Análisis de Fourier 2015

Análisis de Fourier

Series y Transformada


Ortogonalidad: Se dice que dos señales son ortogonales cuando su producto interno es igual a cero. El producto interno en el espacio vectorial de las señales se define por:

𝑔/𝑓 = 𝑔 𝜏 𝑓 𝜏 𝑑𝜏

𝑇

0

= 0

29/01/2015 Alberto Sanchez, PhD 2


Ortonormalidad: Son señales ortonormales aquellas señales que además de ser ortogonales cumplen con,

𝑔/𝑔 = 𝑔2 𝜏 𝑑𝜏

𝑇

0

= 1

𝑓/𝑓 = 𝑓2 𝜏 𝑑𝜏

𝑇

0

= 1



Ejemplo:

2

𝑇 cos 𝑚𝑤𝑜𝑡 cos 𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡

𝑡+𝑇

𝑡

= 1 𝑚 = 𝑛0 𝑚 ≠ 𝑛

2

𝑇 sin 𝑚𝑤𝑜𝑡 sin 𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡

𝑡+𝑇

𝑡

= 1 𝑚 = 𝑛0 𝑚 ≠ 𝑛

2

𝑇 cos 𝑚𝑤𝑜𝑡 sin 𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡

𝑡+𝑇

𝑡

= 0 ∀𝑚, 𝑛


Series de Fourier

Las funciones sin 𝑛𝑤𝑜𝑡 y cos 𝑛𝑤𝑜𝑡 son una base ortogonal del espacio de señales periódicas

• sin 𝑛𝑤𝑜𝑡 y cos 𝑛𝑤𝑜𝑡 son ortogonales entre ellas

• Las señales periódicas se pueden expresar como una combinación lineal de estas señales

Series de Fourier

Series de Fourier: Toda señal periódica puede ser representada a través de una serie infinita de sinusoides.

𝑣 𝑡 =𝑎0

2+ 𝑎𝑛 cos 𝑛𝑤𝑜𝑡

∞

𝑛=1

+ 𝑏𝑛 sin 𝑛𝑤𝑜𝑡


Series de Fourier

𝑎0 =2

𝑇 𝑣 𝑡 𝑑𝑡

𝑇2

−𝑇2

𝑎𝑛 =2

𝑇 𝑣(𝑡) cos 𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡

𝑇2

−𝑇2

𝑏𝑛 =2

𝑇 𝑣(𝑡) sin 𝑛𝑤𝑜𝑡 𝑑𝑡

𝑇2

−𝑇2


Series de Fourier

Una combinación lineal de sin 𝑛𝑤𝑜𝑡 y cos 𝑛𝑤𝑜𝑡 se pueden representar también como una suma se cosenos:

𝑣 𝑡 = 𝑐0 + 𝑐𝑛 cos 𝑛𝑤𝑜𝑡 + 𝜑𝑛

∞

𝑛=1

𝑐𝑛 = 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛

2

𝜑𝑛 = tan−1𝑏𝑛

𝑎𝑛

Nota: 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝒘𝒐𝒕 + 𝝋𝒏 son ortogonales excepto para n=1

Series de Fourier

Una combinación lineal de sin 𝑛𝑤𝑜𝑡 y cos 𝑛𝑤𝑜𝑡 se pueden representar también como una suma de exponenciales complejas:

