Ejercicios en Solver

Presentado por: Yuli Carolina Orozco, Mayra Alexandra Ruiz, Luz Dary Cortes

EJERCICIOS EN SOLVER

1. El señor Martínez tiene un pequeño camión con capacidad interior de 20m3 en el cual transporta mercancía. Una reconocida empresa de la ciudad le ha contratado para hacer acarreos de esta mercancía, desde la planta de producción, hacia los puntos de distribución. La mercancía está empacada en cajas de 3 tamaños diferentes. Además la ganancia por transportar cada tipo de caja es distinta.

CAJA TAMAÑO PAGO X CAJA TRANSPORTADATIPO 1 1 m3 $ 1.000TIPO 2 1.2 m3 $ 1.120TIPO 3 0.8 m3 $ 900

¿Cómo debe llenar el señor Martínez su camión para maximizar las ganancias en cada viaje que realice, si tiene que transportar como mínimo 8 cajas tipo 1 y 5 cajas tipo 3 en cada viaje?

Definición de Variables.

X1: Número de cajas tipo 1 transportados en cada viaje [caja/viaje]



Función Objetivo

Z: Ganancia total (pesos) por el transporte de los 3 tipos de cajas en cada viaje.

Max Z = 1000X1+ 1120X2 + 900X3

[$/caja] * [ caja/viaje]=[$/ viaje]

Restricciones funcionales

R1: Capacidad del camión (recurso)

1X1+ 1.2X2+ 0.8 X3≤ 20 [m3/ caja] * [caja/viaje]= [m3 /viaje]

R2: Mínimo de cajas tipo 1 (requerimiento)

X1≥ 8 [caja/viaje]

R3: Mínimo de cajas tipo 3 (requerimiento)

X3 ≥ 5 [caja/viaje]


Restricción de no negatividad

X1, X2, X3 ≥ 0

Modelo completo.

Max Z = 1000X1+ 1120X2 + 900X3

Sujeto a

1X1+ 1.2X2+ 0.8 X3≤ 20

X1 ≥ 8

X3 ≥ 5

X1, X2, X3 ≥ 0

Planteamiento en Excel y solución por medio de solver

Datos suministrados por el ejercicio

Valor de las celdas cambiantes (arrojado por solver)


(Datos arrojados por solver) Máximo valor función objetivo y recursos utilizados

Interpretación informes de solver

INFORME DE RESPUESTAS

El informe de Respuestas presenta un resumen de los resultados de la optimización: Valor de la función objetivo: Situación de cada restricción, en particular si la restricción es limitante (obligatorio) o no limitante (opcional) y finalmente el valor de la divergencia (Slack) o holgura.

1

De acuerdo con el informe el máximo ingreso que se puede obtener por el hecho de asignar los recursos al transporte de 8 cajas tipo 1 y 15 cajas tipos 3 es de $21.500. No es posible organizar los recursos de otra manera, distinta a la indicada por el Solver, de tal forma que se pueda generar un ingreso superior a $21.500.


Celdas de variables (Variables de decisión)

Esta sección del informe indica que actividades entraron en el plan final (solución óptima). El plan final manda a transportar 8 cajas tipo 1 y 15 cajas tipos 3, a fin de obtener el máximo ingreso. El Solver indica con un cero las actividades que no entran en la solución óptima, tal es el caso de la actividad de transportar cajas de tipo 2. Datos que se reflejan en las celdas correspondientes a B7 a la D7.

Restricciones

Solver nos muestra en la columna valor de la celda el valor del recurso utilizado para cada una de las restricciones planteadas en el ejercicio, y en la respectiva fórmula aplicada a cada una de estas restricciones. En la columna de estado solver nos indica que las restricciones de capacidad de camión fue utilizada en su totalidad convirtiéndose en un recurso limitante, la restricción mínimo de cajas tipo 1, fueron utilizada en su mínimo por lo cual se convierte en un recurso limitante, mientras que la restricción de mínimo de cajas tipo 3, se muestra como un recurso no limitante ya que se usó más de lo que la restricción daba, se deben transportar 15 cajas de este tipo para nuestra máxima ganancia. Las variables Slack o de holgura indican las cantidades de los recursos no utilizados en el plan óptimo. Por lo tanto podemos decir que los recursos que limitaron la producción fueron la capacidad del camión y el mínimo de cajas tipo 1, respectivamente, mientras que el mínimo de cajas tipo 3 fue no limitante.

