ECUACIONES FUNDAMENTALES - Facultad de Ciencias …...La mecánica de los medios continuos estudia los sólidos y los fluidos desde un punto de vista macroscópico basado en la mecánica

Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015

1

Capítulo 1

ECUACIONES FUNDAMENTALES

1 INTRODUCCIÓN La mecánica de los medios continuos estudia los sólidos y los fluidos desde un punto de vista

macroscópico basado en la mecánica clásica. En este capítulo nos dedicamos únicamente al estudio de sólidos. A tal fin definimos los

desplazamientos y las fuerzas como vectores y las deformaciones y tensiones como tensores. Estas variables están esquematizadas en la Figura 1.

Campos geométricos Campos elásticos

Campos vectoriales u Desplazamientos

f Fuerzas

Campos tensoriales ε Deformaciones

σ Tensiones

Figura 1: Campos asociados a un problema elástico

Existen relaciones que permiten relacionar entre sí dichos campos ( ver Figura 2). Ellas son: relaciones cinemáticas entre deformaciones y desplazamientos, relaciones constitutivas entre tensiones y deformaciones, que dependen del material, y ecuaciones de equilibrio que relacionan fuerzas con tensiones.

Figura 2: Relaciones entre los diferentes campos asociados a un problema elástico

Ejemplo: Para ilustrar los conceptos mencionados se considera la barra traccionada de la Figura 3.

Figura 3: Ejemplo simple de una barra en tracción

1. Ecuaciones Cinemáticas /u Lε = ( Problema geométrico ). 2. Ecuaciones de Equilibrio F Aσ= ( Fuerzas y tensiones). 3. Ecuaciones Constitutivas Eσ ε= ( Depende del material ).

Empleando estas ecuaciones se llega a ………………………………. E AF uL

= ……………. (1)

que es una ecuación de equilibrio en función de los desplazamientos que corresponde al método de la rigidez. A es el área de la sección, L es el largo de la barra, u es el alargamiento y E es el módulo de Young del material de la barra.

f u

ε σ

Equilibrio f = f (σ)

Cinemáticas ε = ε (u)

Constitutivas σ = σ (ε)


2

2 ANÁLISIS DE TENSIONES 2.1 Vector tensión

Consideraremos un cuerpo tridimensional para el cual interesa conocer las tensiones asociadas a un punto P de un plano. Dicho plano queda definido por la dirección normal ν

. Notación: una tilde debajo de una variable significa que es un vector.

Figura 4: Tensión en un punto de una sección plana

De acuerdo con el principio de tensión cuando el área tiende a cero (ver figura 4) el cociente entre la carga vF∆

y el área A∆ tiende a un valor definido vσ

. ( Recordar que realizamos un análisis macroscópico). El vector de tensión vσ

varía de punto a punto y depende de la dirección ν

.

0

lim v vv A

F dFA dA

σ→∆

∆= =

∆

(2)

Como, en general, vσ

no coincide en dirección con el versor ν

, se puede descomponer en una componente de tensión normal vvσ y otra componente de tensión cortante vsσ contenida en el plano según se muestra en la Figura 5.

v vv vsv sσ σ σ= +

(3)

Figura 5: Descomposición del vector de tensión en una tensión normal y otra cortante

2.2 Tensor de tensiones Para estudiar el estado tensional en un punto de un cuerpo tridimensional comenzamos por

definir una terna cartesiana 1 2 3, ,t t t

(versores ) y las tensiones iσ

asociadas a las caras de un cubo elemental cuyas caras coinciden con los planos coordenados (ver Figura 6 ).

Figura 6: Tensiones asociadas a las caras del cubo elemental en coordenadas cartesianas


3

Cada vector de tensión iσ

( Figura 6-a ) puede descomponerse en las tres direcciones cartesianas dando origen a las llamadas componentes cartesianas de tensión ijσ , ( Figura 6-b) donde el primer índice indica el plano asociado a la tensión y el segundo la dirección de la componente. Notar que cuando los índices son iguales se trata de tensiones normales y cuando son distintos de tensiones de corte.

1 11 1 12 2 13 3

2 21 1 22 2 23 3

3 31 1 32 2 33 3

t t tt t tt t t

σ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σ

= + +

= + +

= + +

(4)

Para abreviar la notación se utiliza la notación indicial donde índices repetidos en un mismo término indican sumatoria. i ij jtσ σ=

(5)

El índice “i” se llama índice libre, mientras que el índice repetido “ j ” indica una sumatoria para los posibles valores de j = 1, 2, 3.

Más adelante se demuestra formalmente que σ ij son las componentes de un tensor cartesiano de segundo orden que en lo sucesivo llamaremos tensor de tensiones σ ij.

2.3 Relación entre el vector de tensión y el tensor de tensiones Vamos a demostrar que una vez conocido el tensor de tensiones en un punto se puede deter-

minar el vector de tensión correspondiente a cualquier dirección arbitraria definida por el versor ν

. Para ello basta considerar el equilibrio entre las fuerzas actuantes en las caras de un tetraedro elemental como se muestra en la Figura 7.

Figura 7: Fuerzas actuantes sobre las caras del tetraedro de Cauchy

1 1 2 2 3 3 0v dA dA dA dAσ σ σ σ− − − =

(6) o bien en notación indicial: 0v i idA dAσ σ− =

(7)

donde aunque no lo hacemos aquí, se puede demostrar que:

i idA v dA= (8) reemplazando y simplificando: 0v i ivσ σ− =

por lo tanto: v i ivσ σ=

(9)

Sustituyendo (5) en (9) y despejando se llega a:

iv j i jv tσ σ=

(10)

Conocida como fórmula de Cauchy que muestra que el tensor de tensiones σ ij define completa-mente el estado tensional en un punto ya que a partir de ese tensor se puede determinar el vector tensión vσ

asociado a cualquier plano definido por su dirección (versor ) ν

.


4

Desarrollando (10) se tiene:

1 1 2 2 3 3

11 1 21 2 31 3 1 12 1 22 2 32 3 2 13 1 23 2 33 3 3

( )

( ) ( ) ( )

v j j j j

v

v v v t

v v v t v v v t v v v t

σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

= + +

= + + + + + + + +

(11)

Aquí resulta obvia la conveniencia de la notación indicial ya que (10) es más compacta.

Para hallar la componente normal del vector de tensión basta proyectar vσ

sobre la dirección ν

( ) ( )vv v im i m i jv v t v tσ σ σ= =

⋅ (12)

recordando que los versores son ortonormales:

0... si...

1... si... j m

j mt t

j m

≠= =

(13)

de donde: vv ij i jv vσ σ= (14)

Para hallar la componente tangencial vsσ se usa el teorema de Pitágoras ( Figura 5) y se tiene:

2 2

vs v vv= −

σ σ σ (15)

2.4 Reciprocidad de las tensiones tangenciales El equilibrio de momentos alrededor del eje x1 en el cubo infinitesimal de la Figura 6-b,

implica que: 23 1 3 2 32 1 2 3( ) ( ) 0dx dx dx dx dx dxσ σ− = (16) y en consecuencia: 23 32σ σ= (17)

similarmente tomando momentos con respecto a los otros ejes se llega a la condición de reciprocidad;

ij jiσ σ= (18)

que permite afirmar que el tensor de tensiones es simétrico.

2.5 Cambio de coordenadas Interesa saber cómo se transforman las componentes del vector de tensión vσ

y las componentes del tensor de tensiones cuando se produce un cambio de coordenadas (ver Figura 8 ). Para el nuevo sistema utilizaremos el índice prima.

Figura 8: Cambio de coordenadas

1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

t t

t t

t t

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

′ ′= ′

(19)

donde λij es la proyección del versor it

sobre el versor jt′

En notación indicial (19) se escribe:

m mn nt tλ ′=

(20)


5

El vector de tensión puede expresarse en el sistema sin prima:

v m mtσ σ=

(21) o bien en el sistema prima como:

v n ntσ σ ′ ′=

(22)

teniendo en cuenta (20) podemos escribir (21) como:

v m mn ntσ σ λ ′=

(23)

Comparando (22) con (23) se tiene:

n m n mσ λ σ′ = 1,2,3 1,2,3n m= = (24)

La ecuación(24) muestra cómo se transforman las componentes del vector de tensión. Cada término contiene un solo coseno director λmn y esta es la característica de la transformación de un tensor de primer orden ( o sea un vector). Teniendo presente que la matriz de rotación λ tiene por inversa a su transpuesta, matricialmente se tiene t tλ ′=

, Tt tλ′ =

. Indicialmente n mn mt tλ′ =

, llevando esto a (22) y comparando con (21) se muestra que:

m mn nσ λ σ ′= 1,2,3 1,2,3n m= = (25)

Mediante un razonamiento similar podemos ver como se transforman las componentes de tensión ijσ . Expresando la componente normal vvσ , que es un invariante, en ambos sistemas de referencia, según (14) se tiene:

(sistema sin prima )vv ij i jv vσ σ= (26)

(sistema prima )vv m mσ σ ν ν′ ′ ′=

(27)

Teniendo en cuenta (20) podemos escribir (26) como:

( ) ( )vv ij jm miσ σ λ ν λ ν′ ′=

(28)

igualando los segundos miembros de (27) y (28), pasando todo al primer miembro y sacando factor común se tiene:

( ) 0l m il j m ij l m′ ′ ′− =σ λ λ σ ν ν (29)

Expresión que debe ser válida para cualquier dirección v′

de modo que debe anularse el paréntesis, resultando:

jm ijm iσ λ λ σ′ =

(30)

En efecto, basta tomar (1,0,0)v′ = en (29) para demostrar que (30) se cumple para 11σ ′ . Tomando (0, 1, 0)ν ′ = se demuestra que se cumple para 22σ ′ . Posteriormente eligiendo

2 2( 2, 2, 0)/ /ν ′ = y teniendo en cuenta lo anterior se demuestra que (30) es válida para 12σ ′ . Similarmente se demuestra que (30) es válida para los restantes valores de “ℓ ” y “m”.