𝑣 𝑡 = 𝐶 𝑛

∞

𝑛=−∞

𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜𝑡

𝐶 𝑛 =1

2𝑎𝑛 − 𝑗𝑏𝑛 =

1

𝑇 𝑣(𝑡)𝑒−𝑗𝑛𝑤0𝑡𝑑𝑡

𝑇2

−𝑇2

𝐶 −𝑛 = 𝐶 𝑛

∗ Nota: Las exponenciales complejas son ortogonales entre ellas

Series de Fourier

Forma Equivalencias 𝑎0

2+ 𝑎𝑛 cos 𝑛𝑤𝑜𝑡

∞

𝑛=1

+ 𝑏𝑛 sin 𝑛𝑤𝑜𝑡

𝑐𝑜 + 𝑐𝑛 cos 𝑛𝑤𝑜𝑡 + 𝜑𝑛

∞

𝑛=1

𝑐0 =

𝑎0

2

𝑐𝑛 = 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛

2, 𝜑𝑛 = tan−1 𝑏𝑛

𝑎𝑛

𝐶 𝑛

∞

𝑛=−∞

𝑒𝑗𝑛𝑤𝑜𝑡 𝐶 𝑛 =1

2𝑎𝑛 − 𝑗𝑏𝑛

𝐶 −𝑛 = 𝐶 𝑛

∗


Series de Fourier

La serie de una señal para solo tiene componentes pares, es decir a0 y an.

La serie de una señal impar solo tiene componentes impares, es decir, bn

Contenido Espectral de una Señal Periódica

• 𝑎0 y 𝑐0 Componentes DC (Frecuencia cero)

• 𝑎𝑛, 𝑏𝑛 o 𝑐𝑛 Armónicas (Frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental)


Contenido Espectral de una Señal Periódica

El espectro se puede representar en gráficas de líneas. (coeficientes vs frecuencia)

1. Espectro par e impar (Serie seno-coseno)

2. Espectro magnitud y fase (Serie coseinodal)

3. Espectro complejo (Serie exponencial)

El espectro de una señal periódica es una señal discreta.


Series de Fourier

Espectro de Potencia (Teorema de Parseval):

El espectro de potencia consiste en obtener (calcular/dibujar) la contribución de potencia de cada componente de frecuencia

𝑃 = 𝐶 𝑛2

∞

𝑛=−∞


Series de Fourier

Dibujar el espectro de frecuencia de las señales


−𝜏

2

𝜏

2 T -T

A

−𝜏

𝜏

A

T

-A

Series de Fourier

Espectro de un tren de impulsos

T 2T -2T -T 0

𝛿𝑇 𝑡 = 𝛿 𝑡 − 𝑘𝑇

∞

𝑘=−∞

Series de Fourier

Convergencia:

Para que sea posible expandir una señal en series de Fourier basta que las integrales para el calculo de sus coeficientes existan.

Sin embargo, todo esto parte de asumir que efectivamente una función periódica puede ser expandida en una serie trigonométrica.

Series de Fourier

Esta igualdad denota la ¨convergencia¨ de la serie, pero, no debe ser confundida con una convergencia punto a punto. Para ilustrar esta diferencia, considere dos funciones casi idénticas, siendo la única diferencia su valor en un solo punto en el cual difieren en un valor finito. Estas dos señales tendrán exactamente la misma expansión en series de Fourier.

Series de Fourier

Entonces, cuando y a que convergen las series de Fourier? Cuando la primera y segunda derivada son continuas, excepto en un número finito de puntos en los cuales posee discontinuidades finitas. Converge a x(t) excepto en donde existen discontinuidades, en cuyo caso converge al valor medio del valor de la discontinuidad.

Series de Fourier

Dibujar la serie de Fourier de la señal x(t), para valores finitos de n.

−𝜏

2

𝜏

2 T -T

1

Series de Fourier

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2n=1

Series de Fourier

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2n=3

Series de Fourier

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2n=5

Series de Fourier

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2n=11

Series de Fourier

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2n=51

Series de Fourier

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2n=100

Series de Fourier

La serie converge al punto medio del valor de la discontinuidad

Existen oscilaciones lateral a la discontinuidad. Este fenómeno se conoce como el fenónemo de Gibbs.

Periodo de oscilación lateral: 𝑇 =𝑇0

2𝑁

Amplitud de la oscilación: 𝑎 = 0.09𝐴

TRANSFORMADA DE FOURIER

Transformada de Fourier La Transformada de Fourier es una generalización de las series para señales aperiódicas (señales de energía).

Consisten en encontrar el límite de las series, cuando el periodo tiende a infinito.

Si 𝑇 → ∞ entonces el espectro tiende a ser continuo.

