46 HIPÓTESIS / APUNTES CIENTÍFICOS UNIANDINOS No. 6 / diciembre 2005

El número eLuz Myriam Echeverry

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La constante universal π es muy conocida y de antigua

procedencia. Se define de una manera geométrica muy

elegante, como el cociente de la circunferencia de cual-

quier círculo por su diámetro. Aproximaciones a esta

constante aparecen en tabletas babilonias, papiros egip-

cios y textos griegos. En comparación, el número e es

un recién llegado; aunque algunos arqueólogos han tra-

tado de mostrar de manera artificial que se encuentra en

la Gran Pirámide egipcia como el cociente del doble del

ángulo que forma una arista con la plomada, por el án-

gulo del ápice de la pirámide. Sin embargo, aparece muy

frecuentemente en las matemáticas y sus aplicaciones

desde el siglo XVII.

Su primera aparición fue indirecta y casi accidental. Para

fabricar la tabla de logaritmos, en su obra Una descrip-

ción de la admirable tabla de logaritmos (Mirifici

logarithmorum canonis descriptio) [8], publicada en

1614, John Napier construyó una lista de números que ini-

ciaba en 107 e iba disminuyendo por un factor de 1-1/107

entre uno y otro; la entrada número 10.000.000 sería

3678794, una excelente aproximación de 1/e por 107. El

factor de 107 lo usó para evitar los decimales que no

eran muy aceptados en ese momento. Los “logaritmos”

de los números de esta lista eran simplemente los nú-

meros de 1 a 10.000.000 en orden ascendente, y la tabla

> El número e. Luz Myriam Echeverry

Tabla de Logaritmos que apareció como anexo en la publicación de John Napier 1614.http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/milestone.pdf.

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John Napier. Inventor de los logaritmos, nacióy vivió en Escocia entre 1550 y 1617.En la literatura, su apellido aparece conortografías diferentes: Napeir, Nepair, Nepeir,Neper, Napare, Naper, Naipper. En su época,su nombre se escribía, más comúnmente,Jhone Neper. [5]

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resultante correspondía aproximadamente a la función,

y = -107 ln(x/107) que, si nos olvidamos de los térmi-

nos 107, viene a estar muy cerca del logaritmo natural

actual1, de base e, llamado también logaritmo neperiano

en honor a su inventor.

Napier, barón de Merchiston, explicaba que su trabajo

facilitaría la multiplicación y división de números muy

grandes o muy pequeños al convertir estas operaciones

en sumas y restas; al igual que las potencias y raíces,

que se transformaban en productos y cocientes. La ayu-

da a los astrónomos fue inmensa, ya que ellos utilizaban

funciones trigonométricas que generaban números con

muchas cifras significativas. Napier también incluía en

su tabla los logaritmos del seno de varios ángulos y de

sus fracciones. Sin embargo, no hay ninguna referencia

en su obra al número e ni a la base de sus logaritmos,

pues por algún tiempo éstos no fueron calculados con

una base en mente.

En 1661 Christiaan Huygens relacionó el número e con

la hipérbola rectangular. Ya se venía sospechando que el

área debajo de la curva y = 1/x estaba relacionada con

los logaritmos. El problema que propuso Huygens fue

encontrar la abscisa x = a, tal que el área entre la hipér-

bola y = 1/x, el eje x y las rectas x=1 y x= a sea

exactamente uno. Este número a es precisamente e, que

Leibniz estimó, al parecer, reemplazando la hipérbola por

una parábola de la cual conocía el área bajo la curva.

El número e siguió apareciendo de manera indirecta a

través de los logaritmos. En 1668, en un trabajo del as-

trónomo Nicolaus Mercator, titulado Logarithmotechnia,

se encuentra la serie para calcular logaritmos naturales2,

que en notación moderna corresponde a:

.

En este trabajo se usa por primera vez el término ‘loga-

ritmo natural’ para referirse a los logaritmos con base e,

pero el número como tal no aparece.