La ecuación (30) muestra que ijσ es un tensor de segundo orden. Recordar que lo que define el carácter tensorial de una variable es su ley de transformación;

“ si en la ley de transformación hay dos cosenos directores en cada término estamos en presencia de un tensor de segundo orden ”


6

2.6 Direcciones principales de tensión Anteriormente se vio (Figura 5 ) que para cada dirección v

queda definida la tensión normal

vvσ y la tensión de corte .vsσ Definiremos como tensiones principales ( si existen ) a aquellas direcciones para las cuales las

tensiones cortantes son nulas.

0vsσ = es una dirección principalv⇒

(31)

Estas direcciones principales resultan muy importantes porque según se demuestra más adelante tienen asociadas tensiones normales máximas (o mínimas) .

La condición 0vsσ = se cumple cuando vσ

coincide con ν

, es decir:

vσ ν=

σ (32) donde σ es un escalar. Reemplazando vσ

según la fórmula de Cauchy (10) y siendo j jv v t=

( ) 0 0ij i j j ij i jv v t v vσ σ− = ⇒ − =

σ σ (33)

ya que para que se anule el vector deben anularse las tres componentes.

Desarrollando (33) se obtiene un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son las componentes de la dirección principal ( )1 2 3, ,v v v v=

11 21 31 1

12 22 32 2

13 23 33 3

0

0

0

v

v

v

σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ

− − = −

σ

σ

σ

(34)

Para obtener una solución no trivial, y en consecuencia una dirección principal, debe anularse el determinante de la matriz de coeficientes.

3 21 2 3 0I I I− + − =σ σ σ (35)

donde:

11 2 32 ( ) det ( )ii ii jj ij j i ijI I Iσ σ σ σ σ σ= = − = (36)

Estos tres valores 1 2 3, ,I I I resultan independientes del sistema de coordenadas elegido y se denominan invariantes de tensión. Desarrollando resulta:

1 11 22 33 (traza de la matriz)I σ σ σ= + + (37)

( )2 2 22 11 22 22 33 33 11 12 23 13I σ σ σ σ σ σ σ σ σ= + + − + + (38)

Resolviendo (35) se encuentran las tres raíces que resultan reales y si además son distintas corresponderán a tres direcciones mutuamente ortogonales. Esto se puede adelantar basándonos en conocimientos de álgebra lineal.

Supondremos que las tensiones principales están ordenadas por tamaño:

( ) ( ) ( )1 2 3σ σ σ> > (39)

Si utilizamos a las direcciones principales como sistema coordenado el tensor de tensiones resulta diagonal.

( )

( )

( )

1

2

3

0 0

0 0

0 0

ij

σ

σ σ

σ

=

(40)


7

Teniendo en cuenta (40) y (14) podemos escribir la tensión normal asociada a una dirección arbitraria 1 2 3( , , )v v v v=

cuyas componentes están referidas a ejes principales como: ( ) ( ) ( )

2 2 21 2 31 2 3vv v v vσ σ σ σ= + + (41)

Teniendo en cuenta (39) y recordando que el módulo del versor v

es unitario:

2 2 21 2 3 1v v v+ + = (42)

se observa que el máximo valor de (41) corresponde a:

1 2 31, 0, 0v v v= = = ⇒ ( )máx 1vvσ σ= (43)

Notar que en el sistema coordenado (40) haciendo (1, 0, 0)v =

se tiene la dirección principal 1v

. Similarmente se puede demostrar que el valor mínimo para la tensión normal se obtiene de (41) cuando (0,0,1)v =

y resulta:

( )3minvvσ σ= (44)

Es posible demostrar, aunque no lo haremos aquí, que la máxima tensión de corte es:

( ) ( )1 3máx12vsσ σ σ = − (45)

2.6.1 Caso particular donde una de las tensiones principales es nula Frecuentemente se anula una columna del tensor de tensiones ( y la correspondiente fila por

simetría). En tal caso, bosquejar el círculo de Mohr (como se indica en la Figura 9), ayuda a “recordar” las expresiones para las tensiones máximas σ(1), σ(3) y τmáx dadas en las ecuaciones (48). Pero hay que tener presente que el círculo de Mohr de la izquierda de la Figura 9 no es suficiente, ya que deben considerarse tres círculos de Mohr (no hay que olvidar a la tensión normal nula):

Figura 9: Círculos de Mohr para el caso de tensión plana

Ejemplos:

0 00 ; 0 0 0

0 0 0 0ij ij

α α

β

β

σ τ σ τσ τ σ σ

τ σ

= =

(46)

2

2;2 2

A Rα β α βσ σ σ στ

+ − = = +

(47)

( ) { }

( ) { }

( ) ( )( )

1

3

max max

max

min

1 312

el mayor entre , 0

el menor entre , 0

vs

A R

A R

σ σ

σ σ

σ τ σ σ

= = +

= = −

= = −

(48)


8

2.6.2 Círculo de Mohr Un caso muy frecuente de transformación de coordenadas (sección 2.5) corresponde a la

rotación del sistema alrededor de uno de los tres ejes. Consideramos una rotación antihoraria alrededor de eje “z” como se indica en la Figura 10. Las componentes del tensor de tensiones en el sistema nuevo ( prima) se pueden obtener a partir de las componentes en el sistema viejo (sin prima) por condiciones de equilibrio según (19) donde debemos recordar que las componentes de λmn son las componentes del sistema viejo en el sistema nuevo.

(cos , sen , 0)

( sen , cos , 0)

( 0, 0, 1 )

x

y

z

λ θ θ

λ θ θ

λ

= −

=

=

(49)

Figura 10: Rotación del sistema de coordenadas alrededor del eje z

( )

2 2

2 2

2 2

cos sen 2 sen cos

sen cos 2 sen cos

sen cos sen cos cos sen

x x

y y

xy xy

σ θ θ θ θ σ

σ θ θ θ θ σ

τ θ θ θ θ θ θ τ

′ ′ = − ′ − −

(50)

esta expresión puede expresarse en función del ángulo doble (2θ )

cos2 sen 2 donde

cos 2 sen 2 2

sen 2 cos 2 2

x xy

x yy xy

x yxy xy

A B

A B A

B B

σ θ τ θσ σ

σ θ τ θ

σ στ θ τ θ

′ = + ++

′ = − − =

−′ = − + =

(51)

Estas tres ecuaciones se pueden representar en un círculo de Mohr como se indica en la Figura 11. Se ubican en el eje de las abscisas las tensiones y x yσ σ ( x yσ σ≥ ). Importante: xyτ es positivo si al actuar en la cara perpendicular a “x” tiene el sentido positivo del eje “y”.

Regla: positivo hacia abajoxyτ ⇒

2 2

máx

mín

má x

2 2

radio

cos ;

sen ;

( ) ;

x y x y

x

xy

y x

xy

A B

R B

A R A R

R A R

A A R

σ σ σ σ

τ

σ β σ

τ β σ

σ σ τ

+ −= =

= = +

′ = + = +

′ = = −

′ ′= − − =

(52)

Figura 11: Cambio de tensiones normales y cortantes por una rotación alrededor del eje z

2.6.3 Caso general ( tridimensional ) Debemos calcular I1, I2 e I3, resolver la ecuación (35) y luego calcular los máximos según

(43), (44) y (45). Generalmente no es importante determinar las direcciones principales (vectores propios), pero si fuese necesario determinarlas deberíamos resolver el sistema (34) para cada uno de los valores propios σ(1), σ(2) y σ(3) . Se sugiere al lector deducir (48) empleando (35) y(36).


9

2.7 Ecuaciones diferenciales de equilibrio Se desea encontrar la relación de equilibrio entre las fuerzas másicas en un punto y la variación

de las tensiones que se originan en las proximidades de ese punto. Estudiaremos el equilibrio del cubo elemental de la Figura 12 (similar al de la Figura 6 ).