INFORME DE SENSIBILIDAD


La columna Valor Final hace referencia al Valor final que toman las variables de decisión o celdas cambiantes en la solución óptima. En nuestro ejercicio transportar 8 cajas tipo 1 y 15 cajas tipos 3. Vea celdas D10 y D12, respectivamente.

La columna Costo Reducido nos informa en cuanto debería modificarse el coeficiente objetivo asociado a una variable en la función objetiva ( Z ) para que la misma permanezca en la solución. Es nuestro ejercicio el transportar cajas del tipo 2 no entro en el plan final, es decir en nuestra solución óptima, por lo cual presenta un costo reducido de -230, esto significa que si por alguna razón el señor Martínez decidiera transportar cajas del tipo 2, el valor de la solución óptima se reduciría en $230 pasaría de $21.500 a $21.270 • Las variables que entran en la solución óptima tienen un Costo reducido igual a cero. Se les denomina variables básicas.• Las variables que no entran en la solución óptima tienen costo reducido negativo (< 0). Se les denomina variables no básicas.

Las dos últimas columnas Aumento permisible y Disminución permisible muestran el rango en el cual pueden variar los coeficientes de la función objetiva (precio neto de cada actividad) sin que cambie la solución óptima.

Rango de optimalidad del coeficiente objetivo de la caja tipo 1[(1000+125) ; (1000-1E+30)]= [1125; ∞] en este intervalo podemos ver que es permisible que el coeficiente de x1 aumente hasta 1125 pero su disminución contiene un numero sin limite. Cualquier modificación dentro de este rango, no modifica la naturaleza factible de la solución óptima, si se asume que todos los otros parámetros del modelo permanecen constantes. Fuera de este Rango de valores, se requiere reoptimizar, o sea resolver el problema para determinar el nuevo valor de la función objetivo.

Rango de optimalizad del coeficiente objetivo de la caja tipo 3[(900+1E+30) ; (900-100)]= [∞; 800] en este intervalo podemos ver que es permisible que el coeficiente de x1 disminuya hasta 800, pero su aumento es una cifra sin límite entonces un incremento de la disponibilidad de ese recurso no tendrá ningún efecto.

La columna Precio de Sombra dice en cuando se incrementaría o disminuiría el valor de la función objetiva si se incrementara o disminuyera el recurso disponible (RHS) en una unidad. Así por ejemplo, si el límite de la primera restricción (capacidad del camión) se incrementara de 20m3 a 21m3, entonces la función objetiva se incrementaría en $1.125.Por otra parte, si el límite de la restricción mínimo cajas tipo 1 se incrementara de 8 a 9 cajas a transportas, entonces la función objetiva experimentaría un decremento de $-125, éste indica cuanto estaría dispuesto a pagar el señor Martínez por una unidad adicional del recurso limitante. Pero si el señor Martínez decidiera disminuir en 1 unidad este tipo de cajas el valor de la función objetivo aumentaría en $125.

Las columnas Aumento permisible y Disminución permisible de una restricción indican el rango en el cual se puede variar el recurso disponible sin que se modifique la solución óptima. Así por ejemplo, los rangos de factibilidad de los recursos limitantes (Capacidad de camión y mínimo cajas tipo3) son respectivamente los siguientes:


Rango de factibilidad de la capacidad del camión [(20+1E+30) ; (20-8)]= [∞: 12]

Rango de factibilidad de la mínimo cajas tipo 3 [(5+10) ; (5-1E+30)]= [15 ;∞]

Cualquier cambio dentro de este rango de los recursos disponibles no modifica la naturaleza factible de la solución óptima.

Con esto podemos decir que si queremos aumentar nuestros ingresos se debe cambiar el camión para aumentar su capacidad interior, de lo contrario si el señor Martínez decide aumentar el transporte de cajas tipo 1 se verán afectadas sus ganancias ya que por cada unidad comenzara a disminuir en $125.

