Ejercicios en Solver

o

UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO

FACULTAD DE INGENIERIA

PROGRAMA ACADEMICO PROFESIONAL DE

INGENIERIA INDUSTRIAL

INVESTIGACION OPERATIVA I

DOCENTE : Ing. GUIDO FARFAN ESCALANTE

ALUMNOS :

NINAYA SARMIENTO OSCAR 011200648-B

MUJICA CORNEJO EDGAR P. 009200506-H

CORNEJO HUAMAN DARIO 0041279-K

AMARO CACERES IGNACIO 063422-K

CUSCO 2013

EJERCICIOS EN SOLVER

www.mundoindustrial.net

o

Problema Nro.1

Un expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para

albondign con una combinacin de carne molida de res y carne molida de

cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la

tienda 80$ por libra; la carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa,

y cuesta 60$ por libra. Qu cantidad de cada tipo de carne debe emplear la

tienda en cada libra de albondign, si se desea minimizar el costo y mantener

el contenido de grasa no mayor de 25%?

OBJETIVO:

Minimizar el costo (en centavos), z, de una libra de albondign, donde:

Z = 80 veces el numero de libras de carne molida de res, mas 60 veces el

numero de libras de carne molida de cerdo empleadas.

VARIABLES:

X1 = numero de libras de carne molida de res empleadas en cada libra de

albondign.

X2 = numero de libras de carne molida de cerdo empleadas en cada libra de

albondign

El objetivo se expresa como:

z = 80X1 + 60X2

Si: Cada libra de albondign tendr 0.20 x1, libras de grasa provenientes de la

carne de res y 0.32 x2 libras de grasa de la carne de cerdo. El contenido total

de grasa de una libra de albondign no debe ser mayor de 0.25 libras.

Entonces:

0.20X1 +0.32X2 = 0 y X2 >= 0.


o

FORMULANDO EL PROBLEMA:

Min Z = 80X1 + 60X2 FUNCION OBJETIVO

S.a.

0.20X1 + 0.32X2 =0 R.E

RESOLUCION:

X1 X1 Z

0.583327673 4.17E-01 71.66661346

80 60

Sujeto a:

0.2 0.32 0.250000999 0.25

1 1 1.000001 1

INFORMES:

Resultado: Solver encontr una solucin. Se cumplen todas las restricciones y condiciones

ptimas.

Motor de

Solver

Motor: GRG Nonlinear

Tiempo de la solucin: 0.062 segundos.

Iteraciones: 2 Subproblemas:

0

Opciones de Solver

Tiempo mximo Ilimitado, Iteraciones Ilimitado, Precision 0.000001

Convergencia 0.0001, Tamao de poblacin 100, Valor de inicializacin aleatorio 0, Central de


o

derivados

Mximo de subproblemas Ilimitado, Mximo de soluciones de enteros Ilimitado, Tolerancia de enteros 1%, Asumir no

negativo

Celda objetivo (Mn)

Celda Nombre

Valor

original Valor final

$C$2 Z 0 71.66661346

Celdas de variables

Celda Nombre

Valor

original Valor final Entero

$A$2 x1 0 0.583327673 Continuar

$B$2 x2 0.00E+00 4.17E-01 Continuar

Restricciones

Celda Nombre

Valor de la

celda Frmula Estado Demora

$C$5 Z 0.250000999 $C$5

o

Restricciones

Final LaGrange

Celda Nombre Valor Multiplicador

$C$5 Z 0.250000999 -166.6666807

$C$6 Z 1.000001 113.3333366

Objetivo

Celda Nombre Valor

$C$2 Z 71.7

Variable

Inferior Objetivo

Superior Objetivo

Celda Nombre Valor

Lmite Resultado

Lmite Resultado

$A$2 x1 0.58

0.5833 71.66661

0.58333 71.66661

$B$2 x2 71.02

71.083 7.17E+01

4.17E-01 7.17E+01

ANALISIS: El mnimo costo en centavos por las libras de albondign es de

71.66661 centavos del cual el costo que genera la carne molida es bastante

inferior en comparacin al que genera la carne de cerdo ya que esta posee

mayor porcentaje de grasa lo que significa mayor costo para el expendio de

carnes. Es por ello que de ser permitida una recomendacin seria importante

trabajar con otro tipo de crnico que contenga menor grasa lo que a su vez

reducira aun mas los costos.


