SISTEMA DE ECUACIONES

LINEALES 2X2Presentado por

Fabian Mauricio Vidal OrtizCristian David Rojas Piamba

James Estiven Narvaez Rojascanchuto@hotmail.com

¿QUÉ ES UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2X2?

Un conjunto formado por dos o mas ecuaciones lineales es llamado sistema de ecuaciones lineales o sistema de ecuaciones simultaneas. Por ejemplo, el conjunto

Es un sistema 2x2, pues esta formado por dos ecuaciones con dos incógnitas.

82

73

yx

yx

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS 2X2

Un sistema de ecuaciones lineales puede tener una solución, infinitas soluciones o ninguna solución.Entonces para determinar la solución o soluciones de un sistema 2x2 se emplean métodos tales como:

Método grafico método de sustitución método de igualación método de reducción Método de determinantes

METODO GRAFICO

El método grafico consiste en graficar las rectas que corresponden a las ecuaciones que forman el sistema, para determinar las coordenadas del punto (x,y) en el que se cortan dichas rectas.Cuando se utiliza el método grafico para resolver un sistemas 2x2 se presentan tres casos:

CASO 1

Las rectas se cortan en un solo punto (x,y). Esto significa que el sistema tiene una única solución, dada por los valores x,y que son coordenadas del punto de corte.

CASO 2

Las rectas coinciden en todos sus puntos. Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones, es decir es indeterminado.

CASO 3

Las rectas son paralelas. Luego no tienen puntos en común. Es decir, el sistema no tiene solución.

EJEMPLO DEL METODO GRAFICO

“LA SUMA DE LAS CIFRAS DE UN NUMERO ES 7. SI AL NUMERO SE LE RESTA 9, LAS CIFRAS SE INVIERTEN.

HALLAR EL NUMERO”.SOLUCION:Sean:X=cifra de las decenas Y=cifra de las unidadesLuego,

Simplificando tenemos

xyyx

yx

10910

7

1

7

yx

yx

EJEMPLO DEL METODO GRAFICO

METODO POR SUSTITUCIONPara resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución ,se despeja una de las variables en cualquiera de las ecuaciones dadas. Luego se remplaza dicho valor en la otra ecuación y se despeja nuevamente la otra variable. Este valor se remplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema para hallar la variable inicial.Ejemplo:

1

7

yx

yx

Escoja una de las ecuaciones y resuelva el valor de x despejando x en el primer miembro de la ecuación.

Restar y en ambos miembros de la ecuación.

Ahora se sustituye por x en la otra ecuación

Suma –y a –y

7 yx

7)1( yx

7 y

1 yx

17)2( y

METODO POR SUSTITUCION

Restar 7 en ambos miembros de la ecuación

Dividir ambos miembros de la ecuación entre -2

Ahora se sustituye 3 por y en puesto que la ecuación resultante solo contiene una variable, luego

6)2( y

4

73

73)1(

x

x

x

7 yx

METODO POR SUSTITUCION

3y

METODO DE IGUALACIONPara resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de igualación, se despeja la misma variable en las dos ecuaciones dadas. Luego se igualan las expresiones obtenidas y se despeja la otra variable. Este valor se remplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema para encontrar el valor faltante.Ejemplo:

1

7

yx

yx

Se despeja una de las variables en ambas ecuaciones asi

Después de que se halla despejado la variable en ambas ecuaciones se procede a igualarlas

Esto es,

De lo cual despejando la variable a un lado y la parte numérica al otro lado tenemos que:

yy

xyyx

17

17

yx

yx

1

7

METODO DE IGUALACION

Luego remplazamos este valor en la ecuación así

32

6

62

)6(*)1()2(*)1(

62

17

y

y

y

y

y

yy

yx 1

4

31

x

x

METODO DE IGUALACION

METODO DE REDUCCIONEn la solución de un sistema de ecuaciones por el método de reducción se reducen las dos ecuaciones del sistema a una sola sumándolas. Para esto, es necesario amplificar convenientemente una de las dos, de modo que los coeficientes en una de las variables sean opuestos. Al sumar las ecuaciones transformadas, la variable se elimina y es posible despejar la otra. Luego se procede como en los métodos anteriores.Ejemplo:

1

7

yx

yx

En nuestra ecuación podemos restar la variable y con lo cual tenemos

De aquí remplazamos en x+y=7 lo cual nos da

42

8

82

1

7

x

x

x

yx

yx

METODO DE REDUCCION

De aquí tenemos que x=4 y y=3

3

47

74

7

y

y

y

yx

METODO DE REDUCCION

MÉTODO DE DETERMINANTESTenemos que resolver el siguiente

sistema

1

7

yx

yx

Nuestro sistema de 2*2 lo podemos interpretar como una matriz (2*2) y un vector columna (2*1):

11

11

A1

7T

Luego

8

17

)1*1())1(*7(11

17

2

11

)1*1()1*1(

11

11

x

ademas

A

MÉTODO DE DETERMINANTES

Luego

6

71

)1*7()1*1(11

71

y

MÉTODO DE DETERMINANTES

32

6

42

8

G

yy

yG

xx

entonces