Índice

1. OBJETIVO 2

2. FUNDAMENTO TEÓRICO 2

2.1. Centro de Gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3. MATERIALES E INSTRUMENTOS 3

3.1. Accesorios del Soporte Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2. Barra de Madera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3. Poleas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.4. Pesas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.5. Regla Graduada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.6. Balanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4. PROCEDIMIENTO 7

5. CUESTIONARIO 8

6. BIBLIOGRÁFICA 17

Índice de �guras

1. Centro de Gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Soporte Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. Poleas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54. Las Pesas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65. Regla Graduada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66. Balanza de Precisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77. La cuarta parte de un circulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88. Triangulo Rectángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89. Tiene la forma de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910. La cuarta parte de un circulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911. Triangulo Rectángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012. Figura irregular que tiene la forma de F . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013. La cuarta parte de un circulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114. Triangulo Rectángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315. Figura geométrica irregular que tiene la forma de F . . . . . . . . . . . 14

Índice de cuadros

1

CENTRO DE GRAVEDAD

1. OBJETIVO

1 Determinar el centro de �guras homogéneas planas y alambres homogéneos.

2. FUNDAMENTO TEÓRICO

2.1. Centro de Gravedad

El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuer-zas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, detal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada enel centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masasmateriales que constituyen dicho cuerpo.

En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cuallas fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyenel cuerpo producen un momento resultante nulo.

El c.g. de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo.Así, el c.g. de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera que, obviamente,no pertenece al cuerpo.

Conceptos relacionados:

En física, además del centro de gravedad aparecen los conceptos de Centro de

Masa y de Centro Geométrico o Centroide que, aunque pueden coincidir con elcentro de gravedad, son conceptualmente diferentes.

El Centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma delsistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que elcentro de gravedad depende también del campo gravitatorio.

Centro de Masa y Centro de Gravedad:

El centro de masa coincide con el centro de gravedad cuando el cuerpo está en uncampo gravitatorio uniforme. Es decir, cuando el campo gravitatorio es de magnitud ydirección constante en toda la extensión del cuerpo. A los efectos prácticos esta coin-cidencia se cumple con precisión aceptable para casi todos los cuerpos que están sobrela super�cie terrestre, incluso para una locomotora o un gran edi�cio, puesto que ladisminución de la intensidad gravitatoria es muy pequeña en toda la extensión de estoscuerpos.

Centro Geométrico y Centro de Masa:

2

El centro geométrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si elobjeto es homogéneo (densidad uniforme) o cuando la distribución de materia en elsistema tiene ciertas propiedades, tales como simetría.

Propiedades del centro de gravedad

La resultante de todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre las partículas queconstituyen un cuerpo pueden reemplazarse por una fuerza única,Mg, esto es, el propiopeso del cuerpo, aplicada en el centro de gravedad del cuerpo. Esto equivale a decir quelos efectos de todas las fuerzas gravitatorias individuales (sobre las partículas) puedencontrarrestarse por una sola fuerza, -Mg, con tal de que sea aplicada en el centro degravedad del cuerpo, como se indica en la �gura 1.

Un objeto apoyado sobre una base plana estará en equilibrio estable si la verticalque pasa por el centro de gravedad corta a la base de apoyo. Lo expresamos diciendoque el c.g. se proyecta verticalmente (cae) dentro de la base de apoyo.

Además, si el cuerpo se aleja ligeramente de la posición de equilibrio, aparecerá unmomento restaurador y recuperará la posición de equilibrio inicial. No obstante, si sealeja más de la posición de equilibrio, el centro de gravedad puede caer fuera de labase de apoyo y, en estas condiciones, no habrá un momento restaurador y el cuerpoabandona de�nitivamente la posición de equilibrio inicial mediante una rotación que lellevará a una nueva posición de equilibrio.

Figura 1: Centro de Gravedad

3. MATERIALES E INSTRUMENTOS

3.1. Accesorios del Soporte Universal

Un Soporte de Laboratorio, Soporte Universal o Pie Universal es una pieza delequipamiento de laboratorio donde se sujetan las pinzas de laboratorio, mediante doblesnueces. Sirve para sujetar tubos de ensayo, buretas, embudos de �ltración, criba de

3

decantación o embudos de decantación, etc. También se emplea para montar aparatosde destilación y otros equipos similares más complejos.

El soporte universal es una herramienta que se utiliza en laboratorios para realizarmontajes con los materiales presentes en el laboratorio y obtener sistemas de medicio-nes o de diversas funciones. No se tiene datos de quién haya sido el inventor del soporte.

Estructura

Está formado por dos elementos, generalmente metálicos: Nueces de laboratorioacoplarles al soporte universal.

Una base o pie horizontal, construido de hierro fundido, relativamente pesado ygeneralmente en forma de rectángulo, bajo el cual posee unos pequeños pies de apoyo.También son posibles otras diseños de la base, como forma de H, de A, de media lunao de trípode. Una varilla cilíndrica vertical, insertada cerca del centro de uno de loslados de la base, que sirve para sujetar otros elementos como pinzas de laboratorio.

Uso

Se emplea para sujetar elementos únicos (embudos, matraces, buretas), en generalde poco peso para evitar la pérdida de estabilidad. También se pueden acoplar variossoportes a un montaje más complejo y pesado como un aparato de destilación, pero siel montaje se complica es preferible el uso de una armadura sujeta a la pared o �jadaa otro elemento estructural del laboratorio.

Figura 2: Soporte Universal

4

3.2. Barra de Madera

Es una material, el cual nos servio de ayuda para calcular el centro de gravedad,el cual fue la forma geométrico como: Triangulo Rectángulo, la cuarta parte de unaCirculo.

3.3. Poleas

Una polea, es una máquina simple, un dispositivo mecánico de tracción, que sirvepara transmitir una fuerza. Además, formando conjuntos aparejos o polipastos sirvepara reducir la magnitud de la fuerza necesaria para mover un peso.

Según la de�nición de Hatón de la Goupillière, "la polea es el punto de apoyo deuna cuerda que moviéndose se arrolla sobre ella sin dar una vuelta completa.actuandoen uno de sus extremos la resistencia y en otro la potencia.

Figura 3: Poleas

3.4. Pesas

Las pesas de laboratorio son herramientas de precisión que sirven para pesar conexactitud diferentes sustancias, ya que, por ejemplo de la exactitud del pesaje de losreactivos dependerá la efectividad de una reacción química y la obtención del productode reacción.

Las pesas de laboratorio sirven básicamente para realizar controles a las balanzas.En el caso mas común es frecuente utilizar pesas como material de referencia y veri�-car que exista trazabilidad, aunque también se busca con�rmar sensibilidad o inclusivecalibrar la balanza en caso de algún eventual error de cero u otro error factible decorrección por medio de algún calculo.

5

Figura 4: Las Pesas

3.5. Regla Graduada

La regla graduada es un instrumento de medición con forma de plancha delgaday rectangular que incluye una escala graduada dividida en unidades de longitud, porejemplo centímetros o pulgadas; es un instrumento útil para trazar segmentos rectilí-neos con la ayuda de un bolígrafo o lápiz, y puede ser rígido, semirígido o muy �exible,construido de madera, metal, material plástico, etc.

Su longitud total rara vez es de un metro de longitud pero la mayoría es de 30centímetros. Suelen venir con graduaciones de diversas unidades de medida, como milí-metros, centímetros, y decímetros, aunque también las hay con graduación en pulgadaso en ambas unidades.

Es muy utilizada en los estudios técnicos y materias que tengan que ver con uso demedidas, como arquitectura, ingeniería, etc.

Las reglas tienen muchas aplicaciones ya que tanto sirve para medir como paraayudar a las personas en su labor diaria en el dibujo técnico; las que hay en las o�cinassuelen ser de plástico pero las de los talleres y carpinterías suelen ser metálicas, deacero �exible e inoxidable , es un instrumento que viene en el juego de geometría.

Figura 5: Regla Graduada

6

3.6. Balanza

La balanza es un instrumento que sirve para medir la masa de los objetos.

Es una palanca de primer género de brazos iguales que, mediante el establecimientode una situación de equilibrio entre los pesos de dos cuerpos, permite comparar masas.

Para realizar las mediciones se utilizan patrones de masa cuyo grado de exactituddepende de la precisión del instrumento. Al igual que en una romana, pero a diferenciade una báscula o un dinamómetro, los resultados de las mediciones no varían con lamagnitud de la gravedad.

El rango de medida y precisión de una balanza puede variar desde varios kilogramos(con precisión de gramos), en balanzas industriales y comerciales; hasta unos gramos(con precisión de miligramos) en balanzas de laboratorio.

Figura 6: Balanza de Precisión

4. PROCEDIMIENTO

1 Escoger una �gura del grupo proporcionado.

2 Peque un papel a la �gura.

3 Cuelgue esta �gura al soporte. Cuelgue del mismo lugar la plomada. Marque

sobre el papel 2 puntos obre la recta que forma el hilo que suspende la plomada.

4 Retire la plomada y la �gura y marque con una regla una recta por los puntos

marcados.

5 Repita el procedimiento para otro punto de la misma �gura. Determine las coor-

denadas del centro de gravedad respecto a un punto que previamente de�na.

6 Escoja otras dos �guras y determine el centro de gravedad de ellas.

7

5. CUESTIONARIO

1 Determine analíticamente el centro de gravedad y compare con el resultado an-

terior. Halle el porcentaje de error. Explique sus resultados

Ahora vamos calcular el centro de gravedad de las siguientes �guras:Así que todas las medidas están centímetros (cm)

Figura 7: La cuarta parte de un circulo

Figura 8: Triangulo Rectángulo

8

Figura 9: Tiene la forma de F

Aquí tenemos los datos de centro de gravedad según los cálculos en el laboratorios:

Todas las medidas están en centímetro (cm)

Figura 10: La cuarta parte de un circulo

9

Figura 11: Triangulo Rectángulo

Figura 12: Figura irregular que tiene la forma de F

10

Ahora calcularemos el centro de gravedad analíticamente:

Figura 13: La cuarta parte de un circulo

x =My

m, y =

Mx

m(1)

Mx =1

2

∫ 20

0

y2 dx (2)

My =

∫ 20

0

xydx (3)

m=A, cuando la �gura geométrica es homogénea ρ = mA, o sea que ρ es constante

m =

∫ 20

0

ydx (4)

x2 + y2 = 202

y2 = 202 − x2y =√202 − x2

Calculando la ecuación 4:

11

m =

∫ 20

0

ydx

=

∫ 20

0

√202 − x2dx

=202

2[arcsin(

x

20) +

x√202 − x2202

]

∣∣∣∣200

=202π

4

Calculando la ecuacion 2:

Mx =1

2

∫ 20

0

(202 − x2) dx

=1

2(202x− x3

3)

∣∣∣∣200

=203

3

Calculando la ecuacion 3:

My =

∫ 20

0

xydx

=

∫ 20

0

x√202 − x2dx

=

∫ 20

0

x(202 − x2)12dx

=−12

∫ 20

0

(−2x)(202 − x2)12dx

=−12

∫ 20

0

(202 − x2)12d(202 − x2)

=−13

(202 − x2)32

∣∣∣200

=203

3

Ahora reemplazando en la ecuación 1:

x = My

m=

203

3202π

4

= 4(20)3π

=8.488

y = Mx

m=

203

3202π

4

= 4(20)3π

= 8,488

12

Calculo de centro de gravedad de la siguiente �gura:

Figura 14: Triangulo Rectángulo

−→r cg =m1−→r 1 −m2

−→r 2

m1 −m2

(5)

m1 = A1 = 10 ∗ 20 = 200cm2

m2 = A2 =9,072

2= 41,132cm2

−→r 1 = (203; 20

3) = (6,667; 6,667)cm

−→r 2 = (3,2 + 9,073; 3,2 + 9,07

3) = (6,223; 6,223)cm

Reemplazando en la ecuación 5:

−→r cg = m1−→r 1−m2

−→r 2

m1−m2

−→r cg = 200(6,667;6,667)−41,132(6,223;6,223)200−41,132

−→r cg = (1077,435564;1077,435564)158,868

−→r cg = (6,78; 6,78)cm

13

Calculo de centro de gravedad de la siguiente �gura:

Figura 15: Figura geométrica irregular que tiene la forma de F

−→r cg =m1−→r 1 +m2

−→r 2 +m3−→r 3

m1 +m2 +m3

(6)

m1 = A1 = 19,9 ∗ 3,05 = 60,695cm2

m2 = A2 = 9 ∗ 3,05 = 27,45cm2

m3 = A3 = 1,9 ∗ 3,25 = 6,175cm2

−→r 1 = (3,052; 19,9

2) = (1,525; 9,95)cm

−→r 2 = (3,05 + 92; 3,05

2) = (7,55; 1,525)cm

−→r 3 = (3,05 + 1,92; 3,05 + 5 + 3,25

2) = (4; 9,675)cm

Reemplazando en la ecuación 6:

−→r cg = 60,695∗(1,525;9,95)+27,45∗(7,55;1,525)+6,175∗(4;9,675)60,695+27,45+6,175

−→r cg = (324,507375;705,519625)94,32

−→r cg = (3,44; 7,48)

14

Ahora calcularemos los errores y el porcentaje:

La �gura 7:

En eje X:

x = 8,4(Laboratorio)

x = 8,488(Teorico)

E(error) = 8,488− 8,4 = 0,088

E(%) = 0,0888,488∗ 100 = 1,04%(Defecto)

En eje Y:

y = 8,7(Laboratorio)

y = 8,488(Teorico)

E(error) = 8,488− 8,7 = −0,212

E(%) = −0,2128,488

∗ 100 = −2,5%(Exceso)

Este porcentaje signi�ca, que hay poco error por parte de este grupo en este �gura,y este error es error humano que siempre va existir, por eso no existe exactitud, sinola precision con la cual trabajamos.

La �gura 8:

En eje X:

x = 6,4(Laboratorio)

x = 6,78(Teorico)

E(error) = 6,78− 6,4 = 0,38

E(%) = 0,386,78∗ 100 = 5,6%(Defecto)

En eje Y:

y = 6,2(Laboratorio)

y = 6,78(Teorico)

15

E(error) = 6,78− 6,2 = 0,58

E(%) = 0,586,78∗ 100 = 8,55%(Defecto)

Los resultados del porcentaje nos dice que hubo un poco más de error que de la�gura 7 como resultado del error humano(mala lectura en las reglas,desorden en losapuntes,etc).

La �gura 9:

En eje X:

x = 3,7(Laboratorio)

x = 3,44(Teorico)

E(error) = 3,44− 3,7 = −0,26

E(%) = −0,263,44∗ 100 = −7,56%(Exceso)

En eje Y:

y = 7,5(Laboratorio)

y = 7,48(Teorico)

E(error) = 7,48− 7,5 = −0,02

E(%) = −0,027,48∗ 100 = −0,27%(Exceso)

En este �gura el porcentaje de error es mayor en eje X, en cuanto al eje Y Tal vezeste error hubo por la pericia por parte del alumno, o tal vez otros factores.

16

6. BIBLIOGRÁFICA

1 Física General y Experimental J. Goldemberg. Vol. I

2 Mecánica para ingenieros,Estática,T.C. HUANG, Fondo Educativo Interameri-

cano,S.A.

3 http://es.slideshare.net/geopaloma/centro-de-gravedad-4543704

4 Ingeniería Mecánica,Estática,Russell C. Hibbeler ,PEARSON

17