o

Problema Nro.2

Una excursionista planea salir de campamento. Hay cinco artculos que desea

llevar consigo, pero entre todos sobrepasan las 60 Ib. que considera que puede

cargar. Para auxiliarse en la seleccin, ha asignado un valor a cada artculo en

orden ascendente de importancia:

Articulo 1 2 3 4 5

Peso (lb.) 52 23 35 15 7

Valor ($) 100 60 15 15 15

Qu artculos deber llevar para maximizar el valor total, sin sobrepasar la

restriccin depeso?

OBJETIVO:

Maximizar el valor total, sin sobrepasar la restriccin de peso

VARIABLES:

X1=Cantidad a llevar del articulo 1





FORMULANDO PROBLEMA:

Max Z = 1OO X1 + 60 X2 + 70 X3 + 15 X4 + 15 X5 FUNCION

OBJETIVO

S.a.

52X1 + 23X2 + 35X3 + 15X4 + 7X5

o

RESOLVIENDO:

INFORMES:

Motor de Solver



Iteraciones: 6 Subproblemas: 0

Opciones de Solver


Convergencia 0.0001, Tamao de poblacin 100, Valor de inicializacin aleatorio 0, Central de derivados

Mximo de subproblemas Ilimitado, Mximo de soluciones de enteros Ilimitado, Tolerancia de enteros 1%, Asumir no

X1 X2 X3 X4 X5

Z

0 1 0.857142857 0 1 135

100 60 70 15 15

Sujeto a:

52 23 35 15 7 60 60

1 0 1

1 1 1

1 0.857142857 1

1 0 1

1 1 1


o

negativo

Celda objetivo (Mx.)

Celda Nombre

Valor

original Valor final

$F$2 Z 0 135

Celdas de variables

Celda Nombre

Valor

original Valor final Entero

$A$2 x1 0 0 Continuar

$B$2 x2 0 1 Continuar

$C$2 x3 0 0.857142857 Continuar

$D$2 x4 0 0 Continuar

$E$2 x5 0 1 Continuar

Restricciones

Celda Nombre

Valor de la


$F$10 Z 1 $F$10

o

$F$7 Z 1 $F$7

o

$F$6 Z 0 0

$F$7 Z 1 14

$F$8 Z 0.857142857 0

$F$9 Z 0 0

Objetivo

Celda Nombre Valor

$F$2 Z 135

Variable

Inferior Objetivo

Superior Objetivo

Celda Nombre Valor

Lmite Resultado

Lmite Resultado

$A$2 x1 0

0 135

0 135

$B$2 x2 1

0 75

1 135

$C$2 x3 0.857

0 75

0.85714 135

$D$2 x4 0

0 135

0 135

$E$2 x5 1

0 120

1 135

ANALISIS: El excursionista deber y podr llevar como mximo artculos con

un valor de $135 sin que esto afecte al peso mnimo requerido. Esto siempre y

cuando cumpla con to del articulo 5.De esta manera llevara un valor de $135en

la sumatoria total de los artculos sin que estos lleguen a pesar mas de 60

libras.


o

Problema Nro. 3

En La Bondiet pastelera se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada

tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada kg. De bizcocho y produce

un beneficio de 250 Ptas., mientras que la torta Real necesita medio kg. De

relleno por cada kg. De bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la

pastelera se pueden hacer directamente hasta 150 kg. de bizcocho y 50 kg. de

relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer ms de 125

tartas de cada tipo. Cuntas tartas Vienesas y cuntas Reales deben vender al

da para que sea mximo el beneficio?

OBJETIVO: Maximizar los beneficios de la empresa al producir los dos tipos de

tortas.

VARIABLES:

X1: Cantidad de tartas Vienesa a ser producidos.

X2: Cantidad de tartas Reales a ser producidos.

FORMULANDO EL PROBLEMA

Max Z= 250x1 + 400x2 FUNCIN OBJETIVO

SUJETO A:

x1 + x2

o

RESOLUCION:

INFORMES:

Resultado: Solver encontr una solucin. Se cumplen todas las restricciones y condiciones ptimas.

