Contenido:1.1 introduccin a la modelacin matemtica. Aplicaciones en la ingeniera bioqumica.1.2 Caracterizacin, importancia, condiciones de entorno, solucin de EDP y aplicaciones. EDP elpticas, parablicas e hiperblicas.1.3 Mtodos analticos de solucin de EDP elpticos: separacin de variables, problema de Sturm-Liouville, valores y funciones propias, integrales ortogonales. Superposicin de soluciones.1.4 Mtodos analticos de solucin de EDP parablicas: Transformada de Laplace.1.5 Soluciones de EDP en coordenadas cilndricas y esfricas. Ecuacin diferencial de Bessel, funciones de Bessel Jn (X), Yn(X) y funciones modificadas de Bessel ln(X), Kn((X).1.6 Mtodos numricos de solucin de EDP: malleo y driscretizacion, Diferencias finitas para EDP elpticas y diferencias finitas acoplada a mtodos de Rungekutta para EDP parablicas.1.7 Ejemplos de aplicacin.

1.1 INTRODUCCIN A LA MODELACIN MATEMTICA. APLICACIONES EN LA INGENIERA BIOQUMICA.INGENIERALa ingeniera es el conjunto de conocimientos y tcnicas cientficas aplicadas a la creacin, perfeccionamiento e implementacin de estructuras (tanto fsicas como tericas) para la resolucin de problemas que afectan la actividad cotidiana de la sociedad. Aunque se considera una disciplina muy antigua, actualmente se obtiene en las universidades del mundo en su nivel bsico de Grado, Diplomado o Ingeniero tcnico, as como extendindose a niveles superiores y llegando a especialidades como Posgrado, Licenciatura, Ingeniera Superior, Maestra y Doctorado.Para ella, el estudio, conocimiento, manejo y dominio de las matemticas, la fsica y otras ciencias es aplicado profesionalmente tanto para el desarrollo de tecnologas, como para el manejo eficiente de recursos y/o fuerzas de la naturaleza en beneficio de la sociedad. La ingeniera es la actividad de transformar el conocimiento en algo prctico.Otra caracterstica que define a la ingeniera es la aplicacin de los conocimientos cientficos a la invencin o perfeccionamiento de nuevas tcnicas. Esta aplicacin se caracteriza por usar el ingenio principalmente de una manera ms pragmtica y gil que el mtodo cientfico, puesto que la ingeniera, como actividad, est limitada al tiempo y recursos dados por el entorno en que ella se desenvuelve.Su estudio como campo del conocimiento est directamente relacionado con el comienzo de la revolucin industrial, constituyendo una de las actividades pilares en el desarrollo de las sociedades modernas.

EL INGENIERO

Su funcin principal es la de realizar diseos o desarrollar soluciones tecnolgicas a necesidades sociales, industriales o econmicas. Para ello el ingeniero debe identificar y comprender los obstculos ms importantes para poder realizar un buen diseo. Algunos de los obstculos son los recursos disponibles, las limitaciones fsicas o tcnicas, la flexibilidad para futuras modificaciones y adiciones y otros factores como el coste, la posibilidad de llevarlo a cabo, las prestaciones y las consideraciones estticas y comerciales. Mediante la comprensin de los obstculos, los ingenieros deducen cules son las mejores soluciones para afrontar las limitaciones encontradas cuando se tiene que producir y utilizar un objeto o sistema.Los ingenieros utilizan el conocimiento de la ciencia, la matemtica y la experiencia apropiada para encontrar las mejores soluciones a los problemas concretos, creando los modelos matemticos apropiados de los problemas que les permiten analizarlos rigurosamente y probar las soluciones potenciales. Si existen mltiples soluciones razonables, los ingenieros evalan las diferentes opciones de diseo sobre la base de sus cualidades y eligen la solucin que mejor se adapta a las necesidades.

En general, los ingenieros intentan probar si sus diseos logran sus objetivos antes de proceder a la produccin en cadena. Para ello, emplean entre otras cosas prototipos, modelos a escala, simulaciones, pruebas destructivas y pruebas de fuerza. Las pruebas aseguran que los artefactos funcionarn como se haba previsto.

Para hacer diseos estndar y fciles, las computadoras tienen un papel importante. Utilizando los programas de diseo asistido por ordenador (DAO, ms conocido por CAD, Computer-Aided Design), los ingenieros pueden obtener ms informacin sobre sus diseos. El ordenador puede traducir automticamente algunos modelos en instrucciones aptas para fabricar un diseo. La computadora tambin permite una reutilizacin mayor de diseos desarrollados anteriormente, mostrndole al ingeniero una biblioteca de partes predefinidas para ser utilizadas en sus propios diseos.

Los ingenieros deben tomar muy seriamente su responsabilidad profesional para producir diseos que se desarrollen como estaba previsto y no causen un dao inesperado a la gente en general. Normalmente, los ingenieros incluyen un factor de seguridad en sus diseos para reducir el riesgo de fallos inesperados.

La ciencia intenta explicar los fenmenos recientes y sin explicacin, creando modelos matemticos que correspondan con los resultados experimentales. Tecnologa e ingeniera constituyen la aplicacin del conocimiento obtenido a travs de la ciencia, produciendo resultados prcticos. Los cientficos trabajan con la ciencia y los ingenieros con la tecnologa. Sin embargo, puede haber puntos de contacto entre la ciencia y la ingeniera. No es raro que los cientficos se vean implicados en las aplicaciones prcticas de sus descubrimientos. De modo anlogo, durante el proceso de desarrollo de la tecnologa, los ingenieros se encuentran a veces explorando nuevos fenmenos.Tambin puede haber conexiones entre el funcionamiento de los ingenieros y los artistas, principalmente en los campos de la arquitectura y del diseo industrial.En algunos pases, como Espaa, existen tcnicos que se dedican a labores de ingeniera en distintos grados: los ingenieros, hoy grado ms mster y los ingenieros tcnicos, hoy ingenieros de grado. Esa divisin de las profesiones liberales de construccin se aplica tambin a la arquitectura, existiendo arquitectos, de nivel de grado universitario ms mster y el arquitecto tcnico, hoy ingeniero de edificacin de grado, con distintas funciones que el arquitecto.INGENIERA BIOQUMICALa Ingeniera Bioqumica se encarga de transformar los materiales biolgicos para la generacin de productos con valor social y comercial.Por ello, analiza lo energtico y medio ambiente.La biotecnologa completa la produccin de los materiales biolgicos mediante la bioconversin, utilizando sistemas biolgicos tales como: microorganismos (bacterias, hongos, levaduras y algas), enzimas (proteasas, lipasas, ligasas) y anticuerpos.La actividad industrial que se realiza por medio de la biotecnologa, constituye uno de los campos de desarrollo ms importantes de esta carrera. El resultado de la aplicacin de la Ingeniera Bioqumica ha sido benco para el ser humano, al generar mejoras en la salud y en lo social. Ha contribuido en la investigacin y en la economa, tanto en el pasado como en el presente de la humanidad.Otra rea de la bioqumica corresponde al diseo y operacin de sistemas donde intervengan agentes biolgicos (por ejemplo enzimas). El campo profesional de este ingeniero es relativamente nuevo y la velocidad con la que se ha desarrollado es pasmosa. Baste sealar que en los llamados pases del primer mundo el surgimiento de plantas biotecnolgicas para la obtencin de protenas y hormonas especficas de difcil obtencin por otros mtodos, as como para la transformacin gentica de microorganismos y especies mayores con fines de aprovechamiento humano y del medio ambiente. Tiene una antigedad aproximada de 30 aos y su multiplicacin y diversidad aumentan cada ao.La Ingeniera Bioqumica tambin se relaciona con la simplificacin o creacin de procesos en industrias de alimentos (jugos, vino, queso, conservadores, productos crnicos, etc), la industria farmacutica, la industria cervecera y la nutricin.No debe confundirse con Ingeniera Biomdica, que manipula las interacciones qumicas entre el organismo y los materiales artificiales. La especialidad ms implicada en este fenmeno es la ciruga ortopdica: se trata de obtener prtesis articulares que generen el menor rechazo posible en el organismo y sean capaces de integrarse o adherirse de la manera ms firme al hueso adyacente, consiguiendo duraciones superiores a las actuales. Se han desarrollado asimismo implantes para sustituir arterias fabricados en tejido acrlico que evita la formacin de cogulos. Para proteger los implantes electrnicos se encapsulan en silicona, lo que facilita la integracin tisular. lo cual su estudio es para un futuro acelerado .APLICACIONESLas ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniera para el modelamiento de fenmenos fsicos. Ecuacin de la conduccin del calor. La constante C, llamada difusivilidad, es igual a 1 donde la conductividad trmica K, el calor especfico, la densidad (masa por unidad de volumen) se toman como constantes.

Esta ecuacin es aplicable a las pequeas vibraciones transversales de una cuerda flexible y tensa como la cuerda de un violn, que inicialmente se ha colocado sobre el eje y se ha hecho vibrar. La funcin es la elongacin de un punto cualquiera de la cuerda en el instante . La constante , donde c la tensin (Cte.) de la cuerda.

Ejemplo:Encontrar la superficie solucin de la E.D.P

Que tenga la propiedad de contener la curva interseccin de la superficie z = y2 con el plano x = 0.

1.2 Caracterizacin, importancia, condiciones de entorno, solucin de EDP y aplicaciones. EDP elpticas, parablicas e hiperblicas.

Ecuacin en derivadas parciales linealDefinicin: La ecuacin en derivadas parciales se llama lineal, si esta es lineal respectoa la funcin buscada y todas sus derivadas que forman parte de la ecuacin. En caso contrariose llama no lineal. La EDP de segundo orden para la funcin de dos variables independientesx e y en el caso general tiene la forma: Siendo A(x; y); B(x; y); C(x; y); a(x; y); b(x; y); c(x; y) funciones de las variables x, e y en unaRegion D R, y la funcin incgnita u = u(x; y).Clasificacin de las EDP's de segundo orden de dos variables independientesDefinicin: Sea la EDP de segundo orden

CondicionesI) Se puede mostrar que, observando determinadas condiciones para los coeficientes dela ecuacin: puede hacerse un cambio no singular de las variables independientes

CASOS PARTICULARESCuando el numero n de las variables independientes es superior a dos, tambin sediferencian las ecuaciones de los tipos hiperblico, parablico y elptico.Por ejemplo, cuando n = 4, la forma canonca ms simple de las ecuaciones semejantestiene el aspecto de:

Limitmonos al estudio de las EDPL de segundo orden. A semejantes ecuaciones puedereducirse un gran nmero de diferentes problemas fsicos.

Ecuaciones de tipo hiperblicoLos fenmenos oscilatorios de diferente naturaleza (vibraciones de cuerdas, membranas,oscilaciones acsticas del gas en los tubos, oscilaciones electromagnticas) se describen porlas ecuaciones del tipo hiperblico.La ms simple es la ecuacin de vibraciones de la cuerda (ecuacin ondulatoria unidimensional)

Ecuaciones de tipo parablicoLos procesos de conductibilidad trmica y de difusin conducen a las ecuaciones de tipoparablico. En el caso unidimensional la ecuacin ms simple de conductibilidad trmica tiene la forma:

Ecuaciones de tipo elpticoLos procesos a ciclo fijo, cuando la funcin buscada no depende del tiempo, se determinanpor las ecuaciones de tipo elptico, el representante tpico de estas es la ecuacin de Laplace.

1.3 Mtodos analticos de solucin de EDP elpticos: separacin de variables, problema de Sturm-Liouville, valores y funciones propias, integrales ortogonales. Superposicin de soluciones.METODOS ANALITICOS DE SOLUCION DE EDP ELIPTICAS

Las edp2 de tipo elptico en general aparecen en el estudio de fenmenos estacionarios (que no cambian con el tiempo). Por ejemplo, pueden aparecer al estudiar el comportamiento para tiempos grandes de un sistema en el que est teniendo lugar un proceso de tipo difusivo. Recordemos que en una dimensin la ecuacin del calor era cuya generalizaciona dimensiones mayores es

Pues bien, suponiendo que para tiempos grandes se alcanza una solucin estacionaria independiente del tiempo, tendremos ut= 0 y la ecuacin resultante seru = 0,Que es una ecuacin de tipo elptico, la ecuacin de Laplace, a la que habr que aadir las condiciones de contorno adecuadas si el sistema es nito. La ecuacin ms frecuente de este tipo es la llamada ecuacin de Laplace, la cual, en el caso bidimensional, es uxx + uyy = 0Sobre cierta regin del plano. La funcin u se llama armnica en la regin si satisface a la ecuacin de Laplace en dicha regin y es continua en dicha regin conjuntamente con sus derivadas hasta segundo orden. La ecuacin de Laplace es satisfecha tambin por el potencial gravitatorio o el potencial electrosttico en la regin en tanto no haya una distribucin de masa o carga ( = 0) en .En el caso de la ecuacin de Laplace los problemas de contorno que interesa resolver son el problema de Dirichlet y el problema de Neumann. Dada una regin del plano y una funcin f(x, y) denida sobre la frontera de , el problema de Dirichlet para la ecuacin de Laplace consiste en hallar la funcin u(x, y) que satisface la ecuacin

Tradicionalmente las condiciones de contorno en problemas elpticos reciben nombres de personas. Las condiciones de contorno de primera especie (jar el valor de la solucin que se va buscando en la frontera), junto con la ecuacin en derivadas parciales, denen lo que se denomina problema de Dirichlet. Las condiciones de contorno de segunda especie (jar el valor de la derivada de la funcin respecto de la normal en la frontera, u/n), junto con la edp2, denen el denominado problema de Neumann. Conviene indicar que no puede elegirse una funcin cualquiera para esta derivada en la frontera, se requiere el cumplimiento de la siguiente condicin de coherencia:

Las condiciones de contorno de tercera especie son en general menos habituales en problemas elpticos, pero cuando aparecen se suelen denominar problema de Robn

Separacin de variables, problema de Sturm-Liouville, valores y funciones propias, integrales ortogonalesEl mtodo de separacin de variables se refiere a un procedimiento para encontrar una solucin completa particular para ciertos problemas que involucran ecuaciones en derivadas parciales como serie cuyos trminos son el producto de funciones que tienen las "variables separadas". Es uno de los mtodos ms productivos de la fsica matemtica para buscar soluciones a problemas fsicos descritos mediante ecuaciones diferenciales de derivadas parciales.El mismo nombre se aplica a la forma de buscar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de cierto tipo que permite resolverlas por cuadraturas de funciones que contienen las variables separadas. El mtodo sirve para encontrar soluciones parciales completas, no soluciones generales, dependientes de un conjunto numerable de constantes arbitrarias, lo cual permite resolver tanto problemas de valor inicial como problemas de frontera e incluso problemas que involucran condiciones de los dos tiposPara ilustrar el mtodo se consideran ecuaciones diferenciales en derivadas parciales homogneas con dos variables independientes y condiciones de frontera tambin homogneas. En las siguientes secciones se discutirn los requerimientos y se discutirn casos ms generales. La descripcin del procedimiento en esta seccin se har simultneamente para los tres tipos cannicos deecuaciones en derivadas parciales de segundo orden(ecuaciones elpticas, parablicas e hiperblicas), especificando las condiciones iniciales (CI) y condiciones de frontera (CF) para cada caso.Elcaso hiperblicosera de la forma:

Elcaso parablicosera de la forma:

Y elcaso elpticosera de la forma:

* PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLEEnmatemticas, unaecuacin de Sturm-Liouville, que toma su nombre deJacques Charles Franois Sturm(1803-1855) yJoseph Liouville(1809-1882), es unaecuacin diferenciallineal de segundo orden de la forma

Donde las funcionesestn prescritas, y en el caso ms simple son continuas en un intervalo finito cerrado. El problema generalmente viene formulado con condiciones de frontera, es decir, valores especficos dey/oen los extremos. La funcines llamada funcin de densidad o funcin de peso.El valor deno se especifica en la ecuacin; el encontrar los valoresdonde exista una solucin no trivial de la ecuacin que satisfaga condiciones de frontera se denomina el problema de Sturm-Liouville (S-L).Tales valores deson llamadosvalores propioso eigen valores del problema de S-L que plantea conjuntamente con las condiciones de frontera. Las soluciones correspondientes son las funciones propiaso las eigen funciones o los eigen vectores del problema. Bajo suposiciones normales en los coeficientes de las funciones, stas inducenoperadores diferencialeshermticosen algunas funciones definidas por las condiciones de frontera. La teora resultante de la existencia y el comportamiento asinttico de los valores propios, la teora cualitativa correspondiente de las funciones propias y sus funciones adecuadas completas se conoce como teora de Sturm-Liouville. Esta teora es importante en matemtica aplicada, donde los problemas S-L ocurren muy comnmente, particularmente al resolver ecuaciones diferenciales parciales con separacin de variablesCuando las condiciones de frontera son regulares de la forma

Dondees diferenciable, las funcionesson continuas y las funcionesson positivas sobre el intervalo, y los valoresestn en el intervalola teora nos indica que Los valores propiosdel problema de S-L, son valores reales y bien ordenados en el sentido de que. A cada valor propiole corresponde una nica funcin propiaytiene exactamenteceros en la frontera. Las funciones propias son mutuamente ortogonales y satisfacen la relacin de ortogonalidad

Dondees la funcin de peso.* INTEGRALES ORTOGONALES Un conjunto ortonormal puede ser formado si el conjunto de funciones propias satisface la relacin de ortogonalidad

Dondees ladelta de Kronecker. Los valores propios del problema de S-L pueden ser caracterizados por elcociente de Rayleigh

1.3.2 SUPERPOSICION DE SOLUCIONESEl principio de superposicin o teorema de superposicin es un resultado matemtico que permite descomponer un problema lineal en dos o ms subproblemas ms sencillos, de tal manera que el problema original se obtiene como "superposicin" o "suma" de estos subproblemas ms sencillos.Tcnicamente, el principio de superposicin afirma que cuando las ecuaciones de comportamiento que rigen un problema fsico son lineales, entonces el resultado de una medida o la solucin de un problema prctico relacionado con una magnitud extensiva asociada al fenmeno, cuando estn presentes los conjuntos de factores causantes A y B, puede obtenerse como la suma de los efectos de A ms los efectos de B.

En el teorema de superposicin en teora de circuitos se establece que la tensin entre dos nodos de un circuito o la corriente que atraviesa una rama es igual a la suma de las tensiones o de las corrientes producidas por cada uno de los generadores de tensin y de los generadores de corriente del circuito. En cada uno de los clculos parciales, se conserva uno solo de los generadores y se remplazan los otros generadores de tensin por cortocircuitos y los otros generadores de corriente por circuitos abiertosEn mecnica newtoniana el laplaciano del campo gravitatorio es proporcional a la densidad de masa; eso hace que la igualdad de distribucin y a distancias idnticas el campo sea proporcional a la densidad de masa (sin embargo, en teora de la relatividad general, el campo gravitatorio viene descrito en trminos de ecuaciones diferenciales no-lineales).Otro ejemplo lo constituyen los campos electrostticos y magnetosttico, que tanto en mecnica clsica como en teora de la relatividad resultan lineales; es decir, el potencial elctrico y el potencial vector, fijada una distribucin de cargas, es proporcional al valor de stas.

1.4 Mtodos analticos de solucin de EDP parablicas: Transformada de Laplace.

El mtodo de la transformada de Laplace es un mtodo operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales, ya que su uso hace posible que diversas funciones sunisoidales, sinusoidales amortiguadas y exponenciales, se puedan convertir en funciones algebraicas de una variable compleja , y reemplazar operaciones como la diferenciacin y la integracin, por operaciones algebraicas en de funciones compleja equivalentes. Por tanto, una ecuacin diferencial lineal se puede transformar en una ecuacin algebraica de la variable compleja . Si esa ecuacin algebraica se resuelve en para la variable dependiente, se obtiene la solucin de la ecuacin diferencial. Este procedimiento que implica la transformada inversa de Laplace de la variable dependiente, se realiza empleando una tabla de transformadas de Laplace, o mediante la tcnica de expansin en fracciones parciales.

Es caracterstico del mtodo de la Transformada de Laplace, el uso de tcnicas grficas para predecir y/o analizar el funcionamiento de un sistema sin tener que resolver el sus ecuaciones diferenciales. Otra ventaja es que con este mtodo se resuelve la ecuacin diferencial obteniendo, simultneamente, las componentes del estado transitorio y estacionario de la solucin.

VARIABLE COMPLEJA

La variable es de tipo complejo con una componente variable real y una imaginaria: La notacin empleada para se indica en la siguiente ecuacin:

Donde es la parte real y es la parte imaginaria.

FUNCIN COMPLEJA F(s)

Una funcin compleja, tiene una parte real y una imaginaria:

Donde y son cantidades reales. La magnitud de es

Y el ngulo de es

El ngulo se mide de derecha a izquierda a partir del semieje real positivo. El complejo conjugado de es

Se dice que una funcin compleja es analtica en una regin, si y todas sus derivadas existen en esa regin.

Los puntos del plano en los que la funcin es analtica, reciben el nombre de puntos ordinarios, mientras que los puntos del plano en los que la funcin no es analtica, se denominan puntos singulares. A dichos puntos tambin se les denomina polos. Los puntos en los que la funcin es igual a cero, se denominan ceros

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Primero se presenta una definicin de la Transformada de Laplace; y un breve anlisis de las condiciones de existencia de la transformada de Laplace.

Definimos:

una funcin de tiempo tal que para

una variable compleja

transformada de Laplace de

un smbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse por la integral de Laplace.

Entonces la transformada de Laplace de est dada por

El proceso inverso de hallar en tiempo , a partir de la transformada de Laplace , se denomina transformada inversa de Laplace. La notacin de la transformada inversa de Laplace es

as

EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de Laplace de una funcin existe si la integral de Laplace converge. La integral ha de converger si es seccionalmente continua en todo intervalo finito dentro del rango y si es de orden exponencial cuanto tiende a infinito. Se dice que una funcin es de orden exponencial, si existe una constante real, positiva tal que la funcin

tiende a cero cuanto tiene a infinito. Si el lmite de la funcin

tiende a cero para mayor que y el lmite tiene a infinito para menor que , el valor recibe el nombre de abcisa de convergencia.

Para la funcin

Tiende a cero s . La abcisa de convergencia en este caso es . La integral

converge solamente si , la parte real de , es mayor que la abcisa de convergencia . As hay que elegir el operador como una constante tal que esta integral converja.

En trminos de los polos de la funcin , la abcisa de convergencia corresponde a la parte real del polo ubicado en posicin ms alejada hacia la derecha en el plano .

Para funciones como

la abcisa de convergencia es igual a cero.

Para funciones como

Y similares, la abcisa de convergencia es igual Para funciones que aumentan ms rpidamente que la funcin exponencial, sin embargo, no es posible encontrar valores adecuados de la abcisa de convergencia. Por lo tanto, funciones tales como

no tienen transformada de Laplace

Si una funcin tiene transformada de Laplace, la transformada de la funcin , donde es una constante, est dada por

Esto es obvio, partiendo de la definicin de transformada de Laplace. En forma similar, si las funciones

tienen transformada de Laplace, la transformada de Laplace de la funcin

est dada por

Nuevamente, la prueba de esta relacin es evidente a partir de la definicin de la transformada de Laplace.

A continuacin, se determinan las transformadas de Laplace de algunas funciones habitualmente encontradas.

1.5 Soluciones de EDP en coordenadas cilndricas y esfricas. Ecuacin diferencial de Bessel, funciones de Bessel Jn (X), Yn(X) y funciones modificadas de Bessel ln(X), Kn((X).

Coordenadas CilndricasEn el sistemas decoordenadas cilndricasun punto P del espacio tridimensional est representado por la terna ordenada (r,,z), donde r y el son las coordenadas polares de la proyeccin de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P.Ecuaciones para transformar de Cilndricas a Rectangulares

Las coordenadas cilndricas son tiles en problemas que tienen simetra alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetraEcuaciones para transformar de Rectangulares a Cilndricas

Ecuaciones para transformar de Cilndricas a Esfricas

El sistema de coordenadas esfricas es especialmente til en problemas donde hay simetra alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.Ejemplo # 1Convertir el Puntoa coordenadas cilndricas.

Encontramos

Ahora encontramos

el cuadrante dondees negativo (-3) yes positivo (3) es el IV cuadrante.

Ahora encontramos:

Entonces, el punto en coordenadas cilndricas es:Ejemplo # 2Convertir el puntoen coordenadas cilndricas a coordenadas rectangulares.

Encontremos

Ahora encontremos

Ahora encontremos

Entonces, el punto en coordenadas rectangulares es:

Ejemplo # 3Escribir la ecuacinen coordenadas cilndricas.

Sabemos queentonces sustituimos en la ecuacin, obteniendo:

y sta ecuacin ya est expresada completamente en coordenadas cilndricas, pues solo depende deyCoordenas EsfricasLascoordenadas esfricas(, , ) de un punto P en el espacio, donde =OP es la distancia del origen a P, es el mismo ngulo que en las coordenadas cilndricas, y es el ngulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP. Note que P 0 0 El sistema de coordenadas esfricas es especialmente til en problemas donde hay simetra alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

Dado un vectordel espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el punto origen de, se definen las coordenadas esfricas como los tres nmeros que se obtienen desde las proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de interseccin de los planos perpendiculares, por las relaciones siguientes:

Sistema de Coordenadas EsfericasEs el sistema de coordenadas esfricas un punto p del espacio que viene representado por un tro ordenado, donde:1.-es la distancia de P al origen,.2.-es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilndricas para.3.-es el Angulo entre el semiejepositivo y el segmento recto,.Ntese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas.

Coordenadas EsfricasEcuaciones para transformar de Esfricas a Rectangulares

Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Esfricas

Ecuaciones para transformar de Esfricas a Cilndricas

ejemplo # 4Convertir el puntoa coordenadas rectangulares.

El punto en coordenadas rectangulares es:.Ejemplo # 5Convertir la ecuacin rectangular a coordenadas cilndricas.

Ejemplo # 6Convertir la ecuacin rectangular a coordenadas esfricas.

Ejemplo # 7Describa la superficie cuya ecuacin en coordenadas cilndricas es z=r. Solucin La ecuacin dice que el valor z, o altura, de cada punto sobre la superficie es igual que r, la distancia del punto al eje z. Como no aparece, puede variar. Por lo tanto, cualquier trazo horizontal en el plano z+ k (K>)) es un circulo de radio k. estas trazas sugieren que la superficie es un cono. Esta prediccin puede confirmarse si se convierte la ecuacin en coordenadas rectangulares. De la primera ecuacin tenemos

Reconocemos la ecuacincomo la de un cono circular cuyo eje es el eje z.Funcin de BesselEnmatemtica, lasfunciones de Bessel, primero definidas por el matemticoDaniel Bernoulliy ms tarde generalizadas porFriedrich Bessel, son soluciones cannicasy(x)de laecuacin diferencialde Bessel:(1)Dondees un nmero real o complejo. El caso ms comn es cuandoes unentero, aunque la solucin parano enteros es similar. El nmerose denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuacin.Dado que la ecuacin anterior es unaecuacin diferencialde segundo orden, tiene dos solucioneslinealmente independientes.Aunqueydan como resultado la misma funcin, es conveniente definir diferentes funciones de Bessel para estos dos parmetros, pues las funciones de Bessel en funcin del parmetroson funciones suaves casi doquiera. Las funciones de Bessel se denominan tambin funciones cilndricas, o armnicos cilndricos porque son solucin de laecuacin de Laplaceencoordenadas cilndricas.

AplicacionesLa Ecuacin de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a laecuacin de Laplaceo a laecuacin de Helmholtzpor elmtodo de separacin de variablesencoordenadas cilndricasoesfricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos problemas depropagacin de ondas, potenciales estticos y cualquier otro problema descrito por las ecuaciones de Helmholtz o Laplace en simetras cilndricas o esfricas. Cuando se resuelven sistemas en coordenadas cilndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero () y en problemas resueltos en coordenadas esfricas, se obtienen funciones de Bessel de orden semientero (), por ejemplo: Ondas electromagnticasenguas de ondacilndricas. Modos transversales electromagnticosen guas pticas. Conduccin del calor en objetos cilndricos. Modos de vibracin de una membrana delgada circular (o con forma de anillo). Difusin en una red. Tambin se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas como en procesado de seales.Funciones de Bessel ordinariasLas funciones de Bessel ordinarias de orden, llamadas simplemente funciones de Bessel de ordenson soluciones de la ecuacin de Bessel (1). Existen dos formas simples de expresar la solucin general de la ecuacin diferencial de Bessel con parmetro, que estn asociadas a las funciones de Bessel ordinarias de primera y de segunda especie.Funciones de Bessel de primera especie:Las funciones de Bessel de primera especie y ordenson las soluciones de la ecuacin diferencial de Bessel que son finitas en el origen () para enteros no negativosy divergen en el lmiteparanegativo no entero. El tipo de solucin y la normalizacin deestn definidos por sus propiedades abajo indicadas. Es posible definir la funcinpor su expansin enserie de Tayloren torno a:1

es lafuncin Gamma de Euler, una generalizacin delfactorialpara nmeros complejos.Estas funciones cumplen que:Si, entoncesyson linealmente independientes, y por tanto una solucin general de la ecuacin de Bessel puede expresarse como una combinacin lineal de ellas.Si, entonces se cumple:2

por lo que las dos soluciones dejan de ser linealmente independientes. En este caso, la segunda solucin linealmente independiente ser una funcin de Bessel de segunda especie.Las funciones de Bessel son funciones oscilatorias (como las funciones seno o coseno) que decaen proporcionalmente a(como nos lo mostrarn las formas asintticas de estas funciones ms abajo), aunque los ceros de estas funciones no son, en general, peridicos, excepto de forma asinttica para grandesx.

Funciones de Bessel de primera especie, J(x), para rdenes enteros =0,1,2.Como casos particulares, se tienen las dos primeras funciones de Bessel enteras:

Integrales de BesselPara valores enteros de, se tiene la siguiente representacin integral:

Que tambin se puede escribir como:

Esta es la forma usada por Bessel en su estudio de estas funciones, y a partir de esta definicin dedujo varias propiedades de las mismas. Esta definicin integral puede extenderse a rdenes no enteros aadiendo otro trmino integral:

Tambin se tiene, para

Relacin con las series hipergeomtricasLas funciones de Bessel son un caso especial defuncin hipergeomtrica

Esta frmula est relacionada con la expansin de las funciones de Bessel en funcin de lafuncin de BesselClifford.Relacin con los polinomios de LaguerreLas funciones de Bessel pueden expandirse en serie depolinomios de Laguerrepara cualquier parmetroarbitrario como3

Funciones de Bessel de segunda especie:Las funciones de Bessel de segunda especie, denotadas por, son soluciones de la ecuacin diferencial de Bessel, Estas funciones divergen en el origen (x= 0).

Funciones de Bessel de segunda especie, Y(x), para rdenes =0,1,2.A estas funcionestambin se les llama a vecesfunciones de Neumanno de Weber, y a veces se denotan por. Para; no enteros, se definen a partir de las funciones de primera especiemediante la siguiente frmula:

En el caso en el que tengamos un orden enteron, la funcin es definida como el siguiente lmite slo vlido para enteros:

que nos da el siguiente resultado en forma integral:

Para el caso en el que tengamos no enteros, la definicin dees redundante (como queda claro por su definicin de arriba). Por otro lado, cuando es entero,es la segunda solucin linealmente independiente de la ecuacin de Bessel, adems, de forma similar a lo que ocurra con las funciones de primera especie, se cumple que:

Ambasysonfunciones holomorfasdexen elplano complejocortado por el eje real negativo. Cuando es un entero, no haypuntos de ramificacin, y las funciones de Bessel sonfunciones enterasdex. Si fijamosx, entonces las funciones de Bessel son funciones enteras respecto a la variable .Funciones de Hankel:H(1),H(2)Otra formulacin importante de las dos solucciones linealmente independientes de la ecuacin de Bessel son lasfunciones de Hankelyas definidas:4

dondeies launidad imaginaria. Estas combinaciones lineales son tambin conocidas como lasfunciones de Bessel de tercera especie. Las funciones de Hankel de primera y segunda especie son usadas para representar las solucciones de ondas entrantes y salientes de una ecuacin de ondas en simetras cilndricas respectivamente (o viceversa dependiendo de la conveccin de signo de la frecuencia). Estas funciones son as nombradas en honor deHermann Hankel.Usando la definicin dada arriba, estas funciones se pueden escribir en funcin de las funciones de Bessel de primer ordenas:

Si es un entero, se tiene que calcular de las expresiones de arriba as:

La siguiente relacin es vlida para todo valor de , sea entero o no:5

Existe una representacin integral de las funciones de Hankel (til para el clculo depropagadoresde laecuacin de Klein-Gordon):6

Solucin general de la ecuacin de BesselLa solucin general de la ecuacin diferencial de Bessel con parmetroviene dada en trminos de las funciones de Bessel ordinarias o de las funciones de Hankel. Dicha solucin general puede expresarse como:(2)DondeAyBson dos constantes arbitrarias.

Funciones de Bessel modificadas:I,KLas funciones de Bessel ordinarias son vlidas para valorescomplejosdel argumentox, y un caso especialmente importante es aquel con argumento imaginario puro. En este caso, la ecuacin de Bessel se transforma en laecuacin de Bessel modificada7(3)y sus dos soluciones linealmente independientes son lasfunciones de Bessel modificadasde primer y segundo tipo:I(x) yK(x) respectivamente.8Funciones de Bessel modificadas de primera especie: Las funciones de Bessel modificadas de primera especie y ordenvienen dadas por:

Estn relacionadas con las funciones de Bessel ordinarias mediante la siguiente igualdad:.Sientoncesyson linealmente independientes, y por tanto dan una solucin general de la ecuacin de Bessel.Sientoncesno est definida enx= 0.Casos particulares:

Funciones de Bessel modificadas de segunda especie:]Las funciones de Bessel modificadas de segunda especie y ordense definen a partir de las funciones modificadas de primera especie para rdenes no enteros mediante la siguiente frmula:

Para los casos en los quesea entero (), tenemos que tomar el lmite del orden no entero al entero as:

Adems se puede escribir esta funcin a partir de la funcin de Hankel de primera especie as:

Existen varias representaciones integrales de estas funciones. La siguiente deK(x) es til para el clculo delpropagador de FeynmanenTeora Cuntica de Campos:

Lasfunciones de Bessel modificadas de segunda especiehan sido tambin llamadas: Funciones de Basset Funciones de Bessel modificadas de tercera especie Funciones de MacDonald Funciones de Hankel modificadas

Solucin general de la ecuacin de Bessel modificadaLa solucin general de la ecuacin diferencial de Bessel modificada con parmetroviene dada por:(4)DondeAyBson dos constantes arbitrarias.Funciones esfricas de Bessel:

Funciones esfricas de Bessel de primer orden, jn(x), para n=0,1,2.

Funciones esfricas de Bessel de segundo orden, yn(x), para n=0,1,2.Cuando se soluciona laecuacin de Helmholtzen coordenadas esfricas por separacin de variables, la ecuacin radial tiene la forma:

Dondenes un entero positivo. Las dos solucciones linealmente independientes de esta ecuacin se denominanfunciones esfricas de Bessely, y estn relacionadas con las funciones de Bessel ordinariasypor:10

Se escribe tambin comoo. A esta funcin a veces se le llamafuncin esfrica de Neumann.Las funciones esfricas de Bessel se pueden obtener a partir de las siguientes frmulas:

La funcin de Bessel esfricaes laFuncin sincdesnormalizada.Paran= 0,1 y 2 tenemos:11

La frmula general es:

Funciones de Hankel esfricas:hnLas funciones esfricas de Hankel se definen de forma anloga a las no esfricas:

De hecho, esto nos dice que existen expresiones cerradas de las funciones de Bessel de orden semientero en trmino defunciones trigonomtricasy, por tanto, tambin de las funciones esfricas de Bessel. De esto se deduce que, paranentero no negativo se tiene:

yes la funcin compleja conjugada de esta (parareal). De esta frmula se pueden deducir las formas cerradas de las funciones esfricas de Bessel ordinarias, por ejemplo,y, y as para cualquier argumenton.Funciones esfricas de Bessel modificadas:Tambin existen anlogos esfricos de las funciones de Bessel modificadas:.

se pueden escribir de forma cerrada, usando la frmula dedada arriba como:

Funcin generatrizSe pueden obtener las funciones de Bessel esfricas a partir de las siguientes funciones generatrices:

Relaciones diferenciales [La siguiente relacin diferencial se cumple para

Funciones de Riccati-Bessel:Las funciones de Riccati-Bessel son una pequea modificacin de las funciones de Bessel esfricas:

as o para encontrar laserie de Fourierde un tono de una seal deFM.

1.6 Mtodos numricos de solucin de EDP: malleo y driscretizacion, Diferencias finitas para EDP elpticas y diferencias finitas acoplada a mtodos de Rungekutta para EDP parablicas.

El proceso de obtencin de la solucin computacional consiste en 2 pasos que se pueden esquematizar como muestra la figura 2.1Figura 2.1

Esquema de proceso de resolucin de una EDP. En el primer paso las ecuaciones que gobiernan el proceso de interes, as como las condiciones de borde, son convertidas a un sistema discreto de ecuaciones algebraicas; este proceso se denomina discretizacin. Al reemplazar los trminos diferenciales individuales de la EDPs por expresiones algebraicas que conectan valores en nodos de una red finita se introduce un error de truncamiento. En este captulo veremos cmo elegir expresiones algebraicas que produzcan los menores errores.El segundo paso requiere de un mtodo de resolucin del sistema de ecuaciones algebraicas. Este paso tambin puede introducir un error (de solucin) pero es generalmente despreciable comparado con el error de truncamiento introducido durante la discretizacin, a menos que el mtodo sea inestable. En los prximos captulos discutiremos mtodos apropiados para resolver sistemas de ecuaciones algebraicos.2.1 DiscretizacinHay varios mtodos para convertir las ecuaciones en derivadas parciales a un sistema de ecuaciones algebraicas. Los ms comunes son el mtodo de diferencias finitas, mtodo de elementos finitos y el mtodo espectral. En la prctica las derivadas temporales son discretizadas casi exclusivamente usando el mtodo de diferencias finitas. Las derivadas espaciales son discretizadas usando diferencias finitas, elementos finitos o usando el mtodo espectral.La discretizacin se puede dividir en dos categoras: una forma, que da lugar a los mtodos de diferencias finitas, es representar la funcin por su valor en un conjunto discreto de puntos de grilla. La otra forma es el mtodo de los residuos pesados (WRM por su sigla en ingls). Este mtodo es conceptualmente diferente del mtodo de diferencias finitas pues asume que la solucin puede ser representada por un conjunto de funciones de prueba. Cuando el conjunto de funciones de prueba forma un conjunto ortogonal esta discretizacin da lugar al mtodo espectral. Cuando las funciones de prueba son diferentes de cero solamente en una pequea parte del dominio este mtodo da lugar al mtodo de elementos finitos. Tcnicas hbridas usando ambos tipos de discretizacin tambin existen, por ejemplo el mtodo pseudo-espectral.

Primero describiremos la formulacin general del mtodo de residuos pesados de forma de demostrar la conexin entre elementos finitos y el mtodo espectral. El primer paso de un WRM es asumir una solucin aproximada de la formaT x , y ,z,t =T0 x , y ,z ,tj=1Jajt j x , y ,z (2.1) donde T0 se elige para satisfacer las condiciones de borde e iniciales. Las funciones de prueba, o base, j x , y ,z son conocidas. Los coeficientes aj(t) son desconocidos y deben ser determinados resolviendo el sistema de ecuaciones generado de las EDPs.Se asume que la ecuacin puede ser escrita de la forma L(T*)=0 (2.2) donde T* es la solucin exacta. Si se sustituye la solucin aproximada 2.1 en 2.2 habr un residuo R, de tal forma que la ecuacin queda L(T)=R (2.3) R es una funcin continua de x,y,z y de t en el caso general. Si J es lo suficientemente grande es posible en principio elegir los coeficientes aj(t) de tal forma que R sea pequeo en el dominio computacional. Los coeficientes aj(t) se determinan requiriendo que la integral del residuo pesado en el dominio computacional sea cero, o seaW m x , y ,zRdxdydz=0 (2.4)m=1...M, lo cual resulta en un sistema de ecuaciones para los aj(t). Diferentes elecciones de las funciones Wm da lugar a diferentes mtodos de residuos pesados. El ms usual es el Mtodo de Galerkin

Mtodo de diferencias finitasEn esta seccin ilustraremos el mtodo de discretizacin por diferencias finitas considerando la ecuacin de difusin en 1D. T / t =2T/ x2 0x1Condiciones de borde: T 0,t =b , T 1,t =dCondiciones iniciales: T x ,0=T0 x, 0x1(2.5)Para discretizar es necesario primero definir una grilla. La figura 2.3 muestra una grilla en el espacio x-t. Los pasos t y x y el significado del subndice j y superndice n estn indicados en la figura y Tnj es el valor de T en el nodo (j,n).El primer paso en desarrollar un algoritmo para calcular valores de T que aparecen en (2.5) es expresar las derivadas temporales y espaciales de T en el nodo (j,n) en trmino de los valores de T en los nodos cercanos. Para ello se usan series de Taylor. Estas series pueden ser truncadas en cualquier punto; el error de truncamiento resultante est dominado por el siguiente trmino en la expansin si x