Introducción al Análisis de Fourier

Introducción al Análisis de Fourier

Transformada de Fourier

Dr. Wilfrido Gómez Flores

Introducción• Las series de Fourier están limitadas al tratamiento de funciones

periódicas con periodo T �nito.

• Para funciones no periódicas, la transformada de Fourier asume

que su periodo T → ∞.

(a) Onda periódica de�nida por la función coseno. (b) Onda aperiódicade�nida por la función chirp.

1/34 Transformada de Fourier FIC-04

De�nición

Considérese la serie compleja de Fourier:

f(t) =

∞∑n=−∞

cnejnω0t, con cn =

1

T

∫ T/2

−T/2f(t)e−jnω0t dt, (1)

donde ω0 =2πT y el espacio entre armónicos adyacentes es

∆ω = (n+ 1)ω0 − nω0 = ω0 =2π

T. (2)

Espectro de amplitud de un tren de pulsos rectangulares con T = 1/4.


De�nición• Sustituyendo cn en la serie compleja de Fourier se tiene

f(t) =

∞∑n=−∞

[1

T

∫ T/2

−T/2f(t)e−jnω0t dt

]ejnω0t,

=

∞∑n=−∞

[∆ω

2π

∫ T/2


]ejnω0t,

=1

2π

∞∑n=−∞

[∫ T/2


]∆ωejnω0t. (3)

• Cuando T → ∞, entonces∞∑

n=−∞⇒

∫∞−∞, ∆ω ⇒ dω, nω0 ⇒ ω,

tal que (3) se convierte en

f (t) =1

2π

∫ ∞

−∞

[∫ ∞

−∞f (t) e−jωt dt

]ejωt dω. (4)


De�nición

A partir de (4), el par de transformadas de Fourier son

F (ω) = F [f (t)] =

∫ ∞

−∞f (t) e−jωt dt, (5)

y

f (t) = F−1 [F (ω)] =1

2π

∫ ∞

−∞F (ω) ejωt dω, (6)

donde F es el operador de la transformada de Fourier, y F−1 repre-

senta el operador de la inversa de la transformada de Fourier.

La transformada de Fourier es una integral de transformación del

dominio del tiempo al dominio de la frecuencia y asume que una

función no periódica es una función periódica con periodo T → ∞.


De�nición

• Forma polar de la función compleja F (ω):

F (ω) = |F (ω)| ejϕ(ω), (7)

donde |F (ω)| y ϕ(ω) son la magnitud y la fase del espectro:

|F (ω)| =√Re2[F (ω)] + Im2[F (ω)], y (8)

ϕ(ω) = tan−1

(Im[F (ω)]

Re[F (ω)]

). (9)

• También, se tiene que

|F (−ω)| = |F (ω)| y ϕ(−ω) = −ϕ(ω).


Ejemplo 1

Encontrar la transformada de Fourier para el pulso rectangular:

f(t) =

1, |t| < τ2

0, |t| > τ2

F (ω) =

∫ ∞

−∞f(t)e−jωt dt =

∫ τ/2

−τ/2e−jωt dt,

= − 1

jωe−jωt

∣∣τ/2−τ/2

=1

jω

(ejω

τ2 − e−jω τ

2

),

=2

ωsin

(ωτ

2

)= τ

sin(ω τ

2

)ω τ

2

= τsinc(ωτ

2

).


Ejemplo 1

Espectros de Fourier del pulso rectangular: (a) magnitud y (b) fase.


Ejemplo 2

Encontrar la transformada de Fourier de la función exponencial:

f(t) =

e−αt, t > 0,

0, t < 0.

F (ω) =

∫ ∞

−∞f(t)e−jωt dt =

∫ ∞

0e−αte−jωt dt,

=

∫ ∞

0e−(α+jω)t dt = − 1

α+ jωe−(α+jω)t

∣∣∣∞0,

=1

α+ jω.


Ejemplo 2

Espectros de Fourier de la función exponencial: (a) magnitud y (b) fase.


Propiedades

Linealidad: Si F1(ω) = F [f1(t)] y F2(ω) = F [f2(t)], entonces

F [a1f1(t) + a2f2(t)] = a1F1(ω) + a2F2(ω), (10)

donde a1 y a2 son constantes.


Propiedades

Escalamiento en el tiempo: Si F (ω) = F [f(t)], entonces

F [f(at)] =1

|a|F(ωa

), (11)

donde a es una constante.

○


Propiedades

Desplazamiento en el tiempo: Si F (ω) = F [f(t)], entonces

F [f(t− t0)] = e−jωt0F (ω). (12)

○


Propiedades

Desplazamiento en la frecuencia: Si F (ω) = F [f(t)], entonces

F [f(t)ejω0t] = F (ω − ω0). (13)

○


Propiedades

Dualidad: Si F (ω) = F [f(t)], entonces

F [f(t)] = F (ω) ⇒ F [F (t)] = 2πf(−ω). (14)

(a) Transformada de un impulso unitario y (b) transformada de un nivelde corriente continua (DC) unitario.


Propiedades

• Diferenciación en el tiempo: Si F (ω) = F [f(t)], entonces para

la n-ésima derivada de f(t) se tiene:

F [f (n)(t)] = (jω)nF (ω). (15)

• Integración en el tiempo: Si F (ω) = F [f(t)], entonces

F[∫ t

−∞f(t)dt

]=

F (ω)

jω+ πF (0)δ(ω). (16)

• Inversión: Si F (ω) = F [f(t)], entonces

F [f(−t)] = F (−ω) = F ∗(ω). (17)


Propiedades

• Modulación: si F [f(t)] = F (ω), entonces

F [f (t) cos (ω0t)] =1

2[F (ω + ω0) + F (ω − ω0)] . (18)

• Teorema de Parseval: si F [f(t)] = F (ω), entonces∫ ∞

−∞|f(t)|2dt = 1

2π

∫ ∞

−∞|F (ω)|2dω, (19)

donde la cantidad |F (ω)|2 se denomina espectro de energía.


Propiedades: teorema de convolución

Operador útil para describir el comportamiento de un sistema lineal

invariante en el tiempo:

g(t) = f(t) ∗ h(t) =∫ ∞

−∞f(τ)h(t− τ)dτ, (20)

donde f(t) es la señal de entrada, h(t) es la respuesta al impulso del

sistema, y g(t) es la señal de salida.

○



• La transformada de Fourier de la convolución es:

F [f(t) ∗ h(t)] =∫ ∞

−∞f(τ)

[∫ ∞

−∞h(t− τ)e−jωtdt

]dτ. (21)

• De acuerdo con la propiedad de desplazamiento en el tiempo:∫ ∞

−∞h(t− τ)e−jωtdt = e−jωτH(ω). (22)

• Sustituyendo (22) en (21):

F [f(t) ∗ h(t)] =∫ ∞

−∞f(τ)e−jωτH(ω)dτ,

= H(ω)

∫ ∞

−∞f(τ)e−jωτdτ = H(ω)F (ω).(23)



El teorema de convolución establece que una convolución en el domi-

nio del tiempo equivale al producto de dos transformadas de Fourier

en el dominio de la frecuencia:

F [f(t) ∗ h(t)] = H(ω)F (ω), (24)

donde F (ω) y H(ω) son las transformadas de Fourier de f(t) y h(t),

respectivamente.




Propiedades: sumario

Propiedad Función en tiempo Función en frecuencia

Linealidad a1f1(t) + a2f2(t) a1F1(ω) + a2F2(ω)

Escalamiento f(at) 1|a|F

(ωa

)Desplazamiento en tiempo f(t− t0) e−jωt0F (ω)

Desplazamiento en frecuencia f(t)ejω0t F (ω − ω0)

Diferenciación en tiempo f (n)(t) (jω)(n)F (ω)

Integración en tiempo∫ t−∞ f(t)dt F (ω)

jω + πF (0)δ(ω)

Modulación f(t) cos(ω0t)12 [F (ω + ω0) + F (ω − ω0)]

Inversión f(−t) F (−ω) ó F ∗(ω)

Dualidad F (t) 2πf(−ω)

Teorema de Parseval∫∞−∞ |f(t)|2 dt 1

2π

∫∞−∞ |F (ω)|2 dω

Teorema de convolución f1(t) ∗ f2(t) F1(ω)F2(ω)


Funciones especiales: impulso unitario

• El impulso unitario, o función delta de Dirac, se de�ne como

δ(t) =

∞, t = 0,

0, t = 0,tal que

∫ ∞

−∞δ(t) dt = 1. (25)

• La función δ(t) representa un pulso idealizado que en la práctica

solo puede ser aproximado:

δϵ(t) =

1ϵ , −1

2ϵ < t < 12ϵ,

0, otro caso,(26)

lo cual indica que si ϵ → 0, entonces δϵ(t) ≈ δ(t).



(a) Conforme su anchura se aproxima a cero, su amplitud se aproxima ain�nito, mientras que su área bajo la curva permanece constante en unvalor unitario. (b) Por practicidad, la amplitud de la función impulso serepresenta por su área en vez de su verdadera altura.



La transformada de Fourier de un impulso unitario es:

F [δ(t)] =

∫ ∞

−∞δ(t)e−jωtdt = e−jωt

∣∣t=0

= 1, (27)

lo cual indica que su densidad espectral es uniforme en todo el inter-

valo de frecuencia.



Transformada de Fourier de una función impulso desplazada t0:

F [δ(t− t0)] = 1 · e−jωt0 = e−jωt0 , (28)

esto es una exponencial compleja cuya su magnitud es unitaria.


Funciones especiales: constantes

• La transformada de Fourier de una constante A se puede derivar

de F [δ(t)] = 1 y de la propiedad de dualidad:

F [1] = 2πδ(−ω) = 2πδ(ω). (29)

• Por consiguiente: F [A] = A2πδ(ω).

La única frecuencia que se relaciona con un valor constante es ω = 0.


Funciones especiales: escalón unitario

Función escalón unitario:

u(t) =

1, t > 0,

0, t < 0,y

du(t)

dt= δ(t).

De acuerdo con la propiedad de diferenciación en el tiempo:

F [δ(t)] = jωF (ω),

donde F (ω) = F [u(t)]; por tanto, si F [δ(t)] = 1, entonces

1 = jωF (ω) ⇒ F (ω) =1

jωpara ω = 0. (30)



Función signo:

sgn(t) =

+1, t > 0,

−1, t < 0,

la cual se aproxima como:

fα(t) =

e−αt, t > 0,

−eαt, t < 0,con α > 0.



• La transformada de Fourier de fα(t) es:

F [fα(t)] = −F[eαt

]+ F

[e−αt

]= − 1

α− jω+

1

α+ jω,

=−(α+ jω) + (α− jω)

α2 + ω2= − 2jω

α2 + ω2,

• Cuando α → 0, fα(t) ≈ sgn(t); por tanto,

F [sgn(t)] ≈ lımα→0

F [fα(t)] = lımα→0

(− 2jω

α2 + ω2

)= −2j

ω=

2

jω.

• Debido a que u(t) = 12(1 + sgn(t)), entonces

F [u(t)] =1

2F [1] +

1

2F [sgn(t)] = πδ(ω) +

1

jω. (31)



Magnitud de la transformada de Fourier del escalón unitario.


Funciones especiales: funciones periódicas

Si f(t) = 1 y F [1] = 2πδ(ω), entonces de acuerdo con la propiedad

de desplazamiento en la frecuencia se tiene

F [1 · ejω0t] = 2πδ(ω − ω0). (32)

○



• La transformada de Fourier de f(t) = cos(ω0t) es:

F [f(t)] =1

2

∫ ∞

−∞

(ejω0t + e−jω0t

)e−jωt dt,

=1

2

∫ ∞

−∞e−j(ω−ω0)t dt+

1

2

∫ ∞

−∞e−j(ω+ω0)t dt,

= π [δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)] . (33)

• La transformada de Fourier de f(t) = sin(ω0t) es:

F [f(t)] =1

2j

∫ ∞

−∞

(ejω0t − e−jω0t

)e−jωt dt,

=1

2j

∫ ∞

−∞e−j(ω−ω0)t dt− 1

2j

∫ ∞

−∞e−j(ω+ω0)t dt,

= jπ [δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)] . (34)



(a) Transformada de Fourier de una función coseno. (b) Transformada deFourier de una función seno.


Funciones especiales: sumario

f(t) F (ω)

δ(t) 1

δ(t− t0) e−jωt0

A A2δ(ω)

u(t) πδ(ω) + 1jω

u(t+ τ)− u(t− τ) 2 sin(ωτ)ω

sgn(t) 2jω

cos(ω0t) π[δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)]

sin(ω0t) jπ[δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)]

e−αtu(t) 1α+jω


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