Motor de Solver




Opciones de Solver

Tiempo mximo Ilimitado, Iteraciones Ilimitado, Precision 0.000001, Usar escala automtica

Convergencia 0.0001, Tamao de poblacin 100, Valor de inicializacin aleatorio 0, Adelantada de derivados, Requerir lmites

Mximo de subproblemas Ilimitado, Mximo de soluciones de enteros Ilimitado, Tolerancia de enteros 1%, Asumir no negativo


Celda Nombre Valor original Valor final

$D$2 z 0 45000

Celdas de variables

X1 X2 z

100 50 45000

250 400

Sujeto a:

1 1 150 150

0.25 0.5 50 50

1 100 125

1 50 125

o

Celda Nombre Valor original Valor final Entero

$A$2 X1 0 100 Continuar


Restricciones

Celda Nombre

Valor de la


$C$5 150 $C$5

o

$C$8 50 0

Objetivo

Celda Nombre Valor

$D$2 z 45000

Variable

Inferior Objetivo

Superior Objetivo

Celda Nombre Valor

Lmite Resultado

Lmite Resultado

$A$2 X1 100

0 20000

100 45000

$B$2 x2 50

0 25000

50 45000

ANALISIS: Se logra la maximizacin produciendo 100 tortas Vienesa y 50

tortas Reales, Es decir, con esta combinacin de produccin obtenemos un

mximo beneficio de 45000 Ptas.

Problema Nro. 4

La Cmara de Industriales de la regin peridicamente promueve servicios

pblicos, seminarios y programas. Actualmente los planes de promocin para

este ao estn en marcha. Los medios alternativos para realizar la publicidad

as como los costos y la audiencia estimados por unidad de publicidad, adems

de la cantidad mxima de unidades de publicidad en que puede ser usado cada

medio se muestran a continuacin.

Restricciones tv radio prensa

Audiencia por unidad de

publicidad

100.00 18.000 40000

Costo por Unidad

de publicidad

$2.000 $300 $600

Uso mximo del

medio

10 20 10

o

Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio no debe

exceder el50% del total de unidades de publicidad autorizados.

Adems la cantidad de unidadessolicitadas en televisin debe ser al menos 10%

del total autorizado. El presupuesto totalpara promociones se ha limitado a

$18.500.

OBJETIVO:

Maximizar la audiencia total o cantidad de personas que ven la publicidad

VARIABLES:

X1: unidades de publicidad a contratar en televisin.

X2: unidades de publicidad a contratar en radio.

X3: unidades de publicidad a contratar en prensa.

Adicionalmente tenemos:

Nota (operamos en las restricciones 5 y 6)

Restriccin 1: Disponibilidad limitada de presupuesto para la publicidad: 2.000 X1 + 300 X2 + 600 X3

o

Restriccin 6: La cantidad de unidades solicitadas en televisin debe ser

al menos 10% del totalautorizado X1 >= 0.10 (X1+ X2+ X3)

Finalmente quedara expresada as: 0.9 X1 0.1 X2 - 0.1 X3 >= 0


Max Z= 100.000 X1 + 18.000 X2 + 40.000 X3 FUNCION

OBJETIVO

S.a.

2.000 X1 + 300 X2 + 600 X3

o

1 4.130434783 10

1 14.13043478 20

1 10 10

-0.5 0.5 -0.5 0 0

0.9 -0.1 -0.1 1.304347826 0

INFORMES:

Motor de Solver




Opciones de Solver


Convergencia 0.0001, Tamao de poblacin 100, Valor de inicializacin aleatorio 0, Central de derivados




