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ESTALMAT (Estímulo del talento matemático)es un proyecto de la Real Academia de CienciasExactas, Físicas y Naturales. Los objetivos fun-damentales del proyecto fueron descritos por sufundador, Miguel de Guzmán. Tratamos de de-tectar, orientar y estimular de manera continuadael talento matemático excepcional de estudiantesde Secundaria y Bachillerato, sin desarraigarlosde su entorno, mediante una orientación semanaldurante los dos primeros años, que llevamos acabo cada semana del curso académico por treshoras, y continuando en la etapa de enseñanzasecundaria y bachillerato con diferentes formatosen las distintas sedes. Actualmente el proyecto se desarrolla en 10
comunidades autónomas, pero sigue estando enexpansión desde sus orígenes en 1998 <www.estalmat.org>. En este proyecto están implicadosalrededor de 200 profesores en toda España,provenientes tanto de las Universidades comode la Enseñanza Secundaria.En ESTALMAT tenemos un rincón lleno de
material que ha sido elaborado a través de losaños por el profesorado del proyecto. Queremoscompartir con todos los lectores de Suma nuestrasexperiencias y, para ello, mostraremos algunosde estos materiales para que puedan ser un puntode partida para el profesorado que desee llevar
Artículo solicitado por Suma en marzo de 2018 y aceptado en abril de 2018
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enriquecimientode la argumentación
visual de alumnoscon talento matemático
RAFAEL RAMÍREZ UCLÉS (COORDINADOR)PABLO FLORES MARTÍNEZ
88SeccioneSJulio 2018
pp. 65-69
El rincónde ESTALMAT
Tú el talento y yo los hombros.
a sus estudiantes por los bellos paisajes de la ma-temática.La investigación en Fórmula 1 ha aportado
grandes inventos muy útiles para el más pequeñode los utilitarios. Una tarea rica pensada para unestudiante muy capaz, tiene mucho potencial paraser convertida en una tarea para todos, inclusopara los que tienen dificultades. Un buen primerpaso para atender a la diversidad.Queremos resaltar el papel del profesor como
primer escalón para que el talento de TODOSnuestros estudiantes pueda llegar a lo más alto.Y eso no es cuestión de suerte.
muchos creen que tener talento es una suerte; na-die que la suerte pueda ser cuestión de talento.(Jacinto Benavente)
El talento tendrá más fortuna si se apoya so-bre los hombros adecuados.
Si he visto más lejos es porque me he subido ahombros de gigantes. (isaac newton)
En esta entrega, os presentamos algunas delas tareas propuestas en la sesión «Visualización»impartida en el segundo curso de ESTALMATAndalucía Oriental. El enriquecimiento que sepretende va encaminado en dos direcciones. Porun lado, trabajar técnicas de argumentación ma-temática: condiciones necesarias y suficientes,contraejemplos, conjeturas, etc. Por otro lado,favorecer el desarrollo de sus habilidades de vi-sualización, focalizándonos especialmente en lalocalización de errores en la argumentación vi-sual.La estructura de la sesión está basada en el re-
poso curricular (Ramírez y Flores, 2016), donde setienen en cuenta las características de los estu-diantes con talento, el enriquecimiento de con-tenidos matemáticos y elementos de razona-miento. Los contenidos matemáticos que setrabajan son la teselación del plano y el rellenodel espacio. La metodología que recomendadoses iniciar cada tarea individualmente y luego haceruna puesta en común en pequeño grupo. Final-mente se comparten y discuten las respuestas enel grupo clase. Se persigue que los estudiantes conozcan téc-
nicas de argumentación para justificar sus razo-namientos, especialmente para hacer un uso efi-
caz de la visualización. En experiencias previas yen revisiones de la literatura de investigación, sehan localizado errores como establecer falsasanalogías entre el plano y el espacio («si los trián-gulos rellenan el plano, los tetraedros rellenan elespacio») o razonar a partir de ejemplos concre-tos, extrayendo conclusiones examinando sóloalgunos de todos los casos posibles («Se ve eneste dibujo que las alturas de un triángulo siempreson menores que todos sus lados»). Además deerrores implicados al utilizar elementos matemá-ticos implicados en el razonamiento, como téc-nicas de argumentación falaces, como implica-ciones inversas, procesos inductivos incompletoso deductivos poco justificados, usar conjeturastomándolas como verdaderas, o contraejemplosque no lo son, etc.