Figura 12: Equilibrio del cubo elemental

Considerando el equilibrio de fuerzas (vectorial ) en las caras y en el volumen se tiene:

31 21 2 3 2 1 3 3 1 2 1 2 3

1 2 3

0dx dx dx dx dx dx dx dx dx F dx dx dxx x x

σσ σ ∂∂ ∂+ + + = ∂ ∂ ∂

(53)

Simplificando y considerando componentes según la dirección “ j ” se tiene:

1 2 3

1 2 3

0j j jjF

x x xσ σ σ∂ ∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂

(54)

que puede escribirse en notación indicial como:

0ijj

i

Fxσ∂

+ =∂

(55)

Notar que se trata de tres ecuaciones (una para cada uno de los posibles valores del índice “j ” ) de cuatro términos cada una. Suponiendo conocidas las fuerzas másicas 1 2 3( , , )j x x xF asociadas al volumen, y reconociendo la simetría del tensor de tensiones nos quedan aún seis incógnitas (componentes del tensor de tensiones) por lo que el sistema (55) es estáticamente indeterminado.

2.8 Condiciones de borde de tensión En el contorno del cuerpo también se debe cumplir equilibrio de fuerzas (ver Figura 13). Para

ello el vector de tensión asociado a la dirección normal a la superficie en cada punto es exacta-mente la tensión producida por la fuerza distribuida sobre la superficie que llamaremos f

.

v fσ ≡

(56)

reemplazando vσ

según (9)

i iv fσ =

(57)

Figura 13: Condiciones de borde de tensión


10

de la última ecuación vectorial se pasa a sus componentes usando (5) llegando a:

ij j iv fσ = (58)

Conclusión: Las componentes del tensor de tensiones deben ser tales que equilibren las fuerzas másicas en el interior del cuerpo según (55) y satisfagan las condiciones (58) en el contorno.

Hay que destacar que (58) debe cumplirse aún en aquellos puntos en que f = 0. Más aún, el caso en que ( )1 2 3 0f f f= = = , la ecuación (58) no implica que todas las componentes de ijσ sean nulas.

En el caso de un cilindro cargado axialmente como se indica en la Figura 14, si se considera un elemento próximo a la cara lateral se observa que no hay tensión normal ni cortante asociada a la cara lateral pero si hay tensión normal en el sentido vertical.

Un argumento similar puede hacerse para (55); la ausencia de fuerzas másicas (caso en que 1 2 30, 0, 0F F F= = = ) en las proximidades ( infinitesimales ) de un punto no implica que las tensiones permanecen constantes en las proximidades de ese punto.

Los razonamientos anteriores están en concordancia con el hecho de que no es posible hallar las tensiones en un punto basados solamente en las fuerzas (másicas o de superficie) que actúan en dicho punto.

3 ANÁLISIS DE DEFORMACIONES 3.1 Alargamiento específico de una fibra

Vamos a considerar una fibra AB de longitud infinitesimal que antes de la deformación tenía dirección λ

(versor). Después de la deformación la fibra AB ocupa la posición A B′ ′ y su longitud cambió de dr

a dR

. Denotamos con u

al desplazamiento del punto A. Para el punto B infinitamente próximo a A el desplazamiento es .u du+

Todo esto se indica en la Figura 15.

además

i i i ii

i

i i

r x t dr dx t dxdrdr dr dr t

λλ λ

= ∴ = ⇒ = = =

(59)

Nos proponemos relacionar el alargamiento específico longitudinal de la fibra definida por λ

con los desplazamientos del punto A :

1dR dr dR

Edr drλ

−= = −

(60)

Figura 15: Deformación de una fibra en la dirección λ

La longitud inicial es el módulo del vector dr

:

2 2 21 2 3 i idr dx dx dx dx dx= + + =

(61)

de donde: 2i idr dx dx=

Similarmente: 2 ( ) ( )i i i i i i i i i i i idR dx du dx du dx dx dx du du dx du du= + + = + + +

(62)

o también: 2 2i i j j m mdR dr dx du dx du du du= + + +

(63)

Notar que se puede cambiar el índice repetido dentro de cualquier término sin cambiar el valor de la sumatoria que dicho índice repetido está indicando.

Figura 14


11

Por propiedad de diferenciales se tiene:

1 2 31 2 3

i i i ii m

m

u u u udu dx dx dx dxx x x x∂ ∂ ∂ ∂

= + + =∂ ∂ ∂ ∂

(64)

entonces (63) puede escribirse como:

2 2 ji m m

j i i j i jj i i j

uu u udR dr dx dx dx dx dx dxx x x x

∂ ∂ ∂ ∂− = + + ∂ ∂ ∂ ∂

(65)

o bien:

2 2 ji m mi j

j i i j

uu u udR dr dx dxx x x x

∂∂ ∂ ∂− = + + ∂ ∂ ∂ ∂

(66)

A continuación se definen las componentes de deformación ijγ como:

12

ji m mij

j i i j

uu u ux x x x

∂∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂ ∂

γ (67)

Entonces (66) puede escribirse como:

2 2 2 ij i jdR dr dx dx− =

γ (68) dividiendo por dr dr se tiene:

2

2 1 2 jiij

dxdR dxdr drdr

γ− =

(69)

y teniendo en cuenta (59) resulta:

2

2 1 2 ij i j

dR

drγ λ λ= +

(70)

Finalmente reemplazando en (60) se llega a:

1 2 1ij i jEλ γ λ λ= + − (71)

De (68) y (67) se deduce que los alargamientos específicos están relacionados con las derivadas de los desplazamientos.

3.2 Distorsión angular Durante la deformación, las fibras además de alargarse ( o acortarse) giran produciendo

variaciones en el ángulo formado por dos fibras (λ y μ) concurrentes en un punto (ver Figura 16).

Resulta particularmente útil conocer la variación del ángulo entre fibras que antes de la deformación formaban un ángulo de 90° porque esa distorsión angular está asociada a tensiones cortantes. Se puede demostrar ( no lo hacemos aquí ) que el cambio de ángulo entre dos fibras (λ y μ) a 90° (distorsión angular) λµφ está relacionado con las componentes de deformación ijγ según:

2sen

1 2 1 2ij i j

ij i j ij i j

=+ +

λµ

γ λ µφ

γ λ λ γ µ µ (72)

Figura 16: Variación del ángulo entre dos fibras concurrentes en un punto


12

3.3 Tensor de deformaciones Según se observa en (71) y (72) las llamadas componentes de deformación ijγ permiten

calcular las deformaciones longitudinales y angulares en un punto de un sólido deformado. Dichas componentes definen completamente el estado de deformación en un punto.

Interesa conocer como se transforman las ijγ cuando se cambia el sistema coordenado. Para ello escribimos el invariante definido en (68).

2 2 2 ij i jdR dr dx dxγ− =

(73)

Notar que la diferencia de los cuadrados de las longitudes antes y después de la deformación no depende del sistema de referencia empleado. Por lo tanto podemos emplear un nuevo sistema que denotaremos con el superíndice prima, y escribir:

2 2 2 m mdR dr dx dx′ ′ ′− =

γ (74)

Recordando como se transforman las componentes de un vector, ver (24), podemos escribir (73) como: ( )( )2 2 2 ij i j m mdR dr dx dx′ ′− =

γ λ λ (75)

Restando miembro a miembro (74) y (75) se obtiene ( ) 0m i j m ij mdx dx′ ′ ′− =

γ λ λ γ y como dx′ es arbitrario el paréntesis debe ser nulo:

jm ijm iγ λ λ γ′ =

(76)

Esta ecuación demuestra el carácter tensorial de las componentes de deformación ijγ ya que figuran dos cosenos directores en cada término y ésta es una característica de los tensores de segundo orden.

En (77) definimos formalmente al tensor de deformaciones no lineal de Lagrange, ver (67).

12

ji m mij

j i l j

uu u ux x x x

∂∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂ ∂

γ (77)

Notar que si se intercambian los subíndices “i”, “j” en (77) se obtiene el mismo resultado. Por lo tanto el tensor de deformaciones resulta ser simétrico

ij jiγ γ= (78)

Notar además que ijγ es una función no lineal de las derivadas de los desplazamientos debido al término que contiene el producto:

(3 términos)m m

i j

u uu x

∂ ∂∂ ∂

(79)

Debemos destacar que (77) intervienen sólo variables geométricas y constituye una ecuación del tipo cinemática.

3.4 Interpretación física del tensor de deformaciones γij Si en (71) hacemos coincidir a λ con alguno de los ejes de referencia, digamos el eje ix , se

tiene λi = 1 y λj = 0 para i ≠ j y resulta:

1 2 1i iiE γ= + − (80) Despejando se obtiene:

212ii i iE Eγ = + (81)

Esto muestra que las componentes de la diagonal del tensor de deformaciones dependen de una manera no lineal de las deformaciones específicas longitudinales en las direcciones de los ejes coordenados.


13

Si en (72) hacemos coincidir λ con el eje coordenado ix y hacemos coincidir μ con el eje coordenado xj se obtiene:

2

sen1 2 1 2

ij

ii jjij =

+ +

γφ

γ γ (82)

donde considerando (80) se puede escribir:

2

sen(1 ) (1 )

ijij

i jE Eγ

φ =+ +

(83)

Despejando se tiene:

12 (1 ) (1 ) senij i j ijE E i jγ φ= + + ≠ (84)

Ecuación que muestra que las componentes fuera de la diagonal del tensor de deformaciones dependen de una manera no lineal (debido a la función seno) de la distorsión angular ijφ que sufren las fibras orientadas según dos ejes coordenados. Notar que la incidencia de las iE en los términos fuera de la diagonal es pequeña porque 1iE << y lo mismo ocurre con Ej.

Caso de pequeñas deformaciones En este caso se tiene 2 1i iE E<< << , entonces:

sen ij ijφ φ≅ (85) considerando (81) y (84) se tiene:

1 11 12 132 2

1 112 2 232 2

1 113 23 32 2

ij

E

E

E

φ φ

γ φ φ

φ φ

=

(86)

donde se observa que en el caso de pequeñas deformaciones el tensor de deformaciones tiene un sentido físico preciso.

3.5 Tensor lineal de deformaciones εij

En la definición del tensor no lineal de deformaciones (77) el término

12

m m

i j

u ux x

∂ ∂∂ ∂

(87)

representa un giro que generalmente puede despreciarse. Además, por lo general las deformaciones son pequeñas y resulta

2

i i

j j

u ux x

∂ ∂<< ∂ ∂

(88)

Podemos entonces definir el tensor lineal de deformaciones ijε como:

12

jiij

j i

uux x

ε ∂∂

= + ∂ ∂ (89)

expresión mucho más simple que la correspondiente a γij de la ecuación (77) y que se utiliza en la mayoría de los casos. Notar que (89) es válida para pequeñas deformaciones y pequeños giros.

Hay que remarcar que en el caso de pandeo resulta imprescindible utilizar el tensor no lineal de Lagrange γij dado en (77).

Las distintas teorías se pueden resumir en el siguiente cuadro.


14

Cuadro resumen de las deformaciones según las distintas hipótesis

Teoría→ Deformación ↓

Grandes deformaciones y grandes giros

Pequeñas defor. grandes giros

Pequeñas defor. pequeños giros

Tensor de deformaciones

12

ji m mij

j i i j

uu u ux x x x

γ ∂∂ ∂ ∂

= + + ∂ ∂ ∂ ∂ ijγ 1

2ji

ijj i

uux x

ε ∂∂

= + ∂ ∂

Deformación específica Ei

1 2 1i iiE = + −γ i iiE γ≈ i iiE ε≈

Distorsión angular ijφ ( )( )

2arcoseno

1 1ij

iji jE E

γφ

=

+ + 2ij ijφ γ≈ 2ij ijφ ε≈

3.6 Ecuaciones de compatibilidad para el tensor lineal εij

Las ecuaciones (89) son seis ecuaciones con seis componentes de deformación ijε en el primer miembro y tres desplazamientos iu en el segundo. Si las deformaciones se calculan primero tenemos seis ecuaciones en derivadas parciales para determinar solo tres desplazamientos incógnitas.

En general el campo de desplazamiento (único y continuo) no existirá a menos que las defor-maciones satisfagan ciertas condiciones, llamadas ecuaciones de compatibilidad.

Se puede demostrar, aunque no lo haremos aquí, que las ecuaciones de compatibilidad son:

2 22 2

, , , 1,2,3ij jkl ik

k l i j j i k

i j kx x x x x x x xε εε ε∂ ∂∂ ∂

+ = + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(90)

Notar que (90) implica 81 ecuaciones al variar los índices “ , , ,i j k ” pero al desarrollarlas se encuentran solo seis diferentes ya que generalmente aparecen los mismos términos en distinta ubicación. Esas 6 ecuaciones se dan en (91).

Algunos autores argumentan que de éstas seis ecuaciones sólo tres son independientes por el hecho de que las (90) son sólo seis ecuaciones con sólo tres incógnitas.

Escritas en forma desarrolladas las ecuaciones de compatibilidad son:

2 22 2 2 2 232 3111 22 12 11 12

2 2 22 1 1 2 2 3 1 1 3 2 1

2 2 2 22 2 233 23 31 3222 22 21

2 2 23 2 2 3 1 3 2 1 2 2 3

2 2 22 233 31 33112 21 3 1 3 2 1

2

2

2

x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

x x x x x x

ε εε ε ε ε ε

ε ε ε εε ε ε

ε ε εε

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂+ = + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂+ = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 231 3212

23 3 2 3 1x x x x x

ε εε ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(91)

4 ECUACIONES CONSTITUTIVAS 4.1 Modelos de comportamiento de un material

En las secciones anteriores se presentaron las ecuaciones de equilibrio y las ecuaciones cine-máticas. Para definir completamente el problema deben especificarse, además, las características del material. Estas características en su forma más general se definen por ecuaciones que relacionan las tensiones con las deformaciones: 1 2( ) ( )ij ijf fσ γ= (92)

Los materiales empleados en ingeniería presentan gran diversidad en cuanto a su comporta-miento, el cual depende de su estado tensional y las variaciones en el tiempo. Para poder solucionar


15

el problema se admiten modelos ( idealizaciones ) definidos por las funciones 1( )ijf σ y 2 ( )ijf γ que aproximen a los resultados experimentales (ensayos ) en el rango de tensiones y el tipo de variación que corresponda.

Se ha desarrollado una variedad de modelos para cubrir la mayoría de los casos de interés práctico. Algunos son muy complejos y permiten estudiar problemas de plasticidad, fractura, creep, etc.

En este curso por razones de tiempo limitaremos nuestra atención al caso más simple correspon-diente al material linealmente elástico e isótropo. Este modelo a pesar de su sencillez permite estudiar la mayoría de los problemas de interés práctico.

4.2 Materiales linealmente elásticos Para el caso linealmente elástico unidimensional en el sentido x1 se utiliza la conocida ley de

Hooke, como se muestra en la Figura 17:

Figura 17: Ley de Hooke

11 11Eσ ε= (93)

donde E es el módulo de elasticidad longitudinal del material. Esta idealización es buena aproximación en muchos materiales.

Para el caso de deformaciones de corte en una dimensión se tiene:

( )12 122Gσ ε= (94)

donde G es el módulo de elasticidad transversal. Notar que el factor 2 se origina en la definición de 12ε , ver (86) y (130).

Para el caso tridimensional de tensiones resulta necesario relacionar el tensor de tensiones con el tensor lineal de deformaciones mediante una relación del tipo:

ij ij k l kCσ ε=

(95)

donde ijkC

es un tensor de cuarto orden llamado tensor de elasticidad que contiene 81 componentes de elasticidad.

El carácter tensorial de ij kC

se puede demostrar escribiendo (95) en el sistema prima y luego reemplazando pqσ ′ según (30) y stε ′ según (76).

Dado que ijσ y kε

son ambos simétricos requieren solo seis componentes de tensión con las seis componentes de deformación bastarán 36 componentes distintas.

, 1,2,.....,6i ij jC i jσ ε= = (96) donde

1 11 2 22 3 33 4 12 5 13 6 23

1 11 2 22 3 33 4 12 5 13 6 23

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε

= = = = = =

= = = = = = (97)

Para el caso general, si además existe una función para la energía de deformación se necesitan sólo 21 constantes distintas porque se puede demostrar que Cij es simétrico.

Para el caso de materiales anisótropos pero que presentan algún tipo de simetría el número de constantes distintas se reduce.

Tipo de simetría diagonal tetragonal octogonal

Constantes independientes 13 7 5

Notar que un sólido posee simetría n-gonal si el sistema prima se obtiene por una rotación de valor 2 / nπ y resulta pq mijkC C′=


16

4.3 Caso de material elástico lineal e isótropo

Un material es isótropo cuando posee las mismas propiedades en cualquier dirección. En este caso se puede demostrar que el número de constantes independientes requerido se reduce a sólo dos. Es común que el ingeniero utilice:

E = Módulo de elasticidad o módulo de Young. ν = Módulo de Poisson.

Recordar que para el ensayo simple de tracción (ver esquema en la Figura 18) se tiene:

Figura 18

; (acero: 0,3 )y y x yEσ ε ε ν ε ν= = − = (98)

El material elástico lineal e isótropo puede definirse también a través de las llamadas constantes de Lamé λ y μ. Por supuesto esas constantes están relacionadas con las constantes E y ν ya que hay sólo dos constantes independientes. Las relaciones son:

( )( ) ( )

( )( )

3 2

1 1 2 2 1 2E E E

µ λ µν λλ µ νν ν ν λ µ λ µ

+= = = =

+ − + + + (99)

Notar que la segunda constante de Lamé μ es el módulo de elasticidad transversal G.

Se puede demostrar que la relación (95) en el caso elástico lineal e isótropo se reduce a:

1 1 2ij ij ijk k

E νσ ε ε δν ν

= + + − (100)

o también:

1

ij ij ijkkE Eν νε σ σ δ+

= − (101)

donde ijδ es el delta de Kronecker ⇒ 1 cuando

0 cuando ij

i j

i j

== ≠

δ (102)

Para el caso de variación de temperatura debe agregarse, al segundo miembro de (100), el término:

1 2 ij

E Tα δν

− ∆−

(103)

Se propone como ejercicio para el lector desarrollar las ecuaciones (100) y (101) y reducirlas a su forma más sencilla posible. La solución, que incluye el cambio de temperatura, está en el anexo al final del capítulo en las ecuaciones (130) hasta (134) que son las que se utilizan en los ejercicios prácticos.

5 MÉTODOS GENERALES DE LA ELASTICIDAD LINEAL 5.1 Ecuaciones generales

En elasticidad tratamos con fuerzas, tensiones, deformaciones y desplazamientos. Las tensiones describen fuerzas en el interior de un cuerpo; las deformaciones se refieren a distorsiones locales y los desplazamientos a movimientos de los puntos. Estas variables están relacionadas entre sí a través de ecuaciones de distinto tipo según se vio en las secciones anteriores:

a) Ecuaciones de equilibrio: son relaciones entre las tensiones σ y i ) las fuerzas por unidad de volumen F o bien ii) fuerzas distribuidas en el contorno, f.

0i

iji ij i jF f

xσ

σ ν∂

+ = =∂

(104)

son de origen físico.


17

b) Ecuaciones cinemáticas: relacionan deformaciones con desplazamientos. Para el caso de pequeñas deformaciones y giros se definió,

12

jiij

j i

uux x

ε ∂∂

= + ∂ ∂ (105)

que es de tipo geométrico.

c) Ecuaciones constitutivas: Relacionan tensiones con deformaciones. Para el material elástico, lineal e isótropo resulta,

1 1 2ij ij ijk k

E νσ ε ε δν ν

= + − −

(106)

que tiene origen experimental. Nota: Las ecuaciones de compatibilidad se derivan de las anteriores y por lo tanto no son

parte de las ecuaciones básicas.

Dado un cierto problema tenemos 15 incógnitas, a saber: 3 componentes de desplazamiento, 6 componentes de tensión y 6 componentes de deformación. Por otra parte, contamos con 3 ecuaciones de equilibrio, 6 ecuaciones cinemáticas y 6 ecuaciones constitutivas. Según como se sustituyan las ecuaciones unas en otras se tienen dos grandes métodos: el de rigidez y el de las fuerzas.

Los problemas de elasticidad generalmente tienen las fuerzas másicas en el interior del cuerpo como datos y en el contorno se tienen dos zonas: una donde se conocen las fuerzas de superficie (nulas o no) y otra donde se conocen los desplazamientos (generalmente nulos). Cuando se resuelven primero los desplazamientos se usa el método de la rigidez y cuando se calculan primero las tensiones se usa el método de las fuerzas.

5.2 Método de los desplazamientos - Ecuaciones de Lamé ( Método de la rigidez) Comenzamos escribiendo las ecuaciones constitutivas utilizando las constantes de Lamé:

2ij ij mm ijσ µε λε δ= + (107) A continuación sustituimos en las ecuaciones de equilibrio (104) ó (55)

( )2 0mm ij ji

ij Fx

µε λε δ∂+ + =

∂ (108)

en estas tres ecuaciones de equilibrio sustituimos las deformaciones empleando las ecuaciones cinemáticas (105):

( )1 12 22 0ij j

i

jij i

m mm m

uux x

u ux x F

xµ δ λ

∂∂∂ ∂

∂ ∂∂ ∂

∂ + + = ∂ + + (109)

o bien: 2 2 2

2 0j i mij j

i i j i m

u u u Fx x x x x

µ µ δ λ∂ ∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(110)

entonces: 2 2 2

2 0jj

i m

i j j mi

u u u Fx x x x x

µ µ λ∂ ∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(111)

ya que debido al ijδ sólo subsiste el término en que “ i = j ”. En el segundo término podemos cambiar en índice repetido “i” y llamarlo por ejemplo “m” sin que altere el resultado de la sumatoria indicada por el índice repetido. Entonces las ecuaciones de Lamé son:

( )2

0 1,2,3 1,2,3jj

j m

i i m

u u F i mx x x x

µ µ λ∂ ∂∂

+ + + = = = ∂ ∂ ∂ ∂ (112)

Notar que hay dos sumatorias indicadas por los índices repetidos. El vector desplazamiento que satisface (112) en el interior del cuerpo y que también satisface las ecuaciones de desplaza-mientos y/o fuerzas en el contorno es la solución del problema. Las ecuaciones (112) son tres ecuaciones de equilibrio que una vez resueltas permitirán hallar las deformaciones ijε ( usando las cinemáticas) y luego a partir de las εij se podrán hallar las σij ( usando las constitutivas ).


18

5.3 Método de las tensiones - Ecuaciones de Beltrami – Michell (Método de las fuerzas) Se parte de las ecuaciones de compatibilidad (91) donde se reemplazan las deformaciones εij

por medio de las ecuaciones constitutivas (101). Empleando luego las derivadas de las ecuaciones de equilibrio se introducen las fuerzas másicas, resultando así 6 ecuaciones de compatibilidad en función de las derivadas segundas de las tensiones.

2 211 12

2 222 13

2 233 23

11

322 1

33

2 2 1 22 1 2 2 11

2 2 12 1 3 32

223

11 1

11 1

11 1

11

11

11

div 2 0 0

div 2 0 0

div 2 0

mm mm

mm mm

mm

Fx

FFx x

Fx

F Fx x x xx

Fx x xx

x

F

F

F

νν ν

νν ν

νν

σ σν

σ σν

σν

σ σ

σ σ

σ σ

∂− ∂ +

∂∂− ∂ + ∂

∂− ∂ +

∂ ∂∂ ∂+ ∂ ∂ ∂ ∂∂

∂∂ ∂+ ∂ ∂ ∂∂

∂+ ∂

∇ + + + = ∇ + + + =

∇ + + + = ∇ + + + =

∇ + + + = ∇ +

23

2 32 3 2

0mm Fx

Fx x xνσ ∂

∂∂∂

∂ ∂ ∂+ + =

(113)

Notar que el hecho de utilizar las derivadas de las ecuaciones de equilibrio no garantiza que se cumpla el equilibrio. Si en lugar de tensiones se emplean funciones de tensiones se puede asegurar que las ecuaciones de Beltrami - Michell (113) garantizan equilibrio.

6 TEOREMAS ENERGÉTICOS 6.1 Identidad fundamental

La expresión:

12V

j i

j ijiij j ij i i

j

uu dV u dS u dVx x x

σσ ν σ

∂ ∂∂+ ≡ − ∂ ∂ ∂

∫ ∫ ∫ (114)

es una identidad que se verifica a condición de que ij jiσ σ= . La identidad se verifica independien-temente de los valores ijσ y iu estén o no relacionadas entre sí.

Para demostrar (114) basta reordenar el primer miembro y aplicar el teorema de Green que establece que la divergencia en el volumen es igual al flujo a través del contorno.

Esta identidad es importante porque según sea el significado asignado a las variables tensiones y desplazamientos se obtienen los diferentes teoremas de trabajos virtuales.

6.2 Ecuación de trabajos virtuales Definimos como desplazamiento virtual iuδ a cualquier desplazamiento posible compatible

con las condiciones de borde y al cual puede asociársele un tensor de deformaciones virtuales.

12

jiij

j i

uux x

δδδε

∂∂= + ∂ ∂

(115)

En el interior del volumen, la ecuación de trabajos virtuales establece que:

f

ij ij i i i iV VSdV f u dS F u dVσ δε δ δ= +∫ ∫ ∫ (116)

cuya interpretación física es la siguiente: El trabajo virtual interno es igual a la suma del trabajo virtual de las fuerzas de superficie más el trabajo virtual de las fuerzas de volumen. En esencia, (116) establece la igualdad entre el trabajo virtual interno y externo.

Notar que del contorno “S” sólo se considera la parte “Sf ” donde las fuerzas de superficie if son conocidas, ya que donde las fuerzas (reacciones) son desconocidas, es decir en los apoyos, los desplazamientos virtuales son nulos.

Resulta simple demostrar que la ecuación de trabajos virtuales garantiza que se cumple equilibrio tanto en el interior del volumen como en la superficie de contorno “Sf ”. Partimos de la ecuación (114) que rescribimos como:


19

iV S V

ijj ij j ij i i

jdV u dS u dV

xσ

σ δε ν σ δ δ∂

= −∂∫ ∫ ∫ (117)

igualando el segundo miembro de (117) al segundo miembro de (116)

S V S V

ijj ij i i i i i i

ju dS u dV f u dS F u dV

xσ

ν σ δ δ δ δ∂

− = +∂∫ ∫ ∫ ∫ (118)

reordenando los términos

( ) ( )V S

iji j ij i i

jF u dV f u dS

xσ

δ ν σ δ∂

+ = −∂∫ ∫ (119)

Esta ecuación debe cumplirse para cualquier desplazamiento virtual iuδ . Podemos suponer que dejamos fijo 0iuδ = en “S” mientras variamos iuδ en V , entonces (119) se cumplirá sólo si

0 en iji

jF V

xσ∂

+ =∂

(120)

Por lo tanto el primer miembro es nulo para cualquier iuδ . La única forma de que se anule el segundo miembro para cada uno de los infinitos 0iuδ ≠ posibles en S es que

0 en j ij iv f Sσ − = (121) Queda demostrado que al cumplirse la ecuación de trabajos virtuales se satisface el equilibrio.

6.3 Teorema de trabajos virtuales De acuerdo con lo anterior se puede enunciar: “Para que un sistema de tensiones, fuerzas de

volumen y fuerzas de superficie estén en equilibrio es necesario y suficiente que se cumpla la ecuación de trabajos virtuales para cualquier desplazamiento virtual ”.

Notar que no se utilizaron las ecuaciones constitutivas y por lo tanto la ecuación de trabajos virtuales vale para cualquier material ( incluso para materiales no lineales).

El teorema se puede emplear de varias maneras. La más útil consiste en expresar las tensiones en función de los desplazamientos reales, empleando las ecuaciones constitutivas y cinemáticas. En ese caso (116) resulta una condición suficiente para que se cumpla equilibrio en función de desplazamientos reales.

Nota: de una manera similar es posible establecer un teorema de trabajos virtuales comple-mentarios. La ecuación de trabajos virtuales complementarios garantiza que se satisfacen las ecuaciones de compatibilidad.

6.4 Energía interna de deformación Como se indica en la Figura 19, se define la energía por unidad de volumen o densidad de

energía W tal que:

;ij ij ijij

dWdW dd

σ ε σε

= = (122)

Figura 19: Energía interna de deformación


20

La función W es tal que derivándola con respecto al tensor de deformaciones se obtiene el tensor de tensiones; de manera que la existencia de W implica la existencia de una ecuación constitutiva.

Para un sólido linealmente elástico resulta:

12 (9 términos)ij ijW ε σ= (123)

Si además de ser linealmente elástico, el material es isótropo se tiene la ecuación constitutiva (107) o bien (100). Sustituyendo en (123) se tiene:

( )12 2 mij ij ij mW ε µε λδ ε= + (124)

de donde:

12ij ij jj mmW = +µε ε λε ε ( material lineal, elástico e isótropo) (125)

Notar que W es una función cuadrática en las deformaciones. Como además sólo contiene cuadrados es definida positiva, vale decir, 0 0ij Wε = ⇒ = y si 0 0ij Wε ≠ ⇒ >

Notar que en caso de variación de temperatura a la tensión dada por (107) o bien (100) debe adicionársele el término (103).

(1 ) o bien

1 2E t tλ να αν ν

+∆ ∆

− (126)

Si en (121) se reemplazan las deformaciones por las derivadas de los desplazamientos utilizando para ello las ecuaciones cinemáticas (89) se obtiene:

2

4 2ji m l

j i m l

u uu uWx x x x

µ λ ∂ ∂∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂ ∂

(127)

6.5 Energía potencial total Se define la energía potencial total de un cuerpo elástico, π, como la suma de la energía

interna de deformación más la suma de la energía potencial de las fuerzas exteriores.

V V S

W dV F u dV f u dSπ • •= − −∫ ∫ ∫

(128)

π es un funcional escalar porque la variable es una función. También depende del material a través de W definida según (125) o (127).

Partiendo de un desarrollo de Taylor para el funcional π puede demostrarse que si se anula la primera variación de π se satisface la ecuación (116) de trabajos virtuales (T.V.) y queda garantizado entonces el equilibrio.

0δπ = ⇒ Se satisface la ecuacion de T.V. ⇒ Se cumple equilibrio (129)

6.6 Teorema de mínima energía potencial total El teorema de mínima energía potencial total establece que: “De todos los posibles desplazamientos u que cumplen con las condiciones geométricas de

contorno, aquel que hace mínimo a π corresponde a un estado de equilibrio estable”. Es posible demostrar que la condición 0δπ = es equivalente a integrar las ecuaciones de

Lamé, ver (112). Nota: También es posible definir el funcional π ∗ , denominado energía potencial complementaria;

y haciendo 0δπ ∗ = se puede garantizar que se cumplen las ecuaciones de compatibilidad.


21

ANEXO DEL CAPÍTULO 1

Ecuaciones constitutivas para materiales elásticos, lineales e isótropos

Tensiones en función de las deformaciones (100)

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )

11 11 22 33 12 12 12

22 22 11 33 13 13 13

33 33 11 22 23 23 23

1 1 2

1 1 2

1 1 2

1 21 2 1

1 21 2 1

1 21 2 1

E

E

E

E Et G

E Et G

E Et G

ν ν

ν ν

ν ν

σ ε ν ν ε ε α σ ε εν ν



+ −

+ −

+ −

= − + + − ∆ = = − +

= − + + − ∆ = = − +

= − + + − ∆ = = − +

(130)

Deformaciones en función de las tensiones (101)

( )

( )

( )

1211 11 22 33 12 12

1322 22 11 33 13 13

2333 33 11 22 23 23

1 1 2

1 1 2

1 1 2

tE E G

tE E G

tE E G

σνε σ ν σ σ α ε σ



+= − + + ∆ = =

+= − + + ∆ = =

+= − + + ∆ = =

(131)

Estado Plano de Tensiones: σ33 = 0

( )33 33 11 2210

1 1tν νσ ε ε ε α

ν ν− +

= ⇒ = + + ∆− −

(132)

reemplazando (132) en las tensiones (130) se tiene:

( )

( )

11 11 222

22 22 112

11

11

E t

E t

σ ε ν ε ν αν

σ ε ν ε ν αν

= + − + ∆ −

= + − + ∆ −

(133)

Las relaciones inversas resultan:

[ ]

[ ]

11 11 22

22 22 11

1

1

tE

tE

ε σ ν σ α

ε σ ν σ α

= − + ∆

= − + ∆

(134)


22


23

PRÁCTICO Ecuaciones Fundamentales

1 Demostrar el carácter tensorial de las componentes de tensión σ ij partiendo de la fórmula de Cauchy.

2 Escribir en forma desarrollada las siguientes ecuaciones:

a) ννσ (14) b) 13σ ′ (30) c) (54) y (58) para j = 3

d) Eλ (71) e) 11 22 y γ γ (67) f ) 11 12 y ε ε (89)

3 Explicar cómo se demuestra la simetría en los siguientes casos:

a) Tensor de tensiones. b) Tensor de deformaciones.

4 En un punto interior de un sólido se ha computado el tensor de tensiones ijσ (en kg/mm2 ) resultando :

Se pide:

a) Determinar la tensión normal ννσ y la tensión cortante sνσ asociadas a un plano vertical bisectriz del primer octante.

b) Determinar la máxima tensión normal y la máxima tensión cortante en el punto considerado.

c) Usando el resultado 2-b, encontrar la componente 13σ ′ del tensor de tensiones referido al nuevo sistema que se obtiene rotando un ángulo α en sentido antihorario alrededor del eje x3.

arctg (4/3)α =

d) Hallar (matricialmente) el tensor de tensiones en el nuevo sistema definido en 4-c y comentar el resultado.

8,2 2,4 06,8 0

2ij

simetσ

− = −

5 Para un sólido cilíndrico, de 1 cm de radio, sometido a torsión se conocen los desplazamientos:

1 1 3 2 3

2 2 3 1 3

2 2 23 1 2 3

12

(1 cos ) sen siendo 0,001

(1 cos ) sen

( )

u x ax x ax a

u x ax x ax

u a x x x

= − − − =

= − − +

= − +

Material: 2 20,3 2100000 / 2800 /fE kg cm kg cmν σ= = =

Se pide:

a) Calcular ijε en A = [ 1, 0, 100 ] y con ese valor calcular ijσA

.

b) Calcular ijγ en A y con ese valor calcular ijσA

.

c) Calcular ijε en B = [ 1, 0, 0 ] y con ese valor calcular ijσB

.

d) Calcular ijγ en B y con ese valor calcular ijσB

. e) Comparar los resultados obtenidos en a), b), c) y d).


24

6 Escribir en forma desarrollada las ecuaciones (112) y (125). 7 Dado el siguiente estado de tensión plana ¿se puede

anticipar que 33ε es nulo ?

Si no es nulo calcular su valor. Nota: ijσ está dado en [ kg/cm2 ] y el material es acero.

2000 1000 0500 0

0ij

simet

= −

σ

8 Dado el siguiente estado de tensión plana ¿se puede

anticipar que 33σ es nulo?

Si no es nulo calcular su valor. Nota: el material es acero.

0,0010 0,0003 00,0004 0

0ij

simet

= −

ε

9 Determinar el estado tensional y de deformaciones en el

interior del cilindro confinado del croquis.

Material aluminio

E = 7500 kg/mm2 G = 2750 kg/mm2.

Ignorar el rozamiento en las paredes.

10 Mediante 3 extensómetros eléctricos ubicados sobre la superficie

libre plana de un sólido (ver croquis) se midieron las siguientes deformaciones:

11 220,0001 0,0002 0,0004Eλε ε= − = − =

Material acero:

E = 2100000 kg/cm2 σ0,2 = 4000 kg/cm2 ν = 0,3

Calcular la máxima tensión normal y la máxima tensión cortante.

Ayuda: 1) Por ser superficie libre 33 0σ = . 2) Una vez conocidas las tensiones usar el círculo de Mohr.

11 Los desplazamientos de la cuña de la figura son:

31 2 3 30 0,0005 0,001u u x u x= = = − [cm]

Se pide:

a) Hallar las fuerzas de volumen

F = [ F1, F2, F3 ] necesarias para mantener el estado deformado.

b) Hallar las fuerzas de superficie

f = [ f1, f2, f3 ] en cada una de las caras.

Nota:

1) Material acero: E = 2100000 kg/cm2 σ0,2 = 3200 kg/cm2 ν = 0,3 2) y fF

son densidades: Fi en [kg/cm3] y fi en [kg/cm2]


25

SOLUCIÓN del PRÁCTICO Ecuaciones Fundamentales

1 Se pide demostrar el carácter tensorial del tensor de tensiones.

Ec. (10) → ( ) ( ) ( )ir js s ir js r sirij i j ij jt t t′ ′ ′ ′= = =

νσ σ ν σ λ ν λ σ λ λ ν en el sistema sin prima

rs r stνσ σ ν′ ′ ′=

en el sistema prima. Igualando y reordenando se tiene: ( ) 0 ( ) 0srs ij ir js r s rs ij ir js rt s′ ′ ′ ′ ′− = ⇒ − = ∀σ σ λ λ ν σ σ λ λ ν ya que el vector nulo tiene todas las componentes nulas. Además ν ′

es arbitrario.

Si ν ′

= (1, 0, 0) ⇒ el paréntesis debe anularse para r = 1

Si ν ′

= (0, 1, 0 ) ⇒ el paréntesis debe anularse para r = 2

Si ν ′

= (0, 0, 1 ) ⇒ el paréntesis debe anularse para r = 3

En consecuencia el paréntesis se anula para todo ‘s’ y para todo ‘r’, por lo tanto:

rs ij ir js′ =σ σ λ λ .

2 Se pide escribir en forma desarrollada varias ecuaciones dadas en notación indicial.

a) ( )31 1 2 2 3 11 1 1 12 1 2 13 1 3ij i j j j jj j jννσ σ ν ν σ ν ν σ ν ν σ ν ν σ ν ν σ ν ν σ ν ν= = + + = + +

( ) ( )321 2 1 22 2 2 23 2 3 31 3 1 32 2 33 3 3σ ν ν σ ν ν σ ν ν σ ν ν σ ν ν σ ν ν+ + + + + +

Por simetría i j j iσ σ= → 2 2 211 1 22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 32 2 2ννσ σ ν σ ν σ ν σ ν ν σ ν ν σ ν ν= + + + + +

b) ( )( ) ( )2

13 1 3 11 13 11 23 12 33 13

21 13 21 23 2 33 23 31 13 31 23 32 33 33 +i j ijσ λ λ σ λ λ σ λ σ λ σ

λ λ σ λ σ λ σ λ λ σ λ σ λ σ

′ = = + + +

+ + + + +

c) 3 13 23 333 3

1 2 3

0 0i

i

F Fx x x xσ σ σ σ∂ ∂ ∂ ∂

+ = ⇒ + + + =∂ ∂ ∂ ∂

3 3 13 1 23 2 33 3 3ii f fσ ν σ ν σ ν σ ν= ⇒ + + =

Por similitud con el resultado 2 a) reemplazamos ν por λ

d) ( )2 2 211 1 22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 31 2 2 2 2 1Eλ σ λ σ λ σ λ σ λ λ σ λ λ σ λ λ = + + + + + + −

12

e) 2 2 2

31 1 211

1 1 1 1

12

uu u ux x x x

γ ∂∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂

3 31 1 2 212

2 1 2 1 2 1 2

1 2

1

12

u u u uu u u ux x x x x x x x

γ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

f ) 11 121 1 1 1 2

1 1 1 2 1 1 1

2 2u u u u ux x x x x

ε ε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + = = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

3 Se pide demostrar la simetría del tensor de tensiones y de deformaciones. a) La simetría del tensor de tensiones se demuestra planteando equilibrio de momentos en un cubo

infinitesimal. b) La simetría del tensor de deformaciones se demuestra por simple inspección de la ecuación de

definición de dicho tensor.

(25) (20)


26

4 Se pide determinar las tensiones en un punto de un sólido.

a) ( )o o 2 2,

2 2sen45 , cos45 , 0 , 0ν

= − = −

Problema 2-a → ( )2 2

2 2 2 22 2 2 2

8,2 6,8 0 2 2,4 0 0 9,9−

= − + + + − + + =

ννσ

Ec. (11) → [ ]1 2 32 2 2 28,2 2,4 0 2,4 6,8 0 0 0 0

2 2 2 2t t t

= − − + + − − + + + + +

νσ

( )22 21 2 37,49533 3,11126 0 ( 7,495) 3,11126 0 9,925t t tν νσ σ= − + + ⇒ = − + + =

( ) 2 222(9,925) 9,9 0,7 9,9 / 0,7 / s skg mm kg mm= − = = =ν νν νσ σ σ

b) I1 = 8,2 + 6,8 – 2 = 13

I2 = (8,2x6,8)+[6,8x(–2)]+[–2x8,2] – (2,4)2 – 02 – 02 = 20

I3 = 8,2x6,8x(–2) – [(–2,4)2 x (–2)] = –100

Según (35): det = 3 213 20 100 0σ σ σ− + + =

Por tanteos: (1) (2) (3)10 5 2σ σ σ= = = −

Máxima tensión normal: σ1 = 10 Máxima tensión de corte: máxτ = ( ) ( ) ( )1 31 12 2 10 2σ σ − = − −

2 21 0/ 6 / máx máxkg mm Kg mm= =σ τ

α = 53,13º

sen α = 0,8

cos α = 0,6

1x′ 2x′ 3x′

x1 0,6 − 0,8 0

x2 0,8 0,6 0

x3 0 0 1

Problema 2-b → ( ) ( ) ( )13 0,6 0 0 0 0,8 0 0 0 0 0 0 0 0σ ′ = + + + + + + + + =x x x

d) Ec. (30) →.. jm ijm iσ λ λ σ′ =

El cómputo se puede organizar matricialmente: ijσ jmλ

( )T

iλ ( ) j mσ ′

8,2 − 2,4 0 0,6 − 0,8 0

− 2,4 6,8 0 0,8 0,6 0

0 0 − 2 0 0 1

0,6 0,8 0 3 4 0 5 0 0

− 0,8 0,6 0 − 8 6 0 0 10 0

0 0 1 0 0 − 2 0 0 − 2

Comentario: Todas las tensiones de corte se anulan en el nuevo sistema de referencia, lo que implica que los nuevos ejes son direcciones principales.

c)


27

5 En este ejercicio se muestra que el tensor lineal de deformaciones εij resulta inapropiado para describir el estado de deformación cuando los giros son grandes, aún en los casos donde las deformaciones son pequeñas.

El cilindro está empotrado en la parte inferior (x3 = 0), allí en el punto B, εij resulta adecuado, mientras que en el extremo superior (punto A) que ha girado (100 a ) = 0,1 radianes = 5,7 grados, εij resulta totalmente inapropiado. Por otra parte γij da el resultado correcto en ambos extremos (puntos A y B ).

Derivadas parciales:

13

1

cos 1u axx∂

= −∂

23

1

senu axx

∂=

∂ 23

1 31

u a x xx

∂= −

∂

13

2

senu axx∂

= −∂

23

2

cos 1u axx∂

= −∂

232 3

2

u a x xx∂

= −∂

11 3 2 3

3

sen cosu x a ax x a axx∂

= − −∂

22 3 1 3

3

sen cosu x a ax x a axx∂

= − +∂

3

3

2 2 21 2

12 ( )u a x x

x∂

= − +∂

Componentes del tensor lineal de deformaciones:

111 3

1

cos 1u axx

ε ∂= = −

∂ 12

1 2

2 101

2u ux x

ε ∂ ∂

= + = ∂ ∂

222 3

2

cos 1u axx

ε ∂= = −

∂ ( )13 1 3 2 3 1 3

31

3 1sen cos1 1

2 2uu a x ax x ax a x x

x xε

∂∂= + = − + + ∂ ∂

333

3

2 2 21 2

12 ( )u a x x

xε

∂= = − +

∂ ( )23 2 3 1 3 2 3

32

3 2sen cos1 1

2 2uu a x ax x ax a x x

x xε

∂∂= + = − − + ∂ ∂

Derivadas en el punto A

1

1

0,00499583ux∂

= −∂

2

1

0,09983342ux

∂=

∂ 3

1

0,00000100ux

∂= −

∂

1

2

0,09983342ux∂

= −∂

2

2

0,00499583ux∂

= −∂

3

2

0ux∂

=∂

1

3

0,00009983ux∂

= −∂

2

3

0,00099500ux∂

=∂

3

3

0,00000050ux∂

= −∂

a)

7

49958 0 504

10 49958 4975

5ij

sim

ε −

− −

= −

−

A → 2

20176 0 0

20176 804 [ / ]

12107ij kg cm

sim

= −

−

σA

b)

7

0 0 5

10 0 5000

0ij

sim

γ −

−

=

A → 2

0 0 0

0 807,69 [ / ]

0ij kg cm

sim

=

σA


28

Derivadas en el punto B

1

1

0ux∂

=∂

2

1

0ux

∂=

∂ 3

1

0ux

∂=

∂

1

2

0ux∂

=∂

2

2

0ux∂

=∂

3

2

0ux∂

=∂

1

3

0ux∂

=∂

2

3

0,001ux∂

=∂

3

3

0,0000005ux∂

= −∂

0 0 0

0 0,0005

0,0000005ij

sim

ε

=

−

B → 2

0,61 0 0

0,81 807,69 [ / ]

1,41ij kg cm

sim

−

= −

−

σA

0 0 0

0 0,0005

0ij

sim

γ

=

B → 2

0 0 0

0 807,69 [ / ]

0ij kg cm

sim

=

σA

e) En el punto inferior (punto B ) donde no hay giros, los resultados c) son correctos. En el punto superior ( punto A ) debido a que el giro es “grande” los resultados a) son totalmente incorrectos. Sabemos que en el caso de torsión no hay tensiones normales en el sentido radial del cilindro, pero empleando ijε A de la parte a) obtenemos:

(130) → [ ] 3 211

2100000 4,996 (0,7) 0,3( 4,996 0,0005) 10 20176 /1,3 0,4

kg cmσ −= − + − − = −xx

que es 7 veces el valor de fluencia ( 22800 /f kg cm=σ ).

Notar que la tensión de corte máxima tiene un valor razonable, 807,7 kg/cm2, que es un 58 % del valor de la tensión de corte en fluencia (τ f ≈ 2800 /2 ).

6 Se pide escribir en forma desarrollada las ecuaciones (112) y (125).

Forma desarrollada las ecuaciones de Lamé (112):

( )2 2 2

31 22 2 21 2 3 1 2 3

0j j jj

u u u uu u Fx x x x x x

µ µ λ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

+ + + + + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Forma desarrollada la ecuación (125) para la energía interna de deformación:

( ) ( ) 22 2 2 2 2 211 22 33 12 13 23 11 22 332 2 2

2W λµ ε ε ε ε ε ε ε ε ε= + + + + + + + +

7 No se puede anticipar que ε33 sea nula. Se pide determinar la deformación ε33:

( )331 0 0,3 2000 500 0,00021 0,2 % período elástico es correcto usar

21000ε = − − = − < ⇒ ← (101)

8 No se puede anticipar que σ33 sea nula. Se pide determinar la tensión σ33:

( )( )( ) 2

33 acero21000

1,3 0,40 0,3 0,001 0,0004 727 / es correcto usarfkg cmσ σ= + − = < ← (100)

c)

d)


29

9 Se pide determinar el estado tensional en un cilindro confinado.

Datos: 233 11 22 12 23 3115 / 0 0 por simetría 0kg mmσ ε ε ε ε ε= − = = ⇒ = = =

75001 1 0,363642 (1 ) 2 2 2750

E EGG

νν

= ⇒ = − = − =+ x

( )( )( ) ( )33 33 33

75001,364 0,273

15 0,636 0,364 0 0 0,001169σ ε ε= − = + + ⇒ = −

( )( )( ) 2

117500

1,364 0,2730 0,364 0 0,001169 8,57 /kg mmσ = + − ⇒

( )( )( ) 2

227500

1,364 0,2730 0,364 0 0,001169 8,57 /kg mmσ = + − ⇒

28,57 0 0 0 0 0

8,57 0 [ / ] 0 015 0,001169

ij ijkg mmsimet simet

σ ε−

= − = − −

Notar que 12 23 13 0σ σ σ= = = y que 12 23 13 0ε ε ε= = = pero de todas maneras hay tensiones cortantes en otras direcciones. Notar que la máxima tensión cortante vale:

( ) ( ) ( ) 21 3

1 12 2 8,57 15 3,21 /máx kg mmτ σ σ = − = − − − =

10 Se pide calcular la tensión normal máxima y la máxima tensión cortante usando mediciones.

De (71) se despeja: ( ) [ ]21 1

donde 0,7071; 0,7071; 02 ij i j

Eλ γ λ λ λ+ −

= =

( ) ( ) ( )2

2 212

0,0004 1 10,0001 0,7071 0,0002 0,7071 0 2 0,7071 0,7071 0 0

2ε

+ −= − − + + + +x x

Despejando: 12 0,00055ε = → (130) 212

2100000 0,00055 889 /1,3

kg cmτ = =

( )( )( ) ( )33 33 33

21000001,3 0,4

0,7 0,3 0,0001 0,0002 0 0,0001286σ ε ε= + − + = ⇒ =

( )( )( ) ( ) 2

1121000001,3 0,4

0,0001 0,7 0,3 0,0002 0,0001286 369,23 /kg cmσ = − + − + = −

( )( )( ) ( ) 2

2221000001,3 0,4

0,0002 0,7 0,3 0,0001 0,0001286 530,77 /kg cmσ = − + − + = −

[ ]369,23 ( 530,77) 2 450/A = − + − = −

[ ]369,23 ( 530,77) 2 80,77/B = − − − =

22 280,77 889 893 /máx kg cmτ = + =

21 450 893 443 /kg cmσ = − + =

22 450 893 1343 /kg cmσ = − − = −

2 21343 / 893 /máx máxkg cm kg cmσ τ= − =


30

11 Se pide calcular las fuerzas en el volumen y en las caras de la cuña. Se utiliza el siguiente esquema de cálculo:

derivando derivandocinemáticas constitutivas equilibrio y u F fσε→ → →

3111 33 13

1 3

222 12 32

2

31

3 1

31 2 2

2 1 3 2

0 0,001 0

0 0 0,00025

12

1 12 2

uuuux x x x

uu u uux x x x x

ε ε ε

ε ε ε

∂∂∂∂= = = = − = + = ∂ ∂ ∂ ∂

∂∂ ∂ ∂∂= = = + = = + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

11 12

22 13

33 23

21000001,3 0, 421000001,3 0, 421000001,3 0, 4

21000000 0,7 0,3 0 0,001 1211 0 01 0,321000000 0,7 0,3 0 0,001 1211 0 01 0,3

21000000,0001 0,7 0,3 0 0 2827 0,00025 4041 0,3

σ σ

σ σ

σ σ

= + − = − = = +

= + − = − = = +

= − + + = − = = +

a) Hallar las fuerzas de volumen

F = [ F1, F2, F3 ] Cuando las tensiones son constantes ⇒ las fuerzas de volumen son nulas. A modo de ejemplo se desarrolla (54) para el caso j = 1:

3111 211 1

1 2 3

0 0F Fx x x

σσ σ ∂∂ ∂+ + + = ⇒ =

∂ ∂ ∂ por lo tanto: 1 2 30 0 0F F F= = =

b) Hallar las fuerzas de superficie f

= [ f1, f2, f3 ] actuando sobre las caras de la cuña. Para calcular las fuerzas externas sobre las caras se comienza determinando los versores normales a las caras y posteriormente se usa la ecuación (58)

(58) ij j iv fσ =

El cómputo se puede organizar matricialmente →

jν

ijσ if

ν1 ν2 ν3 ν4 ν5 0 −1 0 0 0,6 1 0 −1 0 0 0 0 0 −1 0,8

−1211 0 0 0 1211 0 0 −727 f 1 0 −1211 404 −1211 0 1211 −404 323 f 2 0 404 −2827 404 0 −404 2827 –2262 f 3

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ECUACIONES FUNDAMENTALES - Facultad de Ciencias …...La mecánica de los medios continuos estudia los sólidos y los fluidos desde un punto de vista macroscópico basado en la mecánica