$E$2 Z 0 1067391.304

Celdas de variables


$A$2 X1 0 4.130434783 Continuar

$B$2 X2 0 14.13043478 Continuar

$C$2 X3 0 10 Continuar

o

Restricciones

Celda Nombre

Valor de la


$D$10 1.304347826 $D$10>=$E$10 No vinculante 1.304347826

$D$5 18500 $D$5

o

Objetivo

Celda Nombre Valor

$E$2 Z 1E+06

Variable

Inferior Objetivo

Superior Objetivo

Celda Nombre Valor

Lmite Resultado

Lmite Resultado

$A$2 X1 4.13

4.13043 1067391.3

4.13043 1067391.3

$B$2 X2 14.13

0 813043.48

14.1304 1067391.3

$C$2 X3 10

10 1067391.3

10 1067391.3

ANALISIS: Se logro tener una audiencia por unidad de publicidad

concerniente a tv, radio y prensa de mas 4.13, 14.13 y 10 respectivamente

obtenindose un mxima audiencia de 1067391.3; adems es importante

sealar que a travs de la radio se captara mayor audiencia esto comprueba y

verifica las estadsticas actuales en el pas las cuales indican que la radio es el

medio de comunicacin mas usado por los peruanos.

o

Problema nro. 5

David Oshea es presidente de un micro empresa de inversiones que se dedica

a administrar las carteras de acciones de varios clientes. Un nuevo cliente ha

solicitado que la compaa se haga cargo de administrar para l una cartera de

$ 100000 a ese cliente le agradara restringir la cartera de una mezcle de tres

tipos de acciones nicamente, como podemos apreciar en la siguiente tabla.

Formule Ud. Un PL para mostrar cuantas acciones de cada tipo tendra que

comprar David Oshea con el fin de maximizar el rendimiento anual total

estimado de esa cartera.

OBJETIVO:

Maximizar utilidades

VARIABLES:

X1 = Nro. De acciones a comprar para las acciones tipo A

X2 = Nro. De acciones a comprar para las acciones tipo B

X3 = Nro. De acciones a comprar para las acciones tipo C


MaxZ = 7x1 + 3x2 + 3x3 FUNCION OBJETIVO

s.a.

60x1 + 25x2 + 20x3+

o

x1 x2 x3 z

250 1000 3000 13750

7 3 3

Sujeto a:

60 25 20 100000 100000

60 15000 60000

25 25000 25000

20 60000 60000

INFORMES:

Motor de Solver




Opciones de Solver

Tiempo mximo Ilimitado, Iteraciones Ilimitado, Precision 0.000001, Usar escala automtica

Convergencia 0.0001, Tamao de poblacin 100, Valor de inicializacin aleatorio 0, Adelantada de derivados, Requerir lmites




$E$2 z 0 13750

Celdas de variables


$A$2 x1 0 250 Continuar

o


$C$2 x3 0 3000 Continuar

Restricciones

Celda Nombre

Valor de la


$D$5 100000 $D$5

o

$D$7 25000 0.003333333

$D$8 60000 0.033333333

Objetivo

Celda Nombre Valor

$E$2 z 13750

Variable

Inferior Objetivo

Superior Objetivo

Celda Nombre Valor

Lmite Resultado

Lmite Resultado

$A$2 x1 250

0 12000

250 13750

$B$2 x2 1000

0 10750

1000 13750

$C$2 x3 3000

0 4750

3000 13750

ANALISIS: El excursionista deber y podr llevar como mximo artculos con

un valor de $135 sin que esto afecte al peso mnimo requerido. Esto siempre y

cuando cumpla con llevar un elemento del articulo 2, 0.857 elementos del

articulo 3 y finalmente 1elemento del articulo 5.De esta manera llevara un valor

de $135en la sumatoria total de los artculos sin que estos lleguen a pesar mas

de 60 libras.

o

EJERCICIO 6

La produccin de se realiza en dos ciudades y se venden en tres centros de distribucin

como se indica en el siguiente cuadro:

OBJETIVO: Minimizar los costos de transporte hacia los centros de distribucin.