Por fin, en 1683, apareció una definición precisa del nú-

mero e en un trabajo de Jacobo Bernoulli (Suiza, 1654-

1705) sobre interés compuesto. La presentación moderna

de este problema es la siguiente. Se invierte una suma Ba interés compuesto con una tasa de interés del 100%,

por un cierto período –un año, por ejemplo–. Al dividir el

período en n intervalos iguales, la tasa de interés para

cada período es (100%)/n ó 1/n. Al final del primer in-

tervalo de tiempo la cantidad de dinero que se tiene es

B + (1/n) B = (1 + 1/n)B, el monto inicial más el inte-

rés. Al final del segundo período, se repite el cálculo, pero

con (1 + 1/n)B en lugar de B y se obtiene (1 + 1/n)2 B;

continuando el proceso, al cabo de n períodos, se tiene

1 Por el signo negativo en la fórmula, se aproxima más al logaritmo enbase 1/e.2 La serie fue descubierta independientemente por él y por Isaac Newtonen 1665, pero la primera publicación fue de Nicolaus Mercator en 1668.3 Por ejemplo, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 ≥ 2 • 2 • • 2 • 2 = 24.4 Es posible que una suma de un número infinito de términos positivoscrezca sin límite, pero también puede tender a un número dado, como enel ejemplo clásico de la siguiente serie geométrica que tiende a uno [3],

.

Este tipo de detalles aún no se comprendía en la época de Bernoulli.Figura 1. Si el área sombreada debajo de la curva y = 1/x es uno, laabscisa que marca la segunda línea vertical es la constante e.

51

Gottfried Leibniz(1646-1716). Filósofo y matemático nacidoen Leipzig (ahora Alemania). Inventor, juntocon Newton, del cálculo infinitesimal.http://www.hab.de/museum/images/leibniz.jpg

(1 + 1/n)n B, esto es, (1 + 1/n)n veces la inversión

original. Si se calcula el interés en intervalos cada vez más

cortos, es decir, con n cada vez más grande, llegamos al

‘interés compuesto continuo’. Por esta razón, Bernoulli

trató de calcular el límite de (1 + 1/n)n cuando n tiende a

infinito, notado,

(1).

Este límite es la definición del número e, y ésta fue la pri-

mera vez que se definió un número mediante un límite.

Bernoulli mostró, además, utilizando el teorema del bino-

mio, que este límite tiene un valor entre 2 y 3. La demostra-

ción es como sigue. Por la fórmula del binomio, se tiene que:

(2).

O sea:

.

Por otra parte, como, la cola de la expansión binomial (2),

donde

3

,

vemos que

Se tiene entonces que

, cualquiera que sea n.

Luego, el límite de (1 + 1/n)n cuando n tiende a infinito,

también está entre dos y tres4.

Parece que la conexión entre la función exponencial y el

logaritmo también fue descubierta por Jacobo Bernoulli

en 1684, aun cuando es posible que James Gregory (Es-

cocia, 1638-1675) la haya notado antes.

Quien propuso usar la letra e para este número5 fue el

gran matemático suizo Leonhard Euler, en el manuscrito

titulado “Meditaciones sobre los experimentos recientes

en el encendido del cañón” (“Meditatio in experimenta

explosione tormentorum nuper instituta”), escrito entre

1727 y 1728, e impreso por primera vez en 1862 en San

Petersburgo, como parte de un compendio de la obra de

Euler denominado Opera postuma mathematica et physica.

En el manuscrito, e aparece dieciséis veces.

Euler encontró varias propiedades del número e, pero sólo

en 1748, en su obra Introductio in analysis infinitorum,

recopiló estos conocimientos. Allí definió la función

exponencial y el logaritmo natural de manera simétrica:

.

5 Leibniz utilizó la letra b para el mismo número; otros la han llamadob ó c. De las varias conjeturas sobre el nombre e, la más popular esque Euler usó la primera letra de la palabra exponencial.

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y .

Adicionalmente, utilizó la serie de la función exponencial

(3).

para demostrar propiedades de esta función y su rela-

ción con las funciones trigonométricas de seno y cose-

no. Aunque no dice cómo las calculó, Euler dio dieciocho

cifras decimales exactas para el número e:

e = 2.718281828459045235.

Las dieciocho cifras decimales se obtienen tomando vein-

te términos de la serie (3), con x = 1.