INFORME DE LÍMITES

LIMITES VARIABLE X1 (CAJAS TIPO 1)Valor del límite inferior de la variable Caja Tipo 1: 8 CajasValor Óptimo de la variable Caja Tipo 3: 15 CajasFunción objetivo bajo estas condiciones: 1000*8+900*15 = 21500


• Límite superior. Es el mayor valor que puede tomar la variable (suponiendo que las demás mantienen constante el valor óptimo encontrado)• Resultado objetivo. Es el valor que toma la función objetivo si la variable considerada toma el valor del límite superior y las demás mantienen el valor óptimo encontrado

Valor del límite superior de la variable Caja Tipo 1: 8 Cajas Valor Óptimo de la variable Caja Tipo 3: 15 CajasFunción objetivo bajo estas condiciones: 1000*8+900*15 = 21500

LIMITES VARIABLE X2 (CAJAS TIPO 2)Valor del límite inferior de la variable Caja Tipo 2: 0 CajasValor Óptimo de la variable Caja Tipo 1: 8 CajasValor Óptimo de la variable Caja Tipo 3: 15 CajasFunción objetivo bajo estas condiciones: 1000*8+900*15 = 21500

Valor del límite superior de la variable Caja Tipo 2: 0 CajasValor Óptimo de la variable Caja Tipo 1: 8 CajasValor Óptimo de la variable Caja Tipo 3: 15 CajasFunción objetivo bajo estas condiciones: 1000*8+900*15 = 21500

LIMITES VARIABLE X3 (CAJAS TIPO 3)Valor del límite inferior de la variable Caja Tipo 3: 5 CajasValor Óptimo de la variable Caja Tipo 1: 8 CajasFunción objetivo bajo estas condiciones: 1000*8+900*5 = 12500

Valor del límite superior de la variable Caja Tipo 3: 15 CajasValor Óptimo de la variable Caja Tipo 1: 8 CajasFunción objetivo bajo estas condiciones: 1000*8+900*15 = 21500

Con esto podemos confirmar que para la variable X3 el límite inferior es de 12500 menor valor que puede tomar esta variable.


2. La señora María Eugenia, dietista del Hospital General, es la responsable de la planeación y administración de los requerimientos alimenticios de los pacientes. En la actualidad examina el caso de un paciente, a quien se le ha formulado una dieta especial que consta de 2 fuentes alimenticias. Al paciente no se le ha restringido la cantidad de alimentos que puede consumir; sin embargo, deben satisfacerse ciertos requerimientos nutricionales mínimos por día.

Requerimientos Minino (En unidades)

Contenido por onza Alimento1 (En unidades)

Contenido por onza Alimento 2 (En unidades)

Nutriente A 1000 100 200Nutriente B 2000 400 250Nutriente C 1500 200 200

Costo de alimento ($/libra) 6 8

La señora María Eugenia, desea determinar la combinación de fuentes alimenticias que arroje el menor costo y satisfaga todos los requerimientos nutritivos.1 Libra= 16 onzas

Definición de variables

: Número de onzas de la fuente alimenticia tipo 1 diariamente consumirse diariamente

: Número de onzas de la fuente alimenticia tipo 2 diariamente consumirse diariamente

Función Objetivo

Costos de suministrarle los 2 tipos de alimentos al paciente

Restricciones Funcionales

Consumo mínimo del nutriente A: 100 +200

Consumo mínimo del nutriente B: 400 +250

Consumo mínimo del nutriente C: 200 +200

Restricciones de no negatividad

Modelo Completo:

Sujeto a:

100 +200


400 +250

200 +200

Planteamiento y Solución en SOLVER



Solución Optima Solver

INFORMES DE SOLVER

Informe de Respuestas


Análisis:

De acuerdo con el informe el costo mínimo que se puede tener, garantizando la combinación de las dos fuentes alimenticias de manera que se satisfaga todos los requerimientos nutritivos es de $3.125.En cuanto a las variables vemos que el valor que conlleva a la solución óptima es la combinación de 5 onzas de la fuente alimenticia 1, y 2.5 de la fuente alimenticia 2.Las palabra obligatorio para este caso indican que el consumo de nutrientes C y B se realizo totalmente, mientras la palabra opcional nos está indicando que el nutriente B no se uso todo y hay un excedente de dicho recurso de 625 onzas.

Informe de Límites


Análisis

En este caso como se trata de minimizar un costo, buscando mantener una especificación solver nos muestra que el valor que toman las variables se mantiene dentro de un límite inferior en el que no se puede evaluar un límite superior de una de las variables mientras la otra mantiene el valor óptimo encontrado.

Informe de Sensibilidad

Análisis


Para este problema solver nos muestra que las dos variables definidas son variables básicas es decir que entran en la solución, afirmación que podemos hacer a partir del valor 0 que se muestra en la columna de Gradiente reducido.En el aumento permisible nos muestra el rango e en el cual pueden variar los coeficientes de la función objetiva (Onzas de fuentes alimenticias) sin que cambie la solución óptima. En este caso las variables pueden cambiar en un rango de:

: [0.5; 0.25]

: [0.75; 0.375]

La columna Precio de Sombra dice en cuando se disminuiría el valor de la función objetiva si se disminuyera el recurso disponible en una unidad. Así por ejemplo, si el límite de la Primera restricción (Consumo mínimo del nutriente A) se disminuyera de 1000 a 999 onzas, entonces la función objetiva se reduciría en $0.00125. En cambio el nutriente B no disminuirá nada debido a que no se utilizo completamente.

Para este caso disminuir cualquiera de los dos componentes que entran en la solución optima me ayudarían a disminuir el costo en la misma proporción, así que la decisión en cuál de los dos componente varias seria en la facilidad de adquisición.

Una institución financiera se encuentra formulando su política de préstamos para el próximo trimestre. Para este fin se asigna un total de $12 millones. La tabla siguiente señala los tipos de préstamos. La tasa de interés que cobra el banco y la posibilidad de que los clientes no cubran sus pagos, irrecuperables o incobrables, según se estima por experiencia:

Tipo de Préstamo Tasas de Interés Probabilidad de IncobrablesPERSONAL 0,14 0,10

AUTOMOVIL 0,13 0,07VIVIENDA 0,12 0,03AGRICOLA 0,125 0,05

COMERCIAL 0,10 0,02

Se supone que los pagos que no se cubren son irrecuperables y, por lo tanto, no producen ingresos por concepto de intereses.


La competencia con otras entidades requiere que el banco asigne cuando menos el 40% de los fondos totales a préstamos agrícolas y comerciales. Los préstamos para vivienda deben ser iguales cuando menos al 50% de los préstamos personales, para automóvil y para vivienda. El banco tiene asimismo una política establecida que especifica que la relación global de pagos irrecuperables no puede ser superior a 0,04.

Definiciones de Variables:

X1= Inversión en bonosX2= Inversión de préstamos hipotecariosX3= Prestamos para compra de autoX4=Préstamo personal

Función en objetivo:

Maximizar ingreso estimando las cantidades presupuestadas para cada tipo de préstamos, teniendo en cuenta las tasas de interés y la probabilidad de incobrables de cada tipo.

Max= X1 (0,9)*0,14+ X2 (0,93)*(0,13)+ X3 (0,97)*0,12 + X4 (0,95)*0,125 + X5 (0,98)*0,10-(0,1 X1+0,07 X2 +0,03 X3+0,05 X4 +0,02 X5

Restricciones Funcionales:

1. X1+ X2+ X3+ X4+ X5 120000002. X4+ X5 48000003. X3 X1+ X2+ X3

4. X3 0,5(X1+ X2 )

5.

PLANTEAMIENTO EN EXCEL Y SOLUCIÓN EL SOLVER




(Datos arrojados por solver) Máximo valor función objetivo y recursos utilizados

Interpretación informes de solver

INFORME DE RESPUESTAS


El informe de respuestas proporciona el valor inicial y final optimo de la celda objetivo y de las celdas de las variables de decisión (también llamadas celdas ajustables), un listado de cada restricción y su estado clasificado y opcional para las no activas, el termino divergencia se utiliza para describir tanto las variables de holgura como las de beneficio.

Para este informe tres de las variables se hacen cero lo que implica que no hacen parte de la solución óptima.

De acuerdo a este informe la máxima rentabilidad distribuyendo los recursos es de $996400 al asignar estos recursos.

Quizás otro software optimizador encuentre una solución más óptima sin embargo con la solución arrojada en este ejercicio requiere que asignen recursos solo a préstamos de tipo vivienda y comercial.

En este caso las celdas B13, B14 y B16 no hacen parte de la solución óptima.

INFORME DE SENSIBILIDAD


De los informes de solver se observa que el valor de las celdas cambiantes en tres oportunidades es cero, en los préstamos personales, en los de automóvil, en los prestamos agrícolas, teniendo en cuenta que en la restricción que para el fin de reformular la política de préstamos lo más rentables para la institución financiera en mención seria eliminar los prestamos de tipo personal, automóvil y agrícola y concentrarse en los de vivienda y comerciales.

Para que se maximice el rendimiento tendremos que asignar $7’200.000 al los prestamos de vivienda y $4’800.000 a los prestamos comerciales.

INFORME DE LÍMITES


Este informe da los límites superior e inferior de cada celda ajustable (cada una de las celdas que contienen a la función objetivo y a las variables de decisión manteniendo al resto de las celdas ajustables en su valor actual y cumpliendo las restricciones.

Documents

Ejercicios en Solver