VARIABLES: X11: Recorrido de la ciudad Ayacucho hacia el centro de distribucin Trujillo X12:

Recorrido de la ciudad Ayacucho hacia el centro de distribucin de Lima X13: Recorrido de la ciudad Ayacucho hacia el centro de distribucin Trujillo X21:

Recorrido de la ciudad Cusco hacia el centro de distribucin Arequipa X22 Recorrido de la

ciudad Cusco hacia el centro de distribucin Lima X23 Recorrido de la ciudad Cusco hacia

el centro de distribucin Trujillo

MINZ= 14X11 +9X12 + 7X13+8X21 + 10X22 + 5X23 FUNCION OBJETIVO

SUJETO A:

Restricciones de oferta:

X11 +X12 + X13

X21 + X22 + X23

RESTRICCIONES

Restricciones de demanda: X11 + X21 =25

X12 + X22 =15 X13 + X23 = 10

Xij >=0 i=1,2,3; j=1,2 RANGO DE EXISTENCIA

Informe de respuestas

C.D. CIUDAD

AREQUIPA LIMA TRUJILLO SUMINISTRO

AYACUCHO 14 9 7 30

CUSCO 8 10 5 20 DEMANDAS 25 15 10

Informe de lmites Celda objetivo

Celdas Cambiantes Celda

Nombre Valor original Valor final

$B$3 Variables 0 0 $C$3 Variables 0 15

$D$3 Variables 0 0 $E$3 Variables 0 25

$F$3 Variables 0 0 $G$3 Variables 0 10

Restricciones

Celda Nombre

Valor de la

celda frmula Estado

Divergencia

$H$1

1

10

$H$11

Celda Nombre Igual $B$2 F.O. 385

INTERPRETACION:

Siempre que se trabaja con problemas de transportes el objetivo es minimizar

los costos de embargue, distancias y recorrido.

En este problema se logr un costo mnimo de 385 de dlares.

DE A COSTO

AYACUCHO LIMA 15

CUSCO AREQUIPA 25

CUSCO TRUJLLO 10

Celda

Celdas

cambiantes

Nombre Igual

Lmite Celda

inferior objetivo

Lmite Celda

superior objetivo

$B$3 Variables 0 0 385 0 385 $C$3 Variables 15 15 385 15 385

$D$3 Variables 0 0 385 0 385

$E$3 Variables 25 25 385 25 385 $F$3 Variables 0 0 385 0 385

$G$3 Variables 10 10 385 10 385


EJERCICION 7

En una cubichera se hacen dos tipos de platos de ceviche: ceviche de perico y ceviche de corvina Cada plato de ceviche de perico necesita un cuarto de limn por cada kg. de de perico y produce un beneficio de 250 soles, mientras que el ceviche de corvina necesita medio kg. de limn por cada kg. De corvina y produce 400 soles, de beneficio. En la cevichera se pueden hacer directamente hasta 150 kg. de ceviche y 50 kg. De leche de tigre, aunque por problemas de mano de obra no puede hacer ms de 125 platos de ceviche de cada tipo. Cuntas platos de ceviche de perico y cuantos platos de ceviche de corvina tartas deben vender al da para que sea mximo el beneficio?

VARIABLES x1: Cantidad de ceviche de perico a ser elaboradas x2: Cantidad de ceviche de corvina a ser elaboradas

Max z= 250x1 + 400x2

SUJETO A:

x1 + x2

Informe de respuestas

Limn 2 0.25 0.5 0

Informe de sensibilidad

Informe de lmites

Restricciones

Valor de la

Celda Nombre celda frmula Estado Divergencia

$D$8 Kg de bizcocho 150 Obligatorio 0 $D$9 Relleno 50 Obligatorio 0

Capacidad de $D$10

tartas 100 $D$10

II V Q Opcional 75

Celdas cambiantes

Valo Gradient Coeficient

r e e Aumento Aumento

Celda Nombre Igual reducido objetivo

permisibl

e

permisibl

e $B$4 Variable 100 0 250 150 50

$C$4 Variable 50 0 400 100 150

Restricciones

Valo Sombr Restricci

r a n Aumento Aumento

Celda Nombre Igual precio

lado

derecho

permisibl

e

permisibl

e $D$8 Kg de bizcocho 150 100 150 12.5 50

$D$9 Relleno 50 600 50 18.75 6.25 $D$1

0 Capacidad de

tartas 100 0 125 1E+30 25 $D$1

1 Capacidad de tartas 50 0 125 1E+30 75

Celda

Celda objetivo

Nombre Igual $B$2 F.O. 45000

Celdas

cambiantes

Lmite Celda Lmite Celda Celda

Nombre

Igual

inferior

objetivo

superior objetivo

99.9999999 44999.9999

$B$4 Variable 100 0 20000 7 9

49.9999999 44999.9999 $C$4 Variable 50

0

25000

8

9


INTERPRETACION:

Se lograra la maximizacin elaborando 100 platos de ceviches de perico y 50 platos de ceviches

de corvina, con esta elaboracin obtenemos un beneficio de 45000 soles.

EJERCICIOS 8 HIDROSTAL. Produce dos tipos de repuesto cilindros hidrulicos y cilindros neumticos). Estos repuestos se hacen con dos materiales A y B. Se permite cierto nivel flexibilidad en los procesos de estos dos repuestos. Los porcentajes permisibles as como la informacin acerca de ingresos y costos aparecen en la siguiente tabla. Es posible comprar hasta 40 m de A y 30m de B. HIDROSTAL , puede vender todo los repuestos que fabrique. Formule un modelo P.L. cuyo objetivo sea maximizar las ganancias netas obtenidas por la venta de estos repuesto

REPUESTOS

MATERIALES A B

Precio de venta por

pieza ($)

HIDRAULICO Cuando menos 25% Cuando 3.35 NEUMATICO menos 50% Cuando mucho 75% 2.85

Costo por litro $1.60 $2.59

HIDROSTAL.

A B C D E F

1 Funcin 0.

2

40 30

3

Xi x2

4

RHS Valor Actual

5 R1 0.25 0.5

4.071428571 4.071428571

4.664285714 4.664285714

Interpretacin: para ferrar fa ganancia qpftma de 302.78 se defce producir 4.07 de cilindros

hidraulicos y 4.66 de cilindros neumaticos

Informe de respuestas Celda objetivo (Mximo)

Celda Nombre Valor original Valor final $C$4 Funcin O. C 302.7857143 302.7857143

Celdas cambiantes

Celda Nombre Valor original Valor final SC$7 X1

$D$7 X2

Restricciones

Celda Nombre Valor de la celda frmula Estado Divergencia

$G$9

EJERCICIOS 9

Horizonte es propietaria de las minas que producen cierto tipo de mineral. Dichas minas estn

localizadas en distintas partes deI pas y en consecuencia presentan diferencias en sus

capacidades de produccin y en la calidad de su mineral. Despus de ser molido el mineral se

clasifican en tres clases dependiendo de su calidad. Alta, Mediana y baja. CASOS ha sido

contratada para suministrar semanalmente a la planta de fundicin de su compaa matriz 12

toneladas de mineral de alta calidad, 8 toneladas de calidad mediana y 24 de calidad baja. A

CASOS te cuesta $20000 diarios operar la primera mina y $16000 la segunda. Sin embargo en un

da de operacin, la primera mina produce 6 toneladas de minerales de alta calidad, 2 tn. diarias

de mediana y 4 tn. de baja, mientras que la segunda produce 2tn. diarias de material de alta

calidad, 2tn. de mediana y 12tn. de baja. Cuntos das a la semana tendra que funcionar cada

mina para cumplir los compromisos de Ebel, de la manera ms econmica posible?

HORIZONTE S.A

A B C D E F

1 Funcin O. 68000

2

20000 16000

3

* x2

4

1 3

RHS Valor Actual

5 A 6 2 - 12 12

6 M 2 2 = 8 8 7 B 4 12 - 24 40

Informe de respuestas Celda objetivo

(Mnimo) ____

Celda Nombre Valor original Valor final $C$4 Funcin O. C 68000 68000

Celdas cambiantes


$C$7 X1 1 1 $D$7 X2 3 3


INTERPRETACION

"Para conseguir el costo ptimo de 68000 tiene que trabajar 1 da en la primera mina y 3 das en

la segunda mina.

Restricciones

Celda Nombre Valor de celda

la frmula Estado Diver9enci a

$G$9 #NOMBRE? 8 $G$9>=$F$9 0bll9aton o 0

$G$8 #NOMBRE? 12 $G$8>=$F$8 bl'9atorl o

$G$10 #NOMBRE? 40 $G$10>=$F$1

0 Opcional 16

$C$7 X1 1 $C$7>=0 Opcional 1 $D$7 X2 3 $D$7>=0 Opcional 3



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