Si dos rectas son paralelas, están contenidas en dosplanos que son paralelos. Por lo tanto si no son pa-ralelas, no puede haber dos planos paralelos quelas contengan.
Presentamos distintas tareas, comentando losaspectos más destacados sobre la forma de lle-varlas al aula, ejemplos de respuestas de los es-tudiantes y reflexiones sobre su solución.
RAfAel RAmíRez ucléS y PABlo floReS mARTínez
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Tarea 1. Lluvia de ideas: relleno del espacioResponde individualmente a las siguientes preguntas:1.1 ¿Qué cuerpos rellenan el espacio?1.2 el cubo rellena el espacio. Justifica tu respuesta1.3 Define qué se entiende por cuerpo que rellena el espacio. 1.4 Buscar ejemplos de poliedros que rellenan el espacio1.5 estudiar la relación que existe entre los poliedros que
rellenan el espacio y los polígonos que rellenan el plano.1.6 ¿Rellena el tetraedro el espacio?
Se pide que de una manera intuitiva identifi-quen los cuerpos que rellenen el espacio. Se in-troducirá el problema de relleno del espacio enrelación con problemas reales de diseño, alma-cenaje y transporte, analizando el nombre de te-trabrick Se compartirá una lluvia de ideas sobre el
concepto de relleno del espacio, guiándoles a quevaloren la exactitud y generalidad de sus aporta-ciones. Se les motiva a que expresen argumentosque justifican por qué el cubo rellena el espacio.
[Respuesta a 1.2] el cuadrado rellena el plano,por lo tanto el cubo puede rellenar el espacio, yaque podemos dividir el espacio en tres planos ycada uno puede ser rellenado con las caras delcubo.
Se prevé que el razonamiento sobre un casoconcreto les ayude a extraer propiedades gene-rales para definir qué se entiende por rellenar elespacio, que se abordará en la actividad 1.3, en laque, primero de manera individual y luego me-diante la puesta en común, se definirá «rellenarel espacio» y se les pedirá que busquen ejemplosde poliedros que lo hagan.
[Respuestas a 1.3] conseguir colocar figuras en lacorrecta composición de modo que no queden hue-cos libres y que se pueda extender indefinidamente.
establecer una secuencia para colocar poliedros in-finitivas veces de forma que no quede ningún puntodel espacio que no esté dentro de ellos.
Es esperable que presenten ideas intuitivasinteresantes, por lo que la puesta en común nose limitará a valorar la corrección de las aporta-ciones, procurará motivarles para «pulir» argu-mentaciones, emplear lenguaje matemático pre-ciso y examinar razones que permiten lageneralización.En la actividad 1.4, en caso de que únicamente
aparezcan rellenos del espacio con cubos o pris-mas rectos, recomendamos presentar otros po-liedros que rellenan el espacio, como el sólidode Kelvin, y discutir si se proceden de los ante-riores a partir de truncamientos u otras trans-formaciones que mantienen la cualidad de relle-nar el espacio.
[Respuesta a 1.4] ejemplos que rellenan son el cubo,el prisma hexagonal, el prisma triangular, ortoe-dro…
Para relacionar los poliedros que rellenan elespacio y los polígonos que rellenan el plano (ac-tividad 1.5), se puede comenzar analizando lospolígonos regulares que teselan el plano para queidentifiquen propiedades de sus ángulos interiores(divisores de 360º). Posteriormente se puede su-gerir obtener pirámides y prismas con base estospolígonos y discutir si esos poliedros rellenan elespacio.
[Respuesta a 1.5] el cubo rellena el espacio porquelos ángulos forman 90° y al poner 4 forman 360° yno dejan puntos del plano entre ellos.
El apartado 1.6 es el que presenta una mayordificultad, pues hay una idea muy extendida deque el tetraedro mantiene propiedades del trián-gulo. Para profundizar se pueden utilizar mate-riales manipulativos (puzles de pirámides, cuerposgeométricos, polydron, troquelados, geomag…)así como Geogebra u otras aplicaciones infor-máticas (Flores, 2007).
enRiQuecimienTo De lA ARgumenTAción viSuAl De AlumnoS con TAlenTo mATemáTico
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figura 1. Tetrabrick: ¿hexaedro o tetraedro?
figura 2. Sólido de Kelvin
figura 3. estructura con pirámides
[Respuesta a 1.6] el tetraedro no rellena el espacioporque al juntar tetraedros se quedan huecos irre-mediablemente.
El relleno del espacio por tetraedros podríaaparecer intuitivamente al establecer una analogíaincorrecta con la teselación del plano por trián-gulos equiláteros. Si algún alumno hiciera depen-der la teselación del tetraedro de la medida delrectilíneo del ángulo diedro de las caras del te-traedro, se suministrará información sobre losrectilíneos de diversos poliedros regulares.
[Respuesta a 1.6] no, porque su ángulo mide apro-ximadamente 70° que no es divisible entre 360°.
cierta en uno de los sentidos. Demostrar la vera-cidad de una implicación requiere una justifica-ción razonada de modo general.En las respuestas donde manifiesten ideas in-
tuitivas, se les pide que argumenten precisando lostérminos utilizados y validando la generalidad delas afirmaciones que hagan a partir de casos con-cretos:
[Respuesta a 2.1] Sí, porque es igual pero con volu-men.
[Respuesta a 2.4] verdadero, porque esas partes sepueden juntar de forma que formen una figura igualal poliedro inicial que rellena el espacio.
En las preguntas de doble implicación, se dis-tinguen por separado las dos afirmaciones (la ne-cesaria y la suficiente). Por ejemplo, en 2.2, unaimplicación hace referencia a la actividad 2.1 (ver-dadera), pero se puede probar con un contrae-jemplo, como empleando el sólido de Kelvin, queun poliedro que rellena el espacio no debe ser ne-cesariamente un prisma de esas características.
[Respuesta a 2.2] falso, porque hay prismas que noson rectos que rellenan el espacio.
En la actividad 2.3, nuevamente se muestra ladiferencia entre mostrar que una condición escierta, necesitando argumentarla, mientras quebasta un contraejemplo para ver que la otra im-plicación no es correcta.
[Respuesta a 2.3] Si un poliedro rellena un cubo,podemos estar seguros de que rellena el espacio,porque el cubo rellena el espacio.
[Respuesta a 2.3] un prisma recto de base hexágo-nos regulares es un poliedro que rellena el espacio,pero un cubo no puede rellenarse con ellos porquesus ángulos son distintos.
Es interesante contrastar respuestas diferentesa las actividades, especialmente cuando algún es-tudiante haya argumentado que es cierta y otromuestre un contraejemplo que la rebate.
[Respuesta a 2.6] falso, el prisma hexagonal no serellena a sí mismo con prismas hexagonales máspequeños»
[Respuesta a 2.5] Se puede obtener una secciónpentagonal (no regular) de un cubo, y ése polígonono rellena el plano. Además, el plano puede ir cor-tando a los cubos en figuras diferentes…
RAfAel RAmíRez ucléS y PABlo floReS mARTínez
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Rectilíneo del ángulo diedroTetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro70° 31’ 44’’ 90° 109° 28’16’’ 116° 33’ 54’’ 138° 11’ 23’’
Tarea 2. condiciones de los poliedros que rellenan el espacioJustificar la veracidad de las siguientes afirmaciones:2.1 Si un polígono rellena el plano, entonces el prisma recto
que se forma a partir de él, rellena el espacio.2.2 un poliedro rellena el espacio si y solamente si es un
prisma recto de base un polígono que rellena el plano.2.3 un poliedro rellena el espacio si y solamente si rellena un
cubo.2.4 Si un poliedro A rellena el espacio y se descompone en
otros poliedros B iguales, entonces el poliedro B rellena elespacio.
2.5 Si un poliedro rellena el espacio, entonces cualquiersección (corte del poliedro con un plano) suya rellena elplano
2.6 un poliedro rellena el espacio si y solamente si se rellena así mismo.
2.7 Si un poliedro rellena el espacio, entonces podemosdeformarlo «de manera conveniente» para obtener otrospoliedros que rellenan el espacio.
En estas actividades se pretende que los es-tudiantes diferencien entre expresiones que em-plean «si […] entonces» y «si y solamente si».Para ello se presentarán varios ejemplos que uti-licen estos conectivos y los relacionen con ex-presiones que emplean el conectivo lógico impli-cación (fi) y doble implicación (€), hasta llegara establecer la diferencia entre relacionar dosafirmaciones con una simple o doble implicación.Para favorecer el desarrollo de la argumentaciónvisual, es recomendable usar contraejemplos con-cretos que demuestran que la implicación no es
En la actividad 2.7, conviene que identifiquenqué transformaciones se pueden hacer en uncuerpo que rellena el espacio para que el objetoresultante también lo rellene. Además de las iso-metrías, existen otras transformaciones que trans-forman una figura que rellena el espacio, en otraque también lo rellena. En la búsqueda de dis-tintos cuerpos para rellenar el espacio, se esti-mulará a relacionar las figuras que se obtienen apartir de transformaciones de otras. El trabajoen grupo, tanto previo como durante la puestaen común, obligará a verbalizar las situacionesvisuales y les exigirá mayor precisión en el len-guaje.
[Respuesta actividad 2.7] Dividirlo en partes iguales,isometrías, formar un prisma oblicuo a partir deuno recto (solo si se desplaza su cara superior enuna sola dirección sin rotar).
[Respuesta actividad 2.7] Aumentar proporcional-mente las longitudes de los lados. en un cuerpoque tenga caras opuestas, quitarle un trozo a unacara y pegárselo en la opuesta.
Tras la puesta en común, se puede relacionaresta actividad de deformación para buscar nuevaspiezas que rellenan el espacio, con la construcción
de mosaicos en el plano, como los polígonos na-zaríes de la Alhambra o tipo Escher, en los que semodifica el relleno del plano con cuadrados, trián-gulos o hexágonos.Como conclusión de la sesión, es interesante
pedir que los participantes identifiquen una afir-mación correcta relativa a figuras que rellenan elespacio y justifique suficientemente la validez deesta afirmación, convirtiéndola en «su teorema»,y empleando en su formulación los términos em-pleados en la clase: implicación, doble implica-ción, si […] entonces, sí y solo si.
Referencias bibliográficas
FLORES, P. (2007). «Pirámides rellenas de … pirámides.Puzzles espaciales que favorecen la visualización»,en P. Flores, F. Ruiz y M. De la Fuente (coord.),Geometría para el siglo XXI, Federación Española deSociedades de Profesores de Matemáticas(FESPM) y SAEM THALES, Badajoz, 223-247.
RAMÍREZ, R., y P. FLORES (20006), «Planificar el en-riquecimiento para alumnos de alta capacidadmatemática: reposo curricular», Suma, n.º 83,33-41.
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RAfAel RAmíRez ucléSCentro de trabajo
PABlo floReS mARTínezCentro de trabajo
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