T=1, N=100

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

nw0

|Cn|2

Espectro de Magnitud de Potencia

T=5, N=50

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

nw0

|Cn|2


T=10, N=100

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-3

nw0

|Cn|2


T=50, N=500

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1x 10

-4

nw0

|Cn|2


Transformada de Fourier En el límite,

𝑣 𝑡 = 𝐶 𝑛𝑒𝑗𝑛𝑤0𝑡

∞

𝑛=−∞

Se transforma en una suma infinitesimal, que a su vez es una integral,

𝑣 𝑡 =1

2𝜋 𝑉(𝑤)𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑤

∞

−∞

Transformada de Fourier Donde,

𝑉 𝑤 = ℱ 𝑣(𝑡) = 𝑣(𝑡)𝑒−𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡

∞

−∞

Se conoce como la Transformada de Fourier

(análisis)

Transformada Inversa de Fourier El término

𝑣 𝑡 = ℱ−1 𝑉(𝑤) =1

2𝜋 𝑉(𝑤)𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑤

∞

−∞

Se conoce como la transformada inversa de Fourier (síntesis)

Espectro de Energía

El término 𝑉(𝑤) 2 muestra la distribución de energía de la señal en función de la frecuencia. (Joules/Hz).

La gráfica de 𝑉(𝑤) 2 en función de la frecuencia se conoce como el espectro de energía de la señal.

Espectro de una Compuerta

𝑣 𝑡 = 𝑒−𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡

𝜏2

−𝜏2

𝑣 𝑡 = −1

𝑗𝑤𝑒−𝑗𝑤𝜏 2 − 𝑒𝑗𝑤𝜏 2 = 𝜏𝑠𝑖𝑛𝑐

𝑤𝜏

2𝜋

−𝜏

2

𝜏

2

1

Espectro de un Impulso

ℱ 𝛿 𝑡 = 𝛿 𝑡 𝑒−𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡

∞

−∞

= 1

𝛿 𝑡 ⇔ 1

Un impulso tiene componentes de frecuencia en todo el espectro

Transformada inversa de un impulso

ℱ−1 𝛿 𝑤 =1

2𝜋 𝛿 𝑤 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑤

∞

−∞

=1

2𝜋

1

2𝜋⇔ 𝛿 𝑤 o 1 ⇔ 2𝜋𝛿 𝑤

Transformada inversa de 𝛿 𝑤 − 𝑤0

ℱ−1 𝛿 𝑤 − 𝑤0 =1

2𝜋 𝛿 𝑤 − 𝑤0 𝑒𝑗𝑤𝑡𝑑𝑤

∞

−∞

=1

2𝜋𝑒𝑗𝑤0𝑡

𝑒𝑗𝑤0𝑡 ⇔ 2𝜋𝛿 𝑤 − 𝑤0

𝑒−𝑗𝑤0𝑡 ⇔ 2𝜋𝛿 𝑤 + 𝑤0

Ejercicios

• ℱ cos 𝑤0𝑡

• ℱ 𝑣(𝑡) 𝑣 𝑡 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑇

• ℱ 𝛿 𝑡 − 𝑛𝑇∞𝑛=−∞

Linealidad

Si 𝑉1 𝑤 = ℱ 𝑣1(𝑡) y 𝑉2 𝑤 = ℱ 𝑣2(𝑡) ,

entonces

𝛼𝑉1 𝑤 + 𝛽𝑉2 𝑤 = ℱ 𝛼𝑣1 𝑡 + 𝛽𝑣2 𝑡

Convolución

Si 𝑉1 𝑤 = ℱ 𝑣1(𝑡) y 𝑉2 𝑤 = ℱ 𝑣2(𝑡) ,

entonces

𝑣1 𝑡 ∗ 𝑣2 𝑡 = 𝑉1(𝑤)𝑉2(𝑤)

Dualidad

Si 𝑉1 𝑤 = ℱ 𝑣1(𝑡) ,

entonces

𝑉1 𝑡 = 2𝜋𝑣1 −𝑤

Multiplicación

Si 𝑉1 𝑤 = ℱ 𝑣1(𝑡) y 𝑉2 𝑤 = ℱ 𝑣2(𝑡) ,

entonces

𝑣1 𝑡 𝑣2 𝑡 = 2𝜋𝑉1 𝑤 ∗ 𝑉2(𝑤)

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