en 395 uni-dades cuadradas.

Se desea mezclar 50 kg de azúcar blanca de1,24 €/kg con azúcar moreno de 1,48 €/kg.¿Cuántos kilos de azúcar moreno se necesitanpara que la mezcla salga a 1,32 €/kg?

Las diagonales de un rombo miden 18 cm y12 cm. ¿Qué longitud se debe añadir a las diago-nales para que el área del rombo se duplique?

Solución:(18 + x)(12 + x) 18 · 12——= 2—

2 2x = – 36, x = 6La solución negativa no tiene sentido.Hay que aumentar 6 cm

270

Solución:1,24 · 50 + 1,48 · x = 1,32(50 + x)x = 25 kg

269

Solución:(x + 5)2 = x2 + 395x = 37

268

Solución:Cateto menor: xx2 + (x + 1)2 = (x + 2)2

x1 = – 1, x2 = 3La solución negativa no tiene sentido.Los lados del triángulo miden: 3, 4 y 5 cm

267

Solución:x – x/5 = 60x = 75

266

Solución:a) x2 – 2x – 15 = 0b) x2 – 3x + 2 = 0c) x2 + 2x – 63 = 0d) x2 – 2x – 48 = 0

265

Windows Derive

Documents

Ecuaciones de 1 y 2º grado · Ecuaciones de 2º grado Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: x2 = 25 x2 = 0 x2 = 49 5x2 = 0 x2 – 1 = 0 Resuelve las siguientes ecuaciones: