Integrantes:Mirielle Eunice Aragón LópezEfrén Córdova PérezSoledad Ocaña VergaraDiana Gorrochotegui BarraMaría Guadalupe Jáuregui SantosEduardo López GarcíaErnesto de Dios Hernández

Materia: Investigación de Operaciones II

Catedrática : Zinath Javier Gerónimo

Como podemos estimar la función de conveniencia de un individuo? llamémosle Jill por ejemplo comenzamos suponiendo que el resultado menos favorable ( por ejemplo – 10000 dólares) tiene una conveniencia cero y que el más favorable (por ejemplo 30000 dólares) tiene conveniencia 1. A continuación definiremos un numero x1/2 que tenga u(x1/2 )= para determinar a x1/2 le preguntaremos a Jill el numero (llamémoslo x1/2 ) que hace que le dé igual cualquiera de las opciones siguientes:

yx1/2

130,000 dólares

-10,000 dólares

Resultado mas favorable

Resultado menos favorable

Como Jill le da lo mismo escoger entre las dos loterías, deben tener la mismo conveniencia esperada. Así u(x1/2 )=(1/2)(1) + ( 1/2)(0) = 1/2

Este procedimiento da un punto x1/2 que tiene u(x1/2 )= 1/2 supongamos que Jill dice que x1/2 = - 3,400 dólares. Con x1/2 y el resultado menos favorable (- 10,000 dólares) como resultados posibles, podemos formar una lotería que pueda usarse para determinar el punto x1/4 que tiene una conveniencia de 1/4 (es decir , u (x1/4)=1/4 . El punto debe ser tal que le de lo mismo a Jill escoger entre

yx1/4

1x1/2 -3400 dólares

-10,000 dólares Resultado menos favorable

Entonces u(x1/4)= (½) (½)+ (½)(0)= ¼. Así, x1/4 satisface a u(x1/4)=¼. Suponga que Jill afirma que x1/4=-8,000 dólares. Esto nos indica otro punto de l función de conveniencia de Jill.

Jill puede utilizar ahora los resultados x1/2 y 30,000 dólares para formar una lotería que arroje un valor x 3/4 que satisfaga u(x 3/4)= ¾ . Suponga que x 3/4=8,000 dólares. Igualmente se pueden usar los resultados de x1/2 y -10,000 dólares para formar una lotería que tenga un valor x1/8 que satisfaga u(x1/8) =1/8. ahora la función de conveniencia de Jill se puede aproximar trazando una curva que una los puntos :

(-10,000, 0 dólares ), (x1/8 ,1/8), (x1/4, 1/4) ……., (30,000, 1 dólares)

0.70

0.80

0.90

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

1

10,000 20,000 30,0000-10,000

Figura 1. Función deconveniencia de Jill

RELACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN DE CONVENIENCIA DE UN INDIVIDUO Y SU CONDUCTA FRENTE AL RIESGO

Para analizar la actitud frente al riesgo definiremos los conceptos de equivalencia de certeza y ventaja de riesgo de una lotería

DEFINICIÓN:El equivalente de certeza de una lotería L se representa por CE(L) y el numero CE(L) tal que quien toma decisiones es indiferente optar por la lotería L o recibir determinada paga de CE(L).

Por ejemplo a Jill le daba lo mismo optar entre

y-3,400 dólares 1

30,000 dólares

-10,000 dólares L

sdDEFNICIÓN:La ventaja de riesgo de una lotería L se representa por RP(L) y esta definida por RP(L)= EV(L)-CE(L). Donde EV(L) es el valor esperado de los resultados de la lotería. Por ejemplo si :

30,000 dólares

-10,000 dólares L

Jill evalúa a L en 13,400 dólares menos que su valor esperado, porque no le gusta el alto grado de incertidumbre relacionado con la recompensa que da L.

Entonces EV(L) = (½)(30,000) dólares + (½)(-10,000 dólares)= 10,000 dólares.

Así RP(L)= 10,000 dólares –(- 3,400 dólares)= 13,400 dólares

• Sea una lotería no degenerada cualquiera en la que pueda suceder mas de un resultado. Con respecto a su conducta frente al riesgo un tomador de decisiones es :

La actitud de un individuo frente al riesgo depende de la concavidad o convexidad de la función de conveniencia.

DEFINICIÓN: se dice que una función u(x) es estrictamente cóncava o estrictamente convexa, si para dos puntos cualesquiera en la curva y=u(x), el segmento de recta que los une queda por completo (excepto sus extremos) abajo o arriba, respectivamente, de dicha curva.

Si u(x) es derivable entonces será estrictamente cóncava si y solo si u´´(x)<0 para toda x y u(x) será estrictamente convexa si y solo si u´´(x)>0 para toda x. Se puede demostrar con facilidad que si quien toma decisiones tiene una función de conveniencia u(x) es:

• Para dar un ejemplo de estas definiciones, demostraremos que si quien toma decisiones tiene una función de conveniencia u(x) cóncava, presenta una actitud contraria a los riesgos esto es tiene RP(L)>0. suponga una lotería binaria l (es decir una lotería que solo tiene dos resultados posibles

L (Suponer x1 < x2 )

p

1 - p x2

x1

Suponga que u(x) es estrictamente cóncava. Entonces, según la figura 2 vemos que

F(U para L)=p u(x1) + (1 – p)u(x2)= coordenada y del punto 1.

Como CE(L) es el valor (x*)=E(u para L), la figura 2 muestra que CE(L)<EV(L) de modo que RP(L) >0 . Esto se obtiene por que la concavidad estricta de u(x) significa que el segmento de recta que une a los puntos (x1 ,u(x1)) y (x2 ,u(x2))queda a bajo de la curva u(x)

x2

Px1 + (1 - p) x2 =EV(L)

CE(L)

RP(L)

E(U para L)

x1

Figura 2. Explicación de porque una función de conveniencia cóncava significa conducta contraria a los riesgos

También podemos presentar una demostración algebraica que u(x) estrictamente cóncava significa que RP(L)=EV(L)-CE(L)>0. recuerde que para :

L

p

1 - p x2

x1

EV(L)=Px1 + (1 – p) x2 .

Ahora bien la concavidad estricta de u(x) significa que :U[Px1 + (1 – p) x2 ]>pu(x1) + (1 – p)u(x2)=E(U para L).

Así quien toma decisiones prefiere a Px1 + (1 – p) x2 =EV(L)

Con certeza frente a la alternativa de jugar con L. significa que RP(L)=EV(L) – CE(L)>0 y, por tanto quien toma decisiones adopta una conducta contraria a los riesgos.

La función de conveniencia de Laura, concerniente a sus bienes x está dada por u(x)= x1/2. en la actualidad los haberes de Laura consisten en 10 000 dólares en efectivo y una casa de 90 000 dólares. Durante un año determinado hay una probabilidad de .001 de que la casa de Laura sea destruida por un incendio u otras causas. ¿ Cuánto desearía pagar Laura por una póliza de seguro que le repusiera su casa en caso de ser destruida?Solución:

Sea x= prima anual de seguro. Entonces Laura debe escoger entre las loterías siguientes:

L1: Comprar el seguro 1 (100 000 dólares – x)

L2: No comprar el seguro .999

.001 100 000 dólares – 90 000 dólares = 10 000 dólares

$100 000

Laura preferirá L1 a L2 si la conveniencia esperada de L1 es mayor que la de L2. Así, L1pL2 si

(100 000 – x)1/2 > .001(10 000)1/2 + .999(100 000)1/2

> .10 + 315.91

> 316.01

Elevando al cuadrado ambos miembros de la última desigualdad, vemos que L1pL2 si y sólo si

100 000 – x > (316.01)2

x < 137.68 dólares

Así, Laura pagaría hasta 137.68 dólares por un seguro. Naturalmente , si p = 137.68 dólares, L1iL2.

Calculemos la prima de riesgo para L2:

EV (L2) = .001(10 000) + .999(100 000) = 99 910 dólares

(es una pérdida esperada de 100 000 – 99 910 = 90 dólares). Como E(U para L2) = 316.01, podemos calcular CE(L2) de la relación u(CE(L2)) = 316.01, o sea [CE(L2)]1/2 = 316.01. Así, CE(L2) = (316.01)2 = 99 862.32 dólares y

RP(L2) = EV(L2) – CE(L2) = 99 910 – 99 862.32 = 47.68 dólares

un (x) = < 0

- x -3/2

4

u(x) es estrictamente cóncava, y RP(L) > 0 sería válida para cualquier lotería no degenerada.

Por tanto, Laura está de acuerdo en pagar como prima anual de seguro para su hogar la cantidad de 47.68 dólares más que la pérdida esperada de 90 dólares. Recuerde que Laura estaba dispuesta a pagar hasta 90 + 47.68 = 137.68 dólares para evitar el riesgo de que su casa se destruyera. Laura tiene una conducta contraria a los riesgos (RP(L2)> 0). Como