> Apariciones de e> Fórmula famosa

La fórmula más impactante en la que aparece el número

e es eπi+1 = 0 . Felix Kline (1809-1925) la resumió di-

ciendo: “allí esta todo el análisis”. La ecuación relaciona

las cinco constantes más importantes de las matemáti-

cas: π, e, i = y 0. También usa tres operaciones

importantes: adición, producto y exponenciación; por

último, presenta el concepto central de igualdad. La base

de este resultado es la fórmula de Euler para números

complejos: eiθ = cosθ + isenθ.

> Crecimiento y decrecimiento

En el ejemplo del interés compuesto aparece el creci-

miento de un capital. El ejemplo de una población de bac-

terias, en el que se supone que el crecimiento poblacional

es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, es

similar al del interés compuesto continuamente. La masa

de un material radioactivo que se descompone lleva a

un modelo similar, pero en decrecimiento en lugar de

crecimiento. Ambos fenómenos obedecen la fórmula

x(t) = x0eκt, donde x(t) es la cantidad de bacterias o

material en el tiempo t siendo x0 la cantidad inicial y κ

es una constante propia del modelo, positiva en el caso

de crecimiento y negativa si hay decrecimiento. Aun

cuando este modelo para poblaciones parezca muy sim-

plista, en general, en todos los modelos poblacionales,

aun en los más elaborados, interviene el número e.

El modelo de estos dos ejemplos obedece a una ecua-

ción diferencial, con condición inicial, muy simple:

En ésta se indica que la razón de cambio, o derivada, dx / dt,de una cantidad que varía con el tiempo, x (t), es propor-

cional al monto de esa misma cantidad. La constante de

proporcionalidad es κ, y la condición estipula que en el ins-

tante t = 0, la cantidad es x0. En la solución de esta ecua-

ción interviene el número e, porque las únicas funciones

que la satisfacen son de la forma x(t) = A eκt, donde Aes una constante. Las aplicaciones de e en ecuaciones

diferenciales son múltiples en modelos matemáticos de

física, en estadística, en teoría de números, y en el campo

del análisis complejo.

> Propiedades de eEl número e es irracional, lo que significa que no se pue-

de representar como el cociente de dos números ente-

ros, p/q, y que por lo tanto, su expansión decimal no esJacob Bernoulli (Suiza,1654-1705). Fue el mayor de una numerosafamilia de matemáticos. http://www.ppsw.rug.nl/~boomsma/waar.htm

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periódica y no termina nunca. Esto fue

demostrado por Euler. Es más, e es

un número trascendente, es decir, no

es raíz de una ecuación polinomial con

coeficientes enteros. En contraposi-

ción, , que se sabe que es irracio-

nal desde la Antigua Grecia, no es

trascendente, pues es la raíz de la

ecuación x2 - 2 = 0; se dice por lo tanto

que es algebraico. Todos los núme-

ros racionales son algebraicos, por-

que son raíces de ecuaciones de la

forma qx - p = 0. Además, todos los

trascendentes son irracionales.

Liouville probó la existencia de núme-

ros trascendentes en 1844, y luego

Cantor mostró que hay más trascen-

dentes que algebraicos, aun cuando ha

sido difícil determinar qué números

son trascendentes. En 1873 Charles

Hermite (Francia, 1822-1901) demostró

la trascendencia de e, nueve años antes

de que Ferdinand von Lindemann de-

mostrara la de π. Existen otros resulta-

dos más generales. Por ejemplo, Johann

H. Lambert (Alemania, 1728-1777) ha-

bía establecido que e p/q es irracional

si p y q son enteros no nulos; así, e2

también es irracional. El teorema de

Gelfond y Schneider, demostrado de

manera independiente por cada uno

de ellos en 1934, dice que ab es tras-

cendente si a es algebraico diferente

de cero y de uno, y b es irracional y

algebraico. Entonces, la constante de

Gelfond, eπ, es trascendente y por lo

tanto irracional, puesto que

.

El séptimo problema de Hilbert, enun-

ciado en 1900, pregunta si ab es tras-

cendente, siendo a algebraico diferente

de cero y de uno, y b irracional. El teo-

rema de Gelfond y Schneider lo resuel-

ve parcialmente, pero aún no se sabe

nada acerca de 2e, por ejemplo, ni si-

quiera si es irracional.

En 1956 Niven demostró que er es tras-

cendente para todo racional r. En 1996

Nesterenko demostró que eπ + π es

irracional. No se sabe si la suma π + ey el cociente π/e son irracionales o tras-

cendentes. Tampoco se ha estableci-

do la irracionalidad de números como

, o de la constante de Euler,

γ, definida como

.

> Cálculo computacional de eHay varios métodos para calcular e, que

utilizan series, límites o fracciones con-

tinuadas. Otros más elaborados usan

productos infinitos o aproximaciones de

Pade [7].

> Series

Ya se presentó, con la serie de poten-

cias (3), una manera de calcular el nú-

mero e como lo pudo haber hecho Euler.

La misma serie y el límite (1) son la base

de las aproximaciones siguientes.

Resulta siempre importante estimar

cómo se comporta el error de las es-

Leonhard Euler. Nacido en Basilea en 1707, viviófuera de Suiza desde muy temprana edad. Trabajóprimero en la Academia de Berlín, contratado porFederico el Grande y, luego, por invitación deCatalina la Grande, fue presidente de la Academia deSan Petersburgo, hasta su muerte en 1783.

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timaciones para poder comparar la rapidez con que con-

vergen a e. Por ejemplo, al aproximar el límite

con (1+1/105)105

, usando n = 105, el error

que se comete es

e - (1+1/105)105

.

¿Cuál sería un buen estimativo de este error? Tratare-

mos de encontrarlo a continuación.

Comenzamos con la serie de Mercator:

Ésta es válida para -1 < x ≤ 1. Reemplazando primero xpor 1/x y, multiplicando después por x, obtenemos:

(4).

Luego,

Como , se tiene que7

...

.

Por lo tanto,

.

El error buscado es:

.

Teniendo en cuenta que si x es grande 1/x es mucho

mayor que 1/xn para n ≥ 2, podemos decir que el error

es del orden de e/2x. Esto implica que al aproximar econ x = 105, se comete un error del orden de

. En efecto,

,

mientras que e ≈ 2.7182818285, y la diferencia entre

estos dos números es aproximadamente 0.00001.

La aproximación se puede mejorar sustancialmente par-

tiendo de la fórmula (4), remplazando x por 2x. Con un

poco de álgebra tenemos:

Y al reemplazar x por –x:

Al sumar, usando las propiedades de los logaritmos,

se obtiene:

,

que, al cancelar el factor de dos, y siguiendo el mismo

proceso del ejemplo anterior, resulta en:

.

Esto significa que al aproximar , el error es

del orden de e /12x2. En otras palabras, al usar el mismo

.

55

x = 105 del ejemplo anterior, el error apenas será del orden

de e / 12 • 1010 ≈ 2 • 10-11. Basados en esta idea los autores

H. Brothers y J. Knox [1] presentan una excelente aproxi-

mación dada por:

,

cuyo error es del orden de .

> Fracciones continuadas

La técnica de fracciones continuadas se usa para aproxi-

mar números reales. Si el número es racional, la frac-

ción continuada es finita; si es irracional, no es finita.

Por ejemplo, la fracción 45/16 se escribe como 2+13/16,

es decir,

.

En cambio, si es 16/45 se escribe como ó

.

En general, un número P/Q se escribe como

,

con a0, a

1, a

2… enteros positivos, aunque el caso ne-

gativo también se puede tratar. La fracción continuada

se llama simple si los numeradores de todas las fraccio-

nes son uno. Esta fracción continuada simple se puede

escribir de manera abreviada como [a0; a

1, a

2, a

3, ...],

donde la parte entera es separada por un punto y coma

de la parte fraccionaria.

Euler descubrió que e se puede escribir como

.

Al ir sumando las fracciones:

se obtiene la sucesión:

Charles Hermite (Francia,1822-1901). Hizo importantescontribuciones al álgebra, la teoría de números y el análisis.

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kque converge a e. Aun cuando Euler no mostró cómo la

obtuvo, por el simple hecho de que la fracción continua-

da no termina, quedaba demostrado que e es irracional.

Euler encontró otras fracciones continuadas relaciona-

das con el número e, como la siguiente:

.

En la forma abreviada, [a0; a

1, a

2, a

3, ...], esta fracción

se puede escribir como

,

donde se evidencia el patrón, puesto que a partir del 6,

los ai aumentan en cuatro unidades. Con esta notación

es fácil dar un algoritmo para encontrar la sucesión de

fracciones de una fracción continuada simple.

En general, si x es la fracción continuada simple repre-

sentada por [a0; a

1, a

2,... a

k, ...] y pk / qk es la k-ésima

fracción de la sucesión, los numeradores y denominado-

res de estas fracciones están relacionados como sigue:

y luego,

.

Se puede demostrar que en cualquier fracción continua-

da simple, si , la aproximación , con

un k dado, tiene un error del orden de [11]. Así, en el

ejemplo anterior, si utilizamos k = 7,

p7 = 8927353

q7 = 10391023

y el error será del orden de 1/q 2 ≈ 10-14

= 0.00000000000001. Lo que significa que

y

2.7182818284585140462108495,

donde se puede tener certeza de las primeras trece ci-

fras decimales. Con k = 1500 se tienen 10.000 cifras

decimales correctas y con k = 12000 se llega a 100.000

cifras. Aun cuando para utilizar este algoritmo en un com-

putador hay que ser cuidadoso en el manejo de un nú-

mero grande de cifras significativas, se ve que este

método de aproximación es muy eficiente.

Euler también experimentó aproximaciones con fraccio-

nes continuas generales como la siguiente, donde la re-

gularidad del patrón es asombrosa:

.

Con los computadores actuales se tiene una buena herra-

mienta para calcular las constantes famosas, y en internet

se encuentran muchas páginas con esta información. Va-

rios equipos de investigadores están calculando dígitos

de e, entre los cuales se destaca el de Shigeru Kondo, que

reportó en octubre de 2003 la cantidad de 50.100´000.000

dígitos calculados correctamente. El cálculo computacional

del número e y sus propiedades no tienen aplicación in-

mediata en la solución de problemas concretos. Sin em-

bargo, su estudio sigue avanzando y cada día hay nuevos

resultados interesantes desde el punto de vista teórico. Lo

que todos los matemáticos tienen por cierto es que por

más potentes que sean los computadores, nunca será po-

sible calcular todas las cifras decimales de e. Sin embar-

go, e existe como número real… en el mundo de las ideas.

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> Referencias[1] H.J. Brothers y J.A. Knox. New Closed-Form Approximations to the Logarithmic

Constant e. The Mathematical Intelligencer 20(4) (1998).

[2] W. Rudin. Real and Complex Analysis, 2a ed., (McGraw-Hill,New York, 1974).

[3] J. Steward. Calculus Early Transcendentals, 4 a ed.,(Brooks/Cole Publishing Company, New York, 1999).

[4] J.J. O’Connor y E.F. Robertson. The Number e.The MacTutor History of Mathematics Archive,http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html(septiembre 2001).

[5] J.J. O’Connor y E.F. Robertson eds.The MacTutor History of Mathematics Archive,http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history (agosto 2005).

[6] R.D. Knott. Other numbers with patterns in their CFs.An Introduction to the Continued Fraction,http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfINTRO.html#intro (Julio 2005).

[7] X. Gourdon y P. Sebah. The Constant e and its Computation.Numbers, constants and computation,http://numbers.computation.free.fr/Constants/E/e.html (diciembre, 2001).

[8] E.W. Weisstein. e Approximations. MathWorld—A Wolfram Web Resource,http://mathworld.wolfram.com/eApproximations.html (noviembre 2005).

[9] J. Napier. A Description of the Admirable Table of Logarithms (traducción deEdward Wright (1616) del originalMirifici logarithmorum canonis descriptio publicado en 1614)http://www.johnnapier.com/table_of_logarithms_001.htm (2002).

[10] E.W. Weisstein. Irrational Number.MathWorld—A Wolfram Web Resource,http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html (noviembre 2005).

[11] D.M. Burton. Elementary Number Theory, 5 a ed.,(McGraw-Hill, New York, 2002).

> Reseña del autorLuz Myriam Echeverrylechever@uniandes.edu.co

Matemática de la Universidad de los Andes con doctorado de tercerciclo de la Universidad Pierre y Marie Curie, Paris VI. Profesor asociadodel Departamento de Matemáticas de la Universidad de los Andes.Su área de especialización es el análisis numérico.