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MATEMÁTICADISEÑO CURRICULARPrimer Ciclo

Autores: •YudithVivianaMurugarren •OlgaNélidaVírgola

FUNDAMENTACIÓN

“…No se puede abordar el tema de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática sin preguntarse al mismo tiempo qué son las

matemáticas, en qué consisten y para qué sirve hacer matemáticas …

Chevallard, Bosch y Gascón

Los conocimientos matemáticos se ge-neraron y transformaron dando respuesta a problemas en distintos contextos sociales y culturales. A lo largo de la historia se fueron construyendo no sólo modos particulares de pensar y producir los saberes matemáticos, sino también diferentes procedimientos, modos de tratamiento de la información y medios de representación y comunicación.

En cada momento cultural, la matemá-tica se fue configurando como una creación humana y los problemas que dieron origen a los saberes, le dan sentido a la matemática producida.

La escuela asume la responsabilidad de brindar a los alumnos la oportunidad de apropiarse de los saberes matemáticos que como productos culturales, la sociedad con-sidera valiosos. En la actualidad la educación de nuestra provincia enfrenta el desafío de la democratización de la cultura y por ser la matemática parte de esa cultura es esencial que su enseñanza alcance a todos, aceptan-do las diferencias y haciéndose cargo de la diversidad. Es decir que todos los alumnos puedan acceder a los conocimientos y a los

valores de la cultura matemática. Desde la enseñanza, se plantearán situa-

ciones que promuevan en los alumnos una actividad de producción de conocimientos que guarde cierta analogía con el quehacer de los matemáticos, es decir que se apropien tanto de los saberes matemáticos como de los modos de producción de esos saberes, considerando que aprender es construir los conocimientos mediante un proceso similar al que realizan los matemáticos cuando pro-ducen los conocimientos que se enseñan. En términos de Charlot1 (1986) “…No se trata que los alumnos reinventen las matemáticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de producción matemática don-de la actividad que ellos desarrollan tenga el mismo sentido que el de los matemáti-cos que forjaron los conceptos matemáticos nuevos”.

En este sentido, se trata de convertir el aula en un espacio en el que los alumnos aprendan a mirar la realidad matemática-mente, entrar en la lógica del pensamiento y del lenguaje matemático, usando las formas y los significados que le son propios, favore-ciendo la formación científica inicial (alfabe-tización científica).

Se concibe entonces, que “hacer mate-mática” en la escuela implica generar una actividad de reconstrucción de conocimien-tos que permita a los alumnos confiar en sus posibilidades para resolver problemas y dis-poner de conocimientos matemáticos. Esta 1 BERTRAND Charlot. Conferencia sobre las concepciones de matemática implícitas en la enseñanza. Cannes (1986)

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actividad determina en cierto modo, la idea que van configurando acerca de lo que es la matemática y cómo se relacionan con ella. Es decir que su actitud hacia la matemática depende de las experiencias de conocer y utilizar los conocimientos matemáticos.

Por otra parte, crear un espacio de pro-ducción de conocimientos, supone consi-derar esencial la intencionalidad de la en-señanza. Recuperar su centralidad significa destacar el rol fundamental de los docentes en su función de enseñar y constituye una de las finalidades definida en los lineamientos políticos pedagógicos de la provincia.

Plantear un proyecto de enseñanza que involucre a los alumnos en procesos de pro-ducción de conocimientos implica proponer situaciones que les permitan pensar, ensa-yar, explorar, representar, argumentar, dis-cutir, poner en juego lo que saben, comuni-car ideas, aceptar las ideas de otros… Y es allí donde resulta esencial la intervención de los docentes para que los conocimientos que circularon en la clase se reconozcan como saberes matemáticos.

“…Un alumno no hace matemática si no se plantea y no resuelve problemas…” estas palabras de Brousseau2 reconocen y afirman la importancia de la resolución de proble-mas como actividad propia de la producción de conocimientos matemáticos.

Un problema se concibe como una si-tuación que genera un obstáculo a vencer, que promueve la búsqueda de una solu-ción a partir de poner en juego los conoci-mientos disponibles, “... es un desafío para actuar. Tiene que permitirles a los alumnos imaginar y emprender algunas acciones para resolverlo...”3

Pero, para construir el sentido de un cono-cimiento es necesario que los alumnos no se enfrenten a un único problema, sino a múltiples

2 BROUSSEAU, Guy, matemático e investigador de la escuela francesa.

3 SAIZ, Irma; PARRA, Cecilia en “Enseñar aritmética a los más chicos”. Editorial Homo Sapiens (2007)

problemas que esa noción permite resolver.En el proceso de resolución de proble-

mas el alumno: busca entre todos sus cono-cimientos matemáticos aquellos que consi-dera pertinentes, toma decisiones y anticipa posibles resultados. Al rechazar los que no le resultan útiles e implicarse en la búsqueda de nuevos modos de resolución, avanza en sus conocimientos. Pero los conocimientos se generan no sólo resolviendo problemas sino que es esencial que se propongan re-flexiones acerca de lo realizado y de los pro-cedimientos utilizados.

Concibiendo que aprender matemáti-ca implica resolver problemas y reflexionar acerca de ellos, es tarea del equipo docente seleccionar propuestas de trabajo, organizar discusiones y analizar diferentes aspectos de la producción. En muchas ocasiones la acti-vidad problematizadora puede ser un juego, en tanto represente un desafío que incentiva a los alumnos, estimula su creatividad y pro-mueve su participación activa.

En toda situación de enseñanza, la inter-vención docente estará orientada a organi-zar espacios de participación de los alumnos, promoviendo que expliciten, justifiquen y validen sus producciones, a la vez que evo-lucionan hacia un aprendizaje cada vez más autónomo.

Las interacciones entre pares resultan, entonces, esenciales en la producción de conocimientos dado que comunicar procedi-mientos, tratar de comprender la resolución de un compañero, argumentar para defen-der su punto de vista favorece la búsqueda de explicaciones, el establecimiento de rela-ciones entre nociones y el avance en nuevas conceptualizaciones.

En síntesis y coincidiendo con numerosos especialistas en didáctica de la matemática se sostiene que “hacer matemática” es un trabajo del pensamiento que permite cons-truir conocimientos resolviendo problemas, es también establecer la validez de lo produ-cido, es decidir la certeza o no de los resul-tados, es comunicar, comparar, confrontar

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procedimientos, es crear, reflexionar, produ-cir, representar…

Los alumnos aprenden, actuando, pen-sando, reflexionando sobre lo que hacen y lo que imaginan, y lo que aprenden está re-lacionado con cómo lo aprenden y cómo se implican en la tarea.

Creemos que es posible crear en la es-cuela las condiciones para que la matemá-tica pueda ser accesible a todos, que todos los alumnos puedan apropiarse de los co-nocimientos matemáticos, de los modos de pensar y sobre todo que el conocimiento los convoque, los desafíe, los inquiete…

PROPÓSITOS GENERALES

En el Primer Ciclo de la Escuela Prima-ria se propondrán situaciones de enseñanza que permitan:

• Generar en el aula un espacio de pro-ducción de conocimientos en el que los alumnos se apropien tanto de los saberes matemáticos como de los mo-dos de producción de esos saberes.

• Proponer problemas que desafíen los conocimientos de los alumnos y les permitan: poner en juego lo que saben, desplegar procedimientos propios, y avanzar en la construc-ción de nuevos significados acerca de los números, las operaciones, el espacio, la geometría y la medida, considerando que los conocimien-tos se modifican o se profundizan permanentemente.

• Instalar un modo particular de “traba-jo matemático” que permita utilizar los conocimientos como herramien-tas en la resolución de problemas pero, también identificarlos y recono-cerlos como objetos de una cultura.

• Estimular el proceso de construc-ción e interpretación de repre-sentaciones propias del lenguaje

matemático, en un marco de pro-ducción de conocimientos que im-plique explorar, representar, formu-lar preguntas, argumentar, validar.

• Promover el intercambio de los co-nocimientos entre pares, la discusión sobre la validez de los procedimien-tos, la elaboración y justificación de conjeturas, favoreciendo la evolución de los conocimientos en los alumnos.

• Propiciar el trabajo grupal y coopera-tivo como una instancia en la que los alumnos valoren escucharse y hablar sobre lo realizado, respetar la deci-sión de otros, y comprometerse cada vez más ante la tarea.

CONTENIDOS

Los contenidos matemáticos propuestos para su enseñanza en este ciclo, han sido seleccionados sobre la base de su significa-tividad y relevancia social; con la intenciona-lidad de promover en los alumnos el avance en las construcciones iniciadas en el nivel inicial y que constituirán el fundamento de aprendizajes matemáticos posteriores.

La organización de los mismos, en la ta-bla, se presenta en tres Ejes que pretenden evidenciar algunas relaciones entre los dife-rentes contenidos pero dejando la posibili-dad de realizar integraciones y establecer ar-ticulaciones entre los mismos al diseñar los proyectos institucionales.

Los Ejes propuestos son:• Número y Operaciones• Espacio y Geometría • Medida

Los contenidos seleccionados para cada Eje están expresados en términos de los sa-beres (procedimientos, contextos, significa-dos) que se ponen en juego para alcanzar, los aprendizajes fundamentales de cada uno de los grados.

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En la tabla se incluyen los contenidos que se inician en uno de los grados pero que se desarrollan a lo largo del ciclo en profundi-zaciones sucesivas. Esta característica queda reflejada en la disposición en tres columnas, que pretende mostrar cómo se avanza en la construcción de los conocimientos a partir de una lectura horizontal. En algunos casos el tratamiento de ciertos contenidos en los tres años no implica repetición sino preci-samente evolución y profundización con la especificidad propia de cada grado del ciclo. Sin embargo la lectura vertical permite evi-denciar la evolución en la apropiación de los saberes en el mismo grado.

Es importante también tener en cuenta que el proceso de apropiación de los con-ceptos o nociones matemáticos lleva mucho tiempo, por lo que al planificar no es posible dejar de considerar el punto de partida y el alcance progresivo de esos contenidos en cada grado.

En lo que respecta al tratamiento de la información los contenidos se presentan ar-ticulados en el eje Número y Operaciones; y Medida y tienen la intencionalidad de que los alumnos tengan oportunidades para in-terpretar, seleccionar y organizar la informa-ción que se presenta en diferentes portado-res (enunciados, tablas, gráficos…) a la vez que elaboran procedimientos de resolución, analizan y clasifican datos, y anticipan resul-tados.

La resolución de problemas se considera transversal a todos los contenidos presenta-dos dado que se asume como fundamental en la construcción del sentido de los cono-cimientos, por lo que caracteriza el enfoque didáctico de la enseñanza y provee el con-texto en el cual los conceptos, procedimien-tos y actitudes han de ser aprendidos.

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ORIENTACIONES PARALA ENSEÑANZA

Reflexionar acerca de la intencionalidad didáctica de la escuela primaria actual, supo-ne considerar al alumno como productor de conocimientos y concebir que la enseñanza de la matemática no puede estar orientada sólo a la comunicación de resultados o a la aplicación de técnicas que alguna vez se re-conocieron como saberes, sino como un pro-ceso de producción de conocimientos mate-máticos que permita a los alumnos disponer de una matemática con sentido.

Desde esta perspectiva se atribuye a la matemática que se enseña y se aprende un sentido diferente, lo que significa plantear situaciones que desafíen los conocimientos de los alumnos, que les permitan poner en juego lo que saben, explorar, proponer con-jeturas, encontrar diferentes caminos de re-solución, formular argumentos que prueben su validez, plantearse nuevos interrogan-tes…, en definitiva producir conocimientos.

Esta postura de “hacer matemática” en el aula reconoce la importancia de la re-solución de problemas como el medio fun-damental para lograr que los alumnos se apropien de los saberes que la escuela se compromete a trasmitir. Los problemas y la reflexión sobre las resoluciones permiten producir nuevos conocimientos, reinvertir conocimientos recientemente aprendidos, profundizar, y extender lo aprendido a nue-vas situaciones.

Considerar lo que saben, diseñar si-tuaciones didácticas que les permitan poner en juego esos saberes y plantearles nuevas situaciones que los desafíen a producir nue-vos conocimientos, son condiciones esencia-les para un proyecto didáctico que pretende vincular los conocimientos de los alumnos con los saberes culturalmente construidos.

Instalar estas condiciones de pro-ducción, significa proponer situaciones que lleven a los alumnos a poner en juego los conocimientos que poseen pero que les

presenten obstáculos o dificultades que los tornen insuficientes y les exijan producir los nuevos conocimientos como soluciones. En estos momentos el docente los alentará a intentar caminos de solución con las herra-mientas que poseen, a que puedan desple-gar sus representaciones no convencionales, ofreciéndoles de este modo la oportunidad de elaborar, profundizar, avanzar, aprender, construyendo una red de relaciones que den sentido a los saberes involucrados.

Para que esto suceda es necesario plan-tear, en el aula, una modalidad de enseñan-za en la que se consideren relevantes tanto el tipo de problemas y los procedimientos de resolución, como la intervención del do-cente que promueva la confrontación de so-luciones, organice discusiones, brinde infor-mación, dé explicaciones, e identifique los saberes involucrados en las situaciones. Será esencial que reconozca los conocimientos que circularon en la clase y los vincule con los saberes producidos por la ciencia, favo-reciendo de este modo que los nuevos co-nocimientos sean reconocibles, reutilizables y se desprendan del contexto en que apare-cieron.

Para gestionar la puesta en común, el do-cente toma decisiones como por ejemplo de qué modo van a presentar lo trabajado en función de lo que considera esencial anali-zar, confrontar, discutir. Organiza las interac-ciones entre los alumnos, sintetiza lo logra-do y lo que va a ser retomado en situaciones posteriores.

Ante la tarea de seleccionar problemas, con la intencionalidad de que los alumnos construyan el sentido de un conocimiento, el docente tendrá en cuenta la diversidad de contextos, significados y representaciones

Un concepto matemático cobra sentido a partir del conjunto de problemas en los que es útil para su resolución. Estos problemas constituyen los contextos para presentar esas nociones a los alumnos. Los contextos pueden ser matemáticos o no. En los no matemáticos se incluyen los vinculados a la

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vida cotidiana o a otras ciencias.

Al seleccionar problemas es necesario te-ner en cuenta que los contextos sean signifi-cativos para los alumnos, es decir que invo-lucren un desafío que puedan resolver en el marco de sus posibilidades cognitivas y sus experiencias socio-culturales.

En relación a los significados, es impor-tante considerar que el primer ciclo es el momento en que los alumnos comienzan a construir los diferentes significados de las operaciones, con distintos tamaño de los números y de tipos de magnitudes (discretas o continuas), por lo tanto es fundamental se-leccionar un conjunto de problemas que les permitan ir avanzado en diferentes niveles de complejidad.

Las situaciones que se planteen no sólo tienen que requerir que los alumnos elabo-ren procedimientos de resolución sino que también expliciten y validen matemática-mente relaciones, procedimientos y resulta-dos. Para que avancen en la comprensión de una noción es necesario que la reconozcan en sus distintas representaciones y puedan elegir la más adecuada o pasar de una a otra de acuerdo a la situación que están resol-viendo.

Será propósito del trabajo con proble-mas que los alumnos logren autonomía en la lectura y la comprensión de los enunciados, que puedan anticipar si el problema tiene una, varias o ninguna solución. En este senti-do se plantearán problemas ricos, variados, en los que sean posibles diversos caminos de resolución, que permitan establecer distin-tas relaciones o que admitan múltiples res-puestas. Una actividad interesante es propo-nerles que inventen preguntas o nuevos pro-blemas dado que les exige poner en juego todo lo que profundizaron en el análisis de los enunciados.

Aprender matemática no implica sólo re-solver problemas, es esencial que los alum-nos formulen y confronten los procedimien-tos personales que les ayudaron a pensar la

situación con las de sus pares, comprendan las producciones de sus compañeros, deba-tan con ellos, y expliciten razones para vali-dar ciertos procedimientos o cuestionen dis-tintos puntos de vista, den pruebas o ejem-plos e identifiquen errores.

Esta etapa de validación es central en este proceso. En el primer ciclo los alumnos pueden validar sus producciones a través de ejemplos, de comprobaciones empíricas o de argumentos vinculados con el contexto en que elaboraron soluciones. En el segundo ciclo si bien continúan estas formas de vali-dación (ejemplos, contraejemplos, constata-ciones empíricas), es necesario que comien-cen a elaborar argumentos sustentados en los conocimientos de los que disponen sin esperar que los principios de la demostra-ción sean dominados.

Un trabajo “centrado en la resolución de problemas no excluye la importancia de la eficacia y el dominio de los conocimientos”4. Es necesario explicar o fundamentar ma-temáticamente los nuevos conocimientos, explicitarlos, reconocerlos y sistematizarlos para favorecer que puedan ser reutilizados en otras situaciones y los alumnos puedan evolucionar en su dominio.

Mientras los alumnos resuelven proble-mas pueden aparecer procedimientos erró-neos que no significan ausencias sino que dan cuenta del estado de saber de los alum-nos. Es importante que el docente los recu-pere como objetos de trabajo de la clase y seleccione situaciones que problematicen los errores sobre los que crea conveniente trabajar.

Sintetizando los párrafos anteriores es posible expresar que la clase de matemática debe ser un ámbito de producción colectiva del conocimiento que permita a los alumnos enriquecer sus experiencias y representacio-nes, apropiarse tanto de los saberes como de los modos de producción de esos saberes, es decir del “hacer matemática en el aula”.4 SAIZ, Irma, PARRA, Cecilia, en Enseñar Matemática a los más chicos. Editorial Homo Sapiens.

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Acerca de la Enseñanza delNúmero y el Sistema deNumeración

En el primer ciclo el tratamiento de los contenidos numéricos, continuará el proce-so iniciado en el nivel inicial, y estará centra-do en que los alumnos puedan construir su sentido resolviendo situaciones donde las nociones numéricas aparezcan como herra-mientas de resolución. Es decir que les otor-guen significado a las funciones del número, que comprendan cómo se relacionan los nú-meros en un cálculo, o cómo se involucran en las operaciones y que reconozcan qué ti-pos de problemas permiten resolver.

En la enseñanza se plantearán a los alum-nos situaciones que les permitan:

• Utilizar los números para contar, comparar, ordenar y calcular.

• Apropiarse de los símbolos conven-cionales para registrar, escribir y re-conocer números.

• Iniciarse en la comprensión de las re-gularidades de la serie numérica.

• Elaborar estrategias personales de cálculo y disponer de ellas para resol-ver operaciones de adición, multipli-cación y sus inversas.

• Reconocer cuando una operación es útil para resolver un problema.

Desde muy pequeños, los alumnos tie-nen experiencias relacionadas al uso de los números en diferentes contextos de la vida cotidiana. Han tomado contacto con los nú-meros de teléfono, números de la patente de un auto, números de las casas, calenda-rios, relojes, dinero… En algunos casos esos números sirven para indicar cantidades, en otros medidas, en otros el orden, (el número de un turno, los meses, los años) y en otros son etiquetas (número del canal favorito de TV, número que indica la línea del colecti-vo…). Muchos alumnos cuando llegan a la escuela los nombran, los reconocen o los escriben, y aunque no sepan cómo se leen o escriben, distinguen dónde se usan y para qué sirven.

A medida que en el aula, se enfrenten a diversas situaciones en las que los números aparezcan como respuestas a problemas, y donde se involucren como memoria de la cantidad, para recordar posiciones o como recurso para anticipar resultados, los alum-nos irán construyendo el significado de los números y de los símbolos que los represen-tan.

Los números como memoria de la can-tidad cobran poder a raíz de que permiten evocar una cantidad sin que ésta esté pre-sente, o cuando se involucran en situaciones de comparación entre el cardinal de dos o más colecciones.

Plantear a los alumnos problemas que impliquen acciones como: igualar, comparar, tener tantos como, tener el doble o la mitad de…, con distintas colecciones, promueve que tomen conciencia del potencial que tienen los números como memoria de la cantidad y den sentido a las expresiones “más que”, “menos que” ”tantos como”, y luego “es mayor que” y “es menor que” entre números.

Las actividades relacionadas con juegos de cartas y dados como “la casita robada” y la guerra de números, permiten poner en juego diversas estrategias para comparar números. Cuando los alumnos juegan en el aula, es preciso que al terminar las partidas se gestionen espacios de puesta en común en la que se analicen las estrategias y se re-suelvan nuevas situaciones.

La utilidad de los números como me-moria de la posición permite recordar la posición que ocupa un objeto en una lista ordenada sin tener que memorizar toda la lista. Por ejemplo cuando un alumno cuenta que llegó tercero en una carrera, o que salió primero en el juego de cartas…, cuando se ordenan en una fila y quieren mantener el lugar para el día siguiente, o cuando recono-cen la posición de cada una de las tarjetas de una historieta y la indican con un número.

La memoria de la posición se relaciona con el aspecto ordinal del número que indi-

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ca el lugar que ocupa en la serie, mientras que el número como memoria de la cantidad refiere al aspecto cardinal del mismo.

La función del número como un recurso para anticipar el resultado de transformacio-nes en una colección, implica concebir que una cantidad sea el resultado de la compo-sición de varias cantidades y que sea posible operar sobre los números para anticipar el resultado de una transformación sin hacerlo directamente sobre los objetos (reunir, agre-gar, quitar, repartir, repetir...).

La posibilidad de anticipar se relaciona con la de realizar cálculos. A través de la re-solución de problemas y la confrontación de soluciones o procedimientos, los alumnos se irán apropiando de procedimientos de cálculo, y progresivamente dispondrán de repertorios de resultados memorizados.

Cuando los números son reconocidos y utilizados como herramientas para resolver situaciones es posible comenzar el estudio de ellos en sí mismos. Para ello se propondrán actividades que favorezcan la identificación de las regularidades de la serie numérica y les permitan aproximarse a la comprensión del sistema posicional de numeración a par-tir de la oralidad y la escritura.

El sistema de numeración decimal como modo de representar cantidades tiene carac-terísticas propias: usa diez símbolos (dígitos) entre los cuales el cero tiene una función especial y cada símbolo adopta un valor dis-tinto según la posición que ocupe en el nú-mero.

La numeración escrita como objeto so-cial, permite que a través del uso, y reflexión sobre ella los alumnos exploren y reconoz-can regularidades, elaboraciones que son importantes en el proceso de construcción progresiva del sistema de numeración. Para que puedan reconocer esas regularidades es necesario ponerlos en contacto con la serie escrita en una porción suficientemen-te grande que ponga en evidencia las reglas de construcción de los números. Si bien el

tratamiento del sistema se inicia desde el co-mienzo de la escolaridad se extiende hasta el segundo ciclo, dado que su dominio implica comprender las relaciones aditivas y multi-plicativas que subyacen en el mismo.

Los portadores numéricos, como el ca-lendario o el centímetro, constituyen re-ferentes del uso social de los números a la vez que brindan información a la que los alumnos pueden recurrir para resolver un problema. Al contar colecciones o buscar la escritura de un número en el centímetro ex-ploran y descubren regularidades vinculadas a la serie numérica oral, la serie escrita y sus relaciones. Pueden decir que 18 es menor que 21 porque está antes… El calendario es un recurso adecuado para resolver situacio-nes relacionadas con el anterior y posterior de un número dado (¿Qué día será mañana, si hoy es 19?...)

Disponer de conocimientos numéricos implica saber leer, escribir, ordenar y com-parar números. Ante el desafío de comparar cantidades representadas por escrituras nu-méricas, los alumnos, elaboran criterios para establecer cuál de las dos notaciones repre-senta el número mayor. Por ejemplo a “ma-yor cantidad de cifras, mayor es el número” o entre números de dos cifras: “el primero es el que manda”

Otras actividades que favorecen la lec-tura y escritura son, por ejemplo: completar cuadros numéricos con algunos números ya ubicados, armar bandas numéricas con dis-tintos intervalos, reconocer números en un juego de lotería, encuadrar números entre otros dos, analizar escrituras numéricas, es-cribir números con palabras…

Es esencial aprovechar las producciones escritas de los alumnos y generar espacios de confrontación y explicitación de argumentos sobre las diferentes escrituras que les permi-tan, decidir y avanzar sobre la escritura con-vencional del número. Por ejemplo es posi-ble que apoyados en la información que ex-traen de la numeración oral escriban 10020 para representar ciento veinte, cuestión que

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puede ser puesta en discusión a partir de la comparación con la escritura de un número conocido como el 200, (si 200 tiene tres ci-fras, ¿120 puede tener cinco cifras?) o desde la búsqueda de información en distintos por-tadores numéricos, por ejemplo en las pági-nas de un libro, en cuadros de números, en la cinta métrica, en el metro de costurera, en tableros de juegos.

Las actividades planteadas en el contex-to del dinero son apropiadas para establecer relaciones entre las descomposiciones aditi-vas y multiplicativas, vinculadas ambas con la posicionalidad. Se pueden plantear situa-ciones como: ¿Cuál es la menor cantidad de billetes de $10 y monedas de $1 que necesi-to para formar $56? Pero es necesario que luego esas relaciones se independicen del contexto, y que los alumnos puedan recono-cer en las escrituras de un número cuántos grupos de diez elementos lo forman

En primer grado, el trabajo puede estar centrado en la descomposición aditiva de un número mientras que en segundo y tercero se continuará con el trabajo sobre las regu-laridades a fin de que los alumnos avancen sobre las relaciones entre la descomposición aditiva y multiplicativa de los números.

En el último año de este Ciclo se plan-tearán problemas que involucren el uso de fracciones (medios y cuartos) en contextos de reparto. Es decir situaciones en las cuales se pueda seguir repartiendo lo que sobra, en partes iguales, para determinar qué canti-dad corresponde a cada parte. Por ejemplo, “Camila tiene 6 alfajores para invitar a sus 4 amigos. Si todos quieren comer la misma cantidad ¿Cuánto les toca a cada uno?” Tam-bién, se propondrán situaciones en los que se utilicen estas fracciones en el contexto de la medida (longitudes, capacidades o pesos). “¿Cuántos vasos de ¼ litro se pueden llenar con una gaseosa de 2 litros?”

En la resolución de este tipo de proble-mas los alumnos tendrán la posibilidad de interpretar las escrituras fraccionarias de uso frecuente (medios, cuartos) y de ela-

borar estrategias para encontrar la fracción complementaria de la unidad a partir de una fracción dada.

Acerca de la Enseñanza delas Operaciones

Con respecto al abordaje de las operacio-nes es necesario tener en cuenta que desde el primer año de la escolaridad los alumnos comienzan a desarrollar un largo proceso en su aprendizaje. Desde la enseñanza, es fun-damental considerar dos aspectos: la cons-trucción de los distintos significados a los que pueden asociarse los problemas, y los procesos que llevan a significar los diferen-tes algoritmos de cada operación.

Construir el sentido de las operaciones significa reconocerlas como herramientas para resolver problemas. Es esencial enton-ces, que los alumnos tengan oportunidad de enfrentarse a problemas que comprometan distintos significados de una misma opera-ción y les permitan establecer relaciones en-tre las diferentes operaciones.

En su enseñanza, es necesario tener en cuenta que “los sentidos” de las operaciones se van construyendo cuando los alumnos se enfrentan a problemas que esas operaciones permiten resolver o a situaciones donde no pueden ser utilizadas, reconocen las propie-dades que las caracterizan y las relaciones con otros conceptos o con otras operacio-nes, elaboran recursos de cálculo o procedi-mientos de resolución y buscan razones que justifican su funcionamiento, utilizan formas de escritura convencionales o ideadas por ellos, ponen en juego herramientas de con-trol para validar procedimientos o adecuar las respuestas a las situaciones dadas, re-suelven situaciones que involucran las ope-raciones en distintos campos numéricos.

El primer ciclo será el momento de plan-

tear situaciones de suma y resta corres-pondientes a distintos significados: agregar,

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avanzar, juntar, quitar, comparar, retroce-der…, que les permitan ir apropiándose pro-gresivamente del carácter de reversibilidad de estas operaciones.

Es importante que cuando se plan-teen problemas del campo aditivo, es decir aquellos que requieran de la suma o la resta en su resolución, no se refieran sólo a la bús-queda del estado final sino que se pregunte también sobre la transformación o el esta-do inicial. Por ejemplo Ariel necesita ahorrar $100 para comprar un juego. Si ya tiene $60. ¿Cuánto dinero necesita aún juntar? (estado final) O “Si en el juego de la oca la ficha de Camila está en el casillero 35, ¿cuántos ca-silleros le falta avanzar para llegar al 100?” (transformación) o bien “Si después de pagar $40 por un CD, Fede tiene aún $50 ¿cuánto dinero tenía en su billetera?” (estado inicial)

Al resolver problemas que involucren su-mas o restas con números de dos cifras, los alumnos se enfrentan al desafío de construir procedimientos más económicos, que les permiten avanzar en los procesos de des-composición que facilitan el cálculo.

A partir de la utilización sistemática de estos procedimientos de descomposición y de la reflexión sobre ellos es posible que los alumnos descubran ciertas regularidades, y elaboren conclusiones como, por ejemplo: “es fácil sumar de a diez porque… cuando se suma 10 a un número de dos cifras sólo cam-bia la primera”.

Es necesario tener en cuenta que los sig-nificados que los alumnos construyen y los procedimientos que despliegan, están fuer-temente ligados a los contextos en los que trabajan. Por ello es importante que en este ciclo se plantee un amplio espacio de proble-mas tanto intra como extra matemáticos que involucren los diferentes significados y va-ríen en su complejidad, según: los números puestos en juego, los tipos de magnitudes, el orden de presentación de las informaciones y las formas de representación.

En relación a la multiplicación, en este

ciclo, se presentarán problemas que invo-lucren series proporcionales, problemas vinculados a organizaciones rectangulares y problemas sencillos de combinatoria. Para la división, los problemas involucrarán los sig-nificados de reparto equitativo, de partición y aquellos vinculados a las organizaciones rectangulares de elementos.

Al plantear problemas característicos de la proporcionalidad directa, se pretende que los alumnos empiecen a utilizar sus propie-dades de manera intuitiva.

Otro tipo de problemas de proporciona-lidad que se plantea en primer ciclo, son los que remiten a organizaciones rectangulares, en los cuales los elementos se presentan or-denados en filas y columnas. Por ejemplo: ¿Cuántas figuritas se necesitan para comple-tar una página de un álbum donde las figuritas están organizadas en 4 columnas y 5 filas?

Para favorecer la construcción del senti-do de la multiplicación es necesario plantear, también, problemas de combinatoria, que no se interpretan como una suma reiterada, pero se resuelven mediante un producto.

Mientras los alumnos utilizan las distintas operaciones (suma, resta y multiplicación y división) para resolver situaciones, es nece-sario que construyan relaciones entre ellas, por lo que resulta interesante plantearles una diversidad de problemas para que esta-blezcan similitudes y diferencias entre ellos, de modo que progresivamente puedan asu-mir de manera autónoma como resolverlos, qué operaciones utilizar…

Las propiedades de las operaciones (aso-ciativa, disociativa, conmutativa y distributi-va), son utilizadas de modo implícito cuando los alumnos elaboran estrategias de cálculo, recién en segundo ciclo se avanzará en reco-nocerlas y formularlas.

En primer grado los alumnos evolucio-nan del conteo al cálculo y para ello el sobre-conteo (contar un cantidad a partir de otra) es un recurso útil, pero es esencial tener en

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cuenta que los problemas a los se enfren-ten tienen que propiciarlo. Así por ejemplo, cuando juegan en un tablero numerado a desplazar fichas, según lo indicado por un dado, es necesario que las reglas del juego exijan que los alumnos anticipen el número sobre el que caerá la ficha antes de realizar la acción. De ese modo se promueve el pasa-je del conteo al cálculo.

En este ciclo, el tratamiento del cálcu-

lo mental concebido como el conjunto de procedimientos que permite obtener resul-tados exactos o aproximados, sin recurrir a un algoritmo preestablecido, se orientará a la construcción y manejo de repertorios adi-tivos, y multiplicativos. Disponer de un re-pertorio significa contar con un conjunto de relaciones numéricas o resultados retenidos en memoria, que pueden ser usados como apoyo para resolver otros cálculos más com-plejos.

En la enseñanza del cálculo es necesa-rio tener en cuenta que un cálculo se puede resolver con diferentes estrategias y que las que son útiles para un caso no lo son para otro, dado que depende de los números in-volucrados.

El cálculo mental será una herramienta útil para resolver situaciones que requieran la obtención de resultados tanto exactos como aproximados, y la posibilidad de deci-dir si los resuelven mentalmente, por escrito o con la calculadora.

Es fundamental que frente a un proble-

ma, los alumnos, puedan decidir el tipo de cálculo que consideran más apropiado se-gún éste requiera una respuesta exacta o aproximada. Si la respuesta aproximada es suficiente, se puede recurrir al cálculo esti-mativo. A través de un cálculo estimativo, por ejemplo, pueden tener control sobre los resultados cuando realizan cálculos con la calculadora. Por ejemplo, ¿Cuál de los si-guientes números: 600, 700, 800 es el más cercano al resultado de la suma 250 + 420?

El uso de la calculadora no estará cen-

trado en reemplazar los algoritmos sino en desplegar un trabajo de anticipación de re-sultados que puede ser comprobado rápi-damente. Por ejemplo plantear situaciones donde se transforma una cifra: ¿Cuánto hay que sumar al número 15 para que en el visor de la calculadora aparezca, 25, 35,45,… ha-ciendo una suma cada vez?

Cuando los alumnos elaboran proce-dimientos de cálculo mental se apoyan en las propiedades del sistema de numeración decimal y de las operaciones; y ponen en juego diferentes tipos de escritura y relacio-nes que se establecen entre los números. Es decir que el cálculo mental no se desvincula del significado de las operaciones, sino que además permite considerar la razonabilidad del resultado.

Proponer en el aula, el cálculo mental como objeto de estudio en sí mismo, implica favorecer la aparición de relaciones estricta-mente matemáticas y facilitar la compren-sión de las técnicas que luego serán una vía de acceso para la comprensión de los algo-ritmos.

Los algoritmos son técnicas de carácter general, reconocidas y valorizadas en la cul-tura dado que permiten obtener un resul-tado, independientemente de los números que intervienen. También apelan a las pro-piedades de los números y de las operacio-nes pero una vez automatizados es posible utilizarlos sin tener en cuenta el sentido de las descomposiciones de los números y de las operaciones parciales que se realizan, y no es necesario reflexionar sobre lo que se hace en cada caso. Cuando se resuelven al-goritmos se consideran las cifras de un nú-mero de forma aislada en cambio en el cál-culo mental los números se tratan de mane-ra global.

Es importante que el tratamiento de los algoritmos en el aula se realice cuando los alumnos ya se han enfrentado, a un amplio conjunto de problemas que les han permi-tido construir distintos significados de una operación, dominar recursos de cálculo

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mental, disponer de un repertorio de cál-culos memorizados y realizar cálculos esti-mativos. Para comenzar la exploración y el uso de distintos algoritmos utilizarán tanto estos recursos como sus conocimientos so-bre el sistema de numeración; y será valioso dejar registro escrito de los pasos interme-dios generalmente ocultos en los algoritmos convencionales. Por ejemplo en la multipli-cación cuando se multiplica la decena del segundo factor colocar el cero en lugar de “dejar un lugar o poner una rayita”.

Cuando los alumnos comienzan a domi-nar los algoritmos pueden tomar decisiones acerca de, en qué casos conviene que los problemas sean resueltos con cálculo men-tal o con algoritmos según los números que se involucren. El hecho de que los algoritmos lleguen a automatizarse no significa que no sea esencial favorecer su comprensión.

En síntesis, el alumno irá elaborando sus propias concepciones del número y las ope-raciones, a través del uso que realice y del dominio que construya, concepciones pro-visorias que luego podrán ser cuestionadas y se irán completando con el descubrimiento de otras clases de números, con la posibili-dad de utilizarlas en nuevas situaciones, y de realizar cálculos cada vez más complejos…

Acerca de la Enseñanza delEspacio y la Geometría

Desde edades muy tempranas los alum-nos construyen algunos conocimientos es-paciales, como cuando comienzan a des-plazarse o, a ubicar posiciones de objetos o personas. Sin embargo es esencial que en la escuela aprendan los conocimientos necesa-rios para el dominio de las relaciones espa-ciales, y en este ciclo se promoverá que sis-tematicen y enriquezcan los elaborados en el nivel inicial.

Considerar el espacio como objeto de es-tudio implica ocuparse tanto del espacio físi-

co como del espacio geométrico. El espacio físico es el que percibimos por medio de los sentidos en cambio el espacio geométrico, constituido por conjuntos de puntos, figuras y propiedades que conocemos a través de representaciones, es una modelización del espacio físico y nos permite comprenderlo.

Los contenidos de este eje se plantearán a través de situaciones que permitan a los alumnos:

• Construir las herramientas necesarias

para dominar las relaciones espaciales y para comunicar posiciones de obje-tos y personas. (adentro de..., arriba de…, delante de…, a la derecha de…)

• Elaborar representaciones de dis-tintos espacios físicos median-te el uso de puntos de referen-cia apropiándose de un lenguaje específico cada vez más preciso.

• Iniciarse en los modos propios de la actividad matemática a tra-vés del estudio de las figuras, de los cuerpos y sus propiedades en situaciones que impliquen:

• Comparar y describir figuras (trián-gulos, rectángulos, cuadrados) de acuerdo a sus características.

• Describir cuerpos (cubo, cilindro, cono, prisma, pirámide, esfera) a partir de sus características (formas de las caras, número de caras…)

• Clasificar figuras y cuerpos geomé-tricos a partir de algunos criterios (número de lados; lados rectos o curvos, lados iguales, caras pla-nas y curvos, número de bases…)

• Reproducir construcciones de figuras y cuerpos a partir de informaciones dadas.

Los problemas que permiten a los alum-nos lograr progresivamente el dominio de las relaciones espaciales se vinculan a la

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orientación, la ubicación de un objeto en el espacio, la necesidad de establecer puntos de referencia, la organización de los despla-zamientos, la comunicación de las posicio-nes y la interpretación de representaciones planas del espacio.

El alumno construye el conocimiento es-pacial a partir de su propia acción y de la co-municación. Al desplazarse y mantener con-tacto directo con los objetos elabora estos co-nocimientos, y al ubicarse en el espacio se va apropiando de un vocabulario específico que le permite comprender y trasmitir informa-ción, es decir que el lenguaje y las representa-ciones espaciales dan la posibilidad de comu-nicar informaciones en situaciones en las que no se efectúa una percepción directa.

En la medida que los alumnos vayan lo-grando el dominio del lenguaje para comu-nicar o representar posiciones y desplaza-mientos, identificar y describir objetos, irán enriqueciendo las relaciones con el espacio.

Es interesante plantearles situaciones que les brinden la oportunidad de interpre-tar, describir y representar trayectos y pla-nos; o de describir y reproducir posiciones, ubicaciones, formas de objetos y construc-ciones a través de la decodificación o emi-sión de mensajes verbales. Por ejemplo con-tar a un compañero un recorrido para que éste pueda reproducirlo, o jugar a encontrar objetos escondidos a partir de ser guiados por otro.

Cuando las representaciones del espa-cio se convierten en objeto de estudio en el aula, permiten reflexionar sobre los distintos puntos de vista y las relaciones entre los ob-jetos del espacio.

Es importante entonces, que en el traba-jo en torno a la construcción del espacio, se planteen problemas ligados a la representa-ción que involucran algún grado de análisis o reflexión sobre el espacio real, y a las relacio-nes que se dan en él. Estas situaciones de-ben caracterizarse por exigir la anticipación y no ser resueltas exclusivamente en forma

empírica. Se pueden proponer diversas acti-vidades en las que se requiera representar el espacio para un fin determinado, por ejem-plo “dibujar para comunicar a otros alumnos las pistas para la búsqueda de un tesoro”.

Para avanzar en la comprensión de es-pacios urbanos que forman parte de la vida de los alumnos se pueden plantear situa-ciones que requieran reflexionar sobre la distribución de las calles, la organización de la numeración, el sentido para circular, etc. Identificar estas referencias favorece el co-nocimiento de algunas convenciones para la organización de ciertos espacios y sus res-pectivas formas de representación (flechas que indican la dirección y el sentido, nume-ración ascendente y descendente, números pares e impares que se colocan en las casas)

Además del trabajo sobre el espacio, en este ciclo, se plantearán problemas geomé-tricos orientados al estudio de las figuras y de los cuerpos que les permitan comenzar a reconocer y establecer las primeras relacio-nes geométricas.

Un problema es geométrico si al resol-verlo exige que se pongan en juego las pro-piedades de los objetos geométricos y pone a los alumnos en interacción con objetos que ya no pertenecen al espacio físico, sino a un espacio conceptualizado representado por las figuras-dibujos. La validación de la res-puesta no se establece empíricamente, sino que se apoya en las propiedades de los obje-tos geométricos.

Es esencial proponer situaciones que fa-vorezcan el reconocimiento de algunas pro-piedades de las figuras y cuerpos, apoyado en un juego de anticipaciones y corrobora-ciones empíricas, a la vez que avanzan en los modos de pensar propios de la matemática.

En un comienzo los alumnos reconocen las propiedades como características de las figuras y de los cuerpos con los que traba-jan, es decir asociadas a sus dibujos y sin el carácter de generalidad que tienen las con-diciones que definen esas figuras o cuerpos. Es decir que en este ciclo el trabajo tiene un sentido esencialmente exploratorio, y los di-

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bujos representan un buen punto de partida para la enseñanza de las figuras y cuerpos geométrico, sin que sea necesario estable-cer un orden para presentarlos.

Para el tratamiento de las formas geomé-tricas resulta fructífero plantear situaciones problemáticas que permitan recuperar los conocimientos disponibles en los alumnos y que requieran la reproducción y la descrip-ción de los cuerpos y figuras involucrando las acciones de copiar, dictar y representar. Es-tas actividades de comunicación favorecen el uso de un lenguaje adecuado y resultan muy fértiles a la hora de determinar qué ca-racterísticas son esenciales para identificar una figura o un cuerpo. Por ejemplo, cuan-do les pedimos a los alumnos que “copien una figura”, se pretende que investiguen las propiedades que no resultan evidentes en el dibujo.

Si bien en el tratamiento de la geometría es necesario introducir el lenguaje específi-co tanto en lo relativo a los nombres de los cuerpos y las figuras, es esencial tener en cuenta que en estos primeros años la incor-poración de un nuevo vocabulario que les permita describir mejor las relaciones que van estableciendo, es un trabajo progresi-vo. Es por ello que en muchas ocasiones se aceptan definiciones provisorias que se van modificando y precisando a medida que avancen en la escolaridad.

A partir de la identificación de algunas características de los cuerpos geométricos (cantidad de caras, vértices, aristas, forma de las caras, longitud de las artistas) podrán establecerse relaciones entre las figuras y las caras de los cuerpos. Para ello se pueden proponer actividades como la construcción de cuerpos con diferentes figuras, o la de-terminación de las “huellas” obtenidas por medio del sellado o las sombras que cada cuerpo produce.

Cuando se planteen situaciones que in-volucren representaciones gráficas, o desa-rrollos planos y materiales de figuras o cuer-pos, es esencial que las mismas exijan que

los alumnos comiencen a anticipar, y a pro-fundizar o utilizar sus conocimientos geomé-tricos para ir despegándose progresivamen-te de lo perceptivo.

En síntesis, es posible afirmar que la ta-rea de enseñar geometría en el primer ciclo, estará centrada tanto en el estudio de las propiedades de las figuras y de los cuerpos geométricos, como en el inicio de un modo de pensar propio del saber geométrico. Es-tará orientada a que los alumnos dispongan progresivamente de las propiedades para resolver problemas geométricos y se intro-duzcan en la validación de las respuestas aproximándose a la argumentación que ten-drá lugar en los ciclos posteriores.

Acerca de la Enseñanzade la Medida

En la vida cotidiana el hombre se en-frenta permanentemente con problemas de cuantificación que involucran números, o de medición que implican el uso de cantidades (números seguidos de una unidad de medi-da).

Medir es indagar cuántas veces una unidad está contenida en otra de la misma magnitud, es decir que el proceso de medir consiste en comparar una cantidad dada de longitud, masa, capacidad o volumen con la longitud, masa, capacidad o volumen de otro objeto que se considera como unidad.

El número obtenido a partir de ese proce-so de iteración es: la medida, que se expre-sa no sólo con números naturales sino tam-bién con racionales (expresiones decimales y fraccionarias). Entre la unidad de medida y la medida existe una relación de proporcionali-dad inversa, dado que cuánto más pequeña es la unidad, mayor es la medida y viceversa.

Antiguamente el hombre utilizó como

unidades de medida partes de su propio

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cuerpo (manos, pies, brazos…), luego co-menzó a usar objetos externos (palitos, pie-dras, vasijas…) pero dada su falta de unifor-midad estas unidades le generaron dificulta-des de índole comercial. Este hecho lo llevó a establecer convenciones y crear unidades de medida reconocidas internacionalmente.

El uso de un sistema de medición unifica-do, acordado a finales del siglo XVIII se co-noció con el nombre de Sistema Métrico De-cimal. Se denomina métrico porque su base es el metro y decimal porque tiene base diez.

A partir de la experiencia de medir se puede inferir que un mismo objeto puede ser medido con distintas unidades de medida ya sean no convencionales o convencionales y a su vez toda medición contiene un margen de error, sea cual fuera el instrumento ele-gido. Estos errores pueden ser sistemáticos (dependen de la escala del instrumento), de apreciación (se originan por la lectura del observador) o causales (generados por otros factores: presión, temperatura, etc.,). Es de-cir que el error es inherente a la medición.

La medida permite articular los conoci-mientos geométricos y numéricos dado que representa una herramienta para explorar y establecer relaciones respecto de las figuras y cuerpos; y utiliza los números para expre-sar resultados de una medición.

El tratamiento de la medida involucra conocimientos culturales como la realiza-ción de mediciones, el uso de distintos ins-trumentos, la determinación de la unidad adecuada y el análisis del error que puede iniciarse en el primer ciclo, pero se profundi-za en los siguientes.

Las situaciones que exijan medir permiti-rán que los alumnos comprendan la necesi-dad de establecer unidades de medida que den el mismo resultado para todos, a la vez que ponen en discusión la cuestión del error, que es inevitable por ser inherente a la me-dida, pero es necesario que progresivamen-te los alumnos acepten este hecho.

(En primer grado se plantearán situacio-nes que impliquen la medición de longitu-

des, capacidades y pesos, y el uso de calen-darios para ubicarse en el tiempo; mientras que en segundo se avanzará en la resolución de problemas que permitan conocer las uni-dades convencionales más usuales: el metro, el centímetro, el litro, el kilogramo realizan-do mediciones y estimaciones de esas mag-nitudes e instalando la discusión acerca de la forma de escribir la medida. En tercero se evolucionará en la resolución de situaciones con mitades y cuartos de las unidades más usuales.

A través de actividades que les propon-gan medir eligiendo los instrumentos ade-cuados, por ejemplo medir su altura y su peso, o la longitud y peso de diferentes ob-jetos, los alumnos se familiarizan con una serie de medidas. Saben que un paquete de harina pesa 1 kilo, que algunas botellas de agua contienen dos litros, que su altura es algo más que un metro...

Otro tipo de situaciones que es posible plantear en este ciclo, son aquellas que im-pliquen comparar longitudes como así tam-bién comparar pesos de distintos envases que les permita abordar la comprensión global del significado de algunas unidades como por ejemplo el gramo o el kilogramo.

Resulta fructífero plantear problemas que impliquen el uso social de las diferentes magnitudes y que requieran comparar can-tidades continuas midiendo con unidades no convencionales en un comienzo y luego, progresivamente utilizar instrumentos por-tadores de unidades convencionales que les permitan realizar mediciones más efectivas. En estos casos será el alumno quién decida cuál es la unidad de medida más convenien-te de acuerdo al objeto, a la magnitud que se quiera medir, y a los instrumentos de los que se dispone.

Cuando los alumnos resuelven situacio-nes que involucran el uso de instrumentos como reglas, balanzas, termómetros, vasos graduados o jarras medidoras, se inician en la práctica social de la medida, pero es im-portante promover reflexiones centradas en la observación y discusión acerca del signi-

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ficado de los números que aparecen en los diferentes instrumentos.

Enfrentarse con problemas que implican medir contribuye a que los alumnos cons-truyan nuevos significados para los núme-ros, que indican la iteración de la unidad de medida. Así por ejemplo, cuando expresan cantidades al medir longitudes, capacidades y pesos ponen en juego algunas expresiones decimales y fraccionarias de uso habitual (compré una gaseosa de dos litros y medio, caminé media cuadra…)

En relación a la medición de longitudes se plantearán problemas que involucren el uso del metro, el centímetro y el milímetro como unidades de medida y promuevan que los alumnos aprendan a usar reglas y cintas métricas tanto para medir longitudes como para conocer y utilizar equivalencias. Por ejemplo un metro equivale a cien centíme-tros.

Con respecto a la magnitud tiempo, se promoverá el uso del calendario para ubi-car fechas, determinar duraciones y cono-cer la distribución de días en la semana y de meses en el año. Ya en 2° grado es posible proponer situaciones que exijan leer la hora en distintos tipos de relojes y determinar duraciones de tiempo. En tercero se podrán incluir situaciones que permitan analizar las equivalencias entre horas y minutos, y utili-zar expresiones fraccionarias como: ½ hora, ¼ y ¾ de hora.

Entre las diferentes situaciones de medi-ción que se planteen es importante que los alumnos se enfrenten a algunas en las que no se requiere una medida exacta sino que es suficiente una estimación global, dado que la posibilidad de estimar el tamaño de un objeto es una condición necesaria para controlar el resultado de una medición.

Estimar es un proceso mental que re-quiere tener internalizada una unidad de medida o un referente, y que el sujeto sea capaz de reconocer e identificar cantida-des cuya medida sea la cantidad de veces que esta unidad o referente está contenido

aproximadamente en el objeto a medir. Por ejemplo para estimar longitudes los referen-tes pueden ser algunas partes del cuerpo u objetos del entorno. Más adelante podrán considerar como referencias algunas distan-cias domésticas, otras urbanas, geográficas o astronómicas.

Cuando los alumnos resuelven proble-mas que involucran la estimación es impor-tante que tengan la posibilidad de compro-bar posteriormente el grado de aproxima-ción a través de medir efectivamente con los instrumentos de medición apropiados.

En síntesis, podemos decir que, en la en-señanza de la medida, es esencial el trabajo efectivo de mediciones, estimaciones y con-trol de resultados, planteando a los alumnos situaciones que les permitan:

• Involucrarse en la práctica social de la medida resolviendo problemas en los cuales la necesidad de medir sea un requisito para su resolución.

• Apropiarse de los procesos de me-dición y de la medida al realizar ac-tividades en las que la exploración, la elección del instrumento, la ex-perimentación y la estimación sean modos de hacer en su resolución.

• Progresar en el uso de instrumentos de medida en contextos sociales: ba-lanzas, cintas métricas, vasos medi-dores, relojes, etc.

EVALUACIÓN

En la enseñanza de la matemática, como en otros campos de conocimiento, la eva-luación se concibe como un proceso conti-nuo que representa para el docente tanto una herramienta para tomar decisiones y reorientar su tarea, como un medio para ob-tener información acerca de la marcha de los aprendizajes de los alumnos.

La evaluación cumple un lugar esencial

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en la tarea de enseñanza y está asociada a la comprensión de los procesos de pensamien-to de los alumnos. Es un instrumento de se-guimiento, y está relacionada con la reflexión sobre la propia práctica de los docentes.

Tal como ya se ha planteado en este do-cumento, desde los lineamientos políticos pedagógicos se concibe que todos los alum-nos pueden aprender matemática y para ello es necesario que en el aula se instalen las condiciones didácticas que les permitan avanzar y aprender, aunque de diferente ma-nera y desde sus diferencias individuales.

Si desde la enseñanza se promueve que los alumnos construyan conocimientos ma-temáticos a partir de resolver problemas y reflexionar sobre sus resoluciones, la evalua-ción formará parte de los procesos de ense-ñar y aprender que se produzcan en el aula.

El reto consiste en evaluar los avances y progresos de los aprendizajes de los alum-nos con respecto a los conocimientos que tenían al comenzar el proceso de enseñanza y lo que se ha trabajado, las oportunidades que se han brindado de desplegar activida-des relacionadas con lo que se pretende que aprendan y que luego es evaluado.

En este sentido, la evaluación diagnóstica permite determinar el punto de partida de cada alumno y del grupo en general, pero también favorece la comprensión de los aprendizajes subyacentes en la resolución de tareas o problemas orientando la toma de decisiones de los docentes.

Este tipo de evaluación que tradicional-mente se utilizara al iniciar el ciclo escolar, constituye una herramienta potente para relevar información antes de comenzar cada propuesta de trabajo.

Evaluar los conocimientos que han lo-grado los alumnos significa reunir y analizar datos sobre lo que disponen con relación a conceptos y procedimientos matemáticos. Es importante que los alumnos participen activamente en la evaluación de las tareas

que realizan, ya sean individuales o grupa-les, a la vez que toman conciencia de lo que están aprendiendo. De ese modo se compro-meterán cada vez más con su propio proceso de aprendizaje.

Es necesario que la evaluación de los

conocimientos matemáticos que han cons-truido los alumnos no se reduzca a plantear evaluaciones escritas sino que se utilicen di-ferentes herramientas como la observación de su participación en las tareas grupales, en el tipo de preguntas que realizan, en las explicaciones que formulan…, con la inten-cionalidad de interpretar la evolución de los aprendizajes.

Uno de los propósitos de la enseñanza de la matemática que sostiene este Diseño Cu-rricular es que los alumnos se apropien tam-bién de los modos de producción de los sa-beres es decir que progresivamente dispon-gan de los modos del quehacer matemático, esto implica que desde la evaluación el do-cente valorará también el proceso de elabo-ración de sus producciones, la participación en la formulación de esas producciones, en las discusiones o debates, en las argumenta-ciones para defender sus resoluciones, en la posibilidad de comprender procedimientos de otros…

En coherencia con los propósitos y los contenidos definidos para este campo de conocimiento se definen a continuación los criterios de acreditación para el Primer Ciclo.

CRITERIOS DE ACREDITACIÓN

Al finalizar el Primer Ciclo los alumnos es-tarán en condiciones de:

• Resolver situaciones que involu-cren la interpretación de escritu-ras numéricas, el reconocimien-to, la comparación y el uso de los números de cuatro o más cifras.

• Producir y formular procedimientos

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adecuados para resolver problemas y elaborar argumentos para validarlos.

• Comunicar procedimientos y resulta-dos utilizando progresivamente el vo-cabulario y los símbolos matemáticos.

• Solucionar problemas que involucren las operaciones de adición, sustracción multiplicación y división, analizando la razonabilidad de los resultados.

• Elaborar y disponer de reper-torios memorizados de cálcu-los aditivos y multiplicativos, úti-les para resolver otros cálculos.

• Resolver problemas, mediante cál-culos aditivos y multiplicativos, ade-cuando el tipo de cálculo (mental, exacto, aproximado, o algorítmico) a la situación que se plantee y a los nú-meros involucrados.

• Realizar mediciones, con cierto grado de precisión, de longitudes, capaci-dades y pesos utilizando unidades convencionales de uso frecuente (metro, centímetro, litro, kilogra-mo) y los instrumentos de medi-ción más usuales y pertinentes.

• Resolver situaciones que impli-quen describir y comunicar la lo-calización o el desplazamiento de objetos en el espacio, y la inter-pretación de sus representaciones.

• Reconocer figuras y cuerpos por sus características esenciales (forma y número de lados, bordes rectos o curvos, forma y